平面向量的数量积教案
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《平面向量的数量积》教案（第一课时）
2017级应用数学专业 康萍
一．教学内容分析
本课内容选自一般高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）§2.4 平面向量的数量积的第一课时,本课要紧内容是向量的数量积的概念及运算律,本节课让学生了解从特殊到一样再由一样到特殊的这种熟悉规律和体会概念法那么的学习进程.
二．学生学习情形分析
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，把握了向量的概念及其线性运算，具有了功等物理知识，而且初步体会了研究向量运算的一样方式。
在功的计算公式和研究向量运算的一样方式的基础上,学生大体上能类比取得数量积的含义和运算律,关于运算律不必然给全或给对,对运算律的证明可能会存在必然的困难,教学中教师要注意引导学生分析判定.
三．设计思想
遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采纳探讨式教学，以多媒体手腕为平台，利用问题让学生自主地参与探讨，在探讨进程中注重学生学习进程的体验和数学能力的进展，
引导学生踊跃将知识融入自己的知识体系。
四．教学目标
知识与技术：以物理中功的实例熟悉明白得平面向量数量积的含义及物理意义。
进程与方式：培育学生观看、归纳、类比、联想和数形结合等发觉规律的一样方式。 情感态度价值观：让学生经历由实例到抽象的数学概念的形成进程，性质的发觉到论证进程，进一步参悟数学的本质。
五．教学重点和难点
重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的概念及运算律的明白得，平面向量数量积的应用。
六．教学进程设计
活动一：创设问题情景，引出新课
一、提出问题1：请同窗们回忆一下，咱们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
答：向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果是向量。
专门好，那既然两个向量能够进行加法、减法运算。咱们自然就想：两个向量能进行乘法运算吗？若是能，结果也是向量吗？
【设计用意】1.让学生明白新旧知识的联系性。2.明确研究向量的数量积这种运算的途径。
活动二：探讨数量积的概念
一、给出有关材料并提出问题2：
（1）如下图，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。
（2）那个公式有什么特点？请完成以下填空：
① W（功）是 量，② F（力）是 量，
③ S（位移）是 量，④α是 。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
这就给咱们一种启发：可否把功W看成两个向量F和S的一种运算结果呢？为此咱们引入平面向量数量积，今天，咱们就来学习平面向量的数量积。 S F
α 二、明晰数量积的概念
（1）数量积的概念：
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，咱们把数量cosba叫做向量a与b的数量积（或内积），记作：ba，即：cosbaba。
（2）概念说明：
①记法“ba”中间的“·”不能够省略，也不能够用“”代替。
②规定：零向量与任何向量的数量积为零。
【设计用意】数量积的概念。3.从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白什么缘故研究这种运算,从而产生强烈的求知欲望。
3、提出问题3：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？阻碍数量积大小的因素有哪些？
答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果那么是数量，那个数量的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。
4、学生讨论并完成下表：
θ的范围 0°≤θ<90° θ=90° 90°
ba的符号
【设计用意】引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上明白得向量数量积的概念。
五、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念：
如图，咱们把cosb（cosa）
叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影，
记做：OB1=cosb
（2）提出问题4：数量积的几何意义是什么？
答：数量积ba等于a的长度a与b在a的方向上的投影cosb的乘积。 【设计用意】那个地址将数量积的几何意义提早，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特点有了加倍充分的熟悉。
六、研究数量积的物理意义
（1）请同窗们用一句话来归纳功的数学本质：功是力与位移的数量积 。
（2）尝试练习：一物体质量是10千克，别离做以下运动：①、竖直下降10米；②、竖直向上提升10米；③、在水平面上位移为10米； ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；别离求重力做功的大小。
【设计用意】通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对概念的明白得；另一方面使学生明白得数量积的物理意义，明白学科间的联系，同时也为数量积的性质埋下伏笔。
活动三：探讨数量积的运算性质
一、提出问题5：
（1）将尝试练习中的① ② ③的结论推行到一样向量，你能取得哪些结论？
（2）比较ba与ba的大小，你有什么结论？
二、请证明上述结论。
3、明晰：数量积的性质
设a与b是非零向量，那么
1、0baba
2、babababababa反向时，与当同向时，与当;
3、专门地，时当ba
22;aaaaaaaaa或
4、baba
【设计用意】将尝试练习的结论推行取得数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培育了学生由特殊到一样的思维品质和类比创新的意识。
活动四：探讨数量积的运算律 一、提出问题6：咱们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是不是也适用？
答:①互换律：ab=ba ②结合律：(ab)c=a(bc)③分派律：(a+b)c=ac+bc
猜想：①abba ②)()()(bababa ③cbcacba)(
二、分析猜想：
猜想①的正确性是显而易见的。
关于猜想②的正确性，请同窗们先讨论：猜想②的左右两边的结果各是什么？它们必然相等吗？
答：左侧是与向量c共线的向量，而右边那么是与向量a共线的向量，显然在向量c与向量a不共线的情形下猜想②是不正确的。
【设计用意】要求学生通过对过去所学过的运算律的回忆类比得出数量积的运算律。通过讨论纠错来明白得不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法那么与法那么间的彼此联系与区别，体会法那么，学习研究的重要性。
3、明晰：数量积的运算律：
已知向量cba,,，那么
（1）abba
（2）)()()(bababa
（3）cbcacba)(
4、学生活动：证明运算律2
在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情形,为了帮忙学生完善证明，提出以下问题：当λ<0时，向量aa与，bb与的方向的关系如何？现在，向量ba与及ab与的夹角与向量ba与的夹角相等吗？
五、师生活动：证明运算律（3）
【设计用意】学会利用概念证明运算律（1）(2)，运算律(3)的图形构造有些困难，先让学生讨论，后依照学生的情形加以指导或一起完成。
活动五：应用与提高 1、学生独立完成：已知4,5ba, ba与的夹角θ，
（1）ba时，求当120 （2）baba时，求
【设计用意】通过计算巩固对概念的明白得，同时让学生学会运用性质解决问题。
二、师生一起完成：已知4,6ba， ba与的夹角为60°，求)3()2(baba，并试探此运算进程类似于哪一种实数运算？
3、学生独立完成：对任意向量a ，b是不是有以下结论：
（1）2222bbaaba
（2）22bababa
【设计用意】让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与数运算的异同。
4、反馈练习
已知△ABC中，0,,babAcaAB当时，试判定△ABC的形状。
【设计用意】1.增强学生的练习。2.通过观看、问答等方式对学生的把握情形有了进一步的了解和把握。
活动六：小结
一、本节课咱们学习的要紧内容是什么？
二、平面向量的数量积有哪些应用？
3、咱们是依照如何的思维模式进行概念的归纳和性质的探讨？在运算律的探讨进程中，渗透了哪些数学思想？
4、类比向量的线性运算，咱们还应该如何研究数量积？
【设计用意】通过学生讨论总结，增强了学生概念法那么的明白得和把握，体会整个内容的研究进程，明白了什么缘故要学这些内容，学了这些内容能够做什么，这对以后的学习有什么指导意义。
活动七：布置作业
一、讲义P119习题2.4A组一、二、3。
二、拓展与提高： 已知ba与都是非零向量，且baba573与垂直baba274与垂直，求ba与的夹角。（此题供学有余力的同窗选做）
【设计用意】通过设计不同层次的作业既使学生把握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发爱好和“减负”的目的。
七．板书设计
2.4 平面向量的数量积
一.向量数量积的定义 三.向量数量积的几何意义 例2
1已知两个非零向量a与b
a•b＝｜a｜｜b｜cosθ，其中 θ是a与b的夹角
2规定： 0•a＝0
二.向量数量积的重要性质
设a与b都是非零向量，θ是a与b向量数量积的运算律 例3
（1）ab a•b = 0 （1）a•b＝b•a (交换律)
（2）当a与b同向时，a•b = |a||b|； （2）(λa)•b＝λ (a•b)＝a• (λb)
(数乘结合律)
当a与b反向时，a•b = |a||b|； （3）(a＋b)•c＝a•c＋b•c (分配律)
八．教学反思
本节课从整体上说是一节概念教学，从数学和物理两个角度创设问题情景来引入数量积概念能激发学生的学习爱好，。通过安排学生讨论阻碍数量积结果的
