(江苏专用)高考数学一轮复习加练半小时专题9平面解析几何第72练双曲线文(含解析)

第七节 双曲线一、基础知识1．双曲线的定义 平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ❶(2a ＜|F 1F 2|)的点P 的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF 1|－|PF 2|＝2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 2的双曲线的一支.当|PF 1|－|PF 2|＝－2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 1的双曲线的一支.❷若2a ＝2c ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；若2a ＞2c ，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．3．双曲线的几何性质二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .考点一 双曲线的标准方程[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C. 法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. 法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y 3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. (2)法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b ＝6，所以b ＝3.又由e ＝c a ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C. [答案] (1)C (2)C[题组训练]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 解析：选A 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为 5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 解析：选A 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得ca ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.3．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二 双曲线定义的应用考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程[典例] 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥ 2)．[答案] A[解题技法] 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．考法(二) 焦点三角形问题[典例] 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4. [答案] B [解题技法] 在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF 1|，|PF 2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，|||PF 1|－|PF 2|＝2a 及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S △PF 1F 2＝12·2c ·|y 0|来解决．[题组训练]1．已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 25＝1(y >0) B.x 24－y 25＝1(x >0) C.y 24－x 25＝1(y >0) D.y 24－x 25＝1(x >0) 解析：选B 由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2＝9－4＝5，所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >0)．2．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.考点三 双曲线的几何性质考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[典例] (2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤53，2B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2] D.⎣⎡⎭⎫53，＋∞[解析] 由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53， 即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53，故选B. [答案] B [解题技法] 1．求双曲线的离心率或其范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e . (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳： 离心率，不用愁，寻找等式消b 求；几何图形寻迹踪，等式藏在图形中． 考法(二) 求双曲线的渐近线方程[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0 [解析] 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A. [答案] A [解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B. 3 C ．2D ．2 3解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．已知直线l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是直线l 上一点，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A.233B. 2 C ．2 D.263解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设直线l 的方程为y ＝2x ，设P (x 0，2x 0)．由PF 1―→·PF 2―→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为|2x 0|＝2，故选C.3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B.32C.52D. 5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，所以c 2＝a 2＋52a ＝9，解得a＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.4．(2018·郴州二模)已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y轴的交点为(0,5)，有c ＝5，则m ＋9＝25，得m ＝16，所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.[课时跟踪检测]1．(2019·襄阳联考)直线l ：4x －5y ＝20经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C 的离心率为( )A.53B.35C.54D.45解析：选A 由题意知直线l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c ＝5，b ＝4，∴a ＝3，双曲线C 的离心率e ＝c a ＝53.2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( ) A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D 由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．5．(2018·陕西部分学校摸底)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24B.22 C.28D.216解析：选C 设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12·|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C. 6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a 2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.7．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.解析：由e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54，∴a 2＝16.∵a >0，∴a ＝4. 答案：4 8．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0，得y 2＝12，y ＝±23，故|AB |＝4 3. 答案：4 39．(2018·海淀期末)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.答案：210．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b 2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝ca，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2. 答案：2 11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点 M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1―→·MF 2―→＝0. (3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝±3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213， 所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.。

第72练 双曲线[基础保分练] 1.(2018·盐城质检)经过点A (2，－2)且与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为________.2.(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为________.3.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，若A 为线段F 1F 2的一个三等分点，则该双曲线的离心率为________.4.设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积等于______.5.(2018·无锡模拟)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝________.6.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，焦距为2c ，以A 为圆心，c 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN ＝120°，则C 的离心率为________.7.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E的两个焦点，且2AB ＝3BC ，则E 的离心率是________.8.(2019·苏州模拟)P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其左、右焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1⊥PF 2，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值为________.9.已知O 为坐标原点，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线C 上一点P 满足(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2a 2，则双曲线C 的渐近线方程为____________.10.已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E 的离心率为________.[能力提升练]1.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为________________.2.已知点F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线C 的左支于A ，B 两点，且AF 2＝3，BF 2＝5，AB ＝4，则△BF 1F 2的面积为________.3.已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有公共的左、右焦点F 1，F 2.它们在第一象限交于点P ，其离心率分别为e 1，e 2，以F 1F 2为直径的圆恰好过点P ，则1e 21＋1e 22＝____.4.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过双曲线C 的右焦点F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 与y 轴交于点P ，且FM ＝4PM ，则双曲线C 的离心率为________.5.若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为__________.6.已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为__________.答案精析基础保分练1.y 22－x 24＝1 2. 5 3.3 4.24 5.5＋12解析 根据“黄金椭圆”的性质是FB ⊥AB ，可得“黄金双曲线”也满足这个性质.如图，设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则A (a,0)，B (0，b )，F (－c,0)， FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，∵FB ⊥AB ，∴FB →·AB →＝ac －b 2＝0， ∴ac ＝b 2＝c 2－a 2， ∴e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，∴“黄金双曲线”的离心率e ＝1＋52.6. 27.28.79.y ＝±x解析 根据(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0， 可知OP ＝OF 2＝OF 1， 即△PF 1F 2为直角三角形. 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧mn ＝2a 2，m －n ＝2a ，根据勾股定理得m 2＋n 2＝(m －n )2＋2mn ＝8a 2＝4c 2， 解得c ＝2a ＝2b ，a ＝b ，故双曲线为等轴双曲线，渐近线方程为y ＝±x .10. 2解析 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则BM ＝AB ＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°， ∴M 点的坐标为(2a ，3a ). ∵点M 在双曲线上， ∴4a2a 2－3a2b2＝1，∴a ＝b ， ∴c ＝2a ，e ＝c a＝ 2. 能力提升练 1.x 2－y 23＝1解析 根据题意画出草图如图所示⎝ ⎛⎭⎪⎫不妨设点A 在渐近线y ＝b a x 上. 由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝OF ＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b ax 上， ∴b a＝tan60°＝ 3.又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.2.92解析 ∵AF 2＝3，BF 2＝5，又AF 2－AF 1＝2a ，BF 2－BF 1＝2a ， ∴AF 2＋BF 2－AB ＝4a ＝3＋5－4＝4， ∴a ＝1，∴BF 1＝3，又AF 22＋AB 2＝BF 22，则∠F 2AB ＝90°， ∴sin B ＝35，∴12BF F S △＝12×5×3×sin B ＝12×5×3×35＝92.3.2解析 由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a 1，①P 在第一象限，由双曲线定义，得PF 1－PF 2＝2a 2.②由①②得PF 1＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2， 因为以F 1F 2为直径的圆恰好过点P ， 所以∠PF 1F 2＝90°， 所以PF 21＋PF 22＝(2c )2， 所以(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝4c 2， 所以a 21＋a 22＝2c 2，所以a 21c 2＋a 22c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2.4. 5解析 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝bax ，右焦点为F (c,0).过F 与渐近线垂直的直线为y ＝－ab(x －c ). 设M (x M ，y M )，P (0，y P )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝－abx －c ，可解得x M ＝a 2c ，y M ＝abc，在y ＝－a b(x －c )中，令x ＝0， 可得y P ＝ac b，∵FM ＝4PM ，∴FM →＝4MP →，∴a 2c －c ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 2c ，整理得5a 2＝c 2，则e 2＝5，∴e ＝5，即双曲线C 的离心率为 5. 5.2解析 设双曲线的一条渐近线方程为bx ＋ay ＝0， 则圆心到该直线的距离d ＝|2b |a 2＋b2＝2bc， 根据已知得12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b c 2＝4，即4b 2c 2＝3，所以b 2＝34c 2，所以e ＝ca＝c 2a 2＝c 2c 2－b 2＝2.6.12 6解析 由已知得a ＝1，c ＝3， 则F (3,0)，AF ＝15. 设F 1是双曲线的左焦点， 根据双曲线的定义有PF －PF 1＝2， 所以PA ＋PF ＝PA ＋PF 1＋2≥AF 1＋2 ＝17，即点P 是线段AF 1与双曲线左支的交点时，PA ＋PF ＝PA ＋PF 1＋2最小，即△APF 周长最小， 此时sin∠OAF ＝15，cos∠PAF ＝1－2sin 2∠OAF ＝2325， 即有sin∠PAF ＝4625.由余弦定理得PF 2＝PA 2＋AF 2－2PA ·AF ·cos∠PAF ， 即(17－PA )2＝PA 2＋152－2PA ×15×2325，解得PA ＝10，于是S △APF ＝12PA ·AF ·sin∠PAF ＝12×10×15×4625＝12 6.。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题9 平面解析几何 72 双曲线的定义与标准方程 理2．已知方程x 22－m ＋y 2m －1＝1的图象是双曲线，则m 的取值范围是________．3．已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程为________．4．(2015·天津改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为________． 5．过点(1,1)且b a＝2的双曲线的标准方程是________________．6．(2015·山东滕州第一中学1月期末)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为________．7．(2015·宜宾一模)已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足PF 2－PF 1＝2，当点P 的纵坐标为12时，点P 到坐标原点的距离是________．8．(2015·开封摸底)从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO －MT 与b －a 的关系为________．9．已知圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A (－2,23)，B (32，－5)，则曲线C 一定是________．10．(2015·宝鸡质检)已知双曲线的方程是x 29－y 216＝1，设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上且PF 1·PF 2＝32，则∠F 1PF 2的大小为________．11．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3,0)，则过定点A 且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程是__________________．12．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若PF 1＝17，则PF 2的值为________．13．(2015·扬州二模)圆x 2＋y 2＝4与y 轴交于点A 、B ，以A 、B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左边的交点分别为C 、D ，当梯形ABCD 的周长最大时，此双曲线的方程为________________．14．(2014·天津改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________．答案解析1．一条射线解析 因为PM －PN ＝MN ＝4，所以动点P 的轨迹是以N (2,0)为端点向右的一条射线． 2．m <1或m >2解析 由(2－m )(m －1)<0，得m <1或m >2. 3．x 2－y 24＝1解析 方法一 由题意得，双曲线的另一个焦点F 2的坐标为(5，0)， 点P 的坐标为(5，4)，所以PF 1＝252＋42＝6，PF 2＝4，a ＝6－42＝1，b 2＝c 2－a 2＝4，所以双曲线的方程为x 2－y 24＝1.方法二 由题意得，双曲线的另一个焦点F 2的坐标为(5，0)，点P 的坐标为(5，4)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，52a2－42b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，故双曲线的方程为x 2－y 24＝1.4.x 24－y 23＝1 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7， 由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7，② 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3， 所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1.5.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1 解析 由于b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a2＝1，代入点(1,1)，得a 2＝12.此时双曲线方程为x 212－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 212－x 2＝1.6.x 24－y 212＝1解析 依题意，A (a ，b )，以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)， ∴c ＝4，4－a2＋－b2＝4，又a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b 2＝12， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.7.62解析 由已知可得动点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线的左支，且c ＝2，a ＝1，∴b ＝1， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)．将y ＝12代入上式，可得点P 的横坐标为x ＝－52，∴点P 到原点的距离为 －522＋122＝62. 8．MO －MT ＝b －a解析 设F 1是双曲线的右焦点，连结PF 1， 由双曲线的定义知PF －PF 1＝2a ，① ∵OM 是△FF 1P 的中位线， ∴PF 1＝2OM ，②又∵M 是FP 的中点，∴PF ＝2MF ，③ ②③代入①得2MF －2OM ＝2a ，MF －OM ＝a ，④∵MF ＝MT ＋TF ，TF 2＝OF 2－OT 2＝c 2－a 2＝b 2，∴TF ＝b ， ∴MF ＝MT ＋b ，⑤把⑤代入④得MT ＋b －OM ＝a ，∴OM －MT ＝b －a . 9．双曲线解析 设圆锥曲线C 的方程为x 2m ＋y2n＝1，则⎩⎨⎧4m ＋12n ＝1，94m ＋5n ＝1，解得n ＝－4，m ＝1，所以曲线C 一定是双曲线． 10.π2解析 由双曲线的方程x 29－y 216＝1，得a 2＝9，b 2＝16，c 2＝25， 设∠F 1PF 2＝θ， 在△PF 1F 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos θ＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2·(1－cos θ)， ∵F 1F 2＝2c ＝10，∴100＝36＋64×(1－cos θ)，∴cos θ＝0， ∵θ∈(0，π)，∴θ＝π2，∴∠F 1PF 2＝π2.11．x 2－y 28＝1 (x ≤－1)解析 由题意知PC －PA ＝2<6＝AC ，故点P 的轨迹是以(±3，0)为焦点的双曲线的左支． 所以点P 的轨迹方程是x 2－y 28＝1 (x ≤－1)．12．33解析 由双曲线方程x 264－y 236＝1知，a ＝8，b ＝6，则c ＝a 2＋b 2＝10. ∵P 是双曲线上一点， ∴|PF 1－PF 2|＝2a ＝16， 又PF 1＝17，∴PF 2＝1或PF 2＝33.又PF 2≥c －a ＝2，∴PF 2＝33. 13.y 24－23－x 223＝1 解析 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，C (x ′，y ′)(x ′<0，y ′>0)， BC ＝t (0<t <22)．如图，连结AC ， ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°， 作CE ⊥AB 于E ， 则BC 2＝BE ·BA ， ∴t 2＝4(2－y ′)， 即y ′＝2－14t 2.∴梯形的周长l ＝4＋2t ＋2y ′＝－12t 2＋2t ＋8＝－12(t －2)2＋10，∴当t ＝2时，l 最大． 此时，BC ＝2，AC ＝23，又点C 在双曲线的上支上，且A 、B 为焦点， ∴AC －BC ＝2a ，即2a ＝23－2， ∴a ＝3－1， ∴b 2＝23，∴所求方程为y 24－23－x 223＝1.14.x 25－y 220＝1解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a＝2. 又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上， 所以－2c ＋10＝0，所以c ＝5.由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝20.故双曲线的方程为x 25－y 220＝1.。

高考数学一轮复习 第9章 解析几何9．6双曲线练习（含解析）苏教版一、填空题1．(2012江苏南通高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y 2－x 2＝1的离心率为______．2．(2012江苏南通高三期末考试)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点，双曲线的两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF →与FA →同向，则双曲线的离心率e 的大小为__________．3．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率等于__________．4．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→||MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是__________．5．过双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 与C ，且AB ＝BC ，则双曲线M 的离心率是__________．6．(2012江苏高考名校名师押题卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则b 2＋13a的最小值为______．7．在直角坐标系中，过双曲线x 2－y 29＝1的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝1的一条切线(切点为T )交双曲线右支于P ，若M 为线段FP 的中点，则OM －MT ＝__________.8．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点I 为△PF 1F 2的内心，若1212IPF IPF IF F S S S ＝＋成立，则λ的值为__________．9．A ，B 是双曲线C 的两个顶点，直线l 与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，且与实轴所在直线垂直．若 PB →·AQ →＝0，则双曲线C 的离心率e ＝__________.二、解答题 10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．11.(2013届江苏南京月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1. (1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若MF ＝22，求点M 的坐标；(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积．12．已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件 PM －PN ＝22，记动点P 的轨迹为W . (1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．参考答案一、填空题1. 2 解析：因为a ＝1，b ＝1，所以c ＝2.从而e ＝ 2.2.523. 2 解析：如图所示，在R t △OPF 中，OM ⊥PF 且M 为PF 的中点，所以△OMF 也是等腰直角三角形． 所以有OF ＝2OM ，即c ＝2a . 所以e ＝c a＝ 2.4.x 29－y 2＝1 解析：由MF 1→·MF 2→＝0，可知MF 1→⊥MF 2→.可设|MF 1→|＝t 1，|MF 2→|＝t 2，则t 1t 2＝2.在△MF 1F 2中，t 21＋t 22＝40，∴|t 1－t 2|＝t 21＋t 22－2t 1t 2＝40－4＝6＝2a . ∴a ＝3.∴所求双曲线方程为x 29－y 2＝1.5.10 解析：因为A (－1,0)，所以l 方程为y ＝x ＋1.与两条渐近线方程y ＝±bx 联立，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＋1，b b ＋1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1，b b －1. 又因为AB ＝BC ，所以B 是线段AC 的中点，所以2b b ＋1＝b b －1，解得b ＝3.所以c 2＝a 2＋b 2＝12＋32＝10，e ＝ca＝10.6.233 解析：由于已知双曲线的离心率是2，即2＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2，解得b a ＝ 3.所以b 2＋13a 的最小值是233，当a ＝33时，取等号． 7．2 解析：设双曲线右焦点为F ′，连结PF ′，则OM 是△PFF ′的中位线，所以OM＝12PF ′＝12(PF －2)．又OT ⊥PF ，OF ＝10，OT ＝1，所以FT ＝3，从而OM ＝12(2FM －2)＝FM －1＝3＋MT －1＝2＋MT ，所以OM －MT ＝2.8.a a 2＋b 2 解析：设△PF 1F 2内切圆半径为r ，根据已知可得12×PF 1×r ＝12×PF 2×r ＋λ2×2c ×r ，整理可得PF 1＝PF 2＋2λc ，由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，故2λc ＝2a ⇒λ＝ac＝a a 2＋b 2.9. 2 解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，取其上一点P (m ，n )，则Q (m ，－n )，由PB →·AQ →＝0可得(a －m ，－n )·(m ＋a ，－n )＝0，化简得m 2a 2－n 2a 2＝1，又m 2a 2－n 2b2＝1可得b ＝a ，即此双曲线的离心率为e ＝ 2.二、解答题10．解：(1)因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(4，－10)， 所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， 所以c ＝2 3.所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)． 所以1MF k ＝m 3＋23，2MF k ＝m3－23，1MF k ·2MF k ＝m 29－12＝－m 23. 因为点(3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2＝3.故1MF k 1·2MF k ＝－1，所以MF 1⊥MF 2. 所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底边F 1F 2＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝6.11．解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，设M (x ，y )，则MF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋222. 由点M 是双曲线右支上一点，得x ≥22，所以MF ＝3x ＋22＝22，得x ＝62. 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫62，±2. (2)左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程为y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎝ ⎛x ＝－24，y ＝12.所以所求平行四边形的面积为S ＝OA ·|y |＝24.12．解：(1)由PM －PN ＝22＜MN 知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又半焦距c ＝2，故虚半轴长 b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)．(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，故x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝1＋k 2m 2＋2k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2＞0，所以k 2－1＞0.从而OA →·OB →＞2.综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2.。