沪教版高二上册数学高二上册教案平面向量的数量积

做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

第三节 平面向量的数量积

考纲解读

1、 理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

2、 了解平面向量数量积的与向量投影的关系。

3、 掌握数量积的坐标表达，会进行平面向量数量积的运算。

4、 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

考点梳理

1．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为 . 向量的投影：︱b︱cos=||aba∈R，称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称为射影；

(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 的乘积．

2．平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝ ＝ ．λ∈R；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

3．平面向量数量积的性质

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．

结论 几何表示 坐标表示

模 aaa

夹角

cosabab

ab

ab与ab

的关系

abab

基础自测

1、设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①（a·b）c－（c·a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直 ④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（ ）

A.①② B.②③ C.③④ D.②④

2、| a|=1，| b |=2，c= a+ b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为 （ ） 做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

A．30° B．60° C．120° D．150°

3、已知向量a与b的夹角为120o，3,13,aab则b等于（ ）

A．5 B．4 C．3 D．1

4.（11年辽宁)已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，则k=（ ）

（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12

5.已知向量,ab满足2b，a与b的夹角为3，则b在a上的投影为

题型一：数量积的概念及运算

例1．判断下列各命题正确与否：

（1）00a； （2）00a； （3）若0,aabac，则bc；

（4）若abac，则bc当且仅当0a时成立；

（5）()()abcabc对任意,,abc向量都成立； （6）对任意向量a，有22aa。

变式1． （1） 已知△ABC中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，

APpPB，AQqQC，则pqpq

题型二：向量的夹角与模

例2．（1）过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若ADxAB，AEyAC，0xy，则11xy的值为（ ） （A）4 （B）3 （C）2 （D）1

（2）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么ba与ba的夹角的大小是

。

（3）已知两单位向量a与b的夹角为0120，若2,3cabdba，试求c与d的夹角。

变式2．（1）（09辽宁）平面向量a与b的夹角为060，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于

A.3 B.23 C.4 D.12

做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

题型三平面向量的垂直问题

例3.已知平面向量13(3,1),(,)22ab，

（1）证明：ab；

（2）若存在不同时为0的实数k和t，使2(3)xatb,,ykatb且xy，试求函数关系式()kft.

变式3、设向量,,abc满足0,(),,abcabcab若1a,求222abc的值

题型四

数量积的综合应用

例4（看80页例4）已知(cos,sin)a，(cos,sin)b，其中0．

(1)求证：ab 与ab互相垂直；

(2)若kab与akb的长度相等，求的值(k为非零的常数)．

变式4

已知(2,cos),(sin(),2)6axbx，函数()()fxabxR

（1）求函数()fx的单调递增区间； 做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

（2）若6()5fx，求cos(2)3x的值。

课后作业

一、选择题

1．(2010·广东)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )

A．6 B．5 C．4 D．3

2．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝( )

A．－1 B．1 C．－2 D．2

3.（2011年全国卷文科3)设向量ab、满足|a|=|b|=1, ab1=2,则2ab

（A）2 （B）3 （C）5 （D）7

4．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( )

A．150° B．120° C．60° D．30°

5．设A(a,1)、B(2，b)、C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为( )

A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3

C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14

二、填空题

6．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(1，3cos θ)，则|a－b|的最大值为________．

7．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：

①若a∥b且a∥c，则b∥c.

②若a＝(2，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－6.

③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.

其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．

8．|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角是________．

三、解答题

9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．

做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

10．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α) (1)若AC→·BC→＝－1，求sin(α＋π4)的值；

(2)若|OA→＋OC→|＝13，且α∈(0，π)，求OB→与OC→的夹角．

一、选择题:

4．（2011年重庆卷文科5)已知向量(1,),(2,2),akbaba且与共线，那么ab的值为

A．1 B．2 C．3 D．4

5．(11年广东)已知向量(1,2),(1,0),(3,4)abc，若为实数，()//abc，则=

A．14 B．12 C．1 D．2

二、填空题：

5. （2011年海南卷文科13)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量ab与向量kab垂直,则k .

6. （2011年福建卷文科13)若向量a=（1,1），b（-1,2），则a·b等于_____________.

7. （2011年四川卷文科7)如图，正六边形ABCDEF中，BACDEF=

(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF

8．（2011年湖南卷文科13)设向量,ab满足||25,(2,1),ab且ab与的方向相反，则a的坐标为 ．

9．（2011年湖北卷文科2)若向量{1,2},{1,1}ab，则2ab与ab的夹角等于

A.4 B.6 C.4 D. 34 做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

10.（2011年浙江卷文科15)若平面向量α、β 满足1,1，且以向量α、β为邻边的

平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ取值范围是___。

11. (2011年天津卷文科14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,90ADC,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|3|PAPB的最小值为 .

12.(2011年江苏卷10)已知21,ee是夹角为32的两个单位向量，,,22121eekbeea 若0ba，则k的值为 .

例3、求与向量a=3(，-1）和b=（1，3）夹角相等，且模为2的向量c的坐标。

分析：

用解方程组思想

法一：设c=（x，y），则a·c=3x-y，b·c=x+3y

∵ <a，c>=<b，c>

∴

|c||b|cb|c||a|ca

∴ y3xyx3

即y)32(x ①

又|c|=2

∴ x2+y2=2 ②

由①②得213y213x 或213y213x（舍）

∴c=)213,213(

法二：从分析形的特征着手

∵ |a|=|b|=2

a·b=0

∴ △AOB为等腰直角三角形，如图

∵ |OC|=2，∠AOC=∠BOC

∴ C为AB中点