北京大学2014年高等代数与解析几何试题及解答

高代与解几第二章自测题（一）——行列式

一、 判断题

1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）

2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）

3. 2n时，n级的奇排列共2! n个. （ √ ）

二、填空题

1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13nnn的逆序数是 n(n－1) .

2. 设行列式ijnnDa,则nnAaAaAa1112121111...= D ，nnAaAaAa5152125111...= 0 .

3. 行列式D＝xxxxxx2213321232321的展开式中4x的系数是 -4 ，常数项是 -18 .

4. 排列821jjj的逆序数是9，则排列 178jjj 的逆序数是 19 .

5. 设82718491423123267D，则14131211MMMM= 240 .

二、证明题

3.

nnDn200012000302202002210002（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）

4.

nDn222232222222221（提示：爪型行列式） 高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组

一、 判断题

1. 如果矩阵A有r阶子式大于零,那么rArank)(.（ ×）

2. 如果矩阵A没有非零子式，那么0)(Arank.（√ ）

3. 如果矩阵A的r阶子式都等于零,那么rArank)(.（ √）

4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）

5. 若n元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n.（√ ）

三、填空题

1. 54矩阵A的秩为2， 则A的标准形为___00000000000001000001____________.

1

华中师范大学 2006–2007 学年第一学期

期末考试试卷（A卷）参考答案

课程名称 高等代数与解析几何(三) 编号 83410005 任课教师 樊、朱、刘

题型 填空题 判断题 计算题 证明题 总分

分值

15 15 50 20

100

得分

得分 评阅人

一、填空题：（共5题，每题3分，共15分）

1、一个向量构成的向量组线性无关当且仅当 0 .

2、矩阵300130013的初等因子组为3)3(.

3、设A 为向量空间V到U的线性映射，则))dim(Im())(Kerdim(AA = dim(V) .

4、设AE的初等因子组为22)1(,1,,，则AE的不变因子组是

22)1(),1(,1,1,1,1.

5、设A是复矩阵，如果A满足 AAAA'' , 则称A是正规矩阵 .

得分 评阅人 二、判断题： （共5题， 每题3分， 共15分，对的请打“ √ ” ，错的请打 ””）

1、设)(A是n阶—矩阵，则)(A可逆当且仅当)(A是有限个初等—矩阵的乘积。（√ ） 院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号：

------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 2

2、正交变换的积还是正交变换. （ √ ）

1． 在直角坐标系中，求直线





1202

:

zyxzyx

l

到平面03:zByx

的正交投影轨

迹的方程。

其中B是常数

2． 在直角坐标系中对于参数

的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：

0222

xyyx

.

对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；

对于线心型曲线，写出对称直线的方程。

3． 设数域K

上的n

级矩阵A

的),(ji

元为

jiba

（1）.

求A

;

(2).当2n

时，

2121,bbaa

.求齐次线性方程组0AX

的解空间的维数和一

个基。

4．（1）设数域K

上n

级矩阵，对任意正整数m

，求m

C

（2）用)(KM

n表示数域K

上所有n

级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法

成为K

上的线性空间。数域K

上n

级矩阵

1432121321

aaaaaaaaaaaa

Annn







称为循环矩阵。

用U

表示K

上所有n

级循环矩阵组成的集合。

证明：U

是)(KM

n的一个子空间，并求U

的一个基和维数。

5．（1）设实数域R

上n

级矩阵H

的),(ji元为

11

ji（1n

）。在实数域上n

维线性空

间n

R

中，对于n

R,

，令Hf),(

。试问：f

是不是n

R

上的一个内积，写出理由。

（2）设A

是n

级正定矩阵（1n

）n

R

，且

是非零列向量。令AB

，求B

的最大特征值以及B

的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基

6．设A

是数域R

上n

维线性空间V

上的一个线性变换，用I

表示V

上的恒等变换，证明：

nrankrank)()(23

AAIAIIA 2006年北京大学研究生考试高等代数与解析几何试题

本试卷满分150分 考试时间 3小时 日期：2006年1月15日下午

高等代数部分（100分）

1.(16分)

(1) 设,AB

分别是数域K

上,snsm××

矩阵，叙述矩阵方程AXB=

有解的充要条件，

并且给予证明。

(2) 设A

是数域K

上sn×

列满秩矩阵，试问：方程

习题

习题设A是一个"阶下三角矩阵。证明：

（1） 如果A的对角线元素吗H勺（门=1,2,…/）,则A必可对角化；

（2） 如果A的对角线元素all=a22=-=all„f且A不是对角阵，则A不 可对角化。

证明：（1）因为A是一个〃阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为 I 2E - A

1= （2 - ! ）（2 - «22） ■ • （2 - 6/wj）,又因心工勺（/, j = 1,2, •••,/?）,所以人有" 个不同的特征值，即4有"个线性无关的特征向量，以这〃个线性无关的 特征向量为列构成一个可逆阵P,则有厂虫卩为对角阵，故A必可对角化。

（2）假设A可对角化，即存在对角阵〃= 人. ，使得A与B

相似，进而A与3有相同的特征值人,人,…人。又因为矩阵A的特征多项式 为 I

xtf —A1=（几 _°］］）“ ， 所 以 = ■ ■ ■ = Alt = , 从 |（［J

/ 、

如

B= 如 =如丘，于是对于任意非退化矩阵x ,都有

、 % >

X"BX =X%EX =gE = B,而A不是对角阵，必有厂曲=3",与假 设矛盾，所以A不可对角化。

习题设“维线性空间V的线性变换”有$个不同的特征值入，易，…,入，

匕是人的特征子空间（心1,2,…,s）。证明：

（1） 叫+岭+…+匕是直和； （2） a可对角化的充要条件是V = %㊉匕㊉…㊉匕。 证明：(1)取岭+£+・•・ +匕的零向量0，写成分解式有

ax +a2 + -- + ax =0,其中 q e V； J = 1,2,…,s。现用 6b[…,b

分别作用分解式两边，可得

印+色+…+ % = 0

人 © + + ・・• + Asas = 0

常匕+石么+・・・+町匕=0

写成矩阵形式为

‘1人

( 、1

(4S，…心):

J人

f 1

由于人,人,…，人是互不相同的，所以矩阵3= 1

零，即矩阵B是可逆的，进而有

(卬，色,aJBB" = (0,0,…,0)B" = (0,0,…,0), (a「勺，…)=(0,0,…,0)。