C 数值积分

实验三 数值积分程序设计算法

1）实验目的

通过本次实验熟悉并掌握各种数值积分算法及如何在matlab中通过设计程序实现这些算法，从而更好地解决实际中的问题。

2）实验题目

给出积分 dxxI32211

1.用Simpson公式和N=8的复合Simpson公式求积分的近似值.

2.用复合梯形公式、复合抛物线公式、龙贝格公式求定积分，要求绝对误差为

710*21，将计算结果与精确解做比较，并对计算结果进行分析。

3）实验原理与理论基础

Simpson公式

)]()2(4)([6bfbafafabS

复化梯形公式

将定积分badxxfI)(的积分区间],[ba分隔为n等分，各节点为njjhaxj,,1,0, nabh复合梯形(Trapz)公式为

])()(2)([211njjnbfxfafnabT如果将],[ba分隔为2n等分，而nabh/)(不变，则 )]()(2)(2)([41021112bfxfxfafnabTnjjnjjn 其中hjahxxjj)21(2121，)]()(2)(2)([41021112bfxfxfafnabTnjjnjjn

10)2)12((221njnnabjafnabT

n=1时，abh，则)]()([21bfafabT)0(0T

)21(22112hafabTT)1(0T

若12kn，记)1(0kTTn，,2,1k 12kabh jhaxj12kabja

hxxjj2121kabja2)12(，则可得如下递推公式 )0(0T)]()([2bfafab

第五章 数值微分与数值积分 一．分别用向前差商，向后差商和中心差商公式计算()fxx=在2x=

的导数的近似值。其中，步长0.1h=。 【详解】

00()()(20.1)(2)2.12=0.349 241

0.10.1fxhfxff

h+−+−−===向前差商

00()()(2)(20.1)21.9=0.358 087

0.10.1fxfxhff

h−−−−−===向后差商

00()()(20.1)(20.1)2.11.9=0.353 664

220.10.2fxhfxhff

h+−−+−−−===

×中心差商

二．已知数据 x 2.5 2.55 2.60 2.65 2.70 ()fx 1.58114 1.59687 2 1.62788 1.64317

求(2.50),(2.60),(2.70)fff′′′的近似值。

【详解】

0.05h=，按照三点公式

3(2.50)4(2.55)(2.60)31.5811441.596871.61245(2.50)0.316 100

20.050.1ffff−+−−×+×−′≈==

×

(2.65)(2.55)1.627881.59687(2.60)0.310 100

20.050.1fff−−′≈==

×

(2.60)4(2.65)3(2.70)241.6278831.64317(2.70)4.179 900

20.050.1ffff−+−×+×′≈==

×

三．已知如下数据 x 3 4 5 6 7 8

()fx 2.937 6 6.963 213.600

0 23.500

8 37.318

4 55.705

6 用三点公式计算(5)f′和(5)f′′的近似值。

【详解】

1h=，(6)(4)23.500 86.963 2(5) 8.268 4

22fff−−′≈==

2(4)2(5)(6)6.9632213.600023.5008(5)1.6320

212ffff−+−×+′′≈==

×

数学与计算科学学院

实 验 报 告

实验项目名称 数值积分

所属课程名称 数值分析

实 验 类 型 验证

实 验 日 期 2

班 级

学 号

姓 名

成 绩

1

一、实验概述：

【实验目的】

在微积分中，积分值是通过原函数的解析式求得的，然而原函数的寻找往往比较困难，许多积分函数甚至找不到用初等函数表示的原函数；另外，当f(x)是由测量或者数值计算给出的一张数据表时，牛顿—莱布尼茨公式也不能直接运用，为此研究数值积分问题是非常必要的,因此尝试用梯形公式，辛普森公式和及其相关复化公式,进行求解，并比较各方法的精度。

【实验原理】

复化梯形公式：

将积分区间[a,b]划分n等分，步长bahn，求积节点kxakh，0,1,2,kn在每个小区间上应用梯形公式

然后将它们累加求和，作为所求积分I的近似值.

记

式为复化梯形求积公式，下标n表示将区间n等分。

复化辛普森公式：

将积分区间[a,b]划分n等分，记子区间的中点为1212kkxxh，在每个小区间上应用辛普森公式，则有 2

其中

记

式为复化辛普森求积公式。

【实验环境】

Windows 7 MATLAB 2010a

二、实验内容：

【实验方案】

1、根据实验原理，编出程序，得出各项公式在个区间上n等分时的积分值的近似解及其差值余项的值。

2、对同一个积分公式，采取n=10, 100,时比较n取值不同时对数值精度的影响的结果。

桂林电子科技大学

数学与计算科学学院实验报告

实验室： 06406 实验日期： 2014 年 11 月 21 日

院（系） 数学与应用数学 年级、专业、班 姓名 成绩

课程

名称 数值分析实验 实验项目

名 称 实验积分 指导

教师 李光云

一 、实验目的

通过实验掌握利用Matlab进行数值积分的操作，掌握Matlab中的几种内置求积分函数，进一步理

解复化梯形，复化辛普生公式，并编程实现求数值积分

二、实验原理

Matlab中，有内置函数计算积分：

>> z = trapz(x,y)

其中，输入x，y分别为已知数据的自变量和因变量构成的向量，输出为积分值。

>> z = quad(fun,a,b)

这个命令是使用自适应求积的方法计算积分的命令。其中，fun为被积函数，a，b为积分区间。

我们还可以利用复化梯形公式

11022niinxfxfxfnabI

三、使用仪器，材料

电脑 MATLAB

四、实验内容与步骤

1. 编写复化辛普生公式的Matlab的程序。

2. 利用复化梯形法程序计算12041Idxx，记录下计算结果随着n增加的变化情况，画图与复化梯形公式的情况比较收敛速度。

3. 积分dxxxsin的原函数无法用初等函数表达，结合Matlab复化梯形程序，用描点法绘制其原函数xdttt1sin在区间50,1的图形。

五、实验过程原始记录（数据，图表，计算等） 一、

复化Simpson公式程序：

function s=Simpson(a,b,n)

%输出s为积分的数值解，输入(a,b)为积分区间，n为等分区间的个数.

h=(b-a)/(n*2);

s1=0;

s2=0;

s=h*(f(a)+f(b))/3;%先计算特殊两点相加.