北京市石景山区2012届高三上学期期末考试数学(文)试题

北京市石景山区2011—2012学年高三第一学期期末考试

高三数学（文科）

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合4,3,2,1U，2,1A,4,2B,则)(BACU（ ）

A． }3{ B． }2{ C．}4,2,1{ D．}4,1{

2．已知复数i1i1z，则复数z的模为（ ）

A． 2 B． 2 C．1 D．0

3．设)(xf是定义在R上的奇函数，当0x时，xxxf22)(，则)1(f（ ）

4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图

为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角

边长为2，那么这个几何体的体积为（ ）

A．38 B．34

C．4 D．2

5．执行右面的框图，若输入实数2x，

则输出结果为（ ）

A．22 B．41

C．12 D．21

A．-3 B．-1 C．1 D．3

正视图

侧视图

俯视图

6.设抛物线xy82上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线准线的距离为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．12

7.以下四个命题中，真命题的个数是（ ）

①命题“若0232xx，则1x”的逆否命题为“若1x，则0232xx”；

命 ②若qp为假命题，则p、q均为假题；

③命题p：存在Rx,使得012xx，则p：任意Rx,都有012xx；④在ABC中,BA是BAsinsin的充分不必要条件.

A．1 B．2 C．3 D．4

8.对于使Mxx22成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做22xx的

上确界,若Rba、，且1ba，则122ab的上确界为（ ）

A．92 B．92 C．41 D．-4

第Ⅱ卷 非选择题

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．

9．在ABC中，若32,120,2aAc，则B ．

10．统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如下图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀．则及格人数是 ；优秀率为 ．

11．已知向量)1,3(a，)1,0(b，)3,(kc，若ba2与c垂直，则k ． MEFCDBA12．已知等差数列na的前n项和为nS，若4518aa，则8S ．

13．若实数,xy满足条件.1,2,01xyxyx则2xy的最大值为 ．

14.已知函数)1,0(log)(aabxxxfa且，当2131a且43b时，

函数)(xf的零点*0),1,(Nnnnx，则n ．

三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数xxxf2sin21cos3)(2．

（Ⅰ）求)(xf的最小正周期；

（Ⅱ）求)(xf在区间46，上的最大值和最小值．

16．（本小题满分13分）

甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：

甲 乙

1 8

6 0 0 2 4 4

2 3 0

（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；

（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和超过55分的概率．

（注：方差222212)()()(1xxxxxxnsn

其中x为1x，2x，nx的平均数）

17．（本小题满分13分）

如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，AB∥CD，2ABAD，4CD，M为CE的中点．

（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；

（Ⅱ）求证：BC平面BDE．

18．（本小题满分14分）

已知椭圆12222byax（0ba）过点M（0，2），离心率36e.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线1xy与椭圆相交于BA、两点，求AMBS.

19．（本小题满分14分）

已知.,ln)(Raxaxxf

（Ⅰ）当2a时，求曲线)(xf在点))1(,1(f处的切线方程；

（Ⅱ）若)(xf在1x处有极值，求)(xf的单调递增区间；

（Ⅲ）是否存在实数a，使()fx在区间e,0的最小值是3，若存在，求出a的值；

若不存在，说明理由.

20．（本小题满分13分）

对于给定数列{}nc，如果存在实常数,pq使得1nncpcq对于任意*nN都成立，我们称数列{}nc是 “类数列”．

（Ⅰ）若nan2，32nnb，*nN，数列{}na、{}nb是否为“类数列”？若是，指出它对应的实常数,pq，若不是，请说明理由；

（Ⅱ）证明：若数列{}na是“类数列”，则数列}{1nnaa也是“类数列”；

（Ⅲ）若数列{}na满足12a，)(23*1Nntaannn，t为常数．求数列{}na前2012项的和．并判断{}na是否为“类数列”，说明理由． 石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷

高三数学（文科）参考答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

A

C

A B D B C B

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．

注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.

三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）xxxf2sin2122cos13)(

232sin212cos23xx

23)32sin(x

……………5分

T

……………7分

（Ⅱ）因为46x，所以65320x …………9分

当232x时，即12x时，)(xf的最大值为231；………11分

当032x时，即6x时，)(xf的最小值为23. ………13分

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数

24430242418x； ……………………2分

18)2430()2424()2424()2418(4122222s. ……5分

（Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况：

（18，20）（18，20）（18，26）（18，32） 题号 9 10 11 12 13 14

答案 6 800, 20% 3 72 4 2 （24，20）（24，20）（24，26）（24，32）

（24，20）（24，20）（24，26）（24，32）

（30，20）（30，20）（30，26）（30，32） …………9分

得分和超过55分的结果有：

（24，32）（24，32）(30，26)（30，32） …………11分

求得分和超过55分的概率为41. ………13分

17．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）证明：取DE中点N，连结,MNAN．

在△EDC中，,MN分别为,ECED的中点， ………2分

所以MN∥CD，且12MNCD．

由已知AB∥CD，12ABCD，

所以MN∥AB，且MNAB．

所以四边形ABMN为平行四边形． ………4分

所以BM∥AN．

又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF，

所以BM∥平面ADEF． ………………………………6分

（Ⅱ）证明：在矩形ADEF中，EDAD．

又因为平面ADEF平面ABCD，

且平面ADEF平面ABCDAD，

所以ED平面ABCD．

所以EDBC． ………………………………9分

在直角梯形ABCD中，2ABAD，4CD，可得22BC． 在△BCD中，22,4BDBCCD，

因为222BDBCCD，所以BCBD．

因为BDDED,所以BC平面BDE．………………………13分

18．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意得36,2acb

结合222cba，解得122a

所以，椭圆的方程为141222yx. ………………5分

（Ⅱ）由1141222xyyx 得12)1(322xx ………………6分

即09642xx，经验证0.

设),(),,(2211yxByxA.

所以49,232121xxxx， ………………8分

221221221)2)()ABxxyyxx（（，

2103]4)[2AB21221xxxx（ ………………11分

因为点M到直线AB的距离222120d， ………………13分

所以4532221032121dABSAMB. ………………14分

19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由已知得)(xf的定义域为(0)，，

因为()lnfxaxx，所以'1 ()fxax