2009年建模优秀论文——卫星和飞船的跟踪测控
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卫星和飞船的跟踪测控摘要：卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船进行全程跟踪测控。
对于问题一、测控站所监控的区域是一个圆锥体，但我们截取赤道面可以看出，观测站扫过的面积为一个扇形，所以当所有的两个相邻扇形的交点恰好在卫星轨道上时测控站数目最少。
假设扇形与轨道的两个交点为A、B，取其中任意一点与观测点M和地心构成三角形,在利用正弦定理求出∠MOB=θ，最后用函数2π/θ=⌈N⌉得出N的最小个数(N为观测点个数)。
对于问题二随着地球的自转，卫星也绕着地球在自己的轨道上运动，但卫星所在的轨道面是固定不变的，所以可以利用相对运动的知识，进行转化，我们可以把地球看成参考系，则轨道平面绕着地轴做相对运动，则地球的轨道面所扫出的面就为地球上的测控站所要监测的区域。
（题一中所解决的问题为题二中的特例，是轨道面与赤道夹角为零度的特殊情况）。
当测控站进行测控时，所扫出的区域为与要检测的区域的相交面为圆，但是所需要监测的区域是不规则的，为球体的一部分，给监测带来了一定的困难，直接很难算出，所以将要检测的区域展开，近似成矩形，若所有的圆能完全覆盖的矩形面积，则就能覆盖所要所要监测的面积，即监测矩形所用到的测控站的个数即为所求的测控站的个数。
对于问题三先搜集数据，带入问题二的公式计算出宽带面积，然后根据油膜覆盖法求出覆盖率。
关键词：三角函数蜂窝网原理近似值油膜覆盖法一、问题提出卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。
测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。
在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务。
请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。
考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。
二、模型假设1、假设地球是个球体；2、把卫星看成一个质点；3、把轨道所扫过的曲面展开后看成一个矩形；4、把测控面看成一个圆面；三、符号说明1、H--------------------卫星到地球的高度；2、θ--------------------地心到测控站与地心到极限观测点之间的夹角；3、R--------------------地球半径6370km；4、r--------------------每一个测控面的半径；5、A--------------------矩形宽；6、B-------------------矩形长；7、α--------------------轨道面与赤道面的夹角；8、L--------------------圆的半径；9、⌈⌉--------------------结果取≥它的最小整数即上整数；10、s--------------------表示为宽带面积；s--------------------表示监测点覆盖的总面积；11、112、 ---------------------表示测控站点对该卫星所能测控率。
四、问题分析2.1所有测控站都与卫星的运行轨道共面时，监控站的数量分析。
因为测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面，截取赤道平面，把地心，测控站与测控站在轨道面所产生的极限观测点中任意一个连接起来，构造三角形，再利用正弦定理、余弦定理求出观地心到测控站与地心到极限观测点之间的夹角，最后用2π除以两倍这个夹角得到观测站的个数N，结果要取上整数。
2.2如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角时监控站的数量分析。
地球绕地轴自转的同时，地球的卫星也在绕地心转动，但是卫星绕地球转动的轨道却是固定不变的，此时测控站所监测的卫星所在的区域为一球体的部分表面积，将所要监测的区域展开，近似为一矩形面，转化为地球上的测控站直接测控矩形面即可，当监控范围恰好全覆盖这个矩形时，所求出的测控站的个数即为最少个数。
2.3对神舟七号的测控站测控范围进行分析。
先搜集数据，带入问题二的公式计算出宽带面积，然后根据油膜覆盖法求出覆盖率。
用覆盖率表示测控站点对该卫星所能测控的范围。
五、模型的建立与求解5.1关于问题一的模型建立与求解因为测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面，所以截取赤道平面，如图1图1从上图可得，在ΔMOA 中，利用正弦定理可得：1sin 93sin o H R Rθ+=（5.1.1） 解得：1sin 93arcsin()()R H R θ︒=+ （5.1.2）所以：19387sin 93arcsin()180180()R H R θπθππ︒︒︒=--=-︒︒+（5.1.3） 最后得出关于⌈N ⌉的表达式：1）当结果恰为整数时 N 287sin 932arcsin()180()R H R ππθπ==︒︒-︒+ （5.1.4） 2）当结果部位整数时 N=⌈287sin 932arcsin()180()R H R ππθπ=︒︒-︒+⌉ (5.1.5) 因为H ≥120km R=6370km 利用matlab 算出当N 取整数点时H 的临界值将数据进行整理，得到H在一定范围内监控站的最小数量，见表1表1卫星或飞船高度（km）[120，123.2)[123.2,133.4)[133.4,145.1)[145.1,158.6)[158.6,174.5)最少测控站数量（个）2221201918卫星或飞船高度（km）[174.5,193.2)[193.2,218.7)[218.7,242.9)[242.9,276.5)[276.5,318.6)最少测控站数量（个）1716151413卫星或飞船高度（km）[318.6,372.7)[372.7,443.8)[443.8,540.6)[540.6,677.8)[677.8,883.2)最少测控站数量（个）12111098卫星或飞船高度（km）[883.2,1214.9)[1214.9,1818.4)[1818.4,3136.8)[3136.8,7641.9)[7641.9,+∞）最少测控站数量（个）765435.2关于问题二的模型建立与求解随着地球的自转，卫星也绕着地球在自己的轨道上运动，但是卫星所在的轨道面与赤道面的夹角固定不变的，所以可以利用相对运动的知识，进行转化，我们可以把地球看成参考系，则轨道平面绕着地轴做相对运动，则轨道面所扫出的面就为地球上的测控站所要监测的区域如图1。
（题一中所解决的问题为题二中的特例，是轨道面与赤道夹角为零度的特殊情况）。
蓝球表示地球红线表示轨道灰色表示轨道所扫过区域的表面图1将灰色区域展开得到一个平面，将其近似的看成一个矩形，如图2图2将图1转化为图2计算出矩形的长b和宽a.;图3由图可知：A=2(R+H)Cosα（5.2.1）B=2 (R+H)Sinα（5.2.2）图4因为测控站的测控范围与平面相交成一个圆面，即用圆的串联来覆盖矩形,，我们可以根据蜂窝网原理用每一个与圆面内切的正六边形来代替圆面进行覆盖如图5图5 由图3计算出圆的半径:r=（R+H）Sinθ=（R+H）87sin93[arcsin()]180()RSinH Rπ︒︒-︒+（θ在问题一中以求）然后计算出每一列和每一行需要的个数（结果根据具体情况取整数）每行所需的正六边形的个数：（5.2.3）每列所需的正六边形的个数：（5.2.4）根据列的奇偶性不同，故可以将排列方法取特殊值分为4种如图6（在下表计算测控站个数时，若列为偶数个时，则不用分类讨论，若列为奇数个时，按照下图中的第二行第一种情况来计算）。
图6取H和α的他数值带入（5.2.1），（5.2.2），（5.2.3），（5.2.4）的到表3和表4；表3高度Hkm夹角α°A(km)B(km)近轨道20030657020629 601137920629中轨道100030737040081 601276423141远轨道300030937050958601622829421 10000301637089027602835251401表4高度Hkm夹角α°行x个列y个总数n个近轨道2003031863 6051055中轨道1000302820 603517远轨道300030169602410 1000030146602255.3关于问题3的模型建立与求解搜集了我国神州7号飞船运行资料和相关测控站点的分部信息，飞船运行在轨道倾角42.4度、近地点高度200公里、远地点高度350公里的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343公里的圆轨道。
根据测控站在卫星轨道上的测控范围的边界点与地心连线得出在地球表面上与该范围对应区域并建立相应模型，利用墨卡托投影原理和油膜法，得出测控站点对神州7号所能测控的范围。
查得国内固定6站和国外4站经纬列表如下：1180R π，且化为如表缩小后宽带长B=28km ，宽为A=10km ，采用油膜覆盖法来计算测控范围，图7中的每个方格为1平方千米，圆覆盖大于12方格算一个方格，小于12方格按不足一方格计算。
宽带面积s=2802km ，监测站覆盖的总面积1s =612km ，测控率161280*100%*100%21.8%s sη===，则测控站点对该卫星所能测控的范围21.8%。
六、模型的优化与推广随着科学技术的突飞猛进，我国对科技创新更为重视，尤其是在航天事业方面，所以我们对卫星进行测控更具有深远意义。
本文较为的成功解决了对卫星进行测控的问题，当然还有一些不足之处，有待进一步的研究来解决。
1）优点：题中所要解决的是对卫星监测所用最少测控站的问题，我们将所要监测的区域展开，近似成矩形，成功的解决了所要测控的区域面积的求解。
在进行监测站个数求解的时候，我们将测控站所投射的圆利用圆的内接正六边形进行覆盖，成功解决了利用圆覆盖存在死角的问题。
2）缺点：将所要测控的区域展开近似成一个矩形，这中间存在误差，因为监测区域为不规则区域只能取近似值来代替。
七、参考文献[1] 濮定国、田蔚文主编，《数学建模》，东南大学出版社，1994年出版。
