【文献综述】热传导方程差分格式的收敛性和稳定性

热传导方程几种差分格式的MATLAB数值解法比较冯立伟【摘要】The several difference schemes for heat conduction equation were analyesed.The method for solving PDE equation was discussed.The programs are written in MATLAB using several difference schemes.A numerical experiment was made.In different mesh situations,t%对求解热传导方程的几种差分格式进行分析,并讨论使用MATLAB编程求解偏微分方程的方法.编制几种差分格式的MATLAB程序,使用算例进行数值实验,在不同网格比情况下,比较几种算法的优劣.【期刊名称】《沈阳化工大学学报》【年(卷),期】2011(025)002【总页数】5页(P179-182,191)【关键词】热传导方程;MATLAB;Crank-Nicolson离散【作者】冯立伟【作者单位】沈阳化工大学数理系,辽宁沈阳110142【正文语种】中文【中图分类】O241.82许多工程问题需要研究热量在物体内部的传导情况或某种物质在液体中的扩散情况，因此研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要.目前热传导方程已有多种求解格式［1－2］.MATLAB是目前最流行、应用最广泛的科学和工程计算软件.MATLAB基于矩阵运算，具有强大的数值运算能力和图形可视化能力，是方便实用、功能强大的数学软件［3］.用MATLAB求解常微分方程已有大量的研究［4－6］.王飞等介绍了如何使用MATLAB实现有限差分法求解微分方程［7］.高理平等给出了对两点边值问题有限元方法的程序［8］.李灿等对热传导问题的MATLAB数值计算进行了讨论［9］.本文讨论求解一维热传导方程几种不同差分格式的MATLAB编程方法，并使用算例进行检验和对结果进行分析.u(x，t)表示在t时刻物体内部坐标为x处的温度，a是热传导系数，f(x，t)为热源.1 热传导方程差分格式1.1 差分格式的建立首先对x-t平面进行网格剖分.分别取h，τ为空间步长与时间步长，用2族平行直线xj= jh，tk=kτ将矩形区域［0，T］×［0，L］分割成矩形网格.显式格式:隐式格式:Crank-Nicolson格式:Du Fort Frankel格式:由Taylor公式容易得出:它们都与一维热传导方程相容，其截断误差分别为O(τ+h2)，O(τ+ h2)，O(τ2+h2)和O(τ2+h2)［1］.1.2 初、边值条件的处理对定解条件进行离散化.由初始条件及第一类边界条件，可直接得到:1.3 稳定性分析令为网格比，显式格式公式(2)变为:使用Fourier方法可知，当r≤1/2时显式格式稳定.隐式格式变为:由Fourier方法可得隐式格式恒稳定.Crank-Nicolson格式变为:对于r＞0恒有增长因子|G|≤1，恒稳定.Du Fort Frankel格式变为:由Fourier方法可得Du Fort Frankel格式恒稳定.2 差分格式的求解显式格式:将(6)式与离散化的初边值条件结合，得到求解此问题的差分方程组:由于初始时间层上的u值为已知，由(10)式即可算出u在第一层各个节点处的近似值u1j.重复使用此式，可以逐层计算出所有的隐式格式:将(7)式与离散化的初边值条件联立，得差分方程组:将上述方程组改写成矩阵形式此方程组是三对角方程组，且系数矩阵严格对角占优，故解存在唯一.通过在每一时间层上求解一个这样的线性方程组得到在各个时刻各个网格点上的函数值. Crank-Nicolson格式:将(8)式与离散化的初边值条件联立并整理，得差分方程组:与隐式格式类似，用六点格式由第k时间层的值计算第k+1时间层的值时，需求解三对角方程组:此方程组的系数矩阵严格对角占优，差分方程组解存在唯一.程序如下:Du Fort Frankel格式:将(7)式与初始条件及第一类边界条件式联立并整理将格式改写为:由于此格式是3层格式，需要事先知道前面2个时间层上的解，第1层上的解通过对初始条件离散可得，第2层上的解使用前面的任意1种2层差分格式得到，再用此格式求解其余时间层上的解.程序核心代码如下:3 数值实验使用前面4种不同差分格式求解下面热传导方程的初边值问题.此问题的真解为u(x，t)=e－π2tsin(πx).定义误差e=u－U，取空间步长h=0.1，求解结果如图1～图6所示.图1 r=1时各种差分方法的误差‖ek‖2Fig.1 r=1 errors of several differen ce schemes‖ek‖2图2 r=时各种差分方法的误差‖ek‖2Fig.2 r=errors of several difference schemes‖ek‖2图3 r=时各种差分方法的误差‖ek‖2Fig.3 r=errors of several difference schemes‖ek‖2图4 r=时各种差分方法的误差‖ek‖2Fig.4 r=errors of several difference schemes‖ek‖2从实验结果可知，随着网格比的减小，各种方法的误差都在减小，显式格式和 Du Fort Frankel格式尤其明显.但显式格式只有当时才稳定.隐式格式虽然恒稳定，但误差较大.Crank-Nicolson格式随网格比的变化不大.图5 r=时各种差分方法的误差‖ek‖2Fig.5 r=errors of several difference schemes‖ek‖2图6 r=0.67时各种差分方法的误差‖ek‖2Fig.6 r=0.67 errors of several difference schemes‖ek‖24 结论给出了使用MATLAB求解热传导方程几种差分格式的方法和部分主要程序，通过数值实验看到Du Fort Frankel格式和 Crank-Nicolson格式是误差较小且实用的方法.参考文献:【相关文献】［1］胡健伟，汤怀民.微分方程数值方法［M］.2版.北京:科学出版社，2007:131－138.［2］ Morton K W，Mayers D F.Numerical Solution of Partial Differential Equations ［M］.2thed.Cambridge UK:Cambridge University Press，2005:19－26.［3］郑阿奇.MATLAB实用教程［M］.北京:电子工业出版社，2005:175－182.［4］单毅.常微分方程的MATLAB解法［J］.武汉大学学报(工学版)，2003，36(z2):150－152. ［5］何双.MATLAB在常微分方程初值问题的应用［J］.长春师范学院学报(自然科学版)，2005，24 (3):17－19.［6］唐洪浪，桂现才.用MATLAB符号工具箱编程求常微分方程的通解［J］.洛阳师范学院学报，2005，24(2):81－84.［7］王飞，裴永祥.有限差分方法的MATLAB编程［J］.新疆师范大学学报(自然科学版)，2003，22 (4):22－27.［8］高理平，杨光.两点边值问题有限元方法的程序实现与计算分析［J］.山东师范大学学报(自然科学版)，2009，24(1):1－5.［9］李灿，高彦栋，黄素逸.热传导问题的matlab数值计算［J］.华中科技大学学报(自然科学版)，2002，30(9):91－93.。

热传导方程的左分格式—上机卖习报告二零一gg年五月一维抛物方程的初边值问题分别用向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式，求解下列问题:du d2u”(兀0) = sin兀X、0 <x <1w(0,O = z/(l，O = 0, r >0在f = 0.05,0.1和0.2时刻的数值解，并与解析解u^t) = e-7：l sm(^x)进行比较。

1差分格式形式设空间步长h = l/N，时间步长r>0, T=M T,网比r = r/h2.(1)向前差分格式向前差分格式，即Z = /C\) ‘“；=0 =心),必=吆=0其中，丿= 1,2,…,N —1,R = 1,2,…,M—l. ^r^at/h2表示网比。

(1)式可改写成如下:M*+1 = + (i-2r)Uj + rw*_! + tfj此格式为显格式。

其矩阵表达式如下：Q-2r r)r l-2r(j、r 1一2广rl吐7、厂1一2、用丿加(2)向后差分格式(1)向后差分格式，即=0=久形)上：=WN =a其中j = 12・・\N_l,k = H,M_L (2)式可改写成- rw ：［： + (l+2r )叶' -中；；=0 + 叭此种差分格式被称为隐格式。

其矩阵表达式如下：rl + 2r -r( j \ I”-r l + 2r-r l + 2r -rW.V-1-r 1 + 2广丿MJ< UN >(3) 六点对称格式六点差分格式：喟-0 _ a加:-2喟+唸;唏- 2”； +吃,—T2L戸 戸 J眄=0产久XJM=H ；=O.将(3)式改写成-g 唸;+ (1 + 时-1 昭=g 略 + (1 - 诃 * * 咯 + /其矩阵表达式如下：(1 + r -r/2<l-r r/2 ) ( j\ -r/2 l + rr/2 1-rui-r/2 l + r -r/2r/2 1-r r/2X-r 1+2匚M丿r/2 l-2r ；E >2利用MATLAB 求解问题的过程对每种差分格式依次取N = 40., r=l/1600, r=l/3200, el/6400,用 MATLAB 求解并图形比较数值解与精确解，用表格列出不同剖分时的Z?误差。

热传导方程的修正C-N格式及稳定性分析何巧玲;阿布都热西提·阿布都外力【摘要】提出热传导方程的修正C-N显格式,xn+12,xn+1j-1的差分格式的处理方法,对算法进行了稳定性及收敛性证明,得到了修正显式热传导方程的稳定性条件为r≤3.数值实验表明,该方法稳定性好,宜于直接在计算机上使用.【期刊名称】《山东理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(028)004【总页数】4页(P21-24)【关键词】热传导方程;差分方程;显性格式;稳定条件;修正C-N方法【作者】何巧玲;阿布都热西提·阿布都外力【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046;新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046【正文语种】中文【中图分类】O24热传导方程在实际问题中有广泛的应用，如流体流动与传热、温度扩散等，因此求解热传导方程的方法有着重要的理论和实际意义.近些年，模拟计算热传导方程的方法得到迅速发展，最常用的有古典显式、古典隐式C-N格式[1]、并行计算等方法.古典显式差分格式计算方便，但稳定性条件古典隐式即Crank-Nicolson格式虽然是无条件稳定的，但要通过追赶法解线性方程组，计算量大，在不连续的边界附近r取得太大会发生振动[2-3]，并且精度不够理想，人们已很少使用它.近年来，四阶抛物方程给出了并行本性的交替分组方法[4]，五阶色散kdv方程给出了一组非对称的差分格式[5]，并行算法显隐格式交替使用,虽然提高了计算精度,但计算量很大.本文基于以上文献提出局部修正的Crank-Nicolson五点显式差分格式，避免了传统显性格式稳定性较差，隐性差分格式又须解线性方程组，计算机数值模拟不便等问题.1 热传导方程及差分格式的构造考虑热传导方程(1)式中：u=u(x,t)是扩散过程中某种物质的浓度，或者固体产热过程中在x处t时刻的温度；f(x),g(t),h(t)是已知函数.对(0,1)×(0,T)进行网格剖分，设xj=jh,tn=nτ,其中τ为时间步长，h为空间步长,并令为正实数.在网格点(xj,tn)处，用表示微分方程的近似解，对方程组(1)的Crank-Nicolson差分格式为[6](2)2 新差分格式的引入热传导方程的显示格式为即得(3)由(3)式可得(4)(1)1<j<J-1时，把得(4)式代入(2)式得(5)(2)当j=1，j=J-1时，计算方法如下：在之间插入在之间插入且则在之间插入在之间插入且则此法为热传导方程显示的五点差分格式.3 五点差分格式的稳定性当1<j<J-1时用Fourier方法分析差分格式(5)的稳定性.令则即即(1+r)vn+1=[r2cos2kh+2(r-r2)coskh+1-r+r2]vn令coskh=t,t∈[-1,1]，则(1+r)vn+1=(2r2t2+2(r-r2)t+1-r)vn格式(5)的增长因子是条件是稳定性的充要条件，因此只验证此要求为左边不等式对r≥0恒成立，故只考虑右边不等式，即要求于是格式(5)的稳定性条件为r≤3.4 关于收敛性定理定义则问题(1)和(5)的近似解满足下面的误差估计.定理1 对任意给定的r>0，差分格式(1)和(5)的解满足热传导方程五点显格式在H1范数意义下具有二阶精度.证明格式(5)U(xj,tn)在(xj,tn)对时间变量t进行泰勒展开分别把在处对空间变量x进行泰勒展开得(6)把(6)式代入(5)式，于是收敛性得到证明5 数值实验对定解问题式中取计算区域为[0,1]km,热传导速度α=1km/h，计算时间t=0.4h,空间步长h=0.01,用格式(2)，(5)进行计算(这里取两组数据进行数值试验)，结果如图1和图2所示.(i)τ=0.008,h=0.0 167,从图(1)可以看到C-N格式(2)虽然是无条件稳定的，但在不连续的边界附近有振动.当然，理论上讲，C-N格式对某些参数的选取会出现计算不稳定、编程复杂、计算量大等缺点.(ii)τ=0.008,h=0.0 334，从图(2)可以看到修正C-N格式(5)满足稳定性条件为r≤3，在不连续的边界附近图像很光滑且没有任何振动，修正C-N格式不会出现不稳定的现象，节省计算工作量而且利用格式本身就可以计算出第一时间层上的值，这就克服了隐格式解线性方程组的缺点.求解热传导方程的显修正C-N格式丰富了数值求解热传导方程的理论方法.图1 t=0.01时，C-N格式的计算结果和准确值比较图2 t=0.01时，修正C-N 格式的计算结果和准确值比较本文提出了一种修正Crank-Nicolson法，是r≤3显格方法．结果表明，该方法具有计算简单、稳定性好的优点，是求解热传导方程的有效实用方法．参考文献【相关文献】[1] 李德元，晨光南.抛物型方程差分方法引论[M].北京：科学出版社，1995.[2] 热米娜·沙比尔，阿布都热西提·阿布都外力.对热传导方程近似解在边界附近的变化研究[J]首都师范大学学报：自然科学版，2013,34(2)：10-13.[3] Harwood R C,Zhang L K,Vogel G M,et al.Oscillation-free operator splitting method for semilinear diffusion equations[J].Journal of Applied Mathematics andComputation,2013,18(7):7-18.[4] 冯青华.四阶抛物方程的一类交替分组方法[J].山东大学学报:理学版，2007,42(8):79-82.[5] 左进明，张天德.五阶色散KdV方程的交替分段显-隐差分格式[J].山东大学学报：理学版，2010,45(10):116-121.[6] 陆金莆，关治编.偏微分方程数值解法[M].3版.北京：清华大学出版社，2003.。

新疆大学毕业论文(设计)题目:求解热传导方程的高精度隐式差分格式所属院系：数学与系统科学学院专业：信息与计算科学声明本人郑重声明该毕业论文（设计）是本人在开依沙尔老师指导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责。

声明人（签名）：年月日亚库甫江.买买提同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成了该毕业论文（设计），指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。

指导教师（签名）：年月日新疆大学毕业论文（设计）任务书班级：信计07-2 姓名：亚库甫江.买买提论文（设计）题目：求解热传导方程的高精度隐式差分格式专题：毕业设计论文（设计）来源：教师自拟要求完成的内容：学习和掌握一维热传导方程已有的各种差分格式的基础上，扩散方程对空间变量应用紧致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构造热传导方程的精度为()24τ+数值格式，O h讨论格式的稳定性，最后数值例子来验证。

发题日期：2012 年12月25日完成日期：2012 年5月28 日实习实训单位：数学学院地点：数学学院论文页数：19页；图纸张数：4指导教师：开依沙尔老师教研室主任院长（系主任）摘要本文首先对热传导方程经典差分格式进行复习和讨论，然后热传导方程对空间变量四阶紧致格式进行离散,时间变量保持不变，把一维热传导方程转化为常微分方程组的初值问题, 再利用梯形方法构造热传导方程方程的时间二阶空间四阶精度的一种差分格式，并稳定性进行分析，数值结果与Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明, 该方法是有效求解热传导方程的数值计算.关键词: 热传导方程,高精度紧致格式; 梯形方法；两层隐格式; Crank-Nicolson格式ABSTRACTThis paper first study on some classical finite difference for the heat conduction equation, secondely secondely we apply compact finite difference approximation of fourth order for discretizing spatial derivatives but leave the time variable Continuous. This approach results in a system of ODEs, which can then be used trapezodial formula derived fourth order in space and second order in time unconditionally stable implicit scheme .the stability and local truncation error of the obtained method are analysied. Numerical experiments shows that this method Useful, efficient method for solving diffusion equationKeywords: Heat conduction eqution;Higher- oder compact scheme; Trapezodial formula ;Two- level implict scheme; Crank- Nicolson scheme目录引言 (1)预备知识 (2)1.扩散方程的经典差分格式 (3)1.1 显式差分格 (3)1.1.1 显式的截断误差................ . (4)1.1.2 显式差分格式的稳定性 (4)1.2 隐式差分格式 (5)1.2.1 隐式差分格式的截断误差 (5)1.2.2 隐式差分格式的稳定性 (6)1.3 Crank-Nicolson格式 (6)1.3.1 Crank-Nicolson差分格式的截断误差 (7)1.3.2 Crank-Nicolson差分格式的稳定性 (8)2.高精度格式的构造 (9)2.1梯形方法 (9)2.2本文格式的构造 (10)2.3 稳定性分析 (11)3.数值实验 (13)结论 (17)致谢 (18)参考文献 (19)引言热传导方程是一类描述物理量随时间的扩散和衰减规律的抛物型微分方程．自然环境、工程设备及生物机体中的许多物理现象，诸如气体的扩散、液体的渗透、热的传导、以及半导体材料中杂质的扩散等都可用热传导方程来描述．由于物理问题本身的复杂性，其精确解往往不容易求得，因此研究其数值求解方法无疑具有非常重要的理论意义和工程应用价值【1】．求解该问题的数值方法主要有 差分法、有限元法、边界元法等，其中有限差分方法数值求解扩散方程的应用广泛的有效地方法之一。

第1章前言1.1问题背景在史策教授的《一维热传导方程有限差分法的MATLAB实现》和曹刚教授的《一维偏微分方程的基本解》中，对偏微分方程的解得MATLAB实现问题进行过研究，但只停留在一维中，而实际中二维和三维的应用更加广泛。

诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。

也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-uhlenbeck过程。

热方程及其非线性的推广形式也被应用与影响分析。

在科学和技术发展过程中，科学的理论和科学的实验一直是两种重要的科学方法和手段。

虽然这两种科学方法都有十分重要的作用，但是一些研究对象往往由于他们的特性（例如太大或太小，太快或太慢）不能精确的用理论描述或用实验手段来实现。

自从计算机出现和发展以来，模拟那些不容易观察到的现象，得到实际应用所需要的数值结果，解释各种现象的规律和基本性质。

科学计算在各门自然科学和技术科学与工程科学中其越来越大的作用，在很多重要领域中成为不可缺少的重要工具。

而科学与工程计算中最重要的内容就是求解科学研究和工程技术中出现的各种各样的偏微分方程或方程组。

解偏微分方程已经成为科学与工程计算的核心内容，包括一些大型的计算和很多已经成为常规的计算。

为什么它在当代能发挥这样大的作用呢？第一是计算机本身有了很大的发展；第二是数值求解方程的计算法有了很大的发展，这两者对人们计算能力的发展都是十分重要的。

1.2问题现状近三十年来，解偏微分方程的理论和方法有了很大的发展，而且在各个学科技术的领域中应用也愈来愈广泛，在我国，偏微分方程数值解法作为一门课程，不但在计算数学专业，而且也在其他理工科专业的研究生的大学生中开设。

同时，求解热传导方程的数值算法也取得巨大进展，特别是有限差分法方面，此算法的特点是在内边界处设计不同于整体的格式，将全局的隐式计算化为局部的分段隐式计算。

而且精度上更好。

目前，在欧美各国MATLAB的使用十分普及。

在大学的数学、工程和科学系科，MATLAB苏佳园：二维热传导方程有限差分法的MATLAB实现被用作许多课程的辅助教学手段，MATLAB也成为大学生们必不可少的计算工具，甚至是一项必须掌握的基本技能。