第十一讲二元函数的极值要求：理解多元函数极值的观点，会用充足条件判断二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。
问题提出：在实质问题中，常常会碰到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相近似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有亲密的关系，所以以二元函数为例，来议论多元函数的极值问题．一．二元函数的极值定义设函数z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义，关于该邻域内的所有( x, y) (x 0 , y0 ) ，假如总有 f (x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数z f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 处有极大值；假如总有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 有极小值．函数的极大值，极小值统称为极值，使函数获得极值的点称为极值点．例 1．函数z xy 在点(0,0) 处不获得极值，由于在点(0,0) 处的函数值为零，而在点(0,0) 的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．例 2．函数z 3x2 4 y 2在点 (0,0) 处有极小值．由于对任何 ( x, y) 有 f (x, y) f (0,0) 0 ．从几何上看，点( 0,0,0) 是张口向上的椭圆抛物面z 3x 2 4 y2的极点，曲面在点(0,0,0) 处有切平面z0 ，进而获得函数获得极值的必需条件．定理1（必需条件）设函数z f ( x, y) 在点(x0 , y0 ) 拥有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必定为零，即 f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 ．几何解说若函数z f ( x, y) 在点(x0 , y0 ) 获得极值z0，那么函数所表示的曲面在点(x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )是平行于 xoy 坐标面的平面z z0．近似地有三元及三元以上函数的极值观点，对三元函数也有获得极值的必需条件为f x ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， f z ( x0 , y0 , z0 ) 0说明上边的定理固然没有完整解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的门路，即f x ( x0 , y0 ) 0( x n , y n ) ，那么极值点必包只需解方程组，求得解 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )f y (x0 , y0 ) 0含在此中，这些点称为函数z f ( x, y) 的驻点．注意 1．驻点不必定是极值点，如z xy 在(0,0)点．如何鉴别驻点是不是极值点呢？下边定理回答了这个问题．定理 2（充足条件）设函数 z f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 ，令 f xx (x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy (x0 , y0 ) C ，则（ 1）当AC B 2 0 时，函数 z f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 获得极值，且当 A 0 时，有极大值 f ( x0 , y0 ) ，当 A 0 时，有极小值 f ( x0 , y0 ) ；（ 2）当AC B 2 0 时，函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 没有极值；（ 3）当AC B 2 0 时，函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 可能有极值，也可能没有极值，还要另作议论．求函数 z f ( x, y) 极值的步骤：（1）解方程组 f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 ，求得一确实数解，即可求得全部驻点( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )( x n , y n ) ；（2）关于每一个驻点( x , y )(i 1,2,L n) ，求出二阶偏导数的值A,B, C；i i（3）确立AC B2 的符号，按定理 2 的结论判断 f ( x i , y i ) 是不是极值，是极大值仍是极小值；（4）观察函数 f ( x, y) 能否有导数不存在的点，如有加以鉴别能否为极值点．例 3．观察解由于z x 2 y2能否有极值．z x，z y在x0, y0 处导数不存在，可是对所x x2y 2y x 2y2有的 (x, y) (0,0) ，均有 f ( x, y) f (0,0) 0 ，所以函数在( 0,0) 点获得极大值．注意 2．极值点也不必定是驻点，若对可导函数而言，如何？例 4．求函数f ( x, y) x3 y3 3x 2 3y2 9x 的极值．解先解方程组f x 3x 2 6x 9 03,0), ( 3,2) ，f y 3y2 6 y 0，求得驻点为 (1,0), (1,2), (再求出二阶偏导函数fxx 6x 6 ， f xy， f yy 6 y 6 ．在点 (1,0) 处， AC B 2 12 6 72 0 ，又 A 0 ，所以函数在点(1,0) 处有极小值为f (1,0) 5 ；在点 (1,2) 处， AC B2 72 0 ，所以 f (1,2) 不是极值；在点 ( 3,0) 处， AC B2 72 0 ，所以 f ( 3,0) 不是极值；在点 ( 3,2) 处， AC B2 72 0，又A 0，所以函数在点( 3,2) 处有极大值为f ( 3,2) 31．二．函数的最大值与最小值求最值方法：⑴将函数 f ( x, y) 在地区D内的所有极值点求出；⑵求出 f ( x, y) 在D界限上的最值；即分别求一元函数 f ( x, 1 (x)) ， f ( x, 2 ( x))的最值；⑶ 将这些点的函数值求出，而且相互比较，定出函数的最值．实质问题求最值依据问题的性质，知道函数 f ( x, y) 的最值必定在地区 D 的内部获得，而函数在 D 内只有一个驻点，那么能够必定该驻点处的函数值就是函数 f ( x, y) 在D上的最值．例 4．求把一个正数 a 分红三个正数之和，并使它们的乘积为最大．解设 x, y 分别为前两个正数，第三个正数为 a x y ，问题为求函数u xy(a x y) 在地区D ：x， y 0 ，x y a内的最大值．0由于u y(a x y) xy y(a 2x y) ，ux(a 2 y x) ，x y解方程组a 2x y 0 a， ya．a 2y x，得 x30 3由实质问题可知，函数必在 D 内获得最大值，而在地区 D 内部只有独一的驻点，则函数必在该点处获得最大值，即把a 分红三等份，乘积 ( a) 3 最大．z a x y ，则 3 此外还可得出，若令u xyz( a)3 ( x y z ) 33 3 即3xyz x y z．3三个数的几何均匀值不大于算术均匀值．三．条件极值，拉格朗日乘数法引例求函数 zx 2y 2 的极值．该问题就是求函数在它定义域内的极值，前方求过在(0,0) 获得极小值；若求函数 zx 2 y 2 在条件 xy 1下极值，这时自变量遇到拘束，不可以在整个函数定义域上求极值，而只好在定义域的一部分x y1 的直线上求极值，前者只需求变量在定义域内变化， 而没有其余附带条件称为 无条件极值 ，后者自变量遇到条件的拘束， 称为 条件极值 ．如何求条件极值？有时可把条件极值化为无条件极值， 如上例从条件中解出 y 1 x ，代 入 z x 2 y 2 中 ， 得 zx 2 (1 x)2 2x 2 2x 1 成 为 一 元 函 数 极 值 问 题 ， 令z x 4 x 21 1 1 10 ，得 x，求出极值为 z(, )2 ．22 2可是在好多情况下， 将条件极值化为无条件极值其实不这样简单， 我们还有一种直接追求条件极值的方法， 可不用先把问题化为无条件极值的问题， 这就是下边介绍的拉格朗日乘数法．利用一元函数获得极值的必需条件．求函数 zf ( x, y) 在条件( x, y) 0下获得极值的必需条件．若函数 zf ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 获得所求的极值，那么第一有(x 0, y 0 )0 ．假设在 ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内函数 z f ( x, y) 与均有连续的一阶偏导数， 且 y ( x 0 , y 0 )0 ．有隐函数存在定理可知，方程(x, y) 0 确立一个单值可导且拥有连续导数的函数y (x) ，将其代入函数 zf ( x, y) 中，获得一个变量的函数z f (x,( x))于是函数 zf ( x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 获得所求的极值， 也就是相当于一元函数 z f (x, ( x)) 在x x 0 获得极值．由一元函数获得极值的必需条件知道dz f x (x 0 , y 0 ) f y (x 0 , y 0 ) dy0 ，dx x x 0dx x x 0而方程(x, y) 0 所确立的隐函数的导数为dyx( x 0, y 0 )．dx x x 0y ( x 0 , y 0 )将上式代入 f( x , y ) f (x , y )dy0 中，得x 0 0 y0 0dx x xf x ( x 0 , y 0 )f y ( x 0 , y 0 ) x(x 0, y 0)0 ，y (x 0 , y 0 )所以函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0 下获得极值的必需条件为 f x ( x 0 , y 0 )f y ( x 0 , y 0 ) x(x 0, y 0)y (x 0 , y 0 )．(x 0 , y 0 ) 0为了计算方便起见，我们令f y ( x 0 , y 0 )，y (x 0 , y 0 )则上述必需条件变成f x ( x 0 , y 0 )x ( x 0 , y 0 ) 0 f y ( x 0 , y 0 )y ( x 0 , y 0 )0 ，( x 0 , y 0 ) 0简单看出，上式中的前两式的左正直是函数F ( x, y) f ( x, y)(x, y)的两个一阶偏导数在(x 0 , y 0 ) 的值，此中是一个待定常数．拉格朗日乘数法求函数 zf ( x, y) 在条件 (x, y) 0 下的可能的极值点．⑴ 组成协助函数F (x, y) f (x, y)(x, y) ，（为常数）⑵求函数 F 对x，对 y 的偏导数，并使之为零，解方程组f x ( x, y)x ( x, y)0f y ( x, y)y ( x, y)0(x, y)0得 x, y,，此中x, y就是函数在条件(x, y)0 下的可能极值点的坐标；⑶ 如何确立所求点能否为极值点？在实质问题中常常可依据实质问题自己的性质来判断．拉格朗日乘数法推行求函数 u f ( x, y, z,t ) 在条件(x, y, z, t) 0 ，(x, y, z, t) 0 下的可能的极值点．组成协助函数F (x, y, z, t ) f ( x, y, z, t) 1 ( x, y, z,t ) 2 ( x, y, z,t )此中1 , 2为常数，求函数 F 对 x, y, z 的偏导数，并使之为零，解方程组f x 1 x 2 x f y 1 y 2 y f z 1 z 2 z f t 1 t 2 t0 0 0 0(x, y, z,t )0( x, y, z, t)0得 x, y, z 就是函数u f (x, y, z, t) 在条件( x, y, z,t) 0 ，( x, y, z,t )0 下的极值点．注意：一般解方程组是经过前几个偏导数的方程找出x, y, z 之间的关系，而后再将其代入到条件中，即能够求出可能的极值点．例 6. 求表面积为 a 2而体积为最大的长方体的体积．解设长方体的三棱长分别为x, y, z ，则问题是在条件(x, y, z) 2xy 2yz 2xz a 20下，求函数 v xyz (x0, y 0, z0) 的最大值．组成协助函数 F (x, y, z) xyz(2xy 2 yz 2xz a 2 ) ，求函数 F 对 x, y, z 偏导数，使其为0 ，获得方程组yz 2 ( y z) 0 (1)xz 2 (x z) 0 (2)xy 2 ( x y) 0 (3)2xy 2yz 2xz a2 0 (4)由 (2) ，得x x z ，由(3) ，得y x y ，(1) y y z ( 2) z x z即有，x( y z) y( x z), x y ， y(x z) z( x y), y z ，可得 x y z ，将其代入方程2xy 2 yz 2xz a2 0 中，得x y z6a ．6这是独一可能的极值点，由于由问题自己可知最大值必定存在，所以最大值就是在这可能的极值点处获得，即在表面积为a2的长方体中，以棱长为6a 的正方体的体积为最大，6最大概积为 v 6 a3．36例 7．试在球面x2 y2 z2 4 上求出与点 (3,1, 1) 距离近来和最远的点．解设 M (x, y, z) 为球面上随意一点，则到点(3,1, 1) 距离为d (x 3)2 ( y 1)2 (z 1)2可是，假如考虑d2，则应与d有同样的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取f (x, y, z) d 2 ( x 3)2 ( y 1)2 ( z 1)2，又由于点 M ( x, y, z) 在球面上，附带条件为( x, y, z) x2 y2 z2 4 0 ．组成协助函数 F (x, y, z) ( x 3)2 ( y 1)2 ( z 1)2 (x2 y2 z2 4) ．求函数 F 对 x, y, z 偏导数，使其为0 ，获得方程组2(x 3) 2 x 0 (1)2( y 1) 2 y 0 (2)2(z 1) 2 z 0 (3)x2 y2 z2 4 (4)以前三个方程中能够看出x, y, z 均不等于零（不然方程两头不等），以作为过渡，把这三个方程联系起来，有x 3y 1 z 1 3 1 1xyz 或xy，z故 x 3z, yz ，将其代入 x 2 y 2 z 24 中，得( 3z)2( z)2 z 2 4 ，2，再代入到 x 3z, yz 中，即可得求出 z11x m6， y m2，1111进而得两点 (62 26 22,,) ， (,,) ，11 1111 1111 11比较表达式看出第一个点对应的值较大，第二个点对应的值较小，所以近来点为( 6 , 2 ,2) ，最远点为 (6 , 2,2)．11 11 11111111。
