(江苏专用)高考数学一轮复习加练半小时专题9平面解析几何第72练双曲线文(含解析)

（江苏专用）高考数学一轮复习加练半小时专题9平面解析几何第72练双曲线文（含解析）

[基础保分练] 1.(2018·盐城质检)经过点A (2，－2)且与双曲线x 22

－y 2

＝1有公共渐近线的双曲线方程为________.

2.(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为________.

3.设双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，若A 为线段F 1F 2的一个三等分点，则该双曲线的离心率为________.

4.设F 1，F 2是双曲线x 2－y 2

24

＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积等于______.

5.(2018·无锡模拟)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝________.

6.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，焦距为2c ，以A 为圆心，c 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN ＝120°，则C 的离心率为________.

7.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2AB ＝3BC ，则E 的离心率是________.

8.(2019·苏州模拟)P 是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其左、右焦点，双曲线

的离心率是54

，且PF 1⊥PF 2，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值为________.

9.已知O 为坐标原点，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线C 上一点P 满足(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2a 2，则双曲线C 的渐近线方程为____________.

10.已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E 的离心率为________.

[能力提升练]

1.已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为________________.

2.已知点F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线C 的左支于A ，B 两点，且AF 2＝3，BF 2＝5，AB ＝4，则△BF 1F 2的面积为________.

3.已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线x 2a 22－y 2

b 22

＝1(a 2>0，b 2>0)有公共的左、右焦点F 1，F 2.它们在第一象限交于点P ，其离心率分别为e 1，e 2，以F 1F 2为直径的圆恰好过点P ，则1e 21＋1e 22

＝____.

4.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，过双曲线C 的右焦点F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 与y 轴交于点P ，且FM ＝4PM ，则双曲线C 的离心率为________.

5.若双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为__________.

6.已知F 是双曲线C ：x 2－y 2

8

＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为__________. 答案精析

基础保分练

1.y 22－x 2

4

＝1 2. 5 3.3 4.24 5.5＋12 解析 根据“黄金椭圆”的性质是FB ⊥AB ，可得“黄金双曲线”也满足这个性质.

如图，设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)， 则A (a,0)，B (0，b )，F (－c,0)，

FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，

∵FB ⊥AB ，∴FB →·AB →＝ac －b 2＝0，

∴ac ＝b 2＝c 2－a 2，

∴e 2－e －1＝0，

解得e ＝1＋52或e ＝1－52

(舍去)， ∴“黄金双曲线”的离心率e ＝1＋52

. 6. 2 7.2 8.7

9.y ＝±x

解析 根据(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，

可知OP ＝OF 2＝OF 1，

即△PF 1F 2为直角三角形.

设PF 1＝m ，PF 2＝n ，

依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ mn ＝2a 2，m －n ＝2a ，

根据勾股定理得m 2＋n 2＝(m －n )2＋2mn ＝8a 2＝4c 2，

解得c ＝2a ＝2b ，a ＝b ，

故双曲线为等轴双曲线，渐近线方程为y ＝±x .

10. 2

解析 不妨取点M 在第一象限，如图所示，

设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)， 则BM ＝AB ＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，

∴M 点的坐标为(2a ，3a ).

∵点M 在双曲线上，

∴4a 2a 2－3a 2

b

2＝1，∴a ＝b ， ∴c ＝2a ，e ＝c a ＝ 2.

能力提升练

1.x 2－y 2

3

＝1 解析 根据题意画出草图如图所示

⎝ ⎛⎭

⎪⎫不妨设点A 在渐近线y ＝b a x 上. 由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝OF ＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，

∴b a ＝tan60°＝ 3.

又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3，

∴双曲线的方程为x 2－y 2

3

＝1.