第一章§3多重比较方法

多重比较方法的选择及其表示方法1. 多重比较方法的选择一个试验资料，采用哪种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的无效假设和接受一个不正确的无效假设的相对重要性而定。

如果否定正确的（即犯α错误）是事关重大或后果严重的，应用q 测验；这就是宁愿使犯β错误的风险较大而不使犯α错误有较大风险。

如果接受不正确的（即β错误）是事关重大或后果严重的，则易采用PLSD 测验或SSR 测验，这是宁愿冒较大的α错误的风险，而不愿冒较大的β错误的风险。

在一般的农业试验研究中，较为广泛应用的是PLSD 测验法和SSR 测验法。

2. 多重比较结果的表示方法(1) 列三角形表示法将全部平均数从大到小顺序排列，然后算出各平均数间的差数（这些差数呈三角形形式）。

凡达α =0.05 水平显著的差数在其右上角标一个“ * ”号；凡达α =0.01 水平显著的差数在其右上角标两个“ ** ”号；未达α =0.05 水平显著的差数则不予标记。

见表9-5 结果表示。

（2 ）标记字母法先将全部平均数从大到小顺序排列，然后在最大的平均数上标上字母a ，并将该平均数依次和其以下各平均数相比，凡差异不显著的都标字母a ，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母b 。

再以该标有b 的平均数为标准，与上方各个比它大的平均数比，凡不显著的也一律标以字母b ；再以标有b 的最大平均数为标准，与以下各未标记的平均数比，凡不显著的继续标以字母b ，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母c ……如此重复下去，直至最小的一个平均数有了标记字母为止。

这样各平均数间，凡有一个标记相同字母的即为差异不显著，凡具不同标记字母的即为差异显著。

多重比较方法及其在实证分析中的应用第一章绪论随着科技的发展，大数据时代的到来，数据分析越来越成为人们重视并热衷的领域。

本文旨在介绍多重比较方法及其在实证分析中的应用，通过对比多重比较和单个比较的优劣，阐述多重比较方法的必要性和实用性。

第二章多重比较方法的基本概念2.1 多重比较方法的概念在统计学中，多重比较方法是指用于比较三个或多个（但少于总体中的所有个体）总体在一个或多个方面上的方法。

多重比较方法可以更全面地了解总体之间的差异，防止在进行多重检验时产生的多重错误。

2.2 多重比较方法的分类多重比较方法可以分为两类：一级比较和二级比较。

一级比较方法适用于确定多个总体是否存在差异，例如T检验、单因素方差分析和多因素方差分析等方法。

二级比较方法适用于确定哪些总体之间存在差异，例如考虑Bonferroni校正、Tukey方法、Scheffé方法和Dunnett方法等方法。

第三章多重比较方法的应用3.1 多重比较在医学研究中的应用例如在药物研究中，多个药物需要比较其效果是否有显着差异，采用多重比较方法可以避免假阳性的结果，同时减少研究时间和成本。

3.2 多重比较在经济学研究中的应用例如在城市房价研究中，需要对各个地区的房价进行比较，采用多重比较方法可以防止在多个区域中错判高价位，同时减少样本选择的问题。

3.3 多重比较在生态学研究中的应用例如在生态系统复杂度的研究中，多个因素需要进行比较，采用多重比较方法可以降低产生假阳性的概率，更好地理解生态系统中各元素之间的关系。

第四章多重比较方法的优劣比较在进行多重比较时，我们需要比较其与单个比较的优劣之处。

多重比较方法可以全面地了解总体之间的差异，避免在进行多重检验时产生的多重错误。

同时多重比较方法能够减少样本的假阳性结果，提高数据的可靠性和真实性。

但是多重比较方法也需要注意慎重选择，同时避免由于样本的选择和样本误差等问题引起的假阳性。

第五章结论通过对多重比较方法的介绍与应用，可以看出多重比较方法在实证分析中有着极大的作用，能够更好地了解总体之间的差异，避免在进行多重检验时产生的多重错误，同时减少研究时间和成本。

四、多重比较F值显著或极显著，否定了无效假设H O，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。

因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。

统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiplecomparisons )。

多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD 法)和最小显著极差法(LSR 法)，现分别介绍如下。

（一）最小显著差数法 (LSD 法，least significant difference ) 此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..j i x x-与其比较。

若..j i x x -＞LSD a 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。

最小显著差数由(6-17)式计算。

..)(j i e x x df a a S t LSD -=(6-17)式中：)(e df t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由(6-18)式算得。

n MS S e x xj i /2..=- (6-18)其中e MS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。

当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t和)(01.0e df t ，代入(6-17)式得：....)(01.001.0)(05.005.0j i e j i e x x df x x df S t LSD S t LSD--==(6-19)利用LSD 法进行多重比较时，可按如下步骤进行：(1)列出平均数的多重比较表，比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列；(2)计算最小显著差数05.0LSD和LSD；.001(3)将平均数多重比较表中两两平均数的差数与05.0LSD比较，作LSD、01.0出统计推断。

多重比较（Multiple Comparisons）是统计学中的一种方法，用于在进行方差分析（ANOVA）或其他假设检验后，对多个均值之间的差异进行细致的比较，以确定哪些组之间的差异是显著的。

以下是多重比较的基本步骤：1.进行初步分析：o首先进行一个总体的统计分析，如单因素或双因素方差分析（One-way ANOVA或Two-way ANOVA），以确定是否存在至少两个组别之间均值的显著差异。

2.选择多重比较方法：o根据研究目的和样本大小，选择合适的多重比较方法。

常见的多重比较方法包括：▪LSD（Least Significant Difference）法▪Tukey’s HSD（Honestly Significant Difference）法▪Bonferroni校正▪Dunnett’s test（主要用于与对照组比较）▪Sidak校正▪Šidák校正▪Benjamini-Hochberg校正（用于控制假阳性率）3.计算比较：o应用选定的方法，对所有可能的组间比较进行计算，得出每一对比较的p值和置信区间。

4.调整显著性水平：o为了控制I型错误（假阳性）的发生概率，通常会对原始的显著性水平（如α=0.05）进行调整。

例如，如果进行了k个比较，可能需要将每个比较的显著性水平设定为α/k（如使用Bonferroni校正）。

5.解释结果：o根据调整后的显著性水平，解释每对比较的结果，指出哪些组之间的差异在统计上是显著的。

6.报告结果：o报告每一对比较的统计量、p值和结论，必要时可以绘制图表直观展示显著差异。

7.评估假设检验结果：o评估所有比较结果的整体一致性，以及是否符合研究的假设和目标。

请注意，多重比较可能导致假阳性率增加，因此选择合适的校正方法很重要。

同时，分析结果不仅要基于统计显著性，还要结合实际研究背景和意义进行解读。

多重⽐较⽅法前篇讲的是两个总体样本之间的⽐较⽅法，如果有多个处理⽔平，通常使⽤三种常见的⽅法，最⼩显著差数法（LSD法）、复极差法（q 法）和Duncan⽒新复极差法（SSR法）。

本质上都属于t检验法。

因此，使⽤这三种⽅法必须满⾜⽅差齐性。

如果通过F检验p>0.05，⽅差具有齐次性。

具体操作⽅法可参考：例如，⼀个试验中k个处理平均数间可能有k(k-1)/2个⽐较，因⽽这种⽐较是复式⽐较亦称为多重⽐较（multiple comparisons)。

进⾏⽅差分析时需要满⾜独⽴样本、⽅差齐性、正态分布等条件，如果⽅差不具备齐性（F检验），可⾸先进⾏数据转换，如通过对数变换、平⽅根变换、倒数变换、平⽅根反正弦变换等⽅法变换后再进⾏⽅差齐性检验,若还不⾏只能进⾏⾮参数检验。

1：最⼩显著差数法（least significant difference，简称LSD法），LSD 法实质上是t测验。

其程序是：在处理间的F测验为显著的前提下，计算出显著⽔平为α的最⼩显著差数；任何两个平均数的差数如其绝对值≥，即为在α⽔平上显著；反之则为不显著。

举例：试以LSD法测验各种药剂处理的苗⾼平均数之间的差异显著性。

下⾯⽤字母标记法对各种药剂处理的苗⾼平均数之间的差异显著性进⾏⽐较。

⾸先约定：（1）5%⽔平的差异显著性⽤⼩写英⽂字母标记，1%⽔平的差异显著性⽤⼤写英⽂字母标记；（2）若两平均数之间差异显著⽤不同字母标记，若两平均数之间差异不显著⽤相同字母标记。

2：复极差法（q法）LSD法的t测验是根据两个样本平均数差数（k＝2）的抽样分布提出来的，但是⼀组处理(k>2）是同时抽取k个样本的结果。

抽样理论提出k=2时与k>2时，例如k=10时其随机极差是不同的，随着k的增⼤⽽增⼤，因⽽⽤k=2时的t测验有可能夸⼤k=10时最⼤与最⼩两个样本平均数差数的显著性。

基于极差的抽样分布理论，Student-Newman-Keul提出了q测验或称复极差测验，有时⼜称SNK测验（SAS软件中就是这种叫法）或NK测验。

多重比较统计方法多个均值之间的多重比较在完成方差分微得知某因素对观测结果的影响显著时，仅表明该因素的各水平下的均数之间的差别总体上是显著的，并不知道任何２个均数之间的差别是否显著（此时，即使在多数场合下，可认为均数的最大值与最小值之间的差别显著，但却不知ｐ值的大小）。

当实际工作者希望进一步知道更为详细的情况时，就需要在多个均数之间进行多重比较。

然而，根据所控制误差的类型和大小不同，便产生了许许多多的多重比较法。

设某因素有10个水平，若采用通常的ｔ检验进行多重比较，共需比较的次数为∶C210=45次，即使每次比较时都把α控制在0.05水平上(即令CER=0.05)，但此时EER=1-(1-0.05)45=0.90,这表明作完45次多重比较后，所犯Ⅰ型错误的总概率可达到0.90，事实上，选用ｔ检验进行多重比较，仅仅控制了CER，却大大地增大了EER！1.两两比较(1)仅控制CER(比较误差率)的方法①Ｔ法（即成组比较的ｔ检验法，但误差的均方不是由所比较的２组数据、而是由全部数据算得的）注意∶用此法所作比较的次数越多，其EER（试验误差率）就越大。

②LSD法:也叫最小显著差数法，只用于２组例数相等的场合LSD 的值被称为Fisher的最小显著差.注意∶用此法所作比较的次数越多，其EER（试验误差率）就越大。

③DUNCAN法(2)控制MEER（最大试验误差率）的方法①BON法（即Bonferroni ｔ检验法）它令CER=ε=α/C，这里C为比较的总次数，当因素有K个水平时，则C=K(K-1)/2，下同。

②SIDAK法（根据Sidak的不等式进行校正的ｔ检验法）③SCHEFFE法它是由Scheffe于1953和1959年提出的另一种控制MEER的法，Scheffe检验的结果与先作的方差分析的结果是相容的，即若ANOVA的结果是显著，用此法至少能发现一次比较的结果是显著的，反之，若ANOVA的结果为不显著，用此法也找不出任何２个均数之间有显著差别来（然而，大部分多重比较法则可能会发现有显著差别的对比组）。

多个均值之间的多重比较在完成方差分微得知某因素对观测结果的影响显著时，仅表明该因素的各水平下的均数之间的差别总体上是显著的，并不知道任何２个均数之间的差别是否显著（此时，即使在多数场合下，可认为均数的最大值与最小值之间的差别显著，但却不知ｐ值的大小）。

当实际工作者希望进一步知道更为详细的情况时，就需要在多个均数之间进行多重比较。

然而，根据所控制误差的类型和大小不同，便产生了许许多多的多重比较法。

设某因素有10个水平，若采用通常的ｔ检验进行多重比较，共需比较的次数为∶C210=45次，即使每次比较时都把α控制在0.05水平上(即令CER=0.05)，但此时EER=1-(1-0.05)45=0.90,这表明作完45次多重比较后，所犯Ⅰ型错误的总概率可达到0.90，事实上，选用ｔ检验进行多重比较，仅仅控制了CER，却大大地增大了EER！1.两两比较(1)仅控制CER(比较误差率)的方法①Ｔ法（即成组比较的ｔ检验法，但误差的均方不是由所比较的２组数据、而是由全部数据算得的）注意∶用此法所作比较的次数越多，其EER（试验误差率）就越大。

②LSD法:也叫最小显著差数法，只用于２组例数相等的场合LSD的值被称为Fisher的最小显著差.注意∶用此法所作比较的次数越多，其EER（试验误差率）就越大。

③DUNCAN法(2)控制MEER（最大试验误差率）的方法①BON法（即Bonferroni ｔ检验法）它令CER=ε=α/C，这里C为比较的总次数，当因素有K个水平时，则C=K(K-1)/2，下同。

②SIDAK法（根据Sidak的不等式进行校正的ｔ检验法）③SCHEFFE法它是由Scheffe于1953和1959年提出的另一种控制MEER的法，Scheffe检验的结果与先作的方差分析的结果是相容的，即若ANOVA的结果是显著，用此法至少能发现一次比较的结果是显著的，反之，若ANOVA的结果为不显著，用此法也找不出任何２个均数之间有显著差别来（然而，大部分多重比较法则可能会发现有显著差别的对比组）。

常用的多重比较方法
在数据分析和统计学中，常用的多重比较方法包括以下几种：
1. 方差分析中的多重比较方法：用于比较多个组或处理之间的均值差异，包括Tukey's HSD（Tukey's Honestly Significant Difference）、Bonferroni校正和Scheffé法等。

2. 多重t检验：用于比较两个或多个样本均值是否有显著差异，通常用于独立样本或配对样本之间的比较。

3. 多重相关分析：用于比较多个变量之间的相关性，包括Pearson相关系数、Spearman等级相关系数等。

4. 多重回归分析：用于比较多个自变量对因变量的影响程度，可以进行变量选择和模型比较。

5. 多重比例比较：用于比较不同组别之间的比例差异，包括卡方检验和Fisher 精确检验等。

以上仅列举了常见的一些多重比较方法，具体选择何种方法应根据研究问题、数据类型和假设情况等综合考虑。

此外，需要注意的是，在进行多重比较时，需要
进行多重校正，以控制因进行多个比较而增加的类型I错误的风险。

统计学中的多重比较方法统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，广泛应用于各个领域。

在数据分析过程中，我们经常需要进行多重比较，以确定不同组之间的差异或者找出显著性结果。

本文将介绍统计学中常用的多重比较方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、背景介绍多重比较是指在进行多个假设检验时，需要对每个比较的显著性水平进行调整，以控制整体错误率。

在实际应用中，如果不对多重比较进行调整，可能会导致过高的错误率，从而得出错误的结论。

因此，多重比较方法在统计学中具有重要的意义。

二、Bonferroni校正法Bonferroni校正法是最常见的多重比较方法之一。

该方法的基本思想是将显著性水平α除以比较的总数，得到每个比较的校正显著性水平。

例如，如果我们进行了10个比较，显著性水平设定为0.05，则每个比较的校正显著性水平为0.05/10=0.005。

通过这种方式，我们可以有效地控制整体错误率。

然而，Bonferroni校正法也存在一些限制。

首先，它假设所有比较之间是独立的，这在实际应用中并不总是成立。

其次，该方法可能会导致过于保守的结果，降低了检验的功效。

因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适当的多重比较方法。

三、Tukey HSD方法Tukey HSD（Honestly Significant Difference）方法是一种常用的多重比较方法，适用于方差分析（ANOVA）中的多个组之间的比较。

该方法通过计算平均差异的标准误差，得出每个比较的显著性水平。

与Bonferroni校正法相比，Tukey HSD方法具有更好的功效，同时也能控制整体错误率。

然而，该方法要求各组之间的方差齐性，并且对样本量的要求较高。

如果数据不满足这些假设，我们可以考虑使用其他的多重比较方法。

四、False Discovery Rate控制方法False Discovery Rate（FDR）控制方法是一种相对较新的多重比较方法，用于控制预期的错误发现率。

上节对一组试验数据通过平方和与自由度分解，将所估计的处理均方与误差均方作比较，由F测验推论处理间有显著差异。

但我们并不清楚那些处理间存在差异，故需要进一步做处理平均数间的比较。

一个试验中k个处理平均数间可能有k(k-1)/2个比较，因而这种比较是复式比较亦称为多重比较（multiple comparisons)。

多重比较有多种方法，本节将介绍常用的三种：最小显著差数法（LSD法）、复极差法（q法）和Duncan氏新复极差法（SSR法）。

【最小显著差数法（LSD法）、复极差法（q法）和Duncan氏新复极差法（SSR法）本质上都属于t检验法。

因此，使用这三种方法必须满足方差齐性。

因为使用T检验是有条件的，其中之一就是要符合方差齐次性，这点需要F检验来验证。

方差齐次性检验（Homogeneity-of-variance）结果，从显著性慨率：各组方差无差异），c说明各组的方差在看，p>0.05，接受零假设（零假设Ha=0.05水平上没有显著性差异，即方差具有齐次性。

这个结论在选择多重比较方法时作为一个条件（方差齐次时有齐次时的多重比较法，非齐次时有非齐次时的多重比较法）。

比较计算所得F值与某显著水平（如0.05）下F值，可得处理间差异是否显著。

若处理间差异显著，则需进一步比较哪些处理间差异是显著的。

也就是只有在方差分析中F检验存在差异显著性时，才有比较（多重比较）的统计意义。

进行方差分析时需要满足独立样本、方差齐性、正态分布等条件，如果方差不具备齐性（F检验），可首先进行数据转换，如通过对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等方法变换后再进行方差齐性检验,若还不行只能进行非参数检验。

】7.2.1 最小显著差数法最小显著差数法（least significant difference，简称LSD法），LSD 法实质上是t测验。

其程序是：在处理间的F测验为显著的前提下，计算出显著水平为α的最小显著差数；任何两个平均数的差数如其绝对值≥，即为在α水平上显著；反之则为不显著。

统计学中的多重比较方法统计学的研究领域中，多重比较方法是一种强大的工具，用于在研究中探索多个群体或处理之间的差异。

多重比较方法的主要目标是避免在进行统计推断时产生错误的结论。

本文将介绍统计学中常见的多重比较方法，包括Bonferroni校正、Dunnett校正和Tukey-Kramer校正。

1. Bonferroni校正Bonferroni校正是一种广泛使用的多重比较方法，其原理是将显著性水平按照进行比较的数量进行调整。

假设我们进行了m个比较，原始的显著性水平为α，则在Bonferroni校正下，每个比较的显著性水平将调整为α/m。

这样可以保护整体显著性水平，降低错误发现的概率。

但是，Bonferroni校正可能导致统计功效降低，因此需要权衡研究设计和显著性水平的设置。

2. Dunnett校正Dunnett校正是一种特定的多重比较方法，适用于对一个处理组进行多个处理间比较的情况。

与Bonferroni校正不同，Dunnett校正通过将每个比较与一个参照组进行比较，降低了错误发现的概率。

具体而言，Dunnett校正通过在比较中引入一个额外的自由度，来调整每个比较的显著性水平。

这种方法在医学研究和实验设计中经常被使用。

3. Tukey-Kramer校正Tukey-Kramer校正是一种用于多个群体间比较的方法，可以有效控制类型I错误的产生。

在Tukey-Kramer校正下，每个比较的显著性水平将根据一种修正的公式进行调整。

与Bonferroni校正类似，Tukey-Kramer校正能够提供更具吸引力的结果，但也可能降低统计功效。

这种方法主要应用于方差分析（ANOVA）和多元分析（MANOVA）等统计方法。

总结统计学中的多重比较方法是研究设计和结果分析中重要的一环。

通过对多个群体或处理进行比较，可以提供更全面的信息和洞察，并减少错误的结论。

本文介绍了三种常见的多重比较方法，包括Bonferroni校正、Dunnett校正和Tukey-Kramer校正。