江苏省高考数学考前压轴冲刺(新高考)-专题18 三角函数问题(解答题)(解析版)

【最新】数学复习题《三角函数与解三角形》专题解析(2)一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） ABCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．3．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.4．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为（ ）A．273B．5C．73D．25【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C关系式，结合均值定理可求.【详解】∵2cos cosb Cc B=，∴2sin cos sinCcosB C B=，∴tan2tanC B=.又A B Cπ++=，∴()()tan tan tanA B C B Cπ=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan3tan3tan1tan tan12tan2tan1B C B BB C B B+=-=-=---，∴21112tan111tan tan tan3tan tan2tanBA B C B B B-++=++27tan36tanBB=+.又∵在锐角ABC∆中, tan0B>,∴272727tan2tan36tan36tanB BB B+≥⨯=，当且仅当7tan B=时取等号，∴min11127tan tan tan3A B C⎛⎫++=⎪⎝⎭，故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.5．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ． 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．6．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.7．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9π）的图象上所有点（ ） A ．向左平移518π个单位长度 B ．向右平移518π个单位长度 C ．向左平移536π个单位长度 D ．向右平移536π个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数cos 29y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭转化为7sin 218y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再结合两函数解析式进行对比，得出结论． 【详解】 函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴要得到函数sin 29y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos 29y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移536π个单位长度，故选D ． 【点睛】本题考查函数()sin y A x b ωϕ=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论．8．将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由12f πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．【详解】解：将函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的图象向右平移6π个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象；∵所得图象关于y 轴对称，∴62k ωππφπ-+=+，k Z ∈．∵()1sin sin 2f ππφφω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63k ωπππ-=+，620k ω=-->, 则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选C ． 【点睛】本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．9．已知函数()3cos(2)2f x x π=+，若对于任意的x ∈R ，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12x x -的最小值为（ ）A ．4B ．1C ．12D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出()f x 的一个最大值为()2f x ，一个最小值为()1f x ，于此得出12x x -的最小值为函数()y f x =的半个周期，于此得出答案． 【详解】对任意的x ∈R ，()()()12f x f x f x 剟成立. 所以()()2min 3f x f x ==-，()()2max 3f x f x ==，所以12min22Tx x -==，故选D ． 【点睛】本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．10．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,]4π B ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到12ω=，则()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求得其单调增区间，再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，由(,)m m -是增区间的子集求解. 【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期， 所以12ω=，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ， 所以()f x 在3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数，由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭， 解得02m π<≤.故选：B 【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题11．已知2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．35-C ．35D ．53【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式计算得到35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan tan 1472πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得答案. 【详解】由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.12．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =， 当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =， 综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若121cos 4F MF ∠=,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A．y = B．3y x =±C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】Q 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 121222MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:∴ 12121222122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅可得:2221(2)(4)(2)2424c a a a a =+-⋅⋅⋅化简可得:2c a =由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-=可得:b =Q 双曲线渐近线方程为:b y x a=±则双曲线渐近线方程为: y = 故选:A. 【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.14．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则()f x 的最大值为（ ）A ．2BC ．D 或【答案】D 【解析】 【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则有()(0)2f f π-=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称， 所以()(0)2f f π-=，即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，此时()f x 的最大值为；当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，此时()f x ；综上()f x 或. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos a B b A C +=，1a =，b =c =（ ）AB ．1CD 【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理将cos cos a B b A +=中的边转化为角，可得sin()A B +=可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果. 【详解】解：因为cos cos 2cos a B b A C+=，所以正弦定理得，sin cos sin cos A B B A +=所以sin()A B +=sin 2cos C C C=，因为sin 0C ≠，所以cos C =， 又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，b =所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c =故选：B【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.16．函数()sin())f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（ ）A ．[－2＋12k ，4＋12k]（k ∈Z ）B ．[－5＋12k ，1＋12k]（k ∈Z ）C ．[1＋12k ，7＋12k]（k ∈Z ）D ．[－2＋6k ，1＋6k]（k ∈Z ）【答案】B【解析】由题意得()23f x sin x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为12T =，于是可得6π=ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间．【详解】由题意得()()()23f x sin x x sin x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=，∴函数()f x 的周期为12T =， ∴6π=ω， ∴()263f x sin x ππϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 又函数图象过点()1,2， ∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴cos 1ϕ=，∴2()k k Z ϕπ=∈，∴()263f x sin x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭． 由22,2632k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈， 得512112,k x k k Z -+≤≤+∈， ∴()f x 的单调增区间为[]()512,112k k k Z -++∈．故选B ．【点睛】解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．17．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ）A ．12B ．2C ．D ．﹣2 【答案】B【解析】根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案.【详解】 因为向量m =r (1，cosθ)，n =r (sinθ，﹣2)， 所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r 因为m r ⊥n r ，所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B.【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.18．化简21sin 352sin 20︒︒-=（ ）A ．12B ．12-C ．1-D ．1【答案】B【解析】【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.【详解】 依题意，原式1cos7011cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202--==-⨯=-⨯=-o o o o o o ，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.19．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论：①()f x 是奇函数；②()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案.【详解】 ()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=， 所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误.故选：C .【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.20．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．①③【答案】A【解析】逐一考查所给的函数：cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ； 函数tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③.本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．。

江苏省江阴四校高考数学高考数学压轴题 三角函数与解三角形多选题分类精编附解析一、三角函数与解三角形多选题1．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2πϕ≤）的图象与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，,||23OCB OA π∠==，221||3AD =.则下列说法正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为12B ．6πϕ=-C ．()f x 的最大值为163D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增【答案】ACD 【分析】3sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据221||AD =，可得方程22228(1)243A sin πϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ．判断出结论． 【详解】由题意可得：||3|OB OC =，3sin 2πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=， (2,0)A ，(2B πω+，0)，(0,sin )C A ϕ，sin 1,22A D πϕω⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭， 213AD =，222sin 281243A πϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，把|sin |)3A πϕω=+代入上式可得：2()2240ππωω-⨯-=，0>ω.解得6πω=，6πω∴=，可得周期212T ωπ==，sin()03πϕ∴+=，||2πϕ≤，解得3πϕ=-.可知：B 不对，3sin 263π⎛⎫∴-=+ ⎪⎝⎭，0A >，解得163A =，函数16()sin()363f x x ππ=-，可知C 正确. ()14,17x ∈ 时，52,632x ππππ⎛⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得：函数()f x 在()14,17x ∈单调递增. 综上可得：ACD 正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点,,B C D 的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.2．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ） A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍 B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABC 167D ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2A π=，由此确定选项正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453cos 0256604A +-===>⨯⨯，16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，cos2cos A C =.0,022A C ππ<<<<，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由于0,0A B ππ<<<<，所以2A π=，故B 选项正确.对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<，2137sin 188C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设三角形ABC 外接圆半径为R，则2sin 2sin c cR R C C=⇒===，故C 选项错误.对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤， 要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=， 则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是2sin aR A=，而不是sin aR A =.3．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ） A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 是周期为2π的函数C ．()f x 有对称轴D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点【答案】BD 【分析】先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】因为[][]()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而cos y u =-在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故A 错误.由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①，也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②，也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③，由②③可得cos 2sin 20cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨+=-⎩， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π2a或32a π=.若π2a，则21116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而2711162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=-=-+≠- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若32a π=，则21911162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=+-=-+≠-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.4．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．22S a bc +的最大值为12B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为13- 【答案】ACD【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】 对于选项A ：2221sin 1sin 222cos2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc Ac b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-， 因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =时，取得最小值33-， 故可得32yz x ⎡⎫=∈⎪⎢⎪-⎣⎭， 又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得213324S a bc ⎛≤-⨯= +⎝⎭， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得33c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-， 所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sinC C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =， 因为2b c =，所以B C >，所以3cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以233c =，433b =，所以ABC 的周长为223+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，233c =，433b =，所以ABC 的内切圆半径为123433212333r ⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以ABC 的面积为1123331122cr ⎛⎫-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭所以选项D 正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A Ab c a bc A A c b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.5．（多选题）如图，设ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，、、A B C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的是（ ）A ．3B π=B ．ABC 是等边三角形C ．若A B CD 、、、四点共圆，则AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质和三角形内角和可得3B π=，根据等比中项和余弦定理可得a c =，即ABC 是等边三角形，若A B C D 、、、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得23D π=，再利用余弦定理可求AC =211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+和2222cos AC AD CD AD CD D 可得3sin 3sin()23S D D D π=-+=-+. 【详解】由、、A B C 成等差数列可得，2A+C =B ，又A B C π++=， 则3B π=，故A 正确；由a b c 、、成等比数列可得，2b ac =，根据余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，两式相减整理得，2()0a c -=，即a c =，又3B π=，所以，ABC 是等边三角形，故B 正确；若A B C D 、、、四点共圆，则B D π+=，所以，23D π=， ADC 中，根据余弦定理，2222cos AC AD CD AD CD D ，解得AC =C 正确； 四边形ABCD 面积为：211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+23sin 2D AC = 又2222cos 106cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅=-，所以，3sin 3sin()22232S D D D π=-+=-+， 因为(0,)D π∈，当四边形面积最大时，sin()13D π-=，此时max 3S =，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.6．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.7．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是22⎡-⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值3，所以函数的值域是31,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.8．如图，已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴交于点A ，B ，若7OB OA =，图象的一个最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．4πϕ=-B ．()f x 的最小正周期为4C ．()f x 一个单调增区间为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．()f x 图象的一个对称中心为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】先利用7OB OA =设0OA x =，得到点A 处坐标，结合周期公式解得选项A 错误，再利用最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭解出0x 得到周期，求得解析式，并利用代入验证法判断单调区间和对称中心，即判断选项BCD 正确. 【详解】由7OB OA =，设0OA x =，则07OB x =，06AB x =，选项A 中，点A ()0,0x 处，()0sin 0x ωϕ+=，则00x ωϕ+=，即0x ϕω=-，0612262T x AB ϕπωω-==⋅==，解得6πϕ=-，A 错误； 选项B 中，依题意0004343D x x x x =+==，得013x =，故1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭，最小正周期414433T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，B 正确； 选项C 中，由24T πω==，得2πω=，结合最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，知43A =，即()4sin 326f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当24,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,2622x ππππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个单调增区间，C 正确；选项D 中，53x =-时()5454sin sin 0332363f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 正确.故选：BCD. 【点睛】 思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.9．已知函数()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f xC ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称 【答案】BD 【分析】首先要熟悉()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项. 【详解】由题意，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为2π，故A 错误；函数()f x B 正确；函数()f x 的图象是由()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误； 由7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭知D 正确， 故选：BD . 【点睛】思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，并且知道函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴.10．已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125-<f f D ．若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤ 【答案】AD 【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误； 对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确.故选：AD【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Zω-+≤≤+∈，再结合233Tππππω=≥-=和0>ω得0k=，进而得答案.。

专题16 三角函数问题考点预测三角函数与解三角形是江苏高考必考的题型，主要考察正余弦定理，三角函数的图像与性质在解三角形中的灵活运用，常考的知识点如下：1.在ABC ∆中，C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,CB C B A tan tan 1tan tan tan -+-=. 2.在ABC ∆中，B c C b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=,A b B a c cos cos +=.3.ABC ∆的面积Rabc R c ab C ab S 4221sin 21===. 4.C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===.5.222222222cos 2,cos 2,cos 2b c a B ac c b a C ab a c b A bc -+=-+=-+=.典型例题1.已知实数a ∈[2，3]，不等式a cos 2x ﹣（4a +b ）sin x ﹣2（2a +b +2）﹣|sin x +2﹣a |≥0对任意x ∈R 恒成立，则a 2+2a +3b 的最大值是（ ）A ．﹣16B ．﹣13C ．﹣6D ．2 【答案】B【分析】令t ＝2+sin x ，可得t ∈[1，3]，原不等式化为a （1﹣t 2）﹣bt ﹣4﹣|t ﹣a |≥0，两边同除以t ，可得at +b ++|1﹣|≤0，令f （t ）＝at +b ++|1﹣|，讨论f （t ）的单调性，求得f （t ）的最大值，即有3b ≤﹣7a ﹣7，再由二次函数的最值求法，可得所求最大值．【解答】解：令t ＝2+sin x ，由x ∈R ，可得sin x ∈[﹣1，1]，t ∈[1，3]，原不等式即为a （cos 2x ﹣4sin x ﹣4）﹣b （sin x +2）﹣4﹣|sin x +2﹣a |≥0，即a[1﹣（sin x+2）2]﹣b（sin x+2）﹣4﹣|sin x+2﹣a|≥0，即有a（1﹣t2）﹣bt﹣4﹣|t﹣a|≥0，两边同除以t，可得at+b++|1﹣|≤0，令f（t）＝at+b++|1﹣|，则f（t）＝，即f（t）＝，当a∈[2，3]时，≤＜a，所以f（t）在[1，]上递减，在（，a]上递增，在（a，3]递增，可得f（t）在[1，]上递减，在（，3]递增，因为f（1）＝a+b+3，f（3）＝+b+，而f（3）﹣f（1）＝﹣＞0，所以f（t）max＝f（3）＝+b+≤0，即3b≤﹣7a﹣7，则a2+2a+3b≤a2+2a﹣7a﹣7＝a2﹣5a﹣7，当a∈[2，3]时，a2﹣5a﹣7＝（a﹣）2﹣∈[﹣，﹣13]，即a2﹣5a﹣7的最大值为﹣13，所以a2+2a+3b的最大值是﹣13．故选：B．【知识点】三角函数的最值、函数恒成立问题2.某公司计划建设一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域ABCD，其中三角形区域ABC中，AB＝2百米，BC＝4百米，三角形区域ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，现计划在三角形区域BCD 内修建水上项目，则△BCD的最大面积为（）A．（3+4）平方百米B．（3+2）平方百米C．（4+2）平方百米D．（4+2）平方百米【答案】C【分析】以C为坐标原点，CB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA|＝r，∠BCA＝θ，可求点A的坐标为（r cosθ，r sinθ），点D的坐标为（r cos（θ+），r sin（θ+）），利用三角形的面积公式，三角函数的有界性即可求解．【解答】解：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA|＝r，∠BCA＝θ，则点A的坐标为（r cosθ，r sinθ），点D的坐标为（r cos（θ+），r sin（θ+）），所以△BCD的面积为S△BCD＝r sin（）＝r sinθ+r cosθ＝x A+y B，易知点A在以点B为圆心，2为半径的圆上，设∠ABx＝α，（α∈（0，π）），则点A的坐标为（4+2cosα，2sinα），所以S△BCD＝x A+y B＝4+2cosα+2sinα＝4+2sin（），当α＝时，△BCD的面积最大，最大值为4+2．故选：C．【知识点】三角形中的几何计算专项突破一、单选题（共13小题）1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，b cos A＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．4D．6【答案】A【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin A cos B＝sin A，结合sin A≠0，可求cos B＝，结合范围B∈（0，π），可得B＝，设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，在△ADB，△BDC，△ABC中分别利用余弦定理，由cos∠ADB＝﹣cos∠CDB，可得6x2＝a2+2c2﹣12，再根据cos∠ABC＝，可得a2+c2﹣9x2＝ac，可得4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得ac≤6，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：在△ABC中，b cos A＝c﹣a，由正弦定理可得sin B cos A＝sin C﹣sin A，可得sin B cos A＝sin（A+B）﹣sin A＝sin A cos B+cos A sin B﹣sin A，即sin A cos B＝sin A，由于sin A≠0，所以cos B＝，由B∈（0，π），可得B＝，设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，在△ADB，△BDC，△ABC中分别利用余弦定理，可得cos∠ADB＝，cos∠CDB＝，cos∠ABC＝，由于cos∠ADB＝﹣cos∠CDB，可得6x2＝a2+2c2﹣12，再根据cos∠ABC＝，可得a2+c2﹣9x2＝ac，所以4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得4c2+a2≥4ac，所以ac≤6，当且仅当a＝2，c＝时等号成立，所以△ABC的面积S＝ac sin∠ABC＝ac≤．故选：A．【知识点】正弦定理、三角形中的几何计算2.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AD的三等分点（靠近点A）．现以EC为折痕，将△CDE翻折得到△CD'E，设∠BED'＝θ，则在翻折的过程中cosθ的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】可得D'的轨迹和线段ED'的轨迹，考虑当点D'落在平面ABCD内时，设ED'与BC的交点为F，可得∠BEF≤θ≤∠BED，推得四边形EDCF是正方形，再求cos∠BEF，cos∠BED，可得所求范围．【解答】解：由题意可得D'的轨迹是以AC为直径的圆的一部分，线段ED'的轨迹是圆锥的侧面的一部分．当点D'落在平面ABCD内时，设ED'与BC的交点为F，易得F是BC的三等分点（靠近点B），连接EF，可得∠BEF≤θ≤∠BED，则cos∠BEF≥cosθ≥cos∠BED，因为ED＝CD＝CF＝EF＝2，∠ADC＝90°，所以四边形EDCF是正方形，则∠DEF＝90°，因此cos∠BEF＝cos∠EBA＝，cos∠BED＝cos（∠BEF+90°）＝﹣sin∠BEF＝﹣，则cosθ∈[﹣，]，故选：A．【知识点】三角形中的几何计算3.函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y＝f（x）在区间（﹣π，π）上的零点个数是（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【分析】根据函数图象，可得函数周期，利用周期公式可求ω的值，又f（x）的图象过点（，0），结合范围|φ|＜，可得φ＝﹣，从而得解函数解析式，令f（x）＝0，求出x的表达式，结合区间（﹣π，π）即可求解．【解答】解：根据函数图象，可得＝﹣＝1，可得T＝2，所以ω＝＝＝π，可得f（x）＝sin（πx+φ），又f（x）的图象过点（，0），|φ|＜，所以+φ＝0，解得φ＝﹣，所以f（x）＝sin（πx﹣），令f（x）＝0，则πx﹣＝kπ，k∈Z，可得x＝k，令﹣π＜k＜，根据k∈Z，可得k的取值分别为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，于是y＝f（x）在区间（﹣π，π）上的零点个数为6．故选：C．【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式4.已知函数f（x）＝cos（πx）﹣x2+（+）x﹣a，若f（x）在（0，）上有两个零点，则a的取值范围为（）A．（﹣，++）B．（1，++）C．（﹣，+）D．（1，+）【答案】B【分析】对函数f（x）求导，可得函数f（x）的单调性情况，再根据题意，可知，进而求得实数a的取值范围．【解答】解：由题意可得，，令，则g′（x）＝﹣π2cos（πx）﹣2，当时，g′（x）＜0，故f′（x）在上单调递减，又，故当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴要使f（x）在（0，）上有两个零点，需，∴，解得．故选：B．【知识点】余弦函数的图象、函数的零点与方程根的关系、函数零点的判定定理5.已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）说法正确的是（）A．g（x）＝2sin（2x+）B．单调递增区间为（﹣+kπ，+kπ）（k∈Z）C．x＝为该函数的一条对称轴D．（，0）为该函数的一个对称中心【答案】B【分析】根据函数f（x）的图象可得最小正周期T，由周期公式可求得ω，由点（，0）在函数f（x）的图象上，可求得φ，再由点（0，1）在函数f（x）的图象上，可求得A值，从而可得f（x）的解析式，从而判断选项A；由三角函数的性质可判断选项C，D；由三角函数的图象变换可得g（x），结合正弦函数的单调性即可判断选项B．【解答】解：由图象可知，函数f（x）的最小正周期T＝2（﹣）＝π，所以ω＝＝2，因为点（，0）在函数f（x）的图象上，所以A sin（2×+φ）＝0，即sin（+φ）＝0，又0＜φ＜，所以＜+φ＜，所以+φ＝π，所以φ＝，又点（0，1）在函数f（x）的图象上，所以A sin＝1，解得A＝2故函数f（x）的解析式为2sin（2x+），所以g（x）＝f（x﹣）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，故选项A错误；将x＝和x＝代入解析式显然不是该函数的对称轴和对称中心，故选项C，D错误；﹣+2kπ＜2x＜+2kπ，解得﹣+kπ＜x＜+kπ，k∈Z，则函数g（x）的单调递增区间为（﹣+kπ，+kπ）（k∈Z），故B正确．故选：B．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式6.已知函数f（x）在定义域上是单调函数，且f[f（x）﹣2020x]＝2021，当g（x）＝sin x﹣cos x﹣kx在上与f（x）在R上的单调性相同时，实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．C．D．【答案】B【分析】先根据所给f（x）的等式，求出f（x），判断其单调性，化简g（x），由题意，求导使其导函数恒大于等于零，解出．【解答】解：∵函数f（x）在定义域上是单调函数，且f[f（x）﹣2020x]＝2021，∴f（x）﹣2020x为定值，设f（x）﹣2020x＝t，则f（t）＝2021，且f（t）﹣2020t＝t，∴2021﹣2020t＝t，解之得t＝1，∴f（x）＝2020x+1，f（x）在R上的单调递增，∵g（x）＝sin x﹣cos x﹣kx＝﹣kx，∴g'（x）＝2cos（x﹣）﹣k，∵g（x）＝sin x﹣cos x﹣kx在上与f（x）在R上的单调性相同，∴g'（x）＝2cos（x﹣）﹣k≥0，在上恒成立，∴2cos（x﹣）≥k，在上恒成立，∴，∴≤cos（x﹣）≤1，∴≤2cos（x﹣）≤2，∴．故选：B．【知识点】两角和与差的三角函数7.将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的（ω＞0）得到函数y＝f（x）的图象，若y＝f（x）在[0，]上的最大值为，则ω的取值个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用函数图象的平移与伸缩变换求得f（x）的解析式，再由x的范围求得ωx﹣的范围，结合y ＝f（x）在[0，]上的最大值为，分类求解得答案．【解答】解：将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin（x﹣）的图象．再将横坐标缩短为原来的（ω＞0）得到函数y＝f（x）＝sin（ωx﹣）的图象，∵x∈[0，]上，∴ωx﹣∈[﹣，π]，当π≥，即ω≥4时，则＝1，求得ω＝5．当π＜，即0＜ω＜4时，由题意可得sinπ＝，作出函数y＝sin[（x﹣1）]与y＝的图象如图：由图可知，此时函数y＝sin[（x﹣1）]与y＝的图象有唯一交点，则sinπ＝有唯一解．综上，ω的取值个数为2．故选：B．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换8.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，若存在0≤x1＜x2≤π，满足，则cos（x1﹣x2）＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据图象求出函数解析式，结合对称性求出x2＝﹣x1，然后利用三角函数的诱导关系进行转化求解即可．【解答】解：由图象知函数的周期T＝2×（﹣）＝2×＝π，即，得ω＝2，f（）＝f（）＝sin（2×+φ）＝﹣1，即+φ＝2kπ+，即φ＝2kπ﹣，k∈Z，当k＝0时，φ＝﹣，即f（x）＝sin（2x﹣），∵存在0≤x1＜x2≤π，满足，∴﹣≤2x1﹣≤，则θ1＝2x1﹣，θ2＝2x2﹣关于对称，即＝，得x2＝﹣x1，且sin（2x1﹣）＝则cos（x1﹣x2）＝cos（2x1﹣），设2x1﹣＝α，则2x1＝+α，即sinα＝则cos（x1﹣x2）＝cos（2x1﹣）＝cos（+α﹣）＝cos（α﹣）＝sinα＝故选：C．【知识点】两角和与差的三角函数9.已知△ABC为锐角三角形，D，E分别为AB，AC的中点，且CD⊥BE，则cos A的取值范围是（）A．（，1）B．（）C．[，1）D．[，）【答案】D【分析】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设CD，BE交于G，连接AG，延长交BC于F，则F为BC的中点，由直角三角形的性质可得AF＝a，分别在三角形ABF和三角形ACF中，运用余弦定理可得c2+b2＝5a2，由锐角三角形可得＜＜，再由余弦定理可得cos A关于b，c的式子，由换元法和对勾函数的单调性，计算可得所求范围．【解答】解：设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设CD，BE交于G，连接AG，延长交BC于F，则F为BC的中点，由CD⊥BE，可得FG＝BC＝a，AG＝a，AF＝a，在△ABF中，c2＝（a）2+（a）2﹣2×a•a•cos∠AFB，在△ACF中，b2＝（a）2+（a）2﹣2×a•a•cos∠AFC，上面两式相加，结合∠AFB+∠AFC＝π，可得c2+b2＝5a2，又△ABC为锐角三角形，可得a2+b2＞c2，b2+c2＞a2，c2+a2＞b2，可得3b2＞2c2，3c2＞2b2，则＜＜，即＜＜，又cos A＝＝＝（+）≥×2＝，当且仅当b＝c，取得最小值；设＝t（＜t＜），则f（t）＝t+在（，1）递减，在（1，）递增，可得f（）＝f（）＝，则≤cos A＜，故选：D．【知识点】三角形中的几何计算10.已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n＝（）A．B．21πC．D．42π【答案】C【分析】零点即为曲线和X轴的交点，所以先求出对称轴方程，在给定区间[0，]上由8条对称轴，有中点坐标公式可知x1+x2＝×2，以此类推，最后两个零点加和等于对称轴的二倍，各式相加，就可得出答案．【解答】解：令2x﹣＝+kπ（k∈z），可得x＝kπ+（k∈z），即函数的对称轴方程为x＝kπ+（k∈z），又f（x）的周期为T＝π，令kπ+＝，可得k＝8，所以函数在x∈[0，]上有8条对称轴．根据正弦函数的性质可知，x1+x2＝×2，x2+x3＝×2，…，x n﹣1+x n＝×2，（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴），将以上各式相加得，x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n＝（+++…+）×2＝×＝，故选：C．【知识点】正弦函数的图象11.已知函数f（x）＝cos2x+b cos x+c，若对任意x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，则b的最大值为（）A．1B．2C．2D．4【答案】C【分析】化函数f（x）为cos x的二次函数，利用换元法设t＝cos x，问题等价于g（t）对任意的t1、t2∈[﹣1，1]，都有|g（t1）﹣g（t2）|≤4，即|g（t）max﹣g（t）min|≤4；再讨论b＞0时，利用二次函数的图象与性质，即可求出b的最大值．【解答】解：函数f（x）＝cos2x+b cos x+c＝cos2x+b cos x+c﹣，设t＝cos x，则t∈[﹣1，1]；问题等价于g（t）＝t2+bt+c﹣，对任意的t1、t2∈[﹣1，1]，都有|g（t1）﹣g（t2）|≤4；即|g（t）max﹣g（t）min|≤4，欲使满足题意的b最大，只需考虑b＞0；当0＜b＜1时，函数g（t）＝t2+bt+c﹣的图象与函数h（t）＝t2的图象形状相同；则|g（t1）﹣g（t2）|≤2≤4，所以0＜b＜1时显然成立；当b≥1时，g（t）在t∈[﹣1，1]上单调递增，|g（t）max﹣g（t）min|＝g（1）﹣g（﹣1）＝2b≤4，解得b≤2，所以1＜b≤2；综上知，b的取值范围是0＜b≤2，最大值是2．故选：C．【知识点】三角函数的最值、二倍角的三角函数12.函数f（x）＝sin（2x+）在区间[t上的最大值与最小值之差的取值范围是（）A．[]B．.[1，]C．.[，1]D．.[1，]【答案】D【分析】当函数f（x）在区间[t上单调时，最大值与最小值之差有最大值，当对称轴x＝t0在区间内部时，讨论可得最大值与最小值之差的最小值．【解答】解：当对称轴不在[t上时，函数f（x）在[t上单调，不妨设函数f（x）在[t上单调递增，设函数f（x）＝sin（2x+）在区间[t上的最大值与最小值之差为g（t），则g（t）＝f（t）﹣f（t﹣）＝sin（2t+）﹣sin[2（t﹣）+）＝sin（2t+）+cos（2t+）＝，当对称轴在区间[t上时，不妨设对称轴上取得最大值1，则函数f（x）的最小值为f（t﹣）或f（t），显然当对称轴经过区间[t中点时，g（t）有最小值，不妨设2×+＝+2kπ，k∈Z，则t＝，k∈Z，f（t）＝sin[2（）+]＝sin（+2kπ）＝，∴g（t）的最小值为1﹣，综上，函数f（x）＝sin（2x+）在区间[t上的最大值与最小值之差的取值范围是[1﹣，]，故选：D．【知识点】三角函数的最值13.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|≤，为f（x）的零点：且f（x）≤|f（）|恒成立，f（x）在区间（﹣）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（）A．11B．13C．15D．17【答案】C【分析】先根据x＝为y＝f（x）图象的对称轴，x＝﹣为f（x）的零点，判断ω为正奇数，再结合f （x）在区间（﹣，）上单调，求得ω的范围，对选项检验即可．【解答】解：由题意知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝为y＝f（x）图象的对称轴，x ＝﹣为f（x）的零点，∴•＝，n∈Z，∴ω＝2n+1．f（x）在区间（﹣，）上有最小值无最大值，∴周期T≥（+）＝，即≥，∴ω≤16．∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω＝15，当ω＝15时，由题意可得﹣×15+φ＝kπ，φ＝﹣，函数为y＝f（x）＝sin（15x﹣），在区间（﹣，）上，15x﹣∈（﹣，，），此时f（x）在x＝﹣时取得最小值，∴ω＝15满足题意．则ω的最大值为15，故选：C．【知识点】三角函数的最值二、多选题（共2小题）14.已知f（x）＝sin x+x（x∈[﹣1，1]），且实数a，b满足f（a）+f（b﹣1）＝0成立，则以下正确的是（）A．ab的最大值为B．ab的最小值为﹣2C．+的最小值为9D．b﹣a的最大值为3【答案】ABD【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性和奇偶性得到a+b＝1，求出a，b的范围，对于A，B，结合二次函数的性质判断即可，对于C，结合不等式的性质判断，对于D，结合图象判断即可．【解答】解：∵f（x）＝sin x+x（x∈[﹣1，1]），∴f（﹣x）+f（x）＝0，∴函数为奇函数，∵x＞0时，f′（x）＝1+cos x≥0，∴函数f（x）为增函数，∵f（a）+f（b﹣1）＝0，∴f（a）＝﹣f（b﹣1）＝f（1﹣b），∴a＝1﹣b，∴a+b＝1，﹣1≤a≤1，0≤b≤2，对于A：ab＝a（1﹣a）＝﹣+，a∈[﹣1，1]，当a＝时，ab的最大值是，故A正确；对于B：根据题意得：ab＝a（1﹣a）＝﹣+，a∈[﹣1，1]，当a＝﹣1时，ab取最小值﹣2，故B正确；对于C：当a＝0或b＝0时，和没有意义，当a≠0且b≠0时，+＝（+）（a+b）＝5++，当a，b异号时，显然+＜5，最小值不是9，故C错误；对于D：如图示：令x＝a，y＝b，x+y＝1，x∈[﹣1，1]，则b﹣a＝y﹣x，令z＝y﹣x，即y＝x+z，z的几何意义是直线y＝x+z的纵截距，当y＝x+z过A（﹣1，2）时z取最大值，z max＝2﹣（﹣1）＝3，故D正确，故选：ABD．【知识点】正弦函数的图象15.函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．函数f（x）图象的对称轴为直线C．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象D．若f（x）在区间上的值域为，则实数a的取值范围为【答案】ABD【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断个选项即可得到结论．【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象知，A＝2，且T＝﹣（﹣）＝π，所以T＝π，解得ω＝＝2，又f（）＝2sin（2×+φ）＝2，所以sin（+φ）＝1，即+φ＝+2kπ，k∈Z，又|φ|＜π，所以φ＝﹣，故选项A正确；所以f（x）＝2sin（2x﹣）．令2x﹣＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，所以函数f（x）图象的对称轴为直线，故选项B正确；将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝2sin（2x+﹣）＝2sin2x，故选项C错误；x∈，则2x﹣∈[，2a﹣]，因为f（x）在区间上的值域为，所以≤2a﹣≤，解得≤a≤，即实数a的取值范围为，故D正确．故选：ABD．【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式。

[考情分析]以三角形、三角函数为载体，以三角函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查三角函数的综合问题是高考的热点题型，主要考查内容有正、余弦定理、三角形面积的计算、三角恒等变换和三角函数的性质．解题时要充分利用三角函数的图象与性质，交替使用正弦定理、余弦定理，利用数形结合、函数与方程思想等进行求解．考点一三角函数图象与性质的综合例1已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ(1)求f (x )＝2的解集；(2)求函数g (x )＝f 解(1)由图象可知，周期T ＝5π12＋7π12＝π，∴ω＝2ππ＝2，∵，∴A 2×5π12＋0，∴0，解得5π6＋φ＝π＋2k π，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∵点(0，1)在函数图象上，∴A sin π6＝1，A ＝2，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x由f (x )＝x 2，得x 1，即2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ＝π6＋k π，k ∈Z ，∴f (x )＝2|x ＝π6k π，k ∈(2)g (x )＝由(1)知f (x )＝xg (x )＝2sin 2＋π6－2sin 2＋π6＝2sin2x －2sinx ＝2sin2x －x ＋32cos2sin2x －3cos2x＝x 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，∴函数g (x )＝f k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .解决三角函数图象与性质综合问题的方法利用图象讨论三角函数的性质，应先把函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，然后通过换元法令t ＝ωx ＋φ，转化为研究y ＝A sin t 或y ＝A cos t 的性质．1.已知函数f (x )＝2sin ωx cos φ＋2sin φ－4sin 2ωx 2sin φ(ω>0，|φ|<π)，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，________，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的图象关于y 轴对称且f (0)<0；②函数f (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝－π3且f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若x ∈π2，3π4，函数h (x )＝f (x )－a 存在两个不同零点x 1，x 2，求x 1＋x 2的值．解(1)f (x )＝2sin ωx cos φ＋2sin φ－2(1－cos ωx )sin φ＝2sin(ωx ＋φ)，又函数f (x )的最小正周期为T ＝4×π4＝π，所以ω＝2πT＝2，若选条件①：将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度得到的图象关于y 轴对称，所得函数为y ＝2sin 2φ＝x ＋π3＋由函数y ＝2sin x ＋π3＋y 轴对称，可得π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝π6＋k π(k ∈Z )，因为|φ|<π，所以φ的可能取值为－5π6，π6，若φ＝－5π6，则f (x )＝xf (0)＝1，符合题意；若φ＝π6，则f (x )＝x f (0)＝2sin π6＝1，不符合题意．所以f (x )＝x若选条件②：因为函数f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－π3，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝7π6＋k π(k ∈Z )，因为|φ|<π，所以φ的可能取值为－5π6，π6，若φ＝－5π6，则f (x )＝x则2<f (1)，符合题意；若φ＝π6，则f (x )＝x则2sin π2＝2>f (1)，不符合题意．所以f (x )＝x(2)令t ＝2x －5π6∈π6，2π3，此时函数h (x )＝f (x )－a 存在两个不同零点x 1，x 2等价于直线y ＝a 与函数y ＝2sin t ，t ∈π6，2π3的图象有两个不同交点．当t ＝π2时，函数取到最大值，所以t 1＋t 2＝π，即2x 1－5π6＋2x 2－5π6＝π，所以x 1＋x 2＝4π3.考点二三角函数与解三角形的综合例2(2023·河北石家庄二中模拟)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)，该函数图象上相邻两个最高点间的距离为4π，且f (x )为偶函数．(1)求ω和φ的值；(2)已知角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，求[f (A )]2＋[f (C )]2的取值范围．解(1)因为f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象上相邻两个最高点间的距离为4π，所以2πω＝4π，解得ω＝12，所以f (x )＝2sin ＋又因为f (x )为偶函数，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z .又因为0<φ<π，所以φ＝π2.(2)因为(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又因为A ＋B ＋C ＝π，且0<A <π，所以sin(B ＋C )＝sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3，则A ＋C ＝2π3，即C ＝2π3－A ，由(1)知，函数f (x )＝2cos 12x ，所以[f (A )]2＋[f (C )]2＝2cos 212A ＋2cos 212C ＝cos A ＋cos C ＋2＝cos A ＋2＝cos A －12cos A ＋32sin A ＋2＝32sin A ＋12cos A ＋2＝2，因为0<A <2π3，所以π6<A ＋π6<5π6，所以1，则23，即[f (A )]2＋[f (C )]23.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两个方面：(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用．2.设f (x )＝sin x cos x －cos x ∈[0，π]．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．解(1)由题意，得f (x )＝12sin2x －12cos x 1＝sin2x －12，因为0≤x ≤π，所以0≤2x ≤2π，由正弦函数的单调性可知，当0≤2x ≤π2或3π2≤2x ≤2π，即0≤x ≤π4或3π4≤x ≤π时，函数f (x )＝sin2x －12单调递增，所以f (x )的单调递增区间是0，π4和3π4，π.(2)由题意，得sin A －12＝0，所以sin A ＝12，因为△ABC 为锐角三角形，所以A 故A ＝π6.由余弦定理，得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，故b 2＋c 2－3bc ＝1，由基本不等式，得b 2＋c 2≥2bc ，故bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时，等号成立．因此S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋34，当且仅当b ＝c 时，△ABC 的面积取得最大值2＋34.考点三三角函数与平面向量的综合例3已知向量a ＝(sin x ，3sin(π＋x ))，b ＝(cos x ，－sin x )，函数f (x )＝a ·b －32.(1)求f (x )的最小正周期及f (x )图象的对称轴方程；(2)先将f (x )的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移π3个单位长度得到函数g (x )的图象，若函数y ＝g (x )－m 在区间π6，5π6内有两个零点，求m 的取值范围．解(1)因为f (x )＝a ·b －32sin x cos x ＋3sin 2x －32＝12sin2x －32cos2x ＝x 故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由2x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ，所以f (x )的最小正周期为π，对称轴方程为x ＝k π2＋5π12，k ∈Z .(2)由(1)，知f (x )＝x由题意，得g (x )＝sin x .函数y ＝g (x )－m 在区间π6，5π6内有两个零点，转化为函数y ＝sin x ，x ∈π6，5π6的图象与直线y ＝m 有两个交点．由图象可得，m 的取值范围为12，当题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，首先运用向量数量积的定义、向量共线、向量垂直等，得到三角函数的关系式，然后利用三角函数的图象、性质解决问题．3.已知向量a x b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在－π2，0上的单调递增区间．解(1)由a ∥b ，得(－1)sin x ＝32cos x ，所以tan x ＝－32，所以2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2＋31＋94＝2013.(2)f (x )＝a ·b ＋b 2＝sin x cos x －32＋cos 2x ＋1＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝22sin x 当x ∈－π2，0时，2x ＋π4∈－3π4，π4，令－π2≤2x ＋π4≤π4，得－3π8≤x ≤0.故函数f (x )在－π2，0上的单调递增区间为－3π8，0.考点四解三角形与平面向量的综合例4(2024·四川成都调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2b ＋c ，a )，n ＝(cos A ，cos C )，m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)D 是线段BC 上的点，且AD ＝BD ＝2，CD ＝3，求△ABD 的面积．解(1)因为m ＝(2b ＋c ，a )，n ＝(cos A ，cos C )，m ⊥n ，所以m ·n ＝(2b ＋c )cos A ＋a cos C ＝0，由正弦定理可得2sin B cos A ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝0，即2sin B cos A ＋sin(A ＋C )＝0，又A ＋C ＝π－B ，所以2sin B cos A ＋sin B ＝0，又B ∈(0，π)，则sin B >0，所以cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，因此A ＝2π3.(2)设B ＝θ，因为A ＝2π3，则C ＝π－2π3－θ＝π3－θ，因为AD ＝BD ＝2，所以∠BAD ＝B ＝θ，∠ADC ＝2θ，∠DAC ＝2π3－θ，在△ACD 中，由正弦定理可知AD sin C ＝CD sin ∠DAC，即23即θ－12sin θ＋12sin 化简可得5sin θ＝3cos θ，即tan θ＝35，所以sin2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝5314，所以S △ABD ＝12AD ·BD sin(π－2θ)＝12AD ·BD sin2θ＝12×22×5314＝537.解决解三角形与平面向量综合问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．4.(2023·广东广州天河区模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b cos B ＋C 2＝a sin B .(1)求A ；(2)若a ＝19，BA →·AC →＝3，AD 是△ABC 的中线，求AD 的长．解(1)因为cos B ＋C 2＝sin A 2，所以b sin A 2＝a sin B .由正弦定理，得sin B sin A 2＝sin A sin B .因为sin B ≠0，所以sin A 2＝sin A .所以sin A 2＝2sin A 2cos A 2.因为A ∈(0，π)，A 2∈所以sin A 2≠0，所以cos A 2＝12.所以A 2＝π3.所以A ＝2π3.(2)因为BA →·AC →＝3，所以bc cos(π－A )＝3.又A ＝2π3，所以bc ＝6.由余弦定理，得b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝13.又AD →＝12(AB →＋AC →)，所以|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(c 2＋b 2＋2bc cos A )＝74.所以|AD →|＝72，即AD 的长为72.课时作业1．(2023·广东佛山模拟)已知函数f (x )＝cos 4x ＋23sin x cos x －sin 4x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝1，BC 边的中线AD 的长为7，求△ABC 面积的最大值．解(1)∵f (x )＝cos 4x ＋23sin x cos x －sin 4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝x 故f (x )的最小正周期T ＝π，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)由(1)得，f (A )＝A 1，即A ＝12，∵0<A <π，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3，又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AD →2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)，∴7＝14(c 2＋b 2＋2bc cos A )＝14(b 2＋c 2＋bc )，∵b 2＋c 2≥2bc ，∴b 2＋c 2＋bc ≥3bc ，∴bc ≤283，当且仅当b ＝c ＝2213时取等号，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×283＝733，∴△ABC 面积的最大值为733.2.(2024·江西南昌模拟)如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ|<π2，x ∈(1)求函数f (x )的解析式和单调递增区间；(2)若将y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度，然后再将横坐标缩短为原来的12得到y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间－π4，π12上的最大值和最小值．解(1)由图象知，A ＝2，T 4＝π3－π12＝π4，T ＝π，又ω>0，则ω＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，，2，得π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝x 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．(2)将f (x )＝2sin x 的图象向右平移π12个单位长度，得2sin 2＋π3＝2sin x ，然后再将横坐标缩短为原来的12，得g (x )＝2sin x ．因为x ∈－π4，π12，则4x ＋π6∈－5π6，π2，所以－1≤x 1.故当4x ＋π6＝－π2，即x ＝－π6时，g (x )取得最小值，为－2；当4x ＋π6＝π2，即x ＝π12时，g (x )取得最大值，为2.3．设函数f (x )＝m ·n ，其中向量m ＝(2cos x ，1)，n ＝(cos x ，3sin2x )(x ∈R )．(1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知f (A )＝2，b ＝1，△ABC 的面积为32，求b sin B的值．解(1)因为m ＝(2cos x ，1)，n ＝(cos x ，3sin2x )，所以f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝x 1，所以当x 1，即2x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－π3＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，为－1.(2)由f (A )＝2，得A 1＝2，则A ＝12，又A ∈(0，π)，所以2A ＋π6∈故2A ＋π6＝5π6，则A ＝π3，由S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝32，可得c ＝2，在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋4－2×1×2×12＝3，所以a ＝3，所以b sin B ＝a sin A ＝332＝2.4．(2023·四川成都模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝3，c ＝1，ab ＝23，求△ABC 的周长．解(1)依题意，f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝x 1，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )．(2)由(1)知，f (C )＝C 1＝3，即C 1，而C ∈(0，π)，则2C ＋π6∈于是2C ＋π6＝π2，解得C ＝π6，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得1＝(a ＋b )2－(2＋3)ab ＝(a ＋b )2－23×(2＋3)，解得a ＋b ＝2＋3，所以△ABC 的周长为3＋ 3.5．(2023·福建福州模拟)已知向量m 23sin x 4，n cos x 4，cos(1)若m ·n ＝2，求cos (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围．解(1)m ·n ＝23sin x 4cos x 4＋2cos 2x 4＝3sin x 2＋cos x 2＋1＝ 1.因为m ·n ＝2，所以＝12.所以1－2sin ＝12.(2)因为f (x )＝m ·n ＝1，所以f (A )＝ 1.因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C .所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0.所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.所以0<A <2π3.所以π6<A 2＋π6<π2，12<sin ，故f (A )的取值范围是(2，3)．6．(2024·湖北黄冈调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(b ，a )，n ＝(sin A ，3cos(A ＋C ))，且m ·n ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求3a ＋c 的最大值．解(1)在△ABC 中，因为m ＝(b ，a )，n ＝(sin A ，3cos(A ＋C ))，m ·n ＝0，所以b sin A －3a cos B ＝0.由正弦定理，得sin A sin B ＝3sin A cos B ，又sin A >0，所以sin B ＝3cos B ，即tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由(1)，知B ＝π3，b ＝3，由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝b sin B＝2，即a ＝2sin A ，c ＝2sin C .又C ＝2π3－A ，所以3a ＋c ＝6sin A ＋2sin C ＝6sin A ＋7sin A ＋3cos A ＝213sin(A ＋θ)，其中锐角θ由tan θ＝37确定，又0<A <2π3，所以θ<A ＋θ<2π3＋θ.则当且仅当A ＋θ＝π2，即tan A ＝＝733时，sin(A ＋θ)取最大值1，所以3a ＋c 的最大值为213.7．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间0，π2上的值域；(3)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若0，a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解(1)依题意，f (x )＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin2x ＝cos2x －sin2x ＝2sinx 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π8≤x ≤k π－π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为k π－5π8，k π－π8(k ∈Z )．(2)由x ∈0，π2，得2x ＋3π4∈3π4，7π4，则－1≤x ≤22，即－2≤f (x )≤1，所以函数f (x )在区间0，π2上的值域为[－2，1]．(3)由(1)知，＝2sin 0，而0<A <π，即有3π4<A ＋3π4<7π4，则A ＋3π4＝π，解得A ＝π4，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ≥2bc －2bc ，于是bc ≤4＋22，当且仅当b ＝c 时等号成立，因此S △ABC ＝12bc sin A ＝24bc ≤2＋1，所以△ABC 面积的最大值为2＋1.8．(2024·重庆永川北山中学模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos(A－C )＋cos B ＝32，设m ＝(b ，c )，n ＝(a ，b )且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)延长BC 至D ，使BD ＝5，若△ACD 的面积S ＝3，求AD 的长．解(1)由cos(A －C )＋cos B ＝32，可知cos(A －C )－cos(A ＋C )＝32，即cos A cos C ＋sin A sin C －cos A cos C ＋sin A sin C ＝32，可得sin A sin C ＝34.由m ∥n 可得b 2－ac ＝0，由正弦定理可知sin 2B ＝sin A sin C ＝34，因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝32，因此B ＝π3或2π3.分别代入cos(A －C )＋cos B ＝32，可知当B ＝2π3时，cos(A －C )＝2，不成立．因此B ＝π3.(2)由B ＝π3可知cos(A －C )＝1，即A ＝C ，因此△ABC 为等边三角形，即a ＝b ＝c ，S △ACD ＝12AC ·CD sin ∠ACD ＝12b (5－a )sin 2π3＝34a (5－a )＝3，整理可得a (5－a )＝4，即a 2－5a ＝－4，在△ABD 中，由余弦定理可知，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝c 2＋25－5c ＝a 2＋25－5a ＝21，因此AD 的长为21.。

专题17 三角函数问题考点预测三角函数与解三角形是江苏高考必考的题型，主要考察正余弦定理，三角函数的图像与性质在解三角形中的灵活运用，常考的知识点如下：1.在ABC ∆中，C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,CB C B A tan tan 1tan tan tan -+-=. 2.在ABC ∆中，B c C b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=,A b B a c cos cos +=.3.ABC ∆的面积Rabc R c ab C ab S 4221sin 21===. 4.C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===.5.222222222cos 2,cos 2,cos 2b c a B ac c b a C ab a c b A bc -+=-+=-+=.典型例题1.已知函数f （x ）＝A cos 2（ωx +φ）+1（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f （x ）的图象与y 轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f （1）+f （2）＝ ． 【答案】3【分析】由条件利用二倍角的余弦公式可得f （x ）＝cos （2ωx +2φ）+1+，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值．【解答】解：∵函数f （x ）＝A cos 2（ωx +φ）+1＝A •+1＝cos （2ωx +2φ）+1+（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+＝3，可求：A＝2．∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即：＝4，∴解得：ω＝．又∵f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得：cos（2φ）+1+1＝2，∴cos2φ＝0，由0＜φ＜，可得2φ＝，解得：φ＝．∴函数的解析式为：f（x）＝cos（x+）+2＝﹣sin x+2，∴f（1）+f（2）＝﹣（sin+sin）+2×2＝﹣1+4＝3．故答案为：3．【知识点】三角函数的最值、余弦函数的单调性、余弦函数的图象2.已知等边△ABC的边长为1，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且S△ADF＝S△DEF＝．若AD＝x，CE＝y，则的取值范围为．【分析】由AD＝x，CE＝y，可得BD＝1﹣x，BE＝1﹣y，0≤x≤1，设CF＝z，可得AF＝1﹣z，运用三角形的面积公式，求得y关于x的函数式，令y≤1，得＜x≤或＜x≤1，再由换元法和基本不等式，以及对勾函数的单调性，可得所求范围．【解答】解：由AD＝x，CE＝y，可得BD＝1﹣x，BE＝1﹣y，0≤x≤1，设CF＝z，可得AF＝1﹣z，S△ADF＝S△DEF＝＝•＝，即有S△ADF＝x（1﹣z）•＝，可得z＝1﹣，由z≥0，可得≤x≤1，由S△DEF＝﹣﹣（1﹣x）（1﹣y）•﹣yz•＝，化为1﹣x﹣y+xy+y（1﹣）＝，即为y＝，由y≤1，即有≥0，即或，结合≤x≤1，可得＜x≤或＜x≤1，①则＝，可令3x﹣2＝t，即x＝，可得＝＝，若t＝0，则x＝，＝0；若t＞0，即＜x≤1，可得＝≤＝，当且仅当t＝1，即x＝1时，取得等号，又＞0，可得此时0＜≤；当t＜0时，即≤x＜，由①可得≤x≤，则﹣1≤t≤﹣，则﹣≤t+≤﹣2，则＝≥＝，当且仅当t＝﹣1，x＝时，取得等号，且≤＝2，即≤≤2，则的范围是[0，]∪[，2]．故答案为：[0，]∪[，2]．【知识点】三角形中的几何计算专项突破一、填空题（共15小题）1.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（1）＝f（3）＝f（9）＝m，且f（x）在（3，9）上无最小值，则ω＝，函数f（x）的单调减区间为．【分析】由题意可得x＝2、x＝6为函数f（x）的图象上2条相邻的对称轴，f（2）为最小值，f（6）为最大值，由此求出函数的解析式，可得它的减区间．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（1）＝f（3）＝f（9）＝m，且f（x）在（3，9）上无最小值，∴x＝2、x＝6为函数f（x）的图象上2条相邻的对称轴，f（2）为最小值，f（6）为最大值．故函数的最小正周期为2×（6﹣2）＝8＝，∴ω＝．∴2×+φ＝﹣，6×+φ＝，∴φ＝﹣π，f（x）＝sin（x﹣π）＝﹣sin x．令2kπ﹣≤x≤2kπ+，求得8k﹣2≤x≤8k+2，可得函数f（x）的单调减区间为[8k﹣2，8k+2]，k∈Z，故答案为：；[8k﹣2，8k+2]，k∈Z．【知识点】正弦函数的单调性2.如图，已知△ABC中，点D在边BC上，AD为∠BAC的平分线，且AB＝1，AD＝，AC＝2．则＝，∠BAD＝．【分析】由题意利用三角形内角平分线的性质、余弦定理，求得结果．【解答】解：△ABC中，点D在边BC上，AD为∠BAC的平分线，且AB＝1，AD＝，AC＝2，则由三角形内角平分线的性质可得，＝＝．设∠BAD＝θ，则θ为锐角，设BD＝x，则DC＝2x．由题意在△ABD、△ACD中，分别利用余弦定理可得，x2＝1+﹣2×1××cosθ，4x2＝4+﹣2×2××cosθ，∴4+﹣2×2××cosθ＝4（1+﹣2×1××cosθ），求得cosθ＝，∴θ＝，故答案为：，．【知识点】余弦定理、正弦定理3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若CD是边AB上的中线，且CD＝CA，则的最小值为．【分析】易知cos∠ADC＝﹣cos∠BDC，结合余弦定理可推出a2﹣b2＝，将cos A和cos B均用余弦定理表示，并代入中化简，再结合基本不等式即可得解．【解答】解：根据题意，作出如下所示图形，则CD＝CA＝b，∵∠ADC＝π﹣∠BDC，∴cos∠ADC＝﹣cos∠BDC，由余弦定理得，＝﹣，化简得a2﹣b2＝，∴＝+•＝+•＝+•≥2＝，当且仅当＝•，即a＝b时，等号成立，∴的最小值为．故答案为：．【知识点】三角形中的几何计算、正弦定理4.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足，，且f（x）在区间上单调，则ω取值的个数有个．【答案】3【分析】设函数的最小正周期为T，则T＝，由，可知，，又f（x）在区间上单调，于是，综合解得ω可以为2，6，10，共3个值．【解答】解：设函数的最小正周期为T，则T＝，∵，，∴，n∈N*，即ω＝2（2n﹣1），n∈N*，又f（x）在区间上单调，∴，解得0＜ω＜12，∴n可以为1，2，3，即ω为2，6，10，共3个值．故答案为：3．【知识点】正弦函数的单调性5.已知函数（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是．【分析】先整理解析式，由f（x）＝0，可得sin（ωx﹣）＝0，解得x＝∉（π，2π），即可得出结论．【解答】解：函数＝sinωx﹣＝sin（），由f（x）＝0，可得sin（ωx﹣）＝0，解得x＝∉（π，2π），∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴≥π⇒ω≤1；因为ω＞0；分别取k＝0，1，2，3…∴ω∉（，）∪（，）∪（，）∪…＝（，）∪（，+∞），∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈（0，]∪[，]．故答案为：（0，]∪[，]．【知识点】两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数6.函数的最小正周期T＝，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数y＝f（x）﹣g（x）的最大值为2，则φ的值可以为．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期T＝＝π，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2x+2φ+）的图象．若函数y＝f（x）﹣g（x）＝sin（2x+）﹣sin（2x+2φ+）的最大值为2，则当sin（2x+）＝1时，sin（2x+2φ+）＝﹣1，则2φ＝（2k﹣1）•π，k∈Z．令k＝1，可得φ＝，故答案为：π；．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换7.在△ABC中，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且AD＝1，，则BD的长度的最大值是．【分析】根据可分析出△ABC是直角三角形，画出图形，可设∠ACD＝α，借助于余弦定理在三角形BCD中表示出BD2，然后再利用三角形ACD借助于余弦定理找到x与α角的关系，代入BD2表达式，利用导数研究函数最值的方法求解．【解答】解：在三角形ABC中，设AC＝x，则BC＝，且．由正弦定理得，解得，显然B为锐角，故B＝．∴．设∠ACD＝α，∴．∴在△BCD中，＝3（x2+1）+6x sinα……①．又∵在△ACD中，．∴．代入①式得：BD2＝．令t＝x2+1，则上式可化为，（）……②．∴，令y′＝0得，可见t＞5．即t2﹣10t+16＝0，∴t＝8或t＝2（舍）将t＝8代入②式得BD2＝27，故．（因为开区间内唯一的极值点即为该函数的最值点）故答案为：3．【知识点】三角形中的几何计算8.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝3．若点D在边BC上，且BD＝2DC，则AD的最大值是．【分析】△ABC中利用正弦定理转化求得A的值，再求出△ABC外接圆的半径；取BC的中点M，利用直角三角形的边角关系与两边之和大于第三边，即可求出AD的最大值．【解答】解：△ABC中，，由正弦定理得，sin A sin B＝sin B cos A，因为sin B≠0，所以tan A＝；又因为0＜A＜π，所以A＝；设△ABC外接圆的圆心为O，半径为R，则由正弦定理得，R＝＝＝；取BC的中点M，如图所示；在Rt△BOM中，BM＝BC＝，OM＝＝＝；在Rt△DOM中，DM＝BD﹣BM＝，OD＝＝＝1；由AD≤AO+OD＝R+OD＝+1，当且仅当圆心O在AD上时取“＝”；所以AD的最大值是+1．故答案为：+1．【知识点】余弦定理、正弦定理9.如图，在矩形OABC与扇形OCD拼接而成的平面图形中，OA＝3，AB＝5，∠COD＝，点E在弧CD上，F在AB上，∠EOF＝．设∠FOC＝x，则当平面区域OECBF（阴影部分）的面积取到最大值时cos x＝．【分析】要求阴影部分面积最大，即求空白部分最小，利用角x结合三角函数，可以分别表示出小扇形和三角形的面积．表示出来后，可以发现是一个正切函数与一次函数的和函数，为求最小值，只需求导数后寻其极值点即可．【解答】解：因为∠EOF＝，所以∠DOE＝x﹣，x∈[，]依题意得当平面区域OECBF（阴影部份）的面积取到最大值时，空白区域的面积和最小，∵S△OAF+S扇DOE＝OA•AF+OD2•∠DOE＝×3×+×52•（x﹣）＝令＝令，故时，s取得最小值，此时．故答案为：【知识点】扇形面积公式10.如图所示，△ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，且PN＝2PM，则△ABC面积的最大值为．【答案】5【分析】根据题意把设＝，＝，作为该平面的一组基底，根据向量运算的三角形法则及共线向量定理分别表示出，，即可求得AP：PM，BP：PN的值，再设PM＝2t，求得PN，P A，PB，设△APN的面积为x，运用余弦定理和面积公式，结合二次函数的最值可得x的最大值，进而得到所求△ABC的面积的最大值．【解答】解：设＝，＝，则＝+＝﹣3﹣，＝+＝2+，∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在实数λ、μ，使＝λ＝﹣λ﹣3λ，＝μ＝2μ+μ，故＝﹣＝（λ+2μ）+（3λ+μ）．而＝+＝2+3，∴，解得，故＝，＝，即AP：PM＝4：1．BP：PN＝3：2，设PM＝t，则PN＝2t，P A＝4t，PB＝3t，t＞0，设△APN的面积为x，∠APN＝α，在△APN中，AN＝2，AP＝4t，PN＝2t，可得cosα＝＝，sinα＝，则x＝•4t•2t•sinα＝＝≤，当t2＝，即t＝时，x取得最大值，而△ABP的面积为x，△BPM的面积为，则△ABC的面积为2（+）＝x，则△ABC的面积的最大值为×＝5．故答案为：5．【知识点】解三角形11.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos A＝a（﹣cos C），c＝2，D为AC上一点，AD：DC＝1：3，则△ABC面积最大时，BD＝．【分析】由2＝c，结合三角形的正弦定理和三角函数的和差公式，可得b＝，再由三角形的海伦面积公式，化简整理，结合二次函数的最值求法，可得三角形的面积取得最大值时a的值，再由余弦定理计算可得所求值．【解答】解：∵2cos A＝a（﹣cos C），c＝2，∴c cos A＝﹣a cos C，∴由正弦定理可得sin C cos A+sin A cos C＝sin A，∴sin（A+C）＝sin B＝sin A，∴b＝，由p＝，p﹣a＝，p﹣c＝，p﹣b＝，由三角形的海伦面积公式可得S△ABC＝＝＝＝＝＝＝，当a2＝12，即a＝2时，b＝2，△ABC的面积取得最大值，∵D为AC上一点，AD：DC＝1：3，∴AD＝，∴由余弦定理可得cos A＝＝＝，解得BD＝．故答案为：．【知识点】余弦定理12.如图，边长为a的正方形ABCD内的点P，Q满足：AP∥CQ，AP＝b，CQ＝2b，PQ＝b，则当∠P AB最小时，a：b的值为．【答案】2【分析】作四边形PQCR，可得R在分AC为的阿氏圆上，求出b＝PQ＝即可【解答】解：作平行四边形PQCR，则＝，根据阿氏圆定理，可知点R在分AC为的阿氏圆上，设圆在直线AC上的两点及圆心分别是M、N、O，易知CM＝CA，CO＝CA，OM＝ON＝CA，当AR与圆O相切于下方时，∠P AB最小，此时b＝PQ＝AR0＝＝，所以，故答案为2．【知识点】三角形中的几何计算13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3a sin A＝2b sin B+c sin C．记△ABC的面积为S．则的最大值为．【分析】观察已知条件3a sin A＝2b sin B+c sin C．与目标式，构造它们之间的联系．【解答】解：由条件及正弦定理可得3a2＝2b2+c2，所以＝＝＝•＝•＝≤＝．故答案为：．【知识点】正弦定理14.，若，则α＝【分析】根据两角和差的公式，利用换元法转化为方程进行求解即可．【解答】解：∵sin（﹣α）＝sin[﹣（α+）]＝cos（α+），∴由，得sin（α+）+cos（α+）＝sin2（α+）+﹣1①设t＝sin（α+）+cos（α+），则t＝sin（α++）＝sin（α+），∵，∴α+∈[，]，则t＞0，同时sin2（α+）＝t2﹣1，则方程①等价为t＝t2﹣1+﹣1＝0，即t2﹣t+﹣2＝0．即t＝＝＝，即t＝＝或t＝＝1（舍）由t＝sin（α+）＝，得sin（α+）＝1，即α+＝，即α＝﹣＝，故答案为：．【知识点】两角和与差的三角函数15.如图已知等边△ABC的边长为2，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE交于点F，AB＝2AD，AC＝3AE，则△BCF的面积为．【分析】首先根据题意建立平面直角坐标系，进一步求出点ABCDE的坐标，进一步求出直线BE和CD的直线方程，最后利用二元一次方程组求出点F的坐标，最后求出三角形的面积．【解答】解：根据等边三角形建立平面直角坐标系：如图所示：由于三角形为边长为2的等边三角形，故：A（0，），B（﹣1，0），C（1，0）AB＝2AD，AC＝3AE，所以：D为线段AB的中点，所以：D（），E为线段AC的三等分点，过点E作EH∥AO，得到：E（），所以：直线BE的方程为：y＝＝，直线CD的直线方程为：，所以：，解得：，y＝，则：．故答案为：【知识点】三角形中的几何计算。

押新高考卷7题三角函数考点3年考题考情分析三角函数2022年新高考Ⅰ卷第6题2022年新高考Ⅱ卷第6题2021年新高考Ⅰ卷第4、6题三角函数会以单选题、多选题、填空题、解答题4类题型进行考查，单选题难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查三角函数的图象与性质，三角恒等变换，也是高考冲刺的重点复习内容。

可以预测2023年新高考命题方向将继续以三角函数的图象与性质，三角恒等变换等问题展开命题．1.特殊角的三角函数值2.同角三角函数的基本关系平方关系：1cos sin 22=+αα商数关系：αααcos sin tan =3.正弦的和差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+，()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-4.余弦的和差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+，()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5.正切的和差公式()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+，()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-6.正弦的倍角公式⇒=αααcos sin 22sin ααα2sin 21cos sin =7.余弦的倍角公式()()αααααααsin cos sin cos sin cos 2cos 22-+=-=升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=8.正切的倍角公式ααα2tan 1tan 22tan -=9.推导公式2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα10.辅助角公式x b x a y cos sin +=，)0(>a )sin(22ϕ++=⇒x b a y ，其中a b =ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.解：令2t x ϕ=+，因为1x ，2x ，33π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1t ，2t ，()3,3πt ϕϕ∈+，π2ϕ<，因为()()()1230f x f x f x ==>，结合sin y t =的图象（如图所示），得到12πt t +=，233πt t +=或123πt t +=，23t t +=因为()3221124x x x x x -=-=，所以213x x =，317x x =，则1182π2023πx x ϕϕ+=⎧⎨+=⎩解得π6ϕ=-，此时1π6x =，2x 或11823π2025πx x ϕϕ+=⎧⎨+=⎩解得5π6ϕ=，不符合题意舍去.A ．49.25m C ．56.74m 【答案】B【分析】根据三角函数可得3AB R =【详解】如图，。

三角函数三道押卷题1．如图，现在要在一块半径为1 m ，圆心角为60°的扇形纸板AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，MNPQ 的面积为S .(1)求S 关于θ的函数关系式；(2)求S 的最大值及相应θ的值．【解析】：(1)分别过点P 、Q 作PD ⊥OB ，QE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，则四边形QEDP 是矩形． PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt △OEQ 中，∠AOB ＝π3， 则OE ＝33QE ＝33PD . 所以MN ＝PQ ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ. 则S ＝MN ×PD ＝(cos θ－33sin θ)×sin θ ＝sin θcos θ－33sin 2θ，θ∈(0，π3)． (2)S ＝12sin2θ－36(1－cos2θ)＝12sin2θ＋36cos2θ－36＝33sin(2θ＋π6)－36. 因为0<θ<π3，所以π6<2θ＋π6<5π6， 所以12<sin(2θ＋π6)≤1. 所以当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，S 的值最大为36m 2. 即S 的最大值是36 m 2，相应θ的值是π6.2．已知在关于x 的方程ax 2－2bx ＋c ＝0中，a 、b 、c 分别是钝角三角形ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边，且b 是最大边．(1)求证：该方程有两个不相等的正根；(2)设方程有两个不相等的正根α、β，若三角形ABC 是等腰三角形，求α－β的取值范围．【解析】(1)证明：因为△ABC 是钝角三角形，且b 是最大边，故－1<cos B <0，且b 2＝a2＋c 2－2ac cos B .故关于x的方程的根的判别式Δ＝(－2b)2－4ac＝2b2－4ac＝2(a2＋c2－2ac cos B)－4ac ＝2(a－c)2－4ac cos B>0.所以，方程有两个不相等的实根(设两实根分别为α，β)．由根与系数的关系可得，所以该方程有两个不相等的正根．(2)若三角形ABC是等腰三角形，则有a＝c，于是有，所以(α－β)2＝α2＋β2－2αβ＝(α＋β)2－4αβ＝2b2a2－4＝a2＋c2－2ac cos B－4a2a2＝a2－2a2cos B－4a2a2＝－4cos B.因为－1<cos B<0，所以0<－4cos B<4，即(α－β)2∈(0,4)，所以α－β∈(－2,0)∪(0,2)．3．.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6，CD=2，A 340AB AD CB CD∙+∙=（1）求四边形ABCD的面积; B D （2）求三角形ABC的外接圆半径R; P C（3）若060APC∠=，求PA+PC的取值范围。

专题18 三角恒等变换【考点预测】知识点一．两角和与差的正余弦与正切 ①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式 ①sin22sin cos ααα=；②2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-； 知识点三：降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===知识点四：半角公式sin22αα== sin 1cos tan.21cos sin aαααα-==+知识点五．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中abb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）． 【方法技巧与总结】 1．两角和与差正切公式变形)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±； 1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ---=++-=⋅βαβαβαβαβα．2．降幂公式与升幂公式ααααααα2sin 21cos sin 22cos 1cos 22cos 1sin 22=+=-=；；； 2222)cos (sin 2sin 1)cos (sin 2sin 1sin 22cos 1cos 22cos 1αααααααααα-=-+=+=-=+；；；．3．其他常用变式αααααααααααααααααααsin cos 1cos 1sin 2tan tan 1tan 1cos sin sin cos 2cos tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 222222222-=+=+-=+-=+=+=；；．3. 拆分角问题：①=22αα⋅；=(+)ααββ-；②()αββα=--；③1[()()]2ααβαβ=++-； ④1[()()]2βαβαβ=+--；⑤()424πππαα+=--．注意 特殊的角也看成已知角，如()44ππαα=--．【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明 题型二：给式求值 题型三：给值求值 题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角 【典例例题】题型一：两角和与差公式的证明例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）(1)试证明差角的余弦公式()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+；(2)利用公式()C αβ-推导：①和角的余弦公式()C αβ+，正弦公式()S αβ+，正切公式()T αβ+； ②倍角公式(2)S α，(2)C α，(2)T α.【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析 【解析】 【分析】在单位圆里面证明()C αβ-，然后根据诱导公式即可证明()C αβ+和()S αβ+，利用正弦余弦和正切的关系即可证明()T αβ+；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.【详解】(1)不妨令2,k k απβ≠+∈Z . 如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点1,0A ，以x 轴非负半轴为始边作角,,αβαβ-，它们的终边分别与单位圆相交于点()1cos ,sin P αα，()1cos ,sin A ββ，()()()cos ,sin P αβαβ--.连接11,A P AP .若把扇形OAP 绕着点O 旋转β角，则点,A P 分別与点11,A P 重合.根据圆的旋转对称性可知，AP 与11A P 重合，从而，AP ＝11A P ，∴11AP A P =. 根据两点间的距离公式，得：()()2222[cos 1]sin (cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ--+-=-+-，化简得：()cos cos cos sin sin .αβαβαβ-=+ 当()2k k απβ=+∈Z 时，上式仍然成立.∴，对于任意角,αβ有：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. (2)①公式()C αβ+的推导： ()()cos cos αβαβ⎡⎤+=--⎣⎦()()cos cos sin sin αβαβ=-+-cos cos sin sin αβαβ=-.公式()S αβ+的推导：()sin cos 2παβαβ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭cos 2παβ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin sin cos αβαβ=+正切公式()T αβ+的推导：()()()sin tan cos αβαβαβ++=+sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ+=-tan tan 1tan tan αβαβ+=-②公式()2S α的推导：由①知，()sin2sin cos sin sin cos 2sin cos ααααααααα=+=+=. 公式()2C α的推导：由①知，()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-.公式()2T α的推导：由①知，()2tan tan 2tan tan2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-.例2．（2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数 22sin 26cos 343sin 26cos34+-； 22sin 39cos 213sin 39cos 21+-；()()22sin 52cos 1123sin 52cos112-+--；22sin 30cos 303sin 30cos30+-.（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【答案】（1）选第四个式子，14；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)选第四个式子，由1sin 30,cos302︒=︒=(2)由题意，设一个角为α，另一个角为60α︒-，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值 【详解】（1）由第四个式子：221331sin 30cos 303sin 30cos304444+-=+-= （2）证明：()()22sin cos 603sin cos 60αααα+---2211sin cos cos 22αααααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222133sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=++-14=【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题例3．（2022·陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图带有坐标系的单位圆O 中，设AOx α∠=，BOx β∠=，AOB αβ∠=-，（1）利用单位圆､向量知识证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos()5αβ-=-，5tan 12α=-，求cos β的值【答案】（1）证明见解析；（2）6365． 【解析】（1）根据向量的数量积公式即可证明；（2）根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案． 【详解】（1）由题意知：||||1OA OB ==，且OA 与OB 的夹角为αβ-， 所以·11cos()cos()OA OB αβαβ=⨯⨯-=-， 又(cos ,sin )OA αα=，(cos ,sin )OB ββ=， 所以·cos cos sin sin OA OB αβαβ=+， 故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且5tan 12α=-，则512sin ,cos 1313αα==-；π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ∴-∈，4cos(),sin()553αβαβ-=--=，()()()1245363cos cos cos cos sin sin 13513565βααβααβααβ⎛⎫=--=-+-=-⨯-+⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦公式，属于中档题．例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，考虑点(1,0)A ，1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，(cos(),sin())P αβαβ++，从这个图出发.（1）推导公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；（2）利用（1）的结果证明：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，并计算sin 37.5cos37.5︒︒⋅的值.【答案】（1）推导见解析；（2【解析】 【分析】（1）根据图象可知2212AP PP =，再展开化简，得到两角和的余弦公式；（2）首先令ββ=-，求()cos αβ-，再代入所证明的公式；首先根据二倍角公式和诱导公式化简为11sin 37.5cos37.5sin 75cos1522⋅==，再根据两角差的余弦公式化简. 【详解】（1）因为12(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos(),sin())P P P ααββαβαβ-++， 根据图象，可得2212AP PP =，即2212||AP PP =， 即2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαββαβα+-++=-++. 即cos()cos cos sin sin αββαβα+=-.（2）由（1）可得cos()cos cos sin sin αββαβα+=-， ① cos()cos cos sin sin αββαβα-=+ ②由①+②可得：2cos cos cos()cos()βααβαβ=++- 所以1cos cos [cos()cos()]2βααβαβ=++-，所以()111sin 37.5cos37.5sin 75cos15cos 4530222︒︒︒︒︒︒===-.()1cos 45cos30sin 45sin 302=+1122⎫==⎪⎪⎝⎭【点睛】本题考查两角和差余弦公式的证明，以及利用三角恒等变换求值，重点考查逻辑推理证明，公式的灵活应用，属于基础题型.【方法技巧与总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.题型二：给式求值例5．（2022·全国·高三专题练习）已知sin α=()cos αβ-=且304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A B C D 【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=--，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ-，分别在()sin αβ-=和sin β，结合β的范围可确定最终结果.【详解】2sin α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴-<-<，()sin αβ∴-==当()sin αβ-=()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=不合题意，舍去；当()sin αβ-=sin β=.综上所述：sin β=故选：A . 【点睛】易错点睛：本题中求解cos α时，易忽略sin α的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cos α的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.例6．（2020·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒- ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒-= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒-=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒-︒-=︒-⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒-=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒-=-︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒-=︒--︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒-︒-⎣⎦ ()1cos 303α=︒-=， 故选A. 【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.例7．（2020·全国·高三专题练习）若7cos(2)38x π-=-，则sin()3x π+的值为（ ）.A ．14B ．78 C ．14±D ．78±【答案】C 【解析】 【分析】利用倍角公式以及诱导公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】∵27cos(2)cos[2()]2cos ()13668x x x πππ-=-=--=-， ∴1cos()64x π-=±，∵1sin()cos[()]cos()32364x x x ππππ+=-+=-=±，故选：C. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决给值求值问题，属基础题.（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）设sin()sin 6πββ++=sin()3πβ-=（ ）AB ．12C ．12-D． 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】依题意sin()sin 6πββ++=sin()sin 3233ππππββ⎛⎫-++-+= ⎪⎝⎭1cos()sin )3233πππβββ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭1sin )233ππββ⎛⎫--= ⎪⎝⎭)sin 2cos()133ππββ⎛⎫-+-⎪⎝⎭，)1sin cos()3πβπβ⎛⎫-- ⎪-=22sin cos 133ππββ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)221sin 1sin 3πβπβ⎛⎫⎡⎤⎢⎥⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-- ⎪⎦⎣，化简得(()(28sin 2sin 3033ππββ⎛⎫⎛⎫+----+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2，(24sin 2sin 033ππββ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 12sin 033ππββ⎡⎤⎡⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣， 解得1sin 32πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或sin 3πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故选：AC例9．（2022·全国·模拟预测（文））已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos25β=，()4cos 5αβ+=，则cos α=___________.【解析】 【分析】 由,0,2，()4cos 5αβ+=，即可求得()sin αβ+，用二倍角公式即可求得sin β 和cos β ，用拼凑角思想可表示出()ααββ=+-，用三角恒等变换公式求解即可. 【详解】因为()4cos 5αβ+=，且,0,2，所以()3sin 5αβ+=.又因为23cos 212sin 5ββ=-=，解得sin β=则cos β==故()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=+-=+++⎡⎤⎣⎦4355==. 例10．（2022·上海静安·模拟预测）已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为_____________．【答案】12##0.5 【解析】 【分析】由倍角公式以及诱导公式求解即可． 【详解】231cos 212sin 124442ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2sin 242ππααα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 22α∴=故答案为：12例11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若0θθ=时，()2sin2cos f θθθ=-取得最大值，则0sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【解析】 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值. 【详解】()()111sin 21cos2sin 2cos2222f θθθθθ=-+=--()112222θθθϕ⎫---⎪⎝⎭（其中cos ϕsin ϕ=， 当()f θ取最大值时，022πθϕ-=，∴022πθϕ=+0sin 2sin cos 2πθϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭0cos2cos sin 2πθϕϕ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭∴0sin 24πθ⎛⎛⎫+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭【方法技巧与总结】给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.题型三：给值求值例12．（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin 5α=-，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα-=+（ ）A ．12 B ．12-C ．2D ．-2【答案】D 【解析】 【分析】由2222sin cos2tan222sin 2sincos22sin cos tan 1222ααααααααα===++，可解得tan 2α，即可求解 【详解】3sin 2sincos225ααα==-，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==-++， 可解得1tan23α=-或tan 32α=-，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=-，故1tan 221tan2αα-=-+， 故选：D例13．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin 64x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C．D【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再根据2cos 212sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可.【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.例14．（2022·湖北·模拟预测）已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B．C ．12D【答案】D【解析】 【分析】由已知α的取值范围，求出4πα-的取值范围，再结合1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭即可解得α的值，cos2α即可求解 【详解】 因为22ππα-<<，所以3444πππα-<-< 又1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以43ππα-=-，所以12πα=-所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=-==⎪⎝⎭故选：D例15．（2022·全国·模拟预测）已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325-C D ． 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，然后利用二倍角公式即得. 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．例16．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos2=α（ ）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【答案】B 【解析】 【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出()cos 45α︒+，再利用二倍角公式及诱导公式计算可得； 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==-，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭。

江苏省南京市新高考数学三角函数与解三角形多选题之知识梳理与训练附解析一、三角函数与解三角形多选题1．知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 的图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【分析】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误. 【详解】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， 作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确；对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254ππωππ≤+<，解得151988ω<≤，C 选项正确； 对于B 选项，若151988ω<≤，则2192154604πππππω≤+<+，所以，函数()f x 在区间20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于4x π=对称，则()442k k Z ωππππ+=+∈，()14k k Z ω∴=+∈.52361812T ππππω∴=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=. 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5,1836x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，339442x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，合乎题意，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．2．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ） A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 是周期为2π的函数C ．()f x 有对称轴D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点【答案】BD 【分析】先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】因为[][]()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确.当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而cos y u =-在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故A 错误.由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确. 若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②，也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③，由②③可得cos 2sin 20cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨+=-⎩， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π2a或32a π=.若π2a，则21116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而2711162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=-=-+≠- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若32a π=，则21911162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=+-=-+≠-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.3．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．22S a bc +B ．当2a =，sin 2sin B C =时，ABC 不可能是直角三角形C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为313- 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】 对于选项A ：2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc A c b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-，因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =时，取得最小值3- 故可得3,023yz x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎪-⎣⎭， 又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得213324S a bc ⎛≤-⨯= +⎝⎭， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-， 所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =， 因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以3c =，3b =，所以ABC的周长为2+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，3c =，3b =，所以ABC的内切圆半径为1212333r ⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以ABC的面积为11122cr ⎛== ⎝⎭所以选项D 正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A Ab c a bc A A c b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.4．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD【分析】由()23sin 22cos2f =+，结合3224ππ<<，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++， 可得()22sin 2sin 22cos23sin 22cos2f =++=+ 因为3224ππ<<，所以sin 2cos20>->，所以()20f >，所以A 正确； 由3sin ,222sin sin ,sin ,222x k x k y x x k Z x k x k πππππππ≤≤+⎧=+=∈⎨-+≤≤+⎩，作出函数2sin sin y x x =+的图象，如图所示， 可得函数()f x 是以2π为周期的周期函数，由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 在3(,)2ππ上单调递增， 又由()f x 是以2π为周期的周期函数，可得函数()f x 在5(3,)2ππ--上单调递增， 所以B 是正确的；由由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 的值域为[2cos 2,32cos 2]+， 所以C 不正确； 又由2223ππ<<，所以1cos 202-<<，则02cos21<-<， 令()0f x =，可得2sin sin 2cos2x x +=-，由图象可知，函数()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin 7c R C===，ABC外接圆半径为7，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.6．函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数 【答案】BCD 【分析】对四个选项，一一验证：对于选项A ，利用三角函数相位变化即可；对于选项B ，利用正弦函数的对称轴经过最高（低）点判断； 对于选项C ，利用正弦函数的对称中心直接判断； 对于选项D ，利用复合函数的单调性“同增异减”判断； 【详解】由题意，对于选项A ，函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位可得到()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 错误；对于选项B ，sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取到了最大值，所以函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称，所以选项B 正确；对于选项C ，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，所以选项C 正确；对于选项D ，函数2yx 在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，08x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，单调递增，所以函数2()y x f x =+在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，所以选项D 正确. 故选：BCD. 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．7．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确； 由()02cos 36f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y 3B 正确； 由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.8．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=， ()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确； 对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭，A 选项正确； 对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确； 对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤， 所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．9．如图，已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象与x 轴交于点A ，B ，若7OB OA =，图象的一个最高点42,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．4πϕ=-B ．()f x 的最小正周期为4C ．()f x 一个单调增区间为24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．()f x 图象的一个对称中心为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】 先利用7OB OA =设0OA x =，得到点A 处坐标，结合周期公式解得选项A 错误，再利用最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭解出0x 得到周期，求得解析式，并利用代入验证法判断单调区间和对称中心，即判断选项BCD 正确.【详解】 由7OB OA =，设0OA x =，则07OB x =，06AB x =，选项A 中，点A ()0,0x 处，()0sin 0x ωϕ+=，则00x ωϕ+=，即0x ϕω=-，0612262T x AB ϕπωω-==⋅==，解得6πϕ=-，A 错误； 选项B 中，依题意0004343D x x x x =+==，得013x =，故1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 最小正周期414433T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，B 正确； 选项C 中，由24T πω==，得2πω=，结合最高点42,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，知43A =，即()4sin 326f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当24,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,2622x ππππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个单调增区间，C 正确；选项D 中，53x =-时()5454sin sin 0332363f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 正确.故选：BCD.【点睛】思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.10．设函数()()31sin sin 022f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ） A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD【分析】 化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令6t x πω=+，由[]0,x π∈可求得,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象，可判断AB 选项的正误；由图象得出346ππωππ≤+<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函数的单调性可判断C 选项的正误.【详解】 ()3131sin sin sin cos sin 222226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， 作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象如下图所示：对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确；对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误；对于D 选项，由于函数()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则346ππωππ≤+<，解得172366ω≤<，D 选项正确； 对于C 选项，由于172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，53663x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误. 故选：AD.【点睛】 关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6t x πω=+，将问题转化为函数sin y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的零点个数问题，数形结合来求解.。

中档大题规范练中档大题规范练——三角函数1．已知函数f(x)＝(sin x －cos x )sin 2x sin x. (1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．解 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k ∈Z)，故f(x)的定义域为{x ∈R|x≠kπ，k ∈Z}．因为f(x)＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x(sin x －cos x)＝sin 2x －2cos2x＝sin 2x －(1＋cos 2x) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k ∈Z)． 由2kπ－π2≤2x －π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k ∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，x≠kπ(k ∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫kπ－π8，kπ和⎝⎛⎦⎤kπ，kπ＋3π8(k ∈Z)． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f(x)＝23sin2x ＋2sin xcos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f(x)的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f(x)＝23sin2x ＋2sin xcos x － 3＝3(2sin2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π.又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]，所以f(x)的值域为[－2,2]．(2)因为f(x)在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1.因为0<A<23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f(x)取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝csin π4⇒c ＝ 2.又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bcsin A ＝3＋34.3．已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos2x ＋a.(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x ∈[0，π4]时，函数f(x)有最大值4，求实数a 的值．解 f(x)＝3sin 2x ＋2cos2x ＋a＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1.(1)函数f(x)的最小正周期为2π2＝π， 由2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π2，k ∈Z ， 解得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k ∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6](k ∈Z)．(2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]，从而sin(2x ＋π6)∈[12，1]．∴f(x)＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]，∵f(x)有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.4．设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈[0，π2]．(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．解 (1)由|a|2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x ，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，由|a|＝|b|，得4sin2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f(x)＝a·b ＝3sin x·cos x ＋sin2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12.当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1，所以f(x)的最大值为32.5．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)在[π8，3π8]上的最大值和最小值．解 (1)f(x)＝4cos ωx·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωxcos ωx －2cos2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)． 最小正周期是2π2ω＝π，所以ω＝1，从而f(x)＝2sin(2x －π6)． 令－π2＋2kπ≤2x －π6≤π2＋2kπ，k ∈Z. 解得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k ∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[－π6＋kπ，π3＋kπ](k ∈Z)．(2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]，f(x)＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]，所以f(x)在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22.6.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ，所以∠ACB ＝30°.由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1. 因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.中档大题规范练——数列1．已知公差大于零的等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足：a2a4＝64，a1＋a5＝18.(1)若1<i<21，a1，ai ，a21是某等比数列的连续三项，求i 的值．(2)设bn ＝n (2n ＋1)Sn，是否存在一个最小的常数m 使得b1＋b2＋…＋bn<m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．解 (1)数列{an}为等差数列，因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d>0，所以a2<a4，所以a2＝5，a4＝13.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋d ＝5，a1＋3d ＝13，①所以a1＝1，d ＝4.所以an ＝4n －3.由1<i<21，a1，ai ，a21是某等比数列的连续三项，所以a1a21＝a2i ，即1×81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，Sn ＝n×1＋n (n －1)2×4＝2n2－n ，所以bn ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，②所以b1＋b2＋…＋bn＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n2n ＋1，因为n 2n ＋1＝12－12(2n ＋1)<12，③所以存在m ＝12使b1＋b2＋…＋bn<m 对于任意的正整数n 均成立．2．设Sn 为数列{an}的前n 项和，已知a1≠0,2an －a1＝S1·Sn ，n ∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a21.因为a1≠0，所以a1＝1.令n ＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2时，由2an －1＝Sn,2an －1－1＝Sn －1，两式相减得2an －2an －1＝an ，即an ＝2an －1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an ＝2n －1.所以数列{an}的通项公式为an ＝2n －1.(2)由(1)知，nan ＝n·2n －1.记数列{n·2n －1}的前n 项和为Bn ，于是Bn ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n －1，①2Bn ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②，得－Bn ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝2n －1－n·2n.从而Bn ＝1＋(n －1)·2n.即数列{nan}的前n 项和为1＋(n －1)·2n.3．设数列{an}的前n 项和为Sn ，满足2Sn ＝an ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N*，且a1＝1，设数列{bn}满足bn ＝an ＋2n.(1)求证数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)若数列cn ＝6n －3bn ，Tn 是数列{cn}的前n 项和，证明：Tn<3.(1)解 当n≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2Sn ＝an ＋1－2n ＋1＋1，2Sn －1＝an －2n ＋1⇒2an ＝an ＋1－an －2n⇒an ＋1＝3an ＋2n ，从而bn ＋1＝an ＋1＋2n ＋1＝3(an ＋2n)＝3bn ，故{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，bn ＝an ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，an ＝3n －2n(n≥2)，因为a1＝1也满足，于是an ＝3n －2n.(2)证明 cn ＝6n －3bn ＝2n －13n －1，则Tn ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，①13Tn ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，②①－②，得23Tn ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n＝2－13n －1－2n －13n＝2－2(n ＋1)3n ，故Tn ＝3－n ＋13n －1<3.4．已知单调递增数列{an}的前n 项和为Sn ，满足Sn ＝12(a2n ＋n)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设cn ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a2n ＋1－1，n 为奇数，3×2an －1＋1，n 为偶数，求数列{cn}的前n 项和Tn.解 (1)n ＝1时，a1＝12(a21＋1)，得a1＝1，由Sn ＝12(a2n ＋n)，①则当n≥2时，Sn －1＝12(a2n －1＋n －1)，②①－②得an ＝Sn －Sn －1＝12(a2n －a2n －1＋1)，化简得(an －1)2－a2n －1＝0，an －an －1＝1或an ＋an －1＝1(n≥2)，又{an}是单调递增数列，故an －an －1＝1，所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an ＝n.(2)cn ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1a2n ＋1－1，n 为奇数，3×2an －1＋1，n 为偶数，当n 为偶数时，Tn ＝(c1＋c3＋…＋cn －1)＋(c2＋c4＋…＋cn)＝(122－1＋142－1＋…＋1n2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n －1)＋n 2＝11×3＋13×5＋…＋1(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－4n 2)1－4＋n 2＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＋2×(4n 2－1)＋n 2＝2n ＋1＋n2－2n －42(n ＋1).当n 为奇数时，Tn ＝(c1＋c3＋…＋cn)＋(c2＋c4＋…＋cn －1)＝[122－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1]＋3×(21＋23＋…＋2n －2)＋n －12＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＋2×(4n －12－1)＋n －12＝2n ＋n2－2n －92(n ＋2).所以Tn ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋n2－2n －92(n ＋2)(n 为奇数)，2n ＋1＋n2－2n －42(n ＋1)(n 为偶数).5．已知函数f(x)＝2x ＋33x ，数列{an}满足a1＝1，an ＋1＝f(1an )，n ∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝1an －1an(n≥2)，b1＝3，Sn ＝b1＋b2＋…＋bn ，若Sn<m －2 0142对一切n ∈N*恒成立，求最小正整数m.解 (1)∵an ＋1＝f(1an )＝2an ＋33an＝2＋3an 3＝an ＋23，∴{an}是以1为首项，23为公差的等差数列．∴an ＝1＋(n －1)×23＝23n ＋13.(2)当n≥2时，bn ＝1an －1an ＝1(23n －13)(23n ＋13)＝1(2n －1)(2n ＋1)9＝92(12n －1－12n ＋1)， 又b1＝3＝92(1－13)，∴Sn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝92(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝92(1－12n ＋1)＝9n 2n ＋1， ∵Sn<m －2 0142对一切n ∈N*恒成立， 即9n 2n ＋1<m －2 0142对一切n ∈N*恒成立， 又9n 2n ＋1<92，∴m －2 0142≥92， 即m≥2 023.∴最小正整数m 为2 023.6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为an ，求an 的表达式；(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解 (1)由题意知，当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，所以an ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n≥8时，数列{an}从a7开始构成首项为a7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列，则此时an ＝16×⎝⎛⎭⎫54n －7，所以an ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝⎛⎭⎫54n －7，n≥8.(2)设Sn 为数列{an}的前n 项和， 当1≤n≤7时，Sn ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n2＋3n ，当n≥8时，由S7＝72＋3×7＝70，则Sn ＝70＋16×54×1－⎝⎛⎭⎫54n －71－54＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10，∴该生产线前n 年的每年平均维护费用为 Sn n ＝⎩⎨⎧ n ＋3，1≤n≤7，80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n ，n≥8.当1≤n≤7时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 为递增数列，当n≥8时，∵Sn ＋1n ＋1－Sn n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －6－10n ＋1－80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7·⎝⎛⎭⎫n 4－1＋10n (n ＋1)>0，∴Sn ＋1n ＋1>Sn n .∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 也为递增数列．又∵S77＝10<12，S88＝80×54－108＝11.25<12， S99＝80×⎝⎛⎭⎫542－109≈12.78>12，则第9年年初需更新生产线．。