相似三角形的数学技巧与方法

初中数学：相似三角形、全等三角形

在初中数学的学习当中，三角形占据了一定比例。

有些同学，在学到相似三角形和全等三角形时，特别迷糊，因此，在这里，就这一问题，进行小结和指导，希望能够帮助到更多的初中生同学。

全等三角形的学习，先要掌握概念，当两个三角形的形状、大小都一样时，我们对其中一个进行平移、旋转，此时，它可以与另一个完全重合，那么，这两个三角形就称之为全等三角形。

在学习中，初中生们还要明白一点，全等三角形的证明方式有五种：边角边、角边角、边边边、角角边、斜边和直角边相等。在证明时，要注意不能随意更改定理顺序，证明的过程呢，也要按定理的顺序和条件，最好是能够做到一一对应。

举个例子吧，如果两个三角形的三个角相等，你就不能证明它们是全等三角形，这是因为呢，三角相等是相似三角形，这是初中数学的一个小知识点， 一定要掌握了。

同时，在学习当中，同学们要能够用符号，正确表示出两个三角形全等。除了这个，还要能说出全等三角形的对应关系。在实际的运用当中，最好能够熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边，这些能力，都要具备。

在学习三角形的知识时，需要循序渐进，一开始，了解定义、概念、性质，学会判断、选择、模仿，建立兴趣与信心。接下来呢，进行记忆与理解，能说出三角形全等的理由，会找全等三角形的对应边、对应角，还要能够举一反三，进行定理的综合运用，在此基础上，最好能够熟练掌握逻辑推理能力，进行扩展，巧妙地解答题目，让自己融会贯通。

学习全等三角形，最好能够与生活经验相联系。比如这道题：小红家的衣柜上面镶嵌着两个全等三角形玻璃作为装饰品，小红不小心打碎了一块，妈妈看见了就让小红去玻璃商店配上一块回来，可是呢，小红要如何测量，才能得到这两个全等三角形具体的大小呢？此时，同学们就可以采取画图、观察等方法，来演算结果，当你真正动手去做了，也解决问题了，这部分数学知识，就已经牢固地掌握在你脑海当中了。

说完全等三角形，我们来说一说相似三角形，如果说得简单一些，这部分数学知识呢，就可以看作是全等三角形的拓展。相似三角形的有关证明，一直是中考中的重点和难点，在中考常以压轴题出现，所占的分数也较多。 初中生们在学习相似三角形时，非常易犯的错，就是对对应边、对应角的判断不够精准。在学习这部分数学内容时，要求同学们一定要掌握“相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线之比等于相似比，三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方”等相似三角形的基本性质，只有牢牢记住这些基本性质，才能在答题时不出错。

初三数学相似三角形知识点

数学相似三角形知识点【一】平行线分线段成比例定理及其

推论：

1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)

所得的对应线段成比例。

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长

线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三

边。

【二】相似预备定理：

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角

形的三边与原三角形三边对应成比例。

【三】相似三角形：

1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2.性质：(1)相似三角形的对应角相等;

(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;

(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比

等于高之比;②要注意两个图形元素的对应。

3. 判定定理：

(1)两角对应相等，两三角形相似;(2)两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似;

(3)三边对应成比例，两三角形相似;

(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角

形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

【四】三角形相似的证题思路：

【五】利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤：

一定：先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中;

二找：再找出两个三角形相似所需的条件;

三证：根据分析，写出证明过程。

如果这两个三角形不相似，只能采用其他方法，如找中间比或引

平行线等。

六、相似与全等：

全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是相似三

角形的特例，它们之间的区别与联系：

1.共同点它们的对应角相等，不同点是边长的大小，全等三角形

的对应边相等，而相似三角形的对应的边成比例。

2.判定方法不同，相似三角形只求形状相同的，大小不一定相等，

所以改对应边相等成对应边成比例。

常见考法

(1)利用判定定理证明三角形相似;(2)利用三角形相似解决圆、

(一)相似三角形

1、定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.

①当一个三角形的三个角与另一个(或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件，缺一不可；

②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等;

③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等,对应边成比例.

2、相似三角形对应边的比叫做相似比．

①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.

②相似比具有顺序性.例如△ＡBＣ∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′Ｂ′Ｃ′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=ｋ′=1.

③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．

3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形．

4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线,截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似．

①定理的基本图形有三种情况,如图其符号语言:

∵ＤE∥BＣ,∴△ＡBC∽△ADE；

(双A型)

②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础,故把它称为“预备定理”；

③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行,想比例”,还要想到“见平行,想相似”.

(二)相似三角形的判定

1、相似三角形的判定：

判定定理１:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知:如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ＡDE．

例2、如图,E、F分别是△ABＣ的边BC上的点，ＤＥ∥AB,DＦ∥ＡC ,

相似三角形的判定和性质

相似三角形是初中数学中非常重要的概念之一。在解决与三角形相关的问题时，正确地判定两个三角形是否相似，以及了解相似三角形的性质，对于我们解题有着重要的指导作用。本文将介绍相似三角形的判定方法和一些重要的性质，希望能帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。

一、相似三角形的判定

判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AAA判定法、AA判定法和SAS判定法。

1. AAA判定法

AAA判定法即“全等角对应相等”，即两个三角形的三个角分别相等。如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们一定是相似的。例如，如果一个三角形的三个角分别是60°、50°和70°，另一个三角形的三个角分别是60°、50°和70°，那么这两个三角形就是相似的。

2. AA判定法

AA判定法即“对应角相等”，即两个三角形的两个角分别相等。如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们可能相似，但还需要进一步判定。例如，如果一个三角形的两个角分别是60°和50°，另一个三角形的两个角分别是60°和50°，那么这两个三角形可能是相似的，但还需要进一步判定。

3. SAS判定法

SAS判定法即“两边成比例且夹角相等”，即两个三角形的两条边成比例且夹角相等。如果两个三角形的两边成比例且夹角相等，那么它们一定是相似的。例如，如果一个三角形的两条边分别是5cm和8cm，另一个三角形的两条边分别是10cm和16cm，并且两个三角形的夹角都是60°，那么这两个三角形就是相似的。 二、相似三角形的性质

了解相似三角形的性质，可以帮助我们更好地解决与三角形相关的问题。

1. 边长比例性质

相似三角形的对应边长之比相等。即如果两个三角形相似，那么它们的对应边长之比相等。例如，如果两个三角形ABC和DEF相似，那么AB/DE=BC/EF=AC/DF。

2. 高度比例性质

相似三角形的对应高度之比相等。即如果两个三角形相似，那么它们的对应高度之比相等。例如，如果两个三角形ABC和DEF相似，那么h₁/h₂=h₃/h₄=h₅/h₆，其中h₁、h₂、h₃、h₄、h₅、h₆分别为三角形ABC和DEF的对应高度。