当前位置：文档之家 › 小学奥数5-5-4 余数性质(二).专项练习及答案解析

小学奥数5-5-4 余数性质(二).专项练习及答案解析

  • 格式：doc
  • 大小：1.33 MB
  • 文档页数：6

5-5-4.余数性质（二）.题库 教师版 page of 6 1

1. 学习余数的三大定理及综合运用

2. 理解弃9法，并运用其解题

一、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2

2.余数的加法定理

a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.

当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4

3.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么na与nb除以m的余数也相同．

二、弃九法原理

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：检验算式1234189818922678967178902889923

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。 知识点拨 教学目标

5-5-4.余数性质（二）

5-5-4.余数性质（二）.题库 教师版 page of 6 2 所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

模块一、余数性质的综合运用

【例 1】 20032与22003的和除以7的余数是________．

【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】南京市，少年数学智力冬令营

【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415．

【答案】5

【巩固】 2008222008除以7的余数是多少？

【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 328除以7的余数为1，200836691，所以200836691366922(2)2＋，其除以7的余数为：669122；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008除以7的余数为：213．

【答案】3

【巩固】 30313130被13除所得的余数是多少？

【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，时5n被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1以4为周期循环出现，所以305被13除的余数与25被13除的余数相同，余12，则3031除以13的余数为12；

30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，时，4n被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6为周期循环出现，所以314被13除所得的余数等于14被13除所得的余数，即4，故3130除以13的余数为4；

所以30313130被13除所得的余数是124133．

【答案】3

【例 2】 M、N为非零自然数，且20072008MN被7整除。MN的最小值为 。

【考点】余数性质的综合运用 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】走美杯，6年级，决赛，第7题，10分

【解析】 2007除以7的余数是5，2008除以7的余数是6，所以56MN能被7整除，经试算，MN例题精讲

5-5-4.余数性质（二）.题库 教师版 page of 6 3 最小值为325

【答案】5

【例 3】 1234200512342005除以10所得的余数为多少？

【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算123420123420的个位数字，

为1476563690163656749094的个位数字，为4，

由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4100400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1476523的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．

【答案】3

【例 4】

已知n是正整数，规定!12nn，

令1!12!23!32007!2007m，则整数m除以2008的余数为多少？

【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】清华附中

【解析】 1!12!23!32007!2007m

1!212!313!412007!20081（）（）（）（）

2!1!3!2!4!3!2008!2007!

2008!1

2008能够整除2008!，所以2008!1的余数是2007．

【答案】2007

【例 5】 设n为正整数，2004nk，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值．

【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以2n被7除余数为2，被11除余数为3．由于122被7除余2，而328被7除余1，所以n除以3的余数为1；由于82256被11除余3，1021024被11除余1，所以n除以10的余数为8．可见2n是3和10的公倍数，最小为3,1030，所以n的最小值为28．

【答案】28

【例 6】 试求不大于100，且使374nn能被11整除的所有自然数n的和．

【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 通过逐次计算，可以求出3n被11除的余数，依次为：13为3，23为9，33为5，43为4，53为1，…，因而3n被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；类似地，可以求出7n被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……；于是374nn被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，……；这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，即3,4,6,13,14,16,......,93,94,96n时374nn能被11整除，所以，所有满足条件的自然数n的和为：

346131416...9394961343...2831480．

【答案】1480

【例 7】 对任意的自然数n，证明2903803464261nnnnA能被1897整除．

【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 略

【答案】18977271，7与271互质，因为29035(mod7)，8035(mod7)，4642(mod7)，

5-5-4.余数性质（二）.题库 教师版 page of 6 4 2612(mod7)，所以，290380346426155220(mod7)nnnnnnnnA，故A能被7整除．又因为2903193(mod271)，803261(mod271)，464193(mod271)，所以

29038034642611932611932610(mod271)nnnnnnnnA，故A能被271整除．因为7与271互质，所以A能被1897整除．

【例 8】 若a为自然数，证明2005194910()aa．

【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 略

【答案】1025，由于2005a与1949a的奇偶性相同，所以200519492()aa．20051949194956(1)aaaa，如果a 能被5整除，那么1949565(1)aa；如果a不能被5整除，那么a被5除的余数为1、2、3或者4，4a被5除的余数为41、42、43、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管a为多少，4a被5除的余数为1，而56414()aa，即14个4a相乘，所以56a除以5均余1，则561a能被5整除，有1949565(1)aa．所以200519495()aa．由于2与5互质，所以2005194910()aa．

合集下载

5 5 5 同余问题 教师版

5 5 5 同余问题 教师版

5 5 5 同余问题 教师版

5-5-5同余问题教师版

5-5-3.同余问题

教学目标

1.学习同余的性质2.利用整除性质判别余数

科学知识指点

同余定理

1、定义：若两个整数a、b被自然数m除存有相同的余数，那么表示a、b对于模m同余，用式子则表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫作同余式。同余式读成：a同余于b，模m。

2、重要性质及推论：

（1）若两个数a，b除以同一个数m获得的余数相同，则a，b的差一定能够被m相乘

（17?11）例如：17与11除以3的余数都是2，所以能被3整除．

（2）用式子则表示为：如果存有a≡b(modm)，那么一定存有a－b＝mk,k就是整数，即m|(a－b)3、余数辨别法

当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“n被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数r，使得：n与r对于除数m同余．由于r是一个较简单的数，所以可以通过计算r被m除的余数来求得n被m除的余数．

⑴整数n被2或5除的余数等同于n的个位数被2或5除的余数；⑵整数n被4或25除的余数等同于n的末两位数被4或25除的余数；⑶整数n被8或125除的余数等同于n的末三位数被8或125除的余数；

5-5-3.同余问题.题库教师版page1of8⑷整数n被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；

⑸整数n被11除的余数等同于n的奇数位数之和与偶数位数之和的高被11除的余数；（比较减至的话先适度提11的倍数再减至）；

⑹整数n被7，11或13除的余数等于先将整数n从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与 偶数节的数之和的高被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．

小学奥数题库《数论》余数问题同余5星题(含解析)全国通用版

小学奥数题库《数论》余数问题同余5星题(含解析)全国通用版

数论-余数问题-同余-5星题

课程目标

知识点 考试要求 具体要求 考察频率

同余 C 1、能够准确的理解同余定理。

2、能够牢固的掌握同余的一些性质和推论。

3、会应用同余的知识解决实际问题。 少考

知识提要

同余

• 定义

同余定理：若两个整数 𝑎、 𝑏 被自然数 𝑚 除有相同的余数，那么称 𝑎 、 𝑏 对于模 𝑚 同余，用式子表示为 𝑎 ≡ 𝑏 （mod 𝑚 ），这个式子叫做同余式，读作： 𝑎 同余于 𝑏 ，模 𝑚 ．

• 性质及推论

（1）若两个数 𝑎、 𝑏 除以同一个数 𝑚 得到的余数相同，则 𝑎 、 𝑏 的差一定能被 𝑚 整除。

（2）用式子表示为：如果有 𝑎 ≡ 𝑏（ mod 𝑚 ），那么一定有 𝑎 - 𝑏 = 𝑚𝑘 、 𝑘 是整数，m|（ 𝑎 - 𝑏 ）

精选例题

同余

1. 若 2017，1029 与 725 除以 𝑑 的余数均为 𝑟，那么 𝑑−𝑟 的最大值是 ．

【答案】 35

【分析】 （1）2017−1029=988，1029−725=304，因为 2017，1029 与 725 除以 𝑑

的余数均为 𝑟，所以 𝑑∣988，𝑑∣304，𝑑 是 988 和 304 的公约数． （2）988=22×13×19，304=24×19，所以 𝑑 可以是 2，4，19，38，76．

（3）经检验 2017，1029 与 725 除以 76 的余数依次为 41，41，41；2017，1029 与 725 除以 38 的余数依次为 3，3，3；（2017，1029 与 725 除以 2 的余数均为 1，2017，1029 与

725 除以 4 的余数均为 1，2017，1029 与 725 除以 19 的余数依次为 3，3，3；）

（4）𝑑−𝑟 的最大值是 35．

小学奥数5-2-5 整除与分类计数综合.专项练习及答案解析

小学奥数5-2-5 整除与分类计数综合.专项练习及答案解析

1

1. 熟练掌握整除的性质；

2. 运用整除的性质解计数问题；

3. 整除性质的综合运用求计数.

一、常见数字的整除判定方法

1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；

一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；

一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；

2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；

一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.

4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）

二、整除性质

性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，

c︱b，那么c︱(a±b)．

性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，

c∣b，那么c∣a．

用同样的方法，我们还可以得出：

性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那

么b∣a，c∣a． 知识点拨 知识框架

5-2-3.整除与分类计数综合 2 性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b

与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．

例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．

性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；

性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；

模块一、利用整除的性质分类枚举

【例 1】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？

【教师版】小学奥数5-4-5 完全平方数及应用(二).专项练习及答案解析

【教师版】小学奥数5-4-5 完全平方数及应用(二).专项练习及答案解析

5-4-5.完全平方数及应用（二）.题库 教师版

page 1 of 6

1. 学习完全平方数的性质；

2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程

3. 掌握完全平方数的综合运用。

一、完全平方数常用性质

1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。

2.性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．

性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|npN，则2|npN．

性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数．

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．

3.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。