2020届广东省茂名市高三第二次综合测试数学(理)试题解析
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1 绝密★启用前
2020年茂名市高三级第二次综合测试数学试卷(理科）
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
第一部分选择题(共60分）
1.若()2,,xiiyixyR，则复数yix的虚部为（）
A.2B.1C.iD.-1
2．已知集合UR,2lg(4)Axyx，21xxB，则AB（）
A．(2,2)B．(2,1)C．[2,2]D．[2,2)
3.已知π1sin62，且π0,2则πcos3（）
A.0 B.12C.1 D.32
4.下列命题错误的是（）
A．“x＝2”是“x2−4x+4＝0”的充要条件
B．命题“若14m，则方程x2+x−m＝0有实根”的逆命题为真命题
C．在△ABC中，若“A＞B”，则“sinA＞sinB”
D．命题p：“x0∈R，x02−2x0+4＞0”，则﹁p：“x∈R，x2−2x+4＜0”
5.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（）
A.51 B.256C.257 D.258
6.“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个
算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出
的，因而又叫欧几里得算法.如图所示一个当型循环
结构的“辗转相除法”程序框图.当输入m=1995，
n=228，输出的m是()
A.3B.19C.57D.114
7.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的21（细管长度忽略不计）.当细沙全部漏入下部 2 后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（）
A.45B.85C.317D.417
8.设偶函数()fx满足1()()2(0)2xfxx，则使不等式914fx成立的x取值范围是（）
A.(,1)(3,)B.(1,3)C.(0,2)D.(,0)(2,)
9.圆M:224xmy与双曲线C:22221xyab（0a，0b）的两条渐近线相切于A、B两点，若32AB，则C的离心率为（）
A.332B.3C.2D.3
10.某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下：
(1)若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠；
(2)若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠；
(3)若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠．
某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元；
方案二：一次性付款购买.
若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（）元
A.540B.620C.640D.800
11.已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，2PAAB.则下列命题中正确的有()．
①平面PAB⊥平面PAE；
②PB⊥AD；
③直线CD与PF所成角的余弦值为55；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°;
⑤CD∥平面PAE.
A.①④B.①③④C.②③⑤D.①②④⑤
12.若关于x的方程1123042xxmmm在,1上有唯一实数解，则实数m的取值范围（） 3 43]320.A或，（]320.B，（41]920.C或，（]920.D，（
第Ⅱ部分非选择题（共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量42(,)a，11(,)b，若b(akb)，则k .
14．62()xx的展开式中，常数项是 .
15.已知曲线21ln(1)2fxxx在点1,1f处的切线的倾斜角为,则22sinsincos .
16．在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且6cos(2cos),6AaCc，则ABC的a，b的等量关系式为 ，其面积的最大值为 .(本题第一空2分，第二空3分）
三.解答（本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.设*nN，数列na的前n项和为nS，已知nnnass221，且211a，正项的等差数列nb的首项为2，且321,1,bbb成等比数列.
(1) 求na和nb的通项公式；
(2) 求证：1227nbbbaaa.
18.如图，已知ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DBCE为平行四边形，F是CD的中点，
（1）证明：//OF平面ADE；
（2）若四边形DBCE为矩形，且四边形DBCE所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，22ACAB，AE与圆O所在的平面的线面角为600．求二面角D-AE-B的平面角的余弦值.
19.已知椭圆)0(1:2222babyaxC右焦点与抛物线xy342的焦点重合，以原点为圆心、椭圆短 4 半轴长为半径的圆与直线1l:2xy相切.
（1）求椭圆的方程
（2）若直线2l：02ybx与y轴交点为P，A、B是椭圆上两个动点，它们在y轴两侧,PBPA,APB的平分线与y轴重合，则直线AB是否过定点，若过定点，求这个定点坐标，若不过定点说明理由.
20.2020年初全球爆发了新冠肺炎疫情，为了防控疫情，某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品，该产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，根据已经生产的统计数据，绘制了如下的散点图.
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数byax对两个变量的关系进行拟合。参考数据（其中1iiux）：
u 2u 621uii 61iiy 621iiy 61iiiuy
0.48345252.44
0.41 0.1681 1.492 306 20858.44 173.8
50.39
（1）求y关于x的回归方程，并求y关于u的相关系数（精确到0.01）.
（2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为80元，则签订9千件订单的概率为0.7，签订10千件订单的概率为0.3；若单价定为70元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元，根据（1）的结果，要想获得更高利润，产品单价应选择80元还是70元，请说明理由.
参考公式：对于一组数据11,u，22,u，…，,nnu，其回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆniiiniiunuunu，ˆˆu，相关系数1222211niiinniiiiunurunun.
21.已知函数ln1afxxx，aR.
（1）若ea1,求证：)(xf有且只有两个零点
（2）axaxxxafxg222)()(有两个极值点1x,212()xxx,且不等式21)(mxxg恒成立，试求实数m的取值范围.
(二)选考部分：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C:2cos,3sin,xy(为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程cos()4a，点M(2,4).在直线l上，直线l与曲线C交于A，B两点.
（1）求曲线C的普通方程及直线l的参数方程；
（2）求△OAB的面积.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1|−|x−2|.
（1）若f(x)≤1，求x的取值范围；
（2）若f(x)最大值为M，且a+b+c=M，求证：a2+b2+c2≥3.
2020年茂名市高三级第二次综合测试
数学试题参考答案和评分标准(理科数学）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11
12
B D C D A C D
A A C B
A
2．因为22Axx，21Bxx，所以[2,2)AB.故选D.
3.法一：由π1sin62且π0,2，得3，
法二：由π1sin62，所以π3cos62，
所以πcos3ππcos66ππππcoscossinsin16666.故选C.
4.由 x2−4x+4＝0(x−2)2=0x−2=0x＝2，∴A正确；
命题“若14m，则方程x2+x−m＝0有实根”的逆命题为命题“若方程x2+x−m＝0有实根，则14m”，若方程x2+x−m＝0有实根△=1+4m≥014m，∴B正确；
在△ABC中，若A＞Ba＞bsinA＞sinB(根据正弦定理)∴C正确,故选D.
5.因为阳数为：1，3，5，7，9；阴数为：2，4，6，8，10，所以从阴数和阳数中各取一数的所有组合共有：2555个,满足差的绝对值为5的有:(1，6)，(3，8)，(5，10)，(7，2)，（9，4)共5个,则p=51255p故选A
