初中数学最短距离问题

中考专题复习——饮马问题及其拓展一、专题分析初中数学路径最短问题通常是指利用两点之间线段最短和垂线段最短等基本原理求点与点，点与线距离最短的问题。

由于这类问题除了领用两大原理外，还柔和了“轴对称”、“平移”“旋转”、“展开”等变换，以及与直角坐标系中函数图象的综合，体现了知识的综合应用，也能很好的考察学生的空间想象力和数形结合的能力以及化归于转化的能力和灵活应变的能力，因此是中考数学考试的一个热点。

初中最短路径问题，根据使用的数学原理，主要分为两类，一类是利用两点之间线段最短解决的问题；一类是利用垂线段最短解决的问题。

其中在第一类问题中，最著名的主要有“造桥选址问题”、“饮马问题”、“蚂蚁吃蜂蜜问题”，考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，根据两点之间线段最短来说明路径最短。

二、教学目标1、理解饮马问题的解题原理，掌握解题方法，会求最短距离2、对于饮马问题的变式问题，能灵活应用其解题思路来解决问题。

3、通过该专题提升学生数形结合的能力和培养学生化归与转化的数学思想的应用能力。

三、教学重点饮马问题的典型问题及其解法四、教学难点饮马问题的变式问题及其解法五、教学方法引领探究教学法六、教学媒体希沃电子白板+PPT课件教学过程一、问题原型将军在战场（A处）A大获全胜，人饥马渴，想到河边（直线MN处）饮马，然后回到帐篷（B 处）休息，问将军选择在何处饮马，才能使他从战场到帐篷所走的路程最短？图一图二分析：作点A关于直线MN的对称的A’,连接BA’与直线MN交于点P，连AP，BP则直线MN 上，点P到点A和点B的距离之和AP+BP最小。

即将军在P处饮马，能使他从战场到帐篷所走的路程最短。

原因分析：设P’使直线MN上除点P外的任一点，连AP’和BP’、A’P’，因为MN是线段AA’的垂直平分线，∴AP’=A’P’，AP=A’P∴AP’+BP’=A’P’+BP’，AP+BP=A’B∵在△A’P’B中，两边之和大于第三边∴A’P’+P’B＞A’B∴AP’+BP’＞AP+BP∴点P到A，B的距离之和最短另一方面，利用轴对称，我们把在直线MN同侧的两点转化为直线MN的异侧，就把这一问题转化为了“两点之间线段最短”的问题。

初二数学最短距离练习题在初中数学中，最短距离是一个经常出现的概念。

掌握最短距离的求解方法是解决许多几何问题的关键。

本文将介绍一些初二数学最短距离的练习题，帮助同学们更好地理解和应用这一概念。

1. 假设有一个直角三角形，斜边长为10厘米，一条直角边长为6厘米。

求另一条直角边的长度以及最短距离。

解答：根据勾股定理，已知斜边和一直角边的长度，可以求得另一直角边的长度。

设另一直角边的长度为x，则根据勾股定理有：x² + 6² = 10²化简得：x² = 100 - 36 = 64因此，x = 8。

最短距离可以通过两种方法求解。

一种方法是将直角三角形平移到一个坐标平面中，直角顶点对应坐标原点，然后计算另一直角边上的一个点到原点的距离。

另一种方法是利用最短距离的性质，即最短距离是两个点连线的长度。

根据这个性质，可以直接计算斜边和另一直角边的距离，即最短距离。

在这个问题中，最短距离即为直角边长为6厘米的线段长度，因此最短距离为6厘米。

2. 已知一个矩形的长为8厘米，宽为6厘米。

矩形的一角上有一个风筝，风筝的顶点与矩形对角线的交点距离矩形两边的长度分别为3厘米和4厘米。

求风筝到离它最近的矩形边的距离。

解答：首先，通过勾股定理求解矩形对角线的长度。

设对角线的长度为x，则有：x² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100因此，x = 10。

由于矩形的一角上有一个风筝，题目要求求解风筝到离它最近的矩形边的距离。

根据最短距离的性质，可以发现离风筝最近的矩形边的长度为3厘米，即风筝到离它最近的矩形边的距离为3厘米。

3. 一个底边为6厘米，高为8厘米的等腰梯形经旋转得到一个圆锥。

求该圆锥的最短距离。

解答：首先，我们需要明确圆锥的最短距离是指圆锥的顶点到圆锥底面上某一点的距离。

在本题中，该点可以是梯形的底边中点。

根据梯形的特性，等腰梯形的底边中点到两侧斜边的距离相等，即为高的一半。

初中数学专题复习（轴对称-最短距离问题）一．轴对称-最短路线问题1．（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2B．2C．6D．3解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD＝+，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P ′M+P′N的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2，∴AC+BD的最小值为2．故选：B．2．（2020•贵港）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（）A．﹣1B．+1C．D．+1解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中点，∴DE＝AD＝×2＝1，∵点E与点E'关于DC对称，∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，∴线段PE+PM的最小值为：PE+PM＝PE'+PM＝ME'＝OE'﹣OM＝﹣1．故选：A．3．（2020•恩施州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（）A．5B．6C．7D．8解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称，∴BF＝DF，∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，∵点E在AB上且BE＝1，∴AE＝3，∴DE＝，∴△BFE的周长＝5+1＝6，故选：B．4．（2020•潍坊）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB 交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（）A．B．C．1D．解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，又∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO∴∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝2，∴，解得，CD＝；∵CD∥AO，∴＝，即＝，解得，PO＝故选：B．5．（2020•西宁）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点D在BC边上，且CD＝5，直线EF是腰AC 的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为18．解：如图，作AH⊥BC于H，连接AM，∵EF垂直平分线段AC，∴MA＝MC，∴DM+MC＝AM+MD，∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，∵等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，AH⊥BC，∴BH＝CH＝10，AH＝＝12，∴DH＝CH﹣CD＝5，∴AD＝＝＝13，∴DM+MC的最小值为13，∴△CDM周长的最小值＝13+5＝18，故答案为18．6．（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15．解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB＝＝10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H＝AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．7．（2020•毕节市）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是．解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AP＝CP，∴AP+EP＝CP+EP＝CE，此时AP+PE的最小值等于CE的长，∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，∴BC＝4，BE＝2，∠ABC＝90°，∴CE＝＝，∴AP+PE的最小值是，故答案为：．8．（2020•黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，∴EG＝AB＝1，EG∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EG＝CD，EG∥CD，连接ED∴四边形EGCD是平行四边形，∴ED＝GC，∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝，∴DM＝1，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2×CD＝．故答案为：．9．（2020•日照）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．（1）求证：△ABC≌△BDF；（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，∴∠C＝∠DFB＝90°．∵四边形ABDE是正方形，∴BD＝AB，∠DBA＝90°，∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DBF＝∠CAB，∴△ABC≌△BDF（AAS）；（2）解：∵△ABC≌△BDF，∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．如图，连接DN，∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，∴AN＝DN．如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，由于点P、N分别是AC和BE上的动点，作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．10．（2019•西藏）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B 两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．2B．2C．3D．解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝2，即PA+PB的最小值为2．故选：A．11．（2019•聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB 的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解得，，∴P（，），故选：C．12．（2019•黑龙江）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为4．解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∵S△P AB＝S△PCD，∴×4×x＝××4×（6﹣x），∴x＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC＝＝4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．13．（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，延长PN′交BC于M，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．14．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．15．（2019•德阳）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．解：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下：∵点E是AD的中点，∴AE＝AD．∵BC＝AD，∴AE＝BC．∵BC∥AD，即BC∥AE．∴四边形ABCE是平行四边形∵AC⊥CD，点E是AD的中点，∴CE＝AE＝DE，∴四边形ABCE是菱形（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形．∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4．∵AF＝EF，CF⊥AE∴CF＝＝2△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．。

初中数学《最短距离问题》教学设计课题分析（1）最短距离问题是初中数学的重要内容之一，也是中考命题的重点之一。

学生已有两点之间线段最短的基本知识，故本课应对从直观认识的基础上，着重在不同背景的实际问题中应用，从而渗透化归的数学思想方法。

（2）通过本节的学习，类比、构造、化归转化等数学思想方法的渗透，使学生体会到数学中的美学意义，不断提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。

本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。

学情分析（1）知识基础：学生了解两点之间线段最短等基本知识点，但此后的学习很少涉及此内容，所以学生对此内容的应用较为陌生，所以学生通过本课的学习，须掌握能在不同背景的实际问题中应用。

（2）能力基础：学生的作图能力还是读图能力，添加适当的辅助线、创造适合的条件去在不同背景的实际问题中应用的能力比较薄弱的，这些能力都必须得到加强。

（3）心理基础：因为陌生而害怕，学生在这部分的学习上存在心理的障碍，这不利于学习，故要在题目的设置上让学生更容易得到成就感，才会让学生敢于动手，达到学好的信心，要充分调动学生的积极性。

教学目标知识目标：掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用。

技能目标：学习过平移、轴对称、旋转三种图形变换，利用图形变换能解决一些最短距离问题。

情感目标：引导学生对图形观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.体会数学的对称美，体验化归的思想方法，培养合作精神。

重点难点重点：1.掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用2.利用图形变换能解决一些最短距离问题难点：1.掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用2.体验化归的数学思想方法教学手段1.运用多媒体辅助教学2.运用合作学习的方式，分组学习和讨论3.调动学生动手操作，帮助理解准备工作1.几何画板课件，辅助难点突破2.学生自带剪刀，圆规，直尺等工具教学设计策略依据教学目标和学生的特点，依据教学时间和效率的要求，在此课教学方法和教学模式的设计中我主要体现了以下的设计思想和策略：本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。

“两点一线”求“最值”在初中数学学习中，我们时常会遇到求距离的“最”值，此类问题会用许多实际问题作为包装，但其本质上还是一个求极值的问题。

它们看起来很复杂，其实只需一个数学上最基本的原理――“两点之间，线段最短”。

当然，为了利用这一原理来解决问题，我们还时常需要创造一定的条件，才能使问题得以解决，下面我们就讲解一下常见的两种类型最值的求法。

一、距离之“和最小”问题原型：如图1，点A、B在直线l的两侧，试在直线l上求作一点P，使PA+PB最小？解决思路：连接AB交直线l于点P，则点P即为所求。

我们可以做如下证明：如图2，在直线l上任取异于点P一点P'，连接P'A、P'B，可知P'A+P'B>AB，（两点之间线段最短）所以P'A+P'B>PA+PB，所以点P即为所求做的使PA+PB最短的点。

问题变形一：如图3，点A、B在直线l的同侧，试在直线l上求作一点P，使PA+PB最小？解决思路：相比较图2，本题中两点A、B分别位于直线l的同侧，欲参照图2作法求作距离和最小的点，需使两点位于直线的两侧，且不能影响到两点中与直线上任一点的距离，这一要求可由我们学过的轴对称来实现，所以我们可用如下办法来寻找点P的位置：作点B 关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，则点P即为所求。

我们可作如下证明：如图4，在直线l上任取异于点P的一点P'，连接P'A、P'B、P'B'，因为点B，B'关于直线l对称，由对称的性质可知PB=PB'，P'B=P'B'，如图可知：P'A+P'B=P'A+P'B'>AB'=PA+PB'=PA+PB，所以P'A+P'B>PA+PB，故点P即为所求。

初中数学最短距离题型实例解析1. 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题；2. 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题；3. 确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；4. 全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

问题原型“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”。

涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。

出题背景角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题思路找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

12个基本问题例题一：已知在平面直角坐标系中，A(2，-3），B(4,-1).(1) 若点P（x,0)是X轴上的动点，当三角形PAB的周长最短时，求X的值。

(2) 若点C、D是X轴上的两个动点，且D（a，0），当四边形ABCD的周长最短时，求a 的值；(3) 设M、N分别为X轴、Y轴的动点。

问是否存在这样的点（m,0）和N（0，n）使得四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m、n。

若不存在，请说明理由。

例题二：应试小技巧一、进入考场，首先要做的是让自己冷静下来。

具体做法是：首先，做一次深呼吸，然后告诫自己：“欲速则不达”，“不要着急，按时交卷就行了”。

二、开考铃声响前有5分钟时间让你浏览试卷。

此时不可用笔答题，否则违反考纪。

你可以一边深呼吸，一边看试卷，但切记不可看作文题，以免影响答题情绪。

三、开考铃声响后允许答题。

答题过程中要注意避免以下几种心态：1、偏急心态，为了抢时间，没有审清题目条件，慌忙答题，解决方法是心中默念：“匆忙做题，做了也白做”。

2、固执心态，久攻不下的试题，又不愿意放弃，徒然浪费时间，解决方法是心中默念：“我攻不下，别人也攻不下，暂时先搁着，做了其它题目后或许会有灵感”。

四、时间安排策略分配时间要服从于考试成功的目的，基本原则就是保证在能够得分的地方不丢分，不容易得分的地方争取尽可能多得分。

初中数学“最短距离”问题分类及解题策略绵阳市游仙区新桥中学数学教研组何道华最短距离问题贯穿于初中几何学习的整个过程，由初一上册的“两点之间的距离”，初一下册的“点到直线的距离”、“平移”等基本问题开始，到初二上册的轴对称，初二下册的直角三角形的有关计算，再到初三上册的旋转等，都涉及到研究距离最短的问题。

虽然解决此类问题的依据很简单，主要是线段最短、垂线段最短以及三角形中的三边大小关系等原理，但图形千变万化，经常与三角形、四边形、圆及抛物线等问题综合考察，涉及的知识背景多，动点、动线的位置不确定，往往需要作平移、对称、旋转等辅助线才能发现线段之间的联系，找到最短距离的位置后，通常还需要进行准确的计算。

通过这类问题的解决，能培养学生动手操作、逻辑思考、严密计算等能力，是各类考试的热点同时也是难点问题。

一、最短距离的基本原理1、两点间的距离是指连接两点的的长度。

在连接两点的所有线中，最短。

简称。

2、点到直线的距离是指点到直线的的长度。

在连接直线外一点与直线上一点的所有线段中，最短。

简称。

3、两平行线间的距离是指平行线中一条直线上的任意一点到另一直线的的长度。

4、三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边。

由任意三点连接的三条线段中，另两边之差≤第三边≤另两边之和。

二、题型及解题策略题型解题策略项目举例解题策略问题解法依据一条线段同一平面内有关联线段Rt△ABC中，点D在斜边AB上移动，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，点G是EF的中点。

作出CG最短时的图形。

连接CD，则CDEFCG2121==，当CD┴AB时，CG最短。

垂线段最短利用相等线段转化。

无关联线段正方形的顶点A、B分别在x、y的正半轴上，AB=a，作出OC最长时的图形。

找AB的中点E，连接OE、CE，当三点O、E、C共线时，OC最长。

三角形的一边小于另两边之和挖掘图中的固定点及长度不变的线段，与所求线段构造△。

空间距离求一只蚂蚁从点A沿正方体表面爬到点G的最短距离。

八年级最短距离知识点总结在初中数学中，八年级的最短距离是一个重要而且基础的知识点。

下面，我们将从定义、性质、解法等角度来对这个知识点进行总结。

一、定义
最短距离，是指平面上一点到直线的最短距离。

其中，这个点不在这条直线上。

二、性质
1.最短距离所在的直线与所求点的连线垂直。

2.在一个固定的直线上，点到这条直线的最短距离是唯一的。

3.当点到直线垂线的长度小于直线段的长度时，点到直线的最短距离在这个垂线段上。

三、解法
1.利用垂直关系求最短距离
(1) 给定一直线和一点，求过这个点且垂直于这条直线的直线，这个垂足点就是这个点到这条直线的最短距离。

(2) 给定两条直线，求它们的距离，可以先在其中一条直线上
求出一个点，使得这个点到另一条直线的最短距离为所求距离。

2.利用解析几何的方法
(1) 直线方程式法
已知直线的解析式，然后求该直线上离点的距离最短的点。

(2) 点坐标法
已知点的坐标，然后求该点到直线上离它最近的点的坐标。

以上是对于八年级最短距离知识点的总结。

掌握这一知识点，不仅可以更好地理解解析几何中的相关内容，而且也有助于提高数学解题的效率。

初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ，2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

初二数学最短距离练习题答案这里将提供初二数学最短距离练习题的详细解答和答案。

通过对这些练习题的解析，你将能够更好地理解最短距离的概念和计算方法。

一、选择题1. 以下哪个选项不属于计算两点间最短距离的实际应用？A. 航空导航B. GPS定位C. 地图测绘D. 时间计算正确答案：D解析：最短距离的计算主要应用于航空导航、GPS定位和地图测绘等领域，帮助确定点与点之间的最短路径或距离。

时间计算与最短距离的概念没有直接关联。

2. 在直角坐标系中，点A(3,4)和点B(-1,2)之间的最短距离是多少？A. 2B. 4C. 5D. 6正确答案：C解析：根据两点间距离公式，设两点坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则最短距离d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。

代入A(3,4)和B(-1,2)的坐标，得到d = √[(3-(-1))² + (4-2)²] = √[16 + 4] = √20 = 2√5 ≈ 4.47，选C。

二、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(5,1)之间的最短距离是_________。

答案：√10 或 3.16解析：带入最短距离公式，d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]，得到d = √[(5-2)² + (1-3)²] = √[9 + 4] = √13 ≈ 3.16，故答案为√13 或 3.16。

2. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A(-2,4)和点B(3,1)之间的最短距离为______。

答案：√34 或 5.83解析：根据图中两点的坐标，应用最短距离公式，d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]，计算可得d = √[(3-(-2))² + (1-4)²] = √[25 + 9] = √34 ≈ 5.83，故答案为√34 或 5.83。

八年级数学最短距离问题最短距离；对称；平移；展开初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的。

初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开。

一、利用“对称”解决最短路线问题。

对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，简单地说就是“对称轴垂直平分这条对应点连线段”。

而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点到两端点的距离相等”。

所以，我们研究A点到直线l的距离问题，就转化成了A’点到直线l的距离问题，而这个转化是等价的。

例1.（饮马问题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远。

分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案。

如果我们设饮水地点是P，所求的距离就是AP+BP两线段长度之和，为了应用“两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对称的方法将A点对称到河对岸的A’点，这样AP+BP=A’P+BP，我们连接A’B，与CD的交点P 即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：A’B2=AG2+BG2，A’B=13公里。

二、利用“平移”解决最短路线问题例2.A，B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸。

请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A，B两个村子之间的路程最短。

分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线。

分别是A点到河岸+桥长+河岸到B 点。

因为桥长是垂直于桥且长度固定，等于河宽，所以我们可以作A点垂直于河岸的垂线，量出AC=EF，如图。

就相当于先过河（AC长），再求C点到B点的最短距离，即线段CB。