固体物理第五章5.2 金属的电导率

k k 即： ； 号分别相应于吸收或放出一个声子。 k k
由于声子的能量和费米面上的电子的能量相比很小, 所以,上述散射过程可以看成是弹性散射.
声子能量在D 300 K时， 1/ 40eV
2 2 2 wk ,k [ k s k ( k k ) k s k ( k k )]

这样上述积分简化为在费米面SF上的面积分。
e2 J 3 4π
dS F SF v (E v ) k
1 e2 J 3 4π
又：k vk

vk vk vk dS F E

SF
vk vk 1 e2 所以电导率为： 3 dS F s 4π F vk
2 2 2 wk ,k [ k s k ( k k ) k s k ( k k )]
( k k )和 ( k k )是能量守恒所要求的。
2 纯金属的电阻率
1).实验规律： 实验发现，纯净金属的电阻率满足如下经验公式：
AT 5 (T ) M 6 D

D / T
0
x5dx (e x 1)(1 e x )
其中，A为金属的特性常数，M为金属原子的质量， ΘD是金属的德拜温度。此经验公式称为布洛赫—格律 乃森定律(Bloch- Grü neisen T5 law)。 显然，由布洛赫—格律乃森定律，高温下T > 0.5 ΘD 时，上式可化为: AT (T ) 4M 2 D 即高温下T > 0.5 ΘD时，满足ρ T
所以： s k k
1 i ( k k q ) Rn A e k e VL (r ) k 2 Rn
上式求和只有波矢之和为倒格矢时才不为零,即:
k k q Gh
Gh = 0对应N过程，Gh ≠ 0对应U过程，上式就是电 子和声子散射的跃迁定则.
Rn
所以，一个格波模对微扰势的贡献为：
1 i ( q 1 i ( q Rn t ) Rn t ) H Aee Aee VL (r Rn ) 2 Rn 2
e
it
1 iq Rn iq Rn it 1 e e e A VL (r Rn ) e A e VL (r Rn ) 2 Rn 2 Rn
积分在费米面上进行，且
1 2 v vF 3
2 x
2 1 e2 vx 3 dS F s 4π F vk 2 2 e k 1 e2 1 2 1 2 F 3 F vF 4πkF 2 vF F 4π 3 vF 3π
2 e 2 F kF vF 2 3
低温下T < 0.5 ΘD时，布洛赫—格律乃森定律变为
n (k ) n (k )
d
vn (k ) vn (k )

ky ds
dk
2.电流密度
f 0 1 e J 3 evf (k )dk 3 v f 0 e (E v ) dk 4π 4π
三、 金属电阻率随温度的变化
1 电阻的起因
理想金属的电导率应为无穷大,电阻率应为零. 电阻是由在能带理论所作的几步近似中被忽略的因 素引起的.即绝热近似和周期场近似. 第一步绝热近似中,认为离子实在格点上固定不 动,忽略了晶格振动,这样在导电问题上忽略了声子与 布洛赫电子的作用; 第二步周期场近似中,认为晶格势能函数V(r) 处处 符合晶格的严格周期性,忽略了晶体中的杂质和缺陷,这 样在导电问题上忽略了布洛赫电子与这些杂质和缺陷 的作用.
设均匀金属，无温度梯度，只有弱电场， f f 0 eE f 0 B 0; T 0 玻尔兹曼方程
e f 0 f f0 E k

k
根据泰勒定理，上式可以看成是
e e f (k ) f (k E ) f (k E)
泰勒展开的结果
e e f (k ) f (k E ) f (k E)
上式说明,当施加电场后,波矢空间内稳定 态的电子分布波函数,是平衡态分布函数 f 0 (k ) 发生刚性平移产生的。 如果平衡态 f0 (k ) 对应一个费米球分布, 则稳定态f ( k ) 也对应一个费米球分布，
二、 电子和声子的相互作用
ne2 F m
从电导率的公式可以看出,为了了解金属电导率随 温度的变化, 只需考虑弛豫时间随温度的变化. 为此, 必须对电子所受散射做具体分析. 对于象纯金属这样的结构完整的理想晶体来说,由于 杂质和缺陷可以忽略不计,电导率主要来自晶格振动 (也就是声子)对电子的散射作用.在绝热近似下,他们之 间的相互作用可看作是微扰, 进而引起不同状态之间 的跃迁. 设T = 0时，将静止的理想晶体中的单电子势 表示为每个离子实附近的局域势之和： V (r ) V ( r R ) L n
5.2 电 导 率
本节主要内容：
一、 金属的直流电导率
二、 电子和声子的相互作用
三、 金属电阻率随温度的变化 四、 剩余电阻率 五、 稀磁合金的电阻率、近藤效应
5.2 电导率 一、 金属的直流电导率
电流密度 J E
电 3 4
上式表明电导率为张量,其分量形式为:

1 e2 3 4π

sF

vk vk vk
dS F
如果外电场沿x轴方向,则上式变为:
1 e2 Jx 3 4π Ex xx Ex sF vk dSF
2 vk x
e
it
s e s
it
1 iq Rn e 其中：s A e V ( r R ) L n 2 R n
it it H e s e s
(曾谨言p558)
因而,这是量子力学中的含时周期性微扰问题,它将 引起本征态之间的跃迁. 跃迁几率为：
显然 ê垂直于波矢 q 对应横波；ê平行于波 矢 q 对应纵波。
由晶格振动的解(取实数形式)知
u (Rn ) Ae cos(qRn t )
1 i(q 1 Aee Rn t ) Aee i ( q Rn t ) 2 2
1 i(q 1 i ( q Rn t ) u ( Rn ) Aee Aee Rn t ) 2 2 H u ( Rn ) VL (r Rn )]
Rn
当温度不为零时，有了晶格振动，设Rn格点 上离子实对平衡位置的偏离为u(Rn). 则有晶格振 动时，对单电子态的微扰势可相应的表示为
H [VL (r Rn u ( Rn )) VL (r Rn )]
设 u(Rn) 为小量，则利用： 从而有：
e 球心沿电场相反的方向刚性移动 E
f 0 f 0 f k vk 0 k
e E
E
f 0 e f 0 f f 0 E f f 0 e ( E vk ) k
f 0 f f 0 e ( E vk )
由于立方晶系金属中电流与电场的关系式为：

0 0 Ex E 0 y Ez
J x Ex
比较可得立方结构金属的电导率
1 e2 vx2 yy zz xx 3 dSF sF v 4 π k
1 e2 vk2x xx 3 dS F sF 4 vk
1 e2 xx 3 4π
J x J 0 y Jz 0 0
2 vx sF vk dSF
散射矩阵元为：
k s k
由布洛赫定理： ik R k (r Rn ) e k (r );
n
1 iq Rn e A e V ( r R ) L n k k 2 R n
ik Rn k (r Rn ) e k (r )
f ( x x) f ( x) xf ( x)
Rn
H u ( R ) V ( r R )] n L n
Rn
进一步假设研究对象为简单晶格，此时仅有 声学支。 并假定简正模的波矢为q、频率为ω、振幅 为A、振动方向上的单位矢量为ê 。


ev (k ) fdk
所以一旦确定了非平衡分布函数 f (r,k,t)，就可以 直接计算电流密度，进而就可以得到电导率。 下面我们就从玻尔兹曼方程出发，讨论这一问题
1.分布函数
f1 f f0 f f f eE e 0 0 0 r T (vk B) 0 k T k
由此可见，对金属电导有贡献的只是费米面附近的 电子，这一点与自由电子对比热的贡献类似。
2 2 v 1 e x 立方结构金属的电导率 3 sF dSF vk 4π
如果金属电子的等能面是球面，则
1 * 2 2 2 1 * 2 m (v x v y v z ) m v 2 2
k F vF * ; m
3 kF 3π 2 n
3 e2 F kF ne2 F 2 * 3 m m*
m 2 ne F
这与第一章得到的电导率的公式具有相同的形式， 只是第一章为自由电子的质量，这里为有效质量。弛 豫时间这里强调为费米面上的电子的弛豫时间。这一 强调进一步表明只有费米面附近的电子才参与了电荷 的输运。而且，这种形式上的相似，也正是第一章在 很多情况下给出满意结果的原因。