第二章 数列单元质量评估(二)

第二章单元质量评估(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n 等于( B ) A ．2nB ．2n＋1 C ．2n－1 D ．2n ＋1解析：由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n＋1，故选B. 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( C ) A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n≥2解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3.又当n ＝1时，a 1的值不适合n≥2时的通项公式，故选C .3．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2的值为( A ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2解析：∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 22＝a 1·a 5，∴a 22＝(a 2－2)(a 2＋6)，解得a 2＝3. 4．已知数列{a n }是首项为1，公差为d(d ∈N *)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d 不可能是( B )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由题意知，a n ＝1＋(n －1)·d,81是该数列中的一项，即81＝1＋(n －1)d ，所以n ＝80d＋1，因为d ，n ∈N *，所以d 是80的因数，所以d 不可能是3，故选B.5．已知数列{a n }满足：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)，若a 2＝3，a 2＋a 4＋a 6＝21，则a 4＋a 6＋a 8＝( C )A ．84B ．63C ．42D ．21解析：∵a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)，∴数列{a n }是等比数列，设其公比为q ，∵a 2＝3，∴a 2＋a 4＋a 6＝3＋3q 2＋3q 4＝21，即q 4＋q 2－6＝0，解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)，∴a 4＋a 6＋a 8＝a 2q 2＋a 4q 2＋a 6q 2＝2(a 2＋a 4＋a 6)＝42，故选C.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则数列{a n }的通项公式为( C )A ．a n ＝3n －1－1 B ．a n ＝3n －1C ．a n ＝3nD ．a n ＝3n－1解析：∵3S 1,2S 2，S 3成等差数列，∴4S 2＝3S 1＋S 3，∴4(a 1＋a 2)＝3a 1＋(a 1＋a 2＋a 3)，即3a 2＝a 3，∴公比q ＝3，∴a n ＝a 1·qn －1＝3n.7．数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为( B )A.910 B.1011 C.1110 D.1211解析：1a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，所以S 10＝11－12＋12－13＋…＋110－111＝1011.故选B. 8．已知点(n ，a n )(n ∈N *)都在直线3x －y －24＝0上，那么在数列{a n }中有( C ) A ．a 7＋a 9>0 B ．a 7＋a 9<0 C ．a 7＋a 9＝0 D ．a 7·a 9＝0解析：由题意知，a n ＝3n －24，所以{a n }为a 1＝－21，d ＝3的等差数列．所以a 8＝－21＋3×7＝0.所以a 7＋a 9＝2a 8＝0.故选C.9．已知数列{a n }中，a 2＝2，若对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ，那么a 1＋a 3＋…＋a 2 013a 2＋a 4＋…＋a 2 014的值为( D )A.1 0061 007 B.1 0081 009 C.1 0051 006 D.1 0071 008解析：a m ＋n ＝a m ＋a n ⇒a 2＝a 1＋a 1⇒a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a 1⇒a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a 1＋a 3＋…＋a 2 013a 2＋a 4＋…＋a 2 014＝a 1 007a 1 008＝1 0071 008，故选D.10．数列{a n }的通项a n ＝n ·⎝⎛⎭⎪⎫cos 2n π4－sin2n π4，其前n 项和为S n ，则S 40为( C ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．25 解析：由题意得，a n ＝n ⎝⎛⎭⎪⎫cos2n π4－sin2n π4＝n cos n π2，当n ＝1时，a 1＝cos π2＝0；当n ＝2时，a 2＝2cosπ＝－2；当n ＝3时，a 3＝3cos3π2＝0；当n ＝4时，a 4＝4cos2π＝4；……∴当n ＝4k －3(k ∈N *)时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝2，∴S 40＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋…＋(a 37＋a 38＋a 39＋a 40)＝2×10＝20，故选C.11．在等差数列{a n }中，已知a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则使S n >0的n 的最小值为( B )A ．21B ．20C ．10D ．11解析：由已知得|a 10|＝－a 10，a 11>－a 10，a 10＋a 11>0,2a 1＋19d >0,2a 1>－19d .又由S m ＝a 1＋a n n2>0，可得a 1＋a n >0，即2a 1＋(n －1)d >0.而2a 1＋(n －1)d >－19d ＋(n －1)d ＝(n－20)d ，因此只需(n －20)d ≥0即可，又d >0，所以n ≥20.12．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1＋a n －2(n 为大于2的正整数)，且a 2 015＝1，a 2 017＝－1，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 020－S 2 016＝( B )A ．－17B ．－15C ．－6D ．0解析：因为a n ＝a n －1＋a n －2(n >2)，且a 2 015＝1，a 2 017＝－1，所以a 2 017＝a 2 016＋a 2 015，所以a 2 016＝－2，同理，a 2 018＝－2－1＝－3，a 2 019＝－1－3＝－4，a 2 020＝－3－4＝－7，所以S 2 020－S 2 016＝a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＋a 2 020＝－1－3－4－7＝－15，故选B.二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝3a 3，a 10＝14，则S 12＝84. 解析：由a 1＋a 5＝3a 3，得2a 3＝3a 3，所以a 3＝0.又a 10＝14，所以S 12＝12a 1＋a 122＝12a 3＋a 102＝6×14＝84.14．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于64.解析：因为a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a 1a 19＝16，由等比数列的性质得，a 1a 19＝a 210＝16，又a 10>0，所以a 10＝4，a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲(水生植物名)生一日，长三尺；莞(植物名，俗称水葱、席子草)生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为2.6日．(结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)解析：设蒲(水生植物名)的长度组成等比数列{a n }，其中a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n ，莞(植物名)的长度组成等比数列{b n }，其中b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n .则A n＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12，B n ＝2n－12－1，令A n ＝B n ，化为2n ＋62n ＝7，解得2n ＝6或2n＝1(舍去)，即n ＝lg6lg2＝1＋lg3lg2≈2.6.故所需的时间约为2.6日．16．在各项都为整数的数列{a n }中，a 1＝2，且对任意的n ∈N *，满足a n ＋1－a n <2n＋12，a n＋2－a n >3×2n －1，则a 2 017＝22_017.解析：由a n ＋1－a n <2n ＋12，得a n ＋2－a n ＋1<2n ＋1＋12，两式相加，得a n ＋2－a n <3×2n＋1，又a n ＋2－a n >3×2n －1，a n ∈Z ，所以a n ＋2－a n ＝3×2n，从而a 2 017＝(a 2 017－a 2 015)＋(a 2 015－a 2 013)＋…＋(a 3－a 1)＋a 1＝3×(22 015＋22 013＋…＋23＋21)＋2＝22 017.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N *. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10，所以数列{b n }的公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.18．(本小题12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝12(a n －1＋a n )－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n－a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，a 1＝1满足这个公式．所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，n ∈N *.19．(本小题12分)已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝3a n ，求证：数列{b n }为等比数列； (3)令c n ＝1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1)因为a 1＋a 2＋a 3＝12，所以a 2＝4，所以公差d ＝2，所以a n ＝2n .(2)证明：因为b n ＝3a n ，所以b n ＋1b n ＝32n ＋232n ＝9，所以{b n }为首项b 1＝9，公比q ＝9的等比数列．(3)因为c n ＝12n2n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4n ＋4.20．(本小题12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝3－2n ＋32n ，求{b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝42a 1＋d ，a 1＋2n －1d ＝2·a 1＋nd －3，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n－1.(2)当n ＝1时，a 1b 1＝12，所以b 1＝12；当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝3－2n ＋12n －1，①又a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝3－2n ＋32n ，② ②－①得，a n b n ＝2n －12n ，所以b n ＝12n ，易知n ＝1也成立，所以数列{b n }是以12为首项，12为公比的等比数列， 故其前n 项和T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.21．(本小题12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n －n ＋1，数列{b n }满足b 1＝2，b n＋1＝b n ＋a n －n .(1)证明：{a n －n }为等比数列； (2)数列{c n }满足c n ＝a n －nb n ＋1b n ＋1＋1，求数列{c n }的前n 项和T n ，求证：T n <13.解：(1)证明：∵a n ＋1＝2a n －n ＋1，∴a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )，又∵a 1－1＝2，∴{a n －n }是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)证明：∵a n －n ＝2×2n －1＝2n ，∴b n ＋1－b n ＝a n －n ＝2n ，∴b 2－b 1＝21，b 3－b 2＝22，……b n－b n －1＝2n －1，各式相加，得b n －b 1＝21＋22＋…＋2n －1＝2n－2， 又b 1＝2，∴b n ＝2n，∴c n ＝2n2n＋12n ＋1＋1＝12n ＋1－12n ＋1＋1， ∴T n ＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1<13. 22．(本小题12分)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 1＋a 3＝20，a 2＝8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n ，S n 是数列{b n }的前n 项和，对任意正整数n ，不等式S n ＋n2n ＋1>(－1)n·a恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)设数列{a n }的公比为q，则⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q2＝20，a 1q ＝8，∴2q 2－5q ＋2＝0，∵q >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝n 2n ＋1，∴S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1，①12S n ＝123＋224＋…＋n －12n ＋1＋n2n ＋2，②∴①－②得，12S n ＝122＋123＋124＋…＋12n ＋1－n 2n ＋2，∴S n ＝121＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12－12n ＋11－12－n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1.∴(－1)n·a <1－12n 对任意正整数n 恒成立，设f (n )＝1－12n ，易知f (n )单调递增．当n 为奇数时，f (n )的最小值为12，∴－a <12，即a >－12，当n 为偶数时，f (n )的最小值为34，∴a <34，综上，－12<a <34，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34.。

单元质量评估（二）第二章（120分钟 150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法中，正确的是（）（1）数据4,6,6,7,9,4的众数是4和6；（2）平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”；（4）频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数.（A）（1）（2）（3）（B）（2）（3）（C）（2）（4）（D）（1）（3）（4）2.甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在这三校分别抽取学生（）（A）30人，30人，30人（B）30人，45人，15人（C）20人，30人，10人（D）30人，50人，10人3.（2012·黄冈高二检测）对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为（）（A）120 （B）200（C）150 （D）1004.某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级2 012名学生中抽取50名进行调查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 012人中剔除12人，剩下2 000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（）（A）不全相等（B）均不相等（C）都相等（D）无法确定5.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案.使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270,关于上述样本下列的结论中，正确的是（）（A）②,③都不能为系统抽样（B）②,④都不能为分层抽样（C）①,④都可能为系统抽样（D）①,③都可能为分层抽样6.设有两组数据x1，x2，…，x n与y1，y2，…，y n，它们的平均数分别是x和y，则新的一组数据2x1－3y1＋1,2x2－3y2＋1，…，2x n－3y n＋1的平均数是（）（A）2x-3y（B）2x-3y＋1（C）4x-9y（D）4x-9y＋17.（2012·朝阳模拟）某校高一一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从这两个班随机选出16人参加军训表演，则一班和二班分别选出的人数是（）（A）8，8 （B）15，1（C）9，7 （D）12，48.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是（）（A）85,85,85 （B）87,85,86（C）87,85,85 （D）87,85,909.设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝51－≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（）（A）甲批次的总体平均数与标准值更接近（B）乙批次的总体平均数与标准值更接近（C）两个批次总体平均数与标准值接近程度相同（D）两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定10.对于线性回归方程$$y bx a=+$，下列说法中不正确的是（）（A）直线必经过点（x,y）（B）x增加一个单位时，y平均增加$b个单位（C）样本数据中x=0时，可能有y=a$（D）样本数据中x=0时，一定有y=a$11.某工厂对一批产品进行了抽样检测，是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制了频率分布直方图，其中产品净重的范围是［96,106］，样本数据分组为［96,98），［98,100），［100,102），［102,104），［104,106］．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是（）（A）90 （B）75 （C）60 （D）4512.（2012·陕西高考）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）（A）46,45,56 （B）46,45,53（C）47,45,56 （D）45,47,53二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）13.（2012·上饶高一检测）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体中的个体数为________.14.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1020 h,1032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为_______h.15.已知x，y之间的一组数据如下表：如下拟合直线：①y＝x＋1;②y＝2x－1;③y＝85x－25;④y＝32x，则根据最小二乘法的思想,其中拟合程度最好的直线是__________（填序号）．16.（2012·广东高考）由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4，其平均数和中位数都是2，标准差等于1，则这组数据为_________（从小到大排列）.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）假定某市第一中学有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人.学校为了了解机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请你写出具体的抽样过程.18.（12分）（2012·济南高一检测）有以下三个案例：案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况；案例三：从某校1 000名高一学生中抽取10人参加一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动. （1）你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？（2）在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程；（3）在你使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号：如果在起始组中随机抽取的号码为L（编号从0开始），那么第K组（组号K从0开始，K=0，1，2，…，9）抽取的号码的百位数为组号，后两位数为L+31K的后两位数.若L=18，试求出K=3及K=8时所抽取的样本编号.19.（12分）某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲:512 554 528 549 536 556 534 541 522 538乙:515 558 521 543 532 559 536 548 527 531（1）用茎叶图表示两学生的成绩;（2）分别求两学生成绩的中位数和平均数.20.（12分）某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h），可以把这批电子元件分成第一组［100,200），第二组［200,300），第三组［300,400），第四组［400,500），第五组［500,600），第六组［600,700］．由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：（1）求图2中的A及表格中的B，C，D，E，F，G，H，I的值；（2）求图2中阴影部分的面积.21.（12分）（2012·黄冈模拟）某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量（单位：kg）,分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99；乙：110,115,90,85,75,115,110.（1）这种抽样方法是哪一种方法？（2）试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？22.（12分）（能力题）一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：（1）画出散点图；（2）如果y对x有线性相关关系，求回归方程；（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？答案解析1.【解析】选A.根据众数、平均数、中位数的定义及对样本数据估计的作用，（1）,（2）,（3）都正确，（4）中各小长方形的面积等于相应各组的频率，不是频数.2.【解析】选B.三校人数之比为3 600∶5 400∶1 800=2∶3∶1,所以三校应抽取的人数分别为：90×26=30（人），90×36=45（人），90×16=15（人），故选B. 3.【解析】选A.由30N=0.25，得N=120.4.【解析】选C.不论是否剔除，每个人被抽到的机会都相等.5.【解析】选D.因为③为系统抽样，所以选项A 不对；因为②为分层抽样，所以选项B 不对；因为④不为系统抽样，所以选项C 不对．故选D.6.【解析】选B.设z i ＝2x i －3y i ＋1（i ＝1,2，…，n ）， 则12n 12n 12n 123111z z z z x x x y y y n n nn⋯⋯⋯⋯（＋＋＋）＝（＋＋＋）＝（＋＋＋）－（＋＋＋）＋2x 3y 1.＝－＋7.【解析】选C.一班应选出16×545442+=9（人），二班选出7人.8.【解析】选C.∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，平均数为110（100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75）＝87. 9.【解析】选A.0.5980.6250.6280.5950.639x 5甲＋＋＋＋＝＝0.617，0.6180.6130.5920.6220.620x 5乙＋＋＋＋＝＝0.613，故选A. 10.【解析】选D.回归分析所得只是估计值，不是实际准确值. 11.【解析】选A.产品净重小于100克的频率 P ＝（0.050＋0.100）×2＝0.3， 设样本容量为n ，由已知得36n＝0.3，∴n ＝120. 而净重大于或等于98克而小于104克的产品的频率P ′＝（0.100＋0.150＋0.125）×2＝0.75. ∴个数为0.75×120＝90.故选A.12.【解析】选A. 茎叶图中共有30个数据，所以中位数是第15个和第16个数字的平均数，即12（45+47）=46，排除C ，D ；再计算极差，最小数据是12，最大数据是68，所以68-12=56，故选A. 13.【解析】设总体容量为n ，则101n 12=，所以n=120. 答案：12014.【解析】依题意可知平均数为98025 1 02050 1 03225100⨯⨯⨯＋＋＝1 013（h ）.答案：1 01315.【解析】由题意知x ＝4，y ＝6，∴$b= 2222223344658695468234565445⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=++++-⨯⨯（）,∴$$2y x 5a ＝－b ＝－，∴$82x 55y ＝－，∴选③. 答案：③16.【解析】不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，则23123422221234x x 22x x x x 241x 2x 2x 2x 214⎧+=⎪⎪+++⎪=⎨⎪⎪-+-+-+-=⎪⎩，，［（）（）（）（）］，∴231422221234x x 4x x 4x 2x 2x 2x 24⎧+=⎪+=⎨⎪-+-+-+-=⎩，，（）（）（）（）， ∴22221234x x x x +++=20，∴x 4≤4，当x 4=4时,x 1=0不合题意，当x 4=3时,x 1=1,此时2223x x +=10，由232223x x 4x x 10+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得x 2=1,x 3=3,故这组数据为1,1,3,3. 当x 4=2时,x 1=2,此时2223x x +=12，由232223x x 4x x 12+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，无正整数解,故不合题意. 答案：1,1,3,3 17.【解析】先采用分层抽样确定应抽取的人数，行政人员、教师、后勤人员的人数之比为16∶112∶32=1∶7∶2，所以行政人员应抽110×20=2（人），教师应抽710×20=14（人），后勤人员应抽210×20=4（人）. 所以分别抽取2人,14人,4人.然后在2人的抽取中用抽签法，14人的抽取中用系统抽样法，4人的抽取中用抽签法. 18.【解析】（1）案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样，案例三用系统抽样. （2）①分层，将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层； ②确定抽样比例q=40180020=； ③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人； ④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本；⑤汇总构成一个容量为40的样本.（3）K=3时，L+31K=18+31×3=111,故第三组样本编号为311.K=8时，L+31K=18+31×8=266, 故第8组样本编号为866. 19.【解析】（1）两学生成绩的茎叶图如图所示 :（2）将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为： 甲:512 522 528 534 536 538 541 549 554 556 乙:515 521 527 531 532 536 543 548 558 559 从以上排列可知甲学生成绩的中位数为5365382+=537， 乙学生成绩的中位数为5325362+=534. 甲学生成绩的平均数为 500+1222283436384149545610+++++++++=537,乙学生成绩的平均数为1521273132364348585950010++++++++++=537. 20.【解析】（1）由题意可知0.1＝A ·100，∴A ＝0.001， ∵0.1＝B200，∴B ＝20，C ＝0.1，D ＝0.15，E ＝0.2×200＝40，F ＝0.4×200＝80，G ＝0.1，H ＝10，I ＝0.05.（2）阴影部分的面积为0.4＋0.1＝0.5. 21.【解题指南】（1）根据抽样方法的特点判断；（2）先求平均数，再求方差，然后判断. 【解析】（1）甲、乙两组数据间隔相同，所以采用的方法是系统抽样. （2）x 甲=17（102+101+99+98+103+98+99）=100， x 乙=17（110+115+90+85+75+115+110）=100，2s 甲=17（4+1+1+4+9+4+1）≈3.428 57，2s 乙=17（100+225+100+225+625+225+100）=228.57，∴2s 甲＜2s 乙,故甲车间产品比较稳定.【变式训练】为了解某地初三年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本（60名男生的身高），分组情况如下：（1）求出表中a，m的值；（2）画出频率分布直方图.【解析】（1）由频数和为60得，163.5～171.5组的频数为33-m，所以33ma 60m0.160-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，解得m=6，a=0.45.（2）147.5～155.5组的频率为0.1，155.5～163.5组的为0.35.由于组距为8，所以频率组距分别为0.012 5，0.043 75,0.056 25，0.012 5，画出直方图如图所示.22.【解题指南】先画出散点图，判断它们是否具有线性相关关系，再根据题目中提供的数据先计算出x，y，n n2i i ii1i1x x y==∑∑，，代入公式求$a,b$的值即可.【解析】（1）散点图如下：（2）由散点图可知，两变量之间具有线性相关关系.列表，计算：设所求回归方程为$$ybx a =+$，则由上表可得 $4i ii 14222ii 1x y4x y438412.58.2525.551b660412.53570x4x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑, ay bx =-$=8.25-5170×12.5=-67, ∴回归方程为$516yx .707=- （3）由y ≤10得5170x-67≤10,解得x ≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14.9转/秒内.。

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单元质量评估(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列叙述中,正确的是( )A.四边形是平面图形B.有三个公共点的两个平面重合C.两两相交的三条直线必在同一个平面内D.三角形必是平面图形【解析】选D.A中四边形可以是空间四边形;B中两个相交平面的交线上有无数个公共点;C中若三条直线有一个公共点,可得三条直线不一定在一个平面内,故A,B,C不正确,D正确.2.(2015·台州高二检测)给出四个说法:(1)若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等;(2)α,β为两个不同平面,直线a⊂α,直线b⊂α,且a∥β,b∥β,则α∥β;(3)α,β为两个不同平面,直线m⊥α,m⊥β,则α∥β;(4)α,β为两个不同平面,直线m∥α,m∥β,则α∥β.其中正确的是( )A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)【解析】选C.(1)若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等或互补,故错误.(2)当α∥β,b∥β,不能判定α∥β,α,β还有可能相交,故错误.(3)正确;(4)直线m∥α,m∥β,不能判定α∥β,α,β还有可能相交,故错误.3.(2015·邯郸高一检测)如图,在底面边长为a的正方形的四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面AC,且PA=a,则直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为( )A. B. C. D.【解析】选A.设B到平面PCD的距离为h,直线PB与平面PCD所成的角为α,则由等体积可得××a·a·h=×a·a·a,所以h=a,又因为PB=a,所以sinα=.【补偿训练】(2014·瑞安高二检测)如图,正方体ABCD -A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1ACC1所成的角为( )A. B. C. D.【解析】选D.如图,连接BD交AC于O,连接C1O,则∠BC1O为直线BC1与平面A1ACC1所成的角,BO=BC1,故∠BC1O=.4.(2015·日照高一检测)已知平面α,β,直线l,m,且有l⊥α,m⊂β,则下列四个命题正确的个数为( )①若α∥β,则l⊥m; ②若l∥m,则l∥β;③若α⊥β,则l∥m; ④若l⊥m,则l⊥β.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.正确的命题只有①,当α∥β时,由l⊥α可知,l⊥β,而m ⊂β,所以l⊥m,故①为真命题;对于②,当l∥m且m⊂β时,l有可能在平面β内,故②不正确;对于③,当l⊥α,m⊂β且α⊥β时,l与m可能平行,也可能相交,还有可能异面,故③不正确;对于④,当l⊥α,m⊂β且l⊥m 时,l与β可能平行,可能垂直,也可能既不平行也不垂直,故④错误;综上可知,选A.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论不正确的是( )A.C1D1⊥B1CB.BD1⊥ACC.BD1∥B1CD.∠ACB1=60°【解析】选C.因为C1D1⊥平面B1C,B1C⊂平面B1C,所以C1D1⊥B1C,所以A选项正确;由于AC⊥平面BDD1,所以BD1⊥AC,B选项正确;因为三角形AB1C为等边三角形,所以∠ACB1=60°,即D选项正确.由于BD1与B1C是异面直线,C错.6.(2015·台州高二检测)如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM 与BN是异面直线,以上四个结论中,正确的是( )A.①②③B.②④C.③④D.②③④【解析】选C.由题可知,将正方体的平面展开图还原,①BM与ED是异面直线,故错误;②CN与BE平行,故错误;③因为三角形BEM是等边三角形,BM与BE成60°角,又因为BE∥CN,所以CN与BM成60°角,故正确;④从图中显然得到DM与BN是异面直线,故正确.7.(2015·厦门高二检测)已知l,m表示两条不同的直线,α表示平面,下列说法正确的是( )A.若l⊥α,m∥l,则m⊥αB.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m⊂α,则l⊥m【解析】选A.对于A,若l⊥α,m∥l,则根据直线与平面垂直的性质定理知:m⊥α,故A正确;对于B,若l⊥m,m⊂α,则根据直线与平面垂直的判定定理知l⊥α不正确,故B不正确;对于C,因为l∥α,m⊂α,所以由直线与平面平行的性质定理知:l与m平行或异面,故C不正确;对于D,若l∥α,m∥α,则l与m平行或异面,故D不正确.8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是( )A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等【解析】选D.A.由题意及图形知,AC⊥面DD1B1B,故可得出AC⊥BE,此命题正确,不是正确选项;B.EF∥平面ABCD,由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行,EF在其一面上,故EF与平面ABCD无公共点,故有EF∥平面ABCD,此命题正确,不是正确选项;C.三棱锥A-BEF的体积为定值,由几何体的性质及图形知,三角形BEF 的面积是定值,A点到面DD1B1B的距离是定值,故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值,此命题正确,不是正确选项;D.由图形可以看出,B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等,故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确,故D是错误的.9.(2015·吉林高一检测)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选D.连接GB1,B1F,EG,因为E,G分别是DD1,CC1的中点,所以EG∥A1B1且EG=A1B1,所以四边形A1B1GE为平行四边形,所以A1E∥B1G,所以∠FGB1或其补角为异面直线A1E与GF所成的角. 由已知可得B1G=,FB1=,FG=,所以B 1G2+FG2=F,所以△FGB1为直角三角形且∠FGB1=90°.即A1E与GF所成的角是90°.10.在四面体ABCD中,已知棱AC的长为,其余各棱长都为1,则二面角A-CD-B的余弦值为( )A. B. C. D.【解析】选C.因为AC=,其余各棱长均为1,故AB⊥BC,AD⊥DC,取CD,AC的中点分别为E,F,连接EF,BF,BE,则EF∥AD,所以EF⊥CD.且EF=AD=,BF=AC=,BE⊥CD,且BE=,所以∠FEB为二面角A-CD-B的平面角,在△BEF中,BE2=BF2+EF2,所以△BEF为直角三角形,所以cos∠FEB===.11.如图,正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A′DE是△ADE绕边DE旋转过程中的一个图形.现给出下列命题:①恒有直线BC∥平面A′DE;②恒有直线DE⊥平面A′FG,③恒有平面A′FG ⊥平面A′DE.其中正确命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选D.①根据BC∥DE知,恒有直线BC∥平面A′DE;②根据DE ⊥A′G,DE⊥FG知,恒有直线DE⊥平面A′FG;③根据直线DE⊥平面A′FG,DE⊂平面A′DE知,恒有平面A′FG⊥平面A′DE.12.一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图,M,N分别为A1B,B1C1的中点.下列结论中正确的个数有( )①直线MN与A1C相交.②MN⊥BC.③MN∥平面ACC1A1.④三棱锥N-A 1BC的体积为=a3.A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选B.由三视图可知,该几何体是底面为等腰直角三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱.取边BC中点E,连ME,NE,则ME∥A1C,NE∥C1C,故平面MNE∥平面ACC1A1,故MN∥平面ACC1A1,所以直线MN与A1C相交错误,故③正确,①错误.因为三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形且侧棱垂直于底面,故BC⊥平面MNE,所以MN⊥BC,②正确.==×a××a×a=a3,故④正确.所以②③④正确.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成的角的余弦值为.【解题指南】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1,就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.【解析】如图,连接BC 1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,设AB=a,AA 1=2a,所以A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为.答案:14.(2015·泉州高一检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E 为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于.【解析】因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面AC,平面AB1C∩平面AC=AC, 所以EF∥AC,又点E为AD的中点,点F在CD上,所以点F是CD的中点,所以EF=AC=.答案:15.如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ADC ⊥平面ABC,在折起后形成的三棱锥D-ABC中,给出下列四个结论:①△DBC是等边三角形;②AC⊥BD;③三棱锥D-ABC的体积是;④AB与CD所成的角是60°.其中正确的序号是.(写出所有正确结论的序号)【解析】取AC中点,连接DO,BO,①根据题干图可知BD=DO=×=1,再由BC=DC=1,可知△DBC是等边三角形;②由AC⊥DO,AC⊥BO,可得AC⊥平面DOB,从而有AC⊥BD;③三棱锥D-ABC的体积=S△ABC·OD=××1×1×=;④过O作OE∥AB,OF∥CD,则∠EOF(或补角)为所求角,在△OEF中可解得∠EOF=120°,故AB与CD所成的角为60°.答案:①②④16.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,点M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的即可).【解题指南】可以证明BD⊥PC,因此只需确定M的位置,使BM⊥PC 即可.(DM⊥PC也可).【解析】因为四边形ABCD的边长相等,所以四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.若PC⊥平面BMD,即PC垂直于平面BMD中两条相交直线,所以当BM⊥PC时,PC⊥平面BMD,所以平面PCD⊥平面BMD.答案:BM⊥PC(其他合理即可)三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,E,F四点共面.(2)若A1C交平面BDEF于点R,则P,Q,R三点共线.【证明】(1)连接B1D1.因为E,F分别为D1C1,C1B1的中点,所以EF∥B1D1,又因为B1D1∥BD,所以EF∥BD,所以EF与BD共面,所以E,F,B,D四点共面.(2)因为AC∩BD=P,所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.同理,Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF,因为A1C∩平面DBFE=R,所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF,所以P,Q,R三点共线.18.(12分)(2015·扬州高二检测)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,点E是AB的中点.(1)求证:OE∥平面BCC1B1.(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.【解析】(1)连接BC1,因为侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,所以O为AC1的中点,因为E是AB的中点,因为OE∥BC1,因为OE⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C,因为AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C⊂平面A1BC,A1B⊂平面A1BC,所以AC1⊥平面A1BC,因为BC⊂平面A1BC,所以AC1⊥BC.【补偿训练】(2015·淮安高二检测)如图,在等腰梯形ABEF中,AB∥EF,AB=2,AD=AF=1,AF⊥BF,O为AB的中点,矩形ABCD所在平面与平面ABEF互相垂直.(1)求证:AF⊥平面CBF.(2)在棱FC上是否存在点M,使得OM∥平面DAF?【解题指南】(1)依题意CB⊥平面ABEF,故CB⊥AF,而AF⊥BF,由判定定理知AF⊥平面CBF;(2)取CF的中点M,BF的中点N,易得平面OMN∥平面ADF,从而OM∥平面DAF.【解析】(1)平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,CB ⊥AB,CB⊂平面ABCD,所以CB⊥平面ABEF,AF⊂平面ABEF,所以CB ⊥AF,AF⊥BF,CB∩BF=B,CB,BF⊂平面CBF,所以AF⊥平面CBF. (2)存在.取CF的中点M.BF的中点N,连OM,ON,MN,则MN∥BC∥AD,所以MN∥平面ADF,又因为ON∥AF,所以ON∥平面ADF,因为MN∩ON=N,所以平面OMN∥平面ADF,所以OM∥平面AFD. 19.(12分)(2014·陕西高考)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积.(2)证明:四边形EFGH是矩形.【解题指南】(1)先利用三视图推得线线垂直,进而得AD⊥平面BDC,确定四面体的高后再求其体积.(2)先证得四边形EFGH为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.【解析】(1)由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,又BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC.所以四面体ABCD的体积V=××2×2×1=.(2)因为BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,所以BC∥FG,BC∥EH,所以FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,所以EF∥HG,所以四边形EFGH是平行四边形.又因为AD⊥平面BDC,所以AD⊥BC,所以EF⊥FG,所以四边形EFGH是矩形.20.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O,E分别为B1D,AB的中点.(1)求证:OE∥平面BCC1B1.(2)求证:平面B1DC⊥平面B1DE.【证明】(1)连接BC1,设BC1∩B1C=F,连接OF,因为O,F分别是B1D与B1C的中点,所以OF∥DC,且OF=DC,又E为AB中点,所以EB∥DC,且EB=DC,从而OF∥EB,OF=EB,即四边形OEBF是平行四边形,所以OE∥BF,又OE⊄面BCC1B1,BF⊂面BCC1B1,所以OE∥面BCC1B1.(2)因为DC⊥平面BCC 1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥DC,又BC1⊥B1C,且DC,B1C⊂平面B1DC,DC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1DC,而BC1∥OE,所以OE⊥平面B1DC,又OE⊂平面B1DE,所以平面B1DC⊥平面B1DE.【延伸探究】(1)线线垂直的证明方法:①定义:若两条直线的夹角为90°,则两条直线垂直.②勾股定理逆定理:在△ABC中,若AB2+AC2=BC2,则∠A=90°,即AB ⊥AC.③若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直这个平面里的所有直线.④若直线垂直两平行直线中的一条,则也垂直另一条.(2)线面垂直的证明方法:①若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.②若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.③若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则该直线也垂直于另一个平面.④若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.(3)面面垂直的证明方法:①定义:若二面角α-l-β的平面角为90°,则α⊥β.②若一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.21.(12分)(2015·北京高考)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA 的中点.(1)求证:VB∥平面MOC.(2)求证:平面MOC⊥平面VAB.(3)求三棱锥V-ABC的体积.【解析】(1)因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB.又因为OM⊂平面MOC,VB⊄平面MOC,所以VB∥平面MOC.(2)因为AC=BC,O为AB中点,所以OC⊥AB.因为平面VAB⊥平面ABC,交线AB,OC⊂平面ABC,所以OC⊥平面VAB.因为OC⊂平面MOC,所以平面MOC⊥平面VAB.(3)由(2)知OC为三棱锥C-VAB的高,因为AC⊥BC且AC=BC=,所以OC=1,AB=2.因为△VAB为等边三角形,所以S△VAB=×2×=.V V-ABC=V C-VAB=××1=.22.(12分)如图,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,∠BAC=∠ACD=90°,∠EAC=60°,AB=AC=AE.(1)在直线BC上是否存在一点P,使得DP∥平面EAB?请证明你的结论.(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.【解析】(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.证明如下:取AB的中点F,连接DP,PF,EF,则FP∥AC,FP=AC,取AC的中点M,连接EM,EC,因为AE=AC且∠EAC=60°,所以△EAC是正三角形,所以EM⊥AC.所以四边形EMCD为矩形,所以ED=MC=AC.又因为ED∥AC,所以ED∥FP且ED=FP,所以四边形EFPD是平行四边形,所以DP∥EF,而EF⊂平面EAB,DP⊄平面EAB,所以DP∥平面EAB.(2)过C作CG∥AB,过B作BG∥AC,CG∩BG=G,连接GD.因为ED∥AC,所以ED∥BG,所以B,E,D,G四点共面,所以平面EBD与平面ABC相交于BG,因为CD⊥AC,平面ACDE⊥平面ABGC,所以CD⊥平面ABGC,又因为BG⊂平面ABGC,所以BG⊥CD,又BG⊥GC,CD∩GC=C,所以BG⊥平面CDG,所以BG⊥DG,所以∠DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ,设AB=AC=AE=a,则GC=AB=a,DC=EM=a,所以GD==a,打印版所以cosθ=cos∠DGC==.关闭Word文档返回原板块高中数学。

第二章单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分一、选择题(每题5分，共60分)1. lg9－12的值等于( )A．lg9－1 B．1－lg9C．8 D．222．以下函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(A．y＝2x B．y＝log2x．＝2D ．＝2＋x＋1Cy x y2x3x，x≤0，1 3．已知函数f(x)＝log2x，x>0，那么f f8的值为(1A．27 B.271C．－27D．－27) )．函数f(x )＝2＋1)的图象大概是()4ln(x．已知a ＝12，b＝1－，c＝2log5，则a，，的大小关系为()5222bcA．c<b<a B．c<a<bC．b<a<cD ．b<c<a6．在同向来角坐标系中，函数f(x)＝x a(x≥0)，g(x)＝log a x的图象可能是()7．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么akg的这类物质的半衰期(剩余量为本来的一半所需的时间)t等于()A．lg B．lgC. D.8．以下函数中，定义域是R且为增函数的是()－x3A．y＝e B．y＝xC．y＝lnx D．y＝|x|．已知b>0，5＝，＝d＝10，则以下等式必定建立的是()9logba lgbc,5A．d＝ac B．a＝cdC．c＝ad D．d＝a＋c10．已知f(x)是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是()11A.10，1B.0，10∪(1，＋∞)1 ，10D ．(0,1) ∪，＋∞)C.10(1．函数f(x) ＝2 x－1|的图象大概是()11log|212．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，设a ＝f(log 26)，b ＝f(log 13)，c ＝f 1，则a ，b ，c 的大小关系是()3 2A ．c<b<aB ．b<c<aC ．b<a<cD ．a<b<c二、填空题(每题5分，共20分)13．已知4a＝2，lgx ＝a ，则x ＝________. 14．已知函数f(x)＝lgx ，若f(ab)＝1，则f(a 2)＋f(b 2)＝________.15．函数y ＝log a (2x －3)＋4的图象恒过定点M ，且点M 在幂函数f(x)的图象上，则f(3)＝________. 16．已知0<x<y<1，且有以下关系： 1 1①3y >3x ；②log x 3>log y 3；③3y >3x ；④log 4x<log 4y ；⑤log 1x<log 4y.4此中正确的关系式的序号是________．答案1．B 因为lg9<lg10＝1，所以 lg9－12＝|lg9－1|＝1－lg9.应选B. 22．C 函数y ＝x 为(0，＋∞)上的减函数．应选C.1 13．B f 8＝log 28＝－3， ff 1＝f(－3)＝3－3＝1. 827 4．A 函数过定点(0,0)，清除选项 B 、D ，又f(－x)＝ln(x 2＋1)＝f(x)，所以 f(x)为偶函数，清除选项 C.应选A.1． A ∵＝12，b ＝1－＝22＝ 2>1.5 a22∴a>b>1.又c ＝2log 52＝log 54<1，所以a>b>c.6．D 若a>1，则函数g(x)＝log a x 的图象过点(1,0)，且单一递加，但当x ∈[0,1)时，＝a 的图象应在直线y ＝x 的下方，故C 选项错误；y x0<a<1，则函数g(x)＝log a x 的图象过点(1,0)，且单一递减，函数y ＝x a (x ≥0)的图象应单一递加，且当x ∈[0,1)时图象应在直线 y ＝x 的上方，所以A ，B 均错， 只有D 项正确．117．C设t 年后节余量为ykg ，则y ＝(1－8%)ta ＝ta.当y ＝2a 时， 2a ＝ta ，所以t ＝，则t ＝log ＝.．A 项，函数＝ －x为R 上的减函数；8B y e项，函数y ＝x 3为R 上的增函数；项，函数y ＝lnx 为(0，＋∞)上的增函数；项，函数y ＝|x|在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．故只有B 项切合题意，应选B. lgb9．B 由log 5b ＝a ，得lg5＝a ； lg10 1由5d ＝10，得d ＝log 510＝lg5＝lg5， 又lgb ＝c ，所以cd ＝a.应选B.10．C 因为f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以 f(－1)＝f(1)，且x>0， 1f(x)在(－∞，0)上是增函数，应有 －1<lgx<1，解得10<x<10.选C.∞ 11．C 当0<x<1时，f(x)＝log 2(2x －1)为增函数，清除A.当x<0时，f(x)＝log 2(－ 2x＋1)<0且为减函数．应选 C.12．A 由f(x)是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，则f(x)在[0，＋ )上是增函数，由b ＝flog 13＝f(－log 23)＝f(log 23)，由0<1<log 23<log 26，得f 1233<f(log 23)<f(log 26)，即c<b<a.应选A.13. 101112分析：由4a＝2，可得a ＝log 42＝2.所以lgx ＝2，即x ＝10 ＝10.14．2 分析：由已知可得，lg(ab)＝1，故f(a 2)＋f(b 2)＝lga 2＋lgb 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab) 2×1＝2. 15．9 分析：当2x －3＝1时y ＝4.即函数y ＝log a (2x －3)＋4图象恒过定点M(2,4)， M 在幂函数f(x)图象上，设f(x)＝x m ，则4＝2m ，解得m ＝2，即f(x)＝x 2，则f(3) 32＝9. 16．①②④ 分析：∵3>1，y>x ，∴3y >3x ，故①正确． 由对数函数的图象知②正确；由①正确知③不正确；∵4>1，x<y ，log 4x<log 4y ，故④正确；log1x>0，log 4y<0，4 log 1x>log 4y ，故⑤不正确．2————————————————————————————三、解答题(写出必需的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共分)17．(10分)计算：11323 2－3－3－－4(1)24－(－0.96)0－38＋2＋[(－2)4 ]；1－lg25÷－1(2)lg2log72＋1 4100＋7.18.(12分)已知函数f(x)＝x m－2x且f(4)＝72.(1)求m的值；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单一性，并赐予证明．答案9127－23－2＋[(3－3＝3－1－3－2＋解：(1)原式＝2－－3＋2)－4417.4182]22 3－2＋(32)3152＝2＋2＝2.－1 2(2)原式＝－(lg4＋lg25)÷100＋14＝－2÷10－1＋14＝－20＋14＝－6.718．解：(1)因为f(4)＝2，2 7所以4m－4＝2，所以m＝1.2(2)由(1)知f(x)＝x－x，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，对于原点对称，2又f(－x)＝－x＋x＝－2x－x＝－f(x)．设所以函数f(x)是奇函数．(3)函数f(x)在(0，＋∞)上是单一增函数，证明以下：x1>x2>0，则f(x1)－2＝1－2－x2－2f(x)x1x2x2＝(x1－x2)1＋x1x2，2因为x1>x2>0，所以x1－x2>0,1＋x1x2>0.所以f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单一增函数．————————————————————————————19．(12分)设f(x)＝log a(1＋x)＋log a(3－x)(a>0，且a≠1)，f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；3(2)求f(x)在区间0，2上的最大值和最小值．·x－1－a20.(12分)若函数y＝f(x)＝a3为奇函数．3x－1(1)求a的值；(2)求函数的定义域；(3)求函数的值域．答案19.解：(1)∵f(1)＝2，∴log a 4＝2， ∵a>0，且a ≠1，∴a ＝2.1＋x>0，由得x ∈(－1,3)．3－x>0，故函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)∵由(1)知，f(x)＝log 2(1＋x)＋log 2(3－x)＝log 2(1＋x)(3－x)＝log 2[－(x －1)2 4]，∴当x ∈(－1,1]时，f(x)是增函数； x ∈(1,3)时，f(x)是减函数． 3∴函数f(x)在0，2上的最大值是f(1)＝log 24＝2.∵函数y ＝－(x －1)2＋4的图象的对称轴是 x ＝1， 3∴f(0)＝f(2)<f 2，3∴函数f(x)在0，2上的最小值为f(0)＝log 23.a ·3x －1－a 1 20．解：∵函数 y ＝f(x)＝ 3x －1＝a －3x －1. (1)由奇函数的定义，可得 f(－x)＋f(x)＝0，111即2a －3x －1－3－x －1＝0，∴a ＝－2.(2) ∵＝－1－1，∴3x －1≠0，即x ≠0.y23x －111∴函数y ＝－ 2－3x －1的定义域为{x|x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴3x－1>－1. ∵3x －1≠0，∴－1<3x －1<0或3x －1>0，1 11 1 11∴－ 2－3x －1>2或－2－3x －1<－2.故函数的值域为11yy>2或y<－2.———————————————————————————— 21．(12分)已知函数f(x)＝2x 2－4x ＋a ，g(x)＝log a x(a>0且a ≠1)． (1)若函数f(x)在[－1,2m]上不拥有单一性，务实数 m 的取值范围； (2)若f(1)＝g(1)． ①务实数a 的值； ②设t 1＝12f(x)，t 2＝g(x)，t 3＝2x ，当x ∈(0,1)时，试比较t 1，t 2，t 3的大小．1＋x1＝－1.(12分)设函数f(x)＝log 21－ax (a ∈R)，若f －3(1)求f(x)的分析式；1＋x12 (2)g(x)＝log 2k ，若x ∈2，3 时，f(x)≤g(x)有解，务实数k 的取值会合．答案21.解：(1)因为抛物线y ＝2x 2－4x ＋a 张口向上，对称轴为x ＝1，所以函数f(x)在(－∞，1]上单一递减，在[1，＋∞)上单一递加，因为函数f(x)在[－1,2m]上不但一，1所以2m>1，得m>2，1 所以实数m 的取值范围为 2，＋∞. (2)①因为f(1)＝g(1)，所以－2＋a ＝0， 所以实数a 的值为2. ②因为t 1＝12f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2， t 2＝g(x)＝log 2x ，t 3＝2x ， 所以当x ∈(0,1)时，t 1∈(0,1)，t 2∈(－∞，0)，t 3∈(1,2)，所以t 2<t 1<t 3.122．解：(1)f －1 1－3＝log 2 ＝－1，3 a1＋32∴ 3 ＝1，即 4＝1＋a ，解得a ＝1.a 2 331＋31＋xf(x)＝log 21－x .1＋x 1＋x(2)∵log 21－x ≤log 2k1＋x 1 ＋x 2 ， ＝2log 2k ＝log 2 k1＋x 1＋x∴1－x ≤k 2.易知f(x)的定义域为(－1,1)，1∴1＋x>0,1－x>0，∴k 2≤1－x 2. 2 h(x)＝1－x 2，h(x)在2，3上减， h(x)max ＝h 21＝34.∴只要k 2≤34.3又由意知k>0，∴0<k ≤2.【⋯、￥。

第二章 数列单元质量评估（二）（新人教版必修5）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＋a 9＝π4，则tan(a 4＋a 6)等于( )A.33B. 3 C ．1D ．－1解析：∵a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π4，∴a 5＝π12.∴a 4＋a 6＝2a 5＝π6，∴tan(a 4＋a 6)＝tan π6＝33.答案：A2．已知等差数列{a n }的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 的值为( ) A ．9 B ．21 C ．27D ．36解析：由题意可知S n ＝n a 1＋a n2＝18，又由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋a n －1＋a n －2＝3，a 1＋a 2＋a 3＝1，所以3(a 1＋a n )＝4，即a 1＋a n ＝43.所以n ＝36a 1＋a n ＝3643＝27.故选C.答案：C3．下图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构可推知第n个图有化学键( )A ．6n 个B ．(4n ＋2)个C ．(5n －1)个D ．(5n ＋1)个解析：各图中的“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，….若视6为5＋1，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n 个图有化学键(5n ＋1)个．故选D.4．已知等差数列{a n }的通项为a n ＝2n ＋1，前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为( )A ．120B ．100C ．75D ．70解析：由已知得a 1＝3，从而S n ＝n a 1＋a n2＝n (n ＋2)，所以S n n＝n ＋2，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，则前10项和为T 10＝3×10＋10×92＝75.答案：C5．已知数列{a n }中，a 1＝1，S n ＝S n －12S n －1＋1，则{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝12n －1B ．a n ＝－2n －n －C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，12n －1－12n －3，n ＝nD ．a n ＝2n －n －解析：∵1S n＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即S n ＝12n －1. ∴a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12n －3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，12n －1－12n －3，n ＝n，注意验证n ＝1的情况是否符合．答案：C6．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和100个病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要( )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：设至少要n 秒钟，则1＋22＋…＋2n －1≥100，即2n－1≥100，所以n ≥7.7．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10D ．55解析：∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，∴S 1＝1.可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，即S n ＋1－S n ＝1. ∵当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1. 答案：A8．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101 B.99101 C.99100D.101100解析：设数列{a n }的公差为d ，由a 5＝5，S 5＝15得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝55a 1＋5×42d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝1，从而a n ＝n ，∴1a n a n ＋1＝1nn ＋＝1n －1n ＋1，从而S 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101＝1－1101＝100101. 答案：A9．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列等价于( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：由题意得A 1＝a 1a 2，A 2＝a 2a 3，A 3＝a 3a 4，A 4＝a 4a 5，A 5＝a 5a 6，…，A i ＝a i a i ＋1，…，若{A n }为等比数列，则有A 2A 1＝A 3A 2＝A 4A 3＝A 5A 4＝…＝A i A i －1＝A i ＋1A i ＝…，即a 2a 3a 1a 2＝a 3a 4a 2a 3＝a 4a 5a 3a 4＝a 5a 6a 4a 5＝…＝a i a i ＋1a i －1a i ＝a i ＋1a i ＋2a i a i ＋1＝…，从而a 3a 1＝a 4a 2＝a 5a 3＝a 6a 4＝…＝a i ＋1a i －1＝a i ＋2a i ＝…，由等比数列的定义可知a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同．10．(2012·湖北卷)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数： ①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x；③f (x )＝|x |； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③D ．②④解析：设数列{a n }的公比为q .对于①，f a n ＋1f a n ＝a 2n ＋1a 2n＝q 2，是常数，故①符合“保等比数列函数”的定义；对于②，f a n ＋1f a n ＝2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ，不是常数，故②不符合“保等比数列函数”的定义；对于③，f a n ＋1f a n ＝|a n ＋1||a n |＝a n ＋1a n＝q ，是常数，故③符合“保等比数列函数”的定义；对于④，f a n ＋1f a n ＝ln|a n ＋1|ln|a n |，不是常数，故④不符合“保等比数列函数”的定义．答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在题中横线上) 11．在等差数列{a n }中，若S n ＝S 29－n (n <29，n ∈N *)，则a 15＝________. 解析：在S n ＝S 29－n 中令n ＝15得S 15＝S 14，从而可知a 15＝0. 答案：012．(2012·天津卷)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10，则数列{a n }与{b n }的通项公式分别为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝278＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3q ＝2，所以a n ＝3n －1，b n ＝2n.答案：a n ＝3n －1，b n ＝2n13．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝________.解析：由a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，得a 2n ＝22n，又a n >0，则a n ＝2n，故log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.答案：n 214．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝20，则x 5＋x 16＝________. 解析：由⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列知{x n }为等差数列，于是x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝…＝x 10＋x 11＝2.答案：215．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．解析：设a 2＝t ，则1≤t ≤q ≤t ＋1≤q 2≤t ＋2≤q 3，由于t ≥1，所以q ≥max{t ，t ＋1，3t ＋2}，故q 的最小值是33.答案：33三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题12分)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则有10＋45d ＝55，q 3＝8，分别可解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }，{b n }的前3项中各抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求事件的概率为29.17．(本小题12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.求数列{b n }的通项公式．解：设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意， 得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d ，依题意，有b 3b 5＝b 24，即(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13. 当d ＝2时，{b n }的第3项为5，又第4 项为10，故公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54×2n －1＝5×2n －3.当d ＝－13时，b 3＝20，又b 4＝10，故公比为12.由b 3＝b 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫122，即20＝b 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫122，解得b 1＝80.所以{b n }是以80为首项，12为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－5.18．(本小题12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＋a 5＝64⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＋1a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1an2，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }公比为q (q >0)，则a n ＝a 1q n －1，由已知得a 1＋a 1q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q3＋a 1q 4＝64⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4，分别化简，得a 21q ＝2，a 21q 6＝64，又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2，从而T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝13(4n －41－n)＋2n ＋1.19．(本小题12分)(2012·广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1.因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1. (2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1，所以S n＝2S n －1＋2n －1 ①，所以S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1 ②，②－①得a n ＋1＝2a n ＋2，所以a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)，易得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2，所以{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.20．(本小题13分)(2012·浙江卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解：(1)由S n ＝2n 2＋n 得a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n －[2(n －1)2＋(n －1)]＝4n －1，当n ＝1时，a 1＝3也满足．故a n ＝4n －1，n ∈N *.(2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *，所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n－1,2T n ＝3×2＋7×22＋11×23＋…＋(4n －1)·2n,2T n －T n ＝(4n －1)·2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n －1)]＝(4n －5)2n＋5，从而T n ＝(4n －5)2n＋5，n ∈N *.21．(本小题14分)(2012·湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．解：(1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d ， a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d ＝…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2.整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d . 由题意知a m ＝4 000，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000，解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1＝m －2m ＋13m －2m .故该企业每年上缴资金d 的值为m －2m ＋13m －2m 时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．。

(二) 数列(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．669 D ．672 解析：由2 014＝1＋3(n －1)解得n ＝672. 答案：D2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1解析：等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋n ， 所以λ＝－1. 答案：B3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：因为a 3·a 11＝a 27＝16，所以a 7＝4，所以a 5＝a 7q 2＝422＝1.答案：A4．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，那么在此数列中( ) A ．a 7＝a 8最大 B ．a 8＝a 9最大 C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大解析：a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n， a n ＋1＝(n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，所以a n ＋1a n ＝n ＋3n ＋2·910， 令a n ＋1a n ≥1，即n ＋3n ＋2·910≥1，解得n ≤7， 即n ≤7时递增，n ＞7递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…. 所以a 7＝a 8最大．答案：A5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44B ．3×44＋1 C ．44D ．44＋1解析：由a n ＋1＝3S n ⇒S n ＋1－S n ＝3S n ⇒S n ＋1＝4S n ，故数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，故S n ＝4n －1，所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44.答案：A6．数列{(－1)n·n }的前2 013项的和S 2 013为( ) A ．－2 013 B ．－1 017 C ．2 013D ．1 007解析：S 2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013)＝(－1)＋(－1)×1 006＝－1 007.答案：D7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2D ．－1或－2解析：依题意有2a 4＝a 6－a 5， 即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0， 所以q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0. 所以q ＝－1或q ＝2. 答案：C8．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d ＜0 B ．a 7＝0 C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 解析：由S 5＜S 6，得a 6＝S 6－S 5＞0. 又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d ＜0.由S 7＞S 8⇒a 8＜0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)＜0，即S 9＜S 5. 答案：C9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158和5 B.3116和5 C.3116 D.158解析：由9S 3＝S 6＝S 3＋q 3S 3， 又S 3≠0，所以q 3＝8，q ＝2. 故a n ＝q ·qn －1＝2n －1，所以1a n ＝12n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和S 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：C10．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，6) B ．(－∞，4] C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]解析：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2·（－2）≤1，即λ≤4.答案：B11．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( ) A.1516B.158C.34D.38解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2， 所以a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，所以a 3＝12，所以12a 4＝12＋(－1)4，所以a 4＝3，所以3a 5＝3＋(－1)5，所以a 5＝23，所以a 3a 5＝12×32＝34.答案：C12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( ) A ．q B ．12q C ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，所以该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．设{a n }是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．解析：设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，所以d ＞0，即d ＝2，所以a 1＝2. 答案：214．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．解析：由题意知a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，又{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q 2＝a 3a 1＝4，q ＝2代入等比求和公式得S 6＝63.答案：6315．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________． 解析：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， 所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)； 所以a n ＝2a n －1，经检验n ＝1也符合． 所以{a n }是等比数列． 所以a n ＝2n －1，n ∈N *.答案：2n －1(n ∈N *)16．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，有下列三个命题： ①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1； ②若S n ＝a n(a 为非零常数)，则{a n }是等比数列； ③若S n ＝1－(－1)n，则{a n }是等比数列． 其中真命题的序号是________．解析：易知①是真命题，由等比数列前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－q·q n知②不正确，③正确．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2 (n ＝1，2，…)． (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2得n ＝63，所以b 6与数列{a n }的第63项相等．18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38.(1)解：因为数列{a n }是等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n （n －1）2d .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝70，a 27＝a 2a 22.即⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，（a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋21d ）. 解得a 1＝6，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)． (2)证明：由(1)可得S n ＝2n 2＋4n . 所以1S n＝12n 2＋4n ＝12n （n ＋2）＝14(1n －1n ＋2)．所以T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n －1＋1S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0，所以T n ＜38. 因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，所以数列{T n }是递增数列， 所以T n ≥T 1＝16.所以16≤T n ＜38.19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝1，前n 项和为S n ，b n＝1S n.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)设数列{b n }前n 项和为T n ，求T n . 解：因为等差数列{a n }中a 1＝1， 公差d ＝1.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2＋n2.所以b n ＝2n 2＋n. (2)b n ＝2n 2＋n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2⎝ ⎛1－12＋12－13＋13－14＋…＋⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 20．(本小题满分12分)求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)an －1的前n 项和．解：当a ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝（1＋2n －1）n 2＝n 2.当a ≠1时，S n ＝1＋3a ＋5a 2＋…＋(2n －3)a n －2＋(2n －1)a n －1， aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －1＋(2n －1)a n ，两式相减，有：(1－a )S n ＝1＋2a ＋2a 2＋ (2)n －1－(2n －1)a n＝1＋2a （1－a n －1）1－a－(2n －1)a n，此时S n ＝2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n＋1－2nan1－a. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，a ＝1，2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n 1－a ，a ≠1.21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 1－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )． 若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0， 此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )， 解得d ＝0或d ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1(n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以a n ＋1＋12a n ＋12＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，首项为a 1＋12＝32，公比为3，所以a n ＋12＝32·3n －1，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12(n ∈N *)．(2)由(1)知：a n ＝3n－12，所以1a n ＝23n －1，因为当n ≥1时，3n －1≥2·3n －1，所以13－1≤12·3，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.。

单元质量评估(二)第二章 数列 (120分钟 150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2011是等差数列：1，4，7，10,…的第几项( ) （A ）669 （B ）670 （C ）671 （D ）6722.数列{a n }满足a n =4a n-1+3,a 1=0，则此数列的第5项是（ ） （A ）15 （B ）255 （C ）20 （D ）83.等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为（ ） （A ）4 （B ）23 （C ）916（D ）2 4.在等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20=( ) （A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）75.在等差数列{a n }中，已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6=( ) （A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）456.记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d=（ ）(A)2 (B)3 (C)6 (D)77.等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1=1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是（ ）（A ）90 （B ）100 （C ）145 （D ）190 8.在数列{a n }中，a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为（ ） （A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）529.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制的数，将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数16111 位转换成十进制数的形式是（ ）（A ）217-2 （B ）216-1 （C ）216-2 （D ）215-110.在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=32,a 11+a 12+a 13=118,则a 4+a 10=（ ） （A ）45 （B ）50 （C ）75 （D ）6011.（2011·江西高考）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n +S m =S n+m ,且a 1=1,那么a 10=（ ）（A ）1 （B ）9 （C ）10 （D ）5512.等比数列{a n }满足a n >0,n=1,2,…，且a 5·a 2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=（ ） （A ）n(2n-1) （B ）(n+1)2 （C ）n 2 （D ）(n-1)2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）13.等差数列{a n }前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m项的和 为______.14.（2011·广东高考）已知{a n }是递增等比数列，a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______. 15.两个等差数列{a n }, {b n },12n 12n a a a 7n 2b b b n 3++⋯++=++⋯++,则55a b =______.16.设数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1，则通项a n =_____.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知数列{a n }是等差数列，a 2=3,a 5=6,求数列{a n }的通项公式与前n 项的和M n .18.（12分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,S 3,S 2成等差数列. （1）求{a n }的公比q ； （2）若a 1-a 3=3,求S n .19.（12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1=a 1,b n =a n -a n-1（n ≥2），若a n +S n =n ，c n =a n -1. （1）求证：数列{c n }是等比数列； （2）求数列{b n }的通项公式.20.（12分）如果有穷数列a 1,a 2,a 3,…,a m （m 为正整数）满足条件a 1=a m , a 2=a m-1,…,a m =a 1,即a i =a m-i+1(i=1,2,…，m),我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.（1）设{b n }是7项的“对称数列”，其中b 1,b 2,b 3,b 4是等差数列，且b 1=2,b 4=11.依次写出{b n }的每一项；（2）设{c n }是49项的“对称数列”，其中c 25,c 26,…,c 49是首项为1，公比为2的等比数列，求{c n }各项的和S.[] 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为()nn n 1S ,S 312=-(*n N ∈),等差数列{b n }中，b n >0(*n N ∈),且b 1+b 2+b 3=15,又a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列.（1）求数列{a n },{b n }的通项公式； （2）求数列{a n +b n }的前n 项和T n .22.（12分）某商店为了促进商品销售,特定优惠方式,即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择,家用电器价格为2 150元.第一种付款方式:购买当天先付150元,以后每月这一天都交付200元,并加付欠款利息,每月利息按复利计算,月利率为1%；第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%.试比较两种付款方法,计算每月所付金额及购买这件家用电器总共所付金额.答案解析1.【解析】选C.∵2011=1+（n-1）×(4-1)，∴n=671.2.【解析】选B.由a n =4a n-1+3,a 1=0，依次求得a 2=3,a 3=15,a 4=63,a 5=255.3.【解析】选A.等比数列{a n }中，a 3,a 6,a 9也成等比数列，∴a 62=a 3a 9,∴a 3=4.4.【解析】选B.a 1+a 3+a 5=105,∴a 3=35,同理a 4=33, ∴d=-2,a 1=39,∴a 20=a 1+19d=1.5.【解析】选B.设公差为d,由a 1=2,a 2+a 3=13,得d=3,则a 4+a 5+a 6= (a 1+3d)+(a 2+3d)+(a 3+3d) =(a 1+a 2+a 3)+9d=15+27=42.6.【解析】选B.S 4-S 2=a 3+a 4=20-4=16，∴a 3+a 4-S 2=（a 3-a 1）+(a 4-a 2)=4d=16-4=12，∴d=3.7.【解析】选B.设公差为d,∴(1+d)2=1×(1+4d), ∵d ≠0,∴d=2,从而S 10=100.[] 8.【解题提示】利用等差数列的定义. 【解析】选D.∵2a n+1-2a n =1,∴n 1n 1a a 2+-=, ∴数列{a n }是首项a 1=2,公差1d 2=的等差数列， ∴()1011a 21011522=+-=.9.【解析】选B.形式为：1×215+1×214+1×213+…+1×21+1×20=216-1.10.【解析】选B.由已知a 1+a 2+a 3+a 11+a 12+a 13=150,∴3(a 1+a 13)=150,∴a 1+a 13=50,∴a 4+a 10=a 1+a 13=50.11.【解题提示】结合S n +S m =S n+m ,对m,n 赋值，令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即得a 10=1.【解析】选A.∵S n +S m =S n+m ,∴令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即S 1=S 10-S 9=a 10, 又∵S 1=a 1,∴a 10=1.12.【解题提示】由已知可先求得通项公式，再由对数的性质进行运算.【解析】选C.a 5·a 2n-5=22n (n ≥3), ∴a n 2=22n ,a n >0,∴a n =2n ,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1 =1+3+…+(2n-1)=n 2.13.【解题提示】利用等差数列前n 项和的性质【解析】由题意可知S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列，2（S 2m -S m ）=S m +S 3m -S 2m∴S 3m =3(S 2m -S m )=3×(100-30)=210. 答案：21014.【解题提示】由等比数列的通项公式，可得关于公比q 的方程，从而求出q.【解析】由a 4-a 3=4得a 2q 2-a 2q=4,即2q 2-2q=4,解得q=2或q=-1（由数列是递增数列，舍去）. 答案：215.【解题提示】利用等差数列的前n 项和的有关性质进行运算. 【解析】设两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为A n ,B n .则()()195919599a a a A 7926529b b b B 93122+⨯+====++.答案：651216.【解析】∵a 1=2,a n+1=a n +(n+1), ∴a n =a n-1+n,a n-1=a n-2+(n-1)，a n-2=a n-3+(n-2),…,a 3=a 2+3，a 2=a 1+2,a 1=2=1+1将以上各式相加得：()()2n n n 1n na [n n 121]111222+=+-+⋯+++=+=++. 答案：2n n122++17.【解析】设{a n }的公差为d, ∵a 2=3,a 5=6,∴11a d 3a 4d 6+=⎧⎨+=⎩,∴a 1=2,d=1, ∴a n =2+(n-1)=n+1.()2n 1n n 1n 3nM na d .22-+=+=18.【解析】（1）依题意有a 1+(a 1+a 1q)=2(a 1+a 1q+a 1q 2)由于a 1≠0，故2q 2+q=0，又q ≠0,从而1q 2=-.（2）由已知得a 1-a 1(12-)2=3,故a 1=4从而n n n 141()812S 113212--==----［］［（）］（）. 19.【解析】（1）∵a 1=S 1,a n +S n =n,① ∴a 1+S 1=1,得11a 2=.又a n+1+S n+1=n+1 ②①②两式相减得2(a n+1-1)=a n -1， 即n 1n a 11a 12+-=-,也即n 1n c 1c 2+=, 故数列{c n }是等比数列. （2）∵111c a 12=-=-, ∴n n n n n11c ,a c 1122=-=+=-, n 1n 11a 12--=-.故当n ≥2时，n n n 1n 1n n111b a a 222--=-=-=. 又111b a 2==,即n n 1b 2=. 20.【解题提示】利用等比数列的前n 项和公式进行计算.【解析】（1）设数列{b n }的公差为d ，则b 4=b 1+3d=2+3d=11,解得d=3，∴数列{b n }为2，5，8，11，8，5，2. （2）S=c 1+c 2+…+c 49 =2(c 25+c 26+…+c 49)-c 25 =2(1+2+22+…+224)-1 =2(225-1)-1=226-3.21.【解析】（1）a 1=1,a n =S n -S n-1=3n-1,n>1，∴a n =3n-1(*n N ∈)，∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴a 1=1,a 2=3,a 3=9,在等差数列{b n }中， ∵b 1+b 2+b 3=15,∴b 2=5.又因a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d,∴（1+5-d ）(9+5+d)=64，解得d=-10或d=2, ∵b n >0(*n N ∈),∴舍去d=-10,取d=2,∴b 1=3. ∴b n =2n+1(*n N ∈). （2）由（1）知∴T n =a 1+b 1+a 2+b 2+…+a n +b n =(a 1+a 2+…+a n )+(b 1+b 2+…+b n )()n n 32n 113132++-=+- n 231n 2n 22=++-. 22.【解题提示】第一种付款方式是等差数列模型，第二种付款方式是等比数列模型，分别计算出实际共付金额，再比较得出结论. 【解析】第一种方式:购买时先付150元,欠2 000元,按要求知10次付清,则第1次付款金额为a 1=200+2 000×0.01=220(元); 第2次付款金额为a 2=200+(2 000-200)×0.01=218(元) ……第n 次付款金额为a n =200+［2 000-(n-1)×200］×0.01=220-(n-1)×2(元).不难看出每次所付款金额顺次构成以220为首项,-2为公差的等差数列,所以10次付款总金额为()10109S 102202 2 1102⨯=⨯+⨯-= (元)，实际共付2 260元.第二种方式:购买时先付150元,欠2 000元,则10个月后增值为2000×(1+0.01)10=2 000×(1.01)10(元).设每月付款x 元,则各月所付的款额连同最后一次付款时生成的利息之和分别是(1.01)9x,(1.01)8x,…,x,其构成等比数列,和为()101011.01S x 11.01-=-·. 应有()1010S 2 0001.01=⨯,所以x ≈211.2，每月应付211.2元,10次付款总金额为2 112元,实际共付2 262元,所以第一种方式更省钱. 【方法技巧】分清类型解数列应用题解数列应用题要明确问题是属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求a n 还是求S n ，特别要弄清项数为多少，试题中常见的数列类型有：（1）构造等差、等比数列模型，然后再应用数列的通项公式及求和公式求解；（2）先求出连续的几项，再归纳出a n ，然后用数列知识求解.。

单元评估验收(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．669 D ．672 解析：由2 014＝1＋3(n －1)解得n ＝672. 答案：D2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43.所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案：B3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：因为a 3·a 11＝a 27＝16，所以a 7＝4，所以a 5＝a 7q 2＝422＝1.答案：A4．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，那么在此数列中( ) A ．a 7＝a 8最大 B ．a 8＝a 9最大 C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大解析：a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n， a n ＋1＝(n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，所以a n ＋1a n ＝n ＋3n ＋2·910，令a n ＋1a n ≥1，即n ＋3n ＋2·910≥1，解得n ≤7， 即n ≤7时递增，n ＞7递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…. 所以a 7＝a 8最大． 答案：A5.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( )A.n （n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.n2（n ＋1）D.2n n ＋1解析：由已知得a n －a n ＋1＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝1.所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． 所以S n ＝n ＋n （n －1）2·1＝12n 2＋12n ，所以1S n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.答案：D6．数列{(－1)n·n }的前2 013项的和S 2 013为( ) A ．－2 013 B ．－1 017 C ．2 013D ．1 007解析：S 2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013)＝(－1)＋(－1)×1 006＝－1 007.答案：D7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2D ．－1或－2解析：依题意有2a 4＝a 6－a 5， 即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0， 所以q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0. 所以q ＝－1或q ＝2. 答案：C8．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d ＜0 B ．a 7＝0 C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 解析：由S 5＜S 6，得a 6＝S 6－S 5＞0. 又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d ＜0.由S 7＞S 8⇒a 8＜0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)＜0，即S 9＜S 5. 答案：C9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158和5 B.3116和5 C.3116 D.158解析：由9S 3＝S 6＝S 3＋q 3S 3， 又S 3≠0，所以q 3＝8，q ＝2. 故a n ＝q ·qn －1＝2n －1，所以1a n ＝12n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和S 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：C10．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，6) B ．(－∞，4] C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]解析：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2·（－2）≤1，即λ≤4.答案：B11．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列．则( ) A ．d ＜0 B ．d ＞0 C ．a 1d ＜0 D ．a 1d ＞0解析：因为{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以2a 1a n ＝2a 21＋a 1(n －1)d ，又由于{2a 1a n }为递减数列，所以2a 1a n 2a 1a n ＋1＝2－a 1d ＞1＝20，所以a 1d ＜0.答案：C12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( ) A ．q B ．12q C ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，所以该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．设{a n }是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．解析：设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，所以d ＞0，即d ＝2，所以a 1＝2. 答案：214．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．解析：由题意知a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，又{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q 2＝a 3a 1＝4，q ＝2代入等比求和公式得S 6＝63.答案：6315．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________． 解析：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， 所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)； 所以a n ＝2a n －1，经检验n ＝1也符合． 所以{a n }是等比数列． 所以a n ＝2n －1，n ∈N *.答案：2n －1(n ∈N *)16．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 解析：设三边为a ，aq ，aq 2(q ＞1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，所以q 2＝5＋12.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12.答案：5－12三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＜1. (1)解：设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d . 由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1. 所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)·1＝n ， 即a n ＝2n＋1. (2)证明：因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝ 121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ·121－12＝1－12n ＜1. 18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38.(1)解：因为数列{a n }是等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n （n －1）2d .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝70，a 27＝a 2a 22.即⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，（a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋21d ）. 解得a 1＝6，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)．(2)证明：由(1)可得S n ＝2n 2＋4n . 所以1S n＝12n 2＋4n ＝12n （n ＋2）＝14(1n －1n ＋2)．所以T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n －1＋1S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0，所以T n ＜38. 因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，所以数列{T n }是递增数列， 所以T n ≥T 1＝16.所以16≤T n ＜38.19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }，a 6＝5.a 3＋a 8＝5. (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n . 解：(1)设{a n }的首项是a 1，公差为d ，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝5，2a 1＋9d ＝5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－20，d ＝5.所以a n ＝5n －25(n ∈N *)．(2)由(1)a n ＝5n －25，所以b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25＝10n －30， 所以b n ＝10n －30(n ∈N *)．20．(本小题满分12分)求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)an －1的前n 项和．解：当a ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝（1＋2n －1）n 2＝n 2.当a ≠1时，S n ＝1＋3a ＋5a 2＋…＋(2n －3)a n －2＋(2n －1)a n －1， aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －1＋(2n －1)a n ，两式相减，有：(1－a )S n ＝1＋2a ＋2a 2＋ (2)n －1－(2n －1)a n＝1＋2a （1－a n －1）1－a－(2n －1)a n，此时S n ＝2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2nan1－a. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，a ＝1，2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n 1－a ，a ≠1.21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 1－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )． 若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0， 此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )， 解得d ＝0或d ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1(n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以a n ＋1＋12a n ＋12＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，首项为a 1＋12＝32，公比为3，所以a n ＋12＝32·3n －1，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12(n ∈N *)．(2)由(1)知：a n ＝3n－12，所以1a n ＝23n －1，因为当n ≥1时，3n－1≥2·3n －1，所以13n －1≤12·3n －1，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.。

单元质量评估 ( 二)第二章(120 分钟150 分)一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)2 2 2 2 21. 由 1=1 ，1+3=2，1+3+5=3 ，1+3+5+7=4，，获得 1+3+ +(2n-1)=n用的是 ()A. 概括推理B. 演绎推理C.类比推理D.特别推理【分析】选 A. 依据定义可知是概括推理 .2. 以下推理是概括推理的是()，B 为定点，动点 P 知足 |PA|+|PB|=2a>|AB| ，得 P 的轨迹为椭圆B. 由 a1=1，a n=3n-1 ，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和 S n的表达式C.由圆 x2+y2=r 2的面积πr 2，猜出椭圆+ =1 的面积 S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【分析】选 B. 从 S1，S2，S3猜想出数列的前 n 项和 S n，是从特别到一般的推理，所以 B是概括推理 .【赔偿训练】以下推理中属于概括推理且结论正确的选项是()A. 由 a n=2n-1 ，求出 S1=12，S2=22，S3=32，，推测 : 数列 {a n} 的前 n 项和 S n=n2B. 由 f(x)=xcos x知足f(-x)=-f(x)对? x∈R都建立，推测:f(x)=xcos x为奇函数C.由半径为 r 的圆的面积 S=πr 2，推测单位圆的面积S=πD.由(1+1) 2>21，(2+1) 2>22，(3+1) 2>23，，推测 : 对全部 n∈N*，(n+1) 2>2n【分析】选 A. 选项 A: 为概括推理，且因为a n=2n-1，所以{a n} 是等差数列，首项a1=1，公差 d=2，则 S n=n+×2=n2，故A正确;选项B:为演绎推理;选项C: 为类比推理 ; 选项 D:为概括推理，当 n=7 时，(n+1) 2=82=64<2n =27=128，故结论错误.3.在△ABC中， E，F 分别为 AB，AC的中点，则有 EF∥BC，这个问题的大前提为 ()A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边的一半C.EF 为中位线∥BC【分析】选 A. 这个三段论的推理形式是: 大前提 : 三角形的中位线平行于第三边; 小前提 :EF 为△ ABC的中位线 ; 结论 :EF∥BC.4. 已知 c>1，a=-，b=-，则正确的结论是()A.a>bB.a<bC.a=b，b 大小关系不定【分析】选 B. 因为 a=，b=，所以a<b.5.用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3+ax+b=0 起码有一个实根”时，要做的假定是()A. 方程 x3+ax+b=0没有实根B. 方程 x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程 x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程 x3+ax+b=0恰巧有两个实根【分析】选 A. 因为“方程 x3+ax+b=0 起码有一个实根”等价于“方程 x3+ax+b=0 的实根的个数大于或等于 1”，所以，要做的假定是方程 x3+ax+b=0 没有实根 . 6.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，能够求出过点A(-3 ，4) ，且法向量为n=(1，-2) 的直线 ( 点法式 ) 方程为 :1 ×(x+3)+( - 2) ×(y -4)=0 ，化简得 x-2y+11=0. 类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3) ，且法向量为m=(-1 ，-2 ，1) 的平面的方程为 ()A.x+2y-z-2=0B.x-2y-z-2=0C.x+2y+z-2=0D.x+2y+z+2=0【分析】选 A. 类比直线方程求法得平面方程为(- 1) ×(x -1)+(- 2) ×(y - 2)+1 ×(z -3)=0 ，即 x+2y-z-2=0.7. 用数学概括法证明1+++ +=时，由 n=k 到 n=k+1 左侧需要增添的项是()A. B.C. D.【分析】选 D.由 n=k 到 n=k+1 时，左侧需要增添的项是=.8.剖析法又叫执果索因法，若使用剖析法证明 : “设 a>b>c，且 a+b+c=0，求证:< a”，则最后的索因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【分析】选 A. 因为 a>b>c，且 a+b+c=0，所以 3c<a+b+c<3a，即 a>0，c<0.要证<a，只需证 b2-ac<3a 2，只需证 (-a-c)2-ac<3a2，只需证 2a2-ac-c 2>0，只需证 (a-c) ·(2a+c)>0 ，只需证 2a+c>0(a>0，c<0，则 a-c>0) ，只需证 a+c+(-b-c)>0 ，即证 a-b>0，这明显建立 .9.对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有以下分解方式 :22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+192 3依据上述分解规律，若 m=1+3+5+ +11，n的分解中最小的正整数是21，则 m+n=()2【分析】选 B. 因为 m=1+3+5+ +11=×6=36，所以 m=6.因为 23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，所以 53=21+23+25+27+29，因为 n3的分解中最小的正整数是21，所以 n3=53，n=5，所以 m+n=6+5=11.10. 已知 a>0，b>0，a，b 的等差中项为，且m=a+，n=b+，则m+n的最小值为 ()【分析】选 C.由已知，得 a+b=1，m+n=a+ +b+ =1+ + =1++=3+ + ≥3+2=5.11. 已知 x>0，不等式 x+ ≥2，x+ ≥3，x+ ≥4，，可推行为 x+ ≥n+1，则 a 的值为( )2 B.n n n2n-22018-2019 年人教版高中数学选修2-2 单元质量评估(二 )【分析】选 B. 由 x+ ≥2，x+ =x+≥3，x+=x+≥4，，可推行为x+ ≥n+1，故 a=n n.12.在等差数列 {a n} 中，若 a n>0，公差 d>0，则有 a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列 {b n} 中，若 b n >0，公比 q>1，则 b4，b5，b7，b8的一个不等关系是 ()A.b +b >b +bB.b +b <b +b4 85 7 4 8 574+b7>b5+b84+b7<b5+b8【分析】选 A.在等差数列 {a n} 中，因为 4+6=3+7时有 a4·a6>a3·a7，所以在等比数列 {b n} 中，因为 4+8=5+7，所以应有 b4+b8>b5+b7或 b4+b8<b5+b7.因为 b4=b1q3，b5=b1 q4，b7=b1q6，b8=b1q7，所以 (b 4+b8)-(b 5+b7 )=(b 1q3+b1q7)-(b 1q4+b1q6)=b1q6·(q-1)-b1q3(q-1)=(b1q6-b 1q3)(q-1)=b1q3 (q 3-1)(q-1).因为 q>1，b n>0，所以 b4+b8>b5+b7.二、填空题 ( 本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分. 把答案填在题中的横线上)13.已知 x，y∈R，且 x+y>2，则 x，y 中起码有一个大于 1，在用反证法证明时，假定应为.【分析】“起码有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y 均不大于 1”，亦即“ x≤1 且 y≤1”.答案 : x， y 均不大于 1( 或许 x≤1 且 y≤1)14. 从 1=1，1-4=-(1+2) ，1-4+9=1+2+3，1-4+9-16=-(1+2+3+4) ，，推行到第n 个等式为.【分析】因为 1=1=(-1) 1+1· 1，1-4=-(1+2)=(-1)2+1·(1+2)，1-4+9=1+2+3=(-1) 3+1·(1+2+3) ，1-4+9-16=-(1+2+3+4)=(-1)4+1·(1+2+3+4)，所以 1-4+9-16+ +(-1) n+1· n2=(-1) n+1·(1+2+ +n).答案 : 1-4+9-16+ +(-1) n+1·n2=(-1) n+1 (1+2+ +n)15. 函数 y=a1-x (a>0 ，a≠1) 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny-1=0(mn>0)上，则+ 的最小值为.【分析】因为函数 y=a1-x的图象所过的定点为 A(1，1) ，且点 A 在直线 mx+ny-1=0 上，所以 m+n=1.又因为 mn>0，所以必有 m>0，n>0，于是+ =(m+n)·=2+ +≥2+2=4.答案:416. 对于命题“假如O是线段 AB上一点，则 | | ·+|| ·=0”将它类比到平面的情况是 : 若 O是△ ABC内一点，有 S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0，将它类比到空间的情况应为: 若 O是四周体 ABCD内一点，则有.【分析】依据类比的特色和规律，所得结论形式上一致，由线段类比平面，平面类比到空间，由线段长类比为三角形面积，再类比成四周体的体积，故能够类比为 V O -BCD·+V O -ACD·+V O -ABD·+V O -ABC·=0.答案 : V·+V·+V·+V·=0三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17.(10 分) 已知实数 a，b，c，d 知足 a+b=c+d=1，ac+bd>1，求证 :a ，b，c，d 中起码有一个是负数 .【解题指南】对于含有“起码”、“至多”的命题的证明，常常用反证法证明 . 假定结论不建立，由 a+b=c+d=1可得 a，b，c，d∈[0 ，1]. 由条件中的和与积想到基本不等式，依据ac≤≤，bd≤≤，两式相加可推出矛盾.【分析】假定 a，b，c，d∈[0 ，+∞) ，因为 a+b=c+d=1，所以 a，b，c，d∈[0 ，1] ，所以 ac≤≤，bd≤≤，所以 ac+bd≤+=1，这与 ac+bd>1相矛盾，所以原假定不建立.故 a，b，c，d 中起码有一个是负数 .【拓展延长】适合用反证法证明的命题有:(1)结论自己是以否认形式出现的命题 .(2)对于独一性，存在性的命题 .(3)结论是以“至多”“起码”等形式出现的命题 .(4)结论的反面比原结论更详细，更简单研究的命题 .18.(12 分) 已知在△ ABC中，有一个内角不小于120°，求证 : 最长边与最短边之比不小于.【解题指南】设最大角为 A，最小角为 C，因为 A≥120°，所以 B+C≤60°， C≤30°，再利用正弦定理和二倍角公式求出的范围，即得所证.【证明】设最大角为 A，最小角为 C，则最大边为a，最小边为 c. 因为 A≥120°，所以 B+C≤60°，且 C≤B，所以 2C≤B+C≤60°， C≤30°.所以==≥=2cos C ≥.19.(12 分) 已知△ ABC的三个内角 A，B，C成等差数列，求证 : +=1. 【解题指南】采纳剖析法进行证明，依据结论+=1，可得 c2+a2-b 2-ac=0;再利用 A，B，C成等差数列，可得 B=60°，利用余弦定理可得 b2=c2+a2-ac 建立，进而得证 .【证明】要证原式建立，只需证=1，即证 bc+c2+a2+ab=ab+b2+ac+bc，即 c2+a2-b 2-ac=0 ，而三个内角 A， B，C成等差数列，所以A+C=2B，又 A+B+C=180°，所以 B=60°，由余弦定理可得 b2=c2+a2-2accos B=c 2+a2-ac ，所以 c2+a2-b 2-ac=0 ，故+=1.20.(12 分) 已知 x，y∈N*，以下不等式建立 .-9-/122018-2019 年人教版高中数学选修2-2 单元质量评估(二 )②x2+ y2≥;③x2+ y2≥.依据上述不等式，请你推出一般的结论，并证明你的结论.【分析】一般的结论是 : 已知 x，y∈N*，a，b 都是正数，且 a+b=1，则 ax2+by2 ≥(ax+by) 2.证明 : 因为 a+b=1，所以 a=1-b>0，b=1-a>0.所以 (ax 2+by2)-(ax+by) 2=(a-a 2)x 2-2abxy+(b-b 2)y 2=a(1-a)x 2-2a(1-a)xy+a(1-a)y 2=a(1-a)(x2-2xy+y2)=a(1-a)(x-y)2.又 a>0，1-a>0 ，(x-y) 2≥0，所以 (ax 2+by2)-(ax+by)2≥0.所以ax2+by2≥(ax+by)2建立.21.(12 分) 若实数 x，y，m知足 |x-m|>x|y-m|，则称x比y远离m.(1)若 x2-1 比 1 远离 0，务实数 x 的取值范围 .(2) 对随意两个不相等的正数 a，b，证明 :a 3+b3比 a2b+ab2远离 2ab .【分析】 (1) 由题意可得 |x 2-1-0|>|1-0| ，即|x 2-1|>1 ，即 x2 -1>1 或 x2-1<-1 ，解得 x>或x<-，故实数 x 的取值范围为 (- ∞， -) ∪ (，+∞).(2) 对随意两个不相等的正数a，b，有 a3+b3>-10-/122ab，a2b+ab2>2ab.因为 |a 3+b3-2ab|-|a 2b+ab2-2ab|=(a+b)(a-b)2>0所以|a3+b3-2ab|>|a 2b+ab2-2ab| ，故 a3 +b3比 a2b+ab2远离 2ab.22.(12 分) 用数学概括法证明1·(n 2-1 2 )+2·(n 2-2 2)++n(n 2-n 2)= n2(n-1)(n+1)(n∈N*).【证明】 (1) 当 n=1 时，左侧 =1·(1 2-1 2)=0，右侧 = ·12·0·2=0，所以左侧 =右侧， n=1 时等式建立 .(2)假定当 n=k(k ∈N*) 时等式建立，即 1·(k 2-1 2)+2·(k 2-2 2)+ +k·(k 2-k 2)= k2(k-1)(k+1).则当 n=k+1 时，1·[(k+1) 2-1 2]+2 ·[(k+1) 2-2 2]+ +k·[(k+1) 2-k 2]+(k+1)[(k+1) 2-(k+1) 2] =[1 ·(k 2-1 2)+2 ·(k 2-2 2)+ +k·(k 2-k 2)]+[1 ·(2k+1)+2(2k+1)+ +k(2k+1)]= k2(k-1)(k+1)+ ·(2k+1)=k(k+1)[k(k-1)+2(2k+1)]=k(k+1)(k 2 +3k+2)= (k+1) 2k(k+2) ，-11-/12即当 n=k+1 时等式建立 .由(1)(2)知对全部n∈N*，等式建立.【拓展延长】数学概括法的两点关注(1)关注点一 : 用数学概括法证明等式问题是数学概括法的常有题型，其重点点在于“先看项”，弄清等式两边的组成规律，等式两边各有多少项，初始 n0是多少 .(2) 关注点二 : 由 n=k 到 n=k+1 时，除等式两边变化的项外还要利用n=k 时的式子，即利用假定，正确写出概括证明的步骤，进而使问题得以证明.-12-/12。

单元质量评估(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.由1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，得到1+3+…+(2n-1)=n2用的是( ) A.归纳推理 B.演绎推理C.类比推理D.特殊推理【解析】选A.根据定义可知是归纳推理.2.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A.一条中线上的点，但不是中心B.一条垂线上的点，但不是垂心C.一条角平分线上的点，但不是内心D.中心【解析】选D.由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心.3.在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为( )A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边的一半C.EF为中位线D.EF∥BC【解析】选A.这个三段论的推理形式是：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.4.若a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( )A.ab>acB.c(b-a)>0C.cb2<ca2D.ac(a-c)<0【解析】选C.A，B，D一定成立.当b=0时，C不成立，所以C不一定成立. 5.用反证法证明命题“若a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A.因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.6.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(-3，4)，且法向量为n=(1，-2)的直线(点法式)方程为：1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0，化简得x-2y+11=0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为m=(-1，-2，1)的平面的方程为( )A.x+2y-z-2=0B.x-2y-z-2=0C.x+2y+z-2=0D.x+2y+z+2=0【解析】选A.类比直线方程求法得平面方程为(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0，即x+2y-z-2=0.7.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为( )A.a=，b=c=B.a=b=c=C.a=0，b=c=D.不存在这样的a，b，c【解析】选A.令n=1，2，3，得所以a=，b=c=.8.已知f(x+1)=，f(1)=1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为( )A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=【解析】选B.由已知得，f(2)==，f(3)===，f(4)==，因而，猜想f(x)=.9.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律，若m2=1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n=( ) A.10 B.11 C.12 D.13【解析】选B.因为m2=1+3+5+…+11=×6=36，所以m=6.因为23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，所以53=21+23+25+27+29，因为n3的分解中最小的正整数是21，所以n3=53，n=5，所以m+n=6+5=11.10.平面上有n条直线，其中任意的两条不平行，任意三条不共点.f(k)表示n=k 时平面被分成的区域数，则f(k+1)-f(k)= ( )A.kB.k+1C.k-1D.k+2【解析】选B.1条直线把平面分成2个区域；2条直线把平面分成(2+2)个区域；3条直线把平面分成(2+2+3)个区域；4条直线把平面分成(2+2+3+4)个区域；由此可知，若k条直线把平面分成f(k)个区域，f(k+1)=f(k)+k+1，则f(k+1)-f(k)=k+1.11.已知x>0，不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，可推广为x+≥n+1，则a的值为( )A.n2B.n nC.2nD.22n-2【解析】选B.由x+≥2，x+=x+≥3，x+=x+≥4，…，可推广为x+≥n+1，故a=n n.12.在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( ) A.b4+b8>b5+b7 B.b4+b8<b5+b7C.b4+b7>b5+b8D.b4+b7<b5+b8【解析】选A.在等差数列{a n}中，由于4+6=3+7时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{b n}中，由于4+8=5+7，所以应有b4+b8>b5+b7或b4+b8<b5+b7.因为b4=b1q3，b5=b1q4，b7=b1q6，b8=b1q7，所以(b4+b8)-(b5+b7)=(b1q3+b1q7)-(b1q4+b1q6)=b1q6·(q-1)-b1q3(q-1)=(b1q6-b1q3)(q-1)=b1q3(q3-1)(q-1).因为q>1，b n>0，所以b4+b8>b5+b7.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知x，y∈R，且x+y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_________.【解析】“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”.答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)14.已知圆的方程是x2+y2=r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.类比上述性质，可以得到椭圆+=1类似的性质为_________.【解析】圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆+=1类似的性质为：过椭圆+=1上一点P(x0，y0)的切线方程为+=1.答案：经过椭圆+=1上一点P(x0，y0)的切线方程为+=115.函数y=a1-x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则+的最小值为_________.【解析】因为函数y=a1-x的图象所过的定点为A(1，1)，且点A在直线mx+ny-1=0上，所以m+n=1.又因为mn>0，所以必有m>0，n>0，于是+=(m+n)·=2++≥2+2=4.答案：416.(2017·杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点，则||·+||·=0”将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·+ S△OCA·+S△OBA·=0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有__________________ .【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，由线段类比平面，平面类比到空间，由线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0.答案：V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知在△ABC中，有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于.【解题指南】设最大角为A，最小角为C，因为A≥120°，所以B+C≤60°，C≤30°，再利用正弦定理和二倍角公式求出的范围，即得所证.【证明】设最大角为A，最小角为C，则最大边为a，最小边为c.因为A≥120°，所以B+C≤60°，且C≤B，所以2C≤B+C≤60°，C≤30°.所以==≥ =2cos C≥.18.(12分)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：+=1.【解题指南】采用分析法进行证明，根据结论+=1，可得c2+a2-b2-ac=0；再利用A，B，C成等差数列，可得B=60°，利用余弦定理可得b2=c2+a2-ac成立，从而得证.【证明】要证原式成立，只要证=1，即证bc+c2+a2+ab=ab+b2+ac+bc，即c2+a2-b2-ac=0，而三个内角A，B，C成等差数列，所以A+C=2B，又A+B+C=180°，所以B=60°，由余弦定理可得b2=c2+a2-2accosB=c2+a2-ac，所以c2+a2-b2-ac=0，故+=1.19.(12分)(2018·温州高二检测)设{a n}，{b n}是公比不相等的两个等比数列，c n=a n+b n，证明：数列{c n}不是等比数列.【证明】假设数列{c n}是等比数列，则(a n+b n)2=(a n-1+b n-1)(a n+1+b n+1).①因为{a n}，{b n}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以=a n-1a n+1，=b n-1b n+1.代入①并整理，得2a n b n=a n+1b n-1+a n-1b n+1=a n b n+，即2=+.②当p，q异号时，+<0，与②相矛盾；当p，q同号时，由于p≠q，所以+>2，与②相矛盾.故数列{c n}不是等比数列. 【拓展延伸】适宜用反证法证明的命题有：①结论本身是以否定形式出现的命题.②关于唯一性，存在性的命题.③结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题.④结论的反面比原结论更具体，更容易研究的命题.20.(12分)已知：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.【解析】一般性的命题为sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°)=.证明：左边=++=-[cos(2α-120°)+cos 2α+cos(2α+120°)]==右边.所以命题成立.21.(12分)若实数x，y，m满足|x-m|>|y-m|，则称x比y远离m.(1)若x2-1比1远离0，求实数x的取值范围.(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab. 【解析】(1)由题意可得|x2-1-0|>|1-0|，即|x2-1|>1，即x2-1>1或x2-1<-1，解得x>或x<-，故实数x的取值范围为(-∞，-)∪(，+∞).(2)对任意两个不相等的正数a，b，有a3+b3>2ab，a2b+ab2>2ab.因为|a3+b3-2ab|-|a2b+ab2-2ab|=(a+b)(a-b)2>0，所以|a3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab|，故a3+b3比a2b+ab2远离2ab.22.(12分)(2017·杭州高二检测)已知：0<b<a<e，其中e是自然对数的底数.(1)试猜想a b与b a的大小关系.(2)证明你的结论.【解析】(1)取a=2，b=1可知：a b>b a，又当a=1，b=时，a b>b a，由此猜测a b>b a对一切0<b<a<e成立.(2)要证a b>b a对一切0<b<a<e成立，需证ln a b>ln b a，需证bln a>aln b，需证>，设函数f(x)=，x∈(0，e)，f′(x)=，当x∈(0，e)时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)=在(0，e)上单调递增，所以f(a)>f(b)，即bln a>aln b，所以a b>b a.。