人教新课标版数学高一- 人教A版必修二 4.2.1直线与圆的位置关系
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高中数学 4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
问题导学
一、直线与圆位置关系的判断
活动与探究1
已知圆的方程是x2＋y2＝1，直线y＝x＋b．当b为何值时，
(1)圆与直线有两个公共点；
(2)圆与直线只有一个公共点；
(3)圆与直线没有公共点．
迁移与应用
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交但不过圆心 D．相交且过圆心
2．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝4的位置关系是__________．
判断直线与圆的位置关系有两种方法：代数法与几何法．具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定．代数法是从方程角度考虑，较繁琐；如果求交点坐标，就必须用该法；几何法是从几何角度考虑，方法简单，成为判断直线与圆位置关系的常用方法．
二、直线与圆相切问题
活动与探究2
过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
迁移与应用
1．过点P(2，2)作圆x2＋y2＝4的切线，则切线方程为__________．
2．圆心为(1,1)且与直线x－y＝4相切的圆的方程为__________．
3．求与直线y＝x＋2平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程．
解答直线与圆相切问题时，通常用圆心到直线的距离等于半径求解．
经过圆上一点的切线有一条，经过圆外一点的切线有两条，在求切线方程时，要注意斜率不存在的情况．
三、直线与圆相交问题
活动与探究3 打印版
高中数学 已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为45，求直线l的方程．
迁移与应用
1．直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长等于________．
2．已知一圆C的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l：x－y－1＝0截得的弦长为22，求该圆的方程．
直线与圆相交后的弦长问题，常采用几何法(半弦长、弦心距，圆的半径构成的直角三角形)求解．
当堂检测
1．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )
A．0或2 B．2 C．2 D．无解
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
3．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于( )
A．6 B．522 C．1 D．5
4．垂直于x轴的直线l被圆x2＋y2－4x－5＝0截得的弦长为25，则直线l的方程为__________．
5．自点A(2,3)作圆x2＋y2－2y－4＝0的切线，则切线长为________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
2 1 0 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 打印版
高中数学 预习交流 (1)提示：利用圆心到直线的距离等于半径求解，但要注意直线的斜率不存在的情况．
(2)提示：解答这类问题常利用半弦长、半径及弦心距组成的直角三角形求解．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：可联立方程组，由方程组解的个数求解，也可求出圆心到直线的距离，与半径比较求解．
解：方法一：联立直线和圆的方程组成方程组： y＝x＋b，x2＋y2＝1，
整理可得2x2＋2bx＋b2－1＝0，其中Δ＝4(2－b2)．
(1)当Δ＝0，即b＝±2时，直线和圆相切，此时直线和圆仅有一个公共点．
(2)当Δ＞0，即－2＜b＜2时，直线和圆相交，此时直线和圆有两个公共点．
(3)当Δ＜0，即b＜－2或b＞2时，直线和圆相离，此时直线和圆没有公共点．
方法二：圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线l：y＝x＋b的距离d＝|b|2，圆的半径为r＝1．
(1)当d＝|b|2＝1，即b＝±2时，直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点．
(2)当d＝|b|2＜1，即－2＜b＜2时，直线与圆相交，此时直线与圆有两个公共点．
(3)当d＝|b|2＞1，即b＜－2或b＞2时，直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点．
迁移与应用 1．C 2．相交
活动与探究2 思路分析：利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出直线斜率，进而求出切线方程．
解：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A在圆外．
(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以|3k－1－3－4k|k2＋1＝1，即|k＋4|＝k2＋1，所以k2＋8k＋16＝k2＋1．解得k＝－158．所以切线方程为y＋3＝－158(x－4)，即15x＋8y－36＝0． 打印版
高中数学 (2)若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4．
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4．
迁移与应用 1．x＋y－22＝0
2．(x－1)2＋(y－1)2＝8
3．解：设所求的切线方程为y＝x＋b，即x－y＋b＝0．∵圆心坐标为(2,3)，半径为22，
∴|2－3＋b|2＝22，即|b－1|＝4，b＝5或－3．∴所求的切线方程为x－y－3＝0或x－y＋5＝0．
活动与探究3 思路分析：设出直线的斜率，利用圆半径、弦心距、弦长之间的关系求出斜率，再由点斜式写出直线的方程．
解：将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25．
若直线l斜率不存在，则直线方程为x＝－3．圆心到该直线距离为3，又圆半径为5，所以求得弦长为8，不合题意，舍去．
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0．
圆心到直线l的距离为d＝|3k－1|1＋k2，则|3k－1|1＋k22＋(25)2＝25．解得k＝－12或k＝2．
所以所求直线的方程为y＋3＝－12(x＋3)或y＋3＝2(x＋3)，即x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0．
迁移与应用 1．22
2．解：设圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)，则弦长l＝2r2－d2，其中d为圆心到直线x－y－1＝0的距离，d＝2．
∴l＝2r2－(2)2＝22．
∴r2＝4．圆方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4．
【当堂检测】
1．B 2．C 3．A 4．x＝0或x＝4 5．3 打印版
高中数学
