江苏省最新高考数学二轮复习专题三解析几何3.2大题考法_直线与圆达标训练含解析

高三数学直线与圆复习讲义知 识 梳 理解析几何涉及 直线与圆中的几个重要结论：1、斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2、直线的五种方程（这里只列了常用的三种）（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）截距式1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （3）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3、两条直线间的位置与斜率关系：若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+121212||,l l k k b b ⇔=≠；12121l l k k ⊥⇔=-；1212120l l l l x y k k ⇒+=、倾斜角互补(常见：、关于轴或轴对称)4、圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y )5、两个距离公式：点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离是：0022|0|Ax By C d A B++==+1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=与之间的距离是：1222||C C d A B-=+. （注意：当12l l 、斜率相等求距离时注意化,x y 的系数A,B 为一致） 题 型 分 类题型一 过定点直线系方程在解题中的应用例1．求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的切线的方程．变式训练：过点(4,1)P -作圆22(2)(3)4x y ++-=的切线为l ，求切线l 的方程．总结：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．题型二 过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2．求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等 的直线方程.变式训练：1.直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，求出定点坐标.2．直线(2)310mx m y x +-+-=恒过的定点是 .3．求出方程2(2)210a x ay x a +++++=恒过的定点。

江苏新高考高考对本章内容的考查多以“两小一大”的形式出现，小题多考查双曲线、抛物线、圆的方程与性质，而大题主要考查直线与圆(如2013年、2016年)、直线与椭圆(如2014年、2015年、2017年)的位置关系、弦长问题及范围问题等.第1课时解析几何中的基本问题(基础课)[常考题型突破]1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(2)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.[题组练透]1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为____________．解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，所以k l＝－1k PQ＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝02．(2017·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为__________．解析：由题意，kl 1＝k ，kl 2＝－1k ，则kl 1·kl 2＝k ·⎝⎛⎭⎫－1k ＝－1(k ＝0时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M (0,2)，N (2,0)．∴两条直线的交点在以MN 为直径的圆上．并且k MN ＝－1，可得MN 与直线x －y －4＝0垂直．∴点M 到直线x －y －4＝0的距离d ＝|0－2－4|2＝32为最大值．答案：3 23．(2017·苏州考前模拟)在平面直角坐标系中，已知两点P (0,1)，Q (3,6)，在直线y ＝x 上取两点M ，N ，使得MN ＝2a (其中a >0为定值)，则当PM ＋NQ 取得最小值时，点N 的坐标为________．解析：(1)设点A (1,0)，B (1＋a ，a )，则AB ∥MN ，且AB ＝MN ，所以四边形ABNM 为平行四边形，所以AM ＝BN ，又因为点P 与A 关于直线y ＝x 对称，所以PM ＝AM ，所以PM ＋NQ ＝AM ＋NQ ＝BN ＋NQ ，所以当B ，N ，Q 三点共线时，PM ＋NQ 取最小值为BQ ＝(a －2)2＋(a －6)2.此时BQ 方程为(a －6)x －(a －2)y ＋3a ＋6＝0，与直线y ＝x 联立解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋64，3a ＋64. (2)若设A (1,0)，B (1－a ，－a )，同理可得PM ＋NQ 最小值为(a ＋2)2＋(a ＋6)2，因为a >0，所以(a ＋2)2＋(a ＋6)2>(a －2)2＋(a －6)2，不合题意．综上，PM ＋NQ 取得最小值时点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋64，3a ＋64.答案：⎝⎛⎭⎫3a ＋64，3a ＋64 [方法归纳]求直线方程的两种方法[必备知识]1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．[题组练透]1．(2017·南通一模)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为_______________．解析：设圆心为(a ，b )， 则⎩⎨⎧b －3a·33＝－1，(a －2)2＋()b －32＝a 2＋(b －3)2，解得a ＝1，b ＝0，r ＝2.即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案：(x －1)2＋y 2＝42．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案：(x －2)2＋y 2＝93．与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0外切于原点，且半径为25的圆的标准方程为_______． 解析：由题意，所求圆的圆心在直线y ＝－2x 上，所以可设所求圆的圆心为(a ，－2a )(a <0)，又因为所求圆与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0外切于原点，且半径为25，所以a2＋(－2a)2＝25，可得a2＝4，解得a＝－2或a＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y－4)2＝20.答案：(x＋2)2＋(y－4)2＝20[方法归纳]1．过圆O∶x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.2．过圆O∶x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.3．判断直线与圆的位置关系问题的两种方法(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来判断位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．4．判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O1O2与两圆半径R，r的关系来判断两圆位置关系．(1)外离：O1O2>R＋r；(2)外切：O1O2＝R＋r；(3)相交：R－r<O1O2<R＋r；(4)内切：O1O2＝R－r；(5)内含：0≤O1O2<R－r.[提醒]利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与外切、外离与内含．[题组练透]1．(2017·苏锡常镇二模)已知直线l：mx＋y－2m－1＝0，圆C：x2＋y2－2x－4y＝0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m＝________.解析：由题意得，C(1,2)，直线l：m(x－2)＋y－1＝0恒过定点A(2,1)，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，直线l ⊥CA ，因为直线l 的斜率为－m ，直线CA 的斜率为1－22－1＝－1，所以－m ×(－1)＝－1，即m ＝－1.答案：－12．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π. 答案：4π3．若圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，两圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4与x 2＋y 2＝1相交于相异两点，所以1<4a 2＋(a ＋3)2<3，即⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6a ＋8>0，5a 2＋6a <0，解得－65<a <0.答案：⎝⎛⎭⎫－65，0 4．(2017·扬州考前调研)已知圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0(a 为常数)与直线y ＝x 相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝π3，则实数a ＝________.解析：因为圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，所以C (a,1)，r ＝a 2－1，因为圆C 与直线y ＝x 相交于A ，B 两点，且∠ACB ＝π3，所以32r ＝|a －1|2，且a 2－1>0，解得a ＝－5.答案：－55．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA ―→·PB ―→≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析：设P (x ，y )，则PA ―→·PB ―→＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (x ＋12)＋y (y －6)≤20.又x 2＋y 2＝50，所以2x －y ＋5≤0，所以点P 在直线2x －y ＋5＝0的上方(包括直线上)． 又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1， 结合图象， 可得－52≤x ≤1，故点P 的横坐标的取值范围是[－52，1]． 答案：[－52，1] [方法归纳]1.解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.2.求弦长问题的两种方法(1)利用半径r ，弦心距d ，弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理d 2＋⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2求解；(2)若斜率为k 的直线l 与圆C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[题组练透]1．(2017·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m ＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是__________．解析：由题意得，2m 2＋3m ＝⎝⎛⎭⎫622，所以2m 2＋3m －9＝0，解得m ＝32或－3，因为x 22m 2－y 23m ＝1是双曲线的方程，所以m ＞0，所以m ＝32.所以实数m 构成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫32. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫322.(2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．解析：由题意得，A (a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)，所以B 2F ―→＝(c ，－b )，AB 1―→＝(－a ，－b )，因为B 2F ⊥AB 1，所以B 2F ―→·AB 1―→＝0，即b 2＝ac ，所以c 2＋ac －a 2＝0，e 2＋e －1＝0，又椭圆的离心率e ∈(0,1)，所以e ＝5－12.答案：5－123．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，±32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2， 则F 1(－2,0)，F 2(2,0)， 故四边形F 1PF 2Q 的面积是 12F 1F 2·PQ ＝12×4×3＝2 3. 答案：2 34．(2017·南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)经过抛物线y 2＝8x 的焦点，则该双曲线的离心率为________．解析：因为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)经过抛物线y 2＝8x 的焦点坐标(2,0)，所以a ＝2，在双曲线中，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，所以双曲线的离心率是e ＝c a ＝52.答案：525．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 答案：26．(2017·南京考前模拟)已知椭圆C ：mx 2＋y 2＝1(0＜m ＜1)，直线l ：y ＝x ＋1，若椭圆C 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点P (x 0，y 0)，∵A ，B 在椭圆C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧mx 21＋y 21＝1，mx 22＋y 22＝1，两式相减，整理得m (x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－y 1－y 2x 1－x 2，即－mx 0y 0＝k AB ，故k AB ·k OP ＝－m ，又∵k AB ＝－1，∴k OP ＝m ，∴直线OP 的方程为y ＝mx ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，y ＝x ＋1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1，m m －1，由点P 在椭圆内，∴m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m m －12<1，解得0<m <13，∴离心率e ＝1－b 2a2＝1－m ∈⎝⎛⎭⎫63，1. 答案：⎝⎛⎭⎫63，1[方法归纳][A 组——抓牢中档小题]1．(2017·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1,1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________.解析：因为点M (1,1)在圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5上，圆心与点M 的连线的斜率为2－1－1－1＝－12，所以切线l 的斜率为2，又因为切线l 与直线ax ＋y －1＝0垂直，所以a ＝12. 答案：122．(2017·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，直线2x ＋y ＝0为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为__________．解析：因为直线2x ＋y ＝0为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，所以ba ＝2，所以e ＝1＋b 2a2＝ 5. 答案： 53．(2017·无锡期末)设P 为有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2，若3e 1＝e 2，则e 1＝________.解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，由定义知，不妨设P 在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝2a 1，PF 1－PF 2＝2a 2， 所以PF 1＝a 1＋a 2，PF 2＝a 1－a 2， 因为PF 1⊥PF 2，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝4c 2， 整理得1e 21＋1e 22＝2，又因为3e 1＝e 2，所以e 1＝53. 答案：534．(2017·南京考前模拟)在平面直角坐标系xOy 中，M 为圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝169上任意一点，N 为直线l ：ax ＋y ＋3＝0上任意一点，若以M 为圆心，MN 为半径的圆与圆C 至多有一个公共点，则正数a 的最小值为_________．解析：因为圆M 与圆C 至多有一个公共点， 所以MC ≤⎪⎪⎪⎪MN －43， 即⎪⎪⎪⎪MN －43≥43，解得MN ≥83， 又MN 的最小值为a 2＋4a 2＋1－43， 所以a 2＋4a 2＋1－43≥83， 解得a ≥22，所以正数a 的最小值为2 2. 答案：2 25．以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为________．解析：由题设知，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，因为渐近线与圆相切，故由点到直线的距离公式得bc a 2＋b2＝a ，则a ＝b ，c ＝2a ，故离心率e ＝ 2.答案： 26．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．解析：由题意知△ABC 为等腰直角三角形，且AC ＝BC ＝4，AB ＝42， ∴圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝42－(22)2＝22，∴|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1.答案：－17．(2017·泰州中学月考)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是________．解析：由圆的方程知圆心(2,3)，半径r ＝2， ∵圆心到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |k 2＋1，∴MN ＝2r 2－d 2＝24－4k 2k 2＋1≥23， 解得4k 2≤k 2＋1，即－33≤k ≤33. 答案：⎣⎡⎦⎤－33，33 8．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．解析：由题意知圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，所以圆心(－2,3)到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235∈(4,6)，故满足题意的点P 有2个．答案：29．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，所以e ＝35或e ＝－1(舍去)．答案：3510．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，则圆心A到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c ，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233.答案：23311．若抛物线y 2＝8ax (a >0)的准线经过双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点，则椭圆x 2a 2＋y 2＝1的离心率e ＝________.解析：抛物线y 2＝8ax (a >0)的准线方程为x ＝－2a ，双曲线x 2a2－y 2＝1的焦点坐标为(±a 2＋1，0)，则2a ＝a 2＋1，得a 2＝13，所以椭圆的离心率e ＝1－a 2＝63. 答案：6312．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则PM ＋PF 1的最大值为________．解析：由椭圆定义知PM ＋PF 1＝PM ＋2×5－PF 2， 而PM －PF 2≤MF 2＝5，所以PM ＋PF 1≤2×5＋5＝15. 答案：1513．(2017·苏州张家港暨阳中学月考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为______________．解析：如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，在Rt △PAO 中，PO ＝2，又圆M 的半径等于1，圆心坐标M (a ，a －4)， ∴PO min ＝MO －1，PO max ＝MO ＋1，∵MO ＝a 2＋(a －4)2，∴由a 2＋(a －4)2－1≤2≤a 2＋(a －4)2＋1，解得2－22≤a ≤2＋22. 答案：⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 14．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：4x －3y －2＝0上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与以(4,0)为圆心，R 为半径的圆C 有公共点，则R 的最小值是________．解析：由题意，直线4x －3y －2＝0上至少存在一点A ，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，即AC min ＝1＋R ，因为AC min 即为点C 到直线4x －3y －2＝0的距离，为145，所以R 的最小值是95.答案：95[B 组——力争难度小题]1．(2017·南京考前模拟)在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线x ＝3上一动点，以M 为圆心的圆记为圆M ，若圆M 截x 轴所得的弦长恒为4.过点O 作圆M 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2x ＋y －10＝0的距离的最大值为________．解析：设M (3，t )，P (x 0，y 0)， 因为OP ⊥PM ，所以OP ―→·PM ―→＝0，可得x 20＋y 20－3x 0－ty 0＝0，①又圆M 截x 轴所得的弦长为4，所以4＋t 2＝(x 0－3)2＋(y 0－t )2，整理得x 20＋y 20－6x 0－2ty 0＋5＝0，② 由①②得x 20＋y 20＝5，即点P 在圆x 2＋y 2＝5上，于是P 到直线2x ＋y －10＝0距离的最大值为105＋5＝3 5. 答案：3 52．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．解析：先将圆C 化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，则圆心C (3,0)，半径r ＝2，设过原点O 的动直线l 的方程为y ＝kx ，因为点A 恰为线段OB 的中点，设A (a ，ka )，B (2a,2ka )，得(1＋k 2)a 2－6a ＋5＝0. ①取AB 的中点D ，则D ⎝⎛⎭⎫32a ，32ka ，如图，连结CD ，则CD ⊥AB ，32ka 32a －3＝－1k . ②联立①②，解得a ＝54，k ＝±155，则D ⎝⎛⎭⎫158，±3158，CD ＝364，即圆心C 到直线l 的距离为364.答案：3643．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py 消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22x4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．解析：如图，A (－a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)， 设点M⎝⎛⎭⎫a 2c ，y M . 由k AB 2＝k AM ，得b a ＝y Ma2c ＋a ，所以y M ＝b ⎝⎛⎭⎫a c ＋1.由k FB 1＝k FM ，得b c ＝y Ma2c －c，所以y M ＝b c⎝⎛⎭⎫a2c －c . 从而b ⎝⎛⎭⎫a c ＋1＝b c ⎝⎛⎭⎫a 2c －c ，整理得2e 2＋e －1＝0.解得e ＝12. 答案：12第2课时直线与圆(能力课)[常考题型突破][例1] (2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1,2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．[解] (1)因为圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2,0)，半径为2. 因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－(－1)＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫MN 22，所以4＝(2＋m )22＋2，解得m＝0或m＝－4，故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，因为|2－2|< (2－0)2＋(0－1)2<2＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.[方法归纳]如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.[例2] ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程；(3)求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．[解] (1)设P (2m ，m )，因为∠APB ＝60°，AM ＝1，所以MP ＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解得m ＝0或m ＝45，故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝⎛⎭⎫85，45.(2)易知直线CD 的斜率存在，可设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22， 所以22＝|－2k －1|1＋k 2，解得k ＝－1或k ＝－17，故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0. (3)证明：设P (2m ，m )，MP 的中点Q ⎝⎛⎭⎫m ，m2＋1， 因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为(x －m )2＋⎝⎛⎭⎫y －m 2－12＝m 2＋⎝⎛⎭⎫m2－12， 化简得x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝45，y ＝25.所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0,2)或⎝⎛⎭⎫45，25. [方法归纳]1．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当OP ＝OM 时，求证：△POM 的面积为定值． 解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→＝(2－x,2－y )． 由题设知CM ―→·MP ―→＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)证明：由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于OP ＝OM ，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又OM ＝OP ＝22，O 到l 的距离d 为4105，所以PM ＝2OP 2－d 2＝4105， 所以△POM 的面积为S △POM ＝12PM ·d ＝165.2．已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5,0)，直线l ：x －2y ＝0.(1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBPA 为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．解：(1)设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ， 即2x ＋y －b ＝0. 因为直线与圆C 相切， 所以|－b |22＋12＝3，解得b ＝±3 5.所以所求直线方程为2x ＋y ±35＝0. (2)法一：假设存在这样的点B (t,0)．当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3,0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3,0)时，PB PA ＝|t －3|8.依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)或t ＝－95.下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PBPA 为一常数． 设P (x ，y )，则y 2＝9－x 2，所以PB 2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2(x ＋5)2＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825·(5x ＋17)2·(5x ＋17)＝925.从而PB PA ＝35为常数．法二：假设存在这样的点B (t,0)，使得PBPA 为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，所以(x －t )2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入，得x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)， 即2(5λ2＋t )x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3,3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0.解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)． 故存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为常数35.[例3] (2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M上的两点P 和Q ，使得TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，求实数t 的取值范围．[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15. 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.① 因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.②将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤ [(t ＋4)－6]2＋(3－7)2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]．[方法归纳](2017·镇江调研)已知圆O ：x 2＋y 2＝4交y 轴正半轴于点A ，点B ，C 是圆O 上异于点A 的两个动点．(1)若B 与A 关于原点O 对称，直线AC 和直线BC 分别交直线y ＝4于点M ，N ，求线段MN 长度的最小值；(2)若直线AC 和直线AB 的斜率之积为1，求证：直线BC 与x 轴垂直．解：(1)由题意，直线AC 和直线BC 的斜率一定存在且不为0，且A (0,2)，B (0，－2)，AC ⊥BC .设直线AC 的斜率为k ，则直线BC 的斜率为－1k ，所以直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，直线BC 的方程为y ＝－1k x －2，故它们与直线y ＝4的交点分别为M ⎝⎛⎭⎫2k ，4，N (－6k,4)．所以MN ＝⎪⎪⎪⎪6k ＋2k ≥43，当且仅当k ＝±33时取等号，所以线段MN 长度的最小值为4 3.(2)证明：易知直线AC 和直线AB 的斜率一定存在且不为0，设直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，则直线AB 的方程为y ＝1kx ＋2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋y 2＝4解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋k 2，2(1－k 2)1＋k 2，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋k 2，2(k 2－1)1＋k 2. 因为B ，C 两点的横坐标相等，所以BC ⊥x 轴．[课时达标训练]1．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解：(1)证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋4t2. 设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4， 即△OAB 的面积为定值．(2)因为OM ＝ON ，CM ＝CN ，所以OC 垂直平分线段MN .因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12. 所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝55<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝955> 5. 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，所以t ＝－2不符合题意，舍去．所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.2.如图，已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴交于A ，B 两点，P 是该圆上任意一点，AP ，PB 的延长线分别交直线l ：x ＝2于M ，N 两点．(1)求MN 的最小值；(2)求证：以MN 为直径的圆恒过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)设M (2，t 1)，N (2，t 2)，则由A (－1,0)，B (1,0)，且AM ⊥BN ，得AM ―→·BN ―→＝0，即(3，t 1)·(1，t 2)＝0，所以3＋t 1t 2＝0，即t 1t 2＝－3.所以MN ＝t 1－t 2＝t 1＋(－t 2)≥2－t 1t 2＝2 3.当且仅当t 1＝3，t 2＝－3时等号成立．故MN 的最小值为2 3.(2)证明：由(1)得t 1t 2＝－3.以MN 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －t 1)(y －t 2)＝0，即(x －2)2＋y 2－(t 1＋t 2)y ＋t 1t 2＝0，也即(x －2)2＋y 2－(t 1＋t 2)y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0，(x －2)2－3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3，y ＝0.故以MN 为直径的圆恒过定点(2＋3，0)和(2－3，0)．3．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎫a >－52， 则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d . ∵l 被圆C 1截得的弦长为23，∴d ＝ 22－(3)2＝1.又由点到直线的距离公式得d ＝|－1－7k |1＋k2， ∴k (24k ＋7)＝0，解得k ＝0或k ＝－724， ∴直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，由题意分析可得直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )． ∵圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，∴圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等， 即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k 2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |.∴1＋3k ＋ak －b ＝±(5k ＋4－a －bk )，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5.∵ k 的取值有无穷多个，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0. 解得⎩⎨⎧ a ＝52，b ＝－12或⎩⎨⎧ a ＝－32，b ＝132，故这样的点只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2－32，132. 5.如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，且被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点H (0，t )的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)当t ＝1时，求直线l 的方程；(3)求直线OM 的斜率k 的取值范围．解：(1)因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线y ＝1上． 又圆C 与x 轴的交点分别为A ，B ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π3. 所以CA ＝CB ＝2，圆心C 的坐标为(－2,1)．所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，(x ＋2)2＋(y －1)2＝4，消去y ， 得(m 2＋1)x 2＋4x ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4m 2＋1，y ＝m 2－4m ＋1m 2＋1.不妨令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1，N (0,1)． 因为以MN 为直径的圆恰好经过O (0,0)，所以OM ―→·ON ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1·(0,1)＝m 2－4m ＋1m 2＋1＝0， 解得m ＝2±3，故所求直线l 的方程为y ＝(2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1.(3)设直线OM 的方程为y ＝kx ， 由题意，知|－2k －1|1＋k 2≤2，解得k ≤34. 同理得－1k ≤34，解得k ≤－43或k >0. 由(2)知，k ＝0也满足题意．所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎦⎤0，34. 6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－3,4)，B (9,0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD .(1)若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2)证明：△OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O )．解：(1)因为A (－3,4)，所以OA ＝(－3)2＋42＝5.又因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由BD ＝4，得D (5,0)，所以直线CD 的斜率k ＝0－455－⎝⎛⎭⎫－35＝－17. 所以直线CD 的方程为y ＝－17(x －5)， 即x ＋7y －5＝0.(2)证明：设C (－3m,4m )(0<m ≤1)，则OC ＝5m .所以AC ＝OA －OC ＝5－5m .因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4，所以点D 的坐标为(5m ＋4,0)．设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，(5m ＋4)2＋(5m ＋4)D ＋F ＝0.解得D ＝－(5m ＋4)，E ＝－10m －3，F ＝0，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－(5m ＋4)x －(10m ＋3)y ＝0，整理得x 2＋y 2－4x －3y －5m (x ＋2y )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍去)． 所以△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1)．第3课时椭 圆(能力课)[常考题型突破][例1] (2015·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．[解] (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3， 解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2， C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2， 且AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k 2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)， 从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2). 因为PC ＝2AB ， 所以2(3k 2＋1) 1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.[方法归纳](2017·广州模拟)定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC ＝CB ，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．解：(1)因为点F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内，所以圆N 内切于圆M . 因为NM ＋NF ＝4＞FM ，所以点N 的轨迹E 是以M (－3，0)，F (3，0)为焦点的椭圆，且2a ＝4，c ＝3， 所以b ＝1.所以轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，依题意知，点C 就是椭圆的上、下顶点(或左、右顶点)， 此时S △ABC ＝12·OC ·AB ＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时， 设其斜率为k ，直线AB 的方程为y ＝kx ， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ，可取x 2A ＝41＋4k 2， y 2A ＝4k 21＋4k 2， 所以OA 2＝x 2A ＋y 2A ＝4(1＋k 2)1＋4k 2.由AC ＝CB 知，△ABC 为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC ⊥AB ，所以直线OC 的方程为y ＝－1k x ，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－1k x ，得x 2C ＝4k 2k 2＋4，y 2C＝4k 2＋4， 所以OC 2＝4(1＋k 2)k 2＋4.S △ABC ＝2S △OAC ＝|OA |·|OC |＝4(1＋k 2)1＋4k2·4(1＋k 2)k 2＋4＝4(1＋k 2)(1＋4k 2)(k 2＋4).由于(1＋4k 2)(k 2＋4)≤(1＋4k 2)＋(k 2＋4)2＝5(1＋k 2)2，所以S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4， 即k ＝±1时等号成立， 此时△ABC 面积的最小值是85.因为2＞85，所以△ABC 面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .[例2] (2017·南京考前模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)内一点A (0,1)的动直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，当l 平行于x 轴和垂直于x 轴时，l 被椭圆C 所截得的线段长均为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在与点A 不同的定点B ，使得对任意过点A 的动直线l 都满足AM AN ＝BMBN？若存在，求出定点B 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)当l 垂直于x 轴时，2b ＝22，从而b ＝ 2. 当l 平行于x 轴时，点(2，1)在椭圆C 上， 所以2a 2＋12＝1，解得a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设存在与点A 不同的定点B 满足AM AN ＝BMBN .当l 平行于x 轴时，AM ＝AN ，所以BM ＝BN ，从而点B 在y 轴上，设B (0，t )； 当l 垂直于x 轴时，不妨设M (0，2)，N (0，－2)．由AM AN ＝BMBN 可得|t －2||t ＋2|＝|2－1||2＋1|，解得t ＝1(舍去)或t ＝2，即B (0,2)．下面证明对任意斜率存在且不为0的动直线l 都满足AM AN ＝BMBN . 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 22＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－21＋2k 2.因为AMAN ＝1＋k 2|x 1|1＋k 2|x 2|＝|x 1||x 2|， BMBN＝x 21＋(y 1－2)2x 22＋(y 2－2)2＝x 21＋(kx 1－1)2x 22＋(kx 2－1)2＝(1＋k 2)x 21－2kx 1＋1(1＋k 2)x 22－2kx 2＋1，要证AM AN ＝BM BN ， 只要证|x 1||x 2|＝(1＋k 2)x 21－2kx 1＋1(1＋k 2)x 22－2kx 2＋1，只要证x 21[(1＋k 2)x 22－2kx 2＋1)]＝x 22[(1＋k 2)·x 21－2kx 1＋1)]， 即证2kx 21x 2－2kx 22x 1＋x 22－x 21＝0，即证(x 1－x 2)[2kx 1x 2－(x 1＋x 2)]＝0. 因为2kx 1x 2－(x 1＋x 2)＝2k ×－21＋2k 2－－4k1＋2k 2＝0， 所以AM AN ＝BM BN.所以存在与点A 不同的定点B (0,2)，使得对任意过点A 的动直线l 都满足AM AN ＝BMBN .[方法归纳]1.(2017·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1. (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP 2＋1OQ 2的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a2c －c ＝1，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2， 所以1OP 2＋1OQ2＝1.当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为y ＝kx . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ，得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k 22k 2＋1，所以OP 2＝2k 2＋22k 2＋1.因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1k x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－1k x得x ＝－2k ， 所以OQ 2＝2k 2＋2.所以1OP 2＋1OQ 2＝2k 2＋12k 2＋2＋12k 2＋2＝1.综上，可知1OP2＋1OQ2＝1.。

专题六解析几何第一讲直线和圆——小题备考微专题1直线的方程及应用常考常用结论1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．直线方程常用的三种形式(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)．(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b.(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝12√A2+B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝00√A2+B2.保分题1.[2022·山东潍坊二模]已知直线l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．13B．－13C．3 D．－32．[2022·湖南常德一模]已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·山东济南二模]过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为()A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0提分题例1 [2022·江苏海安二模](多选)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是()A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0听课笔记：技法领悟1．设直线的方程时要注意其使用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．2．已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况．巩固训练1[2022·山东临沂三模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，则其欧拉线方程为________________________．微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆常考常用结论1．圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(−D2，−E2)为圆心，√D2+E2−4F2为半径的圆．2．直线与圆的位置关系22222切线长的计算：过点P向圆引切线P A，则|P A|＝√|PC|2−r2(其中C为圆心)．弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2√r2−d2(其中d为弦心距)．3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，(1)(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．保分题1.[2022·河北石家庄一模]与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是()A．2x＋y＋√5＝0或2x＋y－√5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋√5＝0或2x－y－√5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝02．[2022·北京卷]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝()A．12B．－12C．1 D．－13．[2022·湖北十堰三模]当圆C：x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0的面积最小时，圆C与圆D：x2＋y2＝1的位置关系是________．提分题例2 (1)[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．(2)[2022·山东临沂二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线a2x＋2b2y＋3＝0恒过定点M的坐标为________．听课笔记：【技法领悟】1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程．(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．巩固训练21.[2022·福建德化模拟]已知点A(－2，0)，直线AP与圆C：x2＋y2－6x＝0相切于点P，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗ 的值为()A．－15 B．－9C．9 D．152．[2022·广东梅州二模]已知直线l：y＝kx与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则k的值为()A．√33B．√22C．±√33D．±√22微专题3有关圆的最值问题常考常用结论1．与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离．2．与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如μ＝y−bx−a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题．3．与距离最值有关的常见的结论(1)圆外一点A到圆上距离最近为|AO|－r，最远为|AO|＋r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；(3)直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离d＋r，最小为d－r；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积．(5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．保分题1.圆x2＋y2＋2x－8＝0截直线y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦长为()A．2√7B．2√2C．4√3D．22．[2022·辽宁抚顺一模]经过直线y＝2x＋1上的点作圆x2＋y2－4x＋3＝0的切线，则切线长的最小值为()A．2 B．√3C．1 D．√53．[2022·辽宁辽阳二模]若点P ，Q 分别为圆C ：x 2＋y 2＝1与圆D ：(x －7)2＋y 2＝4上一点，则|PQ |的最小值为________．提分题例3 (1)[2022·广东汕头一模]点G 在圆(x ＋2)2＋y 2＝2上运动，直线x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，则△MNG 面积的最大值是( )A ．10B ．232C ．92D ．212(2)[2022·山东泰安三模](多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0，则下列说法正确的是( )A ．yx的最大值为43B ．yx 的最小值为0C ．x 2＋y 2的最大值为√5＋1D ．x ＋y 的最大值为3＋√2 听课笔记：技法领悟1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．巩固训练31.[2022·北京昌平二模]已知直线l ：ax －y ＋1＝0与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，当a 变化时，△ABC 的面积的最大值为( )A ．1B ．√2C ．2D ．2√22．[2022·辽宁鞍山二模](多选)已知M 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2上的动点，P 为直线l ：x －y ＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是( )A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |的最大值为3√22 D ．|PM |的最小值为√22专题六 解析几何第一讲 直线和圆微专题1 直线的方程及应用保分题1．解析：∵l 1⊥l 2，∴13·(－1a)＝－1⇒a ＝13.答案：A2．解析：若l 1∥l 2，则有－a 2＋4＝0，解得a ＝±2，当a ＝2时，l 1：2x －4y －3＝0，l 2：x －2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 当a ＝－2时，l 1：2x ＋4y ＋3＝0，l 2：x ＋2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 所以若l 1∥l 2，a ＝±2，则“a ＝2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件． 答案：A3．解析：由{x −y =0x +y =2，得x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1，1)，又因为直线平行于向量v ＝(3，2)，所以所求直线方程为y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0. 答案：C提分题[例1] 解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， ∵点A (－2，2)，B (4，－2)到直线的距离相等，∴√k 2+1＝√k 2+1，解得k ＝－23，或k ＝2，当k ＝－23时，直线l 的方程为y －4＝－23(x －3)，整理得2x ＋3y －18＝0， 当k ＝2时，直线l 的方程为y －4＝2(x －3)，整理得2x －y －2＝0. 综上，直线l 的方程可能为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：BC [巩固训练1]解析：设△ABC 的重心为G ，垂心为H ， 由重心坐标公式得x ＝0+2+(−4)3＝－23，y ＝0+4+03＝43，所以G (－23，43)．由题，△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x ＝0，直线BC ：y ＝x ＋4，A (2，0)，所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y ＝－x ＋2， 所以{x =0y =−x +2⇒H (0，2)，所以欧拉线GH 的方程为y －2＝2−430−(−23)x ，即x －y ＋2＝0.答案：x －y ＋2＝0微专题2 圆的方程、直线与圆、圆与圆保分题1．解析：由题得直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，所以所求的直线的斜率为2，设所求的直线方程为y ＝2x ＋b ，∴2x －y ＋b ＝0. 因为所求直线与圆相切，所以1＝√4+1，∴b ＝±√5.所以所求的直线方程为2x －y ＋√5＝0或2x －y －√5＝0. 答案：C2．解析：因为直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，所以直线2x ＋y －1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a ，0)，所以2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.答案：A3．解析：由x 2＋y 2－4x ＋2ky ＋2k ＝0，得(x －2)2＋(y ＋k )2＝k 2－2k ＋4＝(k －1)2＋3， 当k ＝1时，(k －1)2＋3取得最小值，此时，圆心坐标为(2，－1)，半径为√3.因为|CD |＝√22+(−1)2＝√5，√3－1<√5<√3＋1，所以两圆相交． 答案：相交提分题 [例2] 解析：(1)因为k AB ＝a−32，所以直线AB 关于直线y ＝a 对称的直线方程为(3－a )x－2y ＋2a ＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以√4+(3−a )2≤1，整理，得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32.(2) 解析：由C 1：x 2＋y 2＝1和C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝1可得公共弦所在直线方程为x 2＋y 2－[(x −a )2+(y −b )2]＝0，即2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，由公共弦AB 的长为1可得直线2ax ＋2by －a 2－b 2＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交弦长即为1，又圆心到直线的距离22√4a 2+4b 2＝√a 2+b 22，故2√1−(√a 2+b22)2＝1，即a 2＋b 2＝3，故直线a 2x＋2b 2y ＋3＝0，可化为a 2x ＋(6－2a 2)y ＋3＝0，整理得a 2(x －2y )＋6y ＋3＝0，由{x −2y =06y +3=0，解得{x =−1y =−12，故定点M 的坐标为(−1，−12). 答案：(1)[13，32] (2)(−1，−12) [巩固训练2]1．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为C (3，0)，半径为3，即|CP⃗⃗⃗⃗ |＝3， 由圆的几何性质可知AP ⊥CP ，所以，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ 2＝−|CP ⃗⃗⃗⃗ |2＝－9. 答案：B2．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心为C (3，0)，半径为2， 由题意可知，圆心C 到直线l 的距离为d ＝2sin π3＝√3， 由点到直线的距离公式可得d ＝√k 2+1＝√3，解得k ＝±√22.答案：D微专题3 有关圆的最值问题保分题1．解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝32， 故圆心为(－1，0)，半径为r ＝3.(0＋1)2＋12＝2<32，所以点(0，1)在圆x 2＋y 2＋2x －8＝0内，(0，1)和(－1，0)的距离为√(−1)2+(−1)2＝√2，根据圆的几何性质可知，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0截直线y ＝kx ＋1(k ∈R )所得的最短弦长为2√32−(√2)2＝2√7.答案：A2．解析：直线y ＝2x ＋1上任取一点P (x 0，y 0)作圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的切线，设切点为A ，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，圆心C (2，0)，r ＝1， 切线长为√|PC|2−r 2＝√|PC|2−1， |PC |min ＝√22+(−1)2＝√5，所以切线长的最小值为√(√5)2−1＝2.答案：A3．解析：因为|CD |＝7>1＋2，所以两圆相离，所以|PQ |的最小值为7－1－2＝4. 答案：4提分题 [例3] 解析：(1)易知点M (3，0)、N (0，－3)，则|MN |＝√32+32＝3√2， 圆(x ＋2)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－2，0)，半径为√2， 圆心到直线x －y －3＝0的距离为√2＝5√22， 所以，点G 到直线x －y －3＝0的距离的最大值为5√22+√2＝7√22， 所以，△MNG 面积的最大值是12×3√2×7√22＝212. (2)由实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可得点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上，作其图象如下，因为yx 表示点(x ，y )与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线OB 方程为y ＝kx ，则圆心(2，1)到直线OB 的距离d ＝√k 2+1＝1，解得：k ＝0或k ＝43，∴yx ∈[0，43]，∴(yx )max ＝43，(yx )min ＝0，A ，B 正确；x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的最大值为|OC |＋1，所以x 2＋y 2的最大值为(|OC |＋1)2，又|OC |＝√22+12， 所以x 2＋y 2的最大值为6＋2√5，C 错，因为x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故可设x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ，所以x ＋y ＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋√2sin (θ＋π4)，所以当θ＝π4时，即x ＝2＋√22，y ＝1＋√22时x ＋y 取最大值，最大值为3＋√2，D 对．答案：(1)D (2)ABD [巩固训练3]1．解析：因为直线l ：ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，r ＝2，所以△ABC 的面积的最大值为： S ＝12|CA ||CB |sin ∠ACB ＝12r 2sin ∠ACB ≤12r 2＝12×4＝2.2．解析：圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心C (－1，0)，半径r ＝√2， ∵圆心C (－1，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝√12+(−1)2＝3√22>r ， ∴直线l 与圆C 相离， A 不正确，B 正确； |PM |≥|PC |－r ≥d －r ＝√22， C 不正确，D 正确． 答案：BD。

14 个填空题专项加强练 (十一 )直线与圆A 组——题型分类练题型一直线的方程1．已知直线 l： ax＋ y－ 2－ a＝ 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值为 ________．分析：由题意可知 a≠ 0.当 x＝ 0 时， y＝ a＋ 2.a＋ 2当 y＝0 时， x＝a .a＋ 2因此a＝ a＋ 2，解得 a＝－ 2 或 a＝ 1.答案：－2或 12．将直线 y＝ 3x 绕原点逆时针旋转 90°，再向右平移 1 个单位，所获得的直线方程为________________ ．分析：将直线 y＝ 3x 绕原点逆时针旋转90°获得直线 y＝－1x，再向右平移 1 个单位，31所得直线的方程为y＝－3(x－ 1)，即 x＋ 3y－ 1＝ 0.答案： x＋ 3y－ 1＝ 03．若直线y＝ 2x＋ 10，y＝ x＋ 1， y＝ ax－ 2 交于一点，则a＝ ________.分析：直线 y＝ 2x＋ 10 与 y＝ x＋ 1 的交点坐标为(－ 9，－ 8)，代入 y＝ ax－ 2，得－ 8＝ a·(－29)－ 2，解得 a＝3.答案：234．点 A(1,1)到直线 xcos θ＋ ysin θ－ 2＝ 0 的距离的最大值为________．分析：由点到直线的距离公式，得d＝ |cosθ＋ sin θ－ 2|＝2－2sinθ＋π，cos2θ＋ sin2θ4又θ∈ R，因此 d max＝ 2＋ 2.答案： 2＋ 2题型二圆的方程1．已知方程 x2＋ y2＋ 2kx＋ 4y＋ 3k＋ 8＝ 0 表示一个圆，则实数 k 的取值范围是________．分析：由 (2k)2＋ 42－ 4(3k＋8) ＝4(k2－ 3k－ 4)>0 ，解得 k<－ 1 或 k>4.答案： (－∞，－ 1)∪ (4，＋∞ )2．圆心在y 轴上且过点 (3,1) 的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是________．分析：设圆心为 (0， b)，半径为r，则 r＝ |b|，因此圆的方程为x2＋ (y－ b)2＝ b2.因为点 (3,1)在圆上，因此 9＋ (1－ b)2＝ b2，解得 b＝ 5.因此圆的方程为 x2＋ (y－ 5)2＝ 25.答案： x2＋ (y－ 5)2＝ 253．已知圆 x2＋ y2＋ 2x－ 4y＋ a＝ 0 对于直线 y＝ 2x＋ b 成轴对称图形，则a－ b 的取值范围是 ________．分析：由题意知，直线y＝ 2x＋ b 过圆心，而圆心坐标为 (－ 1,2)，故 b＝ 4，圆的方程化为标准方程为 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 5－ a，因此 a<5，由此，得 a－ b<1.答案： (－∞， 1)4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 C1： (x－ 4)2＋ (y－ 8)2＝ 1，圆 C2： (x－ 6)2＋ (y＋6)2＝ 9.若圆心在 x 轴上的圆 C 同时均分圆C1和圆 C2的圆周，则圆 C 的方程是 ____________ ．分析：法一：设圆 C 的半径为r，圆心坐标为C(a,0)．2222同理可得r ＝ CC2＋ 9，即 (a－ 4)2＋ 82＝ (a－ 6)2＋ 62＋ 8，解得 a＝ 0，进而得 r2＝ CC21＋ 1＝ 42＋ 82＋ 1＝ 81，故圆 C 的方程为x2＋ y2＝ 81.222法二：设圆 C 的方程为： (x－ a) ＋ y ＝ r .则圆 C 与 C1的公共弦方程为22(2a－ 8)x－ 16y＋ 79＋ r － a ＝ 0.(*)因此直线 (*) 经过圆 C1的圆心，即 a2－ 8a－ r2＋ 81＝0.①同理，由圆 C 均分圆 C2的圆周，得a2－ 12a－ r2＋ 81＝ 0，②联立①②得a＝ 0， r2＝ 81.故圆 C 的方程为x2＋ y2＝ 81.答案： x2＋ y2＝ 81题型三直线与圆、圆与圆的地点关系1．若直线l1： y＝ x＋ a 和直线l2： y＝ x＋ b 将圆 (x－ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 8 分红长度相等的四段弧，则a2＋ b2＝ ________.分析：不如设a>b，由题意可知，每段圆弧的圆心角为90°，故弦心距为2，进而由|1－ 2＋a|＝ 2 及 |1－ 2＋ b|＝ 2，得 a ＝ 22＋ 1， b ＝－ 2 2＋ 1，故 a 2＋ b 2＝ 18.22答案： 182．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,0)，B(4,0)．若直线 x － y ＋ m ＝ 0 上存在点 P 使得 1PA ＝ 2PB ，则实数 m 的取值范围是 ________．1 22 1 2222＝ 4. 分析： 设 P(x ， y)，则由 PA ＝ PB 可得 (x － 1)＋ y＝ [( x － 4)＋ y ]，化简得x ＋ y24又点 P 在直线 x － y ＋ m ＝ 0 上，则直线 x － y ＋ m ＝ 0 与圆 x 2＋ y 2＝ 4 有公共点，|m|≤ 2，解得2－ 2 2≤ m ≤ 2 2.答案： [－2 2，2 2 ]3．过点 P(－ 4,0)的直线 l 与圆 C ： (x － 1) 2＋ y 2＝ 5 订交于 A ， B 两点，若点 A 恰巧是线段 PB 的中点，则直线 l 的方程为 ________．分析： 依据题意，因为 (－ 4－1) 2 >5，因此点 P 在圆 C 外，过圆心 C 作 CM ⊥AB 于 M ，连接 AC.易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝ k(x ＋ 4)，即 kx － y ＋ 4k ＝ 0，则 CM|k ＋ 4k| |5k||5k|25－ 20k 2＝ k 2＋ 1＝k 2＋ 1，AM＝5－k 2＋ 1 ＝k 2 ＋ 1 .又点 A 恰巧是线段 PB 的中点，2 2 2 25k 2 45－ 180k 2 2因此 PM ＝ 3AM ，在Rt △ PMC 中， CM ＋ PM ＝PC ，即 k 2＋ 1＋ k 2＋ 1 ＝ 25，得 180k1＝ 20，即 k ＝ ± ，故直线l 的方程为x ±3y ＋ 4＝ 0.3答案： x ±3y ＋ 4＝ 04．在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0，－ 2)，点 B(1，－ 1)， P 为圆 x 2＋ y 2＝ 2 上PB一动点，则PA 的最大值是 ________．分析： 法一：设点 P(x ， y) ，则 x 2＋ y 2＝ 2，222因此PB2＝x － 1 ＋ y ＋ 122PA x ＋ y ＋ 2＝x 2＋ y 2－ 2x ＋ 2y ＋2 － 2x ＋ 2y ＋ 4－ x ＋ y ＋ 222＝4y ＋ 6＝，x ＋ y ＋ 4y ＋ 4 2y ＋ 3－ x ＋ y ＋ 2令 λ＝，2y ＋ 3则 x ＋ (2λ－ 1)y ＋ 3λ－ 2＝ 0，由题意，直线 x ＋ (2λ－ 1)y ＋ 3λ－ 2＝ 0 与圆 x 2＋ y 2＝2 有公共点，|3λ－ 2|因此2≤2，解得 0<λ≤ 4，1＋ 2λ－ 1因此PB的最大值为 2.PA法二 ：当 AP 不与圆相切时，设 AP 与圆的另一个交点为D ，由条件 AB 与圆 C 相切，则∠ ABP ＝∠ ADB ， 因此△ ABP ∽△ ADB ，因此 PB ＝ BD ＝BD ≤22＝ 2，PA BA22因此PB的最大值为 2.PA答案：2B 组 —— 高考加速练1．经过点 P(－ 5 ，－ 4) ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5 的直线方程是________________ ．分析： 由题意设所求方程为＋ ＝ k(x ＋ 5) ，即 － ＋－ ＝ 0. 由14－ 5 ＝y 4kx y5k 42 ·|5k － 4| ·k8或 k ＝ 2，故所求直线方程为8x － 5y ＋ 20＝ 0 或 2x － 5y － 10＝ 0.5，得 k ＝ 5 5答案： 8x － 5y ＋ 20＝ 0 或 2x － 5y － 10＝ 02．直线 l 经过 P(－ 4,6)，与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，当 P 为 AB 中点时，则直线l的方程为 ________．分析： 因为 P(－ 4,6)是 A ， B 的中点，则由题意可知A(－ 8,0)，B(0,12) ，由直线的截距式得 －x8＋12y＝ 1，即 3x － 2y ＋ 24＝ 0.答案 ： 3x － 2y ＋ 24＝ 03．已知圆 C ： x 2＋ y 2＋ mx － 4＝ 0 上存在两点对于直线 x － y ＋ 3＝ 0 对称，则实数m 的值是 ________．分析： 因为圆上两点 A ， B 对于直线 x － y ＋ 3＝ 0 对称，因此直线 x － y ＋ 3＝ 0 过圆心 －m， 0 ，进而－m＋ ＝ ，即＝23 0 m 6.2答案： 64．已知直线 x ＋ y － a ＝ 0 与圆 C ： (x － 2) 2＋ (y ＋ 2)2＝ 4 订交于 A ，B 两点，且△ ABC 为等腰直角三角形，则实数 a ＝ ________.分析： 由题意得圆的圆心为C(2，－ 2)，半径为 2，由△ ABC 为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离为2，因此 |2－ 2－ a|＝2，因此 a ＝ ±2.2答案： ±2高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(十一)直线与圆Word版含解析5．已知直线22＝ 4交于 A， B两点，则弦 AB 的长度为l ：x＋ 3y－ 2＝ 0 与圆 C： x＋ y____________．分析：圆心到直线l ： x＋3y－ 2＝ 0 的距离是 d＝|0＋0－2|＝ 1，因此弦 AB 的长度12＋ 3 2为 222－ 12＝ 2 3.答案：2 36．过坐标原点且与圆x2－ 4x＋ y2＋ 2＝ 0 相切的直线方程为________．分析：圆 x2－ 4x＋ y2＋ 2＝ 0 的圆心为 (2,0) ，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直设斜率为k，则直线方程为 y＝ kx，则|2k|＝ 2，k2＋12因此 k ＝ 1，因此 k＝±1，因此直线方程为y＝±x.7．已知圆C：x2＋ y2－ 4x－ 2y－ 20＝ 0，直线 l： 4x－ 3y＋ 15＝ 0 与圆 C 订交于 A， B 两点， D 为圆 C 上异于 A，B 两点的任一点，则△ABD 面积的最大值为__________ ．分析：因为圆 C 的标准方程为(x－ 2)2＋ (y－ 1) 2＝ 25，因此圆心C(2,1)，半径r＝ 5，所以圆心 C 到直线 l： 4x－ 3y＋ 15＝ 0 的距离为 d＝|4×2－3×1＋15|＝ 4，因此 AB＝ 2 r2－ d2 42＋－3 2＝ 225－ 16＝ 6，因为 D 为圆 C 上异于 A，B 两点的任一点，因此 D 到直线 AB 即直线 l：14x－ 3y＋ 15＝ 0 的距离的最大值为d＋ r＝ 9，因此△ ABD 面积的最大值为2× 6× 9＝ 27.答案：278．设△ ABC 的一个极点是A(3，－ 1)，∠ B，∠ C 的均分线方程分别为x＝ 0， y＝ x，则直线 BC 的方程是 ________．分析：点 A(3，－ 1)对于直线 x＝ 0， y＝ x 的对称点为A′ (－ 3，－ 1)， A″ (－ 1,3)且都在直线 BC 上，故得直线 BC 的方程为 2x－ y＋ 5＝ 0.答案： 2x－ y＋ 5＝ 09．已知点 P(t,2t)(t≠ 0)是圆 C： x2＋ y2＝ 1 内一点，直线tx＋ 2ty＝ m 与圆 C 相切，则直线 l： x＋ y＋ m＝ 0 与圆 C 的地点关系是 ________．分析：由点 P(t,2t)(t≠ 0)是圆 C： x2＋ y2＝ 1 内一点，得5|t|<1.因为直线 tx＋2ty＝ m 与圆 C 相切，因此|m|＝1，因此 |m|<1.圆 C： x2＋ y2＝ 1 的圆心 (0,0)到直线 x＋ y＋ m＝0 的距5|t|离 d＝|m|<1＝ r.因此直线 l 与圆 C 的地点关系为订交．2答案：订交10．已知过点P(m,1)的直线与圆C： x2＋ y2－ 4x－ 6y＋ 8＝ 0 订交于点A， B，且 AB＝ 2的直线只有一条，则该直线的方程为________．分析：圆C 的标准方程为(x－ 2)2＋ (y－ 3)2＝ 5，又由题意，直线AB与直线CP 垂直，CP2＋ 1＝ 5，解得 CP＝ 2，则 (m－ 2) 2＋ 4＝ 4，解得 m＝ 2，即 P(2,1) ，直线 CP： x＝ 2，因此直线 AB 的方程为 y＝ 1.答案： y＝ 111．在平面直角坐标系22＝ 5交于 A， B 两点，xOy 中，过点 M (1,0) 的直线 l 与圆 x＋ y此中 A 点在第一象限，且―→―→，则直线 l 的方程为 _________．BM＝2MA分析：由题意，设直线 l 的方程为x＝ my＋ 1，与圆 x2＋ y2＝ 5 联立，可得 (m2＋ 1)y2＋ 2my －4＝0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则－ y2＝ 2y1， y1＋ y2＝－2m， y1y2＝－4，22m ＋ 1m ＋ 1联立解得m＝ 1，∴直线l 的方程为 x－ y－ 1＝ 0.答案： x－ y－ 1＝ 012．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 C 的方程为 (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 2，若直线l 与圆C 相切，且与 x 轴， y 轴的正半轴分别交于点A， B，则 AB 的最小值是 ________．1＋1－ 1分析：法一：设直线 l 的方程为x＋y＝ 1(a>0，b>0) ．因为直线 l 与圆 C 相切，因此ab1a b1a2＋b2＝2，即2＋1＝21111≥ 4 ＋2，因此 ab≥ 16，当且仅当 a＝ b＝ 4 时取等号，＋＋2＋2ab a b a b ab ab因此 (ab)min＝ 16.又 AB＝ a2＋ b2≥ 2ab≥ 42，当且仅当 a＝ b＝ 4 时取等号，因此 AB 的最小值为 4 2.法二：由题意联合图形可知，当直线 l 的斜率为－ 1 时，AB 获得最小值．设直线 l 的方程为 x＋ y－ b＝ 0(b>0)，由直线l 与圆 C 相切得，|2－b|＝2，即 b＝ 4.因此 AB 的最小值为24 2.答案：4 213．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O： x2＋ y2＝1，圆 M ： (x＋ a＋ 3) 2＋ (y－ 2a) 2＝ 1(a 为实数 )．若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得∠ OQP＝ 30°，则 a 的取值范围为 ________．分析：过 Q 作圆 O 的切线 QR，切点为R，依据圆的切线性质，有∠OQR≥∠ OQP＝ 30°；反过来，假如∠OQR≥ 30°，则存在圆O 上的点 P，使得∠ OQP ＝ 30° .因此，若圆O 上存在点P，使得∠ OQP＝ 30°，则∠ OQR ≥ 30° .因为 OP＝ 1，因此 OQ ＞ 2 时不建立，因此OQ ≤ 2，22即点 Q 在圆面 x ＋ y ≤ 4 上．又因为点Q 在圆 M 上，2222因此圆 M ： (x＋ a＋ 3) ＋ (y－ 2a) ＝1 与圆面 x ＋ y ≤4 有公共点，因此OM ≤ 3.因此 (0＋ a＋ 3)2＋ (0－ 2a)2≤ 9，解得－6≤a≤ 0. 5答案：－6，0 514．已知 P 是直线 x＋ y＋ 3＝0 上的动点， PA，PB 是圆 x2＋ y2－ 4x－ 2y＋ 4＝0 的切线，A， B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 的面积的最小值是 ________．分析：法一：设点 P(a， b)，则 a＋ b＋ 3＝ 0.由题意，圆x2＋ y2－ 4x－ 2y＋ 4＝ 0 的圆心是 C(2,1)，半径为 1.因为 PA＝ PB，因此四边形PACB 的面积1S＝ ( PA＋ PB)＝ PA，因此 PA 2最小时，四边形 PACB 的面积最小．又 PA＝PC2－ 1，因此 PC 最小时， PA 最小．又 PC ＝ a－ 2 2＋ b－ 1 2＝ a－ 22＋－ 4－ a 2＝2a2＋ 4a＋ 20＝ 2 a＋ 1 2＋ 18，因此当 a＝－1， b＝－ 2 时， PC 有最小值 32，因此 PA 的最小值为17.因此四边形PACB 的面积的最小值是 17.法二：由题意，圆 x2＋ y2－ 4x－ 2y＋ 4＝ 0 的圆心是C(2,1)，半径为1.因为 PA＝ PB，所以四边形 PACB 的面积 S＝1(PA＋ PB)＝ PA，因此 PA 最小时，四边形 PACB 的面积最小．又2PA＝PC2－ 1，因此 PC 最小时， PA 最小．又 (PC) min＝2＋1＋3＝ 3 2，因此 (PA) min＝17，2因此四边形PACB 的面积的最小值是17.答案：17。

第9讲 直线与圆历年高考分析：综合近年来的高考试卷可以看出，高考对解析几何的考查要求也有了很大的变化，其中对直线方程、圆的方程的考查要求加强了.近几年高考对圆锥曲线的考查仍然势头不减，在填空题中有1～2道，另外还有一道涉及直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识的综合性解答题.预测在2014年的高考题中：(1)如果解答题中没有涉及直线与圆的综合问题，则在填空题中必定出现直线与圆的较难问题，反之会考查直线与圆的基本问题如直线方程的求解，简单位置关系的判断.(2)在解答题中，由于直线方程和圆的方程均为C 级要求，可能出现以椭圆或抛物线为背景的直线与圆的综合问题如定点问题、最值问题等.例1：若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝________.例2：若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为________． 解析：化圆为标准形式(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1.例3：“a ＝－1”是“直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直”的________条件．解析：若直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直，则a ×3＋(2a －1)×a ＝0，解得a ＝0或a ＝－1. 故a ＝－1是两直线垂直的充分而不必要条件．例4：(2013·南京期初调研卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y ＋1＝0相切，则圆C 的半径为________．解析：由题意可设圆心为(2，b )，半径r ＝b 2＋1，b >0，则|3－b |2＝b 2＋1，解得b ＝1或b ＝－7(舍去)．则r ＝ 2.例5：设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________．[解析] 由题意可设圆心A (a ，a )，如图，则22＋a 2＝2a 2解得a ＝±2，r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.例6：(2012·泰州期末)过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，则r 1r 2＝________. 解析：由题意得，满足与x 轴，y 轴都相切的圆的圆心在第一象限， 设圆心坐标为(a ，a )，则半径r ＝a ， ∴圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2， 又C (3,4)在此圆上，∴将C 的坐标代入得(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，整理得a 2－14a ＋25＝0， ∵r 1，r 2分别为a 2－14a ＋25＝0的两个解，∴r 1r 2＝25.例7：(2012·盐城二模)过圆x 2＋y 2＝4内一点P (1,1)作两条相互垂直的弦AC ，BD ，当AC ＝BD 时，四边形ABCD 的面积为________．解析：过圆心O 向AC ，BD 引垂线，则构成一个正方形，则O 到AC ，BD 距离为1，则AC ＝BD ＝23，则四边形ABCD 的面积为6.例8：过点P ()12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____________．解析：验证知点P ()12，1在圆内，当∠ACB 最小时，直线l 与CP 垂直，由圆的方程，圆心C (1,0) ∵k CP ＝1－012－1＝－2，∴k ＝12.∴l 的方程为y －1＝12()x －12，整理得2x －4y ＋3＝0.典例1：(1)经过抛物线y 2＝4x 的焦点且平行于直线3x －2y ＝0的直线l 的方程是________．(2)一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为________． [解析] (1)∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，直线3x －2y ＝0的斜率是32，∴直线l 的方程是y ＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0.(2)取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )．则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝5.∴B (3,5)．联立方程，得⎩⎨⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4.∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1,4)，∴反射光线在经过点B (3,5)和点P (1,4)的直线上，其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)， 整理得x －2y ＋7＝0.(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0，垂直的直线方程可设为Bx -Ay ＋C 2＝0. (2)两点关于直线l 对称时，两点的中点在l 上，且两点连成的直线与l 垂直．典例2：已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析：由题可知，设圆心的坐标为(a,0)(a >0)，设圆C 的半径为|a －1|，圆心到直线l 的距离为|a －1|2，根据勾股定理可得，⎝⎛⎭⎫|a －1|22＋(2)2＝|a －1|2，解得a ＝3或a ＝－1(舍去)，所以圆C 的圆心坐标为(3,0)，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为x ＋y －3＝0.本题考查求圆的方程的基本方法：待定系数法，求解时可结合圆形利用圆的几何性质建立关于参数的方程求解．典例3：(2012·南通三模)若动点P 在直线l 1：x －y －2＝0上，动点Q 在直线l 2：x －y －6＝0上，设线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且(x 0－2)2＋(y 0＋2)2≤8，则x 20＋y 20的取值范围是________．解析：设点P (x 1，y 1)满足x 1－y 1－2＝0，点Q (x 2，y 2)满足x 2－y 2－6＝0， 两式相加得，点M (x 0，y 0)，轨迹是直线x 0－y 0－4＝0.则y 0＝x 0－4，代入(x 0－2)2＋(y 0＋2)2≤8，得(x 0－2)2＋(x 0－2)2≤8，解得0≤x 0≤4，所以x 20＋y 20＝x 20＋(x 0－4)2＝2(x 0－2)2＋8∈[8,16]．典例4：已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM u u u u r ＝OA u u u r ＋OB uuu r(O为坐标原点)，则实数k ＝________.解析：结合图形可知，当A ，B ，M 均在圆上时，平行四边形OAMB 的对角线OM ＝2，此时四边形OAMB 为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离等于1.即d ＝1k 2＋1＝1，解得k ＝0.典例5：在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________． 解析：圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC ＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)．故EF ＝5，∴BD ＝210－52＝25，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝10 2.典例6：(2012·南通一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1. (1)若过点C 1(－1,0)的直线l 被圆C 2截得的弦长为65，求直线l 的方程；(2)设动圆C 同时平分圆C 1的周长、圆C 2的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． [解] (1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.因为直线l 被圆C 2截得的弦长为65，而圆C 2的半径为1，所以圆心C 2(3,4)到l ：kx －y ＋k ＝0的距离为|4k －4|k 2＋1＝45.化简，得12k 2－25k ＋12＝0，解得k ＝43或k ＝34.所以直线l 的方程为4x －3y ＋4＝0或3x －4y ＋3＝0. (2)①证明：设圆心C (x ，y )，由题意，得CC 1＝CC 2，即x ＋12＋y 2＝x －32＋y －42，化简得x ＋y －3＝0，即动圆圆心C 在定直线x ＋y －3＝0上运动． ②圆C 过定点，设C (m,3－m )， 则动圆C 的半径为1＋CC 21＝1＋m ＋12＋3－m 2.于是动圆C 的方程为(x －m )2＋(y －3＋m )2＝1＋(m ＋1)2＋(3－m )2. 整理，得x 2＋y 2－6y －2－2m (x －y ＋1)＝0.由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－6y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝1＋322，y ＝2＋322或⎩⎨⎧x ＝1－322，y ＝2－322.所以定点的坐标为⎝⎛⎭⎫1－322，2－322，⎝⎛⎭⎫1＋322，2＋322.本题考查直线与圆的综合问题，第(2)小题中的①实际上是求圆心的轨迹方程．②是考查圆中的探索性问题，解决方法一般是先假设结论成立，然后进行推理，若推出矛盾则否定结论，不出现矛盾则肯定结论．典例7：在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)， 与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎨⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0. ② 由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.典例8：(2012·泉州五校质检)已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，圆心C 在第二象限，半径为 2.(1)求圆C 的方程；(2)是否存在直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)由x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，得()x ＋D22＋()y ＋E 22＝D 2＋E 2－124，∴圆C 的圆心C 的坐标为C ()－D 2，－E 2，半径R ＝D 2＋E 2－122，由R ＝2，得D 2＋E 2－122＝2，故D 2＋E 2＝20.①∵圆C 关于直线x ＋y －1＝0对称，∴圆心C ()－D 2，－E2在直线x ＋y －1＝0上， ∴－D 2－E2－1＝0，故D ＋E ＝－2，②由②式，得E ＝－2－D ，代入①式，得D 2＋(－2－D )2＝20，即D 2＋2D －8＝0，解得D ＝－4或D ＝2. ∵圆心C ()－D 2，－E2在第二象限， ∴－D2<0，解得D >0.∴D ＝2，E ＝－2－2＝－4.∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝2. (2)直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等，设为a ， 由(1)知圆C 的圆心C (－1,2)，当a ＝0时，直线l 过原点，设其方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 若直线l ：kx －y ＝0与圆C 相切，则|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6，此时直线l 的方程为y ＝(2±6)x ，即(2±6)x －y ＝0； 当a ≠0时，直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0，若直线l ：x ＋y －a ＝0与圆C 相切，则|－1＋2－a |1＋1＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝－1或a ＝3.此时直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. 综上所述，存在四条直线满足题意，其方程为(2±6)x －y ＝0或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.专题技法归纳：1．直线与圆的基本量如k ，a ，b ，r 的求解，一般是用方程法，建立方程时要结合图形，计算要力求准确． 2．直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法主要是几何法，要掌握求切线长、弦长等问题． 3．直线与圆的综合问题中主要是数学思想方法的运用和含多个字母的代数式的化简．课后练习(九)1．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________． 5 2．(2013南京二模)在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线与圆C ：22(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点，若MN 23≥，则直线的斜率k 的取值范围是______． [0，3/4]3．(2012·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,2)，直线l ：x ＋y －4＝0.点B (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2－2x －1＝0的动点，AD ⊥l ，BE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，则线段DE 的最大值是________．解析：线段DE 的最大值等于圆心(1,0)到直线AD ：x －y ＋2＝0的距离加半径即为522.4．(2012·徐州四市)平面直角坐标系中，已知点A (1，－2)，B (4,0)，P (a,1)，N (a ＋1,1)，当四边形P ABN 的周长最小时，过三点A ，P ，N 的圆的圆心坐标是________．解析：∵AB ，PN 的长为定值， ∴只要求P A ＋BN 的最小值．P A ＋BN ＝a －12＋9＋a －32＋1，其几何意义为动点(a,0)到两定点(1,3)和(3，－1)距离之和，当三点共线，即a ＝52时，其和取得最小值．线段PN 的中垂线方程为x ＝3，线段P A 的中垂线方程为y ＋12＝－12()x －74，交点()3，－98即为所求的圆心坐标．5．已知A (－2,0)，B (0,2)，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0(k 是常数)上的两个不同的点，P 是圆上的动点，如果M ，N 两点关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是________．解析：因为M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，故圆心()－k 2，0在直线x －y －1＝0上，则－k2－1＝0，解得k ＝－2，则圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.又直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，则圆心(1,0)到直线AB 的距离为d ＝|1＋2|2＝322.所以圆上的点到直线AB 的最大距离为1＋322，所以△P AB 面积的最大值为S ＝12×|AB |×⎝⎛⎭⎫1＋322＝12×22×⎝⎛⎭⎫1＋322＝3＋ 2. 6．(2014苏北四市联考)已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H e ． (1)若直线l 过点C ，且被H e 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C e 的半径r 的取值范围．解：(1)线段AB 的垂直平分线方程为0x =，线段BC 的垂直平分线方程为30x y +-=，所以ABC ∆外接圆圆心(0,3)H 221310+圆H 的方程为22(3)10x y +-=． …………………………………………………………4分 设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆H 截得的弦长为2，所以2(10)13d -．当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即3x =为所求；…………………………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为2(3)y k x -=-，则23131k k +=+，解得43k =， 综上，直线l 的方程为3x =或4360x y --=． ……………………………………………8分 (2)直线BH 的方程为330x y +-=，设(,)(01),(,)P m n m N x y ≤≤，因为点M 是线段PN 的中点，所以(,)22m x n yM ++，又,M N 都在半径为r 的圆C 上， 所以222222(3)(2),(3)(2).22x y r m x n y r ⎧-+-=⎪⎨++-+-=⎪⎩即222222(3)(2),(6)(4)4.x y r x m y n r ⎧-+-=⎪⎨+-++-=⎪⎩…………………10分 因为该关于,x y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6,4)m n --为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以2222(2)(36)(24)(2)r r m n r r --++-++≤≤,…………12分又330m n +=－，所以2221012109r m m r +－≤≤对[01]m ∀∈，]成立． 而()2101210f m m m =+－在[0，1]上的值域为[325，10]，所以2325r ≤且2r 10≤9．……15分又线段BH 与圆C 无公共点，所以222(3)(332)m m r -+-->对[01]m ∀∈，成立，即2325r <.故圆C 的半径r 的取值范围为．。

高三数学第二轮专题 直线与圆江苏省木渎高级中学 沈雪明一、复习要点1、熟练掌握探求直线和圆的方程，掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判断和性质的运用；2、掌握与直线和圆有关的探索性问题、存在型问题、定点定值的解题策略。

二、典型例题例1 在平面直角坐标系xOy 中 ，已知以O 为圆心的圆与直线l ：(34)y mx m =+-，()m R ∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小. （1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使||PA 、||PO 、||PB 成等比数列，求PA PB ⋅的范围；（3）已知定点Q （4-，3），直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断tan QM QN MQN ⋅⨯∠ 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程；若不存在，给出理由. 【分析】（1）一般来说，求圆的方程有两类办法：①几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．本小题关键是找到直线l 经过定点M （4,3），这样符合条件的圆O ，就是以OM 为直径的圆； （2）对条件2||||||PO PA PB =⋅的化简，要有整体思想这样可以使运算量大大减少； （3）充分利用直线与圆几何性质. 【解答】（1）因为直线l ：(34)y mx m =+-过定点T （4，3） ,由题意，要使圆O 的面积最小, 定点T （4，3）在圆上， 所以圆O 的方程为2225x y +=.（2）A （-5，0），B （5，0），设00(,)P x y ，则220025x y +<……①(5,)PA x y =---，(5,)PB x y =--，由||,||,||P A P O P B 成等比数列得，2||||||PO PA PB =⋅，0425[,0)2PA PB ∴⋅∈-）tan ||||cos QM QN MQN QM QN MQN ⋅⨯∠=⋅∠|sin 2MQNMQN S ∠= .的一个交点为M （4，4-，3），直线MQ l ：3y =，||8MQ =，则当(0,5)N -时MQN S 有最大值32.即tan QM QN MQN ⋅⨯∠有最大值为64，此时直线l 的方程为250x y --=.【反思】 研究直线与圆、圆与圆的位置关系要紧紧抓住圆心到直线、圆心距与圆的半径的大小关系这一关键点．在讨论有关直线与圆相交问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍．例 2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长．①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． 【分析】（1）在求直线方程时应先判断一下是否有斜率不存在的情况，然后再进行求解；（2）的第①小题其实质是求轨迹问题，即以圆C 的半径相等作为等量关系来证明结论；（2）的第②小题的求解要学会与第①小题的相联系起来考虑，以表达出圆的含参方程，从而可以判断出结论. 【解答】（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=4=．化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l 的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．（2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =，即22(4)- 化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．②圆C 过定点，设(3)C m m -，，则动圆C于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以定点的坐标为(1，(1．【反思】1、第（2）题的第①小题的提法与书本要求相一致的，避免了求轨迹方程的嫌疑 2、定点问题 解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。

2022江苏高考数学二轮复习教学案（祥解）--直线与圆的方程及应用解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，正常情形下，考一小(填空)一大(解答)．小题常涉及直线方程及应用，圆锥曲线方程及其性质，有一定的运算量；大题往往与圆有关，涉及到方程，位置关系、定点、定值、定线等．圆与圆锥曲线的综合考查，对数学思想方法要求比较高，能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题．1. 明白得直线的斜率和倾斜角的概念；把握过两点的直线斜率的运算公式；了解直线的倾斜角的范畴；明白得直线的斜率和倾斜角之间的关系，能依照直线的倾斜角求出直线的斜率．2. 把握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一样式)的特点与适用范畴；能依照问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．3. 能依照斜率判定两条直线平行或垂直．4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．5. 把握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离．6. 把握圆的标准方程与一样方程，能依照问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；明白得圆的标准方程与一样方程之间的关系，会进行互化．7. 能依照直线与圆的方程判定其位置关系(相交、相切、相离)；能依照圆的方程判定圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．1. 与直线x＋3y－1＝0垂直的直线的倾斜角为________．2.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________．3.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝________.4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c ＝0的距离为1，则实数c的取值范畴是________．【例1】 已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，求过圆心且与直线l 垂直的直线的方程．【例2】 如图，平面直角坐标系xOy 中，△AOB 和△COD 为两等腰直角三角形，A(－2,0)，C(a,0)(a>0)．△AOB 和△COD 的外接圆圆心分别为M ，N.(1) 若⊙M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；(2) 若直线AB 截⊙N 所得弦长为4，求⊙N 的标准方程；(3) 是否存在如此的⊙N ，使得⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为2，若存在，求现在⊙N 的标准方程；若不存在，说明理由．【例3】 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，一动直线l 过点A(－1,0)与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于点N.(1) 求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；(2) 当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3) 探究AM →·AN →的值是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，要求出其值；若有关，请说明理由．【例4】 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(2，2)，设椭圆E 的右准线l 与x 轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长为455.(1) 求椭圆E 的方程及圆O 的方程；(2) 若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，关于圆O 上的任意一点N ，有MNNQ 为定值；且当M 在直线l 上运动时，点Q 在一个定圆上．1. (2011·安徽)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为________．2.(2011·重庆)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．3.(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．4.(2010·江西)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|≥23，则实数k 的取值范畴是________．5.(2011·福建理) 已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1) 若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2) 若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．6.(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|.(1) 当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2) 求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．(2011·南京三模)(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4,0)、B(4,0)，动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为－14.(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.① 求⊙M 的方程；② 当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？假如存在，求出定直线l 的方程；假如不存在，说明理由．解：(1) 设P(x ，y)，则直线PA 、PB 的斜率分别为k 1＝y x ＋4、k 2＝yx －4.(2分)由题意知y x ＋4·y x －4＝－14，即x 216＋y 24＝1(x ≠±4)． 因此动点P 的轨迹方程是x 216＋y 24＝1(x ≠±4)．(4分) (说明：没有范畴扣1分)(2) ①由题意知C(0，－2)，A(－4,0)，因此线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3.(6分)设M(a,2a ＋3)(a ＞0)，则⊙M 的方程为(x －a)2＋(y －2a －3)2＝r 2. 圆心M 到y 轴的距离d ＝a ，由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫3r 22，得a ＝r 2.因此⊙M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －r 22＋(y －r －3)2＝r 2.(10分)② 假设存在定直线l 与动圆M 均相切． 当定直线的斜率不存在时，不合题意． 当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋b ，则⎪⎪⎪⎪k ×r 2－r －3＋b 1＋k 2＝r 对任意r ＞0恒成立．(12分)由⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫k 2－1r ＋(b －3)＝r 1＋k 2，得⎝⎛⎭⎫k 2－12r 2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2＝(1＋k 2)r 2.因此⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫k 2－12＝1＋k 2，(k －2)(b －3)＝0，(b －3)2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝3.因此存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切．(16分)第12讲 直线与圆的方程及应用1. 已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________． 【答案】 52. 圆x 2＋y 2＝1与直线kx ＋y －k ＝0(k ∈R 为常数)的位置关系是________． 【答案】 相交3. 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范畴是________． 【答案】 [1－22，3] 解析：本题考查数形结合思想. 曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或1－22，因为是下半圆故可得b ≠1＋22，当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3.4. 已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1) 假如|AB|＝423，求直线MQ 的方程； (2) 求动弦|AB|的最小值． 解： (1)设Q(q,0)，因为M(0,2)，因此|MQ|＝q 2＋22＝q 2＋4，而|MA|＝r ＝1，从而在Rt △AMQ 中，|AQ|＝|MQ|2－|MA|2＝q 2＋4－1＝q 2＋3. 又由题意和对称性可得，Rt △AMQ 斜边MQ 边上的高为h ＝12|AB|＝223. 由等面积法得223·q 2＋4＝q 2＋3，解得q ＝±5，因此Q(±5，0)，将M ，Q 的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ 的方程为2x±5y 25＝0.(2) 由(1)知，利用等面积法得12|AB|·q 2＋4＝q 2＋312|AB|＝q 2＋3q 2＋4＝1－1q 2＋4，从而当q ＝0时，动弦|AB|取到最小值 3.5. (2011·盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x ＝5上．圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13；圆弧C 2过点A(29,0)．(1) 求圆弧C 2的方程； (2) 曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？若存在，指出有几个如此的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离．解：(1) 圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169，令x ＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)． 则线段AM 中垂线的方程为y －6＝2(x －17)， 令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14,0)． 又圆弧C 2所在圆的半径为r 2＝29－14＝15， 因此圆弧C 2的方程为(x －14)2＋y 2＝225(x ≥5)．(2) 假设存在如此的点P(x ，y)，则由PA ＝30PO ，得x 2＋y 2＋2x －29＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169(－13≤x ≤5)， 解得x ＝－70(舍)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，(x －14)2＋y 2＝225(5≤x ≤29)，解得x ＝0(舍)， 综上知，如此的点P 不存在．(3) 因为EF ＞r 2，EF ＞r 1，因此E 、F 两点分别在两个圆弧上．设点O 到直线l 的距离为d ，因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14,0)，因此EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2， 即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516，因此点O 到直线l 的距离为 1 6154.基础训练1. π3 2. x －2y ＝0或x ＋y －3＝0 3. 3或－3 34. (－13,13) 解析：圆的半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c|13＜1，c 的取值范畴是(－13,13)． 例题选讲例1 解：由题意可设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，因此a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，因此有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.例2 点拨：直线与圆相交的问题，要利用图形转化为圆心到直线的距离问题． 解： (1) 圆心M(－1.1)．∴ 圆M 方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2， ∴ 直线CD 方程为x ＋y －a ＝0. ∵ ⊙M 与直线CD 相切，∴ 圆心M 到直线CD 的距离d ＝|－a|2＝2，化简得：a ＝±2(舍去负值)． ∴ 直线CD 的方程为x ＋y －2＝0.(2) 直线AB 方程为：x －y ＋2＝0，圆心N ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2.∴ 圆心N 到直线AB 距离为⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋22＝ 2.∵ 直线AB 截⊙N 所得弦长为4，∴ 22＋(2)2＝a 22.∴ a ＝±23(舍去负值)． ∴ ⊙N 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝6.(3) 存在．由(2)知，圆心N 到直线AB 距离为2(定值)，且AB ⊥CD 始终成立，∴ 当且仅当圆N 半径a2＝22，即a ＝4时，⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为 2.现在，⊙N 的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.变式训练 已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1) 求直线l 斜率的取值范畴；(2) 直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？什么缘故？点拨：直线与圆相交，用圆心到直线距离. 已知直线将圆分割弧长的比值，转化为所对的圆心角的比值，过圆心作弦的垂线，则垂线段长可求，用圆心到直线的距离即可．解： (1) 直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4mm 2＋1， 直线l 的斜率k ＝mm 2＋1， ∵ |m|≤12(m 2＋1)，∴ |k|＝|m|m 2＋1≤12，当且仅当|m|＝1时等号成立．∴ 斜率k 的取值范畴是⎣⎡⎦⎤－12，12.(2) 不能．由(1)知l 的方程为y ＝k(x －4)，其中|k|≤12.圆C 的圆心C(4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.由|k|≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r2.从而若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3.因此l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．例3 (1) 证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，则k l ＝3，故直线l ：y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.明显圆心(0,3)在直线l 上，即当l 与m 垂直时，l 必过圆心C.(2) 解：①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意． ② 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，因为PQ＝23，因此CM ＝4－3＝1，则由CM ＝|－3＋k|k 2＋1＝1，得k ＝43.因此直线l 的方程为4x －3y ＋4＝0.从而所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3) 解：∵ CM ⊥MN, ∴ AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·AN →＝AC →·AN →＋CM →·AN →＝AC →·AN →. ① 当l 与x 轴垂直时有N ⎝⎛⎭⎫－1，－53，∴ AN →＝⎝⎛⎭⎫0，－53， 又AC →＝(1,3), ∴ AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5. ② 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ＋61＋3k ，－5k 1＋3k ，则AN →＝⎝⎛⎭⎫－51＋3k，－5k 1＋3k . 因此AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5.综上，可知AM →·AN →的值与直线l 的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且AM →·AN →＝－5. 变式训练 已知直线m 的方程为x ＋y －1＝0，⊙C 的方程为x 2－2x ＋y 2－2y －3＝0，⊙C 关于直线m 的对称的⊙D 与直线l 相交于A 、B 两点，若在⊙D 上存在点P 使得OP →＝OA →＋OB →＝λa ，又知a ＝(－1,2)．(1) 求⊙D 的方程； (2) 求点P 的坐标； (3)求直线l 的方程．解： (1) ⊙C 方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5，设D(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋b ＋12－1＝0，b －1a －1＝1，∴ a ＝0，b ＝0，∴ ⊙D 方程为x 2＋y 2＝5.(2) 由题意可知P(－λ，2λ)，∵ P 在圆D 上， ∴ λ2＋4λ2＝5，∴ λ＝±1. ∴ P(－1,2)或P(1，－2)．(3) ∵ OP →＝OA →＋OB →，P 、A 、B 均在圆上，∴ OP ⊥AB ，∠AOB ＝120°， ∴ 圆心D 到直线AB 的距离是52.当P 的坐标为(－1,2)时，k l ＝12，设直线l 的方程是x －2y ＋c ＝0，d ＝|c|5＝52， ∴ c ＝±52，由图形位置可知c ＝52，现在直线l 的方程是2x －4y ＋5＝0. 同理可知，当P 坐标为(1，－2)时，直线l 的方程是2x －4y －5＝0.例4 (1) 解：⎩⎨⎧c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c2⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4，故椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1， ∵ A(4,0)，B(0,2)，∴直线AB 方程为x ＋2y －4＝0，则O 到AB 距离为45， ∴ 圆O 的半径r ＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫12×252＝2，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2) 证明：l 的方程为x ＝4，∴ M 点坐标为M(4，t)． 在圆O 上任取一点N(x 0，y 0)，定点Q(x ，y)． ∵ NM 与NQ 的比值为常数且Q 不同于M ， ∴ NQ 2＝λNM 2，λ>0且λ≠1，λ为常数， 即(x 0－x)2＋(y 0－y)2＝λ[(x 0－4)2＋(y 0－t)2]，∴ x 02＋y 02－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＝λ(x 02＋y 02－8x 0－2y 0t ＋16＋t 2)， 将x 02＋y 02＝4代入上式，则－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＋4＝－8λx 0－2λy 0t ＋(20＋t 2)λ， 由于N 是圆O 上任意一点，因此⎩⎪⎨⎪⎧x －4λ，①y ＝4λ，②x 2＋y 2＋4＝(20＋t 2)λ，③将①②代入③得(16＋t 2)λ2－(20＋t 2)λ＋4＝0∴ (λ－1)[(16＋t 2)λ－4]＝0，∵ λ≠1，∴ λ＝416＋t 2，即存在一个定点Q(不同于点M)，使得关于圆O 上的任意一点N ， 均有MN NQ 为定值，又16＋t 2＝4λ代入③得x 2＋y 2＝4λ，因此有x 2＋y 2＝x ，即⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，故点Q 在圆心为⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12的定圆上．高考回忆1. 1 解析：本题考查直线与圆的位置关系，属容易题．2. 102 解析：由题意AC 为径，设圆心为F ，则FE ⊥BD ，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，故F(1,3)，由此易得：AC ＝210，又k EF ＝2，因此BD 的方程为y ＝－12x＋1，F 到BD 的距离为|－12＋1－3|52＝5，由此得BD ＝25，因此四边形ABCD 的面积为12AC·BD ＝12×25×210＝10 2.3. 1或1774. ⎣⎡⎦⎤－33，33 解析：因为直线过定点(0,3)且该点在圆上，设此点为M ，圆心(2,3)到此直线距离为d ，因此由4－d 2≥(3)2d ≤1，又d ＝|2k －3＋3|1＋k 2≤1，∴ k 2≤13，∴ －33≤k ≤33.5. 点拨：本小题要紧考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．解：(解法1)(1) 依题意，点P 的坐标为(0，m)，因为MP ⊥l ，因此0－m2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)，从而圆的半径r ＝|MP|＝(2－0)2＋(0－2)2＝22， 故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2) 因为直线l 的方程为y ＝x ＋m 因此直线l ′的方程为y ＝－x －m.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0，Δ＝42－4×4m ＝16(1－m)． ① 当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切． ② 当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切．(解法2)(1) 设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2， 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m|2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2) 同解法1.6. 点拨： (1)动点M 通过点P 与已知圆相联系，因此把点P 的坐标用点M 的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；(2)直线方程和椭圆方程组成方程组，能够求解，也能够利用根与系数关系；结合两点的距离公式运算．解： (1) 设点M 的坐标是(x ，y)，P 的坐标是(x p ，x p )，∵ 点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|， ∴ x p ＝x ，且y p ＝54y ，∵ P 在圆x 2＋y 2＝25上，∴ x 2＋⎝⎛⎭⎫54y 2＝25，整理得x 225＋y 216＝1， 即C 的方程是x 225＋y 216＝1.(2) 过点(3,0)且斜率为45的直线方程是y ＝45(x －3)，设此直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程x 225＋y 216＝1得：x 225＋(x －3)225＝1，化简得x 2－3x －8＝0，∴ x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴ |AB|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝4125×41＝415，即所截线段的长度是415.。