(整理)第六章_线性变换_68180769

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精品文档 第六章 线性变换

映射：,XY，如果有一个法则，它使得X中每个元素，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为X到Y的一个映射，记作:XY，，称为在下的象，称为在下的原象。

注：,X对。

变换：一个集合到自身的映射。

线性变换的定义与性质

定义 设V是数域F上的线性空间，是V的一个变换，如果满足条件：

（1）βσασβασV,α,β；

（2）kF,αV,kαkσα，

则称是V上的线性变换或线性算子。

(1), (2)等价于条件：,,,klFV

σkαlβkσαlσβ。

例：设：nnRR，定义为cαασ，c为常数。-----数乘变换或位似变换。

c=0-----零变换，记为o。

c=1-----恒等变换，记为。

例：设是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转角的变换

设,,,TTxyxy，则 精品文档

精品文档 cossinsincosxxyyxy

记cossinsincosA，则A是一个线性变换。

例：判断下列变换是否是线性变换

(1) 12323,,1,,TTaaaaa;

(2) 12323,,0,,TTaaaaa;

(3) 12312231,,2,,TTaaaaaaaa;

(4) 2123123,,,,3TTaaaaaa.

线性变换的基本性质

（1）； （2）；

（3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若ssαkαkαkβ2211，则1122ssβkαkαkα；

若ssαkαkαk2211，则ssαkαkαk2211。

（4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。

线性变换的运算

VL----线性空间V上所有线性变换的集合。

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精品文档 定义 设VL,，它们的和定义为

.,V

易证VL，即线性变换的和仍是线性变换。

FlkV,,,，有

klklklklklkl

定义 设FkVL,，k与的数量乘法k定义为

.,Vkk

同样.VLk

可以直接验证，,,,,,FlkVL下列性质成立：

（1） ；

（2） ；

（3） 0；

（4） 0；

（5） 1；

（6） kllk；

（7） lklk；

（8） kkk.

定理 LV对于上述定义的加法和数量乘法构成数域F上的线性空间。

定义 设VL,，定义线性变换的乘积为

.,V 精品文档

精品文档 易证VL，且FkVL,,,，变换的乘积还有如下性质：

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） kkk；

（5） ；

（6） ooo.

注：线性变换的乘法交换律和消去律不成立。

定义 设VL，如果存在VL，使得



则称是可逆的，称为的逆变换。(逆变换是唯一的。)

的逆变换记为1，且VL1.

规定：01,kk，则

1,,nkmnmnmmnk

注意：kkk。

定义：设1nfxFx，且1110nnnnfxaxaxaxa，给定()LV，称1110nnnnfaaaa为线性变换的多项式。显然()fLV。

线性变换在一组基下的矩阵 精品文档

精品文档 定理1 设是n维线性空间V的一个线性变换，n,,,21是V的一组基，则V中任一向量的像由基的像n,,,21所完全确定。

设n,,,21是V的一组基，则,1,2,iin可由n,,,21线性表出，设

nnnnnnnnnnαaαaαaασαaαaαaασαaαaαaασ22112222112212211111

nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211

记nn,,,,,,2121，则有

Ann,,,,,,2121

称A为线性变换在基n,,,21下的矩阵。

注1：A不一定是可逆矩阵。

注2：1212,,,,,,nnAA。

定理2 设线性变换在基n,,,21下的矩阵为A，向量和在这组基下的坐标分别是Tn,x,,xxx21和Tn,y,,yyy21，则 y=Ax. 精品文档

精品文档 证明：因为12,,,nx

12,,,ny

Ann,,,,,,2121

121212,,,,,,,,,nnnxxAx

即y=Ax.

例 设线性变换在基123,,下的矩阵为

123456789A

求在基321,,下的矩阵B。

例 设123,,是3R的一组基，是3R的线性变换，且132231,,，求在这组基下的矩阵；若在123,,下的坐标为2,1,1T，求在这组基下的坐标。

线性变换与矩阵的一一对应关系

引理 设n,,,21是n维线性空间V的一组基，则对任意给定的n个向量n,,,21都存在线性变换，使得,n,,iβασii21。

证明：设是任一n维向量，1122=nnccc

定义一个变换为： 精品文档

精品文档 11221=nnniiicccc

则有=,1,2,,iiin。以下证明是一个线性变换。

设11221122=,=nnnnxxxyyy，则

111111nnniiiiiiiiiinnniiiiiiiiiixyxyxyxy

1111nniiiiiinniiiiiikkxkxkxkxk

定理1设n,,,21是n维线性空间V的一组基，ijaA是任一n阶矩阵，则有唯一的线性变换满足

Ann,,,,,,2121。

证明：构造向量如下：

1122=,1,2,,jjjnjnaaajn

由引理，存在线性变换，使得=,1,2,,iiin，于是

121212,,,,,,,,,nnnA

即存在线性变换在基n,,,21下的矩阵是A。

如果有两个线性变换,在基n,,,21下的矩阵都是A

则121212,,,,,,,,,nnnA

即,1,2,,.iiin 精品文档

精品文档 例 已知2121,2,1,3TTR是的一组基，求(1)线性变换，使在这组基下的矩阵是1234; (2) 求线性变换，使得121,0,0,1TT。

定理2 设V是F上n维线性空间，则L(V)与Mn(F)同构。

证明：在V中取一组基n,,,21，设,()LV，则

1212,,,,,,nnA

1212,,,,,,nnB

定义映射:()nLVM，使得A。易证是双射，且121212121212,,,,,,,,,,,,,,,,,,nnnnnnABAB

即 。

对任意的kF，有

121212,,,,,,,,,nnnkkAkA

即 kk

所以是同构映射，即L(V)与Mn(F)同构。

例 设V是数域F上的n维线性空间，证明由V的全体线性变换组成的线性空间L(V)是n2维的。以二维线性空间为例，写出L(V)的一组基。

定理3 设FMV:Ln是同构映射，则对VLσ,τ，

。

证明：设,AB，则