相似三角形证明的方法与技巧
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相似三角形的判定和应用
一、判定相似三角形的基本思路 ：
1•找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般
说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。
2. 记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定 理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。
二、相似形的应用：
1证比例式；
2. 证等积式；
3. 证直线平行;
4. 证直线垂直;
5证面积相等;
三、经典例题: 例1.如图，在 AABC中，D是BC的中点，E是 AC延长线上任意一点，连接 DE与AB交于F, 与过A平行于BC的直线交于G。
十工 AF AE
求证： ---- = -----
BF CE
变式1 :如图，在 AABC中，.A与.B互余, CD
_AB , DE//BC，交 AC 于点 E，求证：
AD:AC=CE:BD.
例2:如图：已知梯形 ABCD中，AD//BC，乙ABC =90，且BD — CD于D。 r BD^AD ・BC
例3•如图，在从BC中，.BAC=90 , M是 BC的中点，DM _BC交BA的延长线于 D，交 AC 于 E。
求证：MA—MD-ME
例4•已知：在 AABC中，AD是乙BAC的
线，点E在AD上，点F在AD的延长线上，
ED AB
DF AC
求证：BE//FC。例5•如图，在正方形 ABCD中，E，F分别为AB、
AC上一点，切 BE=BF，BP —CE，垂足为 P。 求证：PD — PF. 求证：①. ABD ~ .DCB ;
B F C 例6.在AABC的中线 AD,BE相交于 G。 求证： AAGB的面积等于四边形 CEGD 。
四•课堂练习：
1•如图，在 △ ABC中，AC BC，D是AC边上一点，连接 BD •
(1)要使△ CBD CAB，还需要补充一个条件是 ______________ (只要求填一个)
(2)若△ CBD s^CAB，且 AD = 2 , BC =3，求 CD 的长.
2.如图，在平行四边形 ABCD中, R在BC的延长线上，AR交CD于Q若DQ： CQ= 4 : 3,求
AQ： QR的值。
3•如图，梯形ABCD中，AB // CD，且AB = CD , E , F分别是AB , BC的中点，EF 与BD相交于点M •
(1) 求证：△ EDM FBM ;
(2) 若 DB =9，求 BM • 4.如图，△ ABC中AB=BD , AD为中线，点E是BD的中点。 求证：(1) △ AB0
CBE (2)求证：AC=2AE
7、已知：如图，四边形 ABCD中，/ A= / BCD=90°,过C作对角线BD的垂线 交BD、AD于点E、F。
/ D 求证：DC =DF・DA /『
/ 5•如图，点 D , E分别在 △ ABC的边BC , BA上，四边形 CDEF是等腰梯形,
EF // CD . EF 与 AC 交于点 G，且/ BDE 二/ A.
(1) 试问：ABLFG =CF_CA成立吗？说明理由；
(2) 若BD =FC，求证：△ ABC是等腰三角形.
6已知：如图，AD是厶ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长
线于点F求证：FD2二FB・FC F 8、如图，四边形 ABCD是平行四边形，AE丄BC于E, AF丄CD于F.
(1) A ABE 与 A ADF相似吗？说明理由. ⑵A AEF与A ABC相似吗？说说你的理由
9、已知：/ A=60 ° , BD、CE 是厶 ABC 的高。
(ADE与厶ABC相似吗？说明理由。
(2)图中共有几对相似三角形？
思考：去掉/ A=60。条件以上结论还成立吗？
10. M为线段 AB的中点，AE与BD交于C, Z DME= Z A= Z B=：,且DM交AC于F,
ME交BC于Go (1)写出图中相似三角形；
(2)连接 FG,若〉=45 ° , AB= 4 2 , AF=3，求 FG 的长
