三年级奥林匹克数学专题讲解三阶幻方理论A篇和练习B篇

三年级奥数教程第12讲三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3(三行三列)的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图．例1、将1～9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．图12-1分析与解 1+2+…+8+9＝45．所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(＝45÷3)．从1到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1，8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3．6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心．在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示．816357492图12-2说明除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．随堂练习1 用0到8这9个数构造一个三阶幻方．例2、将1，3，5，7，…17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．分析与解将图12—2中的1，2，3，…，9分别用1，3，5，…，17代替，得到图12—3．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27．1511159137173图12-3随堂练习2 将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．例3、如果l、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?分析与解总和是1+4+7+…+25＝(1+25)×9÷2＝117．由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3＝39．。

每一列、每一条对角线的和也是39．两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍．所以中央的那个数是(39×3—39 × 2)÷3＝13．随堂练习3 如果2、6、10、1 l、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?例4、图12—4是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数．62815图12-4分析与解首先注意在例3中实际上已经得出每一行(每一列、每条对角线)的和是中央那个数的3倍．因此，现在每一行的和是15×3＝45．这样，就可以得出第三行第一个数是45—6—28＝11．第三行第三个数是45—6—15＝24．第三行第二个数是45—11—24＝10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图12—5．6201928152111024图12-5随堂练习4图1 2—6是一个三阶幻方，请填出其他的数．15423图12-6例5、已知图12—7中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．11263图12-7分析及解每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12。

三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。

如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。

一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。

（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

ab c de f ghi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。

看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。

同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。

因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。

如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。

因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15所以：()()()()+++++++++++a e ib e hc e gde f1515151560=+++=也就是：()a b c d e f g h i e360+++++++++⨯=又因为：a b c d e f g h i++++++++=45所以45360+⨯=ee36045⨯=-e=5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。

三阶幻方同学们：在（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。

如果在（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。

一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。

（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。

看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。

同时可以看到图（2）中，e是一个中间数，也是关键数。

因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。

如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和：幻和（3）选择突破口，显然是e，看图2。

因为：所以：也就是：又因为：所以也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。

（4）四个角上的数，a、c、g、i的特点。

我们先从a开始：想：a是奇数还是偶数。

如果a为奇数，因为，所以也是奇数。

因为奇＋奇＝偶。

又因为，所以d与g同是奇数或同是偶数。

分两种情况：<1>当d、g都是奇数时，因为，，其中e，i都是奇数，所以f、h也只能是奇数。

这样在图1中应填的数有a、d、e、f、g、h、i这七个奇数，而1～9中九个数只有五个奇数，所以矛盾，说明d、g不可能为奇数。

三阶幻方同学们：在3 3 （三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上 1 —9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。

如果在4 4 （四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在4 4方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。

一般地，在几x几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几x几个连续自然数，（注意这几x几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。

（一）思路指导与解答a|b||cd e fgj h J例1.用1〜9这九个数编排一个三阶幻方。

图1 图2分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。

看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。

同时可以看到图（2）中，e是一个中间数，也是关键数。

因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。

如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和：幻和二（1 2 3 4 5 6 7 8 9p- 3=45 亠3-15（3）选择突破口，显然是e,看图2。

因为：a ■ e i b e h c e g=d e f=15所以：（a e i）（b e h）（c e g）（d e f）-15 15 15 15 = 60也就是：（a b c d e f g h i） 3 e = 60又因为：a b c d e f g h i 45所以45 3 e = 603 e = 60-45e = 5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1〜9这九个数中正中间的数。

1.会用罗伯法填奇数阶幻方2.了解偶数阶幻方相关知识点3.深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33的数阵称作三阶幻方，44的数阵称作四阶幻方，55的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216知识点拨教学目标5-1-4-1.幻方（一）三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有：①求幻和：所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。

11年春季三年级奥数第三讲：幻方
姓名：
幻方是一个古老的数学趣题，传说在我国夏禹时期，北方的洛水中曾出现了一只神龟，背上刻有图形和文字，这引起了许多数学家和兴趣，此图为“洛图”或“洛书”。

三阶幻方的定义
（1）、在三行三列的正方形表格中，各行之和，各列之和，两条对角线之和均相等的数字表格叫做“三阶幻方”。

又称“九宫图”。

（2）、那个共同的和叫做幻和。

例1、将1～9九个数字，填入3×3表格中，使每一行，每一列，两条对角线的三个数加起来等于15.
动动手，动动脑
例2、要使图中的3×3方格表中每行、每列、每条对角线上三个数
练习：图中的3×3方格表中每行、每列、每条对角线上三个数的和
变一变
例3、在下图方格表中的格子填上数，每一行、每一列及两条对角线
练习：在下图方格表中的格子填上数，每一行、每一列及两条对角线
例4、图中每一行、则x＝？
脑力大风暴：
测测你的智力
例5、图中有九个方格，要求每个方格中填入互不相同的数，使得每一行、每一列以及每条对角
11年春季三年级试卷（第三次）
1、请将下面的表格填写完整，要使下图方格表
中每行、每列、两条对角线上三个数的和都相
等。

2、在下面方格表中填上适当的数，使每行、每列、两条对角线上三个数的和均相等。

3、图中每一行、每一列以及对角线上的三数之和均相等，求X ＝（ ）
4、下图中有几个格子，要求每个方格中填入互不相同的数，使得每一横行、竖行、斜行三个数的和都相等。

三阶幻方一、幻方的由来幻方起源于中国，传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如左图。

人们称之为洛书。

如果将龟背上的数字翻译出来，就是九个有规律排列的数字。

观察发现，上图的每行、每列，斜线上的三个数之和都是15。

像这样，将九个不同的自然数填在三行三列的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图形就叫三阶幻方。

三阶幻方是一种特殊的数阵图。

上面的三阶幻方中，每条线上的三数之和15是这个幻方幻和，5是幻方最中心的数字，简称中心数。

二、三阶幻方的规律1、幻和＝总和÷3；2、中间数＝幻和÷3＝总和÷93、三阶幻方性质：角块等于对角两棱块之和的一半。

c ＋(2d －b)＝a ＋(2d －c) c －b ＝a －c c ＝(a ＋b)÷2三、填幻方的方法 1、凑一凑用九张纸片，分别写上九个数字（或者用九张扑克牌）在桌（地）面上摆出来，通过移动卡片使数字的排列符合题目的要求，此法是“凑”出来的。

2、排转换第一步把九个数字摆成图一，第二步让周围的八个数字绕着中心的数字依次转动一个位置，成图二，第三步将对角的数字进行对换，成图三。

这个方法归结为“一排，二转，三对换”。

3、杨辉法：4、阶梯法：（适用奇数幻方）①、构造阶梯②、按顺序斜排③、相互交换5、罗伯特法：（适用奇数幻方）1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框是左边放，重复便在下格填，右上重复一个样。

6、中心开花法：①排列：1，2，3，4，5，6，7，8，9；②确定中心数，九个数之和÷9＝5；③定四角数，位于这个数列偶数项的数，即2，4，6，8；④填余下的4个数（见右图）。

7、对角线法：1、按顺序写数。

2、对角互换（区分大对角和小对角）与幻方相反的问题是反幻方。

将九个数填入三行三列的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方。