2020高考全国卷3文科数学

2020年全国卷(3)文科数学2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅲ）文科数学适用地区：云南、贵州、四川、广西、西藏等一、选择题：1.已知集合 $A=\{1,2,3,5,7,11\}$，$B=\{x|3<x<15\}$，则$A \cap B$ 中元素的个数为 A。

2 B。

3 C。

4 D。

52.复数 $z\cdot(1+i)=1-i$，则 $z=$ A。

$1-i$ B。

$1+i$ C。

$-i$ D。

$i$3.设一组样本数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的方差为 0.01，则数据 $10x_1,10x_2,\dots,10x_n$ 的方差为 A。

0.01 B。

1 C。

100 D。

4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。

有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)$（$t$ 的单位：天）的 Logistic 模型$I(t)=\frac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$，其中 $K$ 为最大确诊病例数。

当 $I(t^*)=0.95K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则$t^*$ 约为（$\ln 19 \approx 3$） A。

60 B。

63 C。

66 D。

695.若 $\sin\theta+\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=1$，则$\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=$ A。

$\frac{3}{4}$ B。

$\frac{1}{4}$ C。

$-\frac{1}{4}$ D。

$-\frac{3}{4}$6.在平面内，$A,B$ 是两个定点，$C$ 是动点，$AC\cdot BC=1$，则点 $C$ 的轨迹是 A。

圆 B。

椭圆 C。

抛物线 D。

直线7.设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线$C:y^2=2px(p>0)$ 交于 $D,E$ 两点，若 $OD\perp OE$，则$C$ 的焦点坐标为 A。

2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅲ）文科数学适用地区：云南、贵州、四川、广西、西藏等一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,5,7,11}A =，{315}B x x =<<，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．52.复数(1)1z i i ⋅+=-，则z =A ．1i -B ．1i +C ．i -D ．i 3.设一座样本数据1x ，2x ，，n x 的方差为0.01，则数据110x ，210x ，，10nx 的方差为A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10 4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型0.23(53)()1t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数，当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln193≈）A ．60B ．63C ．66D ．69 5.sin sin()13πθθ++=，则sin()6πθ+=A ．12BC ．23D6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．直线7.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物C ：22y px =（0p >）交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2 C ．(1,0) D ．(2,0)8.点(0,1)-到直线(1)y k x =+的距离的最大值为A ．1 B．2 9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．6+．4+ C．6+ D．4+10.设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则 A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<11.在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =AB．．． 12.设函数1()sin sin f x x x=+，则 A ．()f x 有最小值为2 B ．()f x 的图像关于y 轴对称 C ．()f x 的图像关于x π=轴对称 D ．()f x 的图像关于2x π=轴对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为 .14.设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线为y =，则双曲线的离心率为 .15.设函数()x e f x x a =+，若1(1)4f =，则a = .16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第1721题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 满足124a a +=，318a a -=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列3{log }n a 的前n 项和n S ，若13m m m S S S +++=，求m . 18.（本小题满分12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园（Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（Ⅱ）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（Ⅲ）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为一天中到公园锻炼的人次与该市当附：其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在棱1DD ，1BB 上，且2DE =1ED ，12BF FB =.（Ⅰ）当AB BC =时，EF AC ⊥. （Ⅱ）证明：点1C 在平面AEF 内；20.（本小题满分12分）已知函数32()f x x kx k =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：222125x y m+=（05m <<）的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.ABC DEFA 1B 1C 1D 122.（本小题满分10分）（选修44-：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为22223x t ty t t⎧=--⎨=-+⎩（t为参数且1t≠）.C与坐标轴交于A，B两点.（Ⅰ）求AB；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.23.（本小题满分10分）（选修45-：不等式选讲）设a，b，c R∈，1a b c++=，1abc=.（Ⅰ）证明：0ab bc ca++<；（Ⅱ）用max{,,}a b c表示a，b，c的最大值，证明：max{,,}a b c≥.。

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1175321{，，，，，=A ，}153|{<<=x x B ，则B A 中元素的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．62．复数，则=z ( )A ．i -1B ．i +1C ．i -D ．i3．设一组样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差为01.0，则数据110x ，210x ，…，n x 10的方差为 ( )A ．01.0B ． 1.0C ．1D ．104．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数)(t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：)53(23.01)(--+=t e K t I ，其中K 为最大确诊病例数.当K t I 95.0)(*=时，标志已初步遏制疫情，则*t 约为（319ln ≈） ( )A ．60B ．63C ．66D ．695．已知1)3sin(sin =++πθθ，则=+)6sin(πθ ( )A ．21 B ．23 C ．32 D ．22 6．在平面内，A 、B 是两个定点，C 是动点，若1=⋅BC AC ，则点C 的轨迹为 ( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线2=x 与抛物线)0(2:2>=p px y C 交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则的焦点坐标为 ( )A ．)0,41(B ．)0,21(C ．)0,1(D ．)0,2(8．点)10(-，到直线)1(+=x k y 距离的最大值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．29．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 ( )A ．B ．C ．D ．10．设2log 3=a ,3log 5=a ，32=c .则 ( ) 642+442+623+423+A ．b c a <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ． c a b <<11．ABC △中，，，，则 ( )A ．B ．C ．D ．12．设函数()1sin sin f x x x=+，则 ( ) A ．()f x 的最小值为2； B ．()f x 的图像关于y 轴对称； C ．()f x 的图像关于π=x 对称； D ．()f x 的图像关于2π=x 对称；二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+1020x y x y x ，则32z x y =+的最大值是 ．14．设双曲线)00(1:2222>>=-b a b y a x C ，的一条渐近线为x y 2=，则C 的离心率为 ．14．设函数a x e x f x +=)(．若41)1(=f ，则=e ．15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．三、填空题：本题共6题，17~21每题12分，22题10分．17．(12分)设等比数列{}n a 满足421=+a a ，813=-a a ． (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 设n S 为数列}{log 3n a 的前项和，若31++=+m m m S S S ，求m ．18．(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人次，2cos 3C =4AC =3BC =cos B =19131223整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次[]0,200 (]200,400 (]400,6001（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用改组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下列的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次＞400空气质量好 空气质量不好附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．(12分)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当BC AB =时，AC EF ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内．)(2k K P ≥0.050 0.025 0.010 k3.8415.0246.635空气质量等级20．(12分)设23)(k kx x x f +-=. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 有三个零点，求k 的取值范围.21．(12分)已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．（二）选考题：共10分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B 中元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 52. 若(1)1z i i +=-，则z = A. 1i - B. 1i + C.i - D.i3．设一组样本数据12,,...,n x x x 的方差为0.01，则数据12n 10,10,...,10x x x 的方差为 A ．0.01 B ．0.1 C ．1 D ．104. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic模型：()()0.23531t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（In19≈3） A.60 B.63 C.66 D.695.已知sin sin()13πθθ++=，则sin()6πθ+=A. 12B. 3C. 23D.26.在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点，若1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为 A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线7.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,D E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)8.点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．29.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A. 6+42B. 4+42C. 6+23D. 4+2310.设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则 A ．a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<11. 在ABC ∆中，2cos 3C =，4,3AC BC ==，则tan B = A. 5 B.25 C.45 D.8512. 已知函数1()sin sin f x x x=+，则 A. ()f x 的最小值为2 B. ()f x 的图像关于y 轴对称 C. ()f x 的图像关于直线x π=对称 D. ()f x 的图像关于直线2x π=对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年普通高等学校招生全国Ⅲ卷统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B 中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5解析：这是求A 和B 两个集合的交集，A 集合中的元素在（3，15）中的有5、7和11三个，所以正确答案为B，特别注意B 的不等式不包含等号，也即A 中的3不能包含进去。

点评：集合一般比较简单2.若)1z i i +=-，则z =（）A.1i- B.1i + C.i - D.i 解析：1(1)(1)21(1)(1)2i i i i z i i i i ----====-++-所以z=i点评：这个是一个复数的化简，共轭复数的概念，还是基题，送分题。

3．设一组样本数据12,,...,n x x x 的方差为0.01，则数据12n 10,10,...,10x x x 的方差为A．0.01B．0.1C．1D．10解析：设第一组数的平均值为x 则222121()()...()0.01n S x x x x x x =-+-++-=则10x1,10x2,....10xn 的平均值为10x22212222222(1010)(1010)...(1010)10(110()....10011n S x x x x x x x x x x S =-+-++-==-+-+=点评：考查统计方差的概念，特别要清楚，方差是不用开方的，而标准差是要开方的，4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（）（其中In19≈3）A.60B.63C.66D.69解析：代入解方程即可以0.23(53)()0.951t KI t Ke --==+0.23(53)1110.9519t e ---==两边同取以19为底的对数ln190.23(53)t -=--解得t=66点评：本题结合时事，实际是取对数的形式，解指数方程，要求对对数和指数之间的转换非常熟练。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则AB =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A ．16B ．14C ．13D ．124．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0．5 B ．0．6 C ．0．7 D ．0．8 5．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．5 6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16 B ． 8 C ．4 D ． 2 7．已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b =-1 B ．a=e ，b =1 C ．a=e -1，b =1 D ．a=e -1，1b =-8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-10．已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．9211．记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ．命题:(,),29p x y D x y ∃∈+；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+．下面给出了四个命题①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝ ④p q ⌝∧⌝ 这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-） B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷三文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}1235711，，，，，A =，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：B解析：由交集的定义可知A ∩B ={5711}，，，故选B 2．若)(1i 1i z +=-，则z =A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i答案：C解析：因为)(1i 1i z +=-，所以21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2z ---====-++-，故选C 3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10答案：C解析：数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差等于数据x 1，x 2，…，x n 的方差210，即0.011001⨯=，故选C4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t KI t --+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193)≈A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C解析：由0.23(53)()=1e t KI t --+可得ln 1()530.23K I t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-，所以若*()0.95I t K =时，*ln 1ln190.955353660.230.23K K t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=+≈-，故选C. 5．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12 BC ．23 D答案：B解析：因为πsin sin =3θθ++（）1，所以13sin sin sin 1226πθθθθθθ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，所以πsin 6（+θ，故选B 6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线答案：A解析：取线段AB 的中点O ，则AC OC OA =-，BC OC OB OC OA =-=+，因为=1AC BC ⋅，所以221OC OA -=，所以22||||1OC OA =+，即|||OC OA =C的轨迹为以线段AB 中点为A。

1.【ID:4007728】已知集合，，则中的元素的个数为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：集合，，，中元素的个数为．故选：B．2.【ID:4007729】若，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由，得，．故选：D．3.【ID:4007730】设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：样本数据，，，的方差为，根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，数据，，，的方差为：，故选：C．4.【ID:4002704】模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由已知可得，解得，两边取对数有，解得，故选：C．5.【ID:4007731】已知，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，，即，得，即，得．故选：B．6.【ID:4007732】在平面内，，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为()A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线【答案】A【解析】解：在平面内，，是两个定点，是动点，不妨设，，设，因为，所以，解得，所以点的轨迹为圆．故选：A．7.【ID:4002705】设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：将代入抛物线，可得，，可得，即，解得，所以抛物线方程为：，它的焦点坐标．故选：B．8.【ID:4007733】点到直线距离的最大值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：因为点到直线距离；要求距离的最大值，故需；可得；当时等号成立；故选：B．9.【ID:4002708】右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，，、、两两垂直，故，几何体的表面积为：，故选：C．10.【ID:4007734】设，，，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：，，，．故选：A．11.【ID:4007735】在中，，，，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，，，，，可得，，则．故选：C．12.【ID:4007736】已知函数，则()A. 的最小值为B. 的图象关于轴对称C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于直线对称【答案】D【解析】解：由可得函数的定义域为，故定义域关于原点对称；设，则，，由双勾函数的图象和性质得，或，故A错误；又有，故是奇函数，且定义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故B错误；；，故，的图象不关于直线对称，C错误；又；，故，定义域为，的图象关于直线对称；D正确；故选：D．13.【ID:4002715】已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【答案】【解析】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线，底面半径，则其高，不妨设该内切球与母线切于点，令，由，则，即，解得，，故答案为：．14.【ID:4007737】设双曲线：的一条渐近线为，则的离心率为________．【答案】【解析】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：，由题意可得，所以离心率，故答案为：．15.【ID:4007738】设函数，若，则________．【答案】【解析】解：函数，，若，，则，故答案为：．16.【ID:4002713】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】7【解析】解：先根据约束条件画出可行域，由解得，如图，当直线过点时，目标函数在轴上的截距取得最大值时，此时取得最大值，即当，时，．故答案为：．17. 设等比数列满足，．（1）【ID:4007739】求的通项公式．【答案】【解析】解：设公比为，则由，可得，，所以．（2）【ID:4007740】记为数列的前项和．若，求．【答案】【解析】解：由有，是一个以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，，解得，或(舍去)，所以．18. 某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：（1）【ID:4002719】分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率．【答案】见解析【解析】解：设表示事件“该市一天的空气质量等级”．由表格数据得：；；；．（2）【ID:4002720】求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．【答案】【解析】由题意得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估值，一天中到该公园锻炼的平均人次的估值为．（3）【ID:4002721】若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为或．则称这天“空气质量不好”，根据所给数据，完成下面的列联表．并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：，【答案】见解析【解析】由题意得：(空气质量好，人数)；(空气质量好，人数)；(空气质量不好，人数)；(空气质量不好，人数)；．，可以有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19. 如图，长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：（1）【ID:4007741】当时，．【答案】见解析【解析】解：因为是长方体，所以平面，而平面，所以，因为是长方体，且，所以是正方形，所以，又．所以平面，又因为点，分别在棱，上，所以平面，所以．（2）【ID:4007742】点在平面内．【答案】见解析【解析】解：取上靠近的三等分点，连接，，．因为点在，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，且，又因为在上，且，所以，且，所以为平行四边形，所以，，即，，所以为平行四边形，所以，所以，所以，，，四点共面．所以点在平面内．20. 已知函数．（1）【ID:4007743】讨论的单调性．【答案】时，在递增，时，在递增，在递减，在递增．【解析】解：，，时，，在递增，时，令，解得：或，令，解得：，在递增，在递减，在递增，综上，时，在递增，时，在递增，在递减，在递增．（2）【ID:4007744】若有三个零点，求的取值范围．【答案】【解析】解：由得：，，，若有三个零点，只需，解得：，故．21. 已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）【ID:4002724】求的方程．【答案】【解析】，，，，即，的方程为．（2）【ID:4002725】若点在上，点在直线上，且，，求的面积．【答案】【解析】设，，，则，，①，又，②，由①，，代入②式：，，，不妨设，代入①：，时，；时，；，或，，①，，，：，即，且，，．②，，，：，即，且，，，综上所述，．方法：由，设，点，根据对称性，只需考虑的情况，此时，，，有①，又，②，又③，联立①②③得或，当时，，，，同理可得当时，，综上，的面积是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数且)，与坐标轴交于，两点．（1）【ID:4002728】求．【答案】【解析】解：与坐标轴交于，，则令或，即或，则或(舍)或或(舍)，，，，，，，则，坐标为，，．（2）【ID:4002729】以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．【答案】【解析】：，即，由，，则直线极坐标方程为：．23. 设，，，，．（1）【ID:4002730】证明：．【答案】见解析【解析】解：，且，，．（2）【ID:4002731】用表示，，的最大值，证明：．【答案】见解析【解析】不妨设为最大值，，则由，，，，，即．。

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．52．（5分）若（1+i）＝1﹣i，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i3．（5分）设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（）A．0.01B．0.1C．1D．104．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t ）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．695．（5分）已知sinθ+sin（θ+）＝1，则sin（θ+）＝（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）在平面内，A，B是两个定点，C 是动点．若•＝1，则点C的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线7．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）8．（5分）点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（）A．1B ．C ．D．29．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+4B．4+4C．6+2D．4+210．（5分）设a＝log32，b＝log53，c ＝，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b11．（5分）在△ABC中，cos C ＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝（）A ．B．2C．4D．812．（5分）已知函数f（x）＝sin x +，则（）A．f（x）的最小值为2B．f（x）的图象关于y轴对称C．f（x）的图象关于直线x＝π对称D．f（x）的图象关于直线x ＝对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。