高三一轮复习-函数的图像函数与方程(含答案)
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个性化辅导授课教案
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课 题
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教学内 容
函数图像、函数与方程
一、函数及其表示
【考情解读】
1 .了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
2 .在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3 .了解简单的分段函数，并能简单应用.
【重点知识梳理】
1 .函数的概念
(1)函数的定义：
一般地，设A，8是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系使对于集合A中的任意一个数x,在 集合3中都有唯一确定的数负x)和它对应；那么就称.f： A-8为从集合A到集合3的一个函数.记作y=/(x),x£A.
(2)函数的定义域、值域：
在函数y=/(x), 中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域：与x的值相对应的y值叫做函 数值，函数值的集合｛/U)Lr£A｝叫做函数的值域.显然，值域是集合3的子集.
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.
(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两「函数相等的依 据.
2 .函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.
3 .映射的概念
设A, 8是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个元素x,在集合 8中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应.f： A-8为集合A到集合8的一个映射.
4 .分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函 数.分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数. 【高频考点突破】
考点一、函数的基本概念
例1、有以下判断：
（2）函数）=/5）的图象与直线工=1的交点最多有1个：
（3次人）=入2—2x+l与g（r）=/2—2/+1是同一函数：
⑷若."）=—kl,财M;））=O.
其中正确判断的序号是 ____________ .
1, X》。，
【解析】学科网对于⑴，由于函数.心）=亍的定义域为住工£工，且。0卜而函数鼠「一的
又 —1? x<0
定义域是己所以二者不是同一函数；对于⑵，若入=1不是产Q症义域的值，则直线户1与产务:，的 图象没有交点，如果x=l是1=值）定义域内的值，由函数定义可知，直线工=1与〕=工工）的图象只有一个 交点，即丁=外制图象与直线入=1最多有一个交点；对于⑶，尔汨苧》的定义域、值域和对应关系均相同,
T 所以父工和g1。表示同一函数：对于：卷由于旌= 的判断是⑵⑶.
【答案】（2）⑶
【特别提醒】两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定 义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数.另外，函数的自变量习惯上用X表示，但也可用其他字母表示， 如：/（x）=2x—1, g⑴=2，-1,力（M=2〃?一 1 均表示同一函数.
【变式探究】试判断以下各组函数是否表示同一函数.
(l)y=h y=/；
(2)y=，x—2・"+2, y=yS—4：
⑶y=x, y=诉：
（4）y=Ld, y=（也A.
【解析】⑴j=l的定义域为民,尸=/的定义域为{nWR,且40,故它们不是同一函数.
⑶产正为国总的定义域为g£},尸存二的定义域为{葭它2,或这一2},故它们不是同一函数.
（3）v=x, v=SF=r,它们的定义域和对应关系都相同，
故它们是同一函数.
（孙：=.i•的定义域为&，尸小尸的定义域为仪启3,故它们不是同一函数.
点二、求函数的解淅式
例2、⑴己知y（x+0=1+《，求式X）的解析式：
（2）已知./0+i）=igx,求./U）的解析式；
(3)已知,ZU)是二次函数，且式0)=0,./(x+l)=/S)+x+l,求.ZU). LrL
（1 次x）1,应0,
-1, x<0表不同一函数;
1-1 =0,所以/"=m=1.综上可知，正确 【解析】(1)由于./(X+£)=9+5=G+32-2,
所以4%)=/一2,后2或小一2.
故./U)的解析式是负人)=/一2(后2或A<-2). 2 2 2 (2)令7+1=/得代入得负f)=ig二7, 人 I 1 I 1
又.00,所以/>1,
2 故./U)的解析式是=1&一二1). •V 1
⑶设 /(X)=.G：+ 云+C(GO>
由川)=&知£=& #C)=东+川
又由.心+1]=.依)+工+1,
得数v+ 1 ):+男与+ 1)=娱+改+x+ 1 3
即 木十12。十雄•十口十5=於二十5+1发十1,
所以,
\_CL~V ■}- 1,
解得夕=
所以，心产%：+%已£0.
【方法技巧】函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件"?(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以“替代期X),便得./U)的解 析式(如例⑴)：
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))：
(3)换元法：己知复合函数应的幻)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范闱(如例(2))；
(4)方程思想：已知关于_/U)与乂})或A-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，
通过解方程组求出7(x)(如A级T6).
【变式探究】(1)已知人#+l)=x+25，求人r)的解析式：
(2)设y=/(x)是二次函数，方程yu)=o有两个相等实根，且F(x)=2x+2,求/U)的解析式.【解析】⑴法一；设L则X={L1尸佗6
代人原式有.KO=(L 1)-+2(r— 1)=r:—2r+ l+2r—2=?--1.
故.绘)=三一 1(定1).
法二:,「■+2代=(屿2+2&+1 - 1=(W+1)2-1,
，於&+ 1)=(^+ Ir-1® 十 1>1),
即.©>=.三一1(定1).学科剧
⑵设网=6・二+云+c(g。)
则『(x)=2©+5=2r+2,
(f = B b= 2 9 x)=X-4-2x4"c.
又•・.方程./)=。有两个相等实根，
，」=4-4c=0, c=L 故，%)=/+2^+1.
考点三、分段函数
2 S x£ -8, 1 ,
例3、设函数yu)= , rt , 若/u)>4,则x的取值范围是 ___________ .
r, X £ [ 1, । 8 ,
【解析】当x4,得2r>4,即xv-2；
当后1时，由义工)>4得1>4,所以心>2或入
由于xNl,所以x>2.
综上可得*<-2或x>2.
【答案】(-8, -2)U(2, +8)
【方法技巧】求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使 用求值.若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要 注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
【变式探究】已知./U)的图象如图，则./U)的解析式为.
设工。=公+九把鼻切，1,：和1,三，仁◎，分别代入,
r _3 r _ 3
解得 2 2
b=3.
I设。业。
【答案】主尸「、 3-p l
考点四函数的定义域
(2)若函数y=/5)的定义域是［0,2］,则函数8(幻=乙三一的定「义域是
A. [0J] B. [0J)
C. [0J)U(l,4] D. (0,1)
【答案】⑴(一LD (2)B
解之得OST<1，定义域为也1).故选B.
【拓展提高】
(1)求函数的定义域，其实质就是以函,数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出 它们的解集.
(2)已知7U)的定义域是h］,求几g(x)］的定义域，是指满足@的X的取值范围，而已知几式外］的定 义域是句，指r的是b］.
Y - 4
【变式探究】(1)若函数.")= 4］的定义域为R，则实数，〃的取值范闱是 __________________ .
【解析】 用力的定义域为R,即"式二+4您怛成立.
①当北=。时，符合条件.
②当巾=。时，4X?JJX3<0,
即 vi(4»i—3)<0,
综上所述，常的取值范围是［。，:.
⑵已知.")的定义域是［04］,则於+1)+於-1)的定义域是 _____________________
【答案】［1,3］
0
【解析】由］八 ，. 得13Vs.故"+1)+外T)的定义域为［1,引・
|.0
二、函数图像
【考情解读】 例4、(1)函数y= In x+\
•)/—x2 —3x4-4 的定义域为 __________________
【解析】⑴由 A+1>0
.一x2-3x+4>0 得一l
(2)依已知有， 0<2A<2,
*
3-4 O L考查基本初等函数的图象；
2 .考查图象的性质及变换：
3 .考查图象的应用.
【重点知识梳理】
1 .描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域：(2)化简函数的解析式：(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调 性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象.
2 .图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y= f (x)关即称y= — f (*)：
②尸=f(x)关迎称y=f(-x)：
④(a>0 且 aWl) y= 1 og(a>0 且 &K1).
公_4\
保留/i上方图象 —JTf \
将谢卜方图“折上去V一 । f(*)
(3)伸缩变换, 乙
S>1,横坐标缩短为原来的。倍,纵坐标不变
0
03纵坐标伸长为原来的萧b横坐标不变
0<^1,纵坐标缗短为原疝加倍,横坐标不变
y= af[x).
【高频考点突破】
考点一函数的图象的画法
【例1】分别画出下列函数的图象. (l)y= IgU—1) | ； (2) y=2A，1 —1： (3)y=x — \x —2.
【解析】(1)首先作出尸1g X的图象C：，然后将C二向右平移1个单位，得到产=lg(Ll)的图象C， 再把C在X轴下方的图象作关于工轴对称的图象，即为所求图象G：尸.如图(1)所示(实线部 分).学科掰
(2)产2一一 1的图象可由尸丁的图象向左平移1个单位，得产2一的图彖，再向下平移一个单位得 到，如图⑵所示. ③尸f(x) 关于原点对称
⑥尸 保勖轴右边图经并作其
关于丽福拓图象 y=fCx ).
①尸/(-V)
②尸
