2020届江苏高考数学学科基地密卷详细答案(南通密卷10套详解)

甲 乙 8 9 79 01398 210 （第5题）江苏省南通基地2020年高考数学密卷（2）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合A ={1，4}，B ={|13x x ≤≤}，则A ∩B = ▲ ． 2． 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ． 3．函数的y =定义域为 ▲ ．4． 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为 ▲ ．5． 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 ▲ ．6． 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，则()2g π的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214y x -=的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ． 9． 若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x x x x++的值为 ▲ ． 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f (x +4)= f (x )+ f (2)，f (1)= 4，则f (3)+ f (10)的值为 ▲ ．11．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有s ←0t ←1For I From 1 To 3 s ←s +I t ←t ⨯I End For r ←s ⨯t Print r（第4题）可能值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为 ▲ ．13．已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅I ，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．若△ABC 中，ABBC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．16．（本小题满分14分）在正四棱锥V ABCD -中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90πcm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥ACBD（第16题）VE FCADB（第15题）h 1rh 2（第17题）45° 的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为o45；圆柱的高为h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm 2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，a元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)y x ab a b+=>>，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，AD DP λ=u u u r u u u r，AE EQ μ=u u u r u u u r （λμ，为非零实数），求22λμ+的值．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． （1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）若数列{}n b 满足：11b =，1112nn n b b a ++=+． ① 求数列{}n b 的通项公式；（第18题）② 是否存在正整数n ，使得14ni i b n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数*()ln k f x x x k =∈N ，，()1g x cx c =-∈R ，． （1）当1k =时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线()y f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当2k ≥时，不等式2()()f x ax bx g x +≥≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．2020年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在．．．．．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E ，F ．M ，N 为AB ，CD 上两点，EM ＝EN ，点F 在MN 的延长线上．求证：∠BFM ＝∠AFM ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''，其中 (11)A ，，(11)B -，，(11)C --，，(33)A '，，(11)B '-，，(11)D '-，． （1）求矩阵M ； （2）求向量DC 'u u u u r的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，221x y z ++=，求证：135xy yz zx ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同 学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知函数2()1f x x x =-+，记1()()f x f x =，当12()(())n n n f x f f x -=≥时，． （1）求证：2()f x 在(1)+∞，上为增函数；（2）对于任意*N n ∈，判断()n f x 在(1)+∞，上的单调性，并证明．2020年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． {1}【解析】依题意，A ∩B ={1}2． 34i -【解析】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i -． 3． (]0,8【解析】由23log 0x -≥，解得08x <≤．4． 36【解析】1236s =++=，1236t =⨯⨯=，输出的结果6636r =⨯=． 5． 2【解析】由茎叶图可知，8889909192905x ++++==，所以甲的方差为52211()25i i s x x ==-=∑；同理乙的方差为4，所以比较稳定的是甲．6． 49【解析】所有等可能的基本事件总数为339⨯=种，“黑白两球均不在1号盒子”有224⨯=种，所以概率为49．7． 12-【解析】()()cos 23g x x π=-，所以()1()cos 232g ππ=π-=-．8． 45【解析】一条渐近线2y x =与右准线5x =的交点为525(,)，其到另一条渐近线2y x =-的距离为45．9． 25【解析】由()ππ31tan tan 2441(3)x x --⎡⎤=+-==⎢⎥+-⎣⎦，得sin 2cos tan 223sin 4cos 3tan 45x x x x x x ++==++．10． 4【解析】令f (x +4)= f (x )+ f (2)中x =2，得f (2)= f (2)+ f (2)，所以f (2)=0，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)=0，所以f (x +4)= f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)+ f (10)= f (1) + f (2)= f (1)+0= 4．11． 34-，【解析】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n a a a ++-=-，所以222211a a a -=-，223321a a a -=-，…，221313121a a a -=-，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-， 又21313S a =，所以211120a a --=，获解．Cxy O BA （第12题）P B 'Q12． 14【解析】设直线l 与圆C 的一个交点B （5，5）关于x 轴的对称点为B '，易知B B '恰为圆C 的直径，记A B '与x 轴 交于点Q ，则PA PB PA PB AB ''+=+≥，所以△ABP 的周长的最小值为AB AB '+，易求得结果为14. 13． (14⎤-∞⎦，在(2)-∞，所以方程2|x x =所以函数()g x =注意到函数(h x 14．2设()D x y ，，所以(11)AB =--，(71)AC =-，()AD x =， 所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---=u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)8x m n y m n ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，所以mn =4，所以22222211()(7)5021288AD x y m n m n m n mn =+-++++ 222225*********m n mn +++≥． 当且仅当5m =n =5±AD 2 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分Cx yA B D（第14题）CADB（第15题）所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为EF ABCD ⊄平面，AC ABCD ⊂平面，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结VO ．因为V ABCD -为正四棱锥，所以VO ABCD ⊥平面．又AC ABCD ⊂平面，所以VO AC ⊥．…… 8分又因为BD AC ⊥，EF ∥AC ，所以EF ⊥VO ，EF ⊥BD ． …… 10分 又VO BD VBD ⊂，平面，=VO BD O ∩，所以EF VBD ⊥平面， …… 12分又EF BEF ⊂平面，所以平面VBD ⊥平面BEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为o 45，所以1h r =，圆锥的体积为231111ππ33V r h r ==，圆柱的体积为222πV r h =． …… 2分因为1290πV V +=，所以23221π90ππ3V r h r ==-，所以32222709033r r h r r-==-． …… 4分 因为311π90π3V r =<，所以r <0r <<．所以32222709033r r h r r -==-，定义域为{|0r r <<． …… 6分 ACBD（第16题）VE FO（2）圆锥的侧面积21πS r r ==，圆柱的侧面积222πS rh =，底面积23πS r =． …… 8分容器总造价为1232y aS aS =++2222π2π2πr a rh a r a =++2222π()a r rh r =++()22902π23r a r r r⎡⎤=+-⎣⎦ ()210π543a r r=+． …… 10分令254()f r r r =+，则254()2f r r r '=-．令()0f r '=，得3r =． 当03r <<时，()0f r '<，()f r 在(0 3)，上为单调减函数；当3r <<时，()0f r '>，()f r在(3上为单调增函数． 因此，当且仅当3r =时，()f r 有最小值，y 有最小值90πa 元．…… 13分 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm ． …… 14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b =2，所以b =1，…… 2分又离心率c a =a =， …… 4分 所以222222()a c ab ==-，所以22a =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…… 6分 （2）由（1），点A (0)，设1100()()P x y D x y ，，，，则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=u u u r u u u r，所以010010()()x x x y y y λλ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩L L L L ①②， …… 8分由①得，011+x x λλ=- 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+(k x k x k x λλ==， …… 11分两边同时乘以k 1得，21112111((2k x k k x x ==-，所以11x =1121(12)y k λ=+，代入椭圆的方程得，221112k λ=+， …… 14分 同理可得，()22122221121112121122k k k k μ===+++-， 所以221λμ+=． …… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥）， 两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分 因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =， 所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立， 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分 （2）① 由（1）知，12n n a -=， 由1112n n nb b a ++=+，得1122n n nbb +=+， …… 6分 即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=， 因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分 所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L ，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯L 11()12()1212nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯， 所以14(24)()2n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()42n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n n-+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减， 所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当1k =时，()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+．①设切点为00()P x y ，，则0000001ln ln 1x c y x x y cx +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩①②③…… 2分由②③得，0001ln cx x x -=④由①得0ln 1x c =-代入④得，001(1)cx x c -=-所以011x c ==，． …… 4分 ②由题意，得方程ln 1x x cx =-有正实数根，即方程1ln 0x c x+-=有正实数根，记1()ln h x x c x =+-，令22111()x h x x x x-'=-=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>； 所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数；所以min ()(1)1h x h c ==-． …… 6分 若1c <，则()(1)10h x h c =->≥，不合； 若1c =，由①知适合；若1c >，则(1)10h c =-<，又11(e )0e e c c ch c c =+-=>， 所以(1)(e )0c h h ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1e )(0)c ⊆+∞，，上必有零点． 综上，c 的取值范围为[1)∞，+． …… 9分（2）由题意得，当2k ≥时，ln 1k x x cx -≥对于任意正实数x 恒成立， 所以当2k ≥时，11ln k c x x x -+≤对于任意正实数x 恒成立，由（1）知，1ln 1x x+≥，两边同时乘以x 得，ln 1x x x +≥①， 两边同时加上1x得，11ln 12x x x x x +++≥≥②，所以1ln 1x x x +≥（*），当且仅当1x =时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，21ln 1x x x +≥，进而可得，31ln 1x x x +≥，41ln 1x x x+≥，……，所以当2k ≥，*N k ∈时，11ln 1k x x x -+≥，当且仅当1x =时取等号．所以1c ≤． …… 12分 当c 取最大值1时，2ln 1k x x ax bx x +-≥≥对于任意正实数x 恒成立， 令上式中1x =得， 00a b +≥≥，所以0a b +=， 所以21ax ax x --≥对于任意正实数x 恒成立， 即2(1)10ax a x -++≥对于任意正实数x 恒成立， 所以0a >，所以函数2(1)1y ax a x =-++的对称轴102a x a+=>， 所以2(1)40a a ∆=+-≤，即2(1)0a -≤，所以1a =，1b =-． …… 14分 又由21ln 1k x x x-+≥，两边同乘以x 2得，2ln k x x x x +≥，所以当1a =，1b =-时，2ln k x x ax bx +≥也恒成立，综上，得1a =，1b =-． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则有13111311a b a b c d c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， …… 2分 故3311a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ 解得2112a b c d ====，，，，所以2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…… 5分 （2）由21131213--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知(33)C '--，， 易求12133=1233M -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， …… 7分 由211133121133⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，得(11)D -，， 所以=(42)DC '--u u u u r ，． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝． …… 7分又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为222151(22)5(3)()(2)044x y z xy yz zx x y x y z ++-++=-++-≥，…… 5分所以2(22)5(3)x y z xy yz zx ++++≥， 又因为221x y z ++=，所以135xy yz zx ++≤． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得i 个一等奖”为事件i A ，01i =，， 则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为()()0115124244P A P A +=+=． …… 4分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===，()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， 所以X 的概率分布为故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 10分23．（本小题满分10分）（1）证明：因为22()(())(1)f x f f x f x x ==-+，所以22()(21)(1)f x x f x x ''=--+， 因为1x >，所以210x ->，211x x -+>，所以22(1)2(1)10f x x x x '-+=-+->，所以2()0f x '>，所以2()f x 在(1)+∞，上为增函数． …… 4分（2）结论：对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．证明：①当n =1时，结论显然成立；②假设当n =k 时结论也成立，即()k f x 在(1)+∞，上为增函数， 所以当1x >时，()0k f x '>在(1)+∞，上恒成立． 当n =k +1时，21()(())(1)k k k f x f f x f x x +==-+， 所以21()(21)(1)k k f x x f x x +''=--+ 又当1x >时，210x ->，211x x -+>，所以2(1)0k f x x '-+>在(1)+∞，上恒成立，所以21()(21)(1)0k k f x x f x x +''=--+>在(1)+∞，上恒成立， 所以1()k f x +在(1)+∞，上为增函数．由①②得证，对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．…… 10分。

（第3题）江苏省南通基地2020年高考数学密卷（9）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，则z 2＝ ▲ ．3． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4． 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ． 5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元， 0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ．6． 函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7． 已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．8． 已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B 为顶点，且离心率为32，过A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =u u u r u u u u r，则k 的值为 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )12-，若2()6f α=，则cos(2)4πα-的值为 ▲ ． 10．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++L（第4题）1121n n n a a a a a --++++++L （2,n n *∈N ≥），若(28)2018m m a b +-=，则m 的值为 ▲ ．11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负，则a b -的最大值为 ▲ ．12．在△ABC 中，若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则cos C 的值为 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，切点为,P N ，且23QP QN ⋅=u u u r u u u r ，则正实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2()1f x x =-+，若存在12n x x x L ，，，满足120n x x x <<<L ≤， 且()()()()1223f x f x f x f x -+-+L ()()12017n n f x f x -+-=，则n x 最小值 为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过 点(,1)3M π． （1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，2AD BC =，AB PA ⊥． （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面PAB17．（本小题满分14分）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O百米的D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计． （1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．（本小题满分16分）如图，点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆2214+25n n n b b S ++=的左、右顶点和右焦点，过点n *∈N 的直线{}n a （异于{}n b 轴）交椭圆C 于点{}n b ，n n n c a b =+．（1）若3AF =，点4r s t ，，与椭圆C 左准线的距离为5，求椭圆C 的方程； （2）已知直线()r s t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍． ① 求椭圆C 的离心率；② 若椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点(22)A -，．① 求实数a 的值；② 设函数()()f x g x x =，当0s >时，试比较()g s 与1()g s的大小； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：11()2f x >-．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列． （1）试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好”数列，其中21n a n =-，12n n b -=，*n ∈N ，并给出证明；（2）已知数列{}n c 为“好”数列．① 若20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，（1s >），有1s t c c c ，，成等比数列， 求证：2t s ≥．2020年高考模拟试卷（9）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E ，若BD∥CE， AB 交CE 于M ，求证：2AB AE AD =⋅B ．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒， 得到点B ．若点B 的坐标为(34)-，，求点A 的坐标．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,a b c 满足2362a b c ++=，求321a b c++的最小值．DA（第21-A ）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，延长1BB 至M ，使11BB B M =，连接11,,A M AC CM ，若190MA C ︒∠=． （1）求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值；（2）求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角．23．（本小题满分10分）（1）求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；（2）求证：100820170(1)120172017n nnn C n-=-=-∑．2020年高考模拟试卷（9）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．【答案】4【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+i【解析由z 1·－z 2＝5，得－z 2＝52+i＝2－i ，所以z 1＝2+i ．MC 1B 1A 1CBA（第22题）3．【答案】50【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30【解析】3A =，1N =，输出3；6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30；则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下：（2.53，1.19）（2.53，3.21）（2.53，0.73）（2.53，2.33）（1.19，3.21）（1.19，0.73）（1.19，2.33）（3.21，0.73）（3.21，2.33）（0.73，2.33），共10种可能，其中金额不低于5元的事件有（2.53，3.21）（3.21，2.33），共2种可能，所以不低于5元的概率21105P ==． 6．【答案】(],2-∞【解析】因为(]2232(1)40,4x x x --=-++∈，所以(]22log (32),2x x --∈-∞，即值域为(],2-∞．7．934【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ， 因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2， 所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1， PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3， 所以a ＝32，所以三棱锥PABC 的体积为V ＝13×12×329348．【答案】23【解析】对于椭圆，显然31,c b a ==，所以椭圆方程为2214x y +=，设00(,)N x y ，则由AN NM =u u u r u u u u r 得00(21,2)M x y +．因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014x y +=，2200(21)414x y +-=，解得，001,2x y ==l的斜率k =．9．【答案】13解析一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为()6f α=，所以1sin(2)43πα+=，所以1cos(2)cos (2)sin(2)42443ππππ⎡⎤-α=-α+=α+=⎢⎥⎣⎦。

17.(1)Rt △ BOE 中， OB=50, ∠ B=90°，∠ BOE= ，∴ OE= 50 . cos
50
Rt△ AOF 中， OA=50, ∠ A=90°，∠ AFO= ，∴ OF=
.
sin
又∠ EOF=90°，∴ EF=
OE 2 OF 2
( 50 ) 2 ( 50 )2 =
50
,
cos
2 y＝－ 3＋ 2 t
Ox 为极轴的极坐标系中，曲线
C 的极坐标
方程为 ρsin2θ＝ 8cosθ．若直线 m 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，求线段 AB 的长．
D ．（选修 4— 5：不等式选讲）
设 x， y 均为正数，且
x＞y，求证：
2x＋
x2－
1 2xy＋
y2
≥
2y＋
3．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．
a2015 =
.
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. 已知对于一切
x ， y ∈ R，不等式 x 2
81 x2
2xy 18 2 y 2 x
a
0 恒成立，则实数
a
的取值范围是
．
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分 .
15.（本小题满分 14 分）在
ABC 中，已知 A
45 ， cos B
4
.
5
( 1) 求 cosC 的值；
.
（第 6 题）
12. 若关于
x 的方程
2x
log 2 4－x
= kx + 1-2k(k
为实数 )有三个实数解，则这三个实数解的和
_.
13. 已知数列 a1,a2, ,an， 满足 a1 a2 1,a3 2 ，且对于任意 n N ， an an 1an 2 1 ，又

江苏省南通市基地学校2020届高三第三次大联考数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．己知集合A ＝{0，2}，B ＝{﹣1，0}，则集合A U B＝ ．2．若复数z ＝i·(a ＋2i)的模为4，其中i 是虚数单位，则正实数a 的值为 ． 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值为 ．4．某工厂有A ，B ，C 三个车间，共270名工人，各车间男、女工人人数如 车间A 车间B 车间C 女工人 20 60 a 男工人4030b现用分层抽样的方法在全厂抽取54名工人，则应在车间C 抽取的工人人 数为 ．5．一只口袋内装有形状、大小完全相同的4只小球，其中2只白球、2只红球，从中一次随机摸出2只球，则摸出的2只球颜色不同的概率为 ．6．设x ∈R ，则“24x >”是“24x>”的 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”之一）7．在平面直角坐标系中，若双曲线2214y x -=的渐近线与圆x 2＋y 2＝5相交于A ，B ，C ，D 四点，则四边形ABCD 的面积为 ．8．已知直线y ＝e x -1是曲线y ＝e x +a 的一条切线，则实数a 的值为 ．9．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90︒，D 为AA 1的中点．设四面体C 1—B 1CD 的体积为V 1，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V 2，则12V V 的值为 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，己知A ，B ，F 分别为椭圆C：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）左顶点、上顶点和左焦点（如图），过点F 作x 轴的垂线与椭圆交于M ，N 两点，直线BN 与x轴交于点 D ．若OA ＝2OD ，则椭圆C 的离心率为 ． 11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22n S n =，则1125()nn a a +的最小值为 ．12．已知函数222()1122x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，，，则关于x 的不等式()(1)f x f x -<-的解集为．13．如图，在四边形ABC D 中，AB BC AD DC 0⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，AC BD 4⋅=u u u r u u u r，AB BD 2⋅=-u u u r u u u r，则对角线BD 的长为 ．14．已知函数24()ln(e1)x f x -=+，()2g x x a =+-．若存在a ∈[n ，n+l](n ∈Z)，使得关于x 的方程()()f x g x =有四个不相等的实数解，则n 的最大值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，EA ⊥平面ABC ，DC ∥EA ，EA ＝2DC ，F 是EB 的中点．（1）求证：DC ⊥平面ABC ； （2）求证：DF ∥平面ABC ．16．（本小题满分14分）已知锐角三角形ABC 中，sinC ＝35，sin(A -B)＝15． （1）求证：tanA ＝2tanB ；（2）若AB 边上的高为2，求边AB 的长．17．（本小题满分14分）如图，某地有一块半径为R 的扇形AOB 公园，其中O 为扇形所在圆的圆心，∠AOB ＝120°，OA ，OB ，»AB为公园原有道路．为满足市民观赏和健身的需要，市政部门拟在»AB上选取一点M ，新建道路O M 及与OA 平行的道路MN （点N 在线段O B 上），设∠AOM ＝θ．（1）如何设计，才能使市民从点O 出发沿道路O M ，MN 行走至点N 所经过的路径最长？请说明理由；（2）如何设计，才能使市民从点A 出发沿道路¼AM，MN 行走至点N 所经过的路径最长？请说明理由．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，己知圆C 经过点(2-，2)，(2，2-)，且与直线220x y +-=相切．（1）求圆C 的方程；（2）设P 是直线l ：x ＝4上的任意一点，过点P 作圆C 的切线，切点为M ，N ．①求证：直线MN 过定点（记为Q ）；②设直线PQ 与圆C 交于点A ，B ，与y 轴交于点D ．若DA QA λ=u u u r u u u r ，DB QB μ=u u u r u u u r，求λ＋µ的值．19．（本小题满分16分）设函数1()ln f x ax b x x=+-(a ，b ∈R)． （1）当b ＝﹣1时，函数()f x 有两个极值，求a 的取值范围； （2）当a ＋b ＝1时，函数()f x 的最小值为2，求a 的值；（3）对任意给定的正实数a ，b ，证明：存在实数0x ，当0x x >时，()0f x >．20．（本小题满分16分）己知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且12n n nS a a =+． （1）求证：{}2n S 为等差数列；（2）设(1)nn nb a -=，求{}n b 的前n 项和n T ；（3）求集合221(,),,N 22p m m p T T m p m p *-⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵152A 31-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求点P(1，2)在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q 的坐标．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知两条曲线的极坐标方程分别为sin()13πρθ+=与2ρ=，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的极坐标．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝3，a 2＋b 2＋2c 2＝6，求a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PA ＝l ，AB ＝AC ＝2，点D 满足AD AC λ=u u u r u u u r，01λ<<．（1）当12λ=，求二面角P －BD －C 的余弦值； （2）若直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为25，求λ的值．23．（本小题满分10分）某高速公路全程设有2n (n ≥4，N n *∈)个服务区．为加强驾驶人员的安全意识，现规划在每个服务区的入口处设置醒目的宣传标语A 或宣传标语B ．（1）若每个服务区入口处设置宣传标语A 的概率为23，入口处设置宣传标语B 的服务区有X 个，求X 的数学期望；（2）试探究全程两种宣传标语的设置比例，使得长途司机在走该高速全程中，随机选取3个服务区休息，看到相同宣传标语的概率最小，并求出其最小值．江苏省南通市基地学校2020届高三第三次大联考数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．己知集合A ＝{0，2}，B ＝{﹣1，0}，则集合A U B ＝ ． 答案：{﹣1，0，2} 考点：集合并集运算解析：∵集合A ＝{0，2}，B ＝{﹣1，0}， ∴集合A U B ＝{﹣1，0，2}．2．若复数z ＝i·(a ＋2i)的模为4，其中i 是虚数单位，则正实数a 的值为 ． 答案：23 考点：复数解析：i (2i)2i z a a =⋅=-+＋，∴244a +=，23a =． 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值为 ．答案：5考点：程序框图解析：∵24＝16＜17，25＝32≥17，故输出的n 的值为5．4．某工厂有A ，B ，C 三个车间，共270名工人，各车间男、女工人人数如下表：车间A 车间B 车间C 女工人2060a现用分层抽样的方法在全厂抽取54名工人，则应在车间C 抽取的工人人数为 ． 答案：24考点：分层抽样解析：270﹣60﹣90＝120，∴1205424270⨯=． 5．一只口袋内装有形状、大小完全相同的4只小球，其中2只白球、2只红球，从中一次随机摸出2只球，则摸出的2只球颜色不同的概率为 ． 答案：23考点：随机事件的概率解析：11222423C C P C ==． 6．设x ∈R ，则“24x >”是“24x >”的 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”之一） 答案：必要不充分 考点：充要性解析：2422x x x >⇒><-或，242xx >⇒>，“24x >”是“24x>”的必要不充分条件．7．在平面直角坐标系中，若双曲线2214y x -=的渐近线与圆x 2＋y 2＝5相交于A ，B ，C ，D 四点，则四边形ABCD 的面积为 ． 答案：8考点：双曲线的简单性质解析：双曲线2214y x -=的渐近线为2y x =±，可知四边形ABCD 是矩形， 求得四点坐标为(1，2)、(1，﹣2)，(﹣1，2)，(﹣1，﹣2)， 故该矩形长为4，宽为2，面积为8．8．已知直线y ＝e x -1是曲线y ＝e x +a 的一条切线，则实数a 的值为 ． 答案：﹣1考点：利用导数研究函数的切线解析：e x y '=，e e x=，1x =，切点坐标为(1，e ﹣1)，∴e ﹣1＝e ＋a ，a ＝﹣1． 9．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90︒，D 为AA 1的中点．设四面体C 1—B 1CD 的体积为V 1，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V 2，则12V V 的值为 ．答案：13考点：棱柱棱锥的体积解析：11111111111C B CD D B CC A B CC C A B C V V V V V ----==== 11111112111333A B C ABC A B C S CC V V -=⨯⨯==△ ∴1213V V =． 10．在平面直角坐标系xOy 中，己知A ，B ，F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）左顶点、上顶点和左焦点（如图），过点F 作x 轴的垂线与椭圆交于M ，N 两点，直线BN 与x轴交于点 D ．若OA ＝2OD ，则椭圆C 的离心率为 ．答案：45考点：椭圆的性质解析：222242(2)52b ac DF NF c a c a a c a OD OB b a -=⇒=⇒-=-⇒=，4e 5=． 11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22n S n =，则1125()nn a a +的最小值为 ． 答案：9考点：等差数列与基本不等式解析：根据22n S n =，求得42n a n =-，12a =，122(4)12525125125()()2222242444n n n n n n a a n n nn n +-+=+=+=+---25(21)262621944n n +-+-=≥=，当且仅当n ＝3时取“＝”．12．已知函数222()1122x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，，，则关于x 的不等式()(1)f x f x -<-的解集为． 答案：(-∞，12-) 考点：函数与不等式解析：根据题意可得函数()f x 在(-∞，1)单调递减，在(1，+∞)单调递增，且13()()22f f =，要使()(1)f x f x -<-，则12x ->，即12x <-， 故不等式()(1)f x f x -<-的解集为(-∞，12-)13．如图，在四边形ABC D 中，AB BC AD DC 0⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，AC BD 4⋅=u u u r u u u r，AB BD 2⋅=-u u u r u u u r，则对角线BD 的长为 ．答案：考点：平面向量数量积解析：由AB BC AD DC 0⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，的∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴四边形ABCD 的外接圆是以AC 为直径的圆，设AC ，BD 的中点分别为O ，E ，则OE ⊥BD ，∴2122()2()2AC BD AO BD AB BE EO BD AB BD BD ⋅=⋅=++⋅=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r结合AC BD 4AC BD=1⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，3AB BD 2AB BD=2⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r ，得2142(2)2BD =-+u u ur ，∴28BD =u u u r ，即对角线BD ＝14．已知函数24()ln(e1)x f x -=+，()2g x x a =+-．若存在a ∈[n ，n+l](n ∈Z)，使得关于x 的方程()()f x g x =有四个不相等的实数解，则n 的最大值为 ． 答案：2考点：函数与方程解析：方程24242()()ln(e 1)2e1e0x x x a f x g x x a --+-=⇔+=+-⇔+-=令242()e1ex x a h x -+-=+-，x R ∈，则显然()h x 为偶函数，所以方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()e1e x x a h x -+-=+-，x ＞0有两个零点， 令2ex t -=，x ＞0，则关于t 的方程2e 10at t -+=，即1e at t=+在(2e -，+∞)内有两个不相等的实根，结合函数1y t t=+，2e t ->的图像，得222e e e a -<<+，即4ln 2ln(e 1)2a <<+-，从而存在∈[n ，n+l]，使得4ln 2ln(e 1)2a <<+-，∴4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+-⎨<+⎩，结合n ∈Z ，得n max ＝2． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，EA ⊥平面ABC ，DC ∥EA ，EA ＝2DC ，F 是EB 的中点．（1）求证：DC ⊥平面ABC ； （2）求证：DF ∥平面ABC ．证明：（1）因为EA ⊥平面ABC ，AB ，AC ⊂平面ABC ，所以EA ⊥AB ，EA ⊥AC ．又DC ∥EA ，所以DC ⊥AB ，DC ⊥AC ． 因为AB I AC ＝A ，AB ，AC ⊂平面ABC ， 所以DC ⊥平面ABC ．（2）取AB 中点M ，连结CM ，FM ．在△ABE 中，F ，M 分别为EB ，AB 中点， FM ∥EA ，且EA ＝2FM ． 又DC ∥EA 且EA ＝2DC ， 于是DC ∥FM ，且DC ＝FM ．所以四边形DCMF 为平行四边形．则DF ∥CM ，CM ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ， 所以DF ∥平面ABC ．16．（本小题满分14分）已知锐角三角形ABC 中，sinC ＝35，sin(A -B)＝15．（1）求证：tanA ＝2tanB ；（2）若AB 边上的高为2，求边AB 的长．解：（1）证明：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以3sin sin()5C A B =+=，即3sin cos cos sin 5A B A B +=，① 又1sin()5A B -=，即1sin cos cos sin 5A B A B -=，② 由①②得，2sin cos 5A B =，1cos sin 5A B = 因为A ，B ≠2π，所以两式相除得， tan A ＝2tan B ． （2）由题意，22tan tan AB A B +=，得3tan AB B=， 在△ABC 中，24cos 1sin 5C C =-=，所以sin 3tan cos 4C C C == 又tan tan tan tan[()]tan()1tan tan A BC A B A B A Bπ+=-+=-+=--23tan 312tan 4B B =-=-， 即22tan 4tan 10B B --=，解得6tan 1B =+， 所以．AB ＝366-．17．（本小题满分14分）如图，某地有一块半径为R 的扇形AOB 公园，其中O 为扇形所在圆的圆心，∠AOB ＝120°，OA ，OB ，»AB为公园原有道路．为满足市民观赏和健身的需要，市政部门拟在»AB上选取一点M ，新建道路O M 及与OA 平行的道路MN （点N 在线段O B 上），设∠AOM ＝θ．（1）如何设计，才能使市民从点O 出发沿道路O M ，MN 行走至点N 所经过的路径最长？请说明理由；（2）如何设计，才能使市民从点A 出发沿道路¼AM，MN 行走至点N 所经过的路径最长？请说明理由．解：（1）由题意知OM ＝OA ＝R ，且0°＜θ≤60°．在△OMN 中，由正弦定理得sin(120)sin 60MN OMθ=︒-︒，于是)MN θ=︒- 从而市民从点O 出发沿道路OM ，MN 行走所经过的路径长())f OM MN R θθ=+=+︒-，0°＜θ≤60° 当12090θ︒-=︒，即θ＝30°时，()f θ取最大值．即当θ＝30°时，市民从点O 出发沿道路OM ，MN 行走所经过的路径最长． （2）市民从点A 出发沿道路AM ，MN 行走所经过的路径长 ())g AM MN R θθθ=+=︒-1sin )2R θθθ=+，0°＜θ≤60°1()cos )30)2g R R θθθθ'=++=-︒当0°＜θ≤60°时，11sin(30)22θ-<-︒≤，从而()0g θ'>恒成立， 所以()g θ在区间(0，3π]上单调递增，所以当θ＝60°时，()g θ取最大值． 即当θ＝60°时，市民从点A 出发沿道路AM ，MN 行走所经过的路径最长．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，己知圆C 经过点(，，)，且与直线0x y +-=相切．（1）求圆C 的方程；（2）设P 是直线l ：x ＝4上的任意一点，过点P 作圆C 的切线，切点为M ，N ．①求证：直线MN 过定点（记为Q ）；②设直线PQ 与圆C 交于点A ，B ，与y 轴交于点D ．若DA QA λ=u u u r u u u r ，DB QB μ=u u u r u u u r，求λ＋µ的值．解：（1）设圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=，由题设，222222()))()a b r a b r r ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨=解得0a =，0b =，2r =，所以圆C 的方程为224x y +=． （2）（i ）设P(4，0y )，因为PM ，PN 是圆C 的两条切线，所以PM ⊥MC ，PN ⊥NC ，所以，P ，M ，N ，C 在以PC 为直径的圆上，该圆方程为22040x y x y y +--=设M(1x ，1y )，N(2x ，2y )，则221110140x y x y y +--=①因为M(1x ，1y )在圆C 上，所以22114x y +=②由①，②得101440x y y +-=，同理202440x y y +-= 由此得直线MN 的方程为0440x y y +-=， 所以直线MN 过定点(1，0)．（ii ）由（i ），Q(1，0)，设直线PQ 的方程为(1)y k x =-，则D(0，﹣k )设A(3x ，3y )，B(4x ，4y )，由22(1)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得2222(1)240k x k x k +-+-=，∴234223422141k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由DA QA λ=u u u r u u u r ，DB QB μ=u u u r u u u r ， 得3344(1)(1)x x x x λμ=-⎧⎨=-⎩，即334411x x x x λμ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，∴33443434342211()1x x x xx x x x x x λμ+-+=+=+---++ 22222222281224233111k k k k k k -+=+=+=--+++．19．（本小题满分16分）设函数1()ln f x ax b x x=+-(a ，b ∈R)． （1）当b ＝﹣1时，函数()f x 有两个极值，求a 的取值范围； （2）当a ＋b ＝1时，函数()f x 的最小值为2，求a 的值；（3）对任意给定的正实数a ，b ，证明：存在实数0x ，当0x x >时，()0f x >．解：（1）当1b =-时，1()ln f x ax x x=++， ∴222111()ax x f x a x x x+-'=-+=， 若函数()f x 有两个极值，则0102140a aa <⎧⎪⎪->⎨⎪+>⎪⎩，解得104a -<<， 故a 的取值范围是(14-，0)， （2）当1a b +=时，1()(1)ln f x ax a x x=+--，∴2211(1)(1)()a x ax f x a x x x -+-'=-+=， 当a ≤0时，()0f x '<，∴()f x 是(0，+∞)上的减函数， ∴函数()f x 无最小值，舍去； 当a ＞0时，由()0f x '>得，1x a>， ∴()f x 在(0，1a )上单调递减，在(1a，+∞)上单调递增， ∴函数()f x 的最小值为1()1(1)ln f a a a a=++-， 由1(1)ln 2a a a ++-=，得(1)(1ln )0a a --=， 解得1a =或e a =，（3）对任意给定的正实数a ，b ，有1()ln ln f x ax b x ax b x x=+->-， 设()ln (ln )g x ax b x ax b x b x x =-=-+-，设ln y x x =-，x ＞0，则1222x y x xx-'=-=， 易知当x ＝4时，min 22ln 20y =->，故ln 0y x x =->，又由0ax b x -≥，得2()b x a≥，对于任意给定的正实数a ，b ，取0x 为2()ba与4中的较大者，则当0x x >时，恒有()0g x >，即当0x x >时，()0f x >．20．（本小题满分16分）己知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且12n n nS a a =+． （1）求证：{}2n S 为等差数列；（2）设(1)nn nb a -=，求{}n b 的前n 项和n T ；（3）求集合221(,),,N 22p m m p T T m p m p *-⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 解：（1）∵12n n nS a a =+，∴221n n n S a a =+， 当n ≥2，N n *∈时，2112()()1n n n n n S S S S S ---=-+，即2211n n S S --=(n ≥2，N n *∈)又n ＝1时，11112S a a =+，得11a =（舍负） ∴{}2n S 是以1为首项，1为公差的等差数列， （2）由（1）知，211n S n n =+-=，又{}n a 是各项都为正数，0n S >，∴n S = 当n ≥2，N n *∈时，1n n n a S S -=-，又11a =，∴n a =N n *∈)，于是(1)nn n b ==-，当n 为奇数时，123n n T b b b b =++++L11)=-+-++-L=当n 为偶数时，123n n T b b b b =++++L11)=-+-+++L=∴(1)n T =-（3）由22122p m m p T T -=得122m p m p -=，即222m p m p⨯=，设2n n n c =，则11111222n n n n n n n nc c ++++--=-=， ∴12345c c c c c =>>>>L ， 由222m p m p ⨯=，2p m m c c c =>，∴m p >，则+1m p ≥， 当+1m p =时，222m p m p⨯=显然不成立； 当+1m p >时，222m pm p ⨯=，则12m p m p --=， 记1m p t --=，则N t *∈，12t p tp ++=，得121t t p +=-， 记121n n n d +=-，则111212102121(21)(21)n n n n n n n n n n d d +++++-⨯--=-=<----恒成立， 故数列{}n d 单调递减， 又12d =，21d =，3417d =<，则n ≥3时，1n d <恒成立， 从而方程121tt p +=-的解为t ＝1，p ＝2或t ＝2，p ＝1， ∴满足条件的m ，p 存在，m ＝4，p ＝1或m ＝4，p ＝2，∴{}221(,),,N (4,1),(4,2)22p m m p T T m p m p *-⎧⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵152A 31-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求点P(1，2)在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q的坐标．解：设A ＝ a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则15 2 1 0 3 10 1a b AA c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以5312053021a b a b c d c d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得1235a b c d =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩，∴A ＝ 1 23 5-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 因为 1 2133 527-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以点P(1，2)在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q 的坐标为(3，﹣7)．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知两条曲线的极坐标方程分别为sin()13πρθ+=与2ρ=，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的极坐标．解：将sin()13πρθ+=20y +-=，将2ρ=化为普通方程为224x y +=，联立22204y x y +-=+=⎪⎩，消y 得，所以x ＝0或x，所以AB 的中点M 的直角坐标为(2，12)， 所以点M 的极坐标为(1，6π)．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝3，a 2＋b 2＋2c 2＝6，求a 的取值范围．解：因为222222162(2)(1)32a b c b c -=+=++ 2222()(3)33b c a ≥+=-， 即25120a a -≤，所以1205a ≤≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PA ＝l ，AB ＝AC ＝2，点D 满足AD AC λ=u u u r u u u r，01λ<<．（1）当12λ=，求二面角P －BD －C 的余弦值； （2）若直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为25，求λ的值．解：（1）三棱锥 P —ABC 中，因为PA ⊥平面 ABC ，所以AP ⊥AB ，AP ⊥AC ，又AB ⊥AC ，所以，可以以{}AB,AC,AP u u u r u u u r u u u r为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A —xyz ．因为PA ＝1，AB ＝AC ＝2，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)所以(0,2,0)AD AC λλ==u u u r u u u r，即D (0,2,0)λ，所以(2,0,1)PB =-u u u r ，(0,2,1)PD λ=-u u u r，设平面PBD 的法向量为1111(,,)n x y z =u r，则1111112020n PB x z n PD y z λ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，取1(,1,2)n λλ=u r ， 当12λ=时，11(,1,1)2n =u r ，又可取2(0,0,1)n =u u r 为平面BDC 的一个法向量，所以1212122cos ,394n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r ， 由图可知二面角P —BD —C 的余弦值为23-， （2）(0,2,1)PC =-u u u r ，平面PBD 的一个法向量为1(,1,2)n λλ=u r，设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则112122sin cos ,515PC n PC n PC n λθλ⋅-=<>==⋅⨯+u u u r u r u u u r u r u u u r u r ， 2222515515λλ-=⨯+，即22940λλ-+=， 解得12λ=或4λ=-， 因为01λ<<，所以12λ=．23．（本小题满分10分）某高速公路全程设有2n (n ≥4，N n *∈)个服务区．为加强驾驶人员的安全意识，现规划在每个服务区的入口处设置醒目的宣传标语A 或宣传标语B ．（1）若每个服务区入口处设置宣传标语A 的概率为23，入口处设置宣传标语B 的服务区有X 个，求X 的数学期望；（2）试探究全程两种宣传标语的设置比例，使得长途司机在走该高速全程中，随机选取3个服务区休息，看到相同宣传标语的概率最小，并求出其最小值．解：（1）因为每个服务区入口处设置宣传标语A 的概率为23， 所以每个服务区入口处设置宣传标语B 的概率为13，所以X~B(2n ，13)，所以12()233E X n n =⨯=． （2）长途司机在走该高速全程中，随机的选取3个服务区，共有32n C 种选取方法．长途司机在走该高速全程中，随机的选取3个服务区， 记这3个服务区看到相同的宣传标语的事件数为M ，则其概率P ＝32nM C ， 设该高速公路全程2n (n ≥4，n N *∈)个服务区中，入口处设置醒目的宣传标语A 的有m (m N ∈，m ≤2n )个，①当323m n ≤≤-时，332m n m M C C -=+， 令332()m n m f m C C -=+，323m n ≤≤-，则当324m n ≤≤-时，3333333312121221(1)()()()m n m m n m m m n m n m f m f m C C C C C C C C +---+---+-=+--=---2221212(1)()2m n m n C C n m ---=-=--所以当1m n ≤-时，(1)()f m f m +<；当m n ≥时，(1)()f m f m +>，所以当m n =时，3min [()]()2n f m f n C ==即3min ()2n M f n C ==，②当3m <，N m ∈时，32n m M C -=，显然33322122n n n C C C -->>，所以33222n m n M C C --=≥，因为4n ≥，所以23n n ->，所以322(22)(23)(24)4(1)(2)(23)66n n n n n n n C -------==，334(1)(2)424n n n n n C C -->=>即32n M C >，当232n m n -<≤，N m ∈时，3m M C =因为232n m n -<≤，N m ∈时，22m n =-，或21m n =-，或2m n =，所以同②，32n M C >，综上，m n =时，3min ()2nM f n C ==，3min min33222242n n n C M n P C C n -===-， 即两种宣传标语1：1设置时，符合题设的概率最小，其最小值为242n n --．。