江苏省南师大附中高考数学信息卷(一)解析版

2023年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷1. 若集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知，且，其中i是虚数单位，则等于( )A. 5B.C.D. 13. 等比数列的前n项和为，若，，则公比q的值为( )A. B. 1 C. 或1 D. 或14. 如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥．如图是根据如图作的简易侧视图为便于计算，侧视图与实物有区别在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上．已知，，，根据物理学知识得，则( )A. 28mB. 20mC. 31mD. 22m5. 已知实数，，则的取值范围是( )A. B. C. D.6. 已知函数的定义域为R，且为偶函数，，若，则( )A. 1B. 2C.D.7. 已知，的一条切线与有且仅有一个交点，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，8. 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可则直线DE与直以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，线AF所成角的余弦值的取值范围为( )A. B. C. D.9. 已知事件A，B满足，，则( )A. 若，则B. 若A与B互斥，则C. 若A与B相互独立，则D. 若，则A与B相互独立10. 已知随机变量X的概率密度函数为，且的极大值点为，记，，则( )A. B.C. D.11. 下列说法中，其中正确的是( )A. 命题：“，”的否定是“，”B. 化简的结果为2C. …D. 在三棱锥中，，，点D是侧棱PB 的中点，且，则三棱锥的外接球O的体积为12. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链;空旷的田野上，两根电线杆之间的电线;峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为其中a，b是非零常数，无理数，对于函数以下结论正确的是( )A. 是函数为偶函数的充分不必要条件;B. 是函数为奇函数的充要条件;C. 如果，那么为单调函数;D. 如果，那么函数存在极值点.13. 过点且与圆C：相切的直线方程为______ .14. 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是______ .15. 已知直线l：，抛物线C：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，点B关于y轴对称的点为若过点A，B的圆与直线l相切，且与直线PB交于点Q，则当时，直线AB的斜率为______ .16. 三个元件a，b，c独立正常工作的概率分别是，，，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒，，中一盒接一个元件，各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是______ .17. 已知函数在一个周期内的图象如图所示.求函数的表达式；把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若，求函数的值域.18. 已知数列，满足，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列．求，的通项公式；求的前n项和19. 某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局，第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲、乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立.求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；已知乙最后晋级决赛，但不知甲、乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率.20. 如图，在四棱锥中，侧棱矩形ABCD，且，过棱PC的中点E，作交PB于点F，连接DE，DF，BD，证明：；若，平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，求的值.21. 已知，为双曲线C的焦点，点在C上.求C的方程；点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若，，是否存在定点T，使得为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由.22.已知函数，其中设函数，证明：①有且仅有一个极小值点；②记是的唯一极小值点，则；若，直线l与曲线相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线l的方程.答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，则故选：直接解出集合M，N，再求交集即可．本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由得，即，解得，故故选：利用复数乘法法则进行计算，得到，再使用模长公式求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列的公比为q，，，当时，，符合题意，当时，有解得故选：4.【答案】D【解析】解：由，则，即，又已知，，，，则，，，即，则，故选：由，则，即，然后结合已知求解即可．本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了运算能力，属基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，设直线l：恒过原点，点，那么点到直线l的距离为：，因为，，所以，且直线l的斜率，当直线l的斜率不存在时，，所以，当时，，所以，即，因为，所以故选：根据题意设直线l：，点，利用点到直线的距离公式得点A到直线l的距离为，由直线l的斜率不存在得，由得，化简即可求解．本题主要考查点到直线的距离公式，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：因为为偶函数，所以，所以，则关于对称，设，，关于对称，，所以，即符合条件，所以故选：设，满足题意，即可求解．本题主要考查函数奇偶性的性质，函数值的计算，考查运算求解能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：由，得，设切点，则，过切点的切线方程为，①把代入并整理，可得，的一条切线与有且仅有一个交点，，即，代入①，可得切线方程为即，求出原函数的导函数，得到函数在切点处的切线方程，与已知切线方程联立，可得关于x的一元方程，由方程有唯一解求得t，得到切线方程，则k与b可求．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，设切点是关键，是中档题．8.【答案】C【解析】解：如图，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，设，则，，，当时，当时，，，可得直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为故选：把多面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，再由空间向量求解．本题考查空间中异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是9.【答案】BD【解析】解：对于A，因为，，，所以，故A错误；对于B，因为A与B互斥，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C错误；对于D，因为，即，所以，又因为，所以，所以A与B相互独立，故D正确．故选：对于A，由题意可得，从而即可判断；对于B，由互斥事件的概率计算公式计算即可；对于C，先求得，再根据独立事件的计算公式计算即可；对于D，判断是否成立即可．本题主要考查条件概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了概率密度函数，以及正态分布的概率计算，属中档题.利用随机变量X的概率密度函数可得到，可判断A；利用复合函数单调性可得在上递增，在上递减，即的极大值点为，故可判断B；根据密度曲线关于对称，可判断【解答】解：对于A，由随机变量X的概率密度函数为可得，因为，所以，所以随机变量X服从正态分布，故A错误；对于B，因为二次函数在上递增，在上递减，由函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可得在上递增，在上递减，所以的极大值点为，所以，所以随机变量X服从正态分布，故B正确；对于C，因为，，又，所以，即，故C正确；对于D，因为，，所以，故D正确；故选：11.【答案】BCD【解析】解：A：命题：“，”的否定是“，”，故A错；B：，故B正确；C：…，故C正确；D：如图所示，由，，则，得，由D是PB的中点，，易知：为等边三角形且，又，所以，得，又，AP，平面PAB，所以平面设球心为O且在过中心垂直于面PAB的垂线上，点O到底面PAB的距离为，由正弦定理得的外接圆半径，球O的半径，所以三棱锥的外接球O的体积为故D正确．故选：根据存在性量词命题的否定即可判断A；根据二倍角的正弦、余弦公式和诱导公式计算即可判断B；根据二项式定理即可判断C；利用线面垂直的判定定理可得平面PAB，结合正弦定理、勾股定理和球的体积公式计算即可判断本题考查含一个量词的命题的否定，三角函数求值问题，二项式定理的应用，三棱锥的外接球问题，属中档题．12.【答案】BCD【解析】解：对于选项A，当时，函数定义域为R关于原点对称，，故函数为偶函数；当函数为偶函数时，，故，即，又，故，所以是函数为偶函数的充要条件，故A选项错误；对于选项B，当时，函数定义域为R关于原点对称，，故函数为奇函数，当函数为奇函数时，，因为，，故所以是函数为奇函数的充要条件，故B选项正确；对于选项C，，因为，若，，则恒成立，则为单调递增函数，若，则恒成立，则为单调递减函数，故，函数为单调函数，故C选项正确；对于选项D，，令得，又，若，，当，，函数为单调递减．当，，函数为单调递增．函数存在唯一的极小值．若，，当，，函数为单调递增．当，，函数为单调递减．故函数存在唯一的极大值，所以函数存在极值点，故D选项正确．故答案为：根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数奇偶性的判断与性质，考查逻辑推理能力，属于中档题．13.【答案】或【解析】解：将圆C方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为是圆C的切线，满足题意，当过点的直线斜率存在时，可设直线方程为，即，利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，即此直线方程为，故答案为：或分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解．本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．14.【答案】28【解析】解：显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论．最大数为5的情况：①，此时共有种情况；最大数为4的情况：②，此时共有种情况；③，此时共有种情况．当最大数为3时，，故没有满足题意的情况．综上，满足条件的有序数组的个数是故答案为：分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解即可．本题主要考查简单的合情推理，排列与分类加法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：如图，易知过点A，B且与直线l相切的圆就是以AB为直径的圆，设，，则，，由，可得，设直线AB的方程为，代入中，可得，，，结合，得故答案为：根据题意设直线AB的方程为，联立抛物线方程，然后结合韦达定理即可得到结果．本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，方程思想，属中档题．16.【答案】【解析】解：当接入a时，能正常工作的概率为，当接入b时，能正常工作的概率为，当接入c时，能正常工作的概率为，，，，，此电路正常工作的最大概率是故答案为：利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可．本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．17.【答案】解：根据函数图象可得，，，，，得，，又，，，，，得，，又，，；把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到，再向下平移一个单位得到，再向左平移个单位得到，，当时，，又函数在上单调递增，在上单调递减，，，即值域为【解析】根据函数图象可得，得，由图象和公式求得，由求得，即可求解；根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，利用正弦函数的单调性即可求出函数的值域．本题主要考查由的部分图象确定其解析式，三角函数的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：由题意可得：，，，，数列单调递增，，，，时，，时，；时，；时，………【解析】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；先研究数列单调性，对n分类讨论，再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．19.【答案】解：设甲至多经过两局比赛晋级决赛为事件A，则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜，则；设乙恰好经过一局，两局，三局比赛晋级决赛分别为事件B，C，D，则，，，故在乙最后晋级决赛的前提下，乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为【解析】甲至多经过两局比赛晋级决赛，则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜，根据概率计算即可；分别计算出乙恰好经过一局，两局，三局比赛晋级决赛的概率，再由条件概率的计算公式求解．本题考查条件概率，考查概率的乘法公式，属于中档题．20.【答案】证明：因为矩形ABCD，所以，由底面ABCD为长方形，有，而，所以平面PCD，而平面PCD，所以，又因为，点E是PC的中点，所以，而，所以平面PBC，而平面PBC，所以，又，，所以平面DEF，所以得证；解：如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系：因为，设，则，，，，所以，又因为点E是PC的中点，所以，由平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为，由知，平面DEF，所以平面DEF的一个法向量为，则，解得，所以，【解析】易证平面PCD，所以，又因为，所以平面PBC，所以，又，所以平面DEF，从而证得；以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设，求出相应点的坐标，再求出面DEF与平面ABCD的法向量，结合题目条件求出的值，再利用三棱锥的体积公式求解即可．本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求二面角的大小，属于中档题．21.【答案】解：设双曲线方程为，由题意，为双曲线C的焦点，点在C上，可知，的方程为点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，设直线AB的方程为，、，，，，，，直线PA方程为，令，直线PB方程为，可得，，，，，，，，，，，，当时，，此时直线AB方程为，恒过定点，显然不可能，，直线AB方程为恒过定点，，，取PE中点T，，为定值，存在使为定值【解析】设双曲线方程为，利用已知条件推出a，b，得到双曲线方程．设直线AB的方程为，、，，，求解M、N的坐标，通过，结合韦达定理，推出，推出AB的直线系方程，推出结果．本题考查双曲线方程的求法，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】证明：①依题意，，求导得：，令，则，函数即在R上单调递增，又，则存在，使得，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以为的唯一极小值点；②由①知，，即，则，因此，要证，只需证，即证，因为，从而只需证，即，而，所以；解：依题意，，求导得：，则函数在点处的切线的方程为，若直线l恰好与曲线相切且有无穷多个切点，任取两个不同的切点，，则在此两点处的切线为同一直线，即，于是有，则或，若，从而得：，显然，则，若，取异于A，B外的另一个切点，则有，，如果，则有，如果，则，因此，从而恒有，即，于是得直线l的方程为或，当切线方程为时，切点为，当切线方程为时，切点为，所以直线l的方程为或【解析】①对函数求导，结合单调性、零点存在性定理证明仅有一个零点，并判断在零点两侧的符号即可得证；②由①可得，再对不等式进行等价变形，借助分析法即可得证；设出切点坐标，由导数的几何意义推理可得切点坐标满足的关系，再求解作答．本题考查了导数的综合运用，属于中档题．。

江苏省南京市南京师大附中2025届数学高三第一学期期末学业质量监测试题 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( )A ．−8B ．−6C ．6D ．82．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ）A ．28B ．14C ．7D ．2 3．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．3(0,]4 C ．3[,1]4 D ．[1,)+∞4．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．85．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ） A．5 B．7 C- D．9-6．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ） A ．[2，4] B ．[4，6] C ．[5，8] D ．[6，7]7．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24B ．36C ．48D ．64 8．若函数()2x f x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 9．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<10．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37 D ．92811．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年南京师大附中高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 若集合A ={4,5，6，8}，B ={3,5，7，8}，则A ∪B = ______ ．2. 已知i 为虚数单位，则1+3i 1−i =________．3. log 3√27+lg25+lg4−7log 72−(−9.8)0= ______ ．4. 执行如图的程序框图，若p =1516，则输出n 的值为______．5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(b +c)sin A 2=8，(b −c)cos A 2=6，则a =________．6. 已知tan(x +π4)=2，则tanx =______．7. 函数f(x)=1x −9x+1(x >0)的最小值为______．8. 将黑、白两个小球随机放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，则黑、白两个小球在同一个盒子里的概率为____________．9. 抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为________．10. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m//β，β⊥α，则m ⊥α；②若m ⊥α，n//α，那么m ⊥n ；③若α//β，m ⊂α，那么m//β；④若m//n ，α//β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确命题的序号是______．11. 已知向量则1m +8n 的最小值______12. 在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ______ ．13. 设a 、b 、c 是正实数满足a +b ≥c ，则b a +ab+c 的最小值为______．14. 当x ∈[0,3]时，不等式x −(12)x +m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是__________． 二、解答题（本大题共11小题，共142.0分） 15. 如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =60°，PA =AC ，PB =PD =√2AC ，E 是PD 的中点，求证：(1)PB//平面ACE ；(2)平面PAC ⊥平面ABCD ．16. 在△ABC 中，已知tanA =12,tanB =13且最长边为1．(1)求角C ；(2)求△ABC 的面积S ．17.要建造一个容积为4800m3，深为3m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为150元和120，那么怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价为多少元？18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a>b>0)的上顶点为，圆经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点M作直线l1交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N，若△PQN的面积为3，求直线l1的斜率．19.函数f(x)=xlnx−ax+1在点A(1,f(1))处的切线斜率为−2．(1)求实数a的值；(2)求f(x)的单调区间．20.已知数列{a n}满足a1=12，a n+1=a n2a n+1．(1)证明数列{1a n}是等差数列．(2)求{a n}的通项公式．21.已知矩阵M=[144x]的一个特征值为3，求其另一个特征值．22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=6cosθ，直线l 的参数方程为{x =3+12t y =−3+√32t(t 为参数)． (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)求直线l 分圆C 所得的两弧程度之比．23. 已知3x +2y =1，求x 2+y2的最小值．24. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，棱AB ，AD ，AP 两两垂直，且长度均为1，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1).(1) 若λ=1，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；(2) 若二面角B −PC −D 的大小为120°，求实数λ的值．25. 已知f(x)=(1+ax)n =a 0+a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n ，若对于任意n ∈N ∗，都有∑a i n i=0=(23)n ． (1)求实数a 的值；(2)若[f(x)]2=b 0+b 1x +b 2x 2+⋯+b 2n x 2n ，求13b 1+132b 2+133b 3+⋯+132n b 2n 的值．【答案与解析】1.答案：{3,4，5，6，7，8}解析：解：∵集合A={4,5，6，8}，B={3,5，7，8}，∴A∪B={3,4，5，6，7，8}．故答案为：{3,4，5，6，7，8}．利用并集的性质求解．本题考查并集的求法，解题时要认真审题，是基础题．2.答案：−1+2i解析：本题考查了复数的运算，属于基础题．直接利用复数的运算法则计算即可．解：1+3i1−i=(1+3i)(1+i) (1−i)(1+i) =−2+4i2=−1+2i．故答案为−1+2i．3.答案：12解析：本题考查了对数与对数运算，属于基础题.根据对数的运算性质计算即可．解：原式=32+lg100−2−1=32+2−2−1=12，故答案为12．4.答案：5解析：解：模拟程序的运行，可得：循环依次为：S=0+12=12,n=2；S=12+122=34,n=3；S=34+18=78,n=4；S=78+116=1516,n=5；结束循环，输出n=5．故答案为：5．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的只并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.答案：10解析：本题主要考查了三角函数的公式以及余弦定理，正确变形是关键．解：由，，两边平方并相加得：，即，由余弦定理可知a2=100，所以a=10．故答案为10．6.答案：13解析：解：∵已知tan(x+π4)=2，∴tanx+11−tanx=2，解得tanx=13，故答案为：13．根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得tanx+11−tanx=2，解方程求得tan x的值．本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．7.答案：−4解析：解：函数f(x)=1x −9x+1(x>0)的导数为f′(x)=−1x2+9(x+1)2=(2x−1)(4x+1)x2(x+1)2，当x>12时，f′(x)>0，f(x)递增；当0<x<12时，f′(x)<0，f(x)递减，可得x=12时，f(x)取得极小值，且为最小值，即有f(12)=2−6=−4，故答案为：−4．求得f(x)的导数，求出f(x)在x>0的单调性，可得极小值，且为最小值，计算可得所求值．本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求出单调区间，考查运算能力，属于中档题．8.答案：13解析：本题主要考查的是古典概型的计算及应用的有关知识，先求出基本事件总数，然后求出黑、白两个小球在同一个盒子里的可能结果数量，再利用概率公式进行求解即可．解：将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，基本事件总数n=3×3=9，则黑、白两个小球在同一个盒子里有3种可能，则黑、白两个小球在同一个盒子里的概率为39=13．故答案为13．9.答案：2解析：本题主要考查了抛物线的几何性质，属于基础题．利用抛物线的性质求解．解：抛物线x2=4y中，焦点F(0,1)，准线方程为y=−1，所以焦点到准线的距离为1−(−1)=2．故答案为2．10.答案：②③④解析：本题考查了空间中直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系，根据题意逐一判定即可得出结论．解：对于①，若m//β，β⊥α，则m与α可能垂直，可能平行，可能斜交，故①错误；对于②，若m⊥α，n//α，那么m⊥n，故②正确；对于③，若α//β，α内任一条直线都与β平行，m⊂α，那么m//β，故③正确；对于④，若m//n，所以m，n与α所成的角相等，因为α//β，n与α、β所成的角相等，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等，故④正确，所以，正确命题的序号是②③④，故答案为②③④．11.答案：92解析：本题考查了利用基本不等式求最值和平面向量共线的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用平面向量共线的充要条件得n+2m=4，再利用基本不等式求最值计算得结论，解：∵a⃗//b⃗ ，∴4−n−2m=0，即n+2m=4．∵m>0，n>0，∴1m+8n=14(n+2m)(1m+8n)=14(10+nm+16mn)≥14(10+2√n m×16m n )=92，当且仅当n =4m =83时取等号． ∴1m +8n 的最小值是92． 故答案为92．12.答案：4解析：由已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+12=16，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16.而AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入即可得出．熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键．解：由已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+12=16， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16． ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16． ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4． 故答案为4．13.答案：√2−12解析：解：∵a ，b ，c 是正实数，满足a +b ≥c ， ∴a +2b ≥b +c ，∴b a +a b +c ≥b a +a a +2b =b a +11+2b a =12(2b a +1)+11+2b a−12≥√2−12 (当且仅当a +b =c 时取等号) 故答案为：√2−12．利用放缩法和基本不等式的性质进行求解．本题主要考查基本不等式的应用和放缩法，属于中等题．14.答案：解析： 【试题解析】本题考查不等式恒成立问题，属于基础题．利用分离参数法变形为m ≥(12)x−x ，要使得不等式恒成立转化为求m ≥[(12)x−x]max即可．解：由题意得m ≥(12)x−x 在x ∈[0,3]恒成立，即m ≥[(12)x−x]max，设g(x)=(12)x−x ，显然函数g(x)在x ∈[0,3]上单调递减，所以m ≥g(0)=1， 故答案为．15.答案：证明：(1)连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，∵底面ABCD 为菱形，∴O 为BD 的中点，又E 是PD 的中点， ∴OE//PB ，∵OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， ∴PB//平面ACE ；(2)∵底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°， ∴△ABC 为正三角形，从而AB =AC ， 又PB =√2AC ，PA =AC ， ∴PB =√2AB =√2PA ，可得PA ⊥AB ，同理可证PA ⊥AD ，又∵AB ∩AD =A ，且AB ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ，∵PA ⊂平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面ABCD ．解析：本题考查直线与平面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．(1)连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，可得OE//PB ，从而得到PB//平面ACE ；(2)由底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形，从而AB =AC ，再由已知可知PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，由线面垂直的判定可得PA ⊥平面ABCD ，进一步得到平面PAC ⊥平面ABCD ．16.答案：解：(1)∵tanC =tan(π−A −B)=−tan(A +B)=−=−1，∴C =3π4；(2)∵tanA =12>13=tanB ，C =3π4，∴C 为最大角，B 为最小角． 又tanB =13，tanA =12，∴sinB =√1010，sinA =√55， 由正弦定理，得asinA =bsinB =csinC ， ∴b =√55，a =√105， ∴S =12absinC =12×√105×√55×√22=110．解析：(1)由三角形的内角和定理得到C =π−(A +B)，然后利用两角和与差的正切函数公式及诱导公式化简，将tan A 和tan B 的值代入即可求出tan C 的值，由C 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数；(2)根据正切函数的单调性由tan B 小于tan A ，得到B 小于A ，即b 小于a ，由C 为钝角得到最长的边为c ，最短的变为b ，根据tan B 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin B ，sin A 的值， 由sin B ，sin C 和c 的值，利用正弦定理即可求出b ，a 的值，从而得到三角形的面积．17.答案：(8分)解：设水池底面长为x 米时，总造价为y 元．由题意知水池底面积为48003=1600m 2，水池底面宽为1600xm ．∴y =150×1600+120×3×(2x +2×1600x) =150×1600+720(x +1600x) ∵x +1600x≥2√x ×1600x=80，当且仅当“x =40”时取得“=”所以当x =40时，y min =297600．解析：设水池底面长为x 米时，总造价为y 元．列出函数关系式，利用基本不等式求解最值即可． 本题考查实际问题的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．18.答案：解：(1)因为椭圆C 的上顶点为，所以b =√3， 又圆经过点，所以a =2.所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)若l 1的斜率为0，则PQ =4√63，MN =2，所以△PQN 的面积为4√63，不合题意，所以直线l 1的斜率不为0.设直线l 1的方程为y =kx +1， 由消y ，得(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，设，， 则x 1=−4k−2√6⋅√2k2+13+4k2，x 2=−4k+2√6⋅√2k2+13+4k2，所以PQ =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 =√1+k 2|x 1−x 2|=4√6√1+k 2⋅√2k 2+13+4k 2.直线l 2的方程为y =−1k x +1，即x +ky −k =0， 所以MN =2√1−k 21+k2=√1+k 2.所以△PQN 的面积S =12PQ ⋅MN =12×4√6√1+k 2⋅√2k 2+13+4k 22=3，解得k =±12，即直线l 1的斜率为±12.解析：本题主要考查直线与椭圆相交的相关问题． (1)先求b ，a ，即可写出椭圆的方程；(2)把直线的方程与椭圆的方程联立，根据根与系数的关系解答．19.答案：解：(1)∵f(x)=xln x −ax +1，∴f′(x )=lnx +1−a ，∴函数f(x)=xln x −ax +1在点A(1,f(1))处的切线斜率为k =f′(1)=1−a =−2， 解得a =3;(2)由(1)可得f (x )=xlnx −3x +1,x ∈(0,+∞)， 故f′(x )=lnx −2,x ∈(0,+∞)， 令f′(x )>0得x >e 2， 令f′(x )<0得0<x <e 2，故f (x )的增区间为(e 2,+∞)，减区间为(0,e 2)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究曲线上某点切线方程，是基础题． (1)求出函数的导数，利用导函数值与斜率的关系，即可求出a 的值;(2)求出f(x)的解析式，得到函数的导数，解关于导函数的不等式，求出单调区间即可．20.答案：解：(1)∵a n+1=a n 2a n +1，∴1a n+1−1a n =2，∴{1a n}是首项为2，公差为2的等差数列；(2)由(1)可得1a n=1a 1+2(n −1)=2n ，所以a n =12n ．解析：本题考查等差数列的定义以及等差数列的通项公式，属于基础题． (1)由递推关系利用等差数列的定义1an+1−1a n=2(常数)便可得到结论；(2)由(1)可得等差数列{1a n}的通项公式，从而得到数列{a n}的通项公式．21.答案：解：矩阵M的特征多项式为f(λ)=∣∣∣λ−1−4−4λ−x∣∣∣=(λ−1)(λ−x)−16，因为λ1=3是方程f(λ)=0的一根，所以x=−5.由(λ−1)(λ+5)−16=0，得λ2=−7，所以矩阵M的另一个特征值为−7．解析：本题考查矩阵的特征向量和特征值的求法，属基础题，根据特征多项式的一个零点为3，可得x=−5，再回代到方程f(λ)=0即可解出另一个特征值．22.答案：解：(1)圆的极坐标方程ρ=6cosθ可化为ρ2=6ρcosθ，利用极坐标公式，化为普通方程是x2+y2=6x，即(x−3)2+y2=9．(2)圆C的方程为(x−3)2+y=9，圆心C为(3,0)，半径r=3，直线l的方程为y+3=√3(x−3)，即√3x−y−3√3−3=0，圆心到直线的距离d=√3−3√3−3|√1+3=32，∴直线l圆截得的弦所对的圆心角为120°，直线l将圆C分成弧长之比为1：2的两段圆弧．解析：(1)圆的极坐标方程ρ=6cosθ可化为ρ2=6ρcosθ，利用极坐标公式，化为普通方程；(2)求出圆心到直线的距离，可得直线l圆截得的弦所对的圆心角，即可得出结论．本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．23.答案：113解析：根据柯西不等式得(9+4)(x2+y2)≥(3x+2y)2，∵3x+2y=1，∴x2+y2≥113，当且仅当x3=y2时取等号，∴x2+y2的最小值为113．24.答案：解：(1)以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ．因为λ=1，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 依题意，C(1,1，0)，P(0,0，1)，B(1,0，0)，D(0,1，0)， 所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−1)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)．设平面PBD 的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅PB →=0n →⋅PD =0,所以{x −z =0y −z =0，取z =1得，n →=(1,1,1)为平面PBD 的一个法向量． 所以|cos <PC →,n →，> |=|PC →⋅n→|PC →|⋅|n →||=√3×√3=13．所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13．(2)依题意，C(1,λ,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−1)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,λ,−1)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)． 设平面PBC 的法向量为n 1→=(x 1→,y 1→,z 1→), 则{n →1⋅PB →=0,n →1⋅PC →=0,即{x 1−z 1=0,x 1λy 1−z 1=0, 取z 1=1得，n 1→=(1,0,1)为平面PBC 的一个法向量．设平面PCD 的法向量为n 2→=(x 2,y 2,z 2),则{n 2→⋅PC →=0,n 2→⋅PD →=0,即{x 2λy 2−z 2=0,y 2−z 2=0,取z 2=1得，n 2→=(1−λ,1,1)为平面PCD 的一个法向量． 所以|cos <n 1→,n 2→>|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|×|n 2→||=√2√2(1−λ)2=|cos 120°|=12，解得λ=1或λ=5， 因为0<λ≤1，所以λ=1．解析：本题考查空间角的求解，考查考生的空间想象能力和运算求解能力．(1)由条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，分别求出平面PBD 的法向量和直线PC 的方向向量，然后利用公式进行求值;(2)设点C 的坐标，分别计算平面PBC 和平面PCD 的法向量，由二面角为120°，根据公式可计算实数λ的值．25.答案：解：(1)由f(1)=(1+a)n =a 0+a 1+a 2+⋯+a n =∑a i n i=0=(23)n．得a =−13；(2)[f(x)]2=b 0+b 1x 2+b 2x +⋯+b 2n x 2n =[(1−13x)n ]2=(1−13x)2n ，∴b k =C 2n k(−13)k ，令b k 3k =C 2n k (−1)k ，k =1，2，3…，2n ，首先考虑1C 2n+1k+1C 2n+1k+1=k!(2n+1−k)!(2n+1)!+(k+1)!(2n−k)!(2n+1)!=k!(2n −k)!(2n +1−k +k +1)(2n +1)!=k!(2n−k)!(2n+2)(2n+1)!=2n+2(2n+1)C 2nk ，则1C 2nk =2n+12n+2(1C 2n+1k+1C 2n+1k+1)， 因此1C 2nk −1C 2nk+1=2n+12n+2(1C 2n+1k−1C 2n+1k+2).故13b 1+13b 2+13b 3+⋯+13b2n=−C 2n 1+C 2n 2−C 2n 3+⋯+(−1)k C 2n k +⋯+C 2n 2n=−2n +12n +2(1C 2n+11−1C 2n+13+1C 2n+13−1C 2n+15+⋯+1C 2n+12n−1−1C 2n+12n+1) =−2n +12n +2(1C 2n+11−1C 2n+12n+1)=2n +12n +2(12n +1−1) =nn+1．解析：(1)在已知等式中取x =1，结合∑a i n i=0=(23)n即可求得a 值；(2)由已知结合(1)可得b k =C 2n k (−13)k ，令b k 3k =C 2n k (−1)k ，k =1，2，3…，2n ，得到1C 2nk =2n+12n+2(1C 2n+1k +1C 2n+1k+1)，因此1C 2nk −1C 2nk+1=2n+12n+2(1C 2n+1k−1C 2n+1k+2)，代入得答案．本题考查二项式定理的应用，考查组合数公式的性质，考查计算能力，是中档题．。

江苏省南师附中2025届高考仿真卷数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=AB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．33y x =±B ．62y x =±C ．()32=±-y x D ．()31=±-y x2．已知函数||()()x x f x x R e=∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(212),e eB ．(20,)2e eC ．(11,1)e+D ．21,12()ee+ 3．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-54．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心5．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020211n n k a a-==∑，则k =( ) A ．2020B ．4038C ．4039D ．40406．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ）A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-7．已知点()25,310A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．103B ．102C ．10D ．2108．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．19．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A ．12B ．14C ．15D ．11010．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ） A ．13B ．310C ．25D ．3411．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为 A ．24(4)2h 2π+π+B ．216(2)4h π+π+C ．2(8421)h π+π+D ．2(2216)h π+π+12．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．集合A={0，e x}，B={﹣1，0，1}，若A∪B=B，则x=___________．【点睛】根据A∪B=B，得A⊆B，是解题的关键．【答案】0【解析】因为A∪B=B，所以A⊆B，由题意，集合A={0，e x}，B={﹣1，0，1}，所以e x=1，所以x=0．故答案为：0．【点评】本题考查集合的运算，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z12ii+=（i是虚数单位），则z的虚部是___________．【点睛】先进行复数的乘除运算，化简后即可得到答案．【答案】﹣1【解析】由题意得z()212i i i22ii1+-===--，所以z的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的基本概念与乘除运算，是基础题．3．log24+log42=___________．【点睛】熟记对数运算的性质．【答案】5 2【解析】原式=22242loglog+=21522+=．故答案为：52．【点评】本题考查对数运算的性质，考查计算能力，是基础题．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为___________．【点睛】该流程图的功能：利用循环结构来输出变量s 的值；看懂程序框图即可解决问题． 【答案】56【解析】由程序框图得：第一次运行：k =1时，()1111111122s =+-⨯=-=+； 第二次运行：k =2时，111151212236s =+⨯=+=+； 第三次运行：此时k =3满足条件k ≥3，结束循环，输出的s 值为56，故答案为：56． 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．在△ABC 中，a =4，b =5，c =6，则sin2sin AC=___________． 【点睛】利用正余弦定理、二倍角公式即可得出结论． 【答案】1【解析】△ABC 中，a =4，b =5，c =6，由余弦定理得cos A 25361632564+-==⨯⨯；由正弦定理、二倍角公式得sin2sin A C =2sin cos sin A A C =2cos ca A=32446⨯⨯=1．故答案为：1．【点评】本题考查二倍角公式、正余弦定理，考查学生的计算能力，基础题．6．已知函数()()()sin f x x x ϕϕ=++，0≤φ≤π．若f （x ）是奇函数，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为___________． 【点睛】先利用辅助角公式化简，再由f （x ）的奇偶性求出φ，可得π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【答案】﹣1【解析】由辅助角公式化简得()()()12sin 2f x x x ϕϕ⎡⎤=⨯++=⎢⎥⎣⎦2sin （x +φπ3+）；因为0≤φ≤π， f （x ）是奇函数，则φ2π3=；∴f （x ）=2sin （x +π）=﹣2sin x ；所以π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin π6=-1.故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的奇偶性，属于基础题．7．已知f （x ）=|log 3x |，若a ，b 满足f （a ﹣1）=f （2b ﹣1），且a ≠2b ，则a +b 的最小值为___________．【点睛】先推出（a ﹣1）（2b ﹣1）=1，整理得a +b 2222a aa -=-；再利用导数求函数的最值．【答案】32+【解析】由f （x ）=|log 3x |， f （a ﹣1）=f （2b ﹣1），且a ≠2b ，得（a ﹣1）（2b ﹣1）=1，则b 22a a =-且a ﹣1>0，即a >1；所以a +b =a 222222a a a a a -+=--；构造函数g （x ）2222x x x -=-，则g ′（x ）22482(22)x x x -+=-，令g ′（x ）=0，则x =1±2；当x ∈（1，12+）时，g ′（x ）<0，当x ∈（12+，+∞）时，g ′（x ）>0；故当x =12+g （x ）取最小值32+a +b 的最小值为32+故答案为：32+ 【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，导数法求函数的最值，难度中档．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___________． 【点睛】先算基本事件总数N =3×3=9，再算所求基本事件个数n =2×2=4，即可求得概率．【答案】49【解析】由题意得基本事件总数N =3×3=9；黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件个数n =2×2=4，所以黑白两球均不在1号盒子的概率为P 49n N ==．故答案为：49． 【点评】本题考查古典概型，考查学生的运算求解能力，是基础题．9．若抛物线x 2=4y 的焦点到双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为___________．【点睛】先求出抛物线的焦点与双曲线的渐近线，再由点到线的距离公式即可求出双曲线的离心率． 【答案】3【解析】由题意得x 2=4y 的焦点为（0，1），双曲线C 的一条渐近线方程为y ba=x ，由点到线的距离公式得13a c==，所以e c a ==3.故答案为：3． 【点评】本题考查圆锥曲线的性质，考查学生的计算能力，是基础题．10．设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α； ④若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β． 其中的正确命题序号是___________．【点睛】①α与β平行或相交；②由面面垂直的判断定理得α⊥β；③n ⊂α或n ∥α；④由线面垂直的判定定理得m ⊥β． 【答案】②④ 【解析】由题意得①若m ∥α，m ∥β，则α与β平行或相交，所以①错误；②若m ⊥α，m ∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，所以②正确； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ⊂α或n ∥α，所以③错误；④若m ⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，所以④正确． 其中的正确命题序号是②④. 故答案为：②④．【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间想象能力，是中档题．11．设x >0，y >0，向量a =r （1﹣x ，4），b =r （x ，﹣y ），若a r ∥b r，则x +y 的最小值为___________．【点睛】由向量平行得14x y+=1，再由基本不等式即可求出最值． 【答案】9【解析】因为a r ∥b r，所以4x +（1﹣x ）y =0，整理得14x y+=1；又x >0，y >0，所以x +y =（14x y +）（x +y ）=54y xx y++≥9．当且仅当x =3，y =6时，等号成立，即x +y 的最小值为9．故答案为：9． 【点评】本题考查向量平行与基本不等式，属于基础题．12．在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP u u u r |=|CA u u r |=4，∠ACB 2π3=，则CP u u u r •CA =u u r _____．【点睛】先用CACBu u r u u u r ，表示CP u u u r ，再计算CP u u u r •CA u u r的值． 【答案】6【解析】∵点P 是边AB 的中点，∴1122CP CA CB =+u u u r u u r u u u r，两边同时平方得222111424CP CA CA CB CB =+⋅+u u u r u u r u u r u u u r u u u r ，代入数据得3=412π14cos 234CB +⨯⨯⨯+⨯u u u r |CB u u u r |2，解得|CB u u u r |=2；∴CA CB ⋅=u u r u u u r 4×2×cos 2π3=-4，∴CP u u u r •CA =u u r （1122CA CB +u u r u u ur ）21122CA CA CB CA ⋅=+⋅=u u r u u r u u u r u u r 6．故答案为：6．【点评】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，是中档题． 13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2（a +c ）b ﹣ac =0，则ba c+的最大值为___________． 【点睛】由已知条件得（b +a +c ）2=ac +（a +c ）22()4a c +≤+（a +c ）254=（a +c ）2是解决本题的关键．【答案】22【解析】由b 2+2（a +c ）b ﹣ac =0得（b +a +c ）2=ac +（a +c ）22()4a c +≤+（a +c ）254=（a +c ）2，两边同时开方得b +a +c ≤a +c ），所以b ≤a +c ），即b a c ≤+，当且仅当a =c 时取等号．所以ba c+.．【点评】本题考查基本不等式及其应用，属中档题．14．若2101m x mx -<+（m ≠0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【点睛】先将分式不等式转化为一元二次不等式，再对m 分﹣1<m <0，及m =﹣1两类讨论即可求解． 【答案】（﹣∞，12-） 【解析】2101m x mx -<+等价于（m 2x ﹣1）（mx +1）<0，因为m ≠0，所以x 121m =，x 21m=-；因为2101m x mx -<+（m ≠0）对一切x ≥4恒成立，所以m <0；当﹣1≤m <0时，211m m ≥-，则21m <4，解得﹣1≤m 12<-；当m <﹣1时，211m m <-，则1m-<4，解得m <﹣1；所以实数m 的取值范围是（﹣∞，12-）.故答案为：（﹣∞，12-）． 【点评】本题考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，较难．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，AB =BC =1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，DE ⊥P A ．（1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：平面P AC ⊥平面PDE ．【点睛】（1）连EC ，并延长与DA 的延长线交于N ，则E 是AC 的中点，得EF ∥PA ，得EF ∥平面PAD ； （2）先证DE ⊥平面PAC ，即得平面PAC ⊥平面PDE ．【解析】（1）如图，连接EC 并延长，与DA 的延长线交于N ，则E 是AB 的中点． 又因为F 是PC 的中点，所以EF ∥PN ； 又EF ⊄平面PAD ，PN ⊂平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD ．（2）设AC ∩DE =G ，由△AEG ∽△CDG 及E 为AB 中点得12AG AE CG CD ==；又因为AB =BC =1，所以AC =AG 13=AC =．所以AG AB AE AC ==， 又∠BAC 为公共角，所以△GAE ∽△BAC ． 所以∠AGE =∠ABC =90°，即DE ⊥AC ． 又DE ⊥PA ，PA ∩AC =A ，所以DE ⊥平面PAC ． 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥面PDE ． 【点评】本题考查线面平行与垂直，属于中档题．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos 10C =-．（1）求角A 的值； （2）若△ABC 的面积为310，求边BC 的长． 【点睛】（1）先求得tan C ，再由由诱导公式得tan A ，即可求出A ； （2）由正弦定理求出AB ，由三角形的面积公式求得a =1，即BC =1． 【解析】（1）在△ABC 中，tan B 12=，cosC 0=<，所以C ∈（π2，π）， 所以sinC =，故tan C =﹣3， 所以()()()()13tan tan 2tan tan 111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦，∵0<A <π，所以A π4=； （2）由（1）知A =45°，设BC =a ，因为sin sin AB BCC A= ，所以AB a ==，又sin 1tan cos 2B B B ==，联立22sin cos 1B B +=得sinB =，所以△ABC 的面积S 21133sin 221010AB BC B a a =⋅=⨯==，解得a =1； 所以BC =1．【点评】本题考查正弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数间的基本关系等，是中档题． 17．建造一个容积为8m 3、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/m 2和80元/m 2．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围； （3）求总造价y 的最小值． 【点睛】（1）先表示出另一边长为842x x =，由题意可知y =320（x 4x+）+480 （x >0）； （2）令y ≤2080即可求出x 的取值范围；（3）利用基本不等式求y 的最小值，注意等号成立条件． 【解析】（1）由题意得另一边长为842x x=， ∴总造价y =2（x 4x +）82801202⨯⨯+⨯=320（x 4x+）+480，∴总造价y 关于底边一边长x 的函数解析式为：y =320（x 4x+）+480 （x >0）； （2）由（1）可知：y =320（x 4x+）+480， ∴令y ≤2080得，320（x 4x+）+480≤2080，解得：1≤x ≤4， ∴当x ∈[1，4]时，总造价不超过2080元；（3）∵x >0，∴x 44x +≥=，当且仅当x =2时，等号成立， ∴y =320（x 4x+）+480≥320×4+480=1760， ∴当x =2时，总造价y 取得最小值1760元． 【点评】本题考查函数模型及其应用，是中档题．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆2263x y +=1，若圆O ：x 2+y 2=R 2（R >O ）的一条切线与椭圆C 有两个交点A ，B ，且OA u u u r •OB =u u u r0．（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且MN =u u u u r2NQ uuu r ，求直线MN 的方程．【点睛】（1）设出圆的切线，与椭圆联立，由根与系数的关系及数量积为零得圆的半径，即求出圆的方程；（2）设Q ，N 的坐标，在曲线上，写出坐标之间的关系，写出向量的坐标，利用它们的关系求出坐标，进而求出直线方程．【解析】（1）①当圆的切线的斜率不存在时，不妨设切线方程为 x R =，与椭圆的方程联立，解得x R y =⎧⎪⎨=⎪⎩或x Ry =⎧⎪⎨=⎪⎩， 因为OA OB ⋅=u u u r u u u r 0，所以22602R R --=，解得22R =， 此时圆O 的方程为x 2+y 2=2；②当圆的切线的斜率存在时，设切线的方程y =kx +b ，与椭圆的方程联立，整理，得（1+2k 2）x 2+4kbx +2b 2﹣6=0，设A （x ，y ），B （x '，y '）．x +x '2412kb k-=+，xx '222612b k -=+， ∴yy '=k 2xx '+kb （x +x '）+b 2222222222222222642612121212k b k k b b k b b k k k k k -+-=-+=++++，因为OA OB ⋅=u u u r u u u r0，所以xx '+yy '=0，可得2b 2﹣6+b 2﹣6k 2=0，∴b 2=2+2k 2；①=R ，∴b 2=R 2（1+k 2）②，由①②得，2+2k 2=2k 2R 2+R 2，∴R 2=2， 所以圆的方程x 2+y 2=2；（2）由题意得M （0），设Q （m ，n ），N （a ，b ），MN =u u u u r（a ，b ，NQ =u u u r （m ﹣a ，n ﹣b ），由题意得：()()22a m a b n b ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，∴a 23m =，b =联立2222262m n a b ⎧+=⎨+=⎩，解得4n 2﹣-9=0，∴n 2=（舍），n 2=-，m =±2， ∴a =，b =0，即N，0）， 所以直线MN+=1， 即直线MN+-=0-=0．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，联立方程套用根与系数的关系，设而不求，属于中档题． 19．已知函数()()()222ln 12a f x ax x x x a =+++∈R ． （1）若曲线y =f （x ）在x =1处的切线的斜率为2，求函数f （x ）的单调区间； （2）若函数f （x ）在区间（1，e ）上有零点，求实数a 的取值范围． 【点睛】（1）由导数的几何意义求得a =0，再求导可得到单调区间； （2）对参数分类讨论，利用零点的存在性定理建立不等式即可求解． 【解析】（1）由题意，易知函数f （x ）的定义域为（0，+∞）， 由()()222ln 12a f x ax x x x =+++， 得()()()()()21'22ln 221ln 1f x ax x ax x ax ax x x=+++⋅+=++， 则f ′（1）=2（a +1）=2，解得a =0，∴f （x ）=2x ln x +1（x >0），f ′（x ）=2（ln x +1）， 令f ′（x ）>0，解得1e x >；令f ′（x ）<0，解得10ex <<； ∴函数f （x ）的单调递减区间为10e ⎛⎫⎪⎝⎭，，单调递增区间为1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，； （2）函数()()()222ln 12a f x ax x x x a =+++∈R 在区间（1，e ）上是一条不间断的曲线， 由（1）知，f ′（x ）=2（ax +1）（ln x +1），①当a ≥0时，对任意x ∈（1，e ），ax +1>0，ln x +1>0， 则f ′（x ）>0，故函数f （x ）在（1，e ）上单调递增， 此时对任意的x ∈（1，e ），都有()()1102af x f >=+>成立， 从而函数f （x ）在区间（1，e ）上无零点； ②当a <0时，令f ′（x ）=0，解得1e x =或1x a =-，其中11e<， （i ）若11a-≤，即a ≤﹣1，则对任意x ∈（1，e ），f ′（x ）<0，故函数f （x ）在区间（1，e ）上单调递减，由题意可得()()22110e e 2e e 1022a af f a =+>=+++<，， 解得()222e 123e a +-<<-，其中()()22222e 13e 4e 2103e 3e+-----=>， 即()222e 113e +->-，故a 的取值范围为﹣2<a ≤﹣1；②若1e a -≥，即10ea -≤<，则对任意x ∈（1，e ），f ′（x ）>0，所以函数f （x ）在区间（1，e ）上单调递增，此时对任意x ∈（1，e ），都有()()1102af x f >=+>成立， 从而函数f （x ）在区间（1，e ）上无零点； ③若11e a <-<，即11ea -<<-， 则对任意()11'0x f x a ⎛⎫∈-> ⎪⎝⎭，，，所以函数在区间11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增， 对任意()1e '0x f x a⎛⎫∈-< ⎪⎝⎭，，，函数f （x ）在区间1e a⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，由题意可得()22e e 2e e 102a f a =+++<，解得()222e 13e a +<-，其中()22222e 113e 4e 2e 203e e 3e 3e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭， 即()222e 113e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭，所以a 的取值范围为()222e 113e a +-<<-， 综上所述，实数a 的取值范围为()222e 123e +⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 【点评】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，考查分类讨论思想、逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题目．20．已知数列{a n }、{b n }、{c n }，对于给定的正整数k ，记b n =a n ﹣a n +k ，c n =a n +a n +k （n ∈N *）．若对任意的正整数n 满足：b n ≤b n +1，且{c n }是等差数列，则称数列{a n }为“H （k ）”数列． （1）若数列{a n }的前n 项和为S n =n 2，证明：{a n }为H （k ）数列；（2）若数列{a n }为H （1）数列，且a 1=1，b 1=﹣1，c 2=5，求数列{a n }的通项公式； （3）若数列{a n }为H （2）数列，证明：{a n }是等差数列． 【点睛】（1）用定义法证明数列为H （k ）数列．（2）用赋值法和定义法进行证明，求出数列的通项公式． （3）用代换法和定义法证明数列为等差数列．【解析】（1）因为S n =n 2，所以当n ≥2时，221(1)n n n a S S n n -=-=--=2n ﹣1． 当n =1时，a 1=S 1=1，也符合上式， 所以a n =2n ﹣1所以b n =a n ﹣a n +k =﹣2k ，c n =a n +a n +k =4n ﹣2k ﹣2． 所以b n ≤b n +1，c n +1﹣c n =4．对任意的正整数n 满足b n ≤b n +1，且数列{c n }，是公差为4的等差数列， 所以数列{a n }为H （k ）数列；（2）因为数列{a n }为H （1）数列，所以数列{c n }是等差数列， 因为a 1=1， b 1=a 1﹣a 2=﹣1，c 1= a 1+a 2，所以a 2=2，c 1=3，又c 2=5，所以c n =2n +1，即a n +a n +1=2n +1， 所以a n +1﹣（n +1）=a n ﹣n ，则{a n ﹣n }是常数列， 而a 1﹣1=0，所以a n ﹣n =0，则a n =n ． 验证，得b n =a n ﹣a n ﹣1=﹣1，所以b n ≤b n +1对任意正整数n 都成立， 所以a n =n ．（3）由数列{a n }为H （2）数列可知：{c n }是等差数列，记公差为dc n +2﹣c n =（a n +2+a n +4）﹣（a n +a n +2）=﹣b n ﹣b n +2=2d ，所以﹣b n +1﹣b n +3=2d ．则（b n ﹣b n +1）+（b n +2﹣b n +3）=2d ﹣2d =0 又b n ≤b n +1，所以b n =b n +1， 所以数列{b n }为常数列， 则b n =a n ﹣a n +2=b 1 所以c n =a n +a n +2=2a n ﹣b 1． 由c n +1﹣c n =2（a n +1﹣a n ）=d ， 所以12n n d a a +-=． 所以{a n }是等差数列．【点评】本题考查数列定义的应用，赋值法的应用，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4–2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵A 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AB =BA ．（1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值．【点睛】（1）AB 202a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，BA 2202a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，进而求解；（2）矩阵B 的特征多项式为f （λ）=（λ﹣2）（λ﹣1），令f （λ）=0，进而求解． 【解析】（1）由题意，AB 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 220102a a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，BA 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 10220202a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 因为AB =BA ，所以a =2a ，所以a =0． （2）因为B 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵B 的特征多项式为f （λ）2001λλ-==-（λ﹣2）（λ﹣1）， 令f （λ）=0，解得λ=2，λ=1．【点评】本题考查矩阵的性质，矩阵的特征值，属于基础题． [选修4–4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩：为参数）．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．【点睛】将直线l 与圆C 化为直角坐标方程，求出圆C 的圆心到直线l 的距离，即可求弦AB 的长． 【答案】65AB =【解析】消去参数t ，直线l 化为普通方程为4x ﹣3y =0， 圆C 的极坐标方程ρ=2cos θ，即ρ2=2ρcos θ， 化为直角坐标方程为222x y x +=，即（x ﹣1）2+y 2=1， 则圆C 的圆心到直线l 的距离为45d ==， 所以65AB ==． 【点评】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程之间的转化，点到直线的距离公式，是基础题． [选修4–5：不等式选讲]23．已知x 1，x 2，x 3∈（0，+∞），且满足x 1+x 2+x 3=3x 1x 2x 3，证明：x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1≥3． 【点睛】先变形得2313121113x x x x x x ++=，再将x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1变形为()122331133x x x x x x ⨯⨯++，替换3，最后由柯西不等式即可证得． 【解析】∵x 1+x 2+x 3=3x 1x 2x 3， 两边同时除以x 1x 2x 3，得2313121113x x x x x x ++=， ∴()212233112233112233111111(111)333x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎝⎭， 当且仅当“x 1=x 2=x 3=1”时取等号，故x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1≥3，即得证．【点评】本题考查柯西不等式的应用，属于基础题．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC =u u u rλAB uuu r ，且向量PC uuu r 与BD u u u r 夹角的余弦值为15．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【点睛】（1）建立恰当的空间直角坐标系，求出P ，A ，B ，C ，D 点的坐标，利用向量PC uuu r 与BD u u ur 夹角的余弦值为求出λ的值．（2）求出平面PCD 的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 【解析】（1）如图，以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），所以AB =u u u r （1，0，0），因为DC =u u u rλAB uuu r =（λ，0，0），所以得C （λ，2，0）．（1）PC =u u u r （λ，2，﹣2），BD =u u u r （﹣1，2，0），向量PC uuu r 与BD u u u r ．可得15=，解得λ=10（舍去）或λ=2． 实数λ的值为2．；（2）PC =u u u r （2，2，﹣2），PD =u u u r （0，2，﹣2），平面PCD 的法向量n =r（x ，y ，z ）．则0n PC ⋅=u u u r r 且0n PD ⋅=u u ur r ，即：x +y ﹣z =0，y ﹣z =0，∴x =0，不妨去y =z =1，平面PCD 的法向量n =r（0，1，1）．又PB =u u u r （1，0，2）．故cos n PB n PB n PB⋅==u u u r r u u u r r u u u r r ，直线PB 与平面PCD ． 【点评】本题考查空间向量向量、空间角，建立恰当的空间直角坐标系是关键，中等题 25．已知（1+x ）2n +1=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2n +1x2n +1，n ∈N *．记T n 0ni ==∑（2k +1）a n ﹣k．（1）求T 2的值；（2）化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ∈N *，T n 都能被4n +2整除． 【点睛】（1）由二项式定理得a i 21C in +=，利用公式计算T 2的值； （2）由组合数公式化简T n ，把T n 化为（4n +2）的整数倍即可． 【解析】（1）由二项式定理可得a i 21C i n +=（i =0，1，2，…，2n +1）； 所以T 2=a 2+3a 1+5a 025C =+315C +505C 10355=+⨯+=30； （2）因为（n +1+k ）121C n k n +++=（n +1+k ）•()()()()()()()21!212!1!!!!n n n n k n k n k n k ++⋅=++-+⋅- =（2n +1）2C n k n+， 所以T n 0nk ==∑（2k +1）a n ﹣k0 nk ==∑（2k +1）21C n kn -+0 nk ==∑（2k +1）121C n k n +++0 nk ==∑[2（n +1+k ）﹣（2n +1）]121C n k n +++=2nk =∑（n +1+k ）121C n kn +++-（2n +1）1210C nn kn k +++=∑=2（2n +1）20C nn knk +=-∑（2n +1）1210C nn kn k +++=∑=2（2n +1）•12•（22n 2C nn +）﹣（2n +1）•12•22n +1 =（2n +1）2C nn ；T n =（2n +1）2C n n =（2n +1）（12121C C n n n n ---+）=2（2n +1）21C nn -；因为21C nn -∈N *，所以T n 能被4n +2整除．【点评】本题考查二项式定理与组合数公式的应用问题，是难题．。

江苏省南京市南京师大附中2025届高考仿真卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x2．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>3．已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( )A ．{}()81,-⋃+∞B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞4．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．45．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53π B ．43π C ．223π+D ．243π+6．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =则12PF PF +=（ ） A ．4B ．8C ．42D ．477．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B R = C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅8．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（ ）A ．1133902-+B ．11331002-+C ．1233902-+D ．12331002-+9．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A ．20x =B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=10．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则AB 等于（ ）A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<<D ．{}25x x -<<11．射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ） （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.11612．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ） A ．2B ．3C ．2D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,3,4,5U A B ===，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{}2,6 B ．{}3,5C ．{}1,3,4,5D ．{}1,2,4,62．已知复数1i1iz -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．-13．设α，β是两个平行平面，若α内有3个不共线的点，β内有4个点（任意3点不共线），从这些点中任取4个点最多可以构成四面体的个数为（ ） A ．34B ．18C ．12D ．74．在宋代《营造法式》一书中，记载着我国古代一项兼具屋面排水与檐下采光，且美观好看的建筑技术——举折，其使屋面呈一条凹形优美的曲线，近似物理学中的最速曲线.如图，“举”是屋架BC 的高度h ，点1234,,,B B B B 是屋宽AB 的五等分点，连接AC ，在1B 处下“折”10h安置第一榑1C ，连接1AC ，在2B 处下“折”20h安置第一榑2C ，依次类推，每次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，则第四榑4C 的高度44B C 为（ ）A ．5hB ．8hC ．320h D ．215h 5．已如,,A B C 是表面积为16π的球O 的球面上的三个点，且1,120AC AB BAC ∠===o ，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．112B C ．14D 6．若直线l 与曲线3y x =和圆2225+=x y 都相切，则l 的方程可能为（ ）A ．21y x =+B ．32y x =-C ．1y x =+D ．1133y x =+7．已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（ ）A ．25B C ．35 D 8．已知函数()()ππsin 2,64f x x g x f x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若对任意的[],π,a b m m ∈-，当a b >时，()()()()f a f b g a g b -<-恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．π19π,224⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．π17π,224⎛⎤⎥⎝⎦C ．7π19π,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7π17π,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．已知数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列结论正确的是（ ）A ．若“*1,n n a a n +>∈N ”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件B ．“n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列”是“{}n a 为等差数列”的必要不充分条件C ．若{}n a 为等比数列，则36396,,S S S S S --成等比数列D ．若{}n a 为等比数列，则{}n S 可能是等差数列10．已知函数()()πsin 0,0π2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<<< ⎪⎝⎭，则()f x 在区间()0,1上可能（ ）A ．单调递增B ．有零点C ．有最小值D ．有极值点11．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A ．若O 为线段PQ 中点，则2PF =B ．若4PF =，则OP =C ．存在直线l ，使得PF QF ⊥D ．△PFQ 面积的最小值为212．已知点A ，B 是函数()()232f x x x ax a =-+∈R 图象上不同的两点，则下列结论正确的是（ ）A ．若直线AB 与y 轴垂直，则a 的取值范围是4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．若点A ，B 分别在第二与第四象限，则a 的取值范围是(),0∞-C ．若直线AB 的斜率恒大于1，则a 的取值范围是7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．不存在实数a ，使得A ，B 关于原点对称三、填空题13．在ABC V 中，已知点D 满足BC CD λ=u u u r u u u r ，若32AD AC AB =-u u u r u u u r u u u r，则λ=.14．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边.若222225a b c +=，则cos C 的最小值为.15．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 分别作C 的两条渐近线的平行线与C 交于A ，B 两点，若||AB =，则C 的离心率为 16．若函数()21ln 2f x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()00f x <，则b 的最大值为.四、解答题17．已知ABC V 的三内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 分别为，()cos 2cos C b A =. (1)求A ；(2)若a =ABC V 周长的最大值.18．如图，矩形BCDE 所在平面与ABC V 所在平面垂直，90ACB ∠=o ，2BE =(1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)若平面ADE 与平面ABC 4AE =，求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值.19．已知等比数列{}n a 公比为2，数列{}n b 满足112b =，若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12n n +⋅. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在正整数(),,2p q p q ≠，使得2,,p q b b b 成等差数列，若存在，请求出所有满足条件的正整数,p q ，如不存在，请说明理由.20．随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以再店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取. (1)求第二天获得优惠金额的数学期望；(2)记“第i 天抽取1张奖券”的概率为i P ，写出i P 与1i P +的关系式并求出i P .21．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，直线l 过抛物线28y x =的焦点和点()0,b .已知C 的焦距为6且一条渐近线与l 平行. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线m 过双曲线C 上的右焦点，若m 与C 交于点,A B （其中点A 在第一象限），与直线43x =交于点T ，过T 作平行于OA 的直线分别交直线,OB x 轴于点,P Q ，求TP PQ . 22．已知函数()()()322e ,23x f x x g x x x =-=-.(1)求曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程； (2)已知实数0a >，设()()()h x af x g x =-. （i ）若3a =，求()h x 的极值； （ii ）若()h x 有3个零点，求a 的值.。

2017年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）已知A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=．2．（3分）已知复数z=（a∈R），i是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是．3．（3分）如图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是．4．（3分）从2，3，4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是．5．（3分）随机抽取年龄在[10，20），[20，30）…[50，60]年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的頻数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[50，60]年龄段应抽取人数为．6．（3分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是．7．（3分）若函数是偶函数，则实数a的值为．8．（3分）立方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为3，P为BB1的中点，则四棱锥P ﹣AA1C1C的体积为．9．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，=2，若•=﹣3，则•=．10．（3分）集合L={l|l与直线y=x相交，且以交点的横坐标为斜率}．若直线l′∈L，点P（﹣1，2）到直线l′的最短距离为r，则以点P为圆心，r为半径的圆的标准方程为．11．（3分）设数列{a n}的前n项的和为S n，且a n=4，若对于任意的n ∈N*，都有1≤x（S n﹣4n）≤3恒成立，则实数x的取值范围是．12．（3分）在△ABC中，已知sinA=13sinBsinC，cosA=13cosBcosC，则tanA+tanB+tanC 的值为．13．（3分）设直线l与曲线C1：y=e x和曲线C2：y=﹣均相切，切点分别为A （x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=．14．（3分）函数f（x）=其中t＞0，若函数g（x）=f[f（x）﹣1]有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．二、解答题15．已知△ABC是锐角三角形，向量=（cos（A+），sin（A+）），=（cosB，sinB），且⊥．（Ⅰ）求A﹣B的值；（Ⅱ）若cosB=，AC=8，求BC的长．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：（2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）18．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆的离心率为，且点（1，）在椭圆上，①求椭圆的方程；‚②设P（﹣1，﹣），R、S分别为椭圆C的右顶点和上顶点，直线PR和PS 与y轴和x轴相交于点M，N，求直线MN的方程．（2）设D（b，0），过D点的直线l与椭圆C交于E、F两点，且E、F均在y轴的右侧，=2，求椭圆离心率的取值范围．19．已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb．（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在x0，使x0∈[，]且f（x0）≤g（x0）成立，求的取值范围．20．记等差数列{a n}的前n项和为S n．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）若a 1=1，对任意的n∈N*，n≥2，均有，，是公差为1的等差数列，求使为整数的正整数k的取值集合；（3）记b n=a（a＞0），求证：≤．附加题21．从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记Y为所组成的三位数各位数字之和．（1）求Y是奇数的概率；（2）求Y的概率分布和数学期望．22．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1=a1＜a2＜…＜a n，n≥4）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），使得a k=a i+a j成立．（Ⅰ）分别判断数集{1，2，4，6}与{1，3，4，7}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）求证：a4≤2a1+a2+a3；（Ⅲ）若a n=72，求n的最小值．2017年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B={1，2} ．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B={1，2}，故答案为：{1，2}2．（3分）已知复数z=（a∈R），i是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（0，+∞）．【解答】解：∵复数z==在复平面上对应的点在第四象限，∴﹣a＜0，即a＞0，则实数a的取值范围是（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．3．（3分）如图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件k＜4，S=1，k=2满足条件k＜4，S=1+2，k=3满足条件k＜4，S=1+2+3，k=4不满足条件k＜4，退出循环，输出S的值为：1+2+3=6．故答案为：6．4．（3分）从2，3，4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是．【解答】解：所有可能的结果是：=6，当2是底数时，真数可以是3，4，当3是底数时，真数可以是4，共有3种可能，故满足条件的概率p==，故答案为：．5．（3分）随机抽取年龄在[10，20），[20，30）…[50，60]年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的頻数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[50，60]年龄段应抽取人数为2．【解答】解：由频率分布直方图得：采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[50，60]年龄段应抽取人数为：=2．故答案为：2．6．（3分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是3．【解答】解：由双曲线得a2=16，b2=9，∴=5．取焦点F（5，0），其渐近线y=±．∴焦点F（5，0）到渐近线的距离d==3．故答案为3．7．（3分）若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．（3分）立方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为3，P为BB1的中点，则四棱锥P ﹣AA1C1C的体积为27．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，∵立方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为3，P为BB1的中点，∴=AC×AA 1==9，AC⊥BO，AA1⊥BO，∵AC∩AA1=A，∴BO⊥平面ACC1A1，∴点P到平面ACC1A1的距离为：BO==，∴四棱锥P﹣AA1C1C的体积：V===27．故答案为：27．9．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，=2，若•=﹣3，则•=．【解答】解：设∠DAB=θ，∵AB∥CD，∴∠D=180°﹣θ∵=2，∴•=（﹣）（﹣），=（﹣）（﹣），=||2﹣•﹣•+•，=||2﹣||•||cosθ﹣||•||cos（180°﹣θ）+||•||cos180°，=×32﹣3×4cosθ+2×3cosθ﹣2×4=﹣2﹣8cosθ=﹣3，∴cosθ=，∴•=||•||cosθ=3×4×=，故答案为：10．（3分）集合L={l|l与直线y=x相交，且以交点的横坐标为斜率}．若直线l′∈L，点P（﹣1，2）到直线l′的最短距离为r，则以点P为圆心，r为半径的圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4．【解答】解：设直线l∈L，其方程为：y=kx+b，联立，解得x=．则=k，化为b=k﹣k2．点P（﹣1，2）到直线l的距离d===≥2，当且仅当k=0时取等号．当k=0时，b=0，此时直线l的方程为：y=0，此时（﹣1，2）与集合L中的直线：y=0的最小距离为r=2，∴以点P为圆心，r为半径的圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4．故答案为：（x+1）2+（y﹣2）2=4．11．（3分）设数列{a n}的前n项的和为S n，且a n=4，若对于任意的n ∈N*，都有1≤x（S n﹣4n）≤3恒成立，则实数x的取值范围是[2，3] ．【解答】解：由a n=4，得S n=a1+a2+…+a n=4n+[1﹣+﹣…+]=4n+=4n+．∴S n﹣4n=＞0，则由1≤x（S n﹣4n）≤3恒成立，得．当n=1时，的最大值为，即，解得x≥2，当n=2时，的最小值为2，即，解得x≤3．∴实数x的取值范围是[2，3]．故答案为：[2，3]．12．（3分）在△ABC中，已知sinA=13sinBsinC，cosA=13cosBcosC，则tanA+tanB+tanC 的值为196．【解答】解：∵cosA，cosB，cosC均不为0，由sinA=13sinBsinC①，cosA=13cosBcosC ②，得：tanA=tanBtanC，∵cosA=13cosBcosC，且cosA=﹣cos（B+C）=sinAsinB﹣cosAcosB，∴sinAsinB=14cosAcosB，∴tanBtanC=14，∵tanB+tanC=tan（B+C）（1﹣tanBtanC）=﹣tanA（1﹣tanBtanC）=﹣tanA+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=196．故答案为：196．13．（3分）设直线l与曲线C1：y=e x和曲线C2：y=﹣均相切，切点分别为A （x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=﹣e2．【解答】解：对C 1：y=e x和曲线C2：y=﹣求导．y′=e x，y′=．∴=．另一方面：==．可得：x1=x2+2．又，．∴y1y2==﹣=﹣e2．故答案为：﹣e2．14．（3分）函数f（x）=其中t＞0，若函数g（x）=f[f（x）﹣1]有6个不同的零点，则实数t的取值范围是（3，4）．【解答】解：∵函数f（x）=其中t＞0，∴函数f′（x）=，当x＜，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值t3，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t=x=，故，t3﹣t﹣1=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）二、解答题15．已知△ABC是锐角三角形，向量=（cos（A+），sin（A+）），=（cosB，sinB），且⊥．（Ⅰ）求A﹣B的值；（Ⅱ）若cosB=，AC=8，求BC的长．【解答】解：（1）∵，∴，，∴，∴，即；（2）∵，，∴，∴，=，由正弦定理，得．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：（2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC．【解答】（1）证明：因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC．因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB．又因为CP⊥PB，且PB∩AB=B，AB，PB⊂平面PAB，所以CP⊥平面PAB，又因为PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA．（2）证明：在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC=BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC．又l⊥平面ABC，所以l∥PD．又l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，所以l∥平面PBC．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）【解答】解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．18．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆的离心率为，且点（1，）在椭圆上，①求椭圆的方程；‚②设P（﹣1，﹣），R、S分别为椭圆C的右顶点和上顶点，直线PR和PS 与y轴和x轴相交于点M，N，求直线MN的方程．（2）设D（b，0），过D点的直线l与椭圆C交于E、F两点，且E、F均在y轴的右侧，=2，求椭圆离心率的取值范围．【解答】解：（1）①∵•椭圆C：=1（a＞b＞0），椭圆的离心率为，且点（1，）在椭圆上，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆的方程为=1．②P（﹣1，﹣），R、S分别为椭圆C：=1的右顶点和上顶点，直线PR 和PS与y轴和x轴相交于点M，N，∴R（2，0），S（0，1），∴直线PR：，即x﹣6y﹣2=0，∴M（0，﹣），直线PS：，即（）x﹣2y+2=0，∴N（2﹣4，0），∴直线MN的方程为：，即y=﹣．（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），∵，∴．根据题意，解得，连SD，延长交椭圆于点Q．直线SD的方程为x+y﹣b=0，代入椭圆方程解得Q点的横坐标，所以，，即a4﹣4a2b2+3b4＜0，解得b2＜a2＜3b2，即a2＜3（a2﹣c2），∴＜，．∴椭圆离心率e的取值范围为（0，）．19．已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb．（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在x0，使x0∈[，]且f（x0）≤g（x0）成立，求的取值范围．【解答】解：（1）∵h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx+a﹣xlnb∴h′（x）=lnx+1﹣lnb由h′（x）＞0得x＞，∴h（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增．…（4分）（2）由＜得＜7 …（5分）（i）当≤≤，即≤≤时，h（x）min=h（）=﹣+a由﹣+a≤0得≥e，∴e≤≤…（7分）（ii）当＜时，a＞∴h（x）在[，]上单调递增．h（x）min=h（）=（ln﹣lnb）+a≥（ln﹣lnb）+a=＞=b＞0∴不成立…（9分）（iii）当＞，即＞时，a＜bh（x）在[，]上单调递减．h（x）min=h（）=（ln﹣lnb）+a＜（ln lnb）+a=＜=＜0∴当＞时恒成立…（11分）综上所述，e≤＜7 …（12分）20．记等差数列{a n}的前n项和为S n．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）若a 1=1，对任意的n∈N*，n≥2，均有，，是公差为1的等差数列，求使为整数的正整数k的取值集合；（3）记b n=a（a＞0），求证：≤．【解答】（1）证明：设等差数列{a n}的公差为d，则S n=na1+d，从而=a1+d，∴当n≥2时，﹣=（a1+d）﹣（a1+d）=．即数列{}是等差数列；（2）解：∵对任意的n∈N*，n≥2，，，都是公差为1的等差数列，∴{}是公差为1的等差数列，又a 1=1，∴．=n2．∴=+（n﹣1）×1=n，则S∴=，显然，k=1，2满足条件，k=3不满足条件；当k≥4时，∵k2﹣3k﹣2=k（k﹣3）﹣2≥4（4﹣3）﹣2=2＞0，∴0＜＜1，∴1，不是整数．综上所述，正整数k的取值集合为{1，2}；（3）证明：设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，b n=a=，∴==a d，即数列{b n}是公比大于0，首项大于0的等比数列，记公比为q（q＞0）．以下证明：b 1+b n ≥b p +b k ，其中p ，k 为正整数，且p +k=1+n ．∵（b 1+b n ）﹣（b p +b k ）=b 1+b 1q n ﹣1﹣b 1q p ﹣1﹣b 1q k ﹣1=b 1（q p ﹣1﹣1）（q k ﹣1﹣1）． 当q ＞1时，∵y=q x 为增函数，p ﹣1≥0，k ﹣1≥0，∴q p ﹣1﹣1≥0，q k ﹣1﹣1≥0，则b 1+b n ≥b p +b k ．当q=1时，b 1+b n =b p +b k ．当0＜q ＜1时，∵y=q x 为减函数，p ﹣1≥0，k ﹣1≥0，∴q p ﹣1﹣1≤0，q k ﹣1﹣1≤0，则b 1+b n ≥b p +b k ．综上，b 1+b n ≥b p +b k ，其中p ，k 为正整数，且p +k=1+n ．∴n （b 1+b n ）=（b 1+b n ）+（b 1+b n ）+…+（b 1+b n ）≥（b 1+b n ）+（b 2+b n ﹣1）+（b 3+b n ﹣2）+…+（b n +b 1）=（b 1+b 2+…+b n ）+（b n +b n ﹣1+…+b 1）， 即≤．附加题21．从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记Y 为所组成的三位数各位数字之和．（1）求Y 是奇数的概率；（2）求Y 的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）记“Y 是奇数”为事件A ．能组成的三位数的个数为48，Y 是奇数的个数为28．所以 ．答：Y 是奇数的概率为． （2）Y 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．∴当Y=3时，组成的三位数只能是0，1，2三个数字组成，P （Y=3）===；同理可得：P （Y=4）==；P （Y=5）=×2=；P （Y=6）=+==；P（Y=7）=+=；P（Y=8）==；P（Y=9）=．可得分布列：∴EY=+4×+5×+6×+7×+8×+9×=．22．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1=a1＜a2＜…＜a n，n≥4）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），使得a k=a i+a j成立．（Ⅰ）分别判断数集{1，2，4，6}与{1，3，4，7}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）求证：a4≤2a1+a2+a3；（Ⅲ）若a n=72，求n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为2=1+1，4=2+2，6=2+4，所以{1，2，4，6}具有性质P．因为不存在a i，a j∈{1，3，4，7}，使得3=a i+a j．所以{1，3，4，7}不具有性质P．（Ⅱ）因为集合A={a1，a2，…，a n}具有性质P，所以对a4而言，存在a i，a j∈{a1，a2，…，a n}，使得a4=a i+a j又因为1=a1＜a2＜a3＜a4…＜a n，n≥4所以a i，a j≤a3，所以a4=a i+a j≤2a3．同理可得a3≤2a2，a2≤2a1将上述不等式相加得a2+a3+a4≤2（a1+a2+a3）所以a4≤2a1+a2+a3．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a2≤2a1，a3≤2a2…，又a1=1，所以a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72所以n≥8构造数集A={1，2，4，5，9，18，36，72}（或A={1，2，3，6，9，18，36，72}），经检验A具有性质P，故n的最小值为8．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

绝密★启用前2024年江苏省高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|−5<x 3<5}，B ={−3,−1,0,2,3}，则A ∩B =( ) A. {−1,0} B. {2,3} C. {−3,−1,0} D. {−1,0,2}2.若z z−1=1+i ，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3.已知向量a ⃗=(0,1)，b ⃗⃗=(2,x)，若b ⃗⃗⊥(b ⃗⃗−4a ⃗⃗)，则x =( ) A. −2B. −1C. 1D. 24.已知cos(α+β)=m ，tanαtanβ=2，则cos(α−β)=( ) A. −3mB. −m3C. m3D. 3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√ 3，则圆锥的体积为( ) A. 2√ 3πB. 3√ 3πC. 6√ 3πD. 9√ 3π6.已知函数为f(x)={−x 2−2ax −a,x <0,e x +ln(x +1),x ≥0在R 上单调递增，则a 取值的范围是( )A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞)7.当x ∈[0,2π]时，曲线y =sinx 与y =2sin(3x −π6)的交点个数为( ) A. 3B. 4C. 6D. 88.已知函数为f(x)的定义域为R ，f(x)>f(x −1)+f(x −2)，且当x <3时，f(x)=x ，则下列结论中一定正确的是( ) A. f(10)>100B. f(20)>1000C. f(10)<1000D. f(20)<10000二、多选题：本题共3小题，共18分。

2021-2022高考数学模拟试卷含解析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}62．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．1003．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]4．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3B ．3或7C ．5D ．5或85．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞6．若[]0,1x ∈时，|2|0xe x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-7．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥8．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC = ,则AC =（ ） A ．5B ．5或1C ．5或1D ．59．已知平面向量a b ，满足21a b a ＝，＝,与b 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥+－，则实数λ的值为（ ） A ．7-B ．3-C ．2D ．310． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383B ．57171C ．59189D ．6124211．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．20B ．27C ．54D ．6412．已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学模拟试卷（5月份）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x||x|≤1，x∈Z}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=______．2.已知复数z=（1+2i）（a+i），其中i是虚数单位，若z的实部与虚部相等，则实数a的值为______．3.某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是______．4.3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是______．5.函数f（x）=+log2（1-x）的定义域为______．6.如图是一个算法流程图，则输出k的值为______．7.若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，点P为侧棱AA1上任意一点，则四棱锥PBCC1B1的体积为______．8.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3-10x+3上，且在第四象限内．已知曲线C在点P处的切线方程为y=2x+b，则实数b的值为______．9.已知函数f（x）=sin（2x+φ）-cos（2x+φ）（0＜φ＜π）是定义在R上的奇函数，则f（）的值为______．10.如果函数f（x）=（m-2）x2+2（n-8）x+1（m，n∈R且m≥2，n≥0）在区间[，2]上单调递减，那么mn的最大值为______．11.已知椭圆+y2=1与双曲线-=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点，其左，右焦点分别为F1、F2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且F1P=F1F2，则双曲线的离心率为______．12.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，5），点B是直线l：y=x上位于第一象限内的一点，已知以AB为直径的圆被直线l所截得的弦长为2，则点B的坐标为______．13.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，a n+2=则满足2019≤S m≤3000的正整数m的所有取值为______．14.已知等边三角形ABC的边长为2，=2，点N、T分别为线段BC、CA上的动点，则++取值的集合为______二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是．（1）求cos（α-）的值；（2）若以x轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为-，求α+β的值．16.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证：AM∥平面BDE；（2）求证：AM⊥平面BDF．17.某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ ，其中P，Q分别在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q．已知AB长为40米，设∠BOP为2θ．（上述图形均视作在同一平面内）（1）记四边形COPQ的周长为f（θ），求f（θ）的表达式；（2）要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sinθ的值．18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1，F2与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l与椭圆C相切于点P，且分别与直线x=-4和直线x=-1相交于点M，N．试判断是否为定值，并说明理由．19.已知数列{a n}满足a1•a2•…•a n=2（n∈N*），数列{b n}的前n项和S n=（n∈N*），且b1=1，b2=2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设c n=-，记T n是数列{c n}的前n项和，求正整数m，使得对于任意的n∈N*均有T m≥T n．20.设a为实数，已知函数f（x）=axe x，g（x）=x+ln x．（1）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；（2）设b为实数，若不等式f（x）≥2x2+bx对任意的a≥1及任意的x＞0恒成立，求b的取值范围；（3）若函数h（x）=f（x）+g（x）（x＞0，x∈R）有两个相异的零点，求a的取值范围．21.已知矩阵A=，二阶矩阵B满足AB=．（1）求矩阵B；（2）求矩阵B的特征值．22.设a为实数，在极坐标系中，已知圆ρ=2a sinθ（a＞0）与直线ρcos（θ+）=1相切，求a的值．23.求函数的最大值．24.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．25.在平面直角坐标系xOy中，有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点（1，0）处时，下一步可行进到（2，0）、（0，0）、（1，1）、（1，-1）这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O出发、行进n步后落在y轴上的不同走法的种数为L（n）．（1）求L（1），L（2），L（3）的值；（2）求L（n）的表达式．答案和解析1.【答案】{0，1}【解析】解：A={x|-1≤x≤1，x∈Z}={-1，0，1}；∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】-3【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a值．【解答】解：∵z=（1+2i）（a+i）=（a-2）+（2a+1）i，且z的实部与虚部相等，∴a-2=2a+1，即a=-3．故答案为：-3．3.【答案】18【解析】解：某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，则抽样间隔为=13，∵5号、31号、44号学生在样本中，样本中还有一个学生的编号是：5+（44-31）=18．故答案为：18．用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，则抽样间隔为=13，由此能求出样本中还有一个学生的编号．本题考查样本编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4.【答案】【解析】【分析】考查排列组合的计算方法和古典概型的概率计算，考查推理能力和计算能力，属于基础题．利用排列组合公式进行计算选取不是特等奖的两张的概率即可，【解答】解：3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券，则两人同时抽取两张共有：C32A22=6 种排法．排除特等奖外两人选两张共有：C22A22=2种排法．故两人都未抽得特等奖的概率是：故答案为：5.【答案】[0，1）【解析】解：要使函数有意义，则得，即0≤x＜1，即函数的定义域为[0，1），故答案为：[0，1），根据函数成立的条件，建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，结合根式和对数函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键．6.【答案】3【解析】解：n=13，n是奇数，是，n==6，k=1，n=1，否，n是奇数，否，n==3，k=2，n=1，否，n是奇数，是n==1，k=3，n=1是，输出k=3，故答案为：3根据程序框图利用模拟运算法进行运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．7.【答案】【解析】解：取B1C1的中点D，连接A1D，∵△A1B1C1是边长为2的等边三角形，∴A1D⊥B1C1，A1D=，∵BB1⊥平面A1B1C1，A1D⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥A1D，又BB1⊂平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B1C1=B1，∴A1D⊥平面BCC1B1，又AA1∥BB1，AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1，∴P到平面BCC1B1的距离等于A1D=，∴V=S•A1D==．故答案为：．取B1C1的中点D，连接A1D，证明A1D⊥平面BCC1B1，再代入体积公式计算．本题考查了线面垂直的判断，棱锥的体积计算，属于中档题．8.【答案】-13【解析】解：设P（x0，y0）（x0＞0），由题意知：=3x02-10=2，∴x02=4．∴x0=2，∴y0=．∴P点的坐标为（2，-9）．代入y=2x+b，得-9=4+b，即b=-13．故答案为：-13．设出P点坐标（x0，y0）（x0＞0），求出函数在x=x0出的导数，由导数值等于2求解x0的值，代入原函数求解y0，再把P的坐标代入y=2x+b求解b的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在曲线上某点处的导数值，就是曲线在该点处的切线的斜率，是中档题．9.【答案】-【解析】解：f（x）=sin（2x+φ）-cos（2x+φ）=2sin（2x+φ-），∵f（x）是奇函数，∴φ-=kπ，即φ=kπ+，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴k=0时，φ=，即f（x）=2sin2x，则f（）=2sin（-）=-2×=-，故答案为：-．利用辅助角公式进行化简，结合三角函数奇偶性的性质进行求解即可．本题主要考查三角函数奇偶性的应用，利用辅助角公式结合函数奇偶性的性质求出φ的值是解决本题的关键．10.【答案】18【解析】解：∵函数f（x）在区间[，2]上单调递减，∴f'（x）=2（m-2）x+2（n-8）≤0在[，2]上恒成立，∴只需满足，即，∴，∴，当且仅当m=3，n=6时取等号，∴mn的最大值为：18．故答案为：18．由条件知f'（x）=2（m-2）x+2（n-8）≤0在[，2]上恒成立，因此只需满足，解不等式，然后利用基本不等式即可得到mn的最大值．本题考查了二次函数的图象与性质和函数恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值，属基础题．11.【答案】1+【解析】解：如图：在椭圆中2c=2，PF1=2c=2，由椭圆定义得PF2=2-2，在双曲线中PF1-PF2=2-2+2=4-2，所以双曲线实轴长为：4-2，实半轴长为2-，所以双曲线的离心率为=1+．故答案为：1+．根据椭圆与双曲线的几何性质可得．本题考查了双曲线的性质，属中档题．12.【答案】（6，3）【解析】解：如图，设B（2a，a），则圆心M（a，），则有：BC2=20．AB2=4a2+（5-a）2，M到直线l：y=x的距离为d2=5．，即AB2=40，即4a2+（5-a）2=40，（a＞0），解得a=3故点B的坐标为（6，3）故答案为：（6，3）．设B（2a，a），则圆心M（a，），设M到直线l：y=x的距离为d．由，可得AB2=40，即4a2+（5-a）2=40，（a＞0），解得a即可．本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．13.【答案】20，21【解析】解：由a n+2=知，数列{a n}的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，所有偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，则当n为奇数时，，当n为偶数时，．当m为偶数时，S m=（a1+a3+…+a m-1）+（a2+a4+…+a m）==，由2019≤≤3000，解得m=20；当m为奇数时，S m=S m-1+a m==．由2019≤≤3000，解得m=21．故答案为：20，21．由题意可得，数列{a n}的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，所有偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，求其通项公式，对m分类求和，然后求解不等式即可得到m值．本题考查数列的分组求和，正确求出数列通项是关键，是中档题．14.【答案】【解析】解：设=，=，（λ、μ∈[0，1]）又已知等边三角形ABC的边长为2，则++=•（）+•（）+=λ-+•+（1-λ）-（1-μ）•-=-2λ-2μ--2（1-λ）-2（1-μ）═6，故答案为：．由平面向量的线性运算及平面向量的数量积运算得：设=，=，（λ、μ∈[0，1]）则++=•（）+•（）+=λ-+•+（1-λ）-（1-μ）•-=-2λ-2μ--2（1-λ）-2（1-μ）═6，得解．本题考查了平面向量的线性运算及平面向量的数量积运算，属中档题．15.【答案】解：因为锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知sin α=．从而cos α==．（1）cos（α-）=cos αcos+sin αsin，=×（-）+×=-．（2）因为钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是-，所以cos β=-，从而sin β==．于是sin（α+β）=sin αcosβ+cosαsinβ=×（-）+×=．因为α为锐角，β为钝角，所以α+β∈（，），从而α+β=．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的定义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．（2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．16.【答案】解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：O（0，0，0），A（0，1，0），B（-1，0，0），C（0，-1，0，），D（1，0，0，），E（0，-1，1），F（0，1，1），M（0，0，1）．（1）∵∴，即AM∥OE，又∵AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AM∥平面BDE；（2）∵，∴，∴AM⊥BD，AM⊥DF，∴AM⊥平面BDF．【解析】（1）利用空间向量来证明，先建立空间直角坐标系，求出定点坐标，欲证AM∥平面BDE，只需用坐标证明向量与平面BDE上的一个向量是平行向量即可．（2）欲证AM⊥平面BDF，只需证明向量与平面BDF中的两个不共线向量垂直即可，也即在平面BDF中找到两个向量，与向量数量积等于0．本题主要考察了利用空间向量的平行或垂直证明立体几何中的线面平行，线面垂直．17.【答案】解：（1）连结PC．由已知条件可得θ∈（0，）．在△POC中，OC=10，OP=20，∠POC=π-2θ，由余弦定理，得：PC2=OC2+OP2-2OC•OP cos（π-2θ）=100（5+4cos2θ），因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQ⊥PQ，所以PQ2=PC2-CQ2=400（1+cos2θ），所以PQ=20cosθ，所以四边形COPQ的周长为f（θ）=CO+OP+PQ+QC=40+20cosθ，即f（θ）=40+20cosθ，θ∈（0，），（2）设四边形COPQ的面积为S（θ），则S（θ）=S△OCP+S△QCP=100（cosθ+2sinθcosθ），θ∈（0，），所以S′（θ）=100（-sinθ+2cos2θ-2sin2θ）=100（-4sin2θ-sinθ+2），θ∈（0，），令S′（θ）=0，得sinθ=．列表：sin θ（0，）（，1）S′（θ）值>00值<0S（θ）增最大值减答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sinθ的值为．【解析】本题是中档题，考查三角函数的应用题中的应用，三角函数的化简求值，导数的应用，考查计算能力，转化思想的应用．（1）连结PC．由条件得θ∈（0，），在△POC中，由余弦定理，得：PC2=100（5+4cos2θ），由于CQ⊥PQ，可得PQ2=PC2-CQ2=400（1+cos2θ），可得PQ=20cosθ，即可得解四边形COPQ的周长为f（θ）=CO+OP+PQ+QC=40+20cosθ．（2）设四边形COPQ的面积为S（θ），可求S（θ）=S△OCP+S△QCP=100（cosθ+2sinθcosθ），θ∈（0，），利用导数确定函数的最大值，得到sinθ的值．18.【答案】解：（1）依题意，2c=a=2，所以c=1，b=，∴椭圆C的标准方程为+=1．（2）因为直线l分别与直线x=-4和直线x=-1相交，所以直线l一定存在斜率．设直线l：y=kx+m，由，得（4k2+3）x2+8kmx+4（m2-3）=0．由△=（8km）2-4×（4k2+3）×4（m2-3）=0，得4k2+3-m2=0　①．把x=-4代入y=kx+m，得M（-4，-4k+m），把x=-1代入y=kx+m，得N（-1，-k+m），所以NF1=|-k+m|，MF1==　②，由①式，得3=m2-4k2　③，把③式代入②式，得MF1==2|-k+m|，∴==，即为定值．【解析】（1）依题意，2c=a=2，可得c=1，b，即可得出椭圆C的标准方程．（2）因为直线l分别与直线x=-4和直线x=-1相交，可得直线l一定存在斜率．设直线l：y=kx+m，与椭圆方程联立化为（4k2+3）x2+8kmx+4（m2-3）=0．由△=0，可得4k2+3-m2=0．把x=-4，x=-1分别代入y=kx+m，得M，N坐标，可得NF1，MF1，即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.【答案】解：（1）①a1=2=2；②当n≥2时，a n===2n．所以数列{a n}的通项公式为a n=2n（n∈N*）．（2）由S n=，得2S n=n（b1+b n）　①，所以2S n-1=（n-1）（b1+b n-1）（n≥2）②．由②-①，得2b n=b1+nb n-（n-1）b n-1，n≥2，即b1+（n-2）b n-（n-1）b n-1=0（n≥2）③，所以b1+（n-3）b n-（n-2）b n-1=0（n≥3）④．由④-③，得（n-2）b n-2（n-2）b n-1+（n-2）b n-2=0，n≥3，因为n≥3，所以n-2＞0，上式同除以（n-2），得b n-2b n-1+b n-2=0，n≥3，即b n+1-b n=b n-b n-1=…=b2-b1=1，所以数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故b n=n，n∈N*．（3）因为c n=-=-=[-1]，所以c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0，c5＜0．记f（n）=，当n≥5时，f（n+1）-f（n）=-=-＜0，所以当n≥5时，数列{f（n）}为单调递减数列，当n≥5时，f（n）＜f（5）＜＜1．从而，当n≥5时，c n=[-1]＜0．因此T1＜T2＜T3＜T4，T4＞T5＞T6＞…所以对任意的n∈N*，T4≥T n．综上，m=4．【解析】（1）由已知条件直接求得；（2）有递推公式S n=，得2S n=n（b1+b n），结合数列性质a n=s n-s n-1可得数列相邻项之间的关系，继而可求；（3）因为c n=-=-=[-1]，所以c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0，c5＜0．记f（n）=，利用函数单调性可求f（n）的范围，继而列不等式可解．（1）（2）时数列常规题目，（3）结合了函数知识，属于综合问题，难度较大．20.【答案】解：（1）当a＜0时，因为f′（x）=a（x+1）e x，当x＜-1时，f′（x）＞0；当x＞-1时，f′（x）＜0．所以函数f（x）单调减区间为（-∞，-1），单调增区间为（-1，+∞）．（2）由f（x）≥2x2+bx，得axe x≥2x2+bx，由于x＞0，所以ae x≥2x+b对任意的a≥1及任意的x＞0恒成立．由于e x＞0，所以ae x≥e x，所以e x-2x≥b对任意的x＞0恒成立．设φ（x）=e x-2x，x＞0，则φ′（x）=e x-2，所以函数φ（x）在（0，ln 2）上单调递减，在（ln 2，+∞）上单调递增，所以φ（x）min=φ（ln 2）=2-2ln 2，所以b≤2-2ln 2．（3）由h（x）=axe x+x+ln x，得h′（x）=a（x+1）e x+1+=，其中x＞0．①若a≥0时，则h′（x）＞0，所以函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以函数h（x）至多有一个零零点，不合题意；②若a＜0时，令h′（x）=0，得xe x=-＞0．由第（2）小题知，当x＞0时，φ（x）=e x-2x≥2-2ln 2＞0，所以e x＞2x，所以xe x＞2x2，所以当x＞0时，函数xe x的值域为（0，+∞）．所以存在x0＞0，使得ax0ex0+1=0，即ax0ex0=-1　①，且当x＜x0时，h′（x）＞0，所以函数h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减．因为函数有两个零点x1，x2，所以h（x）max=h（x0）=ax0ex0+x0+ln x0=-1+x0+ln x0＞0　②．设φ（x）=-1+x+ln x，x＞0，则φ′（x）=1+＞0，所以函数φ（x）在（0，+∞）上单调递增．由于φ（1）=0，所以当x＞1时，φ（x）＞0，所以②式中的x0＞1．又由①式，得x0ex0=-．由第（1）小题可知，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以-＞e，即a∈（-，0）．当a∈（-，0）时，（i）由于h（）=+（-1）＜0，所以h（）•h（x0）＜0．因为＜1＜x0，且函数h（x）在（0，x0）上单调递减，函数h（x）的图象在（0，x0）上不间断，所以函数h（x）在（0，x0）上恰有一个零点；（ii）由于h（-）=-e--+ln（-），令t=-＞e，设F（t）=-e t+t+ln t，t＞e，由于t＞e时，ln t＜t，e t＞2t，所以设F（t）＜0，即h（-）＜0．由①式，得当x0＞1时，-=x0ex0＞x0，且h（-）•h（x0）＜0，同理可得函数h（x）在（x0，+∞）上也恰有一个零点．综上，a∈（-，0）．【解析】（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）分离参数，可得e x-2x≥b对任意的x＞0恒成立，构造函数φ（x）=e x-2x，利用导数求出函数的最值即可求出b的范围，（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a的范围．本题考查了考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）由矩阵的逆矩阵，得B=A-1=．（2）矩阵B的特征多项式f（λ）==（λ+1）（λ-1），令f（λ）=0，解得λ=1或-1，所以矩阵B的特征值为1或-1．【解析】（1）由矩阵的逆矩阵的公式，计算可得所求B；（2）求得矩阵B的特征多项式，可令其为0，解方程可得特征值．本题考查矩阵的逆矩阵的求法，以及矩阵的特征值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．22.【答案】解：将圆ρ=2a sin θ化成普通方程为x2+y2=2ay，整理得x2+（y-a）2=a2．将直线ρcos（θ+）=1，化成普通方程为x-y-=0．因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即=a，解得：a=2+．【解析】首先把方程进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.【答案】解：由，得≤x≤1．∴==．当且仅当，即x=时上式“=”成立．∴函数的最大值为．【解析】求出函数的定义域，把已知函数解析式变形，再由柯西不等式求函数的最大值．本题考查函数最值的求法，训练了柯西不等式的应用，是中档题．24.【答案】解：（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又因为∠BAD=90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由AD=2AB=2BC=4，PA=4可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4），又因为M为PC的中点，所以M（1，1，2）．所以，，…（2分）所以=，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为．…（5分）（2）因为AN=λ，所以N（0，λ，0）（0≤λ≤4），则，，，设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则令x=2，解得y=0，z=1，所以=（2，0，1）是平面PBC的一个法向量．…（7分）因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以，解得λ=1∈[0，4]，所以λ的值为1．…（10分）【解析】（1）分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AP，BM 所成角的余弦值；（2）求出平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．25.【答案】解：（1）L（1）=2，L（2）=6，L（3）=20．（2）设m为沿x轴正方向走的步数（每一步长度为1），则反方向也需要走m步才能回到y轴上，所以m=0，1，2，……，[]（其中[]为不超过的最大整数），总共走n步，首先任选m步沿x轴正方向走，再在剩下的n-m步中选m步沿x轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择（向上或向下），即，所以L（n）==等价于求（x+1）2n中含x n项的系数为，（x+1）2n=（x2+2x+1）n=[（2x+1）+x2]n=，其中含x n项的系数为===，故L（n）=C．【解析】（1）根据题意直接写出即可；（2）设m为沿x轴正方向走的步数（每一步长度为1），然后分类讨论，用计数原理计数，分别求和即可．本题考查合情推理，此题第二位过程繁琐，容易出错，需加倍细心．。

南师附中高三数学试卷（示例）一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-2, 2]上的极值点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知向量a = (1, 2, 3)，向量b = (2, 4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值是：A. 0B. 1/3C. 1D. -1/3答案：B3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 12，S5 = 30，则第4项a4的值为：A. 6B. 8C. 10D. 12答案：C4. 圆的标准方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则该圆的半径为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C5. 设函数g(x) = e^x - x，若g'(x) = 0，则x的值为：A. 0B. 1C. eD. e/2答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数y = 2x^3 - 3x^2 + 2x的导数y' = _______。

答案：6x^2 - 6x + 27. 向量a = (2, -1, 3)与向量b = (-1, 2, -3)的叉积为 _______。

答案：(5, -11, 4)8. 若等比数列{bn}的首项b1 = 3，公比q = 2，则第5项b5 = _______。

答案：969. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则圆心C的坐标为_______。

答案：(2, 3)10. 若函数f(x) = ln(x + 1)在区间[0, 2]上单调递增，则f'(x) ≥ _______。

答案：1/(x + 1)三、解答题（每题15分，共45分）11. （证明题）证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(a) = f'(b)，则存在至少一点c ∈ (a, b)，使得f''(c) = 0。

2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＝3k +1，k ∈Z }，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0，2}B ．{﹣1，2}C ．{﹣2，0，2}D ．{1，﹣2}2．函数f(x)=√x 2+2x 的增区间是（ ） A ．[0，+∞）B ．[﹣1，+∞）C ．（﹣∞，﹣2]D ．（﹣∞，﹣1]3．若命题“∃x ∈R ，使得x 2﹣2x +m ＝0”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞）B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]4．已知幂函数f(x)=x −m2+2m的定义域为R ，且m ∈Z ，则m 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．25．已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于（﹣1，0），（2，0）两点，则关于x 的不等式cx 2+x ﹣b ＞0的解集为（ ） A ．(−12，1) B ．(−∞，−12)∪(1，+∞) C ．(−1，12)D ．(−∞，−1)∪(12，+∞)6．设n 为正整数，f(n)=1+12+13+⋯+1n，人们对于f （n ）的研究已经持续了几百年，迄今为止仍没有得到求和公式，只是得到了它的近似公式：当n 很大时，f （n ）≈lnn +γ，其中γ称为欧拉﹣马歇罗尼常数，γ≈0.5772，至今还不确定γ是有理数还是无理数．由于上式在n 很大时才成立，故当n 较小时计算出的结果与实际值之间存在一定的误差，已知ln 2≈0.6931，用上式估算出的ln 4与实际的ln 4的误差绝对值近似为（ ） A ．0.03B ．0.12C ．0.17D ．0.217．函数f(x)=1+x 21−x 2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知互不相同的实数x ，y ，z ，满足3x＝4y＝6z，则2z x 3−z2y 的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．3二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.()A.B. C. D.2.在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为()A.B.C.D.3.下列各组向量中，可以作为基底的是()A.，B.，C.，D.，4.复数z 满足，则其共轭复数的虚部为()A. B.C.D.5.在中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若，，，则()A.B.C.D.6.已知正四面体的棱长为1，空间中一点M 满足，其中x ，y ，，且则的最小值为()A. B.C.D.17.已知，则()A.B.C.D.8.如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为() A.B.3 C.D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，为复数，则()A. B.C.若，则D.若，则10.已知非零向量，，记，，则()A.若，则B.若，则C.若，，且，则，的夹角为D.若，则11.如图，在矩形ABCD中，，，将三角形ACD沿直线AC翻折得到三角形，在翻折过程中，下列说法正确的是()A.存在某个位置，使得三棱锥的外接球半径大于B.存在某个位置，使得异面直线与AC的所成的角为C.点B到平面ACD的距离的最大值为1D.直线与平面ABC所成角的正弦值最大为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量，，若，则实数x的值为______.13.求值：______.14.已知正四棱锥的所有棱长均为2，以点A为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

南京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷命题人：高一数学备课组一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{22,},{4}A xx x B =-∈=R ∣剟，则A B =（ ）A.[2,2]-B.[0，2]C.(0,2)D.{0,1,2}2.命题“2,10x x x ∃∈-->R ”的否定是（ ） A.2,10x x x ∃∈--<R B.2,10x x x ∃∈--R … C.2,10x x x ∀∈--R … D.2R,10x x x ∀∈-->3.“0,0a b >>”是“2b aa b+…”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ）A.()()f x g x x ==B.2(),()||f x g x x == C.2(),()x f x g x x x==D.3(),()f x g x x ==5.函数2168y x x =--+的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.6.设函数2(2),0()3,0,f x x f x x x x +⎧=⎨->⎩，…则(4)f -=（ ）A.-4B.-2C.0D.27.若0,0x y >>，且x y xy +=，则2x y +的最小值为（ ）A.2+B.5C.3+D.68.已知定义在R 上的函数()f x 满足()(4)2f x f x +-=，若函数()2xg x x =-与()f x 的图象的交点为()()()1122,,,,,,,m m x y x y x y 则1212=mmy y y x x x ++++++（ ） A.2B.1C.12D.0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.下列四个条件中，能成为“a b >”的充分条件的有（ ） A.11a b< B.22at bt >C.||||a b >D.33a b >10.已知全集()()()0,,,,{1,9},{410U UAUx U xx N A U B U A B B x ⎧⎫=<∈⊆⊆⋂=⋂=⎨⎬-⎩⎭痧?，6,7},{3}A B =，则下列说法正确的有（ ）A.8B ∈B.6()U AB ∉ð C.{2,5}B ⊆ D.A 的不同子集的个数为811.设a 为实数，已知函数()|1||1|f x x ax =++-，则下列说法正确的有（ ） A.当1a =时，()f x 是偶函数B.当2a =时，()f x 的最小值为32C.若()f x 在(,1)-∞-上单调递减，则a 的取值范围为(,1][0,)-∞-+∞D.若存在t ∈R ，对于任意的,()()x f t x f t x ∈+=-R ，则a 的可能值共有3个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数y =______.13.设0a >=1122a a +的值是______. 14.设550a 剟，函数100()f x x x=+在(0,]a 上的最小值为1m ，在区间[,)a +∞上的最小值为2m ，若存在两个不同的a ，使得12m m t =成立，则实数t 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）计算：（1）20.53812274-⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）21log 34312log 3log 8lg1000+-⨯+ 16.（本小题满分15分）设a 为实数，已知集合{(2)(2)0},[3,6]A x ax x B =--<=∣. （1）若12a =，求A B ； （2）若B A ⊆，求a 的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，已知矩形()ABCD AB AD >的周长为24cm ，把ABC 沿AC 向ADC 折叠，得到AB C '.设线段AB '与线段DC 交于点P ，且 c m AB x =.（1）若c m PC y =，求y 关于x 的解析式； （2）求ADP 面积S 的最大值及相应x 的值.18.（本小题满分17分）设a 为实数，已知函数2()(1)1f x x a x =--+为R 上的偶函数. （1）求a 的值； （2）设函数(),[1,1]()xg x x f x =∈-. ①用定义证明：()g x 在[0，1]上单调递增； ②解关于x 的不等式()(13)0g x g x +-<.19.（本小题满分17分）已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为A 和B ，若对任意t A ∈，恰好都存在()* N n n ∈个不同的实数12,,,n x x x B ⋯∈，使得()()(1,2,,)i g x f t i n ==⋯，则称()g x 为()f x 的“n 型函数”.（1）判断2()2,[2,3]g x x x x =-∈是否为()1,[0,3]f x x x =+∈的“1型函数”，并说明理由； （2）设a 为实数，若2()g x x ax =-为()||f x x a =+的“2型函数”，求a 的取值范围；（3）设0,a n >为给定的正整数.定义{}[]x x x =-为实数x 的小数部分，[]x 为不超过x 的最大整数，如{1.2}0.2,{1.3}0.7,{1}0=-==.若(){},[0,1)g x ax x =∈为21(),[1,)f x x x x=∈+∞+的“n 型函数”，求a的取值范围（结果用含n的式子表示）.南京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷命题人：高一数学备课组一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】B【解析】(4)(2)(0)(2)2f f f f -=-===- 7.【答案】C【解析】1111212(2)33y xx y xy x y x y x y x y x y ⎛⎫+=⇒+=⇒+=++=++≥+ ⎪⎝⎭8.【答案】C【解析】由()(4)2f x f x +-=得()f x 关于(2,1)对称，由()2x g x x =-得4(4)2xg x x--=-， 即4()(4)222x xg x g x x x-+-=+=--，所以()g x 也关于(2,1)对称，因此两函数图象交点也是对称的.假设点()11,x y 与点()22,x y 对称，则121224y y x x +=+，所以推理可得121212m m y y y x x x ++⋯+=++⋯+.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.【答案】BD【解析】即求哪个选项可以推出a b >，所以若0,0a b <>，则A 错； 对于B 来说，0t ≠，所以左右同除以2t 可得a b >；若2,1a b =-=，则C 错；()2332223()()0, 24b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以可得. a b >10.【答案】ACD【解析】由已知得{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，且A 中必有1，9，而B 中必没有1，9；A 中必没有4，6，7，且B 中也没有4，6，7；A 和B 中都有3，可以总结如下：11.【答案】ABD【解析】若1a =，则()|1||1|f x x x =++-，所以()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=++-=，故A 对；若2a =，则13,21()|1||21|2,123,1x x f x x x x x x x ⎧>⎪⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪-<-⎪⎪⎩，如图：故min 13()22f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故B 对； 在(,1)-∞-上，()(1)f x a x =-+单调递减，则10a +>即1a >-，故C 错；若()()f t x f t x +=-，则()f x 关于x t =对称，所以由C 可知0a =与1a =-均能满足题意， 此外由B 可知要满足题意则中间部分必须水平，所以11x a -<<或11x a<<-时，1a -或1a -要为0，即1a =，共有3个，故D 对． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】[3,0)(0,3]-13.【答案】3【解析】因为224-=，所以29=0>，所以3=． 14.【答案】(400,500] 【解析】函数草图如下：由图可知最值的关键在于a 与10的大小关系，因为不确定，故讨论： ①510a ≤<时，12100()(10)20m f a a m f a ==+==，，即1210020(400,500]m m a a ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；②10a =时，12(10)20m m f ===，即12400m m =； ③1050a <≤时，12100(10)20()m f m f a a a ====+，，即1210020(400,1040]m m a a ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；所以要想存在两个不同的a 使得12m m 相同，则必须一个[5,10)a ∈，另一个(10,50]a ∈， 即(400,500](400,1040](400,500]t ∈⋂=.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）原式2239111232424-⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭（2）原式2log 3lg33lg 233223632lg 2lg322=⨯-⨯-=--= 16.【解析】（1）12a =时，(2,4)A =，故(2,6]A B =； （2）①0a =时，(2,)A =+∞，满足题意；②01a <<时，22,A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，要满足题意则有26a >，即103a <<； ③1a =时，A =∅，与已知矛盾，舍； ④1a >时，2,2A a ⎛⎫=⎪⎝⎭，与已知矛盾，舍； ⑤0a <时，2,(2,)A a ⎛⎫=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，一定满足题意.综上所述，a 的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.17.【解析】（1）由已知得(cm)DP x y =-，易得Rt ADP 和Rt CB P '全等，所以(cm)AP PC y ==，由勾股定理得222(12)()x x y y -+-=，即7212y x x=+-，期中612x <<； （2）1172(12)()61810822ADPSAD PD x x y x x ⎡⎤⎛⎫=⋅=--=-+≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当x =108-18.【解析】（1）由偶函数得对称轴102a x -==，即1a =； （2）由（1）得2()1xg x x =+， ①任取12x x >，且12,[0,1]x x ∈，所以()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x g x g x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()()()()12211212122222121211111x x x x x x x x x x xx xx -+---==++++因为12x x >，且12,[0,1]x x ∈，所以1210x x -≥且120x x ->，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，因此()g x 在[0，1]上单调递增得证； ②因为()()21xg x g x x --==-+，所以()g x 为奇函数，由①可知()g x 在[1,1]-单调递增， 因此由()(13)0g x g x +-<，可得()(13)g x g x <--，进而有()(13)g x g x <-+，所以得13x x <-+，即12x >，此外由定义域得111131x x -≤≤⎧⎨-≤-+≤⎩，综上不等式的解集为12,23⎛⎤⎥⎝⎦. 19.【解析】（1）由已知得()f x 的值域为[1,4],()g x 的值域为[0，3]，所以不存在x 满足()(3)4g x f ==，故不是；注：“1型函数”实际上要求()f x 的值域是()g x 的值域的子集，且()g x 在定义域内单调．（2）由已知得()f x 的值域为[,),()a g x +∞的值域为[0,)+∞，因此要满足题意首先需要0a ≥，此外要存在两个不同的实数12,x x ，则要满足24a a >，即4a <，但0a =时，()0g x =只有一解，与已知矛盾，所以a 的取值范围是(0,4)；（3）由已知得()f x 的值域为1,0,1120,,()1,,, 2ax x a g x ax x a a ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎛⎤⎡⎫=-∈⎨ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭⎪⎪⎪⎩即可视为一个周期函数，要满足题意则需2112n n a a -<≤，即a 的取值范围是1,2n n ⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2012 高考数学信息卷一一、填空题1．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z +++的最大值是2.提示：22221122x y y z +++≥+. 2. 已知函数2(1)()1(1)x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈，12x x ≠，使12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是2a ≤.3．已知ABO ∆三顶点的坐标为(1,0),(0,2),(0,0),(,)A B O P x y 是坐标平面内一点，且满足0,0AP OA BP OB ⋅≤⋅≥，则OP AB ⋅的最小值为 3 .提示：由已知得(1,)(1,0)10AP OA x y x ⋅=-⋅=-≤，且(,2)(0,2)2(2)0BP OB x y y ⋅=-⋅=-≥，即1x ≤，且2y ≥， 所以(,)(1,2)2143OP AB x y x y ⋅=⋅-=-+≥-+=.4. 函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)'()0x f x -<，设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则,,a b c 的大小关系为c <a<b. 提示：依题意得，当1x <时，有'()0f x >，()f x 为增函数；又(3)(1)f f =-，且11012-<<<，因此有1(1)(0)()2f f f -<<， 即有1(3)(0)()2f f f <<,c a b <<.5. 等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知123,2,3S S S 成等差数列，则等比数列{n a }的公比为13. 提示：设等比数列{n a }的公比为(0)q q ≠，由21343S S S =+，得21111114()3()a a q a a a q a q +=+++，即230q q -=，13q ∴=.6．在平面直角坐标系中，设直线:0l kx y -=与圆C ：224x y +=相交于A 、B 两点，.OM OA OB =+若点M 在圆C 上，则实数k =1±.提示：OM OA OB =+，则四边形OAMB 是锐角为60︒的菱形， 此时，点O 到AB 距离为1.1=，解出k =1±.7． 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第5个数应是2012.提示：由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第63行最左边的数是63(631)20162⨯+=，所以，从左至右的第5个数应是2016-4=2012.136547891015141312112二、解答题1. 已知向量)1,(sin θ=a ，)3,(cos θ=b ，且//a b ，其中)2,0(πθ∈.(1)求θ的值；(2)若20,53)sin(πωθω<<=-，求cos ω的值.解：(1)(sin ,1)a θ=，(cos b θ=，且//a b ，cos 0θθ-=，即tan θ=， .30),2,0( =∴∈θπθ(2) ,6,20πθπω=<< .366ππωπ<-<-∴53)6sin(=-πω ,54)6(sin 1)6cos(2=--=-∴πωπω.)6sin(6sin )6cos(6cos )66cos cos πωππωπππωω---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∴）（4133.252510=-⨯=2.如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11ABB A 和侧面11ACC A 均为正方形， 90=∠BAC ，的中点为BC D .(1)求证：11//ADC B A 平面; (2)求证：C B A C 11⊥.证明：(1)连接OD O AC C A ，连接于点交11,.的中点为为正方形，所以四边形C A O A ACC 111 ,又D 为BC 的中点，BC A OD 1∆∴为的中位线，∴.OD //B A 11ADC OD 平面⊂ ,11ADC B A 平面⊄,∴11//ADC B A 平面.(2)由(1)可知，11CA A C ⊥.侧面11A ABB 为正方形，111AA B A ⊥,且 9011=∠=∠BAC C A B ，1111A ACC B A 平面⊥∴.又111A ACC A C 平面⊂ ,A CB A 111⊥∴.C B A A C 111平面⊥∴. C B A C B 111平面又⊂,∴C B A C 11⊥.3.某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m ．(1)过点P 的一条直线与走廊的外侧两边交于,A B 两点，且与走廊的一边的夹角为(0)2πθθ<<，将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；(2)一根长度为5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．解：(1) 根据图得22(),(0,).sin cos 2l BP AP πθθθθ=+=+∈ (2) 铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：22()()()sin cos l θθθ'''=+ 220sin 2cos 0cos 2sin sin cos θθθθθθ⋅-⋅⋅+⋅=+33222(sin cos ).sin cos θθθθ-=令()0l θ'=得，4πθ=．当04πθ<<时，()0,()l l θθ'<为减函数； 当42ππθ<<时，()0,()l l θθ'>为增函数；所以当4πθ=时，()l θ有最小值因为5>，所以铁棒能水平通过该直角走廊．4.椭圆C ： )0(12222>>=+b a b y a x 两个焦点为12,F F ，点P 在椭圆C 上，且211F F PF ⊥,且211=PF ，3221=F F . (1)求椭圆C 的方程.(2)以此椭圆的上顶点B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个;若不存在，请说明理由. 解：(1)3221=F F 3=∴c ，又211F F PF ⊥，∴,27,44922212122==+=PF F F PF PF ∴1,2,4222221=-===+=c a b a PF PF a 则, ∴所求椭圆C 的方程为1422=+y x .(2)假设能构成等腰直角三角形ABC ，其中)1,0(B ，由题意可知，直角边BC BA ,不可能垂直或平行于x 轴，故可设BA 边所在直线的方程为1+=kx y ， )0(<k 不妨设,则BC 边所在直线的方程为11-+=x ky .由221,44,y kx x y =+⎧⎨+=⎩得12280()14k x x k ==-+舍，,故)1418,418(222++-+-k k k k A ， ∴,4118)418()418(2222222k kk k k k k AB ++=+-++-= 用k 1-代替上式中的k ，得22418kk BC ++=,由得,BC AB =,41)422k k k+=+（ 即324410,k k k +++=即2(1)(31)0,k k k +++=,2531,0±-=-=∴<k k k 或解得故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.5.有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a （3,,,3,2,1,≥=n n k m ），公差为m d ，并且nn n n n a a a a ,,,,321 成等差数列.(1)证明的多项式）是m p p n m d p d p d m 212211,,3(≤≤+=，并求21p p +的值； (2)当3,121==d d 时，将数列{}m d 分组如下：)(1d ，),,(432d d d ，),,,,(98765d d d d d ，…（每组数的个数构成等差数列）. 设前m 组中所有数之和为4)(m c （0>m c ），求数列{}m c d m 2的前n 项和n S .(3)设N 是不超过20的正整数，当N n >时，对于(1)中的n S ，求使得不等式n n d S >-)6(501成立的所有N 的值. 解：(1)由题意知m m n d n a )1(1-+=.[][]))(1()1(1)1(1121212d d n d n d n a a n n --=-+--+=-,同理，))(1(2323d d n a a n n --=-，))(1(3434d d n a a n n --=-，…，))(1(1)1(----=-n n n n nn d d n a a .又因为nn n n n a a a a ,,,,321 成等差数列，所以n n a a 12-=n n a a 23-=…=n n nn a a )1(-- 故,12312--==-=-n n d d d d d d 即{}n d 是公差为12d d -的等差数列. 所以21121)1()2())(1(d m d m d d m d d m -+-=--+=. 令,1,221-=-=m p m p 则2211d p d p d m +=此时21p p +=1. (2) 当3,121==d d 时,)(12*N m m d m ∈-=数列{}m d 分组如下：)(1d ，),,(432d d d ，),,,,(98765d d d d d ，… 按分组规律，第m 组中有12-m 个奇数，所以第1组到第m 组共有2)12(531m m =-++++ 个奇数. 注意到前k 个奇数的和为2)12(531k k =-++++ ， 所以前2m 个奇数的和为422)(m m =.即前m 组中所有数之和为4m ，所以44)(m c m =.因为,0>m c 所以m c m =，从而).(2)12(2*N m m d m m c m ∈⋅-= 所以n n n n n S 2)12(2)32(272523211432⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅+⋅=- .154322)12(2)32(272523212+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n S故14322)12(222222222+⋅--⋅++⋅+⋅+⋅+=-n n n n S 1322)12(2)2222(2+⋅---++++=n n n12)12(212)12(22+⋅-----⨯=n n n 62)23(1--=+n n . 所以62)32(1+-=+n n n S .(3)由(2)得)(12*N n n d n ∈-=, 62)32(1+-=+n n n S )(*N n ∈. 故不等式n n d S >-)6(501就是)12(502)32(1->-+n n n . 考虑函数100)502)(32()12(502)32()(11---=---=++n n n n n x f . 当5,4,3,2,1=n 时，都有0)(<n f ，即)12(502)32(1-<-+n n n .而0602100)50128(9)6(>=--=f ，注意到当6≥n 时，)(n f 单调递增，故有0)(>n f .因此,当6≥n 时，)12(502)32(1->-+n n n 成立，即n n d S >-)6(501成立. 所以,满足条件的所有正整数N=20,,7,6,5 . 6. 对任意x R ∈，给定区间11[,]()22k k k Z -+∈，设函数()f x 表示实数x 与x 所属的给定区间内唯一整数之差的绝对值. (1)当11[,]22x ∈-时，求出()f x 的解析式；11[,]()22x k k k Z ∈-+∈时，写出绝对值符号表示的()f x 的解析式；(2)求44(),()33f f -，判断函数()()f x x R ∈的奇偶性，并证明你的结论；(3)当121ea -<<时，求方程()log 0a f x -=的实根.( 要求说明理由，1212e->).解：(1)当11[,]22x ∈-时，11[,]22-中唯一整数为0， 由定义知：11(),[,].22f x x x =∈-当11[,]()22x k k k Z ∈-+∈时，在11[,]22k k -+中唯一整数为k ，由定义知：11(),[,]()22f x x k x k k k Z =-∈-+∈.(2) 411411[1,1],[1,1],322322∈-+-∈---+ 4141(),()3333f f ∴=-=,下判断()f x 是偶函数.对任何x R ∈，存在唯一k Z ∈，使得11,()22k x k f x x k -≤≤+=-则.由1122k x k -≤≤+可以得出11()22k x k k Z --≤-≤-+∈,即11[,]()22x k k k Z -∈---+-∈.由(1)的结论，()()(),f x xk k x x k f x -=---=-=-=即()f x 是偶函数. (3)()log 0af x -=，即1log 02a x k x --=，其中0x >；①当1x >时，10log 2a x k x -≥>，所以1log 02a x k x --=没有大于1的实根；②容易验证1x =为方程1log 02a x k x --=的实根；③当112x <<时，对应的1k =，方程1log 02a x k x --=变为11log 02a x x --=.设11()log (1)(1)22a H x x x x =--<<.则121111'()log 11110,22ln 2ln a H x e x x a x x e -=+=+<+=-+< 故当112x <<时，()H x 为减函数，()(1)0H x H >=，方程没有112x <<的实根； ④当102x <≤时，对应的0k =，方程1log 02a x k x --=变为1log 02a x x -=，设11()log (0)22a G x x x x =-<≤，明显()G x 为减函数.1()()()02G x G Hx ≥=>,所以方程没有102x <≤的实根.综上，若121e a -<<时，方程()log 0a f x -=有且仅有一个实根，实根为1.三、理科附加题1.在研究性学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担H 、I 、J 、K 四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担. (1)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率;(2)设这五位同学中承担H 任务的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望.ξE解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件B ，那么,101)(442544=A A =B P C所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是.109)(1)(=B P -=B P (2)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“2=ξ”是指有两人同时承担H 任务，则41244253325=A A ==P C C )(ξ， .)()(43211==P -==P ξξ 所以,ξ的分布列是所以.44241=⨯+⨯=E ξ 2. 已知2012(1)(1)(1)(1),(*).n n n x a a x a x a x n N +=+-+-++-∈(1) 求0a 及1nn i i S a ==∑；(2) 试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，并说明理由. 解：(1) 令1x =，则02na =，令2x =，则3nn ii a==∑，所以32n n n S =-.(2) 要比较n S 与2(2)22nn n -+的大小，即比较：3n与2(1)22n n n -+的大小， 当1n =时，3n>2(1)22n n n -+;当2,3n =时，3n <2(1)22n n n -+；当4,5n =时，3n>2(1)22n n n -+；猜想：当4n ≥时，3n>2(1)22n n n -+，下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知，4n =时结论成立，假设当(4)n k k =≥时结论成立，即3k>2(1)22k k k -+；两边同乘以3得：1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k kk k k k ++>-+=+++-+--. 而22(3)2442(3)24(2)6(2)24(2)(1)60k k k k k k k k k k k k -+--=-+--+=-+-++>所以1123[(1)1]22(1)k k k k ++>+-++； 即1n k =+是结论也成立，所以，当4n ≥，3n>2(1)22n n n -+成立. 综上得，当1n =时，3n >2(1)22n n n -+； 当2,3n =时，3n<2(1)22n n n -+; 当4n ≥，*n N ∈时，3n>2(1)22n n n -+.。

2024学年江苏省南师附中数学高三第一学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定2．设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．e⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭B ．,)e +∞C ．,)e +∞D ．e⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭3．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米 B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米4．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A 2B ．1C ．2D 55．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ）A ．12B ．14C D ．26．命题“(0,1),ln xx e x -∀∈>”的否定是（ ）A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤7．要得到函数12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度8．已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤D ．0a ≥9．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C D 10．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）11．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A ．33263cm B ．36463cm C ．33223cm D ．36423cm 12．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。