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微积分建立的时代背景和历史意义微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支．微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一”．微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了人类的数学知识对于人的认识发展和改造世界的能力的巨大促进作用． 积分的思想产生得很早，公元前200多年，希腊科学泰斗阿基米德（Archimedes ，约公元前287~前212）就用积分的观点求得球体积公式34π3V r =他用球体“薄片”的叠加与球的外切圆柱及相关圆锥“薄片”的叠加，并用杠杆原理得到球体积公式．公元5世纪，中国数学家祖冲之、祖日恒 父子提出了“缘幂势既同，则积不容异”，也是积分概念的雏形．微分观念的发生比积分大概迟了2000年．公元16世纪，伽利略发现了自由落体的运动规律212S gt =，落体的瞬时速度近似于()()S t t S t gt t +∆-≈∆． 当t ∆很小时，这个比值接近于时刻t 的瞬时速度，这是导数的启蒙．同时，在探求曲线的切线的时候，人们发现，切线是割线的近似，割线的斜率是()()y f x x f x x x ∆+∆-=∆∆，当x ∆很小时，y x∆∆应该是切线斜率的近似，求瞬时速度及切线斜率，是产生导数观念的直接动因．17世纪，法国数学家笛卡儿（Descartes ，1596~1650）建立了坐标系，使几何图形能够用函数来表示，从而为研究函数及其变化率提供了有力的工具． 在17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后，分别独立建立了微积分学．牛顿和莱布尼茨对微积分学最突出的贡献是建立了微积分基本定理()()()ba F x dx Fb F a '=-⎰，它把原以为不相干的两个事物紧密联系在一起，揭示了微分和积分的逆运算关系．所不同的是，牛顿（Newton ，1642~1727）创立的微积分有深刻的力学背景，他更多的是从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问题，而莱布尼茨（Leibniz ，1646~1716）主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号以及微积分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响．19世纪，法国数学家柯西（Cauchy ，1789~1857）和德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass ，1815~1897）为微积分学奠定了坚实的基础，使微积分学成为一套完整的、严谨的理论体系．微积分的建立充分说明，数学来源于实践，又反过来作用于实践．数学的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分．。
微积分的创立者是牛顿和莱布尼兹严格微积分的奠基者是柯西和威尔斯特拉斯关于微积分的故事，曾经一度迷惑着我，今天有幸弄清其中原委，以消心中疑云。
微积分的萌芽可以追溯到古代的希腊、中国和印度，酝酿于17世纪的欧洲。
1.牛顿和莱布尼兹创立了微积分1.1 牛顿的“流数术”牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。
1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。
笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。
1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。
在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。
这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。
正是在这种意义下，牛顿创立了微积分。
牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。
1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。
而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。
1.2 莱布尼茨的微积分工作莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。
1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。
这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。
微积分的起源与发展主要内容：一、微积分为什么会产生二、中国古代数学对微积分创立的贡献三、对微积分理论有重要影响的重要科学家四、微积分的现代发展一、微积分为什么会产生微积分是微分学和积分学的统称,它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期.公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述.比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰,日取其半，万世不竭"。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。
”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》,开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
已知物体移动的距离表为时间的函数的公式,求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。
困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化.例如,计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离,因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0 / 0 是无意义的。
但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的.第二类问题是求曲线的切线的问题.这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。
困难在于:曲线的“切线"的定义本身就是一个没有解决的问题。
微积分概念发展史微积分真正成为一门数学学科，是在十七世纪，然而在此这前微积分已经一步一步地跟随人类历史的脚步缓慢发展着。
着眼于微积分的整个发展历史，在此分为四个时期：1.早期萌芽时期。
2.建立成型时期。
3.成熟完善时期。
4.现代发展时期。
早期萌芽时期：1、古西方萌芽时期：公元前七世纪，泰勒斯对图形的面积、体积与的长度的研究就含有早期微积分的思想，尽管不是很明显。
公元前三世纪，伟大的全能科学家阿基米德利用穷竭法推算出了抛物线弓形、螺线、圆的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的公式，其穷竭法就类似于现在的微积分中的求极限。
此外，他还计算出Π的近似值，阿基米德对于微积分的发展起到了一定的引导作用。
2、古中国萌芽时期：三国后期的刘徽发明了著名的“割圆术”，即把圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆周长及面积的方法。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”不断地增加正多边形的边数，进而使多边形更加接近圆的面积，在我国数学史上算是伟大创举。
另外在南朝时期杰出的祖氏父子更将圆周率计算到小数点后七位数，他们的精神值得我们学习。
此外祖暅之提出了祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”，即界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，比欧洲的卡瓦列利原理早十个世纪。
祖暅之利用牟合方盖（牟合方盖与其内切球的体积比为4：Π）计算出了球的体积，纠正了刘徽的《九章算术注》中的错误的球体积公式。
建立成型时期：1.十七世纪上半叶：这一时期，几乎所有的科学大师都致力于解决速率、极值、切线、面积问题，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时间内取得了极大的发展。
天文学家开普勒发现行星运动三大定律，并利用无穷小求和的思想，求得曲边形的面积及旋转体的体积。
意大利数学家卡瓦列利与同时期发现卡瓦列利原理（祖暅原理），利用不可分量方法幂函数定积分公式，此外，卡瓦列利还证明了吉尔丁定理（一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积。
2023微积分学(吴迪光张彬著)课后答案微积分学历史背景早期思想早在公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。
古希腊数学家、力学家阿基米德(公元前287~前212)的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
中国古代数学家也产生过积分学的萌芽思想，例如三国时期的刘徽，他对积分学的思想主要有两点：割圆术及求体积问题的设想。
在3世纪，中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积，求出圆周率的近似值3.141024，并指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”。
刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法，正是极限思想的具体体现。
数列极限是函数极限的基础，一个数列an如果当n无限增大时，an与某一实数无限接近，就称之为收敛数列，a为数列的极限，记作liman=a例如an=1/n，数列的极限为0。
微分学微分学的基本概念是导数。
导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。
牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发，希望用数学工具来刻画这一事实。
若用s=s(t)表示物体的运动规律，即物体运动中所走路程s与时间t的关系，那么物体在t=t0时的瞬时速度为v(t0)，并记v(t0)=s(t0)，并称之为路程s关于时间t的导数或变化率，也可记v(t0)=()|t=t0。
而物体运动的加速度a(t)=v(t)=s(t)=()。
导数作为一个数学工具无论在理论上还是实际应用中，都起着基础而重要的作用。
例如在求极大、极小值问题中的应用。
积分学积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分。
主要内容包括积分的性质、计算，以及在理论和实际中的应用。
不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。
如果对每一xI ，有f(x)=F(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数，f(x)的全体原函数叫做不定积分，记为，因此，如果F(x)是 f(x)的一个原函数，则=F(x)+C，其中C为任意常数。
微积分的产生——划时代的成就.1 微积分思想的萌芽1.1 古希腊罗马——微分、积分思想的发源地原子论朴素的微分和积分思想.古希腊的原子论者具有朴素的微分和积分思想，该学派的创始人是留基伯(Leucippcus of Miletus)，代表人物则是百科全书式的学者德漠克利特(Democritus of Abdera).原子论者把宇宙间的万物看成由不可再分的原子构成，以及原子虽然不能再分但仍有内部结构的思想，表现在数学上就是对于表示有限的长度、面积和体积的量x ，进行了一次微分(dx)和二次微分(dx 2). 德漠克利特曾用原子论思想第一次算出圆锥和棱锥的体积分别等于和它们同底同高的圆柱和棱柱体积的三分之一.极限法的早期形式穷竭法.为了计算曲边形的面积和体积，欧多克斯（Eudoxus of Cnidos ）曾提出了一个计算方法，这个方法在17世纪时被人称为“穷竭法”.用现代的符号表示就是：如果对于任意的正整数n ，等式k b a nn =（常数）成立，且当n →∞时，A a n →，B b n →，则有k BA =.他用这个方法证明了德漠克利特已得出的求圆锥和棱锥体积的公式.阿基米德(Archimedes)对穷竭法也作出了重要贡献，他在《圆的度量》、《论圆柱和球》、《抛物线求积》、《论螺线》等著作中，应用了穷竭法，并引用了近似现代微积分中的“大和”与“小和”概念.并且他用这种方法计算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积以及一些旋转体的体积等数学问题.芝诺的拟难.芝诺(Zero of Elea)是古希腊爱利亚学派的代表人，他虽然不是一个科学家，更谈不上是一位数学家，但他提出的四个拟难——二分法、阿基里斯追龟、飞箭、运动场，客观上把微积分中的离散和连续的对立统一惹人注目地摆了出来，对微积分发展有一定的影响.其中“二分法”和“阿基里斯追龟”涉及无穷运算问题，比如，收敛的无穷级数，虽有无穷多项，但其和仍为有限的；“飞箭”则是一个典型的导数问题，运动的物体在每一时刻不仅有速度，而且还有加速度等；“运动场”明显地同运动的两个相反的方向即正负概念有关.1.2 阿拉伯和欧洲中世纪——无限和运动的研究在整个中世纪，希腊文化遗产在某种程度上是由逐渐缩小的、以君士坦丁堡为中心的拜占庭帝国保存下来的.但是，在黑暗时代的几个世纪中，有效地利用这些遗产，并且最后把它们输送到西欧去的，却是地中海地区的阿拉伯政权.代数和三角学的确立.从7世纪开始，阿拉伯帝国逐渐崛起，到8世纪，它已成为一个地跨亚、欧、非三洲，阿拉伯帝国在所辖的较大城市建立图书馆和天文馆，政府组织人力进行天文观测，编制星表，集中学者翻译和注释希腊罗马古典名著.正当欧洲处在黑暗时期，“阿拉伯数学”却成了这时期西方科学的代表.希腊罗马的古典名著正是通过“阿拉伯人”的工作才得以保存下来，这是阿拉伯人对人类文明的重要贡献之一.不仅如此，阿拉伯也是东西科学文化交流的桥梁，今天通行的“印度—阿拉伯数码”以及我国古代“四大发明”等，都是通过阿拉伯从东方传到西方去的，这为欧洲以后科学文化的复苏创造了重要条件.有继承才有发展，阿拉伯人在保留古希腊罗马文化和传统文化的同时，也有一定的发展和创造.代数和三角学的确立就是他们对数学所做出的贡献.对无限和运动的研究.这一时期，除了“印度—阿拉伯数码”的逐渐普及，代数和三角学已经确立以及数学符号化已有端倪外，对无限的讨论以及对运动和速度的研究已成为数学家们注意的中心.例如德国的红衣主教库萨的尼古拉，把圆与三角形分别看成边数最多和边数最少的多边形，把无限大和零分别看成自然数的上界和下界.他还说尽管“世界不是无限的，但毕竟不能认为它是有限的，因为世界没有一条把它包围起来的界限”，这表明了他把无限看作一个过程的潜无限思想.14世纪英国很有声誉的数学家苏依塞斯的重要著作《算术》中，已有变量、极大和极小概念的原始形式，预示了变数和导数即将进入数学领域.他所使用的“流数”、“流量”等概念，被300年后的牛顿所采用.在无限问题上他指出，要解决所有关于无限的诡辩，只要认识到有限和无限不能有它们的比就行了，这是关于对有限和无限应有不同的论证的最早认识.1.3 古代中国——面积、体积与极限思想的丰富简单几何图形面积和体积的计算.在微积分的发展历史上，对任意封闭的平面曲线围成图形面积的计算，和任意封闭的空间曲线包围立体图形体积的计算，是产生积分概念的主要途径之一.计算面积和体积可以追溯到原始农业社会，根据我国甲骨文记载，约在300年以前的殷代，就把耕种的土地分成方形小块以求面积.积分概念就是在初等几何计算面积和体积的基础上逐渐形成的.《庄子》和《墨经》中的极限思想.极限概念是微积分区别于初等数学的特有概念，没有极限概念就没有现代的微积分.战国时代的《庄子·天下篇》中，有不少极限思想，其中最脍炙人口的一句话是：“一尺之椎，日取其半，万世不竭.”可以理解为无穷无尽、永远达不到极限的潜无限思想.无穷或无限概念，是极限概念的特殊情况，是微积分的重要概念.《墨经》也是战国时代的重要著作之一，该书对有穷和无穷作了明确的区分.该书说，“穷，或有前，不容尺也”，意思是有穷就是有边界的区域，用尺沿一个方向去量它一定能量完；“穷，或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”，即有穷就是能量尽这个区域，如果量不尽，就是无穷.与此同时《墨经》也有丰富的微分思想，比如：“端，体之无厚而最前者也”；“端，无间也”；“非半则不动，说在端”.第一句话就是说，“端”就是不可度量且位于物体的最前面的东西.第二和第三句是说，如果没有空隙、也不能再进行分割的就是端.这是对构成物质的最基本的元素相当精确的定义，实际上就是对物体经“化整为零”后的微分概念.极限思想的运用——割圆术.我国三国时的数学家刘徽提出的“割圆术”，他从圆内接正六边形做起，令边数成倍地增加，逐步推求圆内接正12边形，正24边形，……，直到正3072边形，用这个正3072边形面积来逼近圆面积，就得到π的较精确的值3.1416，“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这就包含着微积分中“无限细分，无限求和”的思想方法.另外，古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，如郭守敬《授时历》中求“月离迟疾”（月亮运行的最快点和最慢点）、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值（郭守敬甚至称之为“极数”）等问题，但东方学者以惯用的数值手段（“招差术”，即有限差分计算）来处理，从而回避了连续变化率.总之，在17世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是较少的.2微积分孕育的半个世纪在历史上，积分概念和方法的产生先于微分.积分的原理，溯源于古希腊人所创造的计算面积、体积和弧长相联系的求和方法，在古代的穷竭法中就已萌芽.微分思想虽然可追溯到古希腊，但它的概念和法则几乎是16世纪下半叶后与近代力学同时产生和发展起来的.微分思想和积分思想起初互不相干，基本上是平行而又独立地发展着，都是对具体问题采取具体的方法，尽管在思想上有某些相似之处，但毕竟没有形成统一的方法.这两个统一方法形成后建立起其间联系又晚一些.直至17世纪上半叶，以力学为中心的一系列问题向数学提出了挑战，迫使数学家探索新的数学思想和方法来解决求曲线的长度、曲线围成的面积和体积、物体的重心、变化率和切线、函数的极值、物体在任意时刻的速度和加速度等大量生产、科研实践中提出的数学问题.对上述问题的研究以及对二项式定理和级数的讨论所形成的数学思想和方法的成熟和发展，孕育了微积分的诞生.2.1积分学概念和方法的产生在积分概念和方法的形成过程中，最有代表性的工作主要有：2.1.1 开普勒的同维无穷小方法开普勒(Johannes Kepler,1571-1630)是德国著名天文学家、力学家和数学家，在大学学习时曾接触到哥白尼学说，他的思想受毕达哥拉斯和柏拉图的影响较大，认为宇宙是上帝安排的和谐的体系，但他不象前人那样盲目相信，而是尊重事实.他寻求宇宙是和谐体系的显著成绩是先后总结出行星运动三定律，其中第一定律认为行星绕日运动并非是匀速运动，其轨道也不是圆而是椭圆.这就从根本上打破了传统的、权威的观念，是对哥白尼的天文学的重大发展. 图5-1 开普勒开普勒的父亲好喝酒，以开酒馆为业，少年时期的开普勒常帮父亲营业.他发现当时酒商求奥地利酒桶容积的方法不精确，经过研究在1615年发表《测量酒桶的新立体几何》，该书分为三个部分，第一部分是阿基米德式的空间几何，其中大约有90个旋转体的体积是阿基米德没有研究过的；第二部分重点是研究酒桶体积的求法；第三部分是这一方法的应用.在该书中，开普勒对古希腊的原子论方法作了发展——用无数个同维小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积.例如，把圆当作无限多个边的正多边形从而把无限多个以圆心为顶点的等腰三角形面积之和计为圆面积，于是得到圆面积等于周长乘半径之半. []n S S S A ∆++∆+∆=2121 221r rs π== 图 5-2他还认为球的体积是无数个小圆锥的体积之和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；将圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=3142R R V π.开普勒还用类似的方法算出了圆柱、圆环以及苹果形、柠檬形等的体积.开普勒的方法并不严格.比如，当圆分解为其底为一点之等腰三角形时，无异于说这时的三角形是一个线段，圆的面积是无数条线段（即半径）之和.在一些问题中，开普勒也确认面积就是直线之和.用无数个同维无穷小之和计算面积和体积是开普勒的基本思想，虽然还不严格，但确有合理之处，这也是开普勒方法的精华，他化曲为直和微小元求和的思想，对积分学很富有启发性. 2.1.2卡瓦列里和托里拆利的不可分量法“不可分元”并无严格的定义，费尔马、帕斯卡和罗伯瓦尔等都有类似思想，但是以卡瓦列里的思想最典型. 卡瓦列里(BonaventuraCavalieri,1598-1647)是意大利的牧师，也是伽俐略的学生.他的积分思想同古代原子论一脉相承，但比开普勒的方法更普遍，称之为“不可rS i O分元法”.这一思想集中体现在他的《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)和《六个几何问题》中两部著作之中.卡瓦列里认为线是由无限多个点组成，就象链条由珠子穿成的一样；面是由无限多条平行线段组成，就象布是由线织成的一样；立体则是由无限多个平行平面组成，就象书是由每一页积累成的一样；不过它们都是对无穷多个组成部分来说的.换句话说，他把几何图形看成是比它低一维的几何元素构成的：线是点的总和，平面是直线的总和， 图5-3 卡瓦列里立体是平面的总和，他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”.他建立了一条关于这些不可分量的普遍原理，后以“卡瓦列里原理”著称：两个等高的立体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比，那么这两个立体的体积之间也有同样的比.卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，然而他对积分学创立最重要的贡献还在于证明了：如果两线段之比为2:1,则其平方和之比为3:1,立方和之比为4:1,直到九次方和之比为10:1,实际上已相当于今天的积分式⎰++=an n a n dx x 0111 （n 为自然数） 使早期的积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法过渡.卡瓦列里的不可分量方法比他的前人包括开普勒所使用的方法更接近于普遍的积分学算法，开普勒曾向同行们提出一个挑战问题：求抛物线弓形绕弦旋转而成的旋转体体积.卡瓦列里用自己的方法解决了开普勒的问题.人们认为，以卡瓦列里为代表的不可分量法就是17世纪初期的积分法，也是牛顿和莱布尼茨以前积分思想发展的高峰.卡瓦列里虽然克服了开普勒用各自不同的直线图形表示不同的曲边图形对应的不可分量之间的关系，而非每个面积中的不可分量全体，这就避免了无限的概念，自然就造成了理论上的不可克服的矛盾.同时，卡瓦列里求积法还具有不注意代数和算术的纯几何缺点.对卡瓦列里不可分量法作出重要修正的是他的朋友、伽利略的学生、意大利的托里拆利(E.Torricelli,1608-1647).1646年卡瓦列里发表《关于无限抛物线》中批评说：“把不可分元看成是相等的，即把点与点在长度上、线与线在宽度上、面与面在厚度上看成相等的说法纯属空话，它既难以证明，又无直观基础.”他以圆和三角形的不可分元为例说明二者的不可分元并不相同：一个是具有极小中心角的扇形，一个是具 图 5-4有微小宽度的带状体.所以他用开普勒的同维无穷小去代替卡瓦列利的不可分量，同时又保留了不可分量法在求积上的有效性，不但取得了曲线求积问题的许多成果，而且在理论上向近代积分靠近了一步.2.1.2 费马、帕斯卡和沃里斯等人的推进费马于1636年提出了一个相当于近代定积分的积分法，用统一的矩形条分割曲线形；用矩形面积近似地代替曲边形面积；利用曲线方程求出矩形面积，并以其构成的几何级数之和近似地得到曲线面积；对和式取极限使近似值转化为精确值.而帕斯卡则采取等分x 轴上的区间和略去无穷序列之和的高阶差的方法，这对牛顿、莱布尼茨产生了很大的影响.费马还将其积分法用于求弧长，他把曲线长视为微小线段长之和，再把线段长度之和转化为求曲线围成的面积来获得结果.英国数学家沃里斯1656年发表《无穷的算术》，使卡瓦列里、费马的不可分法得到系统的推广.他用数的语言把几何方法算术化，使无限的概念以解析的形式出现，开辟了用级数表示函数的道路，使得无限算术代替了有限算术，这对确立微积分奠定了重要的思想基础.沃里斯还利用微分三角形，给出了近代意义的弧微分概念和计算公式：22dy dx ds +=，但未能给出弧长的计算方法.到17世纪60年代，求积法已取得十分丰富的成果，发展得相当完善了.2.2微分学概念和法则的发展以上介绍的微积分准备阶段的工作，主要采用几何方法并集中于积分问题，解析几何的诞生改变了这一状况.解析几何的两位创始人笛卡儿和费马，都是将坐标方法引入微分学问题研究的前锋.2.2.1费马借助微小增量作切线费马在1637年发表了《求最大值和最小值的方法》，记述了一个求曲线切线的方法，这个方法的大意如下：设PT 是曲线在P 点的切线（如图5-5），TQ 叫次切线，只要知其长，就可确定T 点，再连接PT 就可以了.为了确定TQ ，设QQ 1为TQ 的微小增量，其长为E （即今之△x ）， ∵△TQP ∽△PRT 1 ∴1RT PRQP TQ = 费马认为，当E(=PR)很小时，RT 1同RP 1几乎相等，因此有QPP Q E RP E QP TQ -==111 图 5-5 用现在的符号，把QP 写成)(x f ，于是有)()()(x f E x f E x f TQ -+= 即 )()()(x f E x f x f E TQ -+⋅=这时，费马先用E 除分子和分母，然后再让E=0就得到TQ 的数值（即今之)()(x f x f TQ '=）.费马用这个方法解决了许多难题，应当说，这是微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作.但是，他没有通过割线移动来决定切线，也没有通过计算斜率的极限来求切线.割线移动决定切线的思想，是笛卡儿1638年提出来的.2.2.2笛卡儿“圆法”求曲线)(x f y =过点))(,(x f x P 的切线，笛卡儿的方法是首先确定曲线在点P 处的法线与x 轴的焦点C 的位置，然后作该法线的过点P 的垂线，便可得到所求的切线.如图5-6，过C 点作半径r=CP 的圆，因CP 是曲线)(x f y =在P 点处的法线，那么点P 应是该曲线与圆222)(r v x y =-+的“重交点”（在一般情况下所作圆与曲线还会相交于P 点附近的另一点）.如果[]2)(x f 是多项式，有垂交点就相当于方程 222)()]([r x v x f =-+ P T 1P 1RT Q Q 1将以P 点的横坐标x 为重根.但具有重根e x =的多项式的形式必须是∑⋅-i i x c e x 2)(，笛卡儿把上述方程有重根 的条件写成： ∑-=--+i i x c e x r x v x f 2222)()()]([， 图 5-6然后用比较系数法求得v 与e 的关系.带入x e =，就得到用x 表示的v ，这样过点P 的切线的斜率就是)(x f x v -. 以抛物线kx y =2为例，kx x f y ==)(，方程22)(r x v kx =-+有重根的条件为： 222)()(e x r x v kx -=--+令x 的系数相等，得e v k 22-=-，即k e v 21+=.代入x e =，于是次法距k x v 21=-，求出抛物线过点()kx x ,的切线斜率是xk kx k x f x v 212/)(==-. 笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的.笛卡儿圆法在确定重根时会导致极繁复的代数计算，1658年荷兰数学家胡德(J.Hudde)提出了一套构造曲线切线的形式法则，称为“胡德法则”.胡德法则为确定笛卡儿圆法所需的重根提供了机械的算法，可以完成求任何代数曲线的切线斜率时所要进行的计算.2.2.3费马求极值的方法用代数方法求函数的极大值和极小值，是产生微分学的重要途径之一.记载费马求极大值与极小值方法这份手稿，实际上是他写给梅森(M.Mersenne)的一封信，梅森是当时欧洲科学界领头任务伽利略、费马、笛卡儿、帕斯卡等人之间保持书信交往的中心.费马的方法用现在的符号表示大意如下：设)(x f 是x （x 就是费马的A ）的某个多项式，现在讨论)(x f y =的极大值.如果)(x f 在x 点达到极大值，则对充分小的E>0必有：)(E x f +<)(x f 和)(E x f -<)(x f将此二不等式之左边展开则有：+++=+2)()()()()(E x Q x E x P x f E x f <)(x f-+-=-2)()()()()(E x Q x E x P x f E x f <)(x f消去这两个不等式两边的共同项，再用E 除则分别给出下面两个不等式：++E x Q x P )()(<0-+-E x Q x P )()(<0当E 充分小时，此二式左边的符号完全由)(x P 确定.可见，当)(x P 0≠时，此二式不可能有同一的符号，因此必须)(x P =0，从此式解出x 就是所求的极大值.同理可以求出极小值.费马的方法实际上就是，当计算有理整函数)(x f 的极值时，先计算它的导数x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0，再令0)(='x f ，解之就是极值点. 不难看出，费马的方法尚有不足之处：第一，费马没有引入无穷小概念，我们在解释他的E 时设为“充分小”，是为了同今天的思想相一致，但费马并没有如此表述；第二，正如他自己所说，把求极值的方法普遍化问题尚缺乏证明；第三，令0)(=x P ，只是求出极值的必要条件，而不是充分条件.尽管费马求极值方法尚有不足之处，但已接近今天之形式，他已经看到了求切线和求极值有相同的数学结构.可以认为，在微分学的先驱工作中，费马是比较成熟的一个，无论是求切线还是求极值，他的方法在当时的影响都比较大.2.3微积分系统理论探索的前夜这里将要介绍的是帕斯卡、沃里斯和巴罗等人的工作，他们的工作对牛顿和莱布尼茨的微积分的产生有着直接的关系，如过把卡瓦列利和费马等人看作微积分先驱的杰出代表，则这几个人的工作是向牛顿和莱布尼茨微积分的过渡.2.3.1帕斯卡等的无穷小方法布莱斯·帕斯卡(Pascal Blaise,1623-1662)的一生，虽然只有39岁，而他的一段黄金时期(30-35岁)又专门研究神学，但是他在数学上的成就却很大.他是世界上第一架计算机的设计者，是概率论和射影几何的奠基人之一，提出了西方数学史所谓的“帕斯卡三角形”，他也是一位哲学家，并很有写作才能.他同罗伯瓦尔和费马一起，被称为当时法国数学界的三巨头.帕斯卡在积分学方面做的工作，是以他名字命名的三角形有 图5-7 帕斯卡一定关系.因为用这个三角形可以比较容易地求出自然数幂的二项式的展开式，不过帕斯卡是用文字表述的.他凭借这个结果并引入无穷小概念，算出了以曲线n x y =为一边的曲边梯形的面积.他把无穷小概念也应用于微分学，在他的《四分之一圆的正弦论》(1659)这部著作中，有一幅被称之为“微分三角形”的图形（图5-8）.他说，当区间(即图中的RR=EK)很小时，则“弧可以代替切线”.通过“微分三角形”说明可以用直线代替，并进一步作出切线.把无穷小概念引入数学，是微积分发展史上的重要事件.以无穷小作基础才能把曲线看成直线.有人认为，如果帕斯卡能在无穷小的基础上寄兴趣于算术的考虑并致力于切线的求法，那么他就有可能比牛顿和莱布尼茨更早地击中微积 图 5-8分的要害.事实上，帕斯卡的工作对莱布尼茨的微积分产生了直接的影响. 2.3.2沃里斯的算术化英国的沃里斯(J.Wallis,1616-1703)是一位牧师的儿子，受过良好的古典教育.在剑桥大学学习期间专攻神学，以后对数学感兴趣.从1649年B AR I D KR E E C起任牛津大学的“沙维教授”，是17世纪时的英国仅次于牛顿的著名数学家.在微积分的先驱者中，沃斯里的算术化工作很有意义，可以说，没有算术化就没有牛顿的微积分.沃里斯接受了韦达、笛卡儿和费马等前辈们的思想——应用代数研究几何问题，他试图使算术完全脱离几何表示.另外在求积问题上，他 图5-9 沃里斯接受卡瓦列利的不可分元思想和流行的略去无穷小方法，并且应用尚不精确的无穷大和无穷小概念.他在数学史上第一次用符号∞表示无穷大，用∞1表示无穷小或零量，并把它们和有限数同样看待，一起参加运算.沃里斯在他的重要著作《无穷算术》(1655)一书中用算术方法得到如下的定理：“若有一无穷数列，从0开始按任意指数不断增加，那么，这些数之和与各数均等于其最大数的同样数目之和的比值为该指数+11.”用今天的符号表示就是⎰+=1011n dx x n （n 是整数或分数），这表明卡瓦列利和帕斯卡等所确定的关系⎰++=a n n a n dx x 0111 （n 为正整数），当n 为分数时仍然成立. 2.3.3巴罗的求切线和求积的互逆性 英国的伊萨克·巴罗(Isaac Barrow,1630-1677)是微积分发展史上最重要的人物之一，他本人也是神学家，精通希腊文和阿拉伯文，所以对希腊古典著作很有造诣；曾任剑桥大学教授、副校长，是牛顿的老师，1669年即牛顿26岁的那年，他主动宣布牛顿的学识已超过自己，并把“卢卡斯教授”职位让给牛顿，成了数学史上的佳话.他的主要著作是《光学和几何讲义》.巴罗的数学观基本上与希腊人相同，认为只有几何才是数学，而代数他认为不应该看成数学，应包括到逻辑中去.尽管他偏爱几何，但对 图5-10 巴罗 即将临产的微积分也有深刻的理解.巴罗曾设想曲线是由所谓的“线元”构成的，而线则是线元之延长，这是不可分元的不同说法，不过巴罗最有意义的贡献是把“求切线”和“求积”作为互逆问题联系起来.比如，他的《几何讲义》第十讲的命题十一和第十一讲的命题十九，用今天的符号表示分别是：（1）如果⎰=xzdx y 0，则zdx dy = （2）如果zdx dy =，则⎰=xy zdx 0 （设x=0时y=0）巴罗还采用帕斯卡二十年代提出而沃里斯正在使用的“微分三角形”思想来求曲线的切线.微分三角形是指由自变量增量x ∆和函数增量y ∆为直角边所构成的直角三角形.他第一个认识到xy ∆∆对于决定切线有重大意义，于是将微分三角形和费马的方法结合起来，从而得到比费马更优越的方法.实际上，巴罗已经接触到了微分的本质，因为x y ∆∆可以用来决定导数. 微积分的先驱们的工作，以费马和巴罗为标志而结束，由于历史的局限性，上述数学家关注的是具体几何特有的解答方法，而未注意大量成果的优越性、创造性和普遍性能够提炼成新的统一的方法构成一门新的学科，也就是需要创立具有普遍意义的抽象概念、具有一般符号和一整套解析形式与规则的可以应用的微积分学.牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出。
导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
编辑本段导数（derivative function）定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域N(x0,δ)内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(设x0+△x∈N(x0,δ))，函数y=f(x)相应的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0).如果当△x→0时，函数的增量△y与自变量的增量△x之比的极限lim △y/△x=lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x存在，则称这个极限值为f(x)在x0处的导数或变化率.通常可以记为f'(x0)或f'(x)|x=x0.函数的可导性与导函数一般地，假设一元函数 y=f(x )在点x0的某个邻域N(x0，δ)内有定义，当自变量取的增量Δx=x-x0时，函数相应增量为△y=f(x0+△x)-f(x0)，若函数增量△y与自变量增量△x之比当△x→0时的极限存在且有限，就说函数f(x)在x0点可导，并将这个极限称之为f在x0点的导数或变化率.“点动成线”：若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数.导数的几何意义函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0[x导数的几何意义0，f（x0）] 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）.2.导数为零的点不一定是极值点。
当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。
但导数为零。
（导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=x^3中f‘(0)=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。
积分发展史简述积分的思想从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287-前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。
他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形，圆的面积就是无穷多的三角形面积之和。
意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的……这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。
微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。
微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。
其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。
前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在 17 世纪下半叶各自独立创立了微积分。
始创微积分17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。
微积分思想，最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。
1665年牛顿创始了微积分，莱布尼兹在1673-1676年间也发表了微积分思想的论著。
以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别加以研究的。
卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。
目录摘要 (II)关键词 (II)Abstract (II)Key words (II)0 引言 (1)1 高中导数部分内容概述 (1)1.1高中导数部分知识框图 (1)1.2 导数在高中教学中的地位和作用 (2)2 微积分发展简史 (2)2.1 微积分的酝酿及其主要数学思想 (2)2.2 微积分的创立及其重要意义 (3)3 微积分的发展史与高中导数部分的教学 (3)3.1 微积分的发展史对高中导数概念的教学启示 (4)3.2 积分的发展史对导数实际应用的教学启示 (5)4 基于微积分发展史的“导数概念”教学路线设计 (6)5 结束语 (6)参考文献 (7)微积分的发展史对高中导数部分的教学启示摘要:微积分是高中知识与大学数学知识的衔接点，因其较为抽象，学生往往感到学起来有困难. 本文通过对高中导数部分知识框图的构建和导数知识的地位和作用分析，结合对微积分发展史的梳理，挖掘其中蕴含的数学思想方法，以获得对高中导数部分的教学启示.关键词:数学史；微积分；导数教学The academic enlightenment about the developmental history of the calculus for the part of derivative in high schoolAbstract: Calculus is a connective point between the knowledge of math in high school and the math in the college, which is also thought that it is difficult for college students to learn. The reason is that it is abstract. So my paper analyzes the structure of knowledge frame about derivative in senior high school and the status and function of derivative, combining with the integration about the developmental history of the calculus, excavating the implicit method of thought about math, and then attaining the academic enlightenment for the part of derivative in high school.Key words: History of mathematics；Calculus；Derivative in high school0 引言《高中数学课程标准》颁布后，微积分的初步知识在高中数学教材内容重点地位进一步得到确立，而且微积分的发展史也被列入了高中数学选修系列（数学史选讲部分）.这样的目的是让学生在学习微积分的简单运算的同时，了解微积分理论的起源、创立、发展以及应用等. 教材编写的意图和目的虽然明确，可是在教学过程中，教师却往往忽略微积分发展史的教学，只是将一些类似于计算方法的内容教予学生，究其原因大致有两个方面：（1）高考不考，所以老师不教；（2）部分省区没有将数学史选讲纳入选修内容. 其结果是，学生不了解微积分知识产生的历史背景，并未真正明白学习微积分的意义和价值，再加上微积分的计算过程较繁琐、规则较多，从而导致学生对微积分知识的学习热情度不高，积极性不高，学习效果差强人意.本文将从导数的本质、导数在高中教学中的地位和作用这两个方面谈起，从而引出微积分的发展简史、微积分的主要数学思想以及重要意义，并通过分析，从中得出对高中导数部分教学的启示，并在此基础上展开基于微积分发展史的高中导数部分的教学设计与实践.1 高中导数部分内容概述1.1高中导数部分知识框图在高中数学教材中，教材先是由平均变化率和瞬时变化率来引出导数概念，然后根据导数概念来学习导数的相关计算以及研究导数与函数的关系. 下图是“导数及其应用”知识结构框图：1.2 导数在高中教学中的地位和作用微积分的创立在数学史上被誉为“人类精神的最高胜利”[1]. 导数概念是微积分知识的基本概念之一，而且也是最重要的一个. 对于研究函数的增减性，或者是物体变化的快慢，又或者是一些最值问题，导数都是解决这些问题的最有效、最直接，也是最常见的工具. 与此同时，它也是解决增长率、运动速度等问题的最有效工具[1].因此，学好导数概念及其相关知识，有利于理解公式的推导，有利于画出复杂函数图像[2]，同时也是让学生掌握了解决变量问题的基本工具. 这也是高中课程开设该内容的核心价值所在. 由于微积分的知识在很多学科领域都有着非常广泛的应用，所以在高中开设以导数概念为核心的微积分内容，其目的有二：一方面是为将来学生进入大学学习高等数学做准备，另一方面是为学习高中乃至大学的物理、化学、工程、经济等等学科做准备.除上述之外，在高中开设导数内容的教学，也是为了满足大众的需求. 因为相对于学生之前所学的内容，该内容能激发学生的好奇心，从而有了一种学习该内容的趋向，并且在学习的同时，他们会思考“导数到底是什么，学习它到底有什么作用，它又是如何出现的，它与微积分之间又含有怎样的关系”等等这一系列的问题.对于导数这一内容的教学，最重要的还是学生能够通过导数的学习，领悟到其中的思想和方法. 因为理解导数概念的实质，把握其生成以及反映的思想与方法，是为接下来微积分的学习打下基础. 所以开设导数内容教学是重中之重. 因此，学生通过学习，从中学到与其它数学思想方法完全不一样的思想方法，如逼近的思想方法. 这有助于学生思维能力的发展. 除此之外，导数的问题其实就是变化率的问题. 而在我们的生活中，变化率的问题普遍存在. 换个说法，就是导数这一内容以及与它相关的内容，在我们的生活中，已经被广泛应用. 因此在教学中，教师可以运用生活实例让学生知道该内容的价值，从而激发学生学习该内容的兴趣，促进学生数学素养的提高.2 微积分发展简史2.1 微积分的酝酿及其主要数学思想微积分思想的萌芽，甚至可以追溯到古希腊数学家和中国古代数学家们的工作. 例如古希腊数学家欧多克索斯应用极限思想计算圆面积，而相应的方法就是“穷竭法”.在这之后，阿基米德又巧妙地用“穷竭法”求弓形面积和球的体积[3]. 西方的这些思想与我国古代数学家们的思想不谋而合，中国古代庄子的“一尺之锤，日取其半，万世不竭”中已蕴含无穷小的思想[3]；魏晋时期刘徽的“割圆术”与南北朝时期的“祖暅原理”都有着积分学的思想[3].在微积分正式创立前的半个世纪中，很多数学家为微积分的诞生做出努力，这一时期在数学史上称之为微积分诞生的酝酿时期.1608年，里帕席发明了望远镜，而该发明需要确定透镜曲面上的任意一点的法线以及求曲线的切线[3]. 1615年，开普勒用自己创立的新方法来求旋转体体积；到了1619年，他确定了三大运动定律，在这三大定律中，近日点和远日点的确立都涉及到了求最值的问题. 1635年意大利数学家卡瓦列里建立“卡瓦列里原理”，并用它算出来很多立体图形的体积；除此之外，他还于1639年建立了与积分110+=+⎰n a dx x n a n等价的结果[4]. 1637年笛卡儿利用笛卡儿圆法求切线，虽然这对早期的微积分发展有很大的影响，但它在确定重根时还是会有极其复杂的代数运算[4]. 同年，费马也提出了极大值与极小值的代数方法. 1638年，伽利略提出发射角为45︒时，炮弹的射程达到最大[4]；然而最大射程的问题，其实也涉及到了最值的问题. 到了1655年，沃利斯利用分析方法获得了卡瓦列里的幂函数积分公式[4]；除此之外，还通过计算得到了四分之一单位圆的面积. 而牛顿发现二项式定理其实也是由沃利斯的工作所引导的. 1669年巴罗给出了利用“微分三角形”求曲线切线.从以上数学史实不难看出表明，在微积分发展初期，微积分的基本问题主要有：（1）非匀速运动物体的速度与加速度是瞬时变化率问题；（2）求任意曲线的切线问题；（3）函数极大值、极小值问题；而积分学的基本问题则是求不规则图形的面积、体积，任意曲线的长度，物体的重心和引力计算等.2.2 微积分的创立及其重要意义微积分理论体系的真正建立，主要归功于数学家牛顿和莱布尼茨. 据牛顿自述，牛顿在1665年建立了“正流数术”，在1666年建立了“反流数术”，同年10月还将其成果整理成《流数简论》. 虽然当时是未正式发表的成果，但仍被传阅，可称为史上第一篇系统的微积分文献，并且牛顿在该文献中利用逆运算求面积，进而建立“微积分的基本定理”. 对于微积分，牛顿利用微积分很好地建立了经典力学的完整体系，这是物理学史上第一次大的综合[3].莱布尼茨则是从几何问题的角度去思考并创立微积分的. 他先是研究特征三角形，然后发表数学史上第一篇微分论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，并且设计了一套至今仍被人们所用的符号，建立了微积分法则. 为了纪念他们二人，人们后来将微积分的基本定理称为“牛顿—莱布尼茨公式”[3].到了18世纪，泰勒建立了“泰勒公式”. 但相对于泰勒，贡献更大的应属欧拉. 他发表的《微分学》、《积分学》是微分史著作中的里程碑. 除此之外，他还引入了一批至今都还在被人们所用的符号.微积分严密的逻辑理论更加显示了它在数学领域中的地位. 微积分先是促进工业大革命，进而有了大工业生产，才有了如今现代化社会. 除了数学外，生物学、地理学等都与微积分有联系.3 微积分的发展史与高中导数部分的教学对于高中数学来说，死记硬背公式已不再是首选之法了. 高中数学内容多，思维活，解题紧密，特别是导数部分. 刚开始的导数教学，由于学生在之前所学习的过程中，未能真正区分“平均”与“瞬时”二字的含义，导致对后来的学习感到一头雾水，难以接受. 因此在进行导数教学时，教师应当将数学家们的思想有意地贯穿到教学中去，让学生通过感受到该思想的真谛，进而有效地学习导数的相关知识，并在学习的过程中，培养自己良好的数学思维.在教材中设置导数这一内容，目的就是让学生通过对导数的学习，体会并领悟到其中的思想，并将其思想较好地运用到生活中，通过解决生活中所遇到的问题，从而培养个人良好的思维模式，让学生理解、明白学习该内容的意义.3.1 微积分的发展史对高中导数概念的教学启示首先，从内容上说. 在以往的教材中，都是先介绍极限概念，才引出导数概念. 自从教材改版后，课本上就不再介绍极限概念. 虽然极限是导数的前提，但是凭中学生的思维能力，还是难以接受极限这一内容的. 而教材中给出的导数定义的另一等价名词是瞬时变化率，而瞬时变化率又是在学生学习并解决了变化率问题后才引出的. 因此，这节课首先要解决的就是教材开篇所给出的引入，即变化率问题.其次，从教法上说. 一是教师要在教上抓住导数概念的本质. 要让学生在解决变化率问题的同时，能够观察出解题步骤的特点，从而归纳出平均变化率的概念，并在得出平均变化率的基础上，通过分段计算，来观察出平均速度的变化趋势，进而学习瞬时变化率，即导数概念. 在这一系列的过程中，一定要让学生真正的参与到教学过程中来，这样才能让学生由自己的体验来感受变化率，认识到导数的本质就是变化率. 二是要做好教学设计. 虽然教师都知道要从旧知引入新知，但过分的复习旧知往往会带来反效果. 在研究的过程中，教师一定要时刻提醒学生用因变量的增量与自变量的增量做商，最终这个商趋于一个定值时，我们就称之为导数. 除此之外，学生在参与到这一研究过程中时，其实也就相当于学习了牛顿在建立微积分前，所打下的基础.因此，导数的前提是变化率，这是教师在教学过程中必须首先明确的问题. 教师可以通过设计一些“问题串”来启发学生思考，使之达到逐步揭示导数概念本质的效果.具体内容如下：同学们觉得应该怎样给导数下定义？在给导数下定义之前，我们学了哪些内容？（变化率的问题）内容的共同点是什么？（都与速度的变化有关）学习了这些内容后，我们发现了什么样的规律？（算出的结果越来越相近）把这些规律总结起来，我们发现，它可以用一个什么样的式子来代替？（yx∆∆）这个式子跟我们之前所学的什么式子相似？它有什么样的含义？（与平均变化率相似，但由于趋于同一个数，所以应是瞬时变化率）通过上述的“问题串”，使得学生逐步意识到：导数的前提是变化率，其次才是从平均变化率到瞬时变化率. 这样设计“问题串”，不仅能够让学生真正的意识到导数的本质，还能促进学生发展良好的数学思维品质. 这也符合了当今的教学设计的三维目标.通过教学实践，我们发现，学生在学习导数概念这一内容时，由于在之前所学的内容中，计算量都较大且较为繁琐，因此学生在计算过程中，对这些计算过程的共同之处还是有些模糊，从而造成认不清导数本质，进而觉得导数其实就是课本所给出的那一个公式，因此学生会认为学好导数就是背好公式. 但由于公式过长，时间久了就会忘记，所以学生就会以此来认为导数难学. 但是这里需强调的是，如果教师设计好了教学过程，在教学设计中突出导数概念的本质，那么学生可能就会因为认识到了导数概念的本质，从而认为学习导数概念的容易性，进而提高学生学习导数内容的兴趣.3.2 积分的发展史对导数实际应用的教学启示通过学习微积分发展史，我们知道，最初发展微积分，是为了解决四个基本问题，这些问题在之前已经叙述过. 而导数又是微积分内容的核心之一. 因此，学好导数，就能解决我们生活中的一些优化问题. 例如求某公司的最大利润，某产品的最优规格设计等. 但为了能够很好的解决这些问题，前提是要明白导数与函数的关系. 解决优化问题的过程，其实就与微积分发展的酝酿过程有些相似，例如数学家们的求极值的方法.除此之外，学习导数其实就是在给定积分铺路. 课本的引入是“求曲边梯形的面积”，求解的步骤则为分割、近似代替、求和、取极限四步. 由于该过程较为繁琐，所以如果一开始就给学生讲解该内容，学生可能会在视觉和听觉上产生疲劳的现象. 因此在讲解该内容时，教师可以通过与该思想相符、同学们熟悉，且容易接受的例子来进行引入.如先介绍开普勒求旋转体体积的要旨，进而讲解开普勒是如何通过将球体分成无数个小圆锥，并通过“微元法”求和，求得球体体积.具体思路如下：32球球圆锥圆锥球34431即为球体的表面积3131即)径为圆锥的高，即球的半为圆锥的底面积，其中(31R R R V S S R SR V R S SR V V V ππ==∴====∑∑∑∑ 以上步骤可如图所示：这么做无疑就是让学生学会分割与求和，进而很好地学习定积分的相关概念，以及RR后边所学的实际应用，其中包括物理学中的速度问题与做功问题. 在学习完本章后，可以通过总结微积分在生活中的应用，引导学生了解数学家们发现研究微积分的最初目的.4 基于微积分发展史的“导数概念”教学路线设计在导数概念这一内容的教学当中，大部分学生都不能真正的意识到导数概念的本质是什么. 那么如何让学生明白并理解导数概念呢？明白的关键就在于通过例题的引入，让学生能够通过实例真正体验到变化率. 在此，可以借助函数图像来让学生明白变化率的几何含义. 基于以上分析，设计如下的导数概念的教学路线：（1）从气球膨胀率与高台跳水问题出发，探究平均变化率的概念由于每个学生都有吹气球的经历，并且都知道在吹的过程中，气球的半径会越来越大，因此学生就能体会到气球膨胀的过程其实就是一个变化的过程. 而高台跳水问题相对于气球膨胀来说，熟悉它的学生可能不多，但因为学生在学习高中物理时已经有所接触，因此对于学生来说，还是能够体会到速度的变化的. 在以上的两个问题中，不同时间下的速度是不同的，变化的程度其实就是变化率. 这样有利于学生更好的理解平均变化率这一概念.（2）利用函数图像，突出平均变化率的意义由于学生在很早之前就已经接触过函数图像，所以利用函数图像表示平均变化率，是学生极其容易接受的. 这与莱布尼茨在创立微积分的思想也很相似. 因此学生在学习几何意义时，也就相当于重走了一次莱布尼茨创建微积分之前时的基础.（3）通过瞬时速度，学习导数概念在告知学生瞬时速度这一概念后，让学生通过分段计算，体验逼近思想，最终通过结果观察其规律，总结出瞬时变化率这一概念，即导数概念.5 结束语学习数学史，其实目的就在于让我们明白：如今我们所看到的、学到的数学知识，在曾经发展的历史过程中，数学家们是如何发现问题和解决问题的，他们的思路是怎样的. 中学阶段所学的微积分，对于中学生来说，更为重要的是其数学思想方法. 所以教师在教学过程中应更多的教给学生思想方法，而不是一昧的填鸭式教学，应是引导式的教学，要让学生学会思考. 所以在教学中穿插数学史，不仅能够让学生获得一些课外知识，还能让学生在学习感到疲惫时得到放松，并在放松的同时还能收获数学思想方法等.参考文献：[1]史宁中等.中学概率与微积分研究[M].高等教育出版社,2010.[2]周皎.数学史应用于中学微积分教学研究[D].西北大学,2014.[3]易南轩,王芝平.多元视角下的数学文化[M].科学出版社,2007.[4]李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社,2000.[5]罗敏娜.基于数学史背景的微积分教学[J].沈阳师范大学学报,2011,29(04):578-580.[6]张楚廷.数学文化[M].高等教育出版社,2000.[7]陈洁.浅析微积分发展史在教学中的运用[J].考试周刊,2014,(64):48.[8]高尧来.数学史知识融入微积分教学的探索[J].高等函授学报,2006,20(3):19-22.[9]李金香.微积分的形成史之我见[J].天津职业院校联合学报,2011,13(02):125-127.[10]黎琼.微积分发展史[J].科教导刊,2011,06(上):255-256.[11]王洪岩.高中生导数概念的教学研究[D].河北师范大学,2014.[12]普通高中课程标准实验教科书[M].人民教育出版社.2007.[13]胡典顺.新课程中的微积分及其教育价值[J].数学教育学报,2010,19(01):13-16.[14]张妮.中学微积分课程教学研究[D].辽宁师范大学,2007.[15]罗迪凡,王恒太,张敏.为什么要学习微积分史[J].课程教育研究,2013,09:129.[16]张若男,韩利娜.微积分发展史在数学教学中的运用[J].现代企业教育,2012,12:156.[17]吴卉芬.中学数学史的概述[D].海南师范大学,2014,05.[18]段君丽.学点数学史教好微积分[J].长春教育学院学报,2008,24(3):44-45.。
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。
比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。
”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。
为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。
他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。
牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。
论数学史上的三次危机提到数学，我有一种感觉，数学是自然中最基础的学科，它是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。
就人类发展史而言，数学在其中起的作用是巨大的，难怪有人说数学是人类科学中最美的科学。
但在数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。
人类数学史上出现过三次“危机”，这实际上是数学发展中三次伟大的突破，都是人们认识领域中的变革性发展，都是人们头脑中数学认识结构的转换。
第一次数学危机使数系扩展了，万物皆数的整数算术观念被动摇了，世界上竟存在着不能用整数表示的、不可通约的非比实数，被认为是“异物”的东西，成了新体系中合理的“存在物”。
第二次数学危机是方法论的领域扩大了，确立了一种崭新的“分析方法”。
“分析”的结果与“运算”或“证明”的结果有着同等程度的确定性。
第二次数学危机先后沿续一百多年，无非是为“分析”结果的确定性寻找基础，寻求证明和建立“分析”的步骤程序。
这在数学发展史上被称之为“分析中注入严密性”。
第三次数学危机是人的认知领域扩展到无穷，扩大了人们的思维方式，通过对一系列悖论的研究，确立了关于无穷运算的规则。
人类对数的认识经历了一个不断深化的过程，在这一过程中数的概念进行了多次扩充与发展。
其中无理数的引入在数学上更具有特别重要的意义，它在西方数学史上曾导致了一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。
大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。
这四个问题是：1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。
第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。
微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。
开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。
1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。
这个比较接近于微积分基本定理。
牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。
可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。
微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。
牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。
一、微分和导数的关系是什么？在初学微分和导数时，虽然感觉概念不复杂，但是我对两者的关系有点模糊，比如以下问题就觉得模棱两可：•对于导数链式法则，dydx=dydududx dydx=dydududx，可以理解为约去du du，所以等式相等。
但假如有F(x,y)，dydx=−∂F/∂x∂F/∂y F(x,y)，dydx=−∂F/∂x∂F/∂y，通过消去∂F∂F，我们是否可以推出dydx=−dydx dydx=−dydx？•∫badydx dx⟹∫ba dy⟹y|ba∫abdydxdx⟹∫abdy⟹y|ab，这里实实在在地消去了dx dx。
•d(uv)=(u+du)(v+dv)−uv=udv+vdu+dudv d(uv)=(u+du)(v+dv)−uv=udv+vdu+dudv，然后说dudv dudv太小了，所以忽略掉，得到微分的乘法法则：d(uv)=udv+vdu d(uv)= udv+vdu，难道udv udv和vdu vdu 不小？我当时脑子一片混乱，到底dx dx、du du、dv dv是什么东西？为什么有的地方可以消去，有的地方不可以消去？其实在各个历史时期，导数和微分的定义是不一样的，要想解答上面的疑问，还得从微积分的发展历史中寻找答案。
我尝试讲一下微积分发展的历史和数学思想，主要针对y=f(x)y=f(x)这样的一元函数。
二、1. 古典微积分牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分，下面我采用莱布尼兹的微积分符号进行说明（要了解各种微积分符号，可以参看维基百科。
1.1 为什么会出现导数？导数不是牛顿和莱布尼兹发明的，他们之前的数学家已经对曲线的切线进行了研究。
在解决曲面（一维函数是曲线，即一维曲面）下面积时，牛顿和莱布尼兹确定了导数的定义。
在微积分出现之前，曲线下的面积是一个很复杂的问题，微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成无数个矩形面积之和。
直觉告诉我们，如果n n越大，则这个近似越准确：这时，无穷小量dx dx（ΔxΔx是把曲线底分成n份的间隔长度）出现了。
