高考数学2009年高考试题——数学(重庆卷)(理)

2009年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•重庆）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B【点评】此题考查学生掌握判断直线与圆位置关系的方法是比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．2．（5分）（2009•重庆）已知复数z的实部为﹣1，虚部为2，则=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】由题意求出复数z，代入，复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi （a，b∈R）的形式，可得选项．【解答】解：因为由条件知z=﹣1+2i，则=，故选A．【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．（5分）（2009•重庆）（x+2）6的展开式中x3的系数是（）A．20 B．40 C．80 D．160【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数．【解答】解：设含x3的为第r+1，则Tr+1=C6r x6﹣r•2r，令6﹣r=3，得r=3，故展开式中x3的系数为C63•23=160．故选D．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．4．（5分）（2009•重庆）已知，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】利用向量的运算法则及向量模的平方即是向量的平方求出，再利用向量的数量积公式求出向量的夹角余弦，求出向量夹角．【解答】解：∵==2．又，∴=3．即cos＜a，b＞=3=1×6cos＜a，b＞，得cos＜a，b＞=，∴a与b的夹角为，故选项为C．【点评】本题考查向量的运算律；向量模的性质；利用向量的数量积公式求向量的夹角．5．（5分）（2009•重庆）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；转化思想．【分析】利用绝对值的几何意义，求出|x+3|﹣|x﹣1|的最大值不大于a2﹣3a，求出a的范围．【解答】解：因为|x+3|﹣|x﹣1|≤4对|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意x恒成立，所以a2﹣3a≥4即a2﹣3a﹣4≥0，解得a≥4或a≤﹣1．故选A．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，以及恒成立问题，是中档题．6．（5分）（2009•重庆）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率；组合及组合数公式．【分析】本题考查的知识点是古典概型，我们计算出总的滔法种类，再计算满足条件“从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个”所包含的基本事件个数，然后代入古典概型公式计算，即可得到答案．【解答】解：因为总的滔法C154，而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆、豆沙馅汤圆，取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率P==．故选C．【点评】古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．7．（5分）（2009•重庆）设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题．【分析】利用向量的坐标表示可求=1+cos（A+B），结合条件C=π﹣（A+B）可得sin（C+=，由0＜C＜π可求C【解答】解：因为=又因为所以又C=π﹣（B+A）所以因为0＜C＜π，所以故选C．【点评】本题主要以向量的坐标表示为载体考查三角函数，向量与三角的综合问题作为高考的热点，把握它的关键是掌握好三角与向量的基本知识，掌握一些基本技巧，还要具备一些运算的基本技能．8．（5分）（2009•重庆）已知，其中a，b∈R，则a﹣b的值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先通分得，然后由极限的性质知，由此可以求出a﹣b的值．【解答】解：∵已知==2，∴，∴a=2，b=﹣4；∴a﹣b=6．故选D．【点评】本题考查函数的极限，解题时注意函数极限的逆运算．9．（5分）（2009•重庆）三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．1或2【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】三个互不重合的平面把空间分成六个部份有两种情形：一是其中两个平面平行，第三个平面都与它们相交；二是三个平面交于一条直线，考虑到两类即可解决．【解答】解：分两类：①当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；②当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选D【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．10．（5分）（2009•重庆）已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x，其中x为任意的实数．求此函数的周期为（）A．2πB．πC．4πD．﹣π【考点】函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数与方程的综合运用．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先由题目中已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x求周期，需要把函数化为标准型，然后根据周期公式求解即可得到答案．【解答】解：因为f（x）=sin2x﹣cos2x=，所以函数的周期T=，故答案选择B．【点评】此题主要考查三角函数周期性的求法，其中涉及到三角函数标准型的化法，涵盖知识点少，属于基础题目．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2009•重庆）若A={x∈R||x|＜3}，B={x∈R|2x＞1}，则A∩B={x|0＜x＜3}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】要求A与B的交集，先要求出两个集合的区间，解出绝对值不等式得到集合A，根据指数函数的增减性得到集合B，然后取两集合的公共部分即可得到交集．【解答】解：由|x|＜3解得﹣3＜x＜3；由2x＞1=20，根据指数函数y=2x为增函数得到x＞0 ∴A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜3}．故答案为：{x|0＜x＜3}【点评】此题考查学生会利用指数函数的增减性解不等式，理解交集的定义并会进行交集的运算．12．（5分）（2009•重庆）若f（x）=a+是奇函数，则a=﹣．【考点】奇函数；函数奇偶性的性质．【专题】常规题型．【分析】充分不必要条件：若奇函数定义域为R（即x=0有意义），则f（0）=0．或用定义：f（﹣x）=﹣f（x）直接求a．【解答】解：函数的定义域为R，且为奇函数，则f（0）=a+=0，得a+=0，得a=﹣，检验：若a=﹣，则f（x）=+=，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x）为奇函数，符合题意．故答案为﹣．【点评】若定义域中包括0在内函数f（x）为奇函数⇒f（0）=0，注意是充分不必要条件，所以此类问题求解后需要检验，此题也可以直接采用奇偶性的定义f（﹣x）=f（x）求解．13．（5分）（2009•重庆）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有36种（用数字作答）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】由题意知将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，需要先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列排列，根据分步乘法原理得到结果．【解答】解：∵将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列排列，共有C24A33=36．故答案为：36【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏．14．（5分）（2009•重庆）设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=2n+1．【考点】数列递推式．【专题】压轴题；创新题型．【分析】由题设条件得=，由此能够导出数列{b n}的通项公式b n．【解答】解：由条件得=且b1=4所以数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列，则b n=4•2n﹣1=2n+1．故答案为：2n+1．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．15．（5分）（2009•重庆）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是（1，）．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】不防设点P（x o，y o）在右支曲线上并注意到x o＞a．利用正弦定理求得，进而根据双曲线定义表示出|PF1|和|PF2|代入求得e的范围．【解答】解：不防设点P（x o，y o）在右支曲线上并注意到x o＞a．由正弦定理有，由双曲线第二定义得：|PF1|=a+ex o，|PF2|=ex o﹣a，则有=，得x o=＞a，分子分母同时除以a2，易得：＞1，解得1＜e＜+1故答案为（1，）【点评】本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合运用所学知识解决问题能力．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2009•重庆）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g（x）的最大值．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】（1）利用两角差的正弦公式及二倍角公式及化简三角函数；再利用三角函数的周期公式求出周期．（2）在y=g（x）上任取一点，据对称行求出其对称点，利用对称点在y=f（x）上，求出g （x）的解析式，求出整体角的范围，据三角函数的有界性求出最值．【解答】解：（1）f（x）===故f（x）的最小正周期为T==8（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x））．由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而==当时，时，因此y=g（x）在区间上的最大值为【点评】本题考查常利用三角函数的二倍角公式及公式化简三角函数、利用轴对称性求函数的解析式、利用整体角处理的思想求出最值．17．（13分）（2009•重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数ξ的分布列与期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】计算题．【分析】（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可．（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．【解答】解：设A k表示甲种大树成活k株，k=0，1，2B l表示乙种大树成活1株，1=0，1，2则A k，B l独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有P（A k）=C2k（）k（）2﹣k，P（B l）=C21（）l（）2﹣l．据此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=．P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=．（1）所求概率为P（A1•B1）=P（A1）•P（B1）=×=．（2）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且P（ξ=0）=P（A0•B0）=P（A0）•P（B0）=×=，P（ξ=1）=P（A0•B1）+P（A1•B0）=×+×=，P（ξ=2）=P（A0•B2）+P（A1•B1）+P（A2•B0）=×+×+×=，P（ξ=3）=P（A1•B2）+P（A2•B1）=×+×=．P（ξ=4）=P（A2•B2）=×=．综上知ξ有分布列ξ0 1 2 3 4P从而，ξ的期望为Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）．解法二：分布列的求法同上，令ξ1，ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数，则ξ1：B（2，），ξ2：B（2，）故有Eξ1=2×=，Eξ2=2×=1从而知Eξ=Eξ1+Eξ2=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、独立重复试验的概率等知识，以及利用概率知识分析问题、解决问题的能力．18．（13分）（2009•重庆）设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f'（0）=0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y+1=0相互垂直”，则有f'（1）=2，从而求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：，令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0，因为还有参数k，由一元二次方程，分三种情况讨论，（1）当△=4﹣4k＜0，函数g（x）在R上为增函数，（2）当△=4﹣4k=0，g（x）在R上为增函数（3）△=4﹣4k＞0，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=ax2+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b又f（x）在x=0处取得极值，故f'（x）=0，从而b=0，由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2，即f'（1）=2，有2a=2，从而a=1（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：、令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0（8分）（1）当△=4﹣4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数（10分）（2）当△=4﹣4k=0，即当k=1时，，K=1时，g（x）在R上为增函数（12分）（3）△=4﹣4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根当是g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数当时，g'（x）＜0，故g（x）在上为减函数当时，g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数（14分）【点评】本题主要考查导数的几何意义，函数的极值及函数的单调性．综合性较强，充分考查了函数方程不等式三者的内在联系与转化．19．（12分）（2009•重庆）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理可知AD∥平面BCS，则从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离，从而DS为点A到平面BCS的距离，在Rt△ADS中求出DS即可；（Ⅱ）过E点作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，根据二面角平面角的定义可知∠EGH为二面角E﹣CD﹣A的平面角，过E点作EF∥BC，交CS于点F，连接GF，在Rt△FEG中，求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）因为AD∥BC，且BC⊂平面BCS，所以AD∥平面BCS，从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离．因为平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面CSD，从而AD⊥SD，由AD∥BC，得BC⊥DS，又由CS⊥DS知DS⊥平面BCS，从而DS为点A到平面BCS的距离，因此在Rt△ADS中（Ⅱ）如图，过E电作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，故∠EGH为二面角E﹣CD﹣A的平面角，记为θ，过E点作EF∥BC，交CS于点F，连接GF，因平面ABCD⊥平面CSD，GH⊥CD，易知GH⊥GF，故．由于E为BS边中点，故，在Rt△CFE中，，因EF⊥平面CSD，又EG⊥CD故由三垂线定理的逆定理得FG⊥CD，从而又可得△CGF～△CSD，因此而在Rt△CSD中，，在Rt△FEG中，可得，故所求二面角的大小为【点评】本题主要考查了点到平面的距离，以及二面角的度量等有关知识，同时考查了计算能力、推理能力、以及转化与划归的思想，属于中档题．20．（12分）（2009•重庆）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点（Ⅰ）若C，D的坐标分别是，求|MC|•|MD|的最大值；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x2+y2=1上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：，、求线段QB的中点P的轨迹方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b＞0）．设，由准线方程．由此能够求出椭圆方程．从而得到点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．（Ⅱ）设M（x m，y m），B（x B，y B）Q（x Q，y Q）．因为，故x Q=2x N，y Q=y M，x Q2+y Q2=（2x M）2+y y=4．因为，（1﹣x Q﹣y Q）•（1﹣x N﹣y n）=（1﹣x Q）（1﹣x N）+y Q y N=0，所以x Q x N+y Q y N=x N+x Q﹣1．由此可导出动点P的轨迹方程为．【解答】解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b＞0）．设，由准线方程得．由得，解得a=2，c=，从而b=1，椭圆方程为．又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以，|MC|+|MD|=2a=4从而|MC|•|MD|，当且仅当|MC|=|MD|，即点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．（II）如图（20）图，设M（x m，y m），B（x B，y B）Q（x Q，y Q）．因为，故x Q=2x N，y Q=y M，x Q2+y Q2=（2x M）2+（y M）2=4 ①因为，（1﹣x Q﹣y Q）•（1﹣x N﹣y N）=（1﹣x Q）（1﹣x N）+y Q y N=0，所以x Q x N+y Q y N=x N+x Q﹣1．②记P点的坐标为（x P，y P），因为P是BQ的中点所以2x P=x Q+x P，2y P=y Q+y P由因为x N2+y N2=1，结合①，②得===故动点P的轨迹方程为【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细求解，知识方面注意椭圆的标准方程与焦点位置的关系以及向量与解析几何问题的综合运用．21．（12分）（2009•重庆）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥7）依次围成一个圆圈，（Ⅰ）若m=2009，且a1，a2，…，a1005是公差为d的等差数列，而a1，a2009，a2008，…，a1006是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通项a n（n≤m）；（Ⅱ）若每个数a n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+…+a6+a72+…+a m2＞ma1a2a m．【考点】等差数列的性质；数列的应用；等比数列的性质；反证法与放缩法．【专题】压轴题；反证法．【分析】（1）利用等比数列的性质，用a1、d表示出a2009、a2008，结合已知，列方程即可解出a1、d，进而求出a n．（2）通过探求数列的周期性或利用反证法求解．【解答】解：（I）因a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列，从而a2009=a1d，a2008=a1d2，由S2009=S2007+12a1得a2008+a2009=12a1，解得d=3或d=﹣4（舍去）．∴d=3，又S3=3a1+3d=15．解得a1=2从而当n≤1005时，a n=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1当1006≤n≤2009时，由a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列得a n=a1d2009﹣（n﹣1）=a1d2010﹣n（1006≤n≤2009）因此（II）由题意a n2=a n﹣12a n+12（1＜n＜m），a m2=a m﹣12a12，a12=a m2a22得有①得④由①，②，③得a1a2a n=（a1a2a n）2，故a1a2a n=1．⑤又，故有．⑥下面反证法证明：m=6k若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5若取p=1即m=6k+1，则由⑥得a m=a6k+1=a1，而由③得，得a2=1，由②得，而④及⑥可推得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾同理若P=2，3，4，5均可得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，因此m=6k为6的倍数由均值不等式得由上面三组数内必有一组不相等（否则a1=a2=a3=1，从而a4=a5═a m=1与题设矛盾），故等号不成立，从而a1+a2+a3++a6＞6又m=6k，由④和⑥得a72++a m2=（a72++a122）++（a6k﹣52++a6k2）=（k﹣1）（a12++a62）=因此由⑤得a1+a2+a3++a6+a72++a m2＞6+6（k﹣1）=6k=m=ma1a2a3a m【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式、性质及方程、解不等式的有关知识，考查运算能力和推理能力．。

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。

09年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n k n n P k C P P k n -=-=，，， 一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB ，则集合[u （A B ）中的元素共有 （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个（2）已知1iZ ＋=2+I,则复数z= （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i(3) 不等式11X X +-＜1的解集为 （A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈(4)设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。

2009年高考数学重庆卷 理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【测量目标】直线与圆的位置关系．【考查方式】给出直线和圆的方程，判断它们的位置关系． 【难易程度】容易. 【参考答案】B【试题解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而01<<，选B ． 2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz=（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+【测量目标】复数代数形式的四则运算．【考查方式】给出复数的实部和虚部，计算求解． 【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】因为由条件知12i z =-+，则5i 5i(12i)5i 102i (12i)(12i)5z ---+===--+--，所以选A ． 3．282()x x+的展开式中4x 的系数是（ ） A ．16 B ．70 C ．560 D ．1120 【测量目标】二项式定理．【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数． 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】设含4x 的为第2816318821,C ()()C 2rrr r r r r r T x x x--++==，1634r -=， 所以4r =，故系数为：448C 21120=，选D ．4．已知1,6,()2==-= a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【测量目标】平面向量的夹角问题．【考查方式】给出两个向量的模和它们满足的关系式，求两向量的夹角． 【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】因为由条件得222,23cos 16cos αα-==+===⨯⨯所以g g g a b a a b a a b ，1πcos 23αα==所以，所以．5．不等式2313x x a a +---…对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1][4,)-∞-+∞ B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞【测量目标】不等式恒成立问题．【考查方式】给出不等式及其恒成立的条件，求取值范围． 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】因为2314313x x x x a a +--+---对剟对任意x 恒成立，所以2234340a a a a ---即厖，解得41a a -或厔．6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ） A ．891 B ．2591 C ．4891 D ．6091【测量目标】随机事件与概率．【考查方式】已知不同馅料汤圆的个数，由取法规则求概率． 【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】因为总的方法415C ,而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆．豆沙馅汤圆取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为112121211654654654415C C C C C C C C C 48C 91⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 7．设ABC △的三个内角,,A B C，向量,sin )A B =m，(cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（ ） A ．π6 B ．π3C ．2π3 D ．5π6【测量目标】向量的坐标运算、三角函数．【考查方式】给出两向量及其坐标与三角形内角关系式，求未知角． 【难易程度】中等.【参考答案】C【试题解析】cos sin )1cos()A B A B A B A B ==+=++m n g g g ，πA B C ++=1cos C C =-cos 1C C +=，π2sin 16C +=（）π1sin(62C ⇒+=），由题π5π66C +=，即2π3C =．8．已知22lim()21x x ax b x →∞--=+，其中,a b ∈R ，则a b -的值为（ ） A ．-6 B ．2- C ．2D ．6【测量目标】函数的极限．【考查方式】给出函数的极限，求其中的未知量． 【难易程度】中等. 【参考答案】D【试题解析】222lim 1x x ax ax bx bx →∞----+(2)()lim211x ba x ab x x→∞--+-==+．则20()2a ab -=⎧⎨-+=⎩，解得2,4a b ==-，故2(4)6a b -=--=．（删除）9．已知二面角l αβ--的大小为50︒，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25︒的直线的条数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【测量目标】二面角、线面角．【考查方式】给出二面角的大小，求过空间中任意一点与两平面成固定角度的直线条数． 【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】AFE ∠是度数为50︒的二面角的一个平面角，FG AFE ∠为的平分线，当过P 的直线与FG 平行时，满足条件，当过点P 的直线与AD 平行，也是满足条件直线，与AD 直线类似，过点的直线与BE 平行也是满足条件得共有3条．10．已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A．8,)33B．(3C ．48(,)33D．4(3【测量目标】函数的周期性、函数图象的应用．【考查方式】给出函数及其周期，利用函数的图象判断取值范围． 【难易程度】较难. 【参考答案】B 【试题解析】第10题图因为当(1,1]x ∈-时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=…，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3]x ∈得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线3x y =与第二个椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…相交，而与第二个半椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…无公共点时，方程恰有5个实数解，将3x y =代入222(4)1(0)y x y m-+=…得 2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>则2(1)8150t x tx t +-+=．（步骤1） 由2(8)415(1)0t t t ∆=-⨯+>，得15t >，由2915m >，且0m >得m >（步骤2） 同样由3x y =与第三个椭圆222(8)1(0)y x y m-+=…由0∆<可计算得m <综上知m ∈．（步骤3） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．11．若{}3A x x =∈<R ，{}21xB x =∈>R ，则A B = ．【测量目标】集合的基本运算．【考查方式】给出两个集合，求它们的交集． 【难易程度】中等. 【参考答案】（0，3）【试题解析】因为{}{}|33,|0,A x x B x x =-<<=>所以(0,3)A B =I . 12．若1()21x f x a =+-是奇函数，则a = ． 【测量目标】函数的奇偶性．【考查方式】给出函数的奇偶性，求其中的未知量． 【难易程度】中等. 【参考答案】12【试题解析】12()2112xxxf x a a --=+=+--，()()f x f x -=- 2112()2112211212x xx x x xa a a ⇒+=-+⇒=-=----故12a =．13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．【测量目标】排列组合及其应用．【考查方式】用排列组合求解概率问题． 【难易程度】中等. 【参考答案】36【试题解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有21142122C C C A g g ；第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有33A 所以满足条件得分配的方案有2113421322C C C A 36A =g g g ． 14．设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，n *∈N ，则数列{}n b 的通项公式n b = ．【测量目标】等比数列的通项、等比数列的性质．【考查方式】给出数列的首项、第1n +项及两数列的关系式，求另一数列的通项公式． 【难易程度】较难. 【参考答案】21n +【试题解析】由条件得111222+12222111+1n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++====---且14b =所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+==g ．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．【测量目标】双曲线的简单几何性质．【考查方式】给出点和双曲线方程的关系式，求其离心率． 【难易程度】较难.【参考答案】(11)【试题解析】解法一：因为在12PF F △中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =．（步骤1） 则由已知，得21a cP F P F =，即12aPF cPF =，且知点P 在双曲线的右支上， 设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF ex a =+=-则00()()a a ex c ex a +=-，（步骤2） 解得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e ++==--由双曲线的几何性质知0x a >则(1)(1)a e a e e +>-，整理得 2210,e e --<解得11(1,)e e <<∈+∞，又，故椭圆的离心率(11)e ∈（步骤3） 解法二：由解析1知12cPF PF a=由双曲线的定义知 122PF PF a -=则222c PF PF a a -=即222a PF c a=-，（步骤1） 由椭圆的几何性质知2PF c a >-，则22a c a c a>--，即2220c ac a --<， 所以2210,e e --<以下同解析1．（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．设函数2πππ()sin()2cos 1468x x f x =--+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．【测量目标】三角函数定义域、值域.【考查方式】给出函数式，求其最小正周期；根据直线方程求解与函数关于直线对称的另一函数在区间内的最大值． 【难易程度】容易.【试题解析】（Ⅰ）()f x =πππππsincos cos sin cos 46464x x x --=π3πcos 2424x x -ππsin()43x -．（步骤1） 故()f x 的最小正周期为2ππ4T = =8．（步骤2）(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x -． 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而ππ()(2)sin[(2)]43g x f x x =-=--πππsin[]243x =--ππ)43x =+．（步骤3）当403x 剟时，πππ2π3433x +剟，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max π32g ==．（步骤4） 解法二：因区间4[0,]3关于1x =的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于1x =对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值．（步骤1）由（Ⅰ）知()f xππsin()43x -，当223x 剟时，ππππ6436x --剟，因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max π6g ==（步骤2）17．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： （Ⅰ）两种大树各成活1株的概率； （Ⅱ）成活的株数ξ的分布列与期望．【测量目标】离散型随机变量的期望和方差． 【考查方式】给出事件的概率，由独立重复试验的概率公式求事件概率并求解随机变量的期望和方差．【难易程度】中等.【试题解析】设k A 表示甲种大树成活k 株，k ＝0，1，2，l B 表示乙种大树成活l 株，l ＝0，1，2，则k A ，l B 独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221()C ()()33kkkk P A -=，2211()C ()()22llll P B -=．（步骤1）据此算得01()9P A = ， 14()9P A = ， 24()9P A =． 01()4P B = ， 11()2P B =， 21()4P B =．（步骤2） (Ⅰ) 所求概率为1111412()()()929P A B P A P B ==⨯= ．（步骤3） (Ⅱ) 解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且0000111(0)()()()9436P P A B P A P B ξ====⨯= ，（步骤4）011011411(1)()()92946P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯= ，（步骤5） 021120114141(2)()()()949294P P A B P A B P A B ξ==++=⨯+⨯+⨯ 1336=，（步骤6）122141411(3)()()94923P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯= ．（步骤7）22411(4)()949P P A B ξ===⨯= ．（步骤8）综上知ξ有分布列（步骤9） 从而，ξ的期望为111311012343663639E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯73=（步骤10） 解法二：分布列的求法同上．令12ξξ，分别表示甲乙两种树成活的株数，则1221(2,),(2,)32B B ξξ::，（步骤1）故有122412,21332E E ξξ=⨯==⨯=， 从而知1273E E E ξξξ=+=．（步骤2）18．设函数2()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若函数e ()()xg x f x =，讨论()g x 的单调性．【测量目标】利用倒数求函数的极值、曲线的切线方程、利用导数求函数的单调区间． 【考查方式】给出函数、其极值点的取值和某点的切线方程，求未知量；根据两函数的关系式讨论另一函数的单调性． 【难易程度】中等.【试题解析】（Ⅰ）因2()(0),()2f x ax bx k k f x ax b '=++>=+故．（步骤1）又()f x 在0x =处取得极值，故()0,f x '=从而0b =，（步骤2） 由曲线y =()f x 在(1,(1))f 处的切线与直线+210x y +=相互垂直可知该切线斜率为2，即(1)2f '=，有22a =，从而1a =．（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2e ()(0)xg x k x k=>+， 222e (2)()(0)()x x x k g x k x k -+'=>+，（步骤5） 令2()0,20g x x x k '=-+=有，（步骤6）（1） 当440k ∆=-<，即当1k >时，()0g x '>在R 上恒成立， 故函数()g x 在R 上为增函数．（步骤7）（2） 当440k ∆=-=，即当1k =时，222e (1)()0(1)()x x g x x x k -'=>≠+， 1k =时，()g x 在R 上为增函数．（步骤8）（3）440k ∆=->，即当01k <<时，方程220x x k -+=有两个不相等实根，11x =21x =（步骤9）当(,1()0,(),1x g x g x '∈-∞>-∞是故在（上为增函数，当1x ∈（时，()0,g x '<故()1g x 在（上为减函数，当1x ∈∞（+）时，()0,g x '>故()1g x ∞在（+）上为增函数．（步骤10）19．如图，在四棱锥S ABCD -中，AD BC 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，CE AS ==（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离；（Ⅱ）二面角E CD A --的大小．第19题图(1)【测量目标】二面角、空间立体几何中平行与垂直关系的综合问题．【考查方式】给出四棱锥及其线面关系，求点到平面的距离和二面角． 【难易程度】中等.【试题解析】解法一：（Ⅰ）因为AD BC ，且,BC BCS ⊂平面所以AD BCS 平面 ，从而A 点到平面BCS 的距离等于D 点到平面BCS 的距离．（步骤1）因为平面,CSD ABCD AD CD ⊥⊥平面，故AD CSD ⊥平面，从而AD SD ⊥，（步骤2）由AD BC ，得B C D S ⊥，又由CS DS ⊥知DS BCS ⊥平面，从而DS 为点A 到平面BCS 的距离，（步骤3）因此在Rt ADS △中，DS ==（步骤4） (Ⅱ)如图，第19题图（Ⅱ）过E 点作,EG CD ⊥交CD 于点G ，又过G 点作GH CD ⊥，交AB 于H ，故EGH ∠为二面角E CD A --的平面角，记为θ，过E 点作EF BC ，交CS 于点F ，连结GF ，（步骤5）因平面ABCD CSD ⊥平面，GH CD ⊥，易知GH GF ⊥，故π2EGF θ=-∠．（步骤6）由于E 为BS 边中点，故112CF CS ==，在Rt CFE △中1EF ===，（步骤7） 因EF CSD ⊥平面，又EG CD ⊥，,故由三垂线定理的逆定理得FG CD ⊥，从而又可得CGF CSD △△:，（步骤8）因此GF CFDS CD=而在Rt CSD △中，CD （步骤9）故CF GF DS CD ===g （步骤10） 在Rt FEG △中，tan EFEGF FG==可得π3EGF ∠=，故所求二面角的大小为π6θ=．（步骤11） 解法二：（Ⅰ）如图，第19题图以()S O 为坐标原点，射线,OD OC 分别为x 轴，y 轴正向，建立空间坐标系，设(,,)A A A A x y z ，因为平面COD ABCD ⊥平面，AD CD ⊥，故AD COD ⊥平面．（步骤1）即点A 在xOz 平面上，因此0A y =，1A z AD ==uuu r，（步骤2）又22213,AA x AS x +===uu rA ，）．（步骤3） 因AD BC ，故BC ⊥平面CSD ，即BCS 与平面yOz 重合，从而点A 到平面BCS的距离为A x （步骤4）(Ⅱ)易知(0,2,0)C，D ．因E 为BS 的中点．BCS △为直角三角形，知2BS CE ==uu r uu r（步骤5）设(0,2,)B B z ，0B z >，则2A z =， 故(0,2,2)B ，所以(0,1,1)E ．（步骤6）在CD 上取点G ，设11(,,0)G x y ，使GE CD ⊥．由2,0)CD =-u u u r，11(,1,1)GE x y =--+uu u r ，0CD GE =uu u r uu u r g ．112(1)0y --= ①（步骤7）又点G 在直线CD 上，即CG CD u u u r u u u r，由CG =u u u r 11(,2,0)x y -，122y -=- ②（步骤8）联立①、②，解得4(,0)33G =，（步骤9） 故GE uu ur 1(,1)33=--．又由AD CD ⊥，所以二面角E CD A --的平面角为向量GE uu u r与向量DA uu u r 所成的角，记此角为θ．（步骤10）因为GE uu u r=3，(0,0,1)DA =u u u r ，1DA =uu u r ，1GE DA =u u u r u u u r g ，所以cos 2GE DA GE DAθ==uu u r uu u r g uu u r uu u r g 故所求的二面角的大小为π6．（步骤11） 20．已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y =e =M 是椭圆上的动点．（Ⅰ）若,C D的坐标分别是(0,，求MC MD 的最大值；（Ⅱ）如图，点A 的坐标为(1,0)，B 是圆221x y +=上的点，N 是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：OQ OM ON =+ ，0QA BA =．求线段QB 的中点P 的轨迹方程．第20题图 【测量目标】椭圆的标准方程和简单几何性质、基本不等式求最值、圆锥曲线中的轨迹问题． 【考查方式】给出椭圆的一条准线方程和离心率，利用基本不等式求最值；利用向量的坐标运算求点的轨迹方程． 【难易程度】较难.【试题解析】：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y 轴上，故设椭圆方程为22221x y b a+=(0)a b >>．设c =由准线方程3y =得．由2e =2ca =，解得2,a c =，从而1b =，椭圆方程为2214y x +=．（步骤1） 又易知,C D 两点是椭圆2214y x +=的焦点，所以，24MC MD a +==，（步骤2） 从而22242MC MD MC MD ⎛+⎫== ⎪⎝⎭…g ，（步骤3） 当且仅当MC MD =，即点M 的坐标为(1,0)±时上式取等号，MC MD g 的最大值为4．（步骤4）（II ）如图，第20题图设(,)M M M x y ，(,)B B B x y ，(,)Q Q Q x y ．因为(,0),M N x OM ON OQ +=，故2,Q M Q M x x y y ==，2222(2)4Q Q M M x y x y +=+=， ① （步骤5）因为0QA BA = ，(1,)(1,)Q Q B B x y x y ----(1)(1)0Q B Q B x x y y =--+=所以 1Q B Q B B Q x x y y x x +=+-． ② （步骤6） 记P 点的坐标为(,)P P x y ，因为P 是BQ 的中点， 所以 2,2P Q B P Q B x x x y y y =+=+．（步骤7）又因为 221B B x y +=，结合①，②得22221(()())4B B Q B Q B x y x x y y +=+++22221(2())4Q B Q B Q B Q B x x y y x x y y =+++++ 1(52(1))4Q B x x =++-34P x =+．（步骤8）故动点P 的估计方程为221()12x y -+=．（步骤9）21．设m 个不全相等的正数12,,,(7)m a a a m …依次围成一个圆圈．（Ⅰ）若2009m =，且121005,,,a a a 是公差为d 的等差数列，而120092008,,,,a a a a 是公比为q d =的等比数列；数列12,,,m a a a 的前n 项和()n S n m …满足：320092007115,12S S S a ==+，求通项()n a n m …；（Ⅱ）若每个数()n a n m …是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：2216712m m a a a a ma a a +++++> ．【测量目标】等差等比数列的综合应用．【考查方式】给出条件，综合利用等差等比数列的相关知识求解． 【难易程度】较难.【试题解析】（I ）因1200920081006,,,,a a a a ⋅⋅⋅是公比为d 的等比数列，从而20091a a d =，220081a a d =， 由 200920071200820091212S Sa a a a =++=得，故 解得3d =或4d =-（舍去），因此3d =．（步骤1） 又 313315S a d =+=．解得12a =．（步骤2）从而当1005n …时，1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-；（步骤3） 当10062009n剟时，由1200920081006,,,,a a a a ⋅⋅⋅是公比为d 的等比数列得2009(1)201011(10062009)n n n a a d a d n---==剟．因此201031,100523,10062009n nn n a n--⎧=⎨⎩…剟．（步骤4）（II ）由题意222222222111112(1),,n n n m m m a a a n m a a a a a a -+-=<<==得111112(1),n n n m m m a a a n m a a a a a a -+-=<<⎧⎪=⎨⎪=⎩ ①②③（步骤5）有①得413456112211,,,a a a a a a a a a a ====， ④ （步骤6） 由①，②，③得21212()n n a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅， 故121n a a a ⋅⋅⋅=． ⑤ （步骤7） 又2131111(13)r r r r r r ra a a r m a a a a +++++===- 剟，故有631(16)r r r a a r m a ++==-剟． ⑥ （步骤8）下面反证法证明：6m k =． 若不然，设6,15m k p p=+其中剟．若取1p =即61m k =+，则由⑥得611m k a a a +==，而由③得11122,,m a aa a a a ==故（步骤9）得21a =，由②得11m m a a a -=，从而661k m a a a -==，而162aa a =，121a a ==故，由④及⑥可推得1n a =（1nm 剟）与题设矛盾．（步骤10）同理若p =2，3，4，5均可得1n a =（1n m 剟）与题设矛盾，因此6m k =为6的倍数，由均值不等式得21123612121211()()()6a a a a a a a a a a a a ++++=+++++…L ．（步骤11） 由上面三组数内必有一组不相等（否则1231a a a ===，从而451m a a a ====L 与题设矛盾），故等号不成立，从而12366a a a a ++++>L ，（步骤12） 又6m k =，由④和⑥得2222227712656()()m k k a a a a a a -++=++++++L L L L 2216(1)()k a a =-+222123222123111(1)()6(1)k a a a k a a a =-+++++-…．（步骤13） 因此由⑤得221236712366(1)6m m a a a a a a k k m ma a a a +++++++>+-===L L L ．（步骤14）。