数量积几何意义的应用

空间向量的数量积与应用数量积是空间向量运算中非常重要的一种运算，也被称为点积、内积或标量积。

它能够衡量两个向量之间的夹角以及它们的相似性，并且在许多实际应用中有着重要的作用。

本文将介绍空间向量的数量积的定义、性质以及在几何、物理、工程等领域中的应用。

一、数量积的定义和性质数量积指的是两个向量的点积，表示为A·B。

对于三维空间中的向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，它们的数量积计算公式如下：A·B = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2数量积具有以下性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 结合律：(λA)·B = λ(A·B)，其中λ为实数3. 分配律：(A+B)·C = A·C + B·C二、数量积的几何意义数量积的几何意义是计算向量A和向量B之间的夹角θ。

根据数量积的定义，可以得到以下结论：1. 当A·B > 0时，夹角θ为锐角；2. 当A·B = 0时，夹角θ为直角；3. 当A·B < 0时，夹角θ为钝角。

通过计算数量积可以判断向量之间的夹角类型，进而应用于几何问题的解决。

三、数量积在物理中的应用数量积在物理学中有广泛的应用，特别是在力学领域。

以下是几个例子：1. 力的分解：对于一个施加在物体上的力F和物体位移s，利用数量积可以将力分解为沿着位移方向的分量与与位移垂直的分量，从而求解功和能量等物理量。

2. 矢量投影：通过数量积的计算可以将一个矢量投影到另一个矢量上，常用于力的分解和合成等问题中。

3. 动能计算：根据物体的质量m和速度v，可以利用数量积计算物体的动能，即K = 1/2 * m * v^2。

四、数量积在工程中的应用数量积在工程学中有广泛的应用，以下是几个例子：1. 结构分析：在建筑和桥梁等结构的分析中，通过计算数量积可以得出结构元素之间的应力和变形情况，从而评估结构的稳定性和安全性。

平面向量的数量积和向量积的几何意义在数学中，平面向量是一个具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

平面向量的数量积和向量积是两个重要的运算，在几何上有着具体的意义和应用。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，是两个向量的乘积与夹角余弦的乘积。

设有两个平面向量A和B，它们的数量积表示为A·B。

平面向量的数量积的几何意义是通过夹角的余弦值来衡量两个向量的相关性。

当夹角为零度时，夹角的余弦值为1，表示两个向量共线且方向相同；当夹角为90度时，夹角的余弦值为0，表示两个向量垂直；当夹角为180度时，夹角的余弦值为-1，表示两个向量共线但方向相反。

通过数量积，我们可以计算向量的模长、夹角以及判断两个向量之间的关系。

具体应用包括求解两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直、计算向量的投影等。

二、平面向量的向量积平面向量的向量积，也称为叉积或矢积，是两个向量的乘积与夹角的正弦的乘积。

设有两个平面向量A和B，它们的向量积表示为A×B。

平面向量的向量积的几何意义是通过夹角的正弦值来衡量两个向量构成的平行四边形的面积。

向量积的大小等于该平行四边形的面积，方向垂直于该平行四边形所在的平面，并符合右手规则。

通过向量积，我们可以计算向量的模长、夹角以及求解与平面相关的问题。

具体应用包括求解三角形的面积、判断三个向量是否共面、求解平行四边形的对角线等。

三、数量积与向量积的关系数量积和向量积都是平面向量的运算，它们之间有着一定的关系。

首先，根据数量积和向量积定义的公式，可以得到以下关系：A·B = |A||B|cosθA×B = |A||B|sinθn其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示向量A 和向量B之间的夹角，n表示单位法向量。

其次，数量积和向量积之间还存在一个重要的关系——勾股定理。

根据向量积的定义，可以得到：|A×B| = |A||B|sinθ = ABsinθ由此可以看出，向量A和向量B的模长和夹角的正弦值决定了向量积的大小，而根据勾股定理，向量A和向量B的数量积的平方也等于向量积的平方。

向量的数量积几何意义
向量的数量积是向量运算中的一种，也称为点积或内积。

它是两个向量之间的一种数学运算，结果是一个标量。

在几何上，向量的数量积有着重要的几何意义。

向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角。

具体来说，设向量a和向量b的数量积为a·b，向量a的模长为|a|，向量b的模长为|b|，则它们之间的夹角θ满足cosθ=a·b/|a||b|。

这个公式可以用来计算任意两个向量之间的夹角，从而帮助我们理解向量之间的关系。

向量的数量积还可以用来判断两个向量之间的正交性。

如果两个向量a和b的数量积为0，即a·b=0，则它们是正交的。

这个结论可以用来判断平面上或空间中的两个向量是否垂直，从而帮助我们解决一些几何问题。

向量的数量积还可以用来计算向量在某个方向上的投影。

具体来说，设向量a的数量积为a·b，向量b的模长为|b|，则向量a在向量b 方向上的投影为(a·b/|b|)b/|b|。

这个公式可以用来计算向量在某个方向上的分量，从而帮助我们理解向量的分解和合成。

向量的数量积在几何中有着重要的应用。

它可以用来计算夹角、判断正交性、计算投影等，从而帮助我们理解向量之间的关系和解决一些几何问题。

平面向量的数量积及其物理意义几何意义数量积，也称为内积、点积或标量积，是平面向量的一种重要运算。

在数学上，给定两个平面向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，它们的数量积可以表示为a·b=a1b1+a2b2、在本文中，我将讨论平面向量数量积的物理意义和几何意义。

物理意义：数量积在物理学中扮演着重要的角色，它有许多实际的物理意义和应用。

以下是其中一些常见的物理意义：1. 力和位移之间的关系：数量积可以用于计算两个力之间的关系。

当一个物体受到力F作用时，它在位移s方向上的分量可以表示为向量F和向量s之间的数量积。

根据数量积的定义，F·s = Fscosθ，其中θ是F和s之间的夹角。

因此，数量积可以帮助我们计算出物体在特定方向上受到的力的大小。

2.功的计算：在物理学中，功是通过应用力在物体上产生的能量变化。

当一个力F作用于物体上时，物体在位移s方向上的功可以表示为F·s。

这是因为功是力与位移的数量积，能够给出在应用力的方向上所做的工作的大小。

3. 速度和加速度之间的关系：当一个物体被施加一个恒定的力F时，它的加速度a可以表示为F和物体质量m之间的比值，即a = F/m。

然而，我们也可以从另一个角度理解这个关系。

我们知道，加速度a等于速度v的变化率。

因此，v = at。

将F = ma和v = at相结合，我们可以得到v = (F/m)t = (F·t)/m，其中t是时间。

这表明速度v可以用力F和时间t的数量积来计算。

几何意义：数量积不仅在物理学中有实际应用，而且在几何学中也有重要的几何意义。

以下是其中一些常见的几何意义：1. 夹角的计算：由数量积的定义可知，a·b = ，a，b，cosθ，其中θ是a和b之间的夹角，a，和，b，分别是向量a和b的长度。

通过这个公式，我们可以得到夹角θ的值，从而计算向量之间的夹角。

2.正交性：如果两个向量的数量积为零，即a·b=0，那么这两个向量是相互正交的。

向量的数量积几何意义与应用向量在数学中是一个重要的概念，它不仅在几何学中有着重要的意义，而且在物理学、工程学等领域也有着广泛的应用。

其中，向量的数量积是一种重要的运算，它不仅具有几何意义，还有许多实际应用。

一、向量的数量积几何意义向量的数量积，也称为内积或点积，是一种向量运算，表示两个向量之间的相似程度。

几何意义上，向量的数量积有以下两个重要特点：1. 向量的数量积的值等于向量的模长与两个向量之间夹角的余弦的乘积。

具体地，设有两个向量A和B，它们的数量积为A·B，则有A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。

2. 向量的数量积还可以用来判断两个向量之间的关系。

当两个向量的数量积为正数时，说明它们之间的夹角为锐角；当数量积为负数时，说明夹角为钝角；当数量积为零时，说明夹角为直角或者它们之间存在垂直关系。

通过向量的数量积，我们可以量化向量之间的相似程度，并通过夹角的大小来描述向量之间的关系，从而方便我们进行具体的几何分析和计算。

二、向量的数量积的应用向量的数量积在几何学和实际应用中有着重要的应用，以下是其中的几个典型例子。

1. 向量的数量积与平面几何：在平面几何中，两个向量的数量积可以用来判断两个向量是否垂直。

具体地，若两个非零向量A和B的数量积A·B等于0，则A和B垂直；若A·B不等于0，则A和B不垂直。

根据这一性质，我们可以在解决平面几何问题中应用向量的数量积，例如求两个直线的关系、判断线段是否相交以及计算面积等。

2. 向量的数量积与力学：在力学中，向量的数量积可以用来计算力的分解与合成。

具体地，假设有一个力F和一个方向已知的向量A，通过计算F·A/|A|，我们可以得到力F在向量A方向上的投影分量。

同时，力F在与向量A垂直的方向上的分量可以通过F - (F·A/|A|)A来计算。

空间向量的数量积几何意义与应用在空间解析几何中，向量是表示空间中一个点到另一个点的箭头，具有方向和大小。

而空间向量的数量积，也被称为点乘、内积或标量积，是向量运算中的一种重要运算。

本文将介绍空间向量的数量积的几何意义以及其在实际应用中的重要性。

一、空间向量的数量积的几何意义空间向量的数量积的几何意义在于它能够表示两个向量之间的夹角以及向量的正交性。

1. 夹角：根据向量的数量积定义，对于两个非零向量a和a，它们的数量积的绝对值等于两个向量之间夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积，即|a ·a| = a ·a = |a| |a| cos a。

由此可见，向量的数量积能够通过计算余弦值来求得两个向量之间的夹角，并且还能确定夹角的正负。

2. 正交性：除了表示夹角，空间向量的数量积还能够判断两个向量是否正交（垂直）。

根据定义，若两个向量a和a的数量积为0，即a ·a = 0，则可知它们垂直于彼此。

这是因为，若两个向量的夹角为90度（余弦为0），则它们互相垂直。

二、空间向量的数量积的应用空间向量的数量积在几何计算、物理和工程等领域有广泛的应用，以下是一些常见的应用：1. 向量投影：向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上，以求得一个向量在另一个向量方向上的分量大小。

利用向量的数量积可以快速计算出向量的投影大小，进而应用于物理学、工程学等领域的问题求解。

2. 平面与直线的关系：利用向量的数量积，可以判断一个向量是否位于一个平面或是与直线垂直。

通过计算向量与平面法线的数量积或是向量与直线方向向量的数量积来判断它们的关系，进而可以应用于空间几何中平面与直线的相交、平行性等问题的判定。

3. 力的分解：在物理学中，力能够分解为平行和垂直于特定方向的两个分量。

利用向量的数量积，可以将一个力分解为在特定方向上的分量，进而进行力的分析和计算。

4. 向量方程的推导：向量的数量积也可以用于求解向量方程。

平面向量数量积及其几何意义平面向量的数量积，也称为点积、内积，是向量运算中的一种运算，用于比较两个向量的方向以及大小关系。

平面向量的数量积定义为两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦的乘积。

可以表示为：A ·B = ，A，，B，cosθ其中，A和B是平面上的两个向量，A·B表示它们的数量积，A，和，B，表示两个向量的模，θ表示两个向量之间的夹角。

数量积具有以下几何意义：1.比较两个向量的方向：数量积大于0时，表示两个向量的方向相近；数量积小于0时，表示两个向量的方向相反；数量积等于0时，表示两个向量垂直。

2.比较两个向量的大小关系：根据数量积公式，可以看出如果夹角θ固定，向量A、B的模越大，数量积就越大。

因此，数量积可以衡量两个向量的大小关系。

3.求角度：根据数量积公式，可以反推夹角θ的大小。

通过解反三角函数可以求得θ的值。

4.计算投影：根据数量积的几何意义，可以推导出计算一个向量在另一个向量上的投影的公式。

投影表示一个向量在另一个向量上的阴影长度，可以用于解决现实中的很多问题，如力的分解、力的合成等。

5.判断两条直线的关系：如果两条直线的法向量相同，那么它们是平行的；如果两条直线的法向量垂直，那么它们是垂直的。

6.判断图形的性质：根据向量的数量积可以判断图形的性质。

如两个向量垂直，则表示两个直线垂直；两个向量平行，则表示两个直线平行。

除了以上几何意义外，数量积还有一些其他重要的性质：1.交换律：A·B=B·A2.数量积为0时，向量垂直：如果两个向量的数量积为0，即A·B=0，那么向量A和向量B垂直。

3.数量积的性质：(aA)·B=a(A·B)，(A+B)·C=A·C+B·C总结来说，平面向量的数量积可以用来比较两个向量的方向和大小关系，求解向量的夹角和投影，判断直线和图形的性质。

它在几何学中具有重要的应用，也是向量运算中的基础概念之一。

平面向量的数量积与投影平面向量的数量积和投影是向量运算中的重要概念，在数学和物理学中具有广泛的应用。

本文将介绍平面向量的数量积和投影的概念、计算方法以及其在几何和物理中的应用。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积（也称为内积、点乘）是指将两个向量的对应分量相乘后求和所得到的数值。

若有向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，则它们的数量积用符号表示为a·b，计算公式为：a·b=a₁b₁+a₂b₂。

数量积具有以下性质：1. 交换律：a·b=b·a2. 分配律：a·(b+c)=a·b+a·c3. 数乘结合律：(k·a)·b=k·(a·b)数量积的几何意义在于它可以用来计算两个向量之间的夹角。

设夹角为θ，则cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)，其中||a||和||b||分别为向量a和b的模。

根据这个公式，我们可以判断向量之间的夹角大小以及它们之间的相对方向。

二、平面向量的投影平面向量的投影是指一个向量在另一个向量上的影子长度，它是向量运算中的一种重要应用。

设有向量a和b，投影表示为proj_b a，计算公式为：proj_b a=(a·b)/||b|| * (b/||b||)，其中(||b||)为向量b的模。

投影有以下性质：1. 投影为零向量当且仅当向量a与向量b垂直，即a⊥b。

2. 投影的方向与向量b相同或相反，具体取决于向量a与向量b的夹角。

当0°≤θ≤90°时，投影方向与b相同；当90°<θ≤180°时，投影方向与b相反。

投影的几何意义在于它可以帮助我们分析向量之间的关系，特别是在解决几何问题时，投影的计算能够简化向量的运算过程。

三、平面向量的数量积与投影的应用1. 几何应用：平面向量的数量积和投影在几何学中有广泛的应用。

矢量乘法的几何意义矢量乘法是线性代数中的重要概念之一，它在几何学中具有重要的应用。

矢量乘法可以分为两种形式，即数量积和向量积。

数量积也被称为点乘或内积，而向量积则被称为叉乘或外积。

本文将重点讨论矢量乘法的几何意义，并探讨其在几何学中的应用。

1. 数量积的几何意义数量积是两个矢量的乘积，其结果是一个标量。

数量积的几何意义可以通过以下方式理解：1.1 两个矢量的夹角数量积的结果等于两个矢量的模长之积与它们夹角的余弦值。

因此，数量积可以用来计算两个矢量之间的夹角。

当两个矢量夹角为90度时，数量积为0，表示两个矢量垂直；当两个矢量夹角为0度时，数量积等于两个矢量的模长之积，表示两个矢量共线。

1.2 投影数量积还可以用来计算一个矢量在另一个矢量上的投影。

具体来说，给定一个矢量a和一个单位向量b，a·b的结果就是a在b上的投影。

这个投影表示了a在b方向上的分量。

1.3 面积数量积还可以用来计算平行四边形的面积。

给定两个矢量a和b，它们的数量积的绝对值等于a和b所张成平行四边形的面积。

这是因为数量积等于a和b的模长之积与它们夹角的余弦值，而平行四边形的面积可以表示为两个相邻边的模长之积与它们夹角的正弦值的乘积。

2. 向量积的几何意义向量积是两个矢量的乘积，其结果是一个新的矢量。

向量积的几何意义可以通过以下方式理解：2.1 垂直性向量积的结果是与原来两个矢量都垂直的新矢量。

具体来说，给定两个矢量a和b，它们的向量积a×b的结果是一个新的矢量c，c 与a和b都垂直。

2.2 面积向量积的绝对值等于两个矢量所张成平行四边形的面积。

具体来说，给定两个矢量a和b，它们的向量积a×b的模长等于a和b所张成平行四边形的面积。

这是因为向量积的模长等于a和b的模长之积与它们夹角的正弦值。

2.3 方向向量积的方向满足右手法则。

具体来说，假设将右手的拇指指向a，食指指向b，那么向量积a×b的方向就与中指的方向相同。

向量的数量积与叉积的计算和几何意义的应用在数学中，向量是一种具有大小和方向的量。

它们在几何学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。

本文将探讨向量的数量积和叉积的计算方法，并介绍它们在几何意义上的应用。

数量积，也称为点积或内积，是两个向量的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。

假设有两个向量A和B，它们的数量积定义为A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。

数量积的计算方法如下：A·B = A1B1 + A2B2 + A3B3其中A1、A2和A3分别表示向量A在x、y和z轴上的分量，B1、B2和B3表示向量B在x、y和z轴上的分量。

数量积的计算结果是一个标量，它表示两个向量的相似程度。

当数量积为正时，表示两个向量的夹角小于90度，即它们的方向相似；当数量积为零时，表示两个向量垂直；当数量积为负时，表示两个向量的夹角大于90度，即它们的方向相反。

数量积在几何意义上有着重要的应用。

首先，它可以用来计算两个向量之间的夹角。

根据数量积的定义，夹角的余弦值等于数量积除以两个向量的模长的乘积。

因此，通过计算数量积，我们可以确定两个向量之间的夹角大小，从而在几何图形的构造和分析中起到重要的作用。

其次，数量积可以用来判断两个向量是否垂直。

当两个向量的数量积为零时，表示它们的夹角为90度，即它们是垂直的。

这个性质在几何图形的垂直关系判断中非常有用，例如在判断直线的垂直平行关系、计算平面的法向量等方面。

另外，数量积还可以用来计算向量在某一方向上的投影。

根据数量积的定义，向量A在向量B方向上的投影等于向量A与向量B的单位向量的数量积。

通过计算投影，我们可以确定一个向量在另一个向量方向上的分量，从而在物理学和工程学中对力的分解和合成等问题进行分析和计算。

与数量积不同，向量的叉积，也称为向量积或叉乘，是两个向量的乘积与它们之间夹角的正弦值的乘积。

向量的数量积与叉积的几何意义和向量积的应用向量是数学中的重要概念，它可以用来表示物体在空间中的方向和大小。

在向量的运算中，数量积和叉积是两个重要的运算符号。

它们分别具有不同的几何意义和应用。

首先，我们来讨论向量的数量积。

数量积又称为点积或内积，它是两个向量的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积。

数量积的几何意义是两个向量在同一方向上的投影的乘积。

具体来说，设向量A和向量B的数量积为A·B，它的计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角。

数量积的几何意义可以通过几何图形来理解。

假设有两个向量A和B，它们的数量积为正值时，表示两个向量的夹角小于90度，它们的方向相近；当数量积为负值时，表示两个向量的夹角大于90度，它们的方向相反；当数量积为零时，表示两个向量垂直，它们的方向互相垂直。

这种几何意义可以应用于求解两个向量之间的夹角、判断向量的正交性等问题。

接下来，我们来讨论向量的叉积。

叉积又称为向量积或外积，它是两个向量的乘积与两个向量夹角的正弦值的乘积。

叉积的几何意义是两个向量所确定的平行四边形的面积的大小和方向。

具体来说，设向量A和向量B的叉积为A×B，它的计算公式为A×B=|A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示两个向量所确定平行四边形的法向量。

叉积的几何意义可以通过几何图形来理解。

假设有两个向量A和B，它们的叉积的模长表示两个向量所确定平行四边形的面积，方向则由右手定则确定。

具体来说，将右手的四指指向向量A的方向，然后将四指旋转到向量B的方向，大拇指的方向就是叉积的方向。

这种几何意义可以应用于求解平行四边形的面积、判断向量的平行性等问题。

除了几何意义之外，向量的叉积还有一些重要的应用。

首先，叉积可以用来求解平面的法向量。

设平面上有两个非零向量A和B，它们的叉积A×B就是平面的法向量。

数量积的几何意义向量数量积的几何意义：一个向量在另一个向量上的投影。

定义两向量的数量内积等同于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积两向量α与β的数量积α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是两向量的模θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)若存有座标α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那么α·β=x1x2+y1y2+z1z2|α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影因此用数量内积可以算出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|已知两个向量a和b,它们的夹角为c,则a的模乘以b的模再乘以c的余弦称为a与b 的数量积(又称内积、点积。

)即为未知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量内积,记作a·b&quot;·不容省略若用×则变成了向量内积向量积性质几何意义及其运用叉积的长度|a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时，所构成平行四边形的面积。

据此有：混合积[abc] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

[1]代数规则1.反交换律：a×b= -b×a2.乘法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c3.与标量乘法兼容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)4.不满足用户结合律，但满足用户雅基数排序恒等式：a× (b×c) +b× (c×a)+c× (a×b) =05.分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 r3 构成了一个李代数。

向量数量积的本质意义向量的数量积也被称为点积或内积，是线性代数中一个重要的运算。

它的本质意义体现在以下几个方面：1.几何意义：数量积可以用来测量两个向量之间的相似程度。

对于两个非零向量A和B，数量积A·B的绝对值等于A和B之间夹角的余弦值乘以A和B的模长之积。

当两个向量的方向相同时，数量积的绝对值最大，即它们的夹角是0度，二者的相似程度最高。

当两个向量的方向垂直时，数量积的绝对值为0，即它们的夹角是90度，二者的相似程度最低。

2.投影意义：数量积可以用来计算一个向量在另一个向量方向上的投影长度。

具体而言，对于非零向量A和B，A在B方向上的投影长度为(A·B)/，B，其中，B，表示B的长度。

这表明，数量积可以分解一个向量A为它在B方向上的投影和与B垂直的分量。

3.判别平行性：通过分析数量积，我们可以确定两个向量是否平行。

若向量A和B平行且非零，则它们的数量积A·B等于A和B的模长之积。

若向量A和B不平行，则它们的数量积必然小于A和B的模长之积。

4.计算工具：数量积可用于解决许多实际问题，如计算力学中的功和能量。

例如，当一个物体受到力F作用移动一定距离s时，其所做的功等于力F和位移s之间的数量积。

此外，通过计算数量积，我们还可以计算向量的模长、判断两个向量的夹角等。

5.应用领域：数量积在许多应用领域中具有重要作用，如几何学、物理学、工程学等。

在几何学中，数量积可用来计算向量的模长、夹角和平行性等，从而解决直线和平面的性质问题。

在物理学中，数量积可用来计算功、能量和力等。

在工程学中，数量积可用于力学分析、力的组合和矢量分析等。

总结起来，数量积是一种用来衡量和分析向量相似性、投影长度、平行性等的运算。

它在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛应用，是解决实际问题以及进行矢量分析的有力工具。

向量的投影与向量数量积的几何意义向量的投影和向量数量积是线性代数中常见的概念，它们在几何中具有重要的意义。

本文将分别介绍向量的投影和向量数量积，并探讨它们在几何中的应用。

一、向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。

具体来说，设有两个向量a和b，向量a在向量b上的投影记为proj(a, b)，它的值可以通过向量的数量积来计算。

设向量a和b的数量积为a·b，向量b的模长为|b|，则向量a在向量b上的投影长度可以表示为：proj(a, b) = (a·b) / |b|这个长度的正负由向量a和向量b的夹角决定，如果夹角为锐角，则投影长度为正；如果夹角为钝角，则投影长度为负。

在几何中，向量的投影有着重要的应用。

例如，我们可以通过向量的投影来计算一个物体在某个方向上的投影长度。

在物理学中，力的分解和合成也是基于向量的投影原理。

此外，向量的投影还可以用于计算两个向量之间的夹角。

二、向量数量积向量数量积又称为内积或点积，它是两个向量之间的一种运算。

设有两个向量a和b，它们的数量积记为a·b，其计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

向量数量积具有以下性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c在几何中，向量数量积也有着重要的应用。

例如，我们可以通过计算向量的数量积来判断两个向量是否垂直，即若a·b = 0，则向量a 和向量b垂直。

此外，向量数量积还可以用于计算向量的模长，即|a| = √(a·a)。

向量的投影和向量数量积在几何中有着密切的联系。

事实上，向量的投影可以通过向量数量积来计算。

设有两个向量a和b，向量a在向量b上的投影长度可以表示为：proj(a, b) = (a·b) / |b|从这个公式可以看出，向量的投影长度与向量的数量积有关，投影长度的大小与数量积的值有直接的关系。

《两个向量的数量积》知识清单一、向量数量积的定义如果两个非零向量a和b，它们的夹角为θ（0≤θ≤π），那么数量|a|·｜b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b ＝｜a|·｜b|cosθ。

规定：零向量与任一向量的数量积为 0。

需要注意的是，数量积是一个数量，而不是向量。

二、向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积，或者等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cosθ的乘积。

如果设向量a，b的起点均为 O，终点分别为 A，B，则a·b ＝｜OA|·｜OB|cos∠AOB。

三、向量数量积的性质1、如果e是单位向量，则a·e ＝ e·a ＝｜a|cosθ （其中θ为a与e 的夹角）。

2、当a，b同向时，a·b ＝｜a|·｜b|；当a，b反向时，a·b ＝｜a|·｜b|。

特别地，a·a ＝｜a|²。

3、若a⊥b，则a·b ＝ 0 ；反之，若a·b ＝ 0，则a⊥b。

4、对于任意向量a，b，都有|a·b| ≤ ｜a|·｜b|，当且仅当a∥b时，等号成立。

四、向量数量积的运算律1、交换律：a·b ＝ b·a2、分配律：（a ＋ b)·c ＝ a·c ＋ b·c3、数乘结合律：（λa)·b ＝λ(a·b) ＝ a·（λb) （其中λ为实数）五、向量数量积的坐标运算设a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，则1、 a·b ＝ x₁x₂＋ y₁y₂2、｜a| ＝√（x₁²＋ y₁²)3、若a⊥b，则 x₁x₂＋ y₁y₂＝ 04、向量的夹角公式：cosθ ＝（a·b）／（｜a|·｜b|）＝（x₁x₂＋ y₁y₂）／（√（x₁²＋ y₁²)·√（x₂²＋ y₂²)）六、向量数量积在几何中的应用1、求长度已知向量a，则|a| ＝√（a·a）2、求角度设两个非零向量a，b的夹角为θ，则cosθ ＝（a·b）／（｜a|·｜b|）3、证明垂直若a·b ＝ 0，则a⊥b4、求距离例如，求点到直线的距离，可以通过向量的数量积来求解。

专题22 平面向量的数量积及其应用【考点预测】一．平面向量的数量积a （1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与b ，我们把数量||||cos θa b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即⋅a b =||||cos θa b ，规定：零向量与任一向量的数量积为0． （2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．②⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积． 二．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则： ①⋅=⋅a b b a ；②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ； ③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ． 三．数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 ①||cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②0⊥⇔⋅=a b a b ．③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b ．特别地，2||⋅=a a a 或||=a ． ④cos ||||θ⋅=a ba b (||||0)≠a b ．⑤||||||⋅a b a b ≤． 四．数量积的坐标运算已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b ⋅≤.（2）当0a ≠时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b ⋅=. 当0a ≠时，且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c =，当b 是与a 垂直的非零向量，c 是另一与a 垂直的非零向量时，有0a b a c ⋅=⋅=，但b c ≠.（3）数量积不满足结合律，即a b c b c a ⋅≠⋅()()，这是因为a b c ⋅()是一个与c 共线的向量，而b c a ⋅()是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以a b c ⋅()不一定等于b c a ⋅()，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当0a b ⋅>且(0)a b λλ≠>（或0a b ⋅<，且(0))a b λλ≠< 【方法技巧与总结】(1)b 在a 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．(2)数量积的运算要注意0a =时，0a b ⋅=，但0a b ⋅=时不能得到0a =或0b =，因为a ⊥b 时，也有0a b ⋅=． (3)根据平面向量数量积的性质：||a a a =⋅，cos ||||a ba b θ⋅=，0a b a b ⊥⇔⋅=等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．(4)若a 、b 、c 是实数，则ab ac b c =⇒=(0a ≠)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a 、b 、c 满足a b a c ⋅=⋅（0a ≠），则不一定有=b c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． (5)数量积运算不适合结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，这是由于()a b c ⋅⋅表示一个与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅不一定相等．【题型归纳目录】题型一：平面向量的数量积运算 题型二：平面向量的夹角 题型三：平面向量的模长题型四：平面向量的投影、投影向量 题型五：平面向量的垂直问题 题型六：建立坐标系解决向量问题 【典例例题】题型一：平面向量的数量积运算例1．（2022·全国·模拟预测（理））在ABC 中，π3ABC ∠=，O 为ABC 的外心，2BA BO ⋅=，4BC BO ⋅=，则BA BC ⋅=（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B 【解析】 【分析】设,AB BC 的中点为D,E ，将2BA BO ⋅=，变为2BD BO ⋅，根据数量积的几何意义可得||1BD =，同理求得||BC ，根据数量积的定义即可求得答案. 【详解】如图，设,AB BC 的中点为D,E ，连接OD,OE ,则,OD AB OE BC ⊥⊥ ,故2BA BO ⋅=，即22||||cos 2BD BO BD BO OBD ⋅=⋅∠= , 即2||1,||1BD BD ==，故||2BA =,4BC BO ⋅=，即22||||cos 4BE BO BE BO OBE ⋅=⋅∠= ,即2||2,||2BE BE ==，故||22BC =故1||||cos 22BA BC BA BC BAC ⋅=⋅∠=⨯=故选：B例2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，点M 在线段AH 上，满足()82+⋅=MB MC AH MB MC ⋅=（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由()82+⋅=MB MC AH 2MH =，由AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，可得28HC HB AH ⋅==，然后对()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+化简可求得结果因为AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH = 所以0,0AH HB AH HC ⋅=⋅=,28HC HB AH ⋅==, 因为()82+⋅=MB MC AH所以()82MH MH A HB HC H +⋅=++ 所以282MH AH HB AH HC AH ⋅+⋅+⋅= 所以42MH AH ⋅=， 所以42MH AH ⋅= 所以2MH =，所以()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+ 2MH MH HC HB MH HC HB =+⋅+⋅+⋅2cos MH HC HB π=+⋅ 228(1)4=+⨯-=-,故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ， 又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，故选：C.例4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，正六边形ABCDEF 中，2AB =，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，则AP AB ⋅=______．【答案】2 【解析】 【分析】找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可. 【详解】在正六边形中，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，60PAB ︒=∴∠，且2AP AB ==, 1cos602222AP AB AP AB ︒∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：2.例5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知向量,,a b c 满足0,||1,||3,||4a b c a b c ++====，则a b ⋅=_________．【答案】3 【解析】 【分析】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方化简可得答案 【详解】由0a b c ++=，得a b c +=-， 两边平方，得2222a a b b c +⋅+=， 因为134a b c ===，，， 所以12916a b +⋅+=，得·3a b =. 故答案为：3.例6．（2022·陕西·模拟预测（理））已知向量()1,a x =，()0,1b =，若25a b +=，则⋅=a b __________ 【答案】0或4-##4-或0. 【解析】 【分析】由向量模长坐标运算可求得x ，由向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】()21,2a b x +=+，(21a b x ∴+=+0x =或4x =-；当0x =时，()1,0a =，0a b ∴⋅=；当4x =-时，()1,4a =-，044a b ∴⋅=-=-； 0a b ∴⋅=或4-.故答案为：0或4-.例7．（2022·上海徐汇·二模）在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，若点P 是ABC 所在平面上一点，且满足AP AB AC λ=+，1BP CP ⋅=-，则实数λ的值为______________． 【答案】1或14【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把BP CP ，用AB AC ，表示出来，再用1BP CP ⋅=-建立方程，解出λ的值. 【详解】由AP AB AC λ=+，得AP AB AC λ-=，即BP AC λ=， (1)CP AP AC AB AC λ=-=+-，在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒， 所以2((1))(1))BP CP AC AB AC AC AB AC λλλλλ⋅=⋅+-=⋅+-22cos1204(1)451λλλλλ=+-=-=-， 即24510λλ-+=，解得1λ=或14λ= 所以实数λ的值为1或14. 故答案为：1或14. 例8．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形ABCD 中，11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====，则AC DB ⋅值为__________． 【答案】94【解析】 【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-，再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律，即可得结果. 【详解】由题设可得如下图：,AC AD DC DB DC CB =+=+，而AD CB =-，所以22D AC DB C CB ⋅=-， 又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====， 所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩，则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩，故228()29DC BC -=，可得2294DC BC -=，即94AC DB =⋅. 故答案为：94例9．（2022·福建省福州第一中学三模）过点M 的直线与22:(3)16C x y -+=交于A ，B 两点，当M 为线段AB中点时，CA CB ⋅=___________. 【答案】-8 【解析】 【分析】由题意可得M 在C 内，又由M 为线段AB 中点AB CM ⊥，由两点间距离公式得2CM =＝12AC ,进而求得120ACB ∠=︒，再由向量的数量积公式计算即可得答案. 【详解】解：因为点M 在22:(3)16Cx y -+=内， 所以当M 为线段AB 中点时，AB CM ⊥，又因为C 的半径为4,2CM =＝12AC ,所以60ACM ∠=°， 所以120ACB ∠=︒，所以，CA CB ⋅=||||cos120CA CB ︒＝144()82⨯⨯-=-.故答案为：-8.例10．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量a 与b 不共线，且()2a a b ⋅+=，1a =，若()()22a b a b -⊥+，则()b a b ⋅-=___________. 【答案】3- 【解析】 【分析】由()2a a b ⋅+=得1a b ⋅=，由()()22a b a b -⊥+得2b =，即可求解结果． 【详解】由()212a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅=得1a b ⋅=由()()22a b a b -⊥+得()()222240a b a b a b -⋅+=-=，所以2b = 则()2143b a b b a b ⋅-=⋅-=-=- 故答案为：3-例11．（2022·全国·高三专题练习（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．例12．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH 组成的．若E 为线段BF 的中点，则AF BC ⋅=______．【答案】4 【解析】 【分析】利用数量积的几何意义求解. 【详解】 解：如图所示：设CF x =，由题可得2BF x =， 所以()2225x x +=， 解得1x =．过F 作BC 的垂线，垂足设为Q ， 故24AF BC BQ BC BF ⋅=⋅==， 故答案为：4． 【方法技巧与总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路． （2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a 在向量b 方向上的投影为||a bb ⋅． （4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：222()2a b a ab b ±=±+；a b ±()a b c ab ac +=+公式都可通用 异：整式：a b a b ⋅=±，a 仅仅表示数；向量：cos a b a b θ⋅=±（θ为a 与b 的夹角） 22222cos ma nb m a mn a b n b θ±=±+，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．ma nb ma nb ma nb -≤±≤+，通常是求ma nb ±最值的时候用． 题型二：平面向量的夹角例13．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知非零向量a →，b →满足a b a →→→-=，a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，则a→与b →夹角为______． 【答案】4π##45 【解析】 【分析】根据已知求出2=a a b →→→，||b a →→，即得解. 【详解】解：因为a b a →→→-=，所以22222,2a b a b a b a b →→→→→→→→+-=∴=.因为a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，所以22=0,=aa b a a b a a b →→→→→→→→→⎛⎫--=∴ ⎪⎝⎭， 所以22=2||b a b a →→→→∴，.设a →与b →夹角为θ，所以22cos =2|||||a ba ba b a θ→→→→→→→==. 因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.例14．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量||1b =，向量(1,3)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为___________. 【答案】2π##90 【解析】【分析】由|2|6a b -=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角 【详解】因为(1,3)a =，所以(21+a =因为|2|6a b -=，所以2222+26a ab b -=，又||1b =，所以426b -⋅+=，所以0a b ⋅=， 向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=，则2πθ=.故答案为：2π. 例15．（2022·湖北武汉·模拟预测）两不共线的向量a ，b ，满足3a b =，且t R ∀∈，a tb a b -≥-，则cos ,a b =（ ）A ．12 B C ．13D 【答案】C 【解析】 【分析】由a tb a b -≥-两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断0∆≤，整理后可知∆只能为0，即可解得答案. 【详解】 解：由题意得：t R ∀∈，a tb a b -≥-t R ∴∀∈，2222222a t b ta b a b a b +-⋅≥+-⋅即222226cos ,6cos ,0t b t b a b b b a b --+≥ 0b ≠t R ∴∀∈，26cos ,16cos ,0t t a b a b --+≥()221Δ36cos ,46cos ,136cos ,03a b a b a b ⎛⎫∴=--=-≤ ⎪⎝⎭1cos ,03a b ∴-=，即1cos ,3a b =故选：C例16．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量()2,2a t =，()2,5b t =---，若向量a 与向量a b +的夹角为钝角，则t 的取值范围为（ ） A ．()3,1- B ．()()3,11,1---C ．()1,3-D ．111,,322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出a b +的坐标，求得当a 与a b +共线时12t =，根据向量a 与向量a b +的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案. 【详解】因为(23)a b t +=--，，又a 与a b +的夹角为钝角， 当a 与a b +共线时，162(2)0,2t t t ---==， 所以()0a a b ⋅+<且a 与a b +的不共线，即2230t t --<且12t ≠， 所以111322t ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 故选：D ．例17．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知向量()cos30,sin 210a =︒-︒，(3,1)b =-，则a 与b 夹角的余弦值为_________． 【答案】12-【解析】 【分析】化简向量a ，根据向量的模的公式，数量积公式和向量的夹角公式求解. 【详解】由()cos30,sin210a =︒-︒知31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故31(1122a b ⋅=⨯+⨯=-，||1a =，||2b =，记a 与b 的夹角为θ，则11cos 122||||a b a b θ⋅-===-⨯⨯．故答案为：12-.例18．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例19．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-=，则向量b 与向量a b -夹角的余弦值为（ ）A ．B ．0C D 【答案】A 【解析】 【分析】根据0a b ⋅=，设(1,0)a =，(0,)b t =，根据()()0a b a b +⋅-=求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解. 【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a =，(0,)b t =，则(1,)a b t +=，(1,)a b t -=-， 因为()()0a b a b +⋅-=，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a bb a b b a b ⋅-<->=⋅-2==，故选：A.例20．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量a ，b 满足3a b a b -=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】 【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得； 【详解】解：因为a ，b 为单位向量，所以1a b ==， 又3a b a b -=+，所以()()223a b a b -=+，即()2222232a a b b a a b b -⋅+=+⋅+，所以()22240a a b b +⋅+=，即()22240a a b b+⋅+=，所以12a b ⋅=-， 所以1cos ,2a ba b a b ⋅==-⋅，因为[],0,a b π∈，所以2,3a b π=；故选：C例21．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=，则,a b a -=（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出()a b a ⋅-和b a -，然后利用向量的夹角公式可求出结果 【详解】因为a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=， 所以()2211a b a a b a ⋅-=⋅-=-=，222()252b a b a b a b a -=-=-⋅+=-=所以()1cos ,2a b a a b a a b a⋅--===-， 因为[],0,πa b a -∈， 所以π,4a b a -=， 故选：B例22．（2022·全国·模拟预测（理））已知平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，若||5a =，则a 与a b +的夹角的余弦值为（ ）A B C D ．12【答案】A 【解析】 【分析】利用向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，利用数量积求得向量,a b 的模长及数量积，然后利用平面向量夹角公式求得结果. 【详解】平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，则()()0a b a b +⋅-=且||2||a b a b +=-，得22a b =，又||5a =，则||||5a b ==，将||2||a b a b +=-平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得=3a b ⋅，222|=216a b a a b b +|+⋅+=,则4a b +=，设a 与a b +的夹角为θ，则()25+3cos =54a ab aa ba a ba a bθ⋅++⋅===⨯++ 故选：A.例23．（多选题）（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量,a b 的夹角为120︒,则以下说法正确的是（ ） A ．||1a b += B ．(2)a b a +⊥C ．3cos ,2a b b 〈-〉= D ．2a b +与2a b +可以作为平面内的一组基底【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可 【详解】据题意221,1,11cos1202a b a b ︒==⋅=⨯⨯=-因为2221()211212a b a b a b ⎛⎫+=++⋅=++⨯-= ⎪⎝⎭所以||1a b +=,所以A 对因为21(2)21202a b a a a b ⎛⎫+⋅=+⋅=+⨯-= ⎪⎝⎭,所以(2)a b a +⊥,所以B 对.因为222213()1,()2322a b b a b b a b a b a b -⋅=⋅-=--=--=++⋅=所以3()2cos ,||||31a b b a b b a b b --⋅〈-〉===-⋅⨯所以C 错因为2a b +与2a b +不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以D 正确 故选：ABD例24．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，则（ ） A ．若(2)a b c +⊥，则4λ= B ．若a tb c =+，则6t λ+=- C ．a b μ+的最小值为D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(,1)-∞- 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A ，利用向量坐标的表示可判断B ，利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C ，利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A ，因为2(1,4)a b +=，(,1)c λ=-，(2)a b c +⊥，所以14(1)0λ⨯+⨯-=，解得4λ=，所以A 正确. 对于B ，由a tb c =+，得(3,2)(2,1)(,1)(2,1)t t t λλ-=+-=+-，则32,21,t t λ-=+⎧⎨=-⎩解得93t λ=-⎧⎨=⎩，故6t λ+=-，所以B 正确.对于C ，因为(3,2)(2,1)(23,2)a bμμμμ+=-+=-+，所以a b μ+==则当45μ=时，a b μ+取得最小值，为，所以C 正确. 对于D ，因为(1,3)a b +=-，2(4,1)b c λ+=+，向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角， 所以()(2)1(4)310a b b c λ⋅+=-⨯+⨯++>，解得1λ<-；当向量a b +与向量2b c +共线时，113(4)0λ-⨯-⨯+=，解得133λ=-， 所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确.故选：ABC.例25．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知1e ，2e 是单位向量，122a e e =-，123b e e =+，若a b ⊥，则1e ，2e 的夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．12C ．13D ．15【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】由题意知121e e ==，()()22121212122303250a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=⇒--⋅=，即1215e e ⋅=，所以121cos 5e e ⋅=. 故选：D.例26．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则a b -与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出a b ⋅，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得：22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得0a b ⋅=，因此，22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-，而,[0,π]a b a 〈-〉∈，解得π,3a b a 〈-〉=， 所以a b -与a 的夹角为3π. 故选：B例27．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3【答案】C 【解析】 【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅=，从而得到0a b ⋅=，得到a 与b 的夹角. 【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+，因为向量a ，b 为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅=. 因为0λ≠，所以0a b ⋅=，即a 与b 的夹角为π2. 故选：C【方法技巧与总结】 求夹角，用数量积，由||||cos a b a b 得121222221122cos||||x x y y a b a b xyx y ，进而求得向量,a b 的夹角.题型三：平面向量的模长例28．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，9b c -=，则a =______． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知条件可得出a b c =--，根据平面向量的数量积可求得22b c +、b c ⋅的值，结合平面向量的数量积可求得a 的值. 【详解】由已知可得a b c =--，则()()()()()()22220a b a c b c b c b c b c -⋅-=--⋅--=+⋅+=， 即222250b c b c ++⋅=，因为9b c -=，则22281b c b c +-⋅=，所以，2245b c +=，18b c ⋅=-，因此，()2222229a a b c b c b c ==--=++⋅=，故3a =.故答案为：3.例29．（2022·辽宁沈阳·三模）已知平面向量,,a b c 满足1,1,0,1a c a b c a b ==++=⋅=-，则b =_______．【解析】【分析】由题意得c a b =--，直接平方即得结果. 【详解】由0a b c ++=可得c a b =--，两边同时平方得2222c a a b b =+⋅+，1,1,1a c a b ==⋅=-，2112b ∴=-+，解得2b =..例30．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+a b .故选：D例31．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||2b c a --=，则|c |的可能取值有（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得(1,1)c a b x y --=--，进而由向量模的计算公式可得22(1)(1)4x y -+-=，分析可得C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，设OA a =，OB b =，OC c =，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴的正方向建立坐标系， 则(1,0)A ，(0,1)B ，设(,)C x y ，则(1,1)c a b x y --=--，若||2b c a --=，则有22(1)(1)4x y -+-=，则C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，设(1,1)为点M ，则||OM =||||||r OM OC r OM -+， 即22||22OC +，则||c 的取值范围为22⎡⎣；故选：D ．例32．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量a ，b 满足2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=（ ）AB C D ．3【答案】C 【解析】 【分析】 由()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+求解.【详解】解：因为2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π， 所以()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+，==，故选：C例33．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知非零向量a ，b 的夹角为6π，()||3,a a a b =⊥-，则||b =___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】由()a a b ⊥-得22π3()||||||||cos3||062a ab a a b a a b b ⋅-=-⋅=-⋅=-=， 解得||2b =. 故答案为：2例34．（2022·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，且||1a =，||2b =，||3c =，求|23|a b c -+．9 【解析】【分析】由三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等得 ,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0，再分别计算求解即可 【详解】因为三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，所以,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0 ．当,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒时，2|23|(23)a b c a b c -+=-+222||||9||4126a b c b b c a c a =++-⋅+⋅-⋅==当,,,0a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=︒，即a ，b ，c 共线时． |23|2||||3||2299a b c a b c -+=-+=-+=∣∣．9例35．（2022·全国·高三专题练习）已知2=a ，3b =，a 与b 的夹角为120，求a b +及a b -的值． 【答案】7a b +=，19a b -=. 【解析】 【分析】利用向量数量积定义可求得a b ⋅，由向量数量积的运算律可求得2a b +和2a b -，由此可得结果. 【详解】cos ,6cos1203a b a b a b ⋅=⋅<>==-，22224697a b a a b b ∴+=+⋅+=-+=，222246919a b a a b b -=-⋅+=++=，7a b ∴+=，19a b -=.例36．（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量(0,1)=a ,(,3)b t =，若,a b 的夹角为π3，则||b =___________.【答案】【解析】 【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果. 【详解】 由πcos3||||a b a b ⋅=⋅,得132||b ,得||23b =.故答案为：【方法技巧与总结】 求模长，用平方，2||a a .题型四：平面向量的投影、投影向量例37．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））设a ，b 是两个非零向量，AB a =，CD b =，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，得到11A B ，则11A B 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.如下图，已知扇形AOB 的半径为1，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，则弧AB 的中点C 的坐标为________；向量CO 在OB 上的投影向量为________ .【答案】12⎫⎪⎪⎝⎭3()4- 【解析】 【分析】由已知，根据给到的OA ，OB 先求解OA 与OB 的夹角，然后再利用点C 是弧AB 的中点，即可求解出AOC ∠，从而求解点C 的坐标；根据前面求解出的点C 的坐标，写出OB 和CO ，先计算向量CO 在OB 上的投影，然后根据OB 即可写出向量CO 在OB 上的投影向量. 【详解】由已知，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，所以112cos ,112OA OB OA OB OA OB ===⨯， 所以π3AOB ∠=，因为点C 为弧AB 的中点，所以π6AOC ∠=， 扇形AOB 的半径为1，所以弧AB 满足的曲线参数方程为cos π()sin 3xy αααα=⎧≤≤⎨=⎩为参数，0， 所以中点C 的坐标为πcos 6π1sin 62x y ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以C的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，12CO ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，12OB ⎛=⎝⎭， 向量CO 在OB 上的投影为3441CO OB OB-== 因为12OB ⎛= ⎝⎭，所以向量CO 在OB 上的投影向量为3()4-.故答案为：12⎫⎪⎪⎝⎭；3()4- 例38．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知向量,,(3,1),||2,(2)3a b a b a b b ==-⋅=，则b 在a 方向上的投影为_________ 【答案】54【解析】 【分析】根据向量数量积性质和向量投影定义求解即可． 【详解】因为(3,1)a =，||2b =，所以2||1(2a =+，22b =，因为(2)3a b b -⋅=，所以222223a b b b a b b a b ⋅-⋅=⋅-=⋅-=，所以52a b ⋅=， 所以b 在a 方向上的投影为5||4a b a ⋅=， 故答案为：54． 例39．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））已知向量()1,2a =-，()3,b t =，且a 在b 上的投影等于1-，则t =___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据投影定义直接计算可得，注意数量积符号. 【详解】因为a 在b 上的投影等于1-，即cos ,1a b a a b b⋅〈〉==-1=-，且320t -<，解得4t =.故答案为：4例40．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知||2a =，b 在a 上的投影为1，则a b +在a 上的投影为（ ）A ．-1B ．2C ．3D 【答案】C 【解析】 【分析】先利用b 在a 上的投影为1求出a b ⋅，然后可求a b +在a 上的投影. 【详解】因为||2a =，b 在a 上的投影为1，所以1||a ba ⋅=，即2ab ⋅=； 所以a b +在a 上的投影为()24232||||a b a aa b a a +⋅+⋅+===；故选：C.例41．（2022·四川成都·三模（理））在ABC 中，已知7π12A ∠=，π6C ∠=，AC =BA在BC 方向上的投影为（ ）．A ．B ．2CD ．【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得4B π∠=、2AB =，再根据向量投影的定义求结果.【详解】由题设4B π∠=，则sin sin AB AC C B=，可得122AB ==， 所以向量BA 在BC 方向上的投影为||cos 2BA B ==故选：C例42．（2022·广西桂林·二模（文））已知向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的投影公式直接计算即可． 【详解】向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为2||cos ,21||a b a a b b ⋅-<>===-， 故选：B ．例43．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，a 与b 的夹角为6π，3a =，则c 在b 上的正射影的数量为（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答. 【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅=，即c b a b ⋅=⋅，又a 与b 的夹角为6π，3a =， 所以c 在b 上的正射影的数量3||cos ,||cos 62||||c b a b c c b a b b π⋅⋅〈〉====故选：D例44．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知单位向量,a b 满足||1a b -=，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A ．12bB ．12b -C ．12aD ．12a -【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式，即可求解. 【详解】22221a b a a b b -=-⋅+=，因为1==a b ，所以12a b ⋅=， 所以a 在b 方向上的投影向量为12a b b b b b ⋅⋅=. 故选：A例45．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．12⎛- ⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-， 所以a 在b方向上的投影向量为22cos 13(1,3)(2a b a b b bbπ⋅⋅⋅⋅=⋅-=- ，故选：C题型五：平面向量的垂直问题例46．（2022·海南海口·二模）已知向量a ，b 的夹角为45°，2a =，且2a b ，若()a b b λ+⊥，则λ=______． 【答案】-2 【解析】 【分析】先利用数量积的运算求解b ，再利用向量垂直数量积为0即可求解. 【详解】因为cos 452a b a b ⋅=︒=得2b =， 又因为()a b b λ+⊥，所以()2240a b b a b b λλλ+⋅=⋅+=+=，所以2λ=-． 故答案为：-2.例47．（2022·广东茂名·二模）已知向量a =（t ，2t ），b ＝（﹣t ，1），若（a ﹣b ）⊥（a +b ），则t ＝_____． 【答案】12±【解析】 【分析】由（a ﹣b ）⊥（a +b ），由垂直向量的坐标运算可得出a b =，再由模长的公式即可求出t . 【详解】因为（a ﹣b ）⊥（a +b ），所以()()0a b a b -⋅+=，所以220a b -=，则a b =，所以22241t t t +=+，所以12t =±.故答案为：12±．例48．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知向量()1,1a =-，()1,b m =，若()3a b a +⊥，则m =______．【答案】13【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算即可求解. 【详解】()()23,3030a b a a b a aa b +⊥∴+⋅=⇒+⋅= ，所以()123103m m +-+=⇒=故答案为：13例49．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量1e 与2e 的夹角为3π，若122a e e =+，12b e me =+，且a b ⊥，则实数m =（ ） A ．45-B ．45 C ．54-D ．54【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得221122(2)20e m e e m e ++⋅+=，结合已知即可求m 的值.【详解】由题意1222121122)()(220()2a b e me m e e m e e e e ⋅=⋅+=++⋅++=， 又1e 与2e 的夹角为3π且为单位向量， 所以22021m m +++=，可得45m =-.故选：A例50．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知向量(22,4),1,cos 2⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a b θ，其中(0,π)θ∈，若a b ⊥，则sin θ=___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算坐标表示公式、特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即14cos0cos22θθ-+=⇒=，因为(0,π)θ∈，所以π(0,)22θ∈，因此ππ242θθ=⇒=，所以sin 1θ=， 故答案为：1例51．（2022·全国·模拟预测（文））设向量()2,1a =，()1,b x =-，若()a b a ⊥-，则b =___________.【答案】【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解 【详解】()3,1b a x -=--，由题意得()0a b a ⋅-=，即610x -+-=，得7x =149b =+=.故答案为：【方法技巧与总结】121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型六：建立坐标系解决向量问题例52．（2022·山东淄博·三模）如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积； 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ， 又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF =，即310CE FC =，即710FE FC =， 则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭， 则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．例53．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在边长为2的正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，则AC DE ⋅=（ ） A ．2 B ．2-C ．4-D ．4【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，用向量法即可 【详解】在平面直角坐标系中以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，则()0,0A ，()0,2D ，()2,2C ，()2,1E ，所以()()2,22,1422AC DE ⋅=⋅-=-=， 故选：A例54．（2022·江苏·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，(4,1)AB =，(2,3)DC =，(2,)AC m =-，若0E A F C =⋅，则实数m 的值是（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得分别求出AD 和BC 的坐标，再分别求出AE 和BF 的坐标，EF EA AB BF =++，再利用数量积坐标运算求解即可. 【详解】根据题意得：(4,3)AD CD CA AC DC m =-=-=--，(6,1)BC AC AB m =-=--, 因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以13(2,)22m AE AD -==-，11(3,)22m BF BC -==-， 所以()3,2EF EA AB BF =++=，又0E A F C =⋅，即()2320m -⨯+⨯=，解得3m =. 故选：D.例55．（2022·四川南充·三模（理））在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，3AC =，2AM MC =，12AN AB =，CN 与BM 交于点P ，则cos BPN ∠的值为（ ）A B ．C ．D 【答案】D 【解析】 【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则(0,2),(0,1),(3,0),(2,0)B N C M , 得(3,1),(2,2)CN MB =-=-,所以co 10s CN MB CN P BB N M ⋅===⋅∠ 故选：D.例56．（多选题）（2022·山东聊城·三模）在平面四边形ABCD 中，1AB BC CD DA DC ===⋅=，12⋅=BA BC ，则（ ） A ．1AC = B ．CA CD CA CD +=-C ．2AD BC = D ．BD CD ⋅=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可. 【详解】因为1AB BC CD ===，1cos 2BA BC BA BC B ⋅==，可得3B π=，所以ABC 为等边三角形，则1AC = ，故A 正确；因为1CD =，所以21CD =，又1DA DC ⋅=，所以2CD DA DC =⋅ ，得()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅=，所以AC CD ⊥，则CA CD CA CD +=-，故B 正确； 根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误； 建立如上图所示的平面直角坐标系，则1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，12BD ⎫=⎪⎪⎝⎭，3122CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以BD CD ⋅=，故D 正确； 故选：ABD.例57．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量a b c ，，满足2222a b a b c c =-=-==，则可能成立的结果为（ ） A ．34b =B ．54b =C ．34b c ⋅= D ．54b c ⋅=【答案】BCD 【解析】 【分析】不妨设()10C ，，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，利用坐标法，即可求解. 【详解】对于选项A 、B ，由题意2=a ，1c =，1a b b c -=-=，设OA a =，OB b =，OC c =，不妨设()10C ，，如图，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足1AB =， 圆C 方程是22(1)1x y -+=.当B 在圆C 上运动时，由AB OB OA +≥，得1OB ≥，当且仅当O ，A ，B 三点共线时取等号，又由图易知2OB ≤，即12b ≤≤，故选项A 不满足，选项B 满足；对于选项C 、D ，设()B x y ，，则()()10b c x y x ⋅=⋅=，，， 由22221(1)1x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12B x ∴≥， 又2B x ≤.即122x ≤≤. 122b c ⎡⎤∴⋅∈⎢⎥⎣⎦，，选项C ，D 满足.故选：BCD例58．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则（ ）A ．20OB OE OG ++=B ．22OA OD ⋅=- C ．4AH EH += D ．4+=+AH GH 【答案】ABC【分析】分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立的平面直角坐标系，作AM HD ⊥，结合向量的坐标运算，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正八边形ABCDEFGH ，所以AOH HOG AOB EOF FOG ∠∠∠∠∠====DOE COB COD =∠=∠=∠360458==， 作AM HD ⊥，则OM AM =，因为2OA =，所以OM AM =(A ，同理可得其余各点坐标，()0,2B -，E ，(G ，()2,0D ，()2,0H -，对于A (02(2),2222)0OE OG ++=++--++=，故A 正确；对于B 中，(2(0OA OD ⋅=-⨯+⨯=-B 正确；对于C 中，(2AH =-，(2EH =-，(4,0)AH EH +=-，所以(4AH EH +=-=，故C 正确；对于D 中，(2AH =-，(2GH =-，(4AH GH +=-+，(4AH GH =-+=-D 不正确.故选：ABC.例59．（2022·江苏南京·模拟预测）在ABC 中，0AB AC ⋅=，3AB =，4AC =，O 为ABC 的重心，D 在边BC 上，且AD BC ⊥，则AD AO ⋅______． 【答案】9625【解析】根据O 为ABC 的重心，得到()13=+AO AB AC ，再由0AB AC ⋅=和AD BC ⊥，利用等面积法求得AD ，进而得到DB ，方法一：利用基底法求解；方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】解：因为O 为ABC 的重心， 所以()13=+AO AB AC ， 因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，则5BC =，因为AD BC ⊥，所以1122ABC S AB AC AD BC =⋅=⋅△， 即1134522AD ⨯⨯=⨯， 所以125AD =，在Rt ADB 中，95DB =． 方法一：因为925=+=+AD AB BD AB BC ， ()9916252525=+-=+AB AC AB AC AB ， 所以()191632525⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭AD AO AB AC AC AB ，221916963252525⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭AC AB ． 方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0AC =，()0,3AB =，由方法一可知9163648,25252525AD AC AB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()14,133AO AB AC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以136489513252525AD AO ⋅=⨯+⨯=．例60．（2022·北京·北大附中三模）已知正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =-，则PD =___________；PE PD ⋅=___________.【答案】 10 【解析】 【详解】解：以A 为原点，AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系， 所以()()()0,0,2,0,2,1A B E ，()0,2D ，设(),P x y ，所以()()(),,2,1,2,0AP x y AE AD ===，因为2AP AE AD =-，所以()()4,0,4,2P PD =-，所以25PD = 又()2,1PE =-，所以10PE PD ⋅=.故答案为：10.例61．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，2CE EB =，2CF FD =，若线段EF 上存在一点M ，使得5162AM AB AD =+，则||AM =__________，若点N 为线段BD 上一个动点，则AN MN ⋅的取值范围为__________.【答案】73 371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M 坐标然后可得||AM ，再用坐标表示出AN MN ⋅，由二次函数性质可得所求范围. 【详解】因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，以BD 、AC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，因为2AB =，60BAD ∠=︒，所以1,OB OD OC OA ====则(0,(1,0),(1,0)A B D -，设((,0)M m N n 43(1,3),(1,3),(,),(,3),3AB AD AM m AN n ==-==因为5162AM AB AD =+，所以51((62m =+-解得13m =，所以17||93AM =又1(,3MN n =-所以21137()1()3636AN MN n n n ⋅=--=--因为11n -≤≤，所以当16n =时，AN MN ⋅有最小值3736-， 当1n =-时，AN MN ⋅有最大值13，所以AN MN ⋅的取值范围为371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：73，371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

平面向量的数量积与向量投影的几何意义在数学中，平面向量的数量积和向量投影是两个重要的概念，它们在几何学中有着重要的应用。

本文将介绍平面向量的数量积和向量投影的概念以及它们在几何中的意义。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，是指两个向量之间的乘积。

假设有两个平面向量A和A，它们的数量积表示为A·A。

计算数量积的方法有两种：几何方法和代数方法。

几何方法：数量积的几何方法是通过向量的长度和夹角来计算。

设向量A和A的夹角为θ，则数量积的计算公式为：A·A = |A| × |A| × cosθ其中，|A|和|A|分别表示向量A和A的长度。

代数方法：数量积的代数方法是通过向量的坐标来计算。

假设向量A的坐标为(A₁, A₂) ，向量A的坐标为(A₁, A₂)，则数量积的计算公式为：A·A = A₁A₁ + A₂A₂平面向量的数量积在几何中有着重要的意义。

首先，数量积可以用来判断两个向量是否垂直。

当两个向量的数量积为0时，它们互相垂直；当数量积为正时，它们夹角为锐角；当数量积为负时，它们夹角为钝角。

其次，数量积还可以用来计算向量的模长，即向量的长度。

二、向量投影向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。

设向量A的投影在向量A上的长度为A，则向量投影的计算公式为：A = |A| × cosθ其中，|A|表示向量A的长度，θ表示向量A和A之间的夹角。

向量投影的几何意义是指一个向量沿着另一个向量的方向的投影长度。

这个投影长度可以用来表示一个向量在另一个向量的作用下的分量。

在几何中，数量积和向量投影有着广泛的应用。

比如，利用数量积可以判断两个向量的相对方向，它们是平行还是垂直；利用向量投影可以计算一个向量在另一个向量上的分量，从而解决实际问题。

总结起来，平面向量的数量积和向量投影在几何中有着重要的意义。

数量积可以用来判断两个向量的夹角和它们的相对方向，向量投影可以用来表示一个向量在另一个向量上的投影长度。

数量积和向量积的几何意义知乎
数量积和向量积是向量运算中常用的两个概念。

它们都具有一定的几
何意义。

1. 数量积（内积）：数量积是两个向量的数量关系。

对于给定的两个
向量a和b，其数量积表示为a·b。

数量积的几何意义是两个向量之
间的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。

当两个向量平行时，其
夹角为0度，余弦值为1，数量积的值达到最大。

而当两个向量垂直时，其夹角为90度，余弦值为0，数量积的值为0。

因此，数量积可以用
来判断两个向量之间的夹角关系，以及它们的相似性和互相的垂直性。

2. 向量积（叉积）：向量积是两个向量的矢量关系。

对于给定的两个
向量a和b，其向量积表示为a×b。

向量积的几何意义是一个与两个
原始向量都垂直的向量，其大小等于以两个原始向量为边的平行四边
形的面积，方向由右手定则确定。

向量积可以用来确定两个向量确定
的平面的法向量，并可以计算出两个向量所确定的平行四边形的面积。

此外，还可以用于计算直线与平面的关系，例如计算直线与平面的交
点等。

综上所述，数量积和向量积在几何中具有不同的意义。

数量积用于判
断夹角关系和相似性，而向量积用于计算面积和法向量等几何性质。

它们在解决几何问题和向量运算中发挥重要的作用。

数量积的几何意义及其应用案例数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要概念。

它不仅具有几何意义，而且在实际应用中有着广泛的应用案例。

几何意义数量积的几何意义是以两个向量的夹角为基础的。

设有向量A和向量B，它们的数量积表示为A·B。

如果A和B之间的夹角为θ，那么数量积A·B的几何意义可以用以下公式表示：A·B = |A| * |B| * cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，cosθ表示夹角θ的余弦值。

这个公式表明，数量积等于两个向量模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

数量积的几何意义是非常重要的，它可以帮助我们计算向量之间的夹角，判断向量正交性，以及进行向量投影等操作。

应用案例数量积在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用案例。

1. 几何学应用：数量积可以用来判断两个向量是否垂直或平行。

如果两个向量的数量积为0，则它们垂直；如果数量积不为0且夹角为0或180度，则它们平行。

2. 物理学应用：在物理学中，数量积可以用来计算力的分解和合成。

例如，当一个物体受到斜向的力作用时，可以将该力分解为两个互相垂直的分力，然后计算它们的数量积来确定物体的运动情况。

3. 工程学应用：在工程学中，数量积被广泛应用于矢量分析、力学和电路分析等领域。

例如，在力学中，可以使用数量积来计算转矩和力矩；在电路分析中，可以使用数量积来计算功率和功率因数。

结论数量积在向量运算中具有重要的几何意义，并且在实际应用中有着广泛的应用案例。

通过理解数量积的几何意义和掌握其应用方法，我们可以更好地理解和应用向量概念，从而解决实际问题。