数值积分

实验三 数值积分程序设计算法

1）实验目的

通过本次实验熟悉并掌握各种数值积分算法及如何在matlab中通过设计程序实现这些算法，从而更好地解决实际中的问题。

2）实验题目

给出积分 dxxI32211

1.用Simpson公式和N=8的复合Simpson公式求积分的近似值.

2.用复合梯形公式、复合抛物线公式、龙贝格公式求定积分，要求绝对误差为

710*21，将计算结果与精确解做比较，并对计算结果进行分析。

3）实验原理与理论基础

Simpson公式

)]()2(4)([6bfbafafabS

复化梯形公式

将定积分badxxfI)(的积分区间],[ba分隔为n等分，各节点为njjhaxj,,1,0, nabh复合梯形(Trapz)公式为

])()(2)([211njjnbfxfafnabT如果将],[ba分隔为2n等分，而nabh/)(不变，则 )]()(2)(2)([41021112bfxfxfafnabTnjjnjjn 其中hjahxxjj)21(2121，)]()(2)(2)([41021112bfxfxfafnabTnjjnjjn

10)2)12((221njnnabjafnabT

n=1时，abh，则)]()([21bfafabT)0(0T

)21(22112hafabTT)1(0T

若12kn，记)1(0kTTn，,2,1k 12kabh jhaxj12kabja

hxxjj2121kabja2)12(，则可得如下递推公式 )0(0T)]()([2bfafab

2012~ 2013学年第 2学期 计算方法 教案 计1101/2，1181 开课时间：2013-02

《计算方法引论》、徐翠薇，高等教育出版社 2008年4月第三版 第五章数值积分 2h 1 第五章数值积分

知识点：数值积分基本概念，牛顿-科特斯公式，代数精度概念，复化求积公式。

1.基本概念

计算定积分 可能面临的一些问题：

被积函数f(x)是一些实验测试数据形成的表格或图形给出,无法求原函数

原函数不能用初等函数表示

例如

工程实践中，解决这些问题常用简单的近似函数来逼近被积函数函数，通过对近似函数的积分来近似替代原来的积分(这时发现插值逼近的又一应用，插值不仅可以解决刻画离散点分布规律的问题，还可以在积分中派上用场)。

（1） 求积公式

用一组节点a≤x0

或

公式（I）、(II)称为求积公式或数值积分公式，其中Ai为求积系数、它不依赖f(x)，xi为求积节点，R(f)为求积余项、表示截断误差。

（2）插值型求积公式

已知被积函数f(x)的离散点值（xi，f(xi)），i=0，1，…，n，记相应的Lagrange插值多项式为Ln(x)，则f(x)=Ln(x)+Rn(x),插值型求积公式为

badxxf)(

baniiixfAdxxf0)()(）（ baniiiixfAxfdxxf。即的加权和转化为计算数值解法就是把计算0)()()(

babanibanibaiiiiiindxxlAxfAxdxfxldxxLdxxf00.)(),()()()()( baxbabadxedxxxdxx。，2,sinln1

nibaiibadxxRfRfRxfAdxxf0)()(),()()(）（ 2012~ 2013学年第 2学期 计算方法 教案 计1101/2，1181 开课时间：2013-02

第五章 数值微分与数值积分 一．分别用向前差商，向后差商和中心差商公式计算()fxx=在2x=

的导数的近似值。其中，步长0.1h=。 【详解】

00()()(20.1)(2)2.12=0.349 241

0.10.1fxhfxff

h+−+−−===向前差商

00()()(2)(20.1)21.9=0.358 087

0.10.1fxfxhff

h−−−−−===向后差商

00()()(20.1)(20.1)2.11.9=0.353 664

220.10.2fxhfxhff

h+−−+−−−===

×中心差商

二．已知数据 x 2.5 2.55 2.60 2.65 2.70 ()fx 1.58114 1.59687 2 1.62788 1.64317

求(2.50),(2.60),(2.70)fff′′′的近似值。

【详解】

0.05h=，按照三点公式

3(2.50)4(2.55)(2.60)31.5811441.596871.61245(2.50)0.316 100

20.050.1ffff−+−−×+×−′≈==

×

(2.65)(2.55)1.627881.59687(2.60)0.310 100

20.050.1fff−−′≈==

×

(2.60)4(2.65)3(2.70)241.6278831.64317(2.70)4.179 900

20.050.1ffff−+−×+×′≈==

×

三．已知如下数据 x 3 4 5 6 7 8

()fx 2.937 6 6.963 213.600

0 23.500

8 37.318

4 55.705

6 用三点公式计算(5)f′和(5)f′′的近似值。

【详解】

1h=，(6)(4)23.500 86.963 2(5) 8.268 4

22fff−−′≈==

2(4)2(5)(6)6.9632213.600023.5008(5)1.6320

212ffff−+−×+′′≈==

×

数值积分法

数值积分法是一种对积分形式进行数值求解的方法，也常称数值积分技术。数值积分是在计算技术及数学运算中非常重要的一种技术，它主要应用于定积分、不定积分和高维积分的求解，它广泛地应用于工程科学技术中，为工程实践提供了技术支持。

数值积分的基本思想是采用一定的数值方法对积分方程进行步进运算，把不容易精确求解的积分问题变为若干个步进步长固定的离散状态的积分状态，从而利用问题的离散和近似性来求解积分问题。数值积分包括定积分、不定积分和高维积分等。

定积分可以采用梯形公式、Simpson公式和三点高斯公式等。梯形公式是最常用的积分公式，原理是把定积分看作一个多边形；Simpson公式是二阶精度的数值积分公式，它的变化灵活；三点高斯公式是基于三个节点（3和4阶）的积分解法。

不定积分采用Gauss-Legendre三点、Gauss-Lobatto七点、Newton-Cotes三、四点和Maszkarinow公式等。

Gauss-Legendre三点公式主要用于正态分布函数的积分——其精度为2阶； Gauss-Lobatto七点公式采用一系列不同权重值，用于求解非线性三次方程，精度为3阶；

Newton-Cotes三点、四点和Maszkarinow公式也通常用于积分运算。

高维积分主要包括Monte-Carlo方法和偏微分法。Monte-Carlo法将积分区间映射到概率空间，在概率空间中设定采样点，然后求解相应的积分值；偏微分法是用一系列多项式做有限元函数，以计算机代替定积分的积分算法。

因此，数值积分法是一种重要的数值分析工具，它能够在有限时间精确地解决复杂的积分问题。熟练掌握数值积分法，有助于提高计算效率，进而更好地解决实际问题。