小学奥数5-3-5 分解质因数(二).专项练习及答案解析

5-3-4.分解质因数.题库 教师版 page 1 of 8

1. 能够利用短除法分解

2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”

一、质因数与分解质因数

（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.

（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：30235.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.

（4）.分解质因数的方法：短除法

例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223；

二、唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：312123kaaaaknpppp其中为质数，12kaaa为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.

例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.

三、部分特殊数的分解

111337；100171113；1111141271；1000173137；199535719；1998233337；200733223；2008222251；10101371337.

模块一、分数的拆分

【例 1】 算式“1希＋1望＋1杯＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。 例题精讲 知识点拨 教学目标

5-3-4.分解质因数

5-3-4.分解质因数.题库 教师版 page 2 of 8 【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分

【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11

【答案】11

【例 2】 3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少．

【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为1a、1b、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为abc，求和得到的分数为Fabc,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积.现在和为16611986，分母198623331，所以一定是2a，3b，331c，检验满足.所以这3个质数的和为23331336．

【答案】23331336

【例 3】 一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是713．那么原来分数的分子是多少．

【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于90113694，所以分母是加上9或者减去4．若是前者则原来分数分子为7709481，但4811337，不是质数；若是后者则原来分数分子是6974487，而487是质数．所以原来分数分子为487．

【答案】487

【例 4】 将1到9这9个数字在算式1的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?

【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有1bdcbadacacac，即有1cbad，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。符合原式的填法为3217535。

【答案】3217535

【例 5】 求满足条件1111001ab的a、b的值(a、b都是四位数)．

【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 取1001的两个不同约数x、()yxy，得到：

5-3-4.分解质因数.题库 教师版 page 3 of 8 1111001100110011001()1001()1001()()()xyxyxyxyxyxyxyxy，因为x、y都是1001的约数，所以1001x、1001y都是整数．所以只需令1001xyax（+），1001xyby（+）就可以了．而a、b都要大于1001，要保证a、b都是四位数，所以a、b的比值都要小于10，即x、y的比值小于10．而1001的两个互质且比值小于10的约数有以下几组：1,7（）、7,11（）、7,13（）、11,13（）、11,91（）、13,77（）．所以我们依次取x、y为上面所列的数对中的数，代入a、b的表达式，得到本题的答案：

8008,2574,2860,2184,9282,69301144,1638,1540,1848,1122,1170ab

【答案】8008,2574,2860,2184,9282,69301144,1638,1540,1848,1122,1170ab

【巩固】 若1112004ab，其中a、b都是四位数，且a

【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空

【解析】

2004的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有：

1121120042004(12)2004(12)60123006

1131120042004(13)2004(13)80162672

1231120042004(23)2004(23)50103340

1341120042004(34)2004(34)46763507

【答案】1121120042004(12)2004(12)60123006

1131120042004(13)2004(13)80162672

1231120042004(23)2004(23)50103340

1341120042004(34)2004(34)46763507

【例

6】

在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．

（1）11111111111102020；

（2）11110

【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空

【解析】

单位分数的拆分，主要方法是从分母N的约数中任意找出两个数m和n，有：

111()()()mnmnNNmnNmnNmnAB，

5-3-4.分解质因数.题库 教师版 page 4 of 8 从分母n的约数中任意找出两个m和n (mn)，有：

111()()()mnmnNNmnNmnNmnAB

⑴ 本题10的约数有：1，10，2，5．

例如：选1和2，有：11212111010(12)10(12)10(12)3015；

从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的m和n，它们的数值虽然不同，但是如果m和n 的比值相同，那么最后得到的A和B也是相同的．本题中，从10的约数中任取两个数， 共有24410C种，但是其中比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题共可拆分成5组．具体的解如下：

1111111111110202011110126014351530．

⑵ 10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5：

15252111010(52)10(52)10(52)615

另外的解让学生去尝试练习．

【答案】（1）1111111111110202011110126014351530

（2）11110615

【例 7】 如果1112009AB，AB，均为正整数，则B最大是多少？

【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】101中学，分班考试

【解析】 从前面的例题我们知道，要将1N按照如下规则写成11AB的形式：

111()()()mnmnNNmnNmnNmnAB，其中m和n都是N的约数。

如果要让B尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n尽可能地小而m尽可能地大，因此应当

m取最大的约数，而n应取最小的约数，因此2009m，1n，所以20092008B.

【答案】20092008B

【巩固】 1111111111145

【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 11111111111457212018304051358191545

【答案】11111111111457212018304051358191545

【例 8】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．

111111110

【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式521和连加式521．