哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案

《集合论与图论》计算机学院03年秋季（本试题满分90分）一、（10分，每小题1分）计算：1．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =。

计算从X 到Y 的映射的个数。

（答案： ）2．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =。

若m ≤n，计算从X 到Y 的单射的个数。

（答案： ）3.设X 为集合且X n =。

计算X 到X 的双射的个数。

（答案： ）4.设X 为集合且X n =。

计算X 上有多少个不同的自反的二元关系。

（答案： ）5.设X 为集合且X n =。

计算X 上有多少个二元运算。

（答案： ）6.设V＝{}12,p u u u L 。

计算以V 为顶点集无向图的个数。

（答案： ） 7.设V＝{}12,p u u u L 。

计算以V 为顶点集的有向图的个数。

（答案： ）8.设V＝{}12,p u u u L 。

计算以V 为顶点集的比赛图的个数。

（答案： ）9.（P，P）连通图中有多少个圈？（答案： ）10. n 个叶子的正则二元树中有多少条有向弧？（答案： ）二、（10分，每小题1分）以下每小题中给出了四个答案，其中仅有一个是正确的。

请找出正确的答案并将其号码添在括号中。

11. Km,n 是哈密顿图当且仅当。

（ ）（a）m≤n （b）m≥n （c）m＝n（d）（m<n 或m>n） 12. 下面哪个条件是Km,n 有哈密顿路的充要条件？（ ）（a）m<n （b）m>n （c）m＝n（d）m＝n 或m＝n+1 13. 设r≥2，G 是r-正则图且1)(=G χ，则（ ）14. 把平面分为α个区域，使任两个区域相邻，则α的最大值为（ ） （a）x(G)＝r （b）x(G)<r （c）x（G）≤〔2r 〕 （d）x(G)＝〔2r 〕 （a）5 （b）3 （c）2 （d）415. 4个顶点的二元树（顶点无标号）共有（ ）（a）3个 （b）4 （c）7 （d）816. 设f：,X Y A X →⊆，则（ ）（a）1(())f f A A −⊆ （c）-1f A A f ⊇))((（b）1(())f f A A −= （d）（a）或（b）17. :,f X Y B Y →⊆，则（ ）（a）1(())f fB B −⊇ （c）1(())f f B B −⊆ （b）1(())f f B B −= （d）（b）或（c）18.设,R X X X ⊆×为集合。

2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高一下学期期末数学试题一、单选题1．设集合，，则（ ）()(){}130A x x x =-+<{}0B x x =>A ．B ．A B ⋂=∅A B ⋃=RC ．D ．{}01A B x x ⋂=<<{}1A B x x ⋃=>【答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集、并集的定义计算可得；A 【详解】解：由，解得，即，()()130x x -+<31x -<<()(){}{}13031A x x x x x =-+<=-<<又，∴，；{}0B x x =>{}01A B x x ⋂=<<{}3A B x x ⋃=>-故选：C ．2．设命题，则为（ ）001:0,02022p a a ∃<+>p ⌝A ．B ．0010,02022a a ∀≥+≤10,02022a a ∀<+≤C ．D ．0010,02022a a ∃<+≤10,02022a a ∀≥+≤【答案】B【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“”的否定为“”.001:0,02022p a a ∃<+>1:0,02022p a a ⌝∀<+≤故选：B.3．设复数满足，则（ ）z 3i 1i z +-=-+z =A ．B ．C ．4D ．5【答案】B【分析】由复数的加减运算求出复数z ，根据模的计算求得答案.【详解】42i z =-+ =故选:B.4．复数，则的虚部是（ ）23ii z +=z A ．B ．C ．D ．2i2i-2-2【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的概念可得合适的选项.z 【详解】，则，因此，的虚部是.223i 3i 2i 32ii i z +-===- 32i z =+z 2故选：D.5．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，若向量，则实数xOy O ()1,3A ()2,B k -OA AB ⊥（ ）k =A ．4B ．3C ．2D ．23【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标表示建立方程求解即可.【详解】解：，，()1,3A ()2,B k -，.()1,3OA ∴= ()3,3AB k =--.()333312OA AB k k ∴⋅=-+-=-又，，即，OA AB ⊥3120k ∴-=4k =故选：A.6．已知两非零向量，满足，且，则（ ）a b ()4a b a ⊥- 4b = 2a b -=A ．8B ．3C ．2D 【答案】A【分析】根据向量的垂直关系进行向量的数量积和向量的模的运算即可.【详解】两非零向量，满足，且，可得，a b ()4a b a ⊥- 4b = 24a b a ⋅= a -.8==故选：A7．如图，在正方体中，为的中点，为的中点，则直线与所1111ABCD A B C D -E CD F BC 1B F 1D E 成角的余弦值为（ ）A ．BC ．D ．354534【答案】C【分析】分别取AD ，AB 的中点G ，H ，连接，易得或其补角为异面直线与11,,AG AHG H 1G AH ∠1B F 所成的角求解.1D E 【详解】解：如图所示：分别取AB ，AD 的中点G ，H ，连接，11,,AG AH G H 易知，则或其补角为直线与所成的角，1111//,//AG DE AH B F 1G AH ∠1B F 1D E设正方体棱长，则2AB =11AG AH G H ===所以，222111114cos 25A G A H GHGA H A G A H+-∠===⋅故选：C.8．直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若则此111ABC A B C -12120AB AC AA BAC ===∠=，球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．20π200π10π30π【答案】A【分析】由已知求出底面外接圆半径，再由直三棱柱的外接球半径与底面外接圆半径、侧棱的几何关系求球体半径，进而求此球的表面积.【详解】由题意，棱柱底面三角形中，底面外接圆半径，BC =22sin BCr BAC ==∠又为直三棱柱且，111ABC A B C -12AA =所以其外接球半径.R ==2420R ππ=故选：A二、多选题9．在中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，则下列说法正确的有（ ）ABC A ．::::A B C a b c=B ．sin sin sin sin a b c aA B C A++=++C ．，，若，则这样的三角形有两个4c =45B ∠=︒3b =D ．若，则为锐角三角形222a b c +>ABC 【答案】BC【分析】A. 利用正弦定理判断；B. 利用正弦定理判断；C. 利用余弦定理判断；D. 利用余弦定理判断.【详解】A. 由正弦定理得，则，故错误；sin sin sin a b cA B C ==sin :sin :sin ::A B C a b c =B. 由正弦定理得，再由比例性质得，故正确；sin sin sin a b cA B C ==sin sin sin sin a b c a A B C A ++=++C. 由余弦定理得，即，即，解得2222cos b a c ac B =+-∠2916=+-a 270-+=a或，故正确；1a =1a = D. 由余弦定理得，则为锐角，但A ，B 不一定是锐角，故错误. 222cos 02+-=>b a c C ab C 故选：BC10．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）a b αβA ．若，，则B ．若，，则a b ⊥b α⊂a α⊥αβ∥b β⊂b α∥C ．若，，，则D ．若，，则a α⊂b β⊂αβ⊥a b⊥a α⊥a β∥αβ⊥【答案】AC【分析】根据线面、面面关系的性质定理与判定定理一一判断即可；【详解】解：对于A ：若，，则或或或与相交不垂直，故A 错误；a b ⊥b α⊂a α⊥//a αa α⊂a α对于B ：若，，根据面面平行的性质可得，故B 正确；//αβb β⊂b α∥对于C ：若，，，则或或与相交或与异面，故C 错误；a α⊂b β⊂αβ⊥a b ⊥//a b a b a b 对于D ：若，，根据面面垂直的判定定理可得，故D 正确；a α⊥//a βαβ⊥故选：AC11．如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是1111ABCD A B C D -,M N 1,AC A B （ ）A ．平面MN 11ADD A B ．MN AB⊥C ．直线与平面所成角为MN ABCD 45D ．异面直线与所成角为MN 1DD 60【答案】ABC【分析】连接，，可得，利用线面平行的判定定理即可证明平面，BD 1A D 1MN A D MN 11ADD A 故A 正确；由线面垂直的性质可以得到，故B 正确；直线与平面所成角即直AB MN ⊥MN ABCD 线与平面所成角为，故C 正确；异面直线与所成角即为直线与所1A D ABCD 45MN 1DD 1A D 1DD 成角，故D 错误.【详解】\如图，连接，.BD 1A D在正方形中，为的中点,，即也为的中点，ABCD M AC AC BD M ∴⋂=M BD 在中，分别为的中点，，1A BD ,M N 1,BD A B 1MN A D 又平面，平面，平面，故A 正确；MN ⊄ 11ADD A 1A D ⊂11ADD A MN ∴ 11ADD A 平面，，，故B 正确；AB ⊥ 11ADD A 1AB A D ∴⊥AB MN ∴⊥，直线与平面所成角即直线与平面所成角为，故C 正确；1MN A D ∴MN ABCD 1A D ABCD 45 由题可知，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，为，故D 错误.MN 1DD 1A D 1DD 11A DD ∠45 故答案为：ABC.12．给出下列命题，其中错误的选项有（ ）A ．非零向量，满足且与同向，则,a b a b > a b a b> B ．已知且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是()()1,2,1,1a b ==a a λb + λ5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若单位向量的夹角为，则当取最小值时，12,e e60 ()122e te t R +∈ 1t =D ．在中，若，则为等腰三角形ABC 0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅=⎪⎝⎭ABC 【答案】ABC【分析】A 选项，向量具有大小和方向的量，无法比较大小，A 错误；B 选项，向量夹角为锐角，要满足夹角的余弦大于0且夹角余弦值不等于1，求出且，B 错误；C 选项，利用向53λ>-0λ≠量的数量积运算法则计算得到，得到时，取得最小值，()2212213e te t +=++ 1t =-()122e te t R +∈ C 错误；D 选项，从向量的几何意义得到表示的平分线方向上的向量，由三线合一AB AC AB AC+ A ∠得到是等腰三角形.ABC 【详解】向量无法比较大小，故A 错误；，要想与的夹角为锐角，()()()1,2,1,2a b λλλλλ+=+=++a a λb + 则，且，()cos ,0a ab a a b a a bλλλ⋅++=>⋅+()cos ,1a ab a a b a a bλλλ⋅++=≠⋅+，且，解得：且，B 错误；()1220λλ+++>1212λλ≠++53λ>-0λ≠，()222222212112212444424132e te e te e t e t t t t t +=+⋅+=+⨯+=++=++当时，取得最小值，C 错误；1t =-()122e te t R +∈在中，表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，ABC AB ABAB AC ACAC 则表示的平分线方向上的向量，AB AC AB AC + A ∠由得：的平分线方向上的向量与垂直，0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ A ∠BC 由三线合一可知：，则为等腰三角形，D 正确.AB AC =ABC 故选：ABC三、填空题13．已知 为正实数， 且， 则 的最小值为___________．,a b 1912a b +=ab +【答案】43【分析】由基本不等式求解【详解】由题意199()()10412123b aa b a b a b a b +++++==≥=当且仅当即时等号成立，9b aa b =1,13a b ==故答案为：4314．在中，三个内角对应的边分别为，若，，则ABC ,,A B C ,,a b c 7sin 5sin A B =85a c =______.B =【答案】##3π60【分析】利用正弦定理角化边可利用表示出，利用余弦定理可求得结果.a ,bc 【详解】由正弦定理可得：，又，，；75a b =85a c =75b a ∴=85c a=由余弦定理得：，222222644912525cos 82225a a a a c bB aca a +-+-===⋅，.()0,B π∈ 3B π∴=故答案为：.3π15．已知圆锥的底面直径为________．【分析】由截面面积可构造方程求得圆锥母线长，进而得到圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果.【详解】由题意知：圆锥的底面半径；r设圆锥的母线长为，则l 221sin 23l π⋅==l =圆锥的高圆锥的体积.∴h ===∴213V r h π=⋅=.四、双空题16．在长方体中，；点分别为中点；那么长方体1111ABCD A B C D -,AB BC CC ===121,E F AB CD ､外接球表面积为__________；三棱锥的外接球的体积为__________.1111ABCD A B C D -1D BEF -【答案】 6π【分析】求出长方体的对角线即为长方体外接球的直径，由此可得球表面积，设分别是,,,G H I J 中点，可证明平面，设平面与的交点分别为1111,,,A D AD BC B C EF ⊥GHIJ GHIJ 1,,D E BF EF ，在平面内过作，过作交于点，证得是三棱锥,,N M Q GHIJ N PN NQ ⊥M PM QM ⊥PN P P 的外接球球心．在四边形中求得四边形外接圆直径，然后求出，再求出三棱1D BEF -PMQN PN 锥的外接球的半径后球体积．1D BEF-【详解】长方体对角线长为，所以长方体外接球半径为l ==2l R ==；246S ππ=⨯=如图，分别是中点，则是矩形，平面平面，,,,G H I J 1111,,,A D AD BC B C GHIJ //GHIJ 11CDD C 分别是中点，则，而平面，所以平面，,E F ,AB CD //EF AD AD ⊥11CDD C EF ⊥11CDD C 所以平面，而平面，平面，EF ⊥GHIJ EF ⊂1D EF EF ⊂BEF 所以平面平面，平面平面，1D EF ⊥GHIJ BEF ⊥GHIJ 由平面，平面，得，而，EF ⊥11CDD C 1D F ⊂11CDD C 1EF D F ⊥EF EB ⊥设平面与的交点分别为，则分别是的中点，GHIJ 1,,D E BF EF ,,N M Q ,,N M Q 1,,D E BF EF 所以分别是和的外心，,N M 1D EF EFB △在平面内过作，过作交于点，GHIJ N PN NQ ⊥M PM QM ⊥PN P 由平面，得，，EF ⊥11CDD C EF PN ⊥EF PM ⊥而，平面，所以平面，同理平面，NQ EF Q = ,NQ EF ⊂1D EF PN ^1D EF PM ⊥BEF 所以是三棱锥的外接球球心．P 1D BEF -四边形是圆内接四边形，PMQN 由长方体性质知，所以，，14NQH D FD π∠=∠=34NQM π∠=112NQ D F ==12MQ =MN ==由平面，平面，得，PM ⊥BEF BM ⊂BEF PM BM ⊥，，sin MN PQ NQM ===∠32PM ==，所以12BM BF ==PB ==所以三棱锥的．1D BEF -343V π=⨯=故答案为：．6π五、解答题17．已知，，，，且.()11,0e =()20,1e =122a e e λ=+ 12b e e =- //a b (1)求的值；λ(2)求向量与向量夹角的余弦.a122c e e =+ 【答案】(1)2λ=-(2)【分析】（1）根据题意求出的坐标，由向量平行的判断方法可得关于的方程，即可得到结果；,a bλ（2）设与的夹角为，由向量夹角公式计算即可得到结果.a cθ【详解】（1）根据题意，，，，，()11,0e =()20,1e =122a e e λ=+ 12b e e =- 则，()()()2,00,2,a λλ=+= ()()()1,00,11,1b =-=-因为，则有，解得//a b 121λ-=2λ=-（2）由（1）可知，()2,2a =- ()1,2c =设与的夹角为，a cθ则cos a ca c θ⋅====⋅18．如图，在三棱柱中，平面ABC ，，D 是BC 的中111ABC A B C -1AA ⊥1,2AB BC AC AA AB ===点，O 是与的交点．1AC 1A C(1)证明：平面；1//A B 1AC D (2)若，求三棱锥的体积．2AB =1B AC D -【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由，根据线面平行的判定定理证明；1//OD A B （2）由棱锥体积公式计算．【详解】（1）连接OD ，易知O 是的中点．又D 是BC 的中点，1A C 是的中位线，，OD ∴1A BC 1//OD A B ∴平面，平面．,A B ⊄ 1AC D OD ⊂1AC D 平面．1//A B ∴1AC D（2）三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥， 1B AC D -1C ABD -且，12,4AB BC AC AA ====AD =11111432B AC D C ABD V V --∴==⨯⨯=19．如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，AF ⊥ABCD ABEF ABCD ，，，．90DAB ∠=︒//AB CD 2AD CD ==4AB =(1)求证：∥平面；AF BCE (2)求证：平面平面．ACF ⊥BCE 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面平行的判定，证明即可；AF BE ∥（2）过C 作，垂足为M ，根据勾股定理证明，再根据线面垂直的性质与判定CM A B ⊥AC BC ⊥证明平面BCE 即可AC ⊥【详解】（1）证明：因为四边形ABEF 为矩形，所以，又平面BCE ，平面AF BE ∥BE ⊂AF ⊄BCE ，所以平面BCE ．AF ∥（2）过C 作，垂足为M ，则四边形ADCM 为矩形．CM A B ⊥因为，，所以，，2AD CD ==4AB =2AM MB ==AC =2CM =BC =，所以．222AC BC AB +=AC BC ⊥因为平面ABCD ，，AF ⊥AF BE ∥所以平面ABCD ，所以．BE ⊥BE AC ⊥又平面BCE ，平面BCE ，，BE ⊂BC ⊂BE BC B = 所以平面BCE ，又平面ACF ，所以平面平面BCE ．AC ⊥AC ⊂ACF ⊥20．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且.ABC ()sin sin sin sin a A B b B c C ++=(1)求角C 的大小；(2)若，，求的面积.sin sin A B +=8c =ABC 【答案】(1)；23C π=【分析】（1）先利用正弦定理化简，再利用余弦定理得解；（2）利用正弦定理得，再求出即得解.9a b +=17ab =【详解】（1）解：由正弦定理得，，∴，222a ab b c ++=2221cos 22a b c C ab +-==-∵，∴.()0,C π∈23C π=（2）解：因为，∴，sin sin sina b c A B C ====sin A =sin B =，)a b +=9a b +=又∵，()2222c a b ab a b ab=++=+-∴，()22816417ab a b c =+-=-=∴.121sin 17232ABC S ab π==⨯△21．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.ABC ()sin cos a b C C =+(1)求B ；(2)若，求面积的最大值.1b =ABC 【答案】(1)π4【分析】（1）由正弦定理及和角公式得，进而求得，即可求出B ；sin cos sin sin C B B C =tan 1B =（2）由余弦定理及基本不等式求出.ac ≤【详解】（1）因为，由正弦定理得，()sin cos a b C C =+()sin sin sin sin sin cos A B C B C B C =+=+整理得，sin cos sin sin C B B C =因为，所以，即，由B 为三角形内角得；sin 0C >sin cos B B =tan 1B =π4B =（2）由余弦定理得，，当且仅当时取等号，(222222cos 2b a c ac B a c ac =+-=+≥a c =解得ac面积，所以.ABC 1sin 2S ac B ==≤ABC 22．如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面-P ABC 2PA =ABC 2P 上的射影为，有，且.ABC D AD DB ⊥1DB =(1)求证：平面；//AC PDB (2)求二面角的余弦值.P AB C --【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）证明，原题即得证；//DB AC （2）以为原点，方向直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向D AD x DB y DP z 量法求解.【详解】（1）解：因为，且，，所以AD DB ⊥1DB =2AB =AD =所以．60DBA ∠=︒因为为正三角形，所以，ABC 60CAB ∠=︒又由已知可知为平面四边形，所以．ACBD //DB AC 因为平面，平面，AC ⊂/PDB DB ⊂PDB 所以平面．//AC PDB （2）解：由点在平面上的射影为可得平面，P ABC D PD ⊥ACBD 所以，．PD DA ⊥PD DB ⊥如图，以为原点，方向直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则由已D AD x DB y DP z 知可知，1，，，，，0，，，．(0B 0)(A 00)(0P1)(C 20)平面的法向量，0，，所以,ABC (0n →=1)(1,0),(0,1,1)BA BP →→=-=-设，，为平面的一个法向量，则(m x →=y )z PAB 由，得，令，则，00m BA m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩1x =y =z =所以平面的一个法向量， ，所以，PAB (1m →=cos ,n m →→<=由图象知二面角是钝二面角，P AB C --所以二面角的余弦值为P AB C --。

2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）(){}30A x x x =-<{}0,1,2,3B =A B = A ．B ．C ．D ．{}0,1,2,3{}0,1,2{}1,2,3{}1,2【答案】D【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合A A B ⋂【详解】解：由解得，所以，所以，()30x x -<03x <<{}03A x x =<<{}1,2⋂=A B 故选：D.2．若是虚数单位，复数的共轭复数是，且，则复数的模等于（ ）i z z 2i 4i z -=-zA ．5B ．25C D 【答案】A【分析】由复数的运算，求得，进而得，再根据复数模的计算公式，即可求解43i z =-+43i z =--复数的模.【详解】由题意，复数的共轭复数满足，所以，z 2i 4i z -=-2i (4i)43i z =--=-+所以复数，所以.43i z =--5z ==故选：A.3．设，，且，均为非零向量，则“”是“”的（ ）条件(,)a x y = (,)b m n = a b x y m n =a b ∥A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要【答案】A【分析】由向量共线的坐标公式判断充分性和必要性即可求解.【详解】若，则，则，满足充分性；反之，若，则，不能推出x y m n =nx my =a b ∥a b∥nx my =，x y m n=比如，显然满足，但无意义，不满足必要性；故“”是“”的充分0m x ==nx my =x ym n=x y m n =a b ∥非必要条件.故选：A.4．若都不为零的实数满足，则（ ）,a b a b >A ．B ．C ．D ．11a b <2b a a b +>e1a b->ln ln a b>【答案】C【分析】AB 可以举出反例，C 选项可以根据指数函数单调性进行判断，D 选项可以从定义域上排除.【详解】[方法一]：特值法：取，满足，但，A 错误；1,1a b ==-a b >11a b >当，满足，但，B 错误；1,1a b ==-a b >22b aa b +=-<因为，所以，所以，C 正确；a b >0a b ->e1a b->当或时，无意义，故D 错误.a<00b <ln ,ln a b 故选：C[方法二]：函数性质法对于A ，由于不清楚的正负，不能直接取倒数，A 错误；,a b 对于B ，由于不清楚是否为正，没有办法利用基本不等式，B 错误；,a b 对于D ，由于不清楚的正负，不一定有意义，D 错误；故选C.,a b ln ln a b ，5．1618年德国物理学家开普勒在《宇宙谐和论》上提出：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴长（单位：米）的立方与它的公转周期（单位：秒）的平方()3a 之比是一个常量，即，（其中k 为开普勒常数，M 为中心天体质量，G 为引力()2T 32a k T =24GMk π=常量）．已知地球轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的运行周期约为1年，距离太阳最远的冥王星轨道的半长轴长约为60亿千米，则冥王星的运行周期约为（ ）A ．150年B ．200年C ．250年D ．300年【答案】C【解析】地球轨道的半长轴长和运行周期可求得的值，再进一步利用公式计算冥王星的运行周期.k 【详解】由题意得：，321.51k =，∴3332222360 1.560(365243600)(365243600) 1.5T T ⨯⨯⨯=⇒=⨯⨯（秒）365225436000T ⨯⨯≈⨯年.∴250T ≈故选：C.【点睛】本题考查数学文化，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，求解时注意对时间单位的理解，可减少计算量.6．把，两支篮球队在一个赛季十场比赛中的得分情况绘成如图所示的茎叶图，设A 队得分的A B 极差为，队得分的25%分位数为，则，的值分别为（ ）x B y x yA ．42 66.5B ．47 66.5C ．42 69D ．47 69【答案】D【分析】由茎叶图中的数据，利用极差与百分位的定义求解即可.【详解】由茎叶图可知，A 队得分的极差985147,x =-=因为1025% 2.5,⨯=所以队得分的25%分位数为从小到大的第三位数，B 所以，69y =故选：D.7．已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离C 2y x =l A ()1,0P P l 为，则的最大值为（ ）d PA d-A ．B ．C ．1D ．341223【答案】A【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A 和焦点F 距离差的最大值求解.P 【详解】抛物线：的焦点，依题意，，则，C 2y x =1(,0)4F ||d PF =3||||4PA d PA PF AF -=-≤=当且仅当点P ，F ，A 共线，即点P 为抛物线顶点时取“=”，所以的最大值为.PA d -34故选：A8．如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，且，ABCD ⊥ABEF ABCD ABEF 4AB =，若是线段上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（ ）1AF =G EF C ABG-A ．B ．16π20πC ．D ．32π36π【答案】C【分析】根据正弦定理及找到外接球的直径，再利用球的表面积公式即可求解.【详解】由题意可知，设的外接圆半径为r ，由正弦定理，知ABG ，当时，取得最小值为2，42sin sin AB r AGB AGB ==∠∠π2AGB ∠=r 此时外接球半径满足，解得或R 22228R r =+≥R ≥R ≤-所以三棱锥的外接球的最小半径为C ABG -所以外接球表面积为.24π32πR =故选：C.二、多选题9．在中，已知，，则角的值可能为（ ）ABC 6a =b =30B =A A ．B ．C ．D ．4560135150【答案】AC【分析】根据正弦定理求出，根据可得或.sin A a b >45A =135A =【详解】由正弦定理得，得sin sin a b A B =sin sin a B A b ===因为，且，所以或.0180A <<a b >45A =135A = 故选：AC.10．下列直线中与直线： ）l 210x y --=A ．B ．240x y -+=230x y ++=C ．D ．260x y --=4270x y --=【答案】AC【分析】根据两直线互相平行设直线方程，再结合两直线间距离公式解方程即可.【详解】设与与直线：平行的直线为，l 210x y --=20x y m -+=又，d ==解得或，4m =6m =-即该直线为或，240x y -+=260x y --=故选：AC.11．如图所示，已知四边形ABCD 是由一个等腰直角三角形ABC 和一个有一内角为30︒的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD 绕AC 边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（ ）A ．CD ⊥AB B ．BC ⊥AD C ．BD ⊥AB D ．BC ⊥CD【答案】ACD【分析】ACD 可以通过旋转到CD ⊥BC 时，进行证明；B 选项可以假设成立，推出矛盾.【详解】当将△ACD 绕AC 边旋转到CD ⊥BC 时，因为CD ⊥AC ，，此时CD ⊥平面AC BC C = ABC ，而平面ABC ，则CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，AD 正确；,AB BC ⊂此时AB ⊥平面BCD ，平面BCD ，所以AB ⊥DB ，C 正确；DB ⊂若，而AB ⊥BC ，，故必有BC ⊥平面ABD ，由图形可知，D 点在B 点正上方，BC AD ⊥AB AD A ⋂=而，所以显然不可能；CD BC <BC AD ⊥故选：ACD12．已知函数对任意都有，若函数的图像关于对称，且对任()f x x R ∈(2)()f x f x +=-(1)f x +=1x -意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）12,(0,2)x x ∈12x x ≠1212()()f x f x x x ->-(2)0f -=A ．是偶函数B ．()f x (2022)0f =C ．的图像关于对称D ．()f x (1,0)75()()22f f ->-【答案】ABC【分析】由，得到，得出是周期为4的周期函数，根据函数的(2)()f x f x +=-()4()f x f x +=()f x 图象变换，得到函数的关于对称，得出函数为偶函数，结合，根据()f x 0x =()f x (2)0f -=，进而求得，得到函数关于中心对称，结合函数的单调(2022)(2)f f =(1)(1)f x f x +=--()f x (1,0)性和周期性，进而得出.75(()22f f -<-【详解】由函数对任意都有，可得，()f x x R ∈(2)()f x f x +=-()2(()4)f x f x f x -+=+=所以函数是周期为4的周期函数，()f x 又由函数的图像关于对称，根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对(1)f x +=1x -()f x 0x =称，所以函数为偶函数，所以A 正确；()f x 因为，可得，(2)0f -=(2)0f =则，所以B 正确；(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==又因为函数为偶函数，即，所以，()f x ()()f x f x -=(2)()()f x f x f x +=-=--可得，所以函数关于中心对称，所以C 正确；(1)(1)f x f x +=--()f x (1,0)由对任意的，且，都有，12,(0,2)x x ∈12x x ≠1212()()f x f x x x ->-可得函数在区间上为单调递增函数，()f x (0,2)又由，771553((4)(()(4)()222222f f f f f f -=-+=-=-+=可得，即，所以D 不正确.13(()22f f <75(()22f f -<-故选：ABC三、填空题13．在的展开式中，含的系数为______．51(+)x x 3x 【答案】5【分析】由的展开式的通项公式，令，即可求得结论．51()x x -523-=r 【详解】的展开式的通项公式为51()x x +5521551C (C r r r r rr T x xx --+==令，则，的展开式中含项的系数是.523-=r 1r =51(x x ∴-3x 5故答案为：．514．等差数列的前n 项和为，若，是方程的两根，则______.{}n a n S 2a 8a 2230x x --=9S =【答案】9【分析】由题意可得，再有等差数列的下标和性质可求得答案.282a a +=【详解】因为，是方程的两根，所以，2a 8a 2230x x --=282a a +=则.()()1928999929222a a a a S ++⨯====故答案为：9.15．设函数，若在上有且仅有2个零点，则实数的取值范()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()f x 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ω围为______.【答案】814,33⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由的取值范围，求出，再根据正弦函数的性质计算可得；x 3x πω-【详解】解：因为，当，()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，,3323x ππππωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭因为在上有且仅有个零点，()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭2所以，解得，即；223πππωπ<-≤81433ω<≤814,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：814,33⎛⎤⎥⎝⎦16．已知双曲线的左、右焦点分别是，点A 是圆2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>12,F F 上的一个动点，且线段的中点B 在E 的一条渐近线上．若E 的焦距为4，22(2)(4)4x y ++-=2AF 则E 的离心率的最小值是__________．【答案】2【分析】设，，由条件出点的轨迹，根据所求曲线与双曲线渐近线有公共点，(),B x y ()00,A x y B 求出临界状态下渐近线的斜率，数形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围.【详解】设，且E 的焦距为4，则，()00(,),,B x y A x y (2,0)F 因为点A 是圆上的一个动点，22(2)(4)4x y ++-=所以．()()220244x y ++-=因为B 是的中点，2AF 所以，即，002202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩00222x x y y =-⎧⎨=⎩所以，22(222)(24)4x y -++-=所以B 点在圆上，同时B 在E 的一条渐近线上．22(2)1x y +-=设E 的渐近线：，所以直线与圆有公共点，b y kx k a ⎛⎫==± ⎪⎝⎭即，12d r =≤=⇒≥又．[2,)c e a ===+∞故答案为：2．四、解答题17．如图，在平面四边形中，，，．ABCD 56DAB π∠=4ADC π∠=2AB AC ==1CD =(1)求的大小；ACD ∠(2)求的值．BC 【答案】(1)；712π【分析】（1）由正弦定理求得，即可求得，即可求得；1sin 2CAD ∠=6π∠=CAD ACD ∠（2）先求得，再由余弦定理求解即可.23BAC π∠=【详解】（1）由正弦定理，得．所以，又sin sin AC CD ADC CAD =∠∠1sin CAD=∠1sin 2CAD ∠=为三角形内角，CAD ∠且，故，所以．4ADC π∠=6π∠=CAD 76412ACD ππππ∠=--=（2）由（1）可知，所以．由余弦定理，得6π∠=CAD 23BAC π∠=，所以22222cos 143BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅=BC =18．设数列是等比数列，其前项和为{}n a n .n S (1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求的通项公式；{}n a ①；②；2n n S a =-23342161，=+=+S a S a (2)在（1）的条件下，若，求数列的前项和31n n b a -={}n b n nT 【答案】(1)答案见解析(2)341172n n T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】（1）设等比数列的公比为若选①，根据求解即可；若选②，根据q()12n n n a S S n -=-≥两式相减可得公比，再代入求得即可；233421,61S a S a =+=+2321S a =+1a （2）代入（1）中可得，再根据等比数列的前项和公式求解即可n a n b n 【详解】（1）设等比数列的公比为，，q0q ≠若选①，，，1112a S a ==-11a =时，，2n ≥()11122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-可得，，12n n a a -=112n n a qa -==所以；112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭若选②，，所以，23342161，=+=+S a S a 12312342161，+=+++=+a a a a a a a可得，所以，，；3342161++=+a a a 12q =11a =112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2），，所以，31311321122n n n n b a ----===13112++=n n b 311332112122n n n n b b ++-==所以是公比为首项为的等比数列，{}n b 31212故.131432331111114122 (11222)7212n n n n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++==- ⎪⎝⎭-19．某省为了坚决打赢脱贫攻坚战，在100个贫困村中，用简单随机抽样的方法抽取15个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据，其中和分别表示第i 个贫困村中贫困()(),1,2,,15i i x y i =⋅⋅⋅i x i y 户的年平均收入（单位：万元）和产业扶贫资金投入数量（单位：万元），并计算得到，15115ii x==∑，，，．151750ii y==∑()15210.82ii x x =-=∑()15211670ii y y =-=∑()()15135.3iii x x y y =--=∑(1)试估计该省贫困村的贫困户年平均收入；(2)根据样本数据，求该省贫困村中贫困户年平均收入与产业扶贫资金投入的相关系数（精确到0.01）；(3)根据现有统计资料，各贫困村产业扶贫资金投入差异很大．为了确保完成脱贫攻坚任务，准确地进行脱贫验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．参考公式：r =【答案】(1)1万元；(2)；0.95(3)采用分层抽样，理由见解析.【分析】（1）根据平均数公式即得；（2）根据相关系数公式即得；（3）根据分层抽样的概念即得.【详解】（1）该省贫困村的贫困户年平均收入的估计值为:（万元）;151111511515i i x ==⨯=∑（2）样本的相关系数：()(),1,2,,15i i x y i =⋅⋅⋅；0.95r ==≈（3）采用分层抽样，理由如下：由（2）知，各地区贫困村的贫困户年平均收入与该村的产业投入资金有很强的正相关性，由于各贫困村产业扶贫资金投入差异很大，因此贫困村的贫困户年平均收入差异也很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该省更准确的脱贫验收估计．20．如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，ABCD AD BC ∥12AB BC CDAD ===AC ABC 使点到达点的位置，且.B P PA CD ⊥(1)证明：平面；CD ⊥PAC (2)若为上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求平面与平M PD D ACM -PACM -PAC 面夹角的余弦值.ACM 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）在梯形中，取的中点，证明四边形为平行四边形，再根据圆的性ABCD AD E BCEA 质得出，利用线面垂直的判定定理证明即可；AC CD ⊥（2）建立空间直角坐标系，由得出，利用向量法即可得出二面角:1:2P ACM D ACMV V --=13PM PD = 的余弦值.P AC M --【详解】（1）在梯形ABCD 中取AD 中点N ，连接CN ，所以且，所以四边形为平行四边形，BC AN =//BC AN ABCN 所以，又因为，所以，CN AB =12AB AD =12CN AD =所以点在以为直径的圆上，所以.C AD AC CD ⊥又因为，，平面AP CD ⊥AP AC A ⋂=,AP AC ⊂PAC所以平面.CD ⊥PAC （2）取中点，连接，因为，所以，AC O PO AP PC =PO AC ⊥由（1）得平面，又因为面，CD ⊥PAC CD ⊂ACD 所以平面面，因为为两平面交线，PAC ⊥ACD AC 所以面，PO ⊥ACD 以为原点，为轴，过且与垂直的直线为轴，为轴建立直角坐标系，O OA x O OA y OPz 设，则，，，，2AB=)A ()C ()0,0,1P ()2,0D 由，得，:1:2P ACM D ACM V V --=13PM PD = 所以，122,333OM OP PM OP PD ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面的法向量为，ACM (),,n x y z = 所以，即，00n OM n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩220330x y z ⎧++=⎪=取，则，，所以，1z =-0x =1y =()0,1,1n =- 又因为平面的法向量，PAC ()0,1,0m = 所以cos ,n m 因为二面角.P AC M --21．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：的离心率为，左顶点为A ，上顶22221(0,0)x y a b a b +=>>12点为B ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)不过椭圆点A 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，k 1，k 2，若．证明：直线l 过定点，并求出定点的坐标．()122k k k +=【答案】(1)22143x y += (2)证明见解析；定点(－，0)72【分析】（1）结合离心率及|AB |的等式求得a ，b 的值，得到椭圆C 的方程；（2）假设直线l 的方程，与椭圆C 的方程得到x 的二次函数，韦达定理得到用参数k ，m y kx m =+表示，，代入等式化简可以得到k ，m 的等式，从而得到直线l 的定点坐12x x +12x x ()122k k k +=标．【详解】（1）由题意知：，，，2222211344c b e a b a a ⎛⎫⎛⎫==-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222||7AB a b =+=24a ⇒=，此时椭圆C 的标准方程为：；23b =22143x y += （2）设直线l 的方程为，M (，)，N (，)y kx m =+1x 1y 2x 2y 依题意知：A (－2，0)，，即1212222y y k x x ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭1122222kx m kx m k x x ⎛⎫+++= ⎪++⎝⎭化简得 ①()()()2212121212224248k x x k mk x x mk x x x x ++++=+++联立，整理得22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2224384120k x kmx m +++-=∴，，将它们代入①得：222843km x x k +=+212241243m x x b -=+()()()()()222222222412282412484843434343k m k mk km m km mk k k k k -+---++=++++++化简得．()()2720k m k m --=当时，直线l 的方程为，此时直线l 恒过点(－2，0)，不符合题意(舍去)；2m k =()2y k x =+当时，直线l 的方程为，此时直线l 恒过点(－，0)．72m k =72y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭72综上：直线l 恒过定点(－，0)7222．已知函数.()()()e 1xf x a x a =--∈R (1)当时，求函数的极值；1a =()y f x =(2)若关于x 的方程在无实数解，求实数a 的取值范围.()ln e 0f x x +-=()1,+∞【答案】(1)极小值为，无极大值2(2)(],e+1-∞【分析】（1）代入，求导，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间及极值情况；1a =（2）构造函数，二次求导，确定导函数的单调性，结合端点值，对()()e ln e+1x g x ax x a x =-+->进行分类讨论，确定实数a 的取值范围.a 【详解】（1）当时，，定义域为R ，1a =()e 1x f x x =-+，令，解得：，()e 1x f x '=-()e 10x f x '=-=0x =当时，，单增，当时，，单减0x >()e 10x f x '=->()f x 0x <()e 10x f x '=-<()f x 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值.()e 1x f x x =-+0x =()00e 12f =+=（2）即在无实数解，()ln e 0f x x +-=()e 1ln e 0x a x x --+-=()1,+∞令，()()e ln e+1x g x ax x a x =-+->则，()()1e 1x g x a x x '=-+>令，()()()1e 1x h x g x a x x '==-+>则，()()2221e 1e 1x x x h x x x x -'=-=>因为，所以，所以，1x >21,e e x x >>2e e x x >，即在上单调递增，()0h x '>()()1e x h x g x a x '==-+1x >其中，()1e+1h a =-当，即时，时，，e+10a -≥e+1a ≤()1,x ∈+∞()0g x '>在上单调递增，又，()g x ()1,x ∈+∞()10g =故当时，没有零点；1x >()g x ②当，即时，e+10a -<e 1a >+令，()()e e 1x k x x x =->在上恒成立，()e e>0x k x '=-()1,x ∈+∞所以在上单调递增，()e e x k x x =-()1,x ∈+∞所以，故，，()()10k x k >=e e x x >1x >所以，e e e 0e e a a g a a a ⎛⎫'>⨯+-=> ⎪⎝⎭又，故存在，使得，e 1e e a >=01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00g x '=当时，，单调递减，又，()01,x x ∈()0g x '<()g x ()10g =故当时，，所以在内没有零点，(]01,x x ∈()0g x <()g x ()01,x x ∈当时，，单调递增，()0,x x ∈+∞()0g x '>()g x 因为，所以，e 1a >+()()ln e ln e 1e 1e=ln e 111a a +->+++-++>且()22e ln e e 1a a g a a a a a =+-+->-+令，，()2e 1x x x ϕ=-+1x >，，()e 2x x xϕ'=-1x >令，，()()e 2x x x xφϕ'==-1x >，所以在上单调递增，()e 2e 20x x φ'=->->()e 2x x x ϕ'=-()1,x ∈+∞又，故时，，()1e 20ϕ'=->1x >()0x ϕ'>在上单调递增，()2e 1x x x ϕ=-+()1,x ∈+∞所以，故，()()1e 0a ϕϕ>=>()0g a >又，由零点存在性定理可知，存在，，0e a a x >>()10,x x a ∈()10g x =故在内，函数有且仅有一个零点，()0,x a ()g x综上：时满足题意e+1a ≤即的取值范围是a (],e+1-∞【点睛】导函数求解参数取值范围问题，通常需要构造函数，求出构造函数的导函数，确定其单调性，极值和最值情况，本题中要注意到特殊点的函数值，确定参数的取值范围，即必要性探究，再进行充分性证明.。

一、选择与填空（共8分）1．函数表达式Y =C D C B A +++，则其对偶式为（不必化简）： Y '= 。

2．图1-2为CMOS 工艺数字逻辑电路，写出F 的表达式：F = 。

Fo /mVu u图1-2 图1-33．图1-3为4位 （逐次逼近型、双积分型、流水线型）A/D 转换器的转换示意图，转换结果为 。

4．对于一个8位D/A 转换器，若最小输出电压增量为0.01V ，当输入代码为01001101时，输出电压u o = V ，分辨率= 。

5．已知时钟脉冲频率为f cp ，欲得到频率为0.25f cp 的矩形波，哪种电路一定无法实现该功能（ ）A ．四进制计数器；B ．四位二进制计数器；C ．单稳态触发器；D ．施密特触发器。

6．某EPROM 有8条数据线，10条地址线，其存储容量为 字节。

一、（8分）每空1分1. ()A B CDC +；2. X A XB +或X B A F X ；3. 逐次逼近型，0101；4. 0.77V ，8121-或0.0039； 5. D ； 6. 210二、回答下列问题（共10分）1．电路如图2-1所示。

V 5CC =V ，R 取值合适，写出F 的表达式（不必化简）。

3210图2-1解： 3210F ABS ABS ABS ABS =⋅⋅⋅————————————————3分2．卡诺图化简：(),,,(0,1,2,3,5,8)P A B C D m =∑，约束条件为：0ABD BCD ABC ++= 解：AB CD000111100001111011ΦΦΦ0111001ΦΦ——————————2分P AD BD =+——————————————1分3．在图2-3中，用一片74LS160和一片74LS161，配合必要的逻辑门电路，构成128进制计数器。

要求：使用置数方式，且74LS160为低位芯片，74LS161为高位芯片。

Q D 74LS160RCO Q C Q B Q A ET EP D C B A CR LD CPQ D RCO Q C Q B Q A ET EP D C B A CR LDCP74LS161图2-3解：Q D 74LS160RCO Q C Q B Q A ET EP D C B A CR LDCPQ D RCO Q C Q B Q A ET EP D CB A CR LDCP74LS161111CP——4分三、(10分)一个保险箱有3个按键，当3个键都不按下时，保险箱关闭，不报警；当只有一个按键按下时，保险箱仍关闭，但报警；当有2个按键按下时，保险箱打开，不报警；当三个按键同时按下时，保险箱打开，但要报警。

2021年黑龙江省哈尔滨市工业大学附属中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.参考答案：D2. 若是奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（）A. B.C. D.参考答案：C3. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标压缩到原来的倍，最终所得图象对应的函数的最小正周期为（）A．B． C. D．参考答案：B4. 函数f(x)＝ln x＋2x－1零点的个数为()A．0 B．1C．2 D．3参考答案：B5. 在正三棱锥中，是的中点，且,底面边长,则正三棱锥的外接球的表面积为A.B. C. D.参考答案：B6. 设M=｛x｜0≤x≤2｝，N=｛y｜0≤y≤2｝.下面的四个图形中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有 ( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：C7. 若函数的图象不经过第四象限，则正实数a的取值范围为( )A. [1,+∞)B.C.D.参考答案：C【分析】求导对a讨论判断函数的单调性求其极值即可求解【详解】当,即,得或，当或，，故在单调递增，又，故图象不经过第四象限，符合题意当，即时，,得或，当，，故在单调递减，在递增，又，故图像经过第四象限，舍去故选：C【点睛】本题考查函数的单调性，函数图像的应用，f（0）=0是突破点，是中档题8. 设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（A）（B）2 （C）（D）参考答案：C9. 已知向量，. 若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C略10. 甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（）A． B．C． D．答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图, 在中,,是边上一点,,则的长为________.参考答案：12. 设，则的展开式中常数项是.参考答案：-33213. 若函数f（x）=4x﹣a?2x+1在区间[﹣1，1]上至少有一个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：a≤﹣2或2≤a≤2.5【考点】函数零点的判定定理．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】令t=2x（≤t≤2），y=t 2﹣at+1=（t ﹣）2+1﹣，通过题意知，需讨论二次函数f （x ）对称轴的分布情况，解出a 即可．【解答】解：令t=2x （≤t≤2），y=t 2﹣at+1=（t ﹣）2+1﹣对称轴x=，①若≤或≥2，即a≥4或a≤1时，则在区间[，2]上有零点的条件是：f （）?f （2）≤0，无解；②若＜＜2，即1＜a ＜4时，则在区间[，2]上有零点的条件是：f （﹣）＜0，且f （），f （2）中有一个大于0，即或，解得：a ＜﹣2或2＜a ＜2.5，取“=”也成立， 综上所述，实数a 的取值范围是：2≤a≤2.5， 故答案为：2≤a≤2.5．【点评】熟练掌握二次函数图象以及对称轴、取零点的情况是求解本题的关键．14. 写出用三段论证明为奇函数的步骤是 ．参考答案：满足的函数是奇函数， 大前提， 小前提所以是奇函数． 结论15. （13）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，，面积，则b 等于 ．参考答案：5从上而下，其中2012第一次出现在第 行，第 列． 参考答案：17. 在△ABC 中，已知角，a 2+b 2=4（a+b ）﹣8，则边c= ．参考答案：2【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】利用a 2+b 2=4（a+b ）﹣8，求出a ，b ，再利用余弦定理求出c 即可． 【解答】解：∵a 2+b 2=4（a+b ）﹣8， ∴（a ﹣2）2+（b ﹣2）2=0， ∴a=2，b=2由余弦定理可得c 2=a 2+b 2﹣2abcos=4+4﹣4=4，∴c=2． 故答案为：2．【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

哈尔滨工业大学2003 /2004 学年 秋季学期工科数学分析期末考试试卷 （答案） 试题卷（A ）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70%一．选择答案（每题2分，本题满分10分） 1． )(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(limx f x x →存在的（ B ）条件(A)充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 2．设)(x f 为连续函数，⎰=t s dx tx f tI 0)(，其中0,0>>s t ，则I 的值（ A ）(A)依赖于s 不依赖于t （B ）依赖于t 不依赖于s（C ）依赖于s 和t （D ）依赖于t s ,和x3．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0210cos 1)(2x x xxx f ，则)(x f 在点0=x 处（ A ）(A)连续且可导 （B ）连续但不可导 （C ）不连续但可导 （D ）不可导且不连续4．=+⎰→du u xxu x 01)2sin 1(1lim（ C ） (A)e1（B ）e （C ）2e （D ）21e5．设)(x f 在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数，如果0)(")('00==x f x f ，姓名: 班级： 学号：遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范而0)('"0≠x f ，则（ C ）（A)0x x =为)(x f 的极值点，但))(,(00x f x 不是拐点 （B ）0x x =为)(x f 的极值点且))(,(00x f x 是拐点 （C ）0x x =不是)(x f 的极值点，但))(,(00x f x 是拐点 （D ）0x x =不是)(x f 的极值点，))(,(00x f x 不是拐点 二．填空题（每题2分，本题满分10分）1．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<=010112x xx xx x y 的一切间断点为（（-1，-1），（0，0）），其类型分别为（ 第一类间断点，第二类间断点 ）。

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．设f 具有二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂ 2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,(2)22121222,zf y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()22222211122122432221112222222244,z y yf xy f y f xy f y f xy x yf y f xy f x y f ∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'''''''=+++()()()()222212111221223322121122122212122222121112212212222222225,22,22222zyf y xf xy f xy f x f xy f x x yyf xf xy f x yf x y f zf xy f x xyf x f yz xf xy x f xy f x f xy f x yxf ∂''''''''''=+++⋅+⋅⋅+⋅∂∂''''''''=++++∂''''=⋅+⋅=+∂∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'=223411122244.x y f x yf x f ''''''+++(3)1313cos e cos e ,x y x y zf x f xf f x++∂''''=⋅+⋅=+∂()()1321113313322()311113332312133233sin cos e e cos e cos e e sin cos 2e cos e ,cos e e (sin )e (sin )x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y zxf x f f x f f x f xf xf xf xf f z x f f y f f y f x y++++++++++∂''''''''''=-+++⋅+⋅+⋅∂''''''''=-+++∂'⎡⎤''''''=++⋅⋅-+⋅⋅-+⎣⎦∂∂2()3121332332323223222233233e e cos sin e cos e sin e ,(sin )e sin e ,cos sin e e (sin )e (sin )e x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x yf xf yf f zf y f yf f yz yf y f f y f f y f y +++++++++++⎡⎤''⋅⎣⎦'''''''''=-+-+∂''''=-+=-+∂∂''⎡⎤⎡''''''''=--++-+⋅-+⋅⎣⎦∂22()32222333e cos sin 2e sin e .x y x y x y f yf yf yf f +++⎤⎣⎦''''''''=-+-+28. 试证：利用变量替换1,3x y x y ξη=-=-,可将方程22222430u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂ 化简为20uξη∂=∂∂. 证明：设1(,),3u f f x y x y ξη⎛⎫==-- ⎪⎝⎭2222222222222222222222221411(1)(1)3333u u u u ux x x u u u u u u u ux x x x x u u u u u u u x y ξηξηξηξηξηξξηηξηξξηηξξηηξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+⋅-+⋅+⋅-=----- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭22uη∂∂222222222222222222222222211(1)33111211(1)(1)33933343142433u u u u u y u u u uuu u u y u u u x x y yu u u u ξηξηξξηηξηξξηηξξηηξ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅-=--- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅--⋅-⋅-=++-- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++--∂∂∂∂∂2222222221239340.3u u u u u u ξηηξξηηξη⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂=-=∂∂故20.uξη∂=∂∂2．计算下列对坐标的曲线积分：(1)()22d -⎰Lx y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)d Lxy x ⎰其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)d d L y x x y +⎰，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π2的一段弧；(4)()()22d d Lx y x x y y x y +--+⎰，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；(5)2d d d x x z y y z Γ+-⎰，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧；(6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-⎰，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)d d d Lx y y z -+⎰，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)()()222d 2d Lx xy x y xy y -+-⎰，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故 ()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t t Rt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故 ()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t aa t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π22π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x x z y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰ (6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()()322322103141d 3d d 27334292d 87d 1874874x x zy y x y z t t t t t tt tt Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x=⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()()()221224211235412d 2d 222d 224d 1415Lx xy x y xy yx x x x x x x xx x x x x---+-⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰⎰3．证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3). 解：略。

哈尔滨工业大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．点是函数的间断点.
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
3．微分方程的通解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
4．函数是微分方程的解．
A、正确
B、不正确
【答案】B
5．函数的图形如图示，则函数的单调减少区间为
( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
6．不定积分（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
7．设，不定积分（1）
（2）（3）则上述解法中（）．
A、第（1）步开始出错
B、第（2）步开始出错
C、第（3）步出错
D、全部正确
【答案】A
8．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
9．函数的定义域为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
10．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】B
11．.
A、正确
B、不正确
【答案】A
12．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
13．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
14．不定积分.
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
15．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B。

哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案高等数学期末考试试题（4）一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r．2、设ln()z x xy =，则32zx y ∂=∂∂．3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、 求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、 求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、 判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．5、计算曲面积分,dSz∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z = 30()lim t F t t+→．2012高等数学期末考试试题【A 卷】参考解答与评分标准 2009年6月一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4-； 2、21y-；3、2414x y z ++=； 4、3，0； 5、二、试解下列各题【每小题7分，共35分】1、解：方程两边对x 求导，得323dydz y z x dx dx dy dz y z xdxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 从而54dy x dx y =-，74dz x dx z = (4)该曲线在()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T ==u r (5)故所求的切线方程为1128107x y z -+-==....................【6】 法平面方程为 ()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++=.. (7)２、解：2222226z x y z x y⎧=+⇒⎨=--⎩222x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22:2xy D x y +≤． (2)故所求的体积为V dv Ω=⎰⎰⎰222620202(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=⎰⎰ (7)３、解：由11lim lim ln(1)lim ln(1)10nn n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1n n u ∞=∑发散…………………【3】又111||ln(1)ln(1)||1n n u u n n +=+>+=+,1lim ||lim ln(1)0n n n u n→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】 ４、解：121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂， …………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y ∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.x f xyf f f y y''''''=+--【7】５、解：∑的方程为z =∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．=…..………【３】故22222200xy D dS adxdy d a d z a x y a πρρθρ∑==---⎰⎰⎰⎰⎰22012ln()2ln 2aa a a hπρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦..【7】三、【9分】解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d =【1】令22222(,,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-，则由22220220201x y z L x x L y y L z z x yx y z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=+⎪++=⎪⎩，解得12x y -==，2z =121111(,2(2222M M -+-+--- (7)又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．故max 2min 1||||d OM d OM ==== (9)四、【10分】 解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得22(sin )(cos )8x x DL OAI e y m dx e y mx dy m d ma πσ+=-+-=-=-⎰⎰⎰Ñ． (5)而10(sin )(cos )ax xOAI e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-⎰⎰ (8)∴221(sin )(cos ).8x x Le y m dx e y mx dy I I ma ma π-+-=-=-⎰ ………………………【10】五、【10分】解：()1131limlim 3133n n n n n na n R a n ρ++→∞→∞===⇒=+，收敛区间为 (3,3)- (2)又当3x =时，级数成为11n n∞=∑，发散；当3x =-时，级数成为()11nn n ∞=-∑，收敛．......【4】 故该幂级数的收敛域为[)3,3- (5)令()13nn n x s x n ∞==∑（33x -≤<），则11111111()()33331/33n n n n n x x s x x x -∞∞-=='====--∑∑, (||3x <) ……【8】 于是()()000()()ln 3ln 3ln 33xxx dxs x s x dx x x x '===--=---⎰⎰，（33x -≤<） (10)六、【10分】解：取1∑为220(1)z x y =+≤的下侧，记∑与1∑所围成的空间闭区域为Ω，则由高斯公式，有()()133222222316I x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω=++-=++⎰⎰⎰⎰⎰Ò (5)()2211262d d z dz πρθρρρπ-=+=⎰⎰⎰ (7)而()()221133221122313133x y I x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤=++-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰….…【9】2123.I I I πππ∴=-=-=- (10)七、【6分】解：()()22240sin cos tF t d d r f r r dr ππθϕϕϕ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰….… 【2】 ()3224400002sin cos sin t t d r dr d f r r dr πππϕϕϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()422028tt r f r dr π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰….… 【4】 故()(3222320002()222lim lim lim ().333t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦=== 【6】。