天津市耀华中学2018届高考数学一模试卷理科含解析

天津市耀华中学2018-2019学年第一学期高三年级第一次月考数学（理）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.i是虚数单位，复数A. B. C. D.【答案】A【解析】解：进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将改为．．故选：A．进行复数的除法的运算，需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将改为．本题主要考查复数代数形式的基本运算，2个复数相除，分母、分子同时乘以分母的共轭复数．2.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：函数，是奇函数，在上单调递增，不满足条件．函数不是奇函数，不满足条件，函数是偶函数，不满足条件，故选：D．分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．3.在中，“是锐角三角形”是“”的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】解：当，时，满足，但此时是直角角三角形，是锐角三角形不成立即必要性不成立，当为锐角三角形时，，，，故成立即充分性成立“”是“为锐角三角形”的充分不必要条件，故选：B．根据三角函数的诱导公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的诱导公式是解决本题的关键．4.函数其中，，的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】解：由函数的图象可得，，．再根据五点法作图可得，求得，故故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．5.已知定义在R上的函数为偶函数，记，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：是偶函数，，即，即，即，即，则或，得，，即，则当时，为增函数，，，，，，即，故选：A．根据函数是偶函数，求出，然后利用偶函数和函数的单调性进行比较即可．本题主要考查函数值的对称比较，结合函数奇偶性和单调性的关系将变量进行转化是解决本题的关键．6.已知函数的最小值在区间上至少出现两次，则的最小值等于A. 6B.C.D. 3【答案】D【解析】解：．由，得，的最小值在区间上至少出现两次，，解得．的最小值等于3．故选：D．利用三角函数的倍角公式化简变形，由x的范围求得相位的范围，结合的最小值在区间上至少出现两次，可得，求解得答案．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查型函数的图象与性质，考查数学转化思想方法，是中档题．7.若函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题，令0'/>解得；令解得或由此得函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数故函数在处取到极小值，判断知此极小值必是区间上的最小值，解得又当时，，故有综上知故选：C．求函数导数，研究其最小值取到位置，由于函数在区间上有最小值，故最小值点的横坐标是集合的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值．8.已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为A. B. C. D. 或【答案】B【解析】解：由，整理得：，令，且，则，设，求导，令，解得：，在上单调递增，在单调递减，则当时，，如图所示，由题意可知方程有一个根在内，另一个根或或，当方程无意义，当时，，不满足题意；则，由二次函数的性质可知：，即，解得：，故选：B．由题意可知：令，化简求得，根据的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．本题考查函数零点与函数方程的关系，考查利用导数判断函数的极值，考查二次函数的性质，考查数形结合思想，属于难题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若集合，，则是______．【答案】【解析】解：，则，或，则或，故A；故答案为解可得集合A，解可得集合B，由交集的定义，求A、B的交集，即可得答案．本题考查集合的交集运算，涉及绝对值不等式与分式不等式的解法，关键是正确解出两个不等式．10.曲线与直线，所围成图形面积为______．【答案】【解析】解：曲线和曲线的交点为直线和的交点为曲线与直线，所围成图形面积为故答案为：作出曲线与直线、的图象，求出它们的交点坐标，可得所求面积为函数在区间上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．11.设、都是锐角，且，，则______．【答案】【解析】解：为锐角，，，，且，，且，，则．故答案为：由为锐角，根据的值，求出的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简，且根据其值范围确定出的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，所求式子中的角变形为，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．12.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．【答案】【解析】解：设与和的切点分别为、；由导数的几何意义可得，得再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而得出．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题13.已知函数，，若方程恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为______．【答案】作出函数，的图象，当，，，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件；则，此时，当时，，，当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时，即，则由，即，解得或，当时，，，此时不成立，此时，要使两个函数有四个零点，则此时，若，此时与，有两个交点，此时只需要当时，有两个不同的零点即可，即，整理得，则由，即，解得舍去或，综上a的取值范围是．故答案为：．由得，作出函数，的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．14.已知函数是定义在R上的函数，且满足对都有，当时，若对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：都有，即为，可得，可得为偶函数，当时，，可得时，递减，；当时，，导数为，当时，，可得，当时，由当且仅当取得等号，且，可得，则递减，且，，在上为减函数，对任意的，不等式恒成立，可得，即为，即有，由一次函数的单调性，可得：，且，即为且，即有，则m的范围是，故答案为：由题意可得为偶函数，求得在上连续，且为减函数，，即为，即有，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，求A；若，的面积为；求b，c．【答案】解：由正弦定理得：，即，即．；若，的面积，再利用余弦定理可得：，结合求得．【解析】已知等式利用正弦定理化简，整理后得到即可求出A的值；若，由的面积为，求得，再利用余弦定理可得，结合求得b和c 的值．本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．16.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．求甲在4局以内含4局赢得比赛的概率；Ⅱ记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．【答案】解：用A表示甲在4局以内含4局赢得比赛的是事件，表示第k局甲获胜，表示第k局乙获胜，则，，，2，3，4，5．Ⅱ的可能取值为2，3，4，5．，，，，或者，故分布列为：．【解析】Ⅰ根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．Ⅱ利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及数学期望．本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.如图所示，在三棱柱中，H是正方形的中心，，平面，且．求异面直线AC与所成角的余弦值；求二面角的正弦值；设N为棱的中点，点M在平面内，且平面，求线段BM的长．【答案】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得解：易得，于是，所以异面直线AC与所成角的余弦值为．解：易知．设平面的法向量y，，则即不妨令，可得，同样地，设平面的法向量y，，则即不妨令，可得．于是，从而．所以二面角的正弦值为．解：由N为棱的中点，得设b，，则由平面，得即解得故．因此，所以线段BM的长为．方法二：解：由于，故是异面直线AC与所成的角．因为平面，又H为正方形的中心，，可得．因此．所以异面直线AC与所成角的余弦值为．解：连接，易知，又由于，，所以≌ ，过点A作于点R，连接，于是，故为二面角的平面角．在中，．连接，在中，，从而．所以二面角的正弦值为．解：因为平面，所以．取中点D，连接ND，由于N是棱中点，所以且．又平面，所以平面，故．又，所以平面MND，连接MD并延长交于点E，则，故．由，得，延长EM交AB于点F，可得连接NE．在中，，故．所以．可得．连接BM，在中，．【解析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点Ⅰ求出中的有关向量，然后求出异面直线AC与所成角的余弦值；Ⅱ利用求出平面的法向量，通过求出平面的法向量，然后利用求二面角的正弦值；Ⅲ设N为棱的中点，设b，，利用平面，结合求出a，b，然后求线段BM的长．方法二：说明是异面直线AC与所成的角，通过解三角形，利用余弦定理，．求出异面直线AC与所成角的余弦值为．连接，过点A作于点R，连接，说明为二面角的平面角连接，在中，通过，求出二面角的正弦值为．首先说明取中点D，连接ND，由于N是棱中点，推出证明平面MND，连接MD并延长交于点E，延长EM交AB于点F，连接连接BM，在中，求出．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．18.已知数列的前n项和为，点在直线上上数列满足，且，前9项和为153．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ点在直线上上，可得，即，可得，时，，上式对也成立，可得，；数列满足，且，前9项和为153，可得为等差数列，设公比为d，则，，解得，，则；Ⅱ，数列的前n项和．【解析】Ⅰ由题意可得，由数列的递推式，即可得到所求，；由等差数列的性质和通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到；Ⅱ求得，运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．19.椭圆C：离心率，．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为，MN的斜率为，是否存在实数使为定值？如果存在，求出，否则说明理由．【答案】解：Ⅰ由椭圆的离心率，得，又，解得：，，则椭圆的标准方程为：；Ⅱ，，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为联立，整理得．则，，．又直线AD的方程为．联立，解得由三点，，共线，得，．的斜率为．则，要使为定值，则，即．故存在实数，使为定值．【解析】Ⅰ由椭圆的离心率求得，由，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；Ⅱ设出直线BP的方程为，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率，整理，结合为定值求得值得答案．本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中档题．20.设函数．Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；求证：．【答案】解：Ⅰ，．当时，在上恒成立，所以函数单调递增区间为，此时无单调减区间；当时，由，得，，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为；Ⅱ由Ⅰ可知函数有两个零点，所以，的最小值，即，，，令，显然在上为增函数，且存在，，当时，；当时，，所以满足条件的最小正整数．又当时，，，，所以时，有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．证明：不妨设，于是，，因为，当时，；当时，．故只要证即可，即证明，即证．也就是证．设．令，则．，所以，当且仅当时，，所以在上是增函数．又，所以当，总成立，所以原题得证．【解析】Ⅰ，对a分类讨论：，，即可得出单调性．Ⅱ由Ⅰ可知函数有两个零点，所以，的最小值，即，可得，令，显然在上为增函数，且，因此存在，，进而得出小正整数a的值．不妨设，于是，可得由于，当时，只要证即可，即证明，即证设令，利用导数研究其单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值、等价转化方法、分析法、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力、函数的零点，属于难题．。

天津耀华中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A．2个 B．4个 C．6个 D．8个参考答案：B2. 在某项测量中，测量结果服从正态分布＞，若在（0，2）内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8参考答案：C3. 如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（） B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）参考答案：考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；压轴题．分析：由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．解答：解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．4. ，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为参考答案：B略5. 函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A．B．C．D．参考答案：B略6. 已知向量，，，则（）A． B． C． D．参考答案：C7. 四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（）A. B.C. D.参考答案：B8. 已知向量，若，则等于( )A． B． C．D．参考答案：答案：C9. 等差数列{a n}中，a3和a9是关于x的方程x2﹣16x+c=0（c＜64）的两实根，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的性质和韦达定理求解．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3和a9是关于x的方程x2﹣16x+c=0（c＜64）的两实根，∴a3+a9=16，∴该数列前11项和S11===88．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．10. 已知设函数F(x)= f(x+4)，且F(x)的零点均在区间[a,b] (a<b,a,b) 内，,则x2＋y2＝b－a的面积的最小值为( )(A) (B).2 (C).3 (D). .4参考答案：A验证，易知时，；时，所以在上恒成立，故在上是增函数，又，∴只有一个零点，记为，则.故的零点即将向左平移个单位，，又函数的零点均在区间内，且，故当，时，即的最小值为，即圆的半径取得最小值，所以面积取得最小值，故选.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设表示不超过的最大整数，如，给出下列命题：（1）对任意的实数，都有；（2）若，则；（3）。

2018年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x∈R|y＝}，集合N＝{x∈R|x2﹣8x+15＜0}，则集合N∩∁U M＝（）A．（1，4）B．（3，4）C．（3，+∞）D．（4，+∞）2．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．4D．53．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知双曲线﹣＝1的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 5．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＞0”是“S2019＞S2018”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）在平面四边形ABCD中，∠B＝∠D＝，∠A＝，AB＝4，AD＝5，则AC＝（）A．B．C．2D．27．（5分）已知点G是△ABC内一点，满足++＝，若∠BAC＝，•＝1，则||的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是（）A．（2，4）B．（2，4]C．（2，）D．（2，]二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）若复数（i为虚数单位）对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为．10．（5分）二项式（2﹣）6的展开式中常数项是（用数字作答）．11．（5分）曲线y＝1﹣x2与y＝x﹣1所围成的封闭图形的面积为．12．（5分）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）+1＝0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最小距离为．13．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝DC＝4，AB ＝3，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为．14．（5分）函数f（x）在R内满足f（﹣x）＝﹣f（x），当x≥0时，f（x）＝﹣e x+1+m cos（π+x），记a＝﹣πf（﹣π），b＝），c＝ef（e），则a，b，c从小到大依次为．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数f（x）＝3sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）把函数y＝f（x）的图象向下平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在[﹣，]的值域．16．（13分）甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题．根据平时经验，甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响．（Ⅰ）求甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，PO⊥平面ABCD，E，F分别为P A，BC的中点，AB＝2，PO＝，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求证：直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣P A﹣D的余弦值；（Ⅲ）已知点M在棱BC上，且直线ME与平面P AD所成角的正弦值为，求线段BM的长．18．（13分）已知数列{a n}满足2a n+1＝a n+a n+2（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，且a5＝9，S10＝100．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝n•（）n﹣1+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆：+＝1（a＞b＞0）与抛物线：y2＝x交于B、C两点，点B在第一象限，O为坐标原点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，|BC|＝1，•＝3．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N为椭圆上的点，以MN为直径的圆过椭圆的左顶点A，直线AM 的斜率为k1，直线MN的斜率为k2，且k2＝，λ∈（﹣5，﹣），求k1的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1，（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＝0时，h（x）＝．（i）求h（x）在[m，2m]（m＞0）上的最大值；（ii）求证：∀x＞0，（x2+x）•h′（x）＜1+e﹣2．2018年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x∈R|y＝}，集合N＝{x∈R|x2﹣8x+15＜0}，则集合N∩∁U M＝（）A．（1，4）B．（3，4）C．（3，+∞）D．（4，+∞）【解答】解：∵全集U＝R，集合M＝{x∈R|y＝}＝{x|x≥4}，集合N＝{x∈R|x2﹣8x+15＜0}＝{x|3＜x＜5}，∴∁U M＝{x|x＜4}，∴集合N∩∁U M＝（3，4）．故选：B．2．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．4D．5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×1+2＝4．即目标函数z＝2x+y的最大值为4．故选：C．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝sin+sin+sin的值，可得S＝sin+sin+sin＝++0﹣＝．故选：B．4．（5分）已知双曲线﹣＝1的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x【解答】解：双曲线﹣＝1的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点相同，可得3＝，解得m＝4，则双曲线的渐近线方程为：y＝±x．故选：C．5．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＞0”是“S2019＞S2018”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若S2019＞S2018，则a2019＞0，即a1q2018＞0，则a1＞0成立，即必要性成立，若a1＞0，则a1q2018＞00，即a2019＞0，则S2019＞S2018成立，即充分性成立，则“a1＞0”是“S2019＞S2018”的充要条件，故选：A．6．（5分）在平面四边形ABCD中，∠B＝∠D＝，∠A＝，AB＝4，AD＝5，则AC＝（）A．B．C．2D．2【解答】解：如图，过点C作CE∥AD交AB于点E，再作EF∥CD交AD于点F，设BC＝a，CD＝b，在Rt△BCE中，∵AD∥CE，∴∠CEB＝∠A＝60°，可得BE＝cot∠CEB×BC＝a，CE＝＝a，故AE＝4﹣a，∵四边形CDFE为矩形，∴DF＝CE＝a，∴AF＝5﹣a，在Rt△AEF中，∵cos∠A＝＝，即＝，∴a＝2，∴AC＝＝2．故选：D．7．（5分）已知点G是△ABC内一点，满足++＝，若∠BAC＝，•＝1，则||的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点G是△ABC内一点，满足++＝，∴G是△ABC的重心，∴＝（+），∴＝（2+2+2•）＝（|AB|2+|AC|2）+，∵•＝|AB|•|AC|＝1，∴|AB|•|AC|＝2，∴AB2+AC2≥2|AB|•|AC|＝4，∴2≥＝．∴||≥．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是（）A．（2，4）B．（2，4]C．（2，）D．（2，]【解答】解：令g（x）＝x3﹣3x+2，x≥0．g′（x）＝3（x+1）（x﹣1），可得函数g（x）在[0，1）内单调递减，在（1，+∞）上单调递增．画出函数f（x）的图象，f（0）＝2．由关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则△＝b2﹣4＞0，且f（x）＝，直线y＝，y＝分别与y＝f（x）的图象交点有四个．∴b2﹣4＞0，2≥＞＞0，解得：．b的取值范围是．故选：D．二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）若复数（i为虚数单位）对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：＝，且其对应的点在第四象限，∴，解得a＞2．∴实数a的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．10．（5分）二项式（2﹣）6的展开式中常数项是﹣160（用数字作答）．【解答】解：因为＝20×8×（﹣1）＝﹣160．所以展开式中常数项是﹣160．故答案为：﹣160．11．（5分）曲线y＝1﹣x2与y＝x﹣1所围成的封闭图形的面积为．【解答】解：如图，联立，解得x1＝﹣2，x2＝1．∴曲线y＝1﹣x2与y＝x﹣1所围成的封闭图形的面积为：S＝＝＝＝．故答案为：．12．（5分）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）+1＝0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最小距离为．【解答】解：∵曲线C1的参数方程为（θ为参数），∴曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，是圆心为C1（1，0），半径r＝1的圆，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）+1＝0，即ρcosθ﹣ρsinθ+1＝0，∴曲线C2的直角坐标方程为x﹣y+1＝0，圆心为C1（1，0）到曲线C2的距离d＝＝，∴曲线C1上的点与曲线C2上的点的最小距离h min＝d﹣r＝．故答案为：．13．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝DC＝4，AB ＝3，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为41π．【解答】解：由题意，三棱锥A﹣BCD扩充为长方体，其对角线长为＝，∴三棱锥外接球的半径为：，∴三棱锥外接球的表面积为4π•＝41π．故答案为：41π．14．（5分）函数f（x）在R内满足f（﹣x）＝﹣f（x），当x≥0时，f（x）＝﹣e x+1+m cos（π+x），记a＝﹣πf（﹣π），b＝），c＝ef（e），则a，b，c从小到大依次为b、a、c．【解答】解：根据题意，函数f（x）为R内的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝﹣e x+1+m cos x，则有f（0）＝﹣1+1+m＝0，即m＝0，则f（x）＝﹣e x+1，（x≥0），令g（x）＝xf（x），有g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝xf（x）＝g（x），g（x）为偶函数，当x≥0时，g（x）＝xf（x）＝x（1﹣e x），g′（x）＝f（x）+xf′（x）＜0，函数g（x）为减函数，则f（x）为偶函数且在x≥0时为减函数，a＝﹣πf（﹣π）＝g（﹣π）＝g（π），b＝）＝g（﹣）＝g（），c＝ef（e）＝g（e），又由e＜π＜，则b＜a＜c；则a，b，c从小到大依次为b、a、c；故答案为：b、a、c．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数f（x）＝3sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）把函数y＝f（x）的图象向下平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在[﹣，]的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝3sin x cos x+cos2x＝sin2x+•＝（sin2x+cos2x）+＝sin（2x+）+，故函数f（x）的最小正周期为＝π．（Ⅱ）把函数y＝f（x）的图象向下平移个单位长度，得到g（x）＝sin（2x+）的图象，x∈[﹣，]，2x+∈[﹣，]，故当2x+＝﹣时，函数g（x）取得最小值为•（﹣）＝﹣；当2x+＝时，函数g（x）取得最大值为，故函数y＝g（x）在[﹣，]的值域为[﹣，]．16．（13分）甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题．根据平时经验，甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响．（Ⅰ）求甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题．甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响．∴甲过关的概率P（A）＝＝，乙过关的概率P（B）＝＝，丙过关的概率P（C）＝＝，∴甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率：P（）＝＝．（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝P（）＝＝，P（X＝1）＝P（A++）＝+＝，P（X＝2）＝P（AB+A+BC）＝++＝，P（X＝3）＝P（ABC）＝＝，∴随机变量X的分布列为：数学期望E（X）＝＝．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，PO⊥平面ABCD，E，F分别为P A，BC的中点，AB＝2，PO＝，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求证：直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣P A﹣D的余弦值；（Ⅲ）已知点M在棱BC上，且直线ME与平面P AD所成角的正弦值为，求线段BM的长．【解答】证明：（Ⅰ）取PD的中点G，连接FG、CG，∵FG是△P AD的中位线，∴FG∥AD且FG＝，在菱形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，又E为BC的中点，∴CE∥FG且CE＝FG∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG，又EF⊄面PCD，CG⊂面PCD，∴EF∥面PCD．解：（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，∵底面ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，PO⊥平面ABCD，E，F分别为P A，BC的中点，AB＝2，PO＝，∠BAD＝60°．∴C（﹣，0，0），A（，0，0），P（0，0，），D（0，﹣1，0），＝（），＝（0，﹣1，﹣），设平面P AD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，1），平面P AC的法向量＝（0，1，0），设二面角C﹣P A﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角C﹣P A﹣D的余弦值为．（Ⅲ）∵点M在棱BC上，设BM＝a，a∈[0，1]，∴M（﹣，1﹣，0），∵E（，0，），∴＝（﹣a﹣，1﹣，﹣），平面P AD的法向量＝（1，﹣，1），∵直线ME与平面P AD所成角的正弦值为，∴＝＝，解得a＝．∴线段BM的长为．18．（13分）已知数列{a n}满足2a n+1＝a n+a n+2（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，且a5＝9，S10＝100．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝n•（）n﹣1+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}满足2a n+1＝a n+a n+2（n∈N*），则：{a n}为等差数列．设数列的首项为a1，公差为d，由于：且a5＝9，S10＝100．则：，解得：a1＝1，d＝2．所以：a n＝2n﹣1．（Ⅱ）根据b n＝n•（）n﹣1+（﹣1）n a n，＝n•（）n﹣1+（﹣1）n（2n﹣1），则：+（﹣1+3﹣5+7+…+﹣2n+3+2n﹣1），设：①，②，①﹣②得：S n＝．所以：当n为偶数时，T n＝，当n为奇数时，T n＝．故：．19．（14分）已知椭圆：+＝1（a＞b＞0）与抛物线：y2＝x交于B、C 两点，点B在第一象限，O为坐标原点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，|BC|＝1，•＝3．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N为椭圆上的点，以MN为直径的圆过椭圆的左顶点A，直线AM 的斜率为k1，直线MN的斜率为k2，且k2＝，λ∈（﹣5，﹣），求k1的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆和抛物线的对称性，可得B，C关于x轴对称，|BC|＝1，可设B（m，），代入抛物线的方程可得＝m，解得m＝，将B（，）代入椭圆方程，可得+＝1，由•＝3，可得（，）•（c，0）＝c＝3，解得c＝，即a2﹣b2＝3，解得a＝2，b＝1，则椭圆方程为+y2＝1；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由直线MN：y＝k2x+t，代入+y2＝1，得（1+4k22）x2+8tk2x+4（t2﹣1）＝0，△＝64t2k22﹣16（1+4k22）（t2﹣1）＞0，即为1+4k22﹣t2＞0．x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1y2＝（k2x1+t）（k2x2+t）＝k22x1x2+tk（x1+x2）+t2＝k22•+tk（﹣）+t2＝，∵以MN为直径的圆过椭圆的左顶点A（﹣2，0），因此•＝0，即（x1+2）（x2+2）+y1y2＝0，展开得x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2＝0，﹣2•+4+＝＝0，解得t＝2k2或t＝k2，且满足1+4k2﹣t2＞0，当t＝2k2时，MN：y＝k2（x+2），直线过定点（﹣2，0），与已知矛盾；当t＝k2，MN：y＝k2（x+），直线MN过定点（﹣，0）．由直线AM：y＝k1（x+2）代入+y2＝1，得（1+4k12）x2+16k12x+16k12﹣4＝0，可得﹣2x1＝，解得x1＝，y1＝k1（x1+2）＝，则k2＝＝＝，即有λ＝∈（﹣5，﹣），化为（4﹣3k12）（4﹣2k12）＞0，解得k1∈（，）∪（﹣，﹣）．20．（14分）已知函数f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1，（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＝0时，h（x）＝．（i）求h（x）在[m，2m]（m＞0）上的最大值；（ii）求证：∀x＞0，（x2+x）•h′（x）＜1+e﹣2．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1，得f′（x）＝，当a＝0时，f′（x）＝＞0（x＞0），∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a≠0，f′（x）＝＝，若＜0，即a＞0或a＜﹣1，那么，当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＝﹣1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；若﹣1＜a＜0，则f′（x）＞0⇔x2＜，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，综上，当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）若a＝0时，h（x）＝＝．（i）解：h′（x）＝＝，令g（x）＝，则g′（x）＝＜0，∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，又∵g（1）＝0，∴x＝1是g（x）＝0的唯一解，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，h′（x）＜0．∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当0＜2m≤1，即0时，h（x）在[m，2m]上单调递增，h（x）的最大值为h（2m）＝；当m≥1时，h（x）在[m，2m]上单调递减，h（x）的最大值为h（m）＝；当＜m＜1时，h（x）在[m，1]上单调递增，在[1，2m]上单调递减，h（x）的最大值为h（1）＝．∴；（ii）证明：∀x＞0，（x2+x）•h′（x）＜1+e﹣2⇔＜1+e﹣2．设p（x）＝e x﹣x﹣1，∴x＞0时，p′（x）＝e x﹣1＞0，则p（x）在（0，+∞）上为增函数，∴p（x）＞p（0）＝0，即e x＞x+1，∴当x＞0时，0＜＜1；设u（x）＝1﹣x﹣xlnx，u′（x）＝﹣2﹣lnx，x∈（0，e﹣2）时，u′（x）＞0，当x∈（e﹣2，+∞）时，u（x）≤u（e﹣2）＝1+e ﹣2．∴＜1+e﹣2．即∀x＞0，（x2+x）•h′（x）＜1+e﹣2．。

天津市耀华中学2018届高三12月月考数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．1.复数的值是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】．故选．2.若、、、是平面内任意四点，给出下列式子：①，②，③．其中正确的有（）．A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】①式等价于．左边，右边．不一定相等．②式等价于．即成立．③式等价于成立．所以②③正确．故选．3.设，，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】．∴∴．故选．4.函数是（）．A. 周期为的偶函数B. 周期为的奇函数C. 周期为的奇函数D. 周期为的偶函数【答案】C【解析】=．∴周期，奇函数．故选．5.在中，若，，，则（）．A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】由正弦定理知，即，∴．由知∴．故选．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.6.把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）．A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】向左平移得到．横坐标缩短原来的倍得到．故选．点睛：本题考查的是三角函数的图象变换.三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.7.设、都是锐角，，. 则等于（）.A. B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】B、锐角．由得．由得．∴．故选．8.已知数列，．若该数列是递减数列，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】．∴．故选．9.已知关于的函数在上有极值，且，则与的夹角的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】有解．∴∴．∴．故选．10.在中，若，且，则的形状为（）．A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 正三角形【答案】D【解析】，∴．∴，．由得即．∴或．当时．，无意义．当时．，此时为正三角形．故选．点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.11.如图，边长为的正方形的顶点，分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】令，由于．故，．∵，，故．．故．同理可求得．即．．的最大值为．故选．点睛:平面向量数量积的类型及求法:(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.12.下列命题：①有个零点；②有个零点；③有个零点．其中，真命题的个数是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】①．因此单调递增．最多只有一个零点．故①错．②与．画出图象可知在每一个周期内都有一个交点，所以有无数个零点．故②错．③画出与图象由图象可知，交点为个．故③正确．∴真命题个数为个．故选．点晴:本题考查的是函数的零点个数问题.函数的零点，一方面可以利用函数单调性判断最多有一个零点，结合存在定理，判定有无零点；二方面可以通过转化为两个函数图像的交点个数问题来确定函数零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.第Ⅱ卷（非选择题共52分）二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．．．13.复数的虚部为__________．【答案】【解析】．14.已知和的两个单位向量，其夹角为，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】．而．．∴．∴其夹角为．15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】A【解析】试题分析：先利用正弦定理化简得，再由可得，然后利用余弦定理表示出，把表示出的关系式分别代入即可求出的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．由及正弦定理可得，故选A．考点：正弦、余弦定理16.已知数列的前项和，且，且，则__________．【答案】【解析】，①，②①②得，（）．即．当时．．解得．∴．17.在中，，，为边上的点，且，若，则__________．【答案】2【解析】在中，，．由知于．且为的中点．∴．∴，又．∴，．∵．∴是的一个四等分点，且．∴．∴．∵在直角三角形中．．∴上式．18.在平行四边形ABCD中，，则＝【答案】3【解析】略19.在中，点是中线上一点，经过点，与边，分别交于，，若，，且，，则实数__________．【答案】【解析】如图∵、、共线，∴可设．∴∴又．解得．20.已知点为的重心，过点的直线与射线，分别交于点，，且满足，，则的最小值为__________．【答案】【解析】在内有一点，满足．得知为三角形的重心．且．．．∵、、共线．∴，∴，∴．．三、解答题：本题共2个题，每小题10分，合计20分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．21.已知向量，，．（）求函数的单增区间．（）若，求值．（）在中，角，，的对边分别是，，．且满足，求函数的取值范围．【答案】（）;（）;（）．【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积得到f（x）的解析式，求解单调区间即可；（2）由（1）的解析式，利用f（x）=1，结合倍角公式求的值即可；（3）结合正弦定理结合内角和公式，得到f（A）的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可. 试题解析：（），∴．由，得：，．的递增区间是．（）．．∵，∴，∴．（）∵．由正弦定理得．∴．∴．∵．∴．∴．∵．∴．∴．∴，．又∵．∴．故函数的取值范围是．点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.。

2018年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（∁R B）=（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．{0，1，2} D．（0，1）2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．4 B．6 C．8 D．104．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA ﹣2sinC=0，则a=（）A．3 B．2C．4D．125．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=17．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO 上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x ﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣3）D．（0，﹣3）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数=ai，则a+b= ．10．（﹣）7的展开式中，x﹣1的系数是．（用数字填写答案）11．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为．13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（log|x+1|）＜f（﹣1），则x的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示：班级高三（1）高三（2）高三（3）人数 3 3 4（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；（Ⅱ）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=，PD=BC=CD=AD，AP⊥CD．（Ⅰ）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅲ）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成角为，求CQ的长．18．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f （x2）≤1+3ln2．2018年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（∁R B）=（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．{0，1，2} D．（0，1）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A和B，从而得到C R A，由此能求出集合A∩（∁B）．R【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≤﹣3或x≥3}，∴C R A={x|﹣3＜x＜3}，集合A∩（∁R B）={1，2}．故选：A．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z．由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0．故选：B．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】程序框图．【分析】利用循环结构可知道需要循环4次，根据条件求出i的值即可．【解答】解：第一次循环，s=﹣2＜5，s=﹣1，i=2，第二次循环，s=﹣1＜7，s=1，i=4，第三次循环，s=1＜9，s=5，i=6，第四次循环，s=5＜11，s=13，i=8，第五次循环，s=13≥13，此时输出i=8，故选：C．4．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA ﹣2sinC=0，则a=（）A．3 B．2C．4D．12【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得：c=，进而利用余弦定理即可求得a的值．【解答】解：∵sinA﹣2sinC=0，∴由正弦定理可得：c=，∵B=，b=6，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：62=a2+（a）2﹣2a，整理可得：a=4，或﹣4（舍去）．故选：C．5．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式，求出关于p的x的范围，根据函数的性质求出关于q 的x的范围，根据集合的包含关系判断充分必要条件即可．【解答】解：由x2﹣4x+3≤0，解得：1≤x≤3，故命题p：1≤x≤3；f（x）==x+，x＞0时，f（x）有最小值2，x＜0时，f（x）有最大值﹣2，故命题q：x≠0，故命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A．6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=1【考点】圆锥曲线的综合．【分析】确定抛物线y2=20x的焦点坐标、双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程，利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，求出b，a，即可求出双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线﹣=1（a ＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为bx+ay=0，∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴=4，即b=4，∵c=5，∴a=3，∴双曲线方程为：=1．故选：D．7．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO 上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x ﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣3）D．（0，﹣3）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x 轴有两个交点，判断x≤0，与x＞0交点的情况，列出关于a的不等式，解之可得答案．【解答】解：g（x）=f（x）+2x﹣a=，函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣a﹣1，最多两个零点，如上图，要满足题意，函数y=2x+2x是增函数，x≤0一定与x相交，过（0，1），g（x）=2x+2x﹣a，与x轴相交，1﹣a≥0，可得a≤1．还需保证x＞0时，抛物线与x轴由两个交点，可得：﹣a﹣1＞0，△=4（a+1）2﹣4（1﹣a）＞0，解得a＜﹣3，综合可得a＜﹣3，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数=ai，则a+b= 4 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，再根据两个复数相等的充要条件求得a、b的值，可得a+b的值．【解答】解：=ai，则===ai，∴2﹣b=0，2+b=2a，∴b=2，a=2，∴a+b=4，故答案为：410．（﹣）7的展开式中，x﹣1的系数是﹣280 ．（用数字填写答案）【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣1，求出r的值，即可求得x﹣1的系数．【解答】解：∵（﹣）7的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣2）r•，令=﹣1，求得r=3，可得x﹣1的系数为•（﹣8）=﹣280，故答案为：﹣280．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为 2 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三棱锥的三视图知，该三棱锥是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥，结合图中数据，求出它的体积．【解答】解：根据三棱锥的三视图知，该三棱锥是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥，结合图中数据，计算三棱锥的体积为V=××2×2×3=2．故答案为：2．12．直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 1 ．【考点】定积分．【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为1，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】1解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0，曲线y=4x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫01（4x﹣4x3）dx，而∫01（4x﹣4x3）dx=（2x2﹣x4）|01=2×1﹣1=1∴曲边梯形的面积是1，故答案为：1．13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为x+y﹣4=0 ．【考点】直线的参数方程．【分析】普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1），当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，即可得出结论．【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，∵k CP==1，k AB=﹣1∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0，故答案为：x+y﹣4=0．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（log|x+1|）＜f（﹣1），则x的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数是偶函数得到不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f（|log2|x+1||）＜f（1），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f（|log2|x+1||）＜f（1），即|log2|x+1||＜1∴﹣1＜log2|x+1|＜1，解得x的取值范围是．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用和与差公式打开，根据二倍角公式和辅助角公式化解为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（Ⅱ）当x∈[，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）==，∴函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵，∴，∴，故当时，函数f（x）的最大值为．当时，函数f（x）的最小值为．16．某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示：班级高三（1）高三（2）高三（3）人数 3 3 4（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；（Ⅱ）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为，选出2人中不属于同一班级的方法数为，由此能求出这2名学生不属于同一班级的概率．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为，选出2人中不属于同一班级的方法数为…设2名学生不属于同一班级的事件为A所以．…（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，，，，．…所以X的分布列为X 0 1 2 3P所以．…17．如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=，PD=BC=CD=AD，AP⊥CD．（Ⅰ）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅲ）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成角为，求CQ的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，CF，证明BE∥CF即可；（Ⅱ）（方法一）以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；（方法二）以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；（Ⅲ）建系同（II）利用向量求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：取PD的中点F，连接EF，CF∵E，F分别是PA，PD的中点，∴EF∥AD且；…∵，BC∥AD，∴EF∥BC且EF=BC；∴BE∥CF．…又BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD．…（Ⅱ）（方法一）以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则，，．…设平面PAB的一个法向量为n=（x，y，z），则从而令x=2，得n=（2，0，﹣1）．…同理可求平面ABD的一个法向量为．…．平面ABD和平面ABC为同一个平面，所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．…（方法二）以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则，C（0，0，1），B（1，0，1），，…设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），则，，令，得x=z=1，即．…易求平面ABC的一个法向量为．…．所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．…（Ⅲ）（方法一）建系同（II）（方法一），设Q（0，x，0），由（II）知平面ABCD的一个法向量为，；…若BQ与平面ABCD所成的角为，则==sin解得，所以Q（0，，0），，．…（方法二）建系同（II）（方法二），设，则，，由（II）知平面ABCD的一个法向量为．…若BQ与平面ABCD所成的角为，则．解得，则，从而…18．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，可得{a n}为等差数列．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg （2n+1），lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1），作差可得b n=，（n≥2）．c n==，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，所以{a n}为等差数列．由a6=11，前9项和为81，得a1+5d=11，d=81，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1）…①，lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1）…②①﹣②，得，∴b n=，（n≥2）．b1=3满足上式，因此b n=，（n≥2）．c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=+…++，又2T n=+…+，以上两式作差，得T n=+2﹣，，因此，T n=﹣．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB 面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意，得，然后求解离心率即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程，解得c=1．求出椭圆方程，直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理求出AB的中点，推出﹣，且m≠0，利用弦长公式以及三角形的面积，推出结果即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得，…则，结合b2=a2﹣c2，得，即2c2﹣3ac+a2=0，…亦即2e2﹣3e+1=0，结合0＜e＜1，解得．所以椭圆C的离心率为．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程，解得c=1．所以椭圆方程为．…易得直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立消y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，所以△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…由，得AB的中点，因为N在直线上，所以，解得k=﹣．…所以△=48（12﹣m 2）＞0，得﹣，且m≠0，|AB|=|x2﹣x1|===．又原点O到直线l的距离d=，…所以．当且仅当12﹣m2=m2，m=时等号成立，符合﹣，且m ≠0．所以△OAB面积的最大值为：．…20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f （x2）≤1+3ln2．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围判断函数的单调性即可；（Ⅲ）根据函数的极值的个数求出a的范围，求出4f（x1）﹣2f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x2+x﹣lnx，f′（x）=﹣x+1﹣，则f（1）=，f'（1）=﹣1，所以所求切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即2x+2y﹣3=0．（Ⅱ）由f（x）=﹣x2+ax﹣lnx，得f′（x）=﹣x+a﹣=﹣．令g（x）=x2﹣ax+1，则f′（x）=﹣，①当△=a2﹣4＜0，即﹣2＜a＜2时，g（x）＞0恒成立，则f′（x）＜0，所以f）x）在（0，+∞）上是减函数．②当△=0，即a=±2时，g（x）=x2±2x+1=（x±1）2≥0，则f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．③当△=a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2．（i）当a＜﹣2时，g（x）=x2﹣ax+1是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=（＜﹣1），则g（x）＞0恒成立，从而f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．（ii）当a＞2时，g（x）是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=（＞1），则函数g（x）有两个零点：，列表如下：x （0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f （x）减函数极小值增函数极大值减函数综上，当a≤2时，f（x）的减区间是（0，+∞）；当a＞2时，f（x ）的增区间是，减区间是，．（Ⅲ）证明：根据（Ⅱ），当a＞2时，f（x）有两个极值点x1，x2，（x1＜x2），则x1，x2是方程g（x）=0的两个根，从而．由韦达定理，得x1x2=1，x1+x2=a．又a﹣2＞0，所以0＜x1＜1＜x2====．令，h（t）=﹣t+3lnt+2，（t＞1），则．当1＜t＜2时，h'（t）＞0；当t＞2时，h′（t）＜0，则h（t）在（1，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数，从而h（t）max=h（2）=3ln2+1，于是4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．2018年4月10日。

母题十四 分段函数的零点问题【母题原题1】【2018天津，理14】已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 ． 【答案】()48，【解析】试题分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果．试题解析：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围．结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()48，．【名师点睛】本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括： （1）直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【母题原题2】【2017天津，理8】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16- 【答案】A【考点】不等式、恒成立问题、二次函数、基本不等式 【名师点睛】首先将()||2xf x a ≥+转化为()()22x x f x a f x --≤≤-，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围． 【母题原题3】【2016天津，理8】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0，且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}【答案】C考点：函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【母题原题4】【2015天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) （A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知72b <<． 【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合．【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力．将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力．是提高题． 【母题原题5】【2014天津，理14】已知函数()23f x x x =+，x R Î．若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】()()0,19,+∞．【解析】试题分析：（方法一）在同一坐标系中画()23f x x x =+和()1g x a x =-的图象（如图），问题转化为()f x 与()g x 图象恰有四个交点．当()1y a x =-与23y x x =+（或()1y a x =--与23y x x =--）相切时，()f x 与()g x 图象恰有三个交点．把()1y a x =-代入23y xx =+，得()231x x a x +=-，即()230x a x a +-+=，由0D =，得()2340a a --=，解得1a =或9a =．又当0a =时，()f x 与()g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．考点：方程的根与函数的零点．【名师点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出图象，第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给条件要求，两函数图象有四个交点，找出符合零点要求的参数a ，讨论要全面，注意数形结合．【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化思想和数形结合思想．【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是找函数零点个数；一种是判断零点的范围．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，运用导数来研究函数零点，这是备考中应该注意的方面．【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：利用赋值法，明确函数性质 有效化简f (x ＋2)＝f (x )－f （1），须从求解f （1）入手，故采用赋值法令x ＝－1，进而明确函数使周期为2的周期函数，再利用函数为偶函数，得到其图象关于直线x ＝1对称；第二步：借助函数性质，确定函数解析式 借助函数的周期性和对称性得到函数f (x )在[0，1]上的解析式，在根据已知，明确函数在一个周期之内[0，2]的函数解析式；第三步：数形结合架起桥梁，求解范围 通过 y ＝f (x )－log a (x ＋1)转化为f (x )=log a (x ＋1)，问题转化为两个函数y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)的图象交点问题，画出并分析两个函数图象的位置关系，保证至少三个交点得到不等关系，进而求解参数范围．【方法总结】1．判断函数零点个数的常见方法（1）直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；（2）图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x )的图象与x 轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；（3）将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象的交点个数；（4）二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．2．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法（1）解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上．（2）利用零点存在性定理进行判断；（3）画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．3．已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．4．函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内．缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关（2）方程的根：工具：方程的等价变形作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数（3）两函数的交点：工具：数形结合作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现．通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围．缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含x的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡．在高中阶段主要考察三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理，（2）二次方程根分布问题，（3）数形结合解决根的个数问题或求参数的值．其中第（3）个类型常要用到函数零点，方程，与图像交点的转化，请通过例题体会如何利用方程构造出函数，进而通过图像解决问题的．5．双变量函数方程的赋值方法：（1）对,x y均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如()()()0,1,1f f f -，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域；（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质． 6．常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程[]（1）()()()f x y f x f y +=+：()f x kx = （2）()()()f x y f x f y +=⋅：()()0,1xf x aa a =>≠（3）①当()0,x ∈+∞时，()()()f x y f x f y ⋅=+：()log a f x x = ②当{}|0x x x ∈≠时，()()()f x y f x f y ⋅=+：()log a f x x =1．【2018天津河东区二模】已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：首先根据题意，求得函数在相应的区间上的解析式，之后在同一个坐标系内画出函数的图像，之后将函数的零点问题转化为对应曲线交点的个数问题，结合图形，得到结果．详解：当时，，，在同一坐标系内画出的图像，【名师点睛】该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定函数的解析式，之后在同一个坐标系内画出相应的曲线，将函数的零点个数转化为曲线的交点个数来解决，非常直观，在做题的时候，需要把握动直线中的定因素．2．【2018天津市十二校二模】已知定义在上的函数则下列说法中正确的个数有（）①关于的方程有个不同的零点；②对于实数，不等式恒成立；③在上，方程有个零点；④当时，函数的图象与轴围成的面积为．A．B．C．D．【答案】B②由不等式等价为，在恒成立，作出函数图象如图，由图可知函数图象总在的图象上方，所以不等式恒成立，故②正确；③由，得，设，则在上，方程有四个零点，故③错误；④令得，，当时，函数的图象与轴围成的图形是一个三角形，其面积为，故④错误，故选B ．【名师点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的、函数的图象与性质，以及函数的零点与不等式恒成立问题，属于难题．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题．3．【2018天津9校联考】定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时， ()()[)[)2log 1,0,1{31,1,x x f x x x +∈=--∈+∞，则函数()()F x f x a =-（10a -<<）的所有零点之和为（ ）A ．12a -B ．21a -C ．12a --D ．21a -- 【答案】C【解析】∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数， 当x ≥0时，f （x ）=()[)[)2101{311log x x x x +∈--∈+∞，，，，，故函数f （x ）的图象如下图所示：【名师点睛】函数零点的求解与判断（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点，充分利用图象的对称性处理问题．4．【2018天津滨海新区七校模拟】已知函数()2f x x x a x =-+，若存在(]23a ∈，，使得关于x 的函数()()y f x tf a =-有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．9584⎛⎫⎪⎝⎭， B ．25124⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．918⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．514⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】B11822a a ++ 251,24⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以t ∈ 25124⎛⎫ ⎪⎝⎭，，填25124⎛⎫⎪⎝⎭，． 【点睛】绝对值函数常用的两种方法，一是分段讨论写成分段函数，二是数形结合，本题由于参数有范围，所以函数图像确定，由图像可得函数零点问题．5．【2018天津十二联考一】已知函数()()2,43f x x a a g x x x =--+=-+，若方程()()f x g x =恰有2个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1313,(,+228⎛⎫⋃∞ ⎪⎝⎭）B ．1135,+282⎛⎫+⎛⎫⋃∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．[1313,228⎛⎤⋃⎥ ⎝⎦ D ．[1313,228⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】依题意画出()g x 的图象如图所示：∵函数()f x x a a =--+，∴(),{2,x x af x x a x a<=-+≥．当直线2y x a =-+与[]()2431,3y x x x =-+-∈相切时，即联立22{43y x a y x x =-+=-+-，得138a =．③当138a =时，函数()f x 的图象与()g x 的图象有3个交点，不满足题意； ④当138a >时，函数()f x 的图象与()g x 的图象有2个交点，满足题意．综上， 1322a <<或138a >．故选A ．【名师点睛】已知函数有零点 (方程有根) 求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．6．【2018天津新四区期末联考】己知函数()()12log 1,1{31,1x x f x x x-<=-≥，若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()01，B ．()02，C ．(]0,2 D ．()0+∞， 【答案】A【解析】由()0f x a -=得()a f x =．画出函数()y f x =的图象如图所示，且当3x ≥时，函数()y f x =的图象以y 1=为渐近线．结合图象可得当()01y a f x <<=时，函数的图象与直线y a =有三个不同的交点，故若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，实数a 的取值范围是()0,1．选A ． 【名师点睛】已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决，如在本题中，方程()0f x a -=根的个数，即为直线y a =与()y f x =函数图象的公共点的个数；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解． 7．【2018天津滨海新区模拟】设函数 则函数的零点个数为()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C 【解析】作函数图像，由图像得交点个数为3个，选C ．【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8．【2018天津耀华中学模拟】已知函数()1,0,{,0x x f x lgx x +<=>， ()2414g x x x λ=-++，若关于x 的方程()f g x λ⎡⎤=⎣⎦有6个不相等的实数解，则实数λ的取值范围是（ ）A ．20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】当0<λ<25时，△3=16−4(1+4λ−10λ)>0即3−4λ+10λ>0恒成立，故λ的取值范围为(0， 25)．故选D ． 【名师点睛】已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．9．【2018天津一中月考二】已知函数()()12,1{1log ,13xa a x f x x x -≤=+>当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则a 的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．102（，）D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A10．【2018河南巩义模拟】已知，若恰有两个根，，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：根据f （x ）的图象判断a 的范围，用a 表示出x 1，x 2，得出x 1+x 2关于a 的函数，从而可得出x 1+x 2的取值范围．详解：作出f （x ）的函数图象如图所示：【名师点睛】函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：（1）确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；（2）应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题；研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．11．【2018天津部分区二模】已知函数，若函数在区间内有3个零点，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】分析：作出函数y=f（x）和y=x+b的图象．利用两个图象的交点个数问题确定b的取值范围．详解：若0≤x≤2，则﹣2≤x﹣2≤0，∴f（x）=f（x﹣2）=1﹣|x﹣2+1|=1﹣|x﹣1|，0≤x≤2．若2≤x≤4，则0≤x﹣2≤2，∴f（x）=f（x﹣2）=1﹣|x﹣2﹣1|=1﹣|x﹣3|，2≤x≤4．若4≤x≤6，则2≤x﹣2≤4，∴f（x）=f（x﹣2）=1﹣|x﹣2﹣3|=1﹣|x﹣5|，4≤x≤6．∴f（1）=1，f（2）=0，f（3）=1，f（5）=1，设y=f（x）和y=x+b，则方程f（x）=x+b在区间[﹣2，6]内有3个不等实根，等价为函数y=f（x）和y=x+b在区间[﹣2，6]内有3个不同的零点．作出函数f（x）和y=x+b的图象，如图：∴要使方程f （x ）=x+b ，两个图象有3个交点，在区间[﹣2，6]内有3个不等实根， 则b ∈（]，故答案为：（]．【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12．【2018天津部分区上学期期末考】已知函数()11,0{ 3,0x x f x lnx x +≤=>，若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________． 【答案】11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】画出函数f （x ）的图象，如图所示：【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 13．【2018天津河西上期中】已知函数()3 log ,x a f x x x a≤≤=>，其中0a >，若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是__________． 【答案】[)4,9【解析】若函数()2y f x =-有两个零点，即()3 log ,x a f x x x a≤≤=>与2y =交于两点，因为y =与3log y x =在定义域内均为单调递增函数，当2=时4x =，当3log 2x =时9x =，所以49a ≤<，则a 的取值范围是[)4,9．14．【2018天津一中月考五】定义在上的函数满足，．若关于的方程有个不同实根，则正实数的取值范围是__________．【答案】在同一坐标系内画出函数与函数的图象．当时，，故．由题意及图象可得方程，即在(3，5)上有2个实数根，∴，解得．又由图象及题意可得方程在(5，6)内无解，∴，解得．综上可得．∴正实数的取值范围是．【名师点睛】已知函数零点的个数（方程根的个数或两函数图象公共点个数）求参数的取值范围时，常用的方法是将所给问题转化为两函数图象公共点个数的问题．在同一坐标系内画出两函数的图象，通过观察函数图象的位置关系，并结合特殊点处的函数值的大小得到关于参数的不等式（组），解不等式（组）可得所求的范围．15．【2018天津一中月考三】定义一种运算,{,a a ba bb a b<⊗=>，若()2243xf x x x=⊗-+，当()()g x f x m=-有5个不同的零点时，则实数m的取值范围是__________．【答案】()0,1精心整理 提升自我21 【解析】根据题意， ()2243x f x x x =⊗-+ ，画出其图象如图所示：结合图象可以知道， ()()g x f x m =-有5个零点时，实数m 的取值范围是()0,1，故答案为()0,1【名师点睛】已知函数零点（方程根）的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；（2）分离参数法，先将参数分离，转化为求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．。

2018年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+4y的最小值是（）A．38B．5C．﹣6D．﹣103．（5分）“”是“x+y＞3”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8B．7C．6D．55．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．B．2C．D．26．（5分）对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（﹣）则a，b，c 大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若在区间（0，π）上有三个不同的x使得f（x）＝1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为．10．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B ＝．11．（5分）已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，则|AB|的最小值为．12．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有种分配方案（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（2c﹣a）cos B＝b cos A（1）求∠B的度数；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．16．（13分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．17．（13分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣A的正弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．18．（13分）已知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且满足S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N，n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．2018年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝．∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．2．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+4y的最小值是（）A．38B．5C．﹣6D．﹣10【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，得．∴B（3，﹣3）．由图可知，使z＝2x+4y取得最小值的最优解为B（3，﹣3）．∴z＝2x+4y的最小值是2×3+4×（﹣3）＝﹣6．故选：C．3．（5分）“”是“x+y＞3”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“x＞1且y＞2”则“x+y＞3”成立．当x＝5，y＝1时，满足x+y＞3，但x＞1且y＞2不成立，故x＞1且y＞2”是“x+y＞3”的充分不必要条件，故选：B．4．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8B．7C．6D．5【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝100，k＝0满足条件S＞0，执行循环体，S＝99，k＝1满足条件S＞0，执行循环体，S＝96，k＝2满足条件S＞0，执行循环体，S＝87，k＝3满足条件S＞0，执行循环体，S＝60，k＝4满足条件S＞0，执行循环体，S＝﹣21，k＝5此时，不满足条件S＞0，退出循环，输出k的值为5．故选：D．5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．B．2C．D．2【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则p＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c＝，则焦距为2c＝2故选：D．6．（5分）对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（﹣）则a，b，c 大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）关于（1，0）点对称，将f（x）向左平移一个单位得到y＝f（x+1），此时函数f（x）关于原点对称，则函数y＝f（x+1）是奇函数；当x≥1时，f（x）＝lnx是单调增函数，∴f（x）在定义域R上是单调增函数；由﹣＜0＜2﹣0.3＜1＜log3π，∴f（﹣）＜f（2﹣0.3）＜f（log3π），∴b＞a＞c．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若在区间（0，π）上有三个不同的x使得f（x）＝1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）化简可得f（x）＝2sin（ωx+）∵x∈（0，π），，要使x0∈（0，π）有3个不同的x0，使得sin（ω）＝成立．需满足2π+＜+ωπ≤4π+，解得ω∈（，]，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【解答】解：函数f（x）＝，可得f（1﹣x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）＝kx﹣k+有三个不同的实根，作出y＝f（1﹣x）和y＝kx﹣k+的图象，当直线y＝kx﹣k+与曲线y＝（x≤1）相切于原点时，即k＝时，两图象恰有三个交点；当直线y＝kx﹣k+与曲线y＝（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k＝2（m﹣2），且km﹣k+＝（m﹣2）2，解得m＝1+，k＝﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为78．【解答】解：∵高一480人，高二比高三多30人，∴设高三x人，则x+x+30+480＝1290，解得x＝390，故高二420，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为＝78．故答案为：78．10．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（0，1]．【解答】解：A＝{x|﹣3≤x≤1}，B＝{x|0＜x＜2}；∴A∩B＝（0，1]．故答案为：（0，1]．11．（5分）已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，则|AB|的最小值为．【解答】解：圆ρ＝2cosθ+2sinθ的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，直线（t为参数）的普通方程为x﹣y﹣4＝0，∵点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，圆心C（1，1）到直线的距离d＝＝2，圆半径r＝＝，∴|AB|的最小值为：d﹣r＝2．故答案为：．故答案为：．12．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为π．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，其中，底面ABCD为边长为4的正方形，侧面SAD⊥底面ABCD，S在底面ABCD的射影M为AD的中点，由侧视图可知SM＝2，设底面ABCD的中心为O，连结OM，OS，则OM＝2，∴OS＝2，又OA＝OB＝OC＝OD＝2，∴O为四棱锥外接球的球心，∴V＝（2）3＝．球故答案为：．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，则的值为14．【解答】解：AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∴cos∠BAC＝；又△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝10，cos∠CAD＝，∴•＝•（﹣）＝•﹣•＝10×10×﹣10×6×＝14．故答案为：14．14．（5分）6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有114种分配方案（用数字作答）．【解答】解：由于丙丁两人必须去同一所学校，把丙丁看做一元素，本题转化为5名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校把5个人分组（1，1，3）和（1，2，2），甲乙没有限制的种数为（C53+）A33＝150，甲乙去同一个学校的种数为2×C31A33＝36，故甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有150﹣36＝114，故答案为：114三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（2c﹣a）cos B＝b cos A（1）求∠B的度数；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：（2sin C﹣sin A）cos B﹣sin B sin A ＝0，∴2sin C cos B﹣（sin A cos B+cos A sin B）＝2sin C cos B﹣sin（A+B）＝2sin C cos B﹣sin C ＝0，∵sin C≠0，∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝；（2）∵由（1）可得：B＝，△ABC的面积为3，b＝，∴利用余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac＝13，①＝ac sin B＝ac＝3，解得：ac＝12，②又∵S△ABC∴由①②，可得：a+c＝7．16．（13分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．【解答】解：（I）用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）＝，P（B k）＝，k＝1，2，3，4，5P（A）＝P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）＝（）2+（）2+××（）2＝．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X＝2）＝P（A1A2）+P（B1B2）＝，P（X＝3）＝P（B1A2A3）+P（A1B2B3）＝，P（X＝4）＝P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）＝，P（X＝5）＝P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）＝，或者P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝，故分布列为：E（X）＝2×+3×+4×+5×＝．17．（13分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣A的正弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．【解答】证明：（1）如图所示：由于：CD∥EF，且CD＝FE，则：四边形CDEF为平行四边形，则：DF∥CE．由于DF⊄平面BCE，所以：DF∥平面BCE．解：（Ⅱ）在平面ABEF内，过点A作Az⊥AB，由于平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az⊂平面ABEF，Az⊥AB，所以：Az⊥平面ABCD．所以：AB⊥AD，AD⊥Az，Az⊥AB，则：建立空间直角坐标系：A﹣xyz，得到：A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，3，），F（0，1，），所以：，，设平面BCF的法向量为：，所以：，解得：平面ABF的法向量为，所以：＝＝，则：．解：（Ⅲ）线段CE上不存在G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：假设线段CE上存在点G，使得AG⊥平面BCF，设，其中λ∈（0，1），设G（x2，y2，z2），则：，所以：x 2＝2﹣2λ，y2＝2+λ，，所以：，由于AG⊥平面BCF，所以：，所以：，方程无解，所以：线段CE上不存在G，使得AG⊥平面BCF．18．（13分）已知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且满足S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，即为2（S5+a5）＝S3+a3+S4+a4，即有2S5+2a5＝S4+a3+S4，可得4a5＝a3，即有q2＝，解得q＝﹣，即有a n＝a1q n﹣1＝•（﹣）n﹣1，前n项和S n＝＝1﹣（﹣）n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n＝（﹣1）n n2+n•（）n，设{（﹣1）n n2}的前n项和为H n，{n•（）n}的前n项和为Q n，当n为偶数时，H n＝﹣1+4﹣9+16+…﹣（n﹣1）2+n2＝1+2+3+4+…+n＝n（n+1）．Q n＝1•（）+2•（）2+…+n•（）n，Q n＝1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，两式相减可得Q n＝+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1＝﹣n•（）n+1，化为Q n＝2﹣（n+2）•（）n，T n＝H n+Q n＝﹣（n+2）•（）n；当n为奇数时，H n＝（n﹣1）n﹣n2＝﹣n（n+1），Q n＝2﹣（n+2）•（）n，T n＝H n+Q n＝﹣﹣（n+2）•（）n；综上可得，T n＝．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D（0，﹣1）．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx﹣1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用﹣代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝•×＝．则＝，因为，即＞，整理得4k4﹣k2﹣14＜0，解得﹣＜k2＜2所以0＜k2＜2，即﹣＜k＜0或0＜k＜．从而k的取值范围为（﹣，0）∪（0，）．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N，n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝1﹣，∵函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值，∴f′（1）＝0，∴a＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x﹣lnx，∴f（x）+2x＝x2+b∴x﹣lnx+2x＝x2+b，∴x2﹣3x+lnx+b＝0设g（x）＝x2﹣3x+lnx+b（x＞0），则g′（x）＝，当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表）∴当x＝1时，g（x）＝g（1）＝b﹣2，g（）＝b﹣﹣ln2，g（2）＝b﹣最小值2+ln2∵方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根∴，∴，∴+ln2≤b＜2；（Ⅲ）证明：∵k﹣f（k）＝lnk，∴＞⇔+++…+＞，（n∈N，n≥2），设φ（x）＝lnx﹣（x2﹣1），则φ′（x）＝﹣＝，当x≥2时，φ′（x）＜0⇒函数y＝φ（x）在[2，+∞）上是减函数，∴φ（x）≤φ（2）＝ln2﹣＜0⇒lnx＜（x2﹣1），∴当x≥2时，＞＝2（﹣），∴++…+＞2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝2（1+﹣﹣）＝，∴原不等式成立．。

2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。

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的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，则|AB|的最小值为．12．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有种分配方案（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（2c﹣a）cosB＝bcos A（1）求∠B的度数；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．16．（13分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．17．（13分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣A的正弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．18．（13分）已知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且满足S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N，n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．2018年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝．∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．2．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+4y的最小值是（）A．38B．5C．﹣6D．﹣10【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，得．∴B（3，﹣3）．由图可知，使z＝2x+4y取得最小值的最优解为B（3，﹣3）．∴z＝2x+4y的最小值是2×3+4×（﹣3）＝﹣6．故选：C．3．（5分）“”是“x+y＞3”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“x＞1且y＞2”则“x+y＞3”成立．当x＝5，y＝1时，满足x+y＞3，但x＞1且y＞2不成立，故x＞1且y＞2”是“x+y＞3”的充分不必要条件，故选：B．4．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8B．7C．6D．5【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝100，k＝0满足条件S＞0，执行循环体，S＝99，k＝1满足条件S＞0，执行循环体，S＝96，k＝2满足条件S＞0，执行循环体，S＝87，k＝3满足条件S＞0，执行循环体，S＝60，k＝4满足条件S＞0，执行循环体，S＝﹣21，k＝5此时，不满足条件S＞0，退出循环，输出k的值为5．故选：D．5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．B．2C．D．2【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则p＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c＝，则焦距为2c＝2故选：D．6．（5分）对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（﹣）则a，b，c 大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）关于（1，0）点对称，将f（x）向左平移一个单位得到y＝f（x+1），此时函数f（x）关于原点对称，则函数y＝f（x+1）是奇函数；当x≥1时，f（x）＝lnx是单调增函数，∴f（x）在定义域R上是单调增函数；由﹣＜0＜2﹣0.3＜1＜log3π，∴f（﹣）＜f（2﹣0.3）＜f（log3π），∴b＞a＞c．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若在区间（0，π）上有三个不同的x使得f（x）＝1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）化简可得f（x）＝2sin（ωx+）∵x∈（0，π），，要使x0∈（0，π）有3个不同的x0，使得sin（ω）＝成立．需满足2π+＜+ωπ≤4π+，解得ω∈（，]，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【解答】解：函数f（x）＝，可得f（1﹣x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）＝kx﹣k+有三个不同的实根，作出y＝f（1﹣x）和y＝kx﹣k+的图象，当直线y＝kx﹣k+与曲线y＝（x≤1）相切于原点时，即k＝时，两图象恰有三个交点；当直线y＝kx﹣k+与曲线y＝（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k＝2（m﹣2），且km﹣k+＝（m﹣2）2，解得m＝1+，k＝﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为78．【解答】解：∵高一480人，高二比高三多30人，∴设高三x人，则x+x+30+480＝1290，解得x＝390，故高二420，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为＝78．故答案为：78．10．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（0，1]．【解答】解：A＝{x|﹣3≤x≤1}，B＝{x|0＜x＜2}；∴A∩B＝（0，1]．故答案为：（0，1]．11．（5分）已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，则|AB|的最小值为．【解答】解：圆ρ＝2cosθ+2sinθ的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，直线（t为参数）的普通方程为x﹣y﹣4＝0，∵点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，圆心C（1，1）到直线的距离d＝＝2，圆半径r＝＝，∴|AB|的最小值为：d﹣r＝2．故答案为：．故答案为：．12．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为π．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，其中，底面ABCD为边长为4的正方形，侧面SAD⊥底面ABCD，S在底面ABCD的射影M为AD的中点，由侧视图可知SM＝2，设底面ABCD的中心为O，连结OM，OS，则OM＝2，∴OS＝2，又OA＝OB＝OC＝OD＝2，∴O为四棱锥外接球的球心，∴V球＝（2）3＝．故答案为：．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，则的值为14．【解答】解：AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∴cos∠BAC＝；又△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝10，cos∠CAD＝，∴?＝?（﹣）＝?﹣?＝10×10×﹣10×6×＝14．故答案为：14．14．（5分）6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有114种分配方案（用数字作答）．【解答】解：由于丙丁两人必须去同一所学校，把丙丁看做一元素，本题转化为5名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校把5个人分组（1，1，3）和（1，2，2），甲乙没有限制的种数为（C53+）A33＝150，甲乙去同一个学校的种数为2×C31A33＝36，故甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有150﹣36＝114，故答案为：114三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（2c﹣a）cosB＝bcos A（1）求∠B的度数；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：（2sinC﹣sinA）cosB﹣sinBsinA ＝0，∴2sinCcos B﹣（sinAcosB+cosAsinB）＝2sinCcosB﹣sin（A+B）＝2sinCcosB﹣sinC ＝0，∵sinC≠0，∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝；（2）∵由（1）可得：B＝，△ABC的面积为3，b＝，∴利用余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝13，①又∵S△ABC＝acsinB＝ac＝3，解得：ac＝12，②∴由①②，可得：a+c＝7．16．（13分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．【解答】解：（I）用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）＝，P（B k）＝，k＝1，2，3，4，5P（A）＝P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）＝（）2+（）2+××（）2＝．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X＝2）＝P（A1A2）+P（B1B2）＝，P（X＝3）＝P（B1A2A3）+P（A1B2B3）＝，P（X＝4）＝P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）＝，P（X＝5）＝P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）＝，或者P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝，故分布列为：X2345PE（X）＝2×+3×+4×+5×＝．17．（13分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣A的正弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．【解答】证明：（1）如图所示：由于：CD∥EF，且CD＝FE，则：四边形CDEF为平行四边形，则：DF∥CE．由于DF?平面BCE，所以：DF∥平面BCE．解：（Ⅱ）在平面ABEF内，过点A作Az⊥AB，由于平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az?平面ABEF，Az⊥AB，所以：Az⊥平面ABCD．所以：AB⊥AD，AD⊥Az，Az⊥AB，则：建立空间直角坐标系：A﹣xyz，得到：A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，3，），F（0，1，），所以：，，设平面BCF的法向量为：，所以：，解得：平面ABF的法向量为，所以：＝＝，则：．解：（Ⅲ）线段CE上不存在G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：假设线段CE上存在点G，使得AG⊥平面BCF，设，其中λ∈（0，1），设G（x2，y2，z2），则：，所以：x2＝2﹣2λ，y2＝2+λ，，所以：，由于AG⊥平面BCF，所以：，所以：，方程无解，所以：线段CE上不存在G，使得AG⊥平面BCF．18．（13分）已知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且满足S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，即为2（S5+a5）＝S3+a3+S4+a4，即有2S5+2a5＝S4+a3+S4，可得4a5＝a3，即有q2＝，解得q＝﹣，即有a n＝a1q n﹣1＝?（﹣）n﹣1，前n项和S n＝＝1﹣（﹣）n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n＝（﹣1）n n2+n?（）n，设{（﹣1）n n2}的前n项和为H n，{n?（）n}的前n项和为Q n，当n为偶数时，H n＝﹣1+4﹣9+16+…﹣（n﹣1）2+n2＝1+2+3+4+…+n＝n（n+1）．Q n＝1?（）+2?（）2+…+n?（）n，Q n＝1?（）2+2?（）3+…+n?（）n+1，两式相减可得Q n＝+（）2+（）3+…+（）n﹣n?（）n+1＝﹣n?（）n+1，化为Q n＝2﹣（n+2）?（）n，T n＝H n+Q n＝﹣（n+2）?（）n；当n为奇数时，H n＝（n﹣1）n﹣n2＝﹣n（n+1），Q n＝2﹣（n+2）?（）n，T n＝H n+Q n＝﹣﹣（n+2）?（）n；综上可得，T n＝．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D（0，﹣1）．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx﹣1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用﹣代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝?×＝．则＝，因为，即＞，整理得4k4﹣k2﹣14＜0，解得﹣＜k2＜2所以0＜k2＜2，即﹣＜k＜0或0＜k＜．从而k的取值范围为（﹣，0）∪（0，）．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N，n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝1﹣，∵函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值，∴f′（1）＝0，∴a＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x﹣lnx，∴f（x）+2x＝x2+b∴x﹣lnx+2x＝x2+b，∴x2﹣3x+lnx+b＝0设g（x）＝x2﹣3x+lnx+b（x＞0），则g′（x）＝，当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表x（0，）（，1）1（1，2）2g′（x）+0﹣0+g（x）↗极大值↘极小值↗b﹣2+ln2 ∴当x＝1时，g（x）最小值＝g（1）＝b﹣2，g（）＝b﹣﹣ln2，g（2）＝b﹣2+ln2∵方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根∴，∴，∴+ln2≤b＜2；（Ⅲ）证明：∵k﹣f（k）＝lnk，∴＞?+++…+＞，（n∈N，n≥2），设φ（x）＝lnx﹣（x2﹣1），则φ′（x）＝﹣＝，当x≥2时，φ′（x）＜0?函数y＝φ（x）在[2，+∞）上是减函数，∴φ（x）≤φ（2）＝ln2﹣＜0?lnx＜（x2﹣1），∴当x≥2时，＞＝2（﹣），∴++…+＞2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝2（1+﹣﹣）＝，∴原不等式成立．免责声明：本文仅代表作者个人观点，作参考，并请自行核实相关内容.声明：本文部分内容来自网络，本司不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本司将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi 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2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件、互斥，那么柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1. 设集合，则（）A. B. C. D.2.设变量满足线性约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.3.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）A．21 B．58 C．141 D．3184.设条件：函数在上单调递增，条件：存在使得不等式成立，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5.函数的部分图像如图所示，为了得到的图像，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度6. 已知定义在R上的函数的图像关于对称，且当时，单调递减，若则的大小关系是（）A．B．C．D．7.设为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2或3 D. 或8．已知函数，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．为虚数单位，已知复数的实部与虚部相等，那么实数_______.10.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.11．在平面直角坐标系中，已知抛物线（为参数）的焦点为，动点在抛物线上.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,动点在圆上，则的最小值为__________．12. 已知，则的最小值为 .13.在等腰梯形中，∥,，若则=_______.14.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_______个.（用数字作答）三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数(1)求的单调递增区间；(2)设的内角的对边分别为，且，若，求的面积．16．（本小题满分13分）2018年2月25日，平昌冬奥会闭幕式上的“北京8分钟”惊艳了世界。