高阶系统的时域分析

题 目: 高阶系统的时域分析 初始条件：设单位系统的开环传递函数为
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)(105()
()(2
a s s s s
b s K s G ++++=
要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要
求）
（1） 当K=10,a=1,b=5时用劳斯判据判断系统的稳定性。

（2） 如稳定，则求取系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应和单位加速度响应，用
Matlab 绘制相应的曲线，并计算单位阶跃响应的动态性能指标和稳态性能指标，计算单位斜坡响应和单位加速度响应的稳态性能指标。

（3） 如不稳定，则计算系统稳定时K 、a 和b 的取值范围，在稳定范围内任取一值
重复第2个要求。

（4） 绘制稳定时系统的根轨迹（在稳定范围内任取a 、b 值）。

分析K 变化对系统
性能的影响。

时间安排：
指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日
目录
摘要 (I)
1系统稳定性分析 (1)
2不同输入信号的时域响应曲线 (2)
2.1系统单位阶跃响应曲线 (2)
2.2系统单位斜坡函数响应曲线 (3)
2.3系统单位加速度响应曲线 (4)
3动态性能指标与稳态性能指标 (6)
3.1动态性能指标计算 (6)
3.1.1采用主导极点分析 (6)
3.1.2应用MATLAB软件进行分析 (6)
3.2稳态性能指标 (8)
4根轨迹图绘制 (9)
4.1根轨迹数据计算 (9)
4.2用MATLAB软件绘制根轨迹 (10)
5体会与总结.................................. 错误！未定义书签。

5.1总结 ........................................... 错误！未定义书签。

5.2体会 ........................................... 错误！未定义书签。

本科生课程设计成绩评定表.. (13)
摘要
此次课程设计内容是高阶系统的时域分析，包括了稳定性分析、不同输入信号下的响应以及动态性能指标、稳态性能指标求解等等，同时还包括了根轨迹的绘制。

在分析的过程中还使用了MATLAB软件，从而使分析变的更为清晰。

在分析过程中应用了劳斯判据，根轨迹绘制规则等方法。

关键词：高阶系统性能指标根轨迹
高阶系统的时域分析
1系统稳定性分析
题目给定系统的开环传递函数为：
（）
则系统的闭环传递函数为：
（
（则系统的特征方程为：
当K=10,a=1,b=5时系统的特征方程为:
用劳斯判据判断系统的稳定性，其劳斯表如下所示
S4 1 15 50
S3 6 20 0
S2 11.7 50
S1 -5.6 0
S0 50
从表中可以看出，第一列系数第四行符号为负，故系统是不稳定的。

设K是变化的a=1,b=5,则系统的特征方程为：
用劳斯判据判断系统的稳定性，其劳斯表如下所示
S4 1 15 5K
S3 6 10+K 0
S25K
S1
S05K
则要求系统稳定需要第一列系数均大于0，可得0<K<6.8466
2不同输入信号的时域响应曲线
选择K=10,a=2,b=5,由劳斯判据知此时系统稳定，则系统的开环传递函数为
（）
所以系统为Ⅰ型系统，可以跟踪单位阶跃信号、单位斜坡信号，不能跟踪单位加速度信号。

系统闭环传递函数为
2.1系统单位阶跃响应曲线
当输入为单位阶跃函数信号时，R(s)=，系统响应为
C(s)=
运用MATLAB程序作图如图2-1，程序为：
num=[10, 50];
den=[1,7 ,20 ,30, 50];
G=tf(num,den);
step(G);
grid on;
xlabel('t ');
ylabel('c(t) ');
title('单位阶跃响应')
则响应曲线如图1所示。

图1 系统单位阶跃函数响应曲线
则由图可知
上升时间为=1.18s
调节时间为=17.2s
峰值时间为=1.93s
超调量为σ%=（1.64—1）/1*100%=64% 稳态误差为=0
2.2系统单位斜坡函数响应曲线
当输入为单位斜坡函数信号时，R(s)=,系统响应为
C(s)=
运用MATLAB程序作图如图2-2，程序为：
num=[10 ,50];
den=[1, 7 ,20 ,30 ,50];
G=tf(num,den);
t=0:0.01:10;
u=t;
grid on;
xlabel('t');
ylabel('c(t)');
title('单位斜坡响应')
则响应曲线如图2所示。

图2 系统单位斜坡函数响应曲线2.3系统单位加速度响应曲线
当输入为单位加速度函数信号时，R(s)=,系统响应为
C(s)=
运用MATLAB程序作图如图2-3，程序为：
num=[10, 50];
den=[1, 7 ,20, 30, 50];
G=tf(num,den);
t=0:0.01:10;
u=(0.5*t.^2);
grid on;
xlabel('t');
ylabel('c(t) ');
title('单位加速度响应')
则响应曲线如图3所示。

图3 系统单位加速度函数响应曲线
3动态性能指标与稳态性能指标
3.1动态性能指标计算
对于高阶系统来说，其动态性能指标的确定是比较复杂的，常用主导极点的概念对高阶系统进行近似分析，或者直接用MATLAB软件进行高阶系统分析。

下面用这两种方法进行分析。

3.1.1采用主导极点分析
当K=10,a=2,b=5时，系统的闭环传递函数为
（）
由于闭环极点有4个，且与虚轴距离差不多，因此难以确定主导极点，无法近似对系统进行动态性能分析。

3.1.2应用MATLAB软件进行分析
应用MATLAB软件进行分析的时候，调用单位阶跃响应函数step()，获得系统的单位阶跃响应，当采用[y,t]=step(sys)的调用格式时，将返回值y及相应的时间t，通过对y和t进行计算，可以得到高阶系统各项动态性能指标。

利用MATLAB编程求取系统动态性能指标程序如下：
sys=tf([10,50],[1,7,20,30,50])
C=dcgain(sys);
[y,t]=step(sys);
[Y,k]=max(y);
tp=t(k)
Mp=(Y-C)/C
n=1;
while y(n)<C
n=n+1;
end
tr=t(n)
i=length(t);
while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C)
i=i-1;
end
ts=t(i)
结果如图4、图5所示：
图4 动态性能指标分析结果
图5 动态性能指标分析结果
3.2稳态性能指标
当K=10,a=2,b=5时，系统的闭环传递函数为
则
E(s)=R(s)当输入信号为单位阶跃函数时，R(s)=
sE(s)=
当输入信号为单位斜坡函数时，R(s)=
sE(s)=
当输入信号为单位加速度函数时，R(s)=
sE(s)=
4根轨迹图绘制
4.1根轨迹数据计算
当a=1，b=5时，系统的开环传递函数为
（）
由根轨迹绘制规则进行计算如下：
(1)系统开环零点为z=-4；开环极点为,.66, ,
,则根轨迹起始于四个极点，终止于一个有限零点和三个无限零点。

(2)系统有max{ m，n }=4 条分支，且关于实轴对称。

(3)系统的m=1，n=4，故根轨迹的渐近线为3条，渐近线与实轴的交角分别为π/3，
π，5π/3，渐近线与横轴交点为（-1/3，0）。

(4)实轴上的根轨迹为[-1，0]。

(5)根轨迹的分离点：由方程
可得分离点为（-6.31，0）
(6)根轨迹与虚轴的交点求解如下
系统的闭环特征方程为：
则应用劳斯判据得：
1 15 5K
6 10+K 0
5K
5K
令劳斯表中行的首项为0，得K=6.8466,则（80-K）/6=12.19,5K=34.233;
令-12.19+34.233=0得。

4.2用MATLAB软件绘制根轨迹
程序如下所示
num=[1,5];
den=[1,6,15,10,0];
rlocus(num,den)
绘制结果如图6所示。

参考文献
[1] 胡寿松.自动控制原理（第四版）.科学出版社,2002
[2] 王孝武方敏葛锁良.自动控制理论.机械工业出版社,2009
[3] 黄忠霖.完全手册MATLAB使用详解.电子工业出版社,2009
[4] 邹伯敏.自动控制理论.机械工业出版社,2007
[5] 刘泉江雪梅.信号与系统.高等教育出版社,2006
[6]王万良.自动控制原理.高等教育出版社，2008
指导教师签字：
年月日。