信号分析与处理第3章

62 第3章信号分析及处理

3．1 知识要点

3.1.1数字信号处理基础

1.数字信号处理的基本步骤有哪些？

（1）信号的预处理：是指在数字处理之前，把信号变成适于数字处理的形式，以减小数字处理的困难。

（2）A／D转换：是将预处理以后的模拟信号经采样、量化并转换为二进制数的过程。

（3）分析计算：对采集到的数字信号进行分析和计算，可用数字运算器件组成信号处理器完成，也可用通用计算机。

（4）结果显示：一般采用数据和图形显示结果。

2.什么是时域采样？采样定理的内容是什么？

采样相当于在连续信号上“摘取”一系列离散的瞬时值，是利用采样脉冲序列从连续时间信号中抽取一系列离散样值，使之成为采样信号的过程，是把连续时间信号变成离散时间序列的过程。为了保证采样后的信号能真实地保留原始模拟信号的信息，使采样后的信号仍可准确的恢复其原始信号，采样信号的频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍，这一基本法则，称为采样定理。

3.什么是量化和量化误差？

把采样信号经过舍入或截尾的方法变为只有有限个有效数字的数字信号，即从一组有限个离散电平中取一个来近似代表采样点的信号实际幅值电平，这一过程称为量化。由量化引起的信号量化电平与信号实际电平之间的差值称为量化误差。

4.什么是混叠、截断和泄漏？

由于采样信号频谱发生变化，而出现高、低频成分发生混淆的一种现象叫混叠。截断就是将信号乘以时域的有限宽矩形窗函数。截断后信号的能量在频率轴分布扩展到现象称为泄漏。

5.什么是窗函数？常用的窗函数有哪些？各有何特点？如何选择？

为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数。常用的窗函数有矩形窗、三角窗、汉宁（Hanning）窗、海明（Hamming）窗、高斯窗。

(1)矩形窗：优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进 63 了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。

(2)三角窗：三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。

《信号分析与处理》教案 第三章：傅里叶变换

上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 102 上次课的回顾：

着重讲解了傅立叶变换的八个性质，通过灵活利用性质，不仅能够加深理解傅立叶变换的本质，同时也可以大大简化计算。在对性质进行分析和解释的基础上，用较多的例题予以说明和印证。

需要注意的是，灵活运用性质的前提是必须牢记典型和常用信号的傅立叶变换。

《信号分析与处理》教案 第三章：傅里叶变换

上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 103 3.4. 卷积定理

卷积定理是傅立叶变换的另一个重要特性，在信号与系统的分析中占有很重要的地位。这个特性是以时域卷积和频域卷积两个定理的形式表现出来的。

一、时域卷积定理

如果

那么

例1：如图所示系统冲激响应)(th及激励输入)(te的波形，试利用傅立叶变换的时域卷积定理，求在)(te作用下系统的零状态响应)(tr。

解：根据信号的时域分析理论，系统的零状态响应)(tr应为：

)()()(thtetr

直接按时域求卷积的方法，可得：

2,02)21(2)(2t t ,tAtr 式(3.4-1)

如果令)(tr的傅氏变换为)(jR，即)]([)(trFjR。

由于，)(2)()]([)(2aSAtAgFteFjE

)(2)()]([)(2aSAtAgFthFjH

所以，根据傅立叶变换的时域卷积定理，有： 《信号分析与处理》教案 第三章：傅里叶变换

上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 104 )()2()(2)(2)()()]()([)]([)(22aaaSASASA jHjEthteFtrFjR

《信号分析与处理》教案 第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析

上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 119 第五章：拉普拉斯变换和

连续时间系统的S域分析

5.1. 概述

基于傅立叶变换的信号与系统的频域分析，是以虚指数信号ejωt为基本信号，获得任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。由于傅立叶变换物理意义清楚，可使响应的求解得到简化，因此对于信号与系统分析是很有效的，所以得到相当广泛的应用。但它也有不足：

（1）由于傅立叶积分存在的充分条件是：要求被积函数)(tf绝对可积；而对于不符合绝对可积条件的函数，如)(tu，虽也可通过其它方法求出其傅立叶变换，但一般它们的频谱函数中包含了函数，这可能会给信号的分析与计算带来一些麻烦；

（2）有些重要信号不存在傅里叶变换，如正指数函数)(2tuet，上述不足使傅立叶变换的应用受到了限制；

（3）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。

但若把频域中的傅立叶变换推广到复频域的拉普拉斯变换，就能克服傅立叶变换的缺点。因此，拉普拉斯变换成为线性时不变系统分析的强有力工具。 《信号分析与处理》教案 第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析

上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 120 拉普拉斯变换与傅立叶变换之间有许多类似之处。傅立叶变换是将时间信号)(tf分解为无穷多项虚指数信号ejωt之和；本章则引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，论证任意时间信号)(tf可以分解为无穷多项复指数信号est之和。这里，用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换，因此可把拉氏变换看做是傅立叶变换的推广；同时，傅立叶变换与拉氏变换的许多重要性质也是非常相似的。

5.2. 拉普拉斯变换

一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换

由第3章可知，函数)(tf在满足绝对可积的条件下，必然存在其的傅立叶正反变换，且定义式为：

1 5-1 用冲击响应不变法求相应的数字滤波器系统函数H(z)

1）Ha(s) = 2332sss

2）Ha(s) = 4212sss

解：由Ha(s)分解成部分分式之和

1）Ha(s) = 2332sss=)1)(2(3sss=12s–21s

∴H(z) = 112zeT–1211zeT=2311)1(1)21(1zezeezeeTTTTT

2）Ha(s) = 4212sss=3221jes+3221jes

∴H(z) =

123121zejTe+123121zejTe=2211)3cos(21)3cos(1zezTezTeTTT

5-2 设ha(t)表示一个模拟滤波器的单位冲击响应

te9.0 , t≥0

ha(t)=

0 , t＜0

（1）用冲击响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波器，确定系统函数H(z)（以T作为参数）

（2）证明，T为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器，还是高通滤波器

解：（1）∵ ha(t)= te9.0u(t) 2 ∴ Ha(s) =9.01s

∴ H(z) =19.011zeT

(2)∵ H(z) =19.011zeT

则其极点为z=Te9.0

∵ T > 0 ∴ |z| < 1

H(je) =jezzH|)( = Tjjeee9.0

可以看出当ω↑时，| H(je) |↓

∴ 是低通滤波

5-3 图5-40是由RC组成的模拟滤波器，写出其系统函数Ha(s)，并选用一种合适的转换方法，将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)

解：由回路法可知（这是一个高通滤波器）

ya(t)=dttdURCc)(= dttdxRCa)(–dttdyRCa)(