相似三角形证明技巧整理
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相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析
一、相似三角形
（1）三角形相似的条件：
① __________________________ :② ______________________________ :③ ______________________________________
耦谨上的高
只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而 使问题得以解决• 三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：
1） 先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单；
2） 再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；
3） 若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；
、斤 f找另一角 ------------- ►两角对应相等，两三角形相似
a）已知对等［找夹边对应成比例 ---------------- 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
厂找夹角相等 ------- ►两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
b） 己知两边对应成比 V 找第三边也对应成比例——三边对应成比例，两三角形相似
一找一个直角一►斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 人士 r找另一角—►两角对应相等，两三角形相似
c） 己知一个直 - ,
I找两边对应成比例 ►判定定理2
k找顶角对应相等 判定定理1
d） ----------------------------------------- 有等腰关V找底角对应相等 判定定理1
＜找底和腰对应成比例 -------- 判定定理3
e）相似形的传递性 若厶“厶2, 3,则3
四、“三点定形法”， 即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例 式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个 三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个 不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 、两个三角形相似的六种图形:
築件条件^Z1-ZB ^AB//DE 条件ZA-Zp 鋼牛AD 是 RtABC 2
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线, 复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知：如图，△ AB（中 ,CE丄AB,BF丄AC.
求证:AE AC AF BA
（判断“横定”还是“竖定”？ ）这样反而使问题 3 例2、如图，CD是Rt△ ABC的斜边 AB上的高，/ BAC的 平分线分别交
BC、CD于点E、F, AC • AE=AF • AB吗？ 说明理由。
分析方法：
1） _____________________________ 先将积式
2） _________________ （ “横定”还是“竖定”？ ）
例3、已知：如图，△ ABC中，/ ACB=90, AB的垂直平分线交
交BC延长线于F。
求证：CD=DE・DF。
分析方法：
1） _____________________________ 先将积式
2） _________________ （ “横定”还是“竖定”？ ）
五、过渡法（或叫代换法）
1、等量过渡法（等线段代换法）
例1 :如图3, △ABC中，AD平分/ BAC , AD的垂直平分线 FE交BC的延长线于 E.求证：DE2
=BE- CE
分析：
2、等比过渡法（等比代换法）
例2 :如图4,在AABC中，/ BAC=90 , AD丄BC, E是AC的中点,
AB的延长线于点F.
求证: AB AC DF
AF
F 4
5
3、等积过渡法（等积代换法） 例3:如图5，在△ABC中，/ ACB=90 , CD是斜边 AB上的高,
BE丄AG，垂足为E,交CD于点F.
求证：CD2= DF- DG.
小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似； 不相似，不用急：等线等比来代替。
同类练习：
1. 如图，点 D、E分别在边 AB、AC上，且/ ADEN C 求证：(1)A ADE^A ACB; (2)AD - AB=AE- AC.
2. 如图，A ABC中，点 DE在边BC上，且A ADE是等边三角形，/ BAC=120 求证： (1 )A ADB^A CEA;
(2) DE2=BD- CE;
(3) AB - AC=AD BC.
3. 如图， 平行四边形
ABCD中，E为BA延长线上一点， / D=Z ECA.
求证：AD- EC=AC EB
G是DC延长线上一点，过 B作 6
5. 如图，E是平行四边形的边 DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F, 求证：FC2=FG・ EF.
7. 如图，△ ABC中，AB=AC点D为BC边中点，CE/ AB,BE分别交AD AC于点F、G 连接FC. 求证：（1）
BF=CF.
9•如图，四边形 ABCD中, AB// CD,AB丄BC,AC丄 BD AD= BD 过 E 作 EF / AB交 AD于 F. 是说明：(1)
AF=BE;(2)AF2=AE・ EC. 6. 如图，E是正方形 ABCD边BC延长线上一点，连接 AE交CD于F,过F作FIM/ BE交DE于M.
求证：FM=CF.
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10.A ABC中,/ BAC=90 ,AD丄 BC,E 为 AC中点。 求证：AB:AC=DF:AF。
11.已知，CE是RTA ABC斜边AB上的高，在 EC延长线上任取一点 P,连接AP,作BGL AP,垂足为G ，交 CE于点D.
六、证比例式和等积式的方法：
可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截;
平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园幕.
例1 如图5在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高,
交 BE 于 G,求证：(1)FG / FA= FB / FH 例2 如图6, □ ABCD中，E是BC上的一点, AE 交 BD 于点 F，已知 BE： EC = 3： 1 ,
SAFBE= 18,求：(1)BF: FD (2)SAFDA
例3 如图7在△ABC中，AD是BC边上的中线, AB的值；
例4 如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点, 求证：AG 2= AF XFC
DF丄AB于F，交AC的延长线于H , 试证：CE2=ED- EP.
(2)FD 是 FG 与 FH
D
M是AD的中点，CM的延长线交 AB于N.求：AN :
A B 8
如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD = AC , DE丄BC,交AB于点E, EC交AD于点F .⑴ △ABCFCD ; (2)若
S^CD = 5, BC = 10,求 DE 的长.
例6如图10过AABC的顶点C任作一直线与边 AB及中线AD分别交于点F和E .过点D作DM //
FC交AB于点 M .⑴若SAAEF : S四边形MDEF = 2:
例7 己知如图11在正方形ABCD的边长为1, P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何 值时，AADP与AQCP相似？
例8 己知如图12在梯形 ABCD中，AD / BC,Z A= 90°, AB= 7, AD = 2, BC = 3.试在边 AB上确
定点P的位置，使得以 P、A、D为顶点的三角形与以 P、B、C为顶点的三角形相似.
例9.如图，已知△ ABC中，AB=AC , AD是BC边上的中线, 于E点。
求证：BP2=PE • PF。 例5
求证:
⑵求证：AEXFB = 2AF XED
图
D
P
C
CF // BA , AC 例10 .如图，已知：在△ ABC中，/ BAC=900 , AD丄BC, E是AC的中点，ED交AB的延长线于
F。
AB DF
求证：—丄-。
八、相似三角形中的辅助线
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段 或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以 下几种：
（一）、作平行线 10
F,求证: BF
CF BD CE
例2.如图，△ ABC中，AB
延长线相交于点 F,证明：AB • DF=AC • EF。
例3、如图4—5 , B为AC的中点，E为BD的中点，贝U AF : AE= ________________________ .
例4、如图4-7，已知平行四边形 ABCD中，对角线AC、BD交于0点，E为AB延长线
上一点，0E 交 BC 于 F,若 AB=a，BC=b，BE=c，求 BF 的长. 例1.如图， ABC的AB边和AC边上各取一点 D和E,且使AD = AE，DE延长线与BC延长线相交于 例5、△ ABC中，在AC上截取 AD，在CB延长线上截取 BE，使AD=BE，求证：DF?AC=BC ?FE
例6:如图△ ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于 E,交AB于F,求证：AE: ED=2AF FB。 D
