高考物理二轮复习 课下限时训练四 万有引力定律与航天

万有引力定律与航天1．若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的状况下，须要验证A. 地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602B. 月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602C. 自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6D. 苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60【来源】2024年全国一般高等学校招生统一考试物理（北京卷）【答案】 BD、苹果在月球表面受到引力为：，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与地球表面引力之间的关系，故选项D错误。

点睛：本题考查万有引力相关学问，驾驭万有引力公式，知道引力与距离的二次方成反比，即可求解。

2．2024年2月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发觉毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量匀称分布的球体，已知万有引力常量为。

以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（）A. B.C. D.【来源】2024年一般高等学校招生全国统一考试物理（全国II卷）【答案】 C点睛：依据万有引力供应向心力并结合密度公式求解即可。

3．为了探测引力波，“天琴安排”预料放射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。

P与Q的周期之比约为A. 2:1B. 4:1C. 8:1D. 16:1【来源】2024年全国一般高等学校招生统一考试物理（全国III卷）【答案】 C【解析】试题分析本题考查卫星的运动、开普勒定律及其相关的学问点。

解析设地球半径为R，依据题述，地球卫星P的轨道半径为R P=16R，地球卫星Q的轨道半径为R Q=4R，依据开普勒定律，==64，所以P与Q的周期之比为T P∶T Q=8∶1，选项C正确。

点睛此题难度不大，解答此题常见错误是：把题述的卫星轨道半径误认为是卫星距离地面的高度，陷入误区。

专题四万有引力定律及其应用1．(2015·高考重庆卷)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A．0 B.GM（R＋h）2C.GMm（R＋h）2D.GMh22．(2015·高考北京卷)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )A．地球公转的周期大于火星公转的周期B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度3．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F T.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )A.mv2GF TB.mv4GF TC.F T v2GmD.F T v4Gm4．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为( )A．1.8×103 kg/m3B．5.6×103 kg/m3C．1.1×104 kg/m3D．2.9×104 kg/m35．(2014·高考全国卷Ⅱ，T18，6分)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( )A.3πGT2g0－gg0B.3πGT2g0g0－gC.3πGTD.3πGTg0g6．(2015·高考山东卷)如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( ) A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a17．(2015·河北百校联考)嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成．探测器预计在2017年由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg月球样品．某同学从网上得到一些信息，)A.23B.32C．4 D．68．(2015·高考四川卷)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比( )A.火星的公转周期较小B．火星做圆周运动的加速度较小C．火星表面的重力加速度较大D．火星的第一宇宙速度较大9.(多选)(2015·广西四校调研)“嫦娥三号”发射取得圆满成功，这标志着我国的航空航天技术又迈进了一大步．“嫦娥三号”探月卫星沿地月转移轨道到达距月球表面200 km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，再经过一次制动进入距月球表面15 km的圆形轨道Ⅱ上绕月球做匀速圆周运动．则下面说法正确的是( )A．由于“刹车制动”，卫星在轨道Ⅱ上运动的周期将比沿轨道Ⅰ运动的周期长B．虽然“刹车制动”，但卫星在轨道Ⅱ上运动的周期还是比沿轨道Ⅰ运动的周期短C．卫星在到达月球附近时需进行第一次“刹车制动”是因为卫星到达月球附近时的速度大于月球卫星的第二宇宙速度D．卫星在轨道Ⅱ上运动的加速度小于在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度10．(多选)(2015·高考全国卷Ⅰ，T21，6分)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2.则此探测器( )A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/sB．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 NC．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度11．(多选)(2015·东北三省第二次模拟)一颗围绕地球运行的飞船，其轨道为椭圆．已知地球质量为M，地球半径为R，万有引力常量为G，地球表面重力加速度为g.则下列说法正确的是( )A．飞船在远地点速度一定大于gRB．飞船在近地点瞬间减速转移到绕地圆轨道后，周期一定变小C．飞船在远地点瞬间加速转移到绕地圆轨道后，机械能一定变小D．飞船在椭圆轨道上的周期可能等于π27R 5g12.如图所示，三个质点a、b、c质量分别为m1、m2、M(M≫m1，M≫m2)．在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a∶T b ＝1∶k；从图示位置开始，在b运动一周的过程中，则( )A．a、b距离最近的次数为k次B．a、b距离最近的次数为(k＋1)次C．a、b、c共线的次数为2k次D．a、b、c共线的次数为(2k－2)次13.“轨道康复者”航天器可在太空中给“垃圾”卫星补充能源，延长卫星的使用寿命．如图所示是“轨道康复者”在某次拯救一颗地球同步卫星前，二者在同一平面内沿相同绕行方向绕地球做匀速圆周运动的示意图，此时二者的连线通过地心，轨道半径之比为1∶4.若不考虑卫星与“轨道康复者”之间的引力，则下列说法正确的是( )A．在图示轨道上，“轨道康复者”的速度大于7.9 km/sB．在图示轨道上，“轨道康复者”的加速度大小是地球同步卫星的4倍C．在图示轨道上，“轨道康复者”的周期为3 h，且从图示位置开始经1.5 h与同步卫星的距离最近D．若要对该同步卫星实施拯救，“轨道康复者”应从图示轨道上加速，然后与同步卫星对接14．(2015·潍坊模拟)某月球探测卫星先贴近地球表面绕地球做匀速圆周运动，此时其动能为E k1，周期为T1；再控制它进行一系列变轨，最终进入贴近月球表面的圆轨道做匀速圆周运动，此时其动能为E k2，周期为T2.已知地球的质量为M1，月球的质量为M2，则T1T2为( )A.M1E k2M2E k1B.M1E k1M2E k2C.M1M2⎝⎛⎭⎪⎫E k2E k13D.M1M2E k1E k2。

万有引力定律及其应用(限时45分钟)一.单项选择题(每小题6分，共48分)1．假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳距离小于火星到太阳距离，那么( )A ．地球公转周期大于火星公转周期B ．地球公转线速度小于火星公转线速度C ．地球公转加速度小于火星公转加速度D ．地球公转角速度大于火星公转角速度 答案：D解析：根据G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ＝m v 2r ＝ma ＝mω2r 得，公转周期T ＝2πr 3GM，故地球公转周期较小，选项A 错误；公转线速度v ＝GMr，故地球公转线速度较大，选项B 错误；公转加速度a ＝GM r2，故地球公转加速度较大，选项C 错误；公转角速度ω＝ GMr 3，故地球公转角速度较大，选项D 正确．2．2014年12月31日上午9点02分，我国在西昌卫星发射中心成功将“风云二号”08星发射升空，“风云二号”08星是地球同步卫星，将在天气预报.气候预测.军事.航天气象保障等领域发挥重要作用．该卫星在预定轨道正常运行时，下列说法正确是( )A ．它可能会经过西昌上空B ．它线速度大于7.9 km/sC ．它向心加速度小于9.8 m/s 2D ．它角速度小于月球绕地球运动角速度 答案：C解析：同步卫星只能在赤道正上方运行，A 选项错误；由万有引力提供向心力有GM 地mr 2＝m v 2r ，v ＝GM 地r ，轨道半径r 越大，线速度v 越小，所以v <7.9 km/s ，故B 选项错误；G M 地m r 2＝mω2r ，ω＝GM 地r 3，轨道半径r 越大，角速度ω越小，同步卫星角速度大于月球绕地球运动角速度，D 选项错误；G M 地m r 2＝ma ，在地球表面上有G M 地m R2＝mg (R 为地球半径)，所以a <9.8 m/s 2，C 选项正确．3．质量为m 某人造地球卫星在地面上重力为G 0，已知地球质量为M ，引力常量为G ，当该卫星被发射到离地高度等于3倍地球半径轨道上做圆周运动时，它动能为(忽略地球自转)( )A.18GG 0Mm B.16GG 0Mm C.14GG 0Mm D.13GG 0Mm 答案：A解析：G Mm R 2＝G 0，GMm4R 2＝m v 24R ，求得12mv 2＝GMm 8R ＝18GG 0Mm ，A 项正确．4．如图所示，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点物体在地球和月球引力共同作用下，可与月球一起以相同周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a 1.a 2分别表示该空间站和月球向心加速度大小，a 3表示地球同步卫星向心加速度大小．以下判断正确是( )A ．a 2>a 3>a 1B ．a 2>a 1>a 3C ．a 3>a 1>a 2D ．a 3>a 2>a 1答案：D解析：空间站和月球绕地球运动周期相同，由a ＝⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2r 知，a 2>a 1；对地球同步卫星和月球，由万有引力定律和牛顿第二定律得G Mm r2＝ma ，可知a 3>a 2，故选项D 正确．5．据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星．假设该行星质量约为地球质量6.4倍，半径约为地球半径2倍．那么，一个在地球表面能举起64 kg 物体人在这个行星表面能举起物体质量约为多少(地球表面重力加速度取g ＝10 m/s 2)( )A ．40 kgB ．50 kgC ．60 kgD ．30 kg答案：A解析：设地球半径为R ，质量为M ，则由万有引力定律可得：G Mm R2＝mg ，F ＝mg ，可得：人举力F ＝G Mm R 2；同理在“宜居”行星上，人举力F ＝G 6.4Mm ′4R 2，联立可得：m ′＝m1.6＝40 kg ，选项A 正确，B.C.D 错误．6．(2015·成都检测)如图甲所示“轨道康复者”航天器可在太空中给“垃圾”卫星补充能源，延长卫星使用寿命．图乙是“轨道康复者”在某次拯救一颗地球同步卫星前，二者在同一平面内沿相同绕行方向绕地球做匀速圆周运动示意图，此时二者连线通过地心，轨道半径之比为1∶4.若不考虑卫星与“轨道康复者”之间引力，则下列说法正确是( )甲 乙A ．在图示轨道上，“轨道康复者”速度大于7.9 km/sB ．在图示轨道上，“轨道康复者”加速度大小是地球同步卫星4倍C ．在图示轨道上，“轨道康复者”周期为3 h ，且从图示位置开始经1.5 h 与同步卫星距离最近D ．若要对该同步卫星实施拯救，“轨道康复者”应从图示轨道上加速，然后与同步卫星对接答案：D解析：由于在图示轨道上，“轨道康复者”做匀速圆周运动轨道半径大于地球半径，根据牛顿第二定律和万有引力定律可得，“轨道康复者”在图示轨道上速度v ＝GMR ＋h <GM R＝7.9 km/s ，故A 选项错误；根据牛顿第二定律和万有引力定律可知，“轨道康复者”在图示轨道上加速度大小与地球同步卫星加速度大小之比为aa ′＝GM r 2GM4r2＝161，故B 选项错误；根据牛顿第二定律和万有引力定律可知，“轨道康复者”在图示轨道上周期与地球同步卫星周期之比为TT ′＝2πr 3GM 2π4r 3GM＝18，即“轨道康复者”在图示轨道上周期为 3 h ，要使从图示位置到二者间距离相距最近，则需满足⎝⎛⎭⎪⎫2πT －2πT ′t ＝π＋2k π(其中k ＝0,1,2，3，…)，解得t ＝127＋247k (其中k ＝0,1,2,3，…)，故C 选项错误；若要对该同步卫星实施拯救，“轨道康复者”应从图示轨道上加速使“轨道康复者”做离心运动，然后与同步卫星对接，故D 选项正确．7．一物体质量为m ，在北京地区它重力为mg .假设地球自转略加快，该物体在北京地区重力为mg ′.则下列说法正确是( )A ．mg ′>mgB ．mg ′<mgC ．mg ′和mg 方向都指向地心D ．mg ′和mg 方向都指向北京所在纬线圈圆心 答案：B解析：根据圆周运动向心力F 向＝mω2r 可以知道，放置在北京物体随地球自转速度加快，所需向心力也会随之增大，根据万有引力公式F引＝G Mmr2知道，位置不变万有引力大小保持不变，万有引力一个分力提供向心力，另一分力就是重力，在向心力与万有引力夹角不变情况下，向心力增大，重力就会减小，A 错，B 对；重力方向竖直向下，万有引力方向指向地心，C.D 错．8．在发射某卫星时首先使其在地球表面飞行，经一系列变轨运动到达未知星球表面飞行，假设地球与未知星球均可视为均匀球体，经测量知该卫星在上述两轨道运动周期相同．则以下叙述正确是( )A ．卫星在两天体附近运行线速度相等B ．两天体质量一定相等C ．两天体密度一定相等D ．两天体表面重力加速度一定相等 答案：C解析：设卫星轨道半径为r ，根据万有引力提供向心力可得G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mr 4π2T2，解得T ＝4π2r3GM，v ＝GMr，仅由两个天体表面附近卫星周期相同无法判断它们质量关系和半径关系，则A.B 错误；由于密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R 3，天体表面附近卫星近似满足r ＝R ，故ρ＝3πGT 2，C 正确；又G Mm R 2＝mg ，则g ＝GM R2，质量关系和半径关系没有确定，因此两天体表面重力加速度可能相同，D 错误．二.多项选择题(每小题7分，共42分)9．在太阳系中有一颗行星半径为R ，若在该星球表面以初速度v 0竖直向上抛出一物体，则该物体上升最大高度为H ，已知该物体所受其他力与行星对它万有引力相比较可忽略不计．根据这些条件，可以求出物理量是( )A ．太阳密度B ．该行星绕太阳运行周期C ．该行星第一宇宙速度D ．绕该行星运行卫星最小周期 答案：CD解析：由于行星绕太阳运行轨道半径等其他运动参量均未知，故无法确定其周期.太阳质量，太阳密度也无法计算，A.B 项错；由竖直上抛运动规律，得行星表面重力加速度g ＝v 202H①，在该行星表面，万有引力与重力近似相等，即GMm R 2＝mg ②，设行星第一宇宙速度为v ，有GMmR2＝m v 2R③，解①②③三式可得：v ＝v 0R2H，C 项正确；由圆周运动知识可知，绕该行星运行卫星最小周期T ＝2πRv，T 可求，D 项正确．10.在星球表面发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．已知地球.火星两星球质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确有( )A ．探测器质量越大，脱离星球所需要发射速度越大B ．探测器在地球表面受到引力比在火星表面大C ．探测器分别脱离两星球所需要发射速度相等D ．探测器脱离星球过程中，势能逐渐增大 答案：BD解析：探测器在星球表面做匀速圆周运动时，由G Mm R 2＝m v 2R，得v ＝GMR，则摆脱星球引力时发射速度2v ＝2GMR，与探测器质量无关，选项A 错误；设火星质量为M ，半径为R ，则地球质量为10M ，半径为2R ，地球对探测器引力F 1＝G10Mm 2R 2＝5GMm2R2，比火星对探测器引力F 2＝G Mm R2大，选项B 正确；探测器脱离地球时发射速度v 1＝2G ·10M2R＝ 10GMR，脱离火星时发射速度v 2＝2GMR，v 2＜v 1，选项C 错误；探测器脱离星球过程中克服引力做功，势能逐渐增大，选项D 正确．11．我国发射“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m 高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器质量约为1.3×103kg ，地球质量约为月球81倍，地球半径约为月球3.7倍，地球表面重力加速度大小约为9.8 m/s 2.则此探测器( )A ．在着陆前瞬间，速度大小约为8.9 m/sB ．悬停时受到反冲作用力约为2×103NC ．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D ．在近月圆轨道上运行线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行线速度 答案：BD解析：设月球表面重力加速度为g 月，则g 月g 地＝GM 月R 2月GM 地R 2地＝M 月M 地·R 2地R 2月＝181×3.72，解得g 月≈1.7 m/s 2.A ．由v 2＝2g 月h ，得着陆前速度为v ＝2g 月h ＝2×1.7×4 m/s≈3.7 m/s ，选项A 错误． B ．悬停时受到反冲力F ＝mg 月≈2×103N ，选项B 正确．C ．从离开近月圆轨道到着陆过程中，动能(速度)减小，势能减小，故机械能不守恒，选项C 错误．D ．设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上线速度分别为v 1.v 2，则v 1v 2＝GM 月R 月GM 地R 地＝M 月M 地·R 地R 月＝ 3.781<1，故v 1<v 2，选项D 正确．12．中国志愿者王跃参与人类历史上第一次全过程模拟从地球往返火星试验“火星—500”．假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经历如图所示变轨过程，则下列说法正确是( )A ．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P 点速度大于在Q 点速度B ．飞船在轨道Ⅰ上运动时，在P 点速度大于在轨道Ⅱ上运动时在P 点速度C ．飞船在轨道Ⅰ上运动到P 点时加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P 点时加速度D ．若轨道Ⅰ贴近火星表面，测出飞船在轨道Ⅰ上运动周期，就可以推知火星密度 答案：ACD解析：根据开普勒第二定律，行星在单位时间内扫过面积相等可以知道，行星在远离中心天体位置处速度一定小于在靠近中心天体位置处速度，类比可以知道，A 对；人造飞船在P点处受到万有引力F 引＝G Mm r 2，为其提供做圆周运动所需要向心力F 向＝m v 2r，当万有引力等于所需向心力时，人造飞船做圆周运动，当万有引力小于所需向心力时，人造飞船做离心运动，飞船在P 点时，Ⅱ轨道速度大于Ⅰ轨道速度，B 错；根据牛顿第二定律F ＝F 引＝G Mmr2＝ma ，同一个位置万有引力大小与方向相同，所以在P 点任一轨道加速度相同，C 对；当轨道Ⅰ贴近火星时，设火星半径为R ，万有引力用来提供向心力可以得到：F ＝G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，于是M ＝4π2R3GT 2＝ρV ，又因为V ＝4πR 33，所以ρ＝3πGT2，D 对．13．为了探测X 星球，总质量为m 1探测飞船载着登陆舱在以该星球中心为圆心圆轨道上运动，轨道半径为r 1，运动周期为T 1.随后质量为m 2登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近半径为r 2圆轨道上运动，则( )A ．X 星球表面重力加速度gX ＝4π2r 1T 21B ．X 星球质量M ＝4π2r 31GT 21C ．登陆舱在r 1与r 2轨道上运动时速度大小之比v 1v 2＝m 1r 2m 2r 1 D ．登陆舱在半径为r 2轨道上做圆周运动周期T 2＝r 32r 31T 1 答案：BD解析：星球半径未知，故无法应用万有引力与重力相等关系计算星球表面重力加速度，A 项错；飞船绕星球做圆周运动过程中，万有引力充当向心力，即G Mm 1r 21＝m 14π2T 21r 1，解得：M ＝4π2r 31GT 21，B 项正确；飞船和登陆舱分别绕X 星球做匀速圆周运动，由开普勒第三定律有r 31T 21＝r 32T 22，解得：T 2＝r 32r 31T 1，D 项正确；由周期与线速度关系v 1＝2πr 1T 1，v 2＝2πr 2T 2，结合开普勒第三定律可知，运行速度与登陆舱质量无关，C 项错．14． P 1.P 2为相距遥远两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s 1.s 2做匀速圆周运动．图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体引力产生加速度a ，横坐标表示物体到行星中心距离r 平方，两条曲线分别表示P 1.P 2周围a 与r 2反比关系，它们左端点横坐标相同．则( )A ．P 1平均密度比P 2大B ．P 1“第一宇宙速度”比P 2小C ．s 1向心加速度比s 2大D ．s 1公转周期比s 2大 答案：AC解析：由图象左端点横坐标相同可知，P 1.P 2两行星半径R 相等，对于两行星近地卫星：G Mm R 2＝ma ，得行星质量M ＝R 2aG ，由a ­r 2图象可知P 1近地卫星向心加速度大，所以P 1质量大，平均密度大，选项A 正确；根据G Mm R 2＝mv 2R得，行星第一宇宙速度v ＝GMR，由于P 1质量大，所以P 1第一宇宙速度大，选项B 错误；s 1.s 2轨道半径相等，由a ­r 2图象可知s 1向心加速度大，选项C 正确；根据G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 得，卫星公转周期T ＝2πr 3GM，由于P 1质量大，故s 1公转周期小，选项D 错误．。

第4课时 万有引力与航天考纲解读1.掌握万有引力定律的内容、公式及其应用.2.理解环绕速度的含义并会求解.3.了解第二和第三宇宙速度．1．[对万有引力定律的理解]关于万有引力公式F ＝Gm 1m 2r 2，以下说法中正确的是 ( )A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的 答案 C解析 万有引力公式F ＝Gm 1m 2r，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.2．[万有引力引力场与电场的类比]由于万有引力定律和库仑定律都满足平方反比定律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比，例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E ＝F q，在引力场中可以用一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱．设地球质量为M ，半径为R ，地球表面处重力加速度为g ，引力常量为G ，如果一个质量为m 的物体位于距离地心2R 处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是( )A ．G M 2R 2B ．G m 2R2C ．GMm 2R2D.g4答案 AD解析 由万有引力定律知F ＝GMm 2R2，引力场的强弱F m ＝GM 2R2，A 对；在地球表面附近有G Mm R 2＝mg ，所以F m ＝g4，D 对．3．[第一宇宙速度的求解]一宇航员在某星球上以速度v 0竖直上抛一物体，经t 秒落回原处，已知该星球半径为R ，那么该星球的第一宇宙速度是( )A.v 0tRB.2v 0RtC.v 0RtD.v 0Rt答案 B解析 设该星球表面重力加速度为g ，由竖直上抛知识知，t ＝2v 0g ，所以g ＝2v 0t；由牛顿第二定律得：mg ＝m v 2R，所以v ＝gR ＝2v 0Rt.4．[应用万有引力定律分析卫星运动问题]天宫一号是中国第一个目标飞行器，已于2011年9月29日21时16分3秒在酒泉卫星发射中心发射成功，它的发射标志着中国迈入中国航天“三步走”战略的第二步第二阶段.21时25分，天宫一号进入近地点约200公里，远地点约346.9公里，轨道倾角为42.75度，周期为5 382秒的运行轨道．由此可知( )A ．天宫一号在该轨道上的运行周期比同步卫星的运行周期短B ．天宫一号在该轨道上任意一点的运行速率比同步卫星的运行速率小C ．天宫一号在该轨道上任意一点的运行加速度比同步卫星的运行加速度小D ．天宫一号在该轨道上远地点距地面的高度比同步卫星轨道距地面的高度小 答案 AD解析 由题意知天宫一号的轨道半径比同步卫星要小，由GMm r 2＝mv 2r知v ＝GMr，即v 天>v 同．由GMm r 2＝mr 4π2T2知T ＝ 4π2r3GM，知T 天<T 同．由GMm r 2＝ma 知a ＝GMr 2，从而a 天>a 同．故选项A 、D 正确． 考点梳理一、万有引力定律及其应用1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比． 2．表达式：F ＝Gm 1m 2r2，G 为引力常量：G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2. 3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离．二、环绕速度1．第一宇宙速度又叫环绕速度．推导过程为：由mg ＝mv 21R ＝GMmR2得：v 1＝GMR＝gR ＝7.9 km/s. 2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． 3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度． 特别提醒 1.两种周期——自转周期和公转周期的不同2．两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度 3．两个半径——天体半径R 和卫星轨道半径r 的不同 三、第二宇宙速度和第三宇宙速度1．第二宇宙速度(脱离速度)：v 2＝11.2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度． 2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝16.7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．5．[卫星变轨问题的分析方法]“天宫一号”被长征二号火箭发射后， 准确进入预定轨道，如图1所示，“天宫一号”在轨道1上运行 4周后，在Q 点开启发动机短时间加速，关闭发动机后，“天宫 一号”沿椭圆轨道2运行到达P 点，开启发动机再次加速，进入 轨道3绕地球做圆周运动，“天宫一号”在图示轨道1、2、3上 图1正常运行时，下列说法正确的是( )A ．“天宫一号”在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B ．“天宫一号”在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度C ．“天宫一号”在轨道1上经过Q 点的加速度大于它在轨道2上经过Q 点的加速度D ．“天宫一号”在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点的加速度 答案 D 解析 根据v ＝GMr ，可知v 3<v 1，选项A 错误；据ω＝ GMr 3可知ω3<ω1，选项B 错误；加速度与万有引力大小有关，r 相同，则a 相同，与轨道无关，选项C 错误，选项D 正确． 【规律总结】卫星变轨问题的判断：(1)卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大． (2)卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小．(3)圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同.考点一 天体质量和密度的计算 1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G Mm r 2＝ma 向＝m v 2r 2＝mω2r ＝m 4π2r T2 (2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G MmR2＝mg (g 表示天体表面的重力加速度)．深化拓展 (1)在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 时，常运用GM ＝gR 2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来．由于这种代换的作用很大，此式通常称为黄金代换公式．(2)利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度：G Mm R 2＝mg ，所以g ＝GM R2. 在离地面高为h 的轨道处重力加速度：G Mm R ＋h2＝mg h ，所以g h ＝GM R ＋h2.2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r3GT 2；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr 3GT 2R 3；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．例1 (2012·福建理综·16)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )A.mv 2GN B.mv 4GN C.Nv 2GmD.Nv 4Gm解析 设卫星的质量为m ′由万有引力提供向心力，得G Mm ′R 2＝m ′v 2R①m ′v 2R＝m ′g②由已知条件：m 的重力为N 得N ＝mg ③由③得g ＝N m ，代入②得：R ＝mv 2N代入①得M ＝mv 4GN，故B 项正确．答案 B突破训练1 (2011·江苏·7)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v ，引力常量为G ，则( )A ．恒星的质量为v 3T 2πGB ．行星的质量为4π2v3GT2C ．行星运动的轨道半径为vT2πD ．行星运动的加速度为2πvT答案 ACD解析 由GMm r 2＝mv 2r ＝m 4π2T 2r 得M ＝v 2r G ＝v 3T 2πG ，A 对；无法计算行星的质量，B 错；r ＝v ω＝v2πT＝vT 2π，C 对；a ＝ω2r ＝ωv ＝2πT v ，D 对． 考点二 卫星运行参量的比较与运算 1．卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，G Mm r 2＝ma 向＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2r T2.2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律3．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s. (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．深化拓展 (1)卫星的a 、v 、ω、T 是相互联系的，如果一个量发生变化，其它量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定． (2)卫星的能量与轨道半径的关系：同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．例2 (2011·天津·8)质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的( ) A ．线速度v ＝GM RB ．角速度ω＝gRC ．运行周期T ＝2πR gD ．向心加速度a ＝Gm R2解析 由GMm R 2＝m v 2R ＝mω2R ＝m 4π2T 2R ＝mg ＝ma 得v ＝GMR，A 对；ω＝g /R ，B 错；T ＝2πR g ，C 对；a ＝GMR2，D 错． 答案 AC人造天体运行参量的分析与计算方法分析与计算思路是将人造天体的运动看做绕中心天体做匀速圆周运动，它受 到的万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律和圆周运动的规律建立动力学方程，G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2r T2，以及利用人造天体在中心天体表面运行时，忽略 中心天体的自转的黄金代换公式GM ＝gR 2.突破训练2 如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周 运动，从水星与金星在一条直线上开始计时，如图2所示． 若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1；金星 转过的角度为θ2(θ1、θ2均为锐角)，则由此条件可求得( )A ．水星和金星绕太阳运动的周期之比B ．水星和金星的密度之比图2C ．水星和金星到太阳的距离之比D ．水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比 答案 ACD解析 由ω＝ΔθΔt 知，ω1ω2＝θ1θ2，又因为ω＝2πT ，所以T 1T 2＝θ2θ1，A 对；由GMm r 2＝mr 4π2T2知r 3＝GMT 24π2，既然周期之比能求，则r 之比同样可求，C 对；由a ＝rω2知，向心加速度之比同样可求，D 对；由于水星和金星的质量未知，故密度不可求，B 错． 例3 (2011·广东·20)已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星质量为m ，引力常量为G .有关同步卫星，下列表述正确的是( )A ．卫星距地面的高度为 3GMT 24π2B ．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C ．卫星运行时受到的向心力大小为G Mm R2D ．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度解析 天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运动，即F 引＝F 向＝m v 2r ＝4π2mr T 2.当卫星在地表运行时，F 引＝GMmR2＝mg (此时R 为地球半径)，设同步卫星离地面高度为h ，则F 引＝GMmR ＋h2＝F 向＝ma 向<mg ，所以C 错误，D正确．由GMmR ＋h 2＝mv 2R ＋h 得，v ＝ GM R ＋h < GM R ，B 正确．由GMm R ＋h2＝4π2m R ＋h T2，得R ＋h ＝ 3GMT 24π2，即h ＝ 3GMT 24π2－R ，A 错误．答案 BD同步卫星的六个“一定”突破训练3 北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗” 系统中两颗工作卫星1和2 均绕地心O 做匀速圆周运动，轨道半径均为r ，某时刻两颗 工作卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置，如图3所示． 若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ，图3 地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力．以下判断正确的是( )A ．两颗卫星的向心加速度大小相等，均为R 2gr2B ．两颗卫星所受的向心力大小一定相等C ．卫星1由位置A 运动到位置B 所需的时间可能为7πr3Rr gD ．如果要使卫星1追上卫星2，一定要使卫星1加速 答案 AC考点三 卫星变轨问题的分析当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：(1)当卫星的速度突然增加时，G Mm r 2<m v 2r，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝ GMr可知其运行速度比原轨道时减小．(2)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v 2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GMr可知其运行速度比原轨道时增大． 卫星的发射和回收就是利用这一原理．例4 北京航天飞行控制中心对“嫦娥二号”卫星实施多次变轨 控制并获得成功．首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的， 紧随其后进行的3次变轨均在近地点实施．“嫦娥二号”卫 星的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近图4地点的轨道高度．同样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨．图4为“嫦娥二号”某次在近地点A 由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是( )A ．“嫦娥二号”在轨道1的A 点处应点火加速B ．“嫦娥二号”在轨道1的A 点处的速度比在轨道2的A 点处的速度大C ．“嫦娥二号”在轨道1的A 点处的加速度比在轨道2的A 点处的加速度大D ．“嫦娥二号”在轨道1的B 点处的机械能比在轨道2的C 点处的机械能大解析 卫星要由轨道1变轨为轨道2需在A 处做离心运动，应加速使其做圆周运动所需向心力m v 2r 大于地球所能提供的万有引力G Mm r 2，故A 项正确，B 项错误；由G Mmr2＝ma 可知，卫星在不同轨道同一点处的加速度大小相等，C 项错误；卫星由轨道1变轨到轨道2，反冲发动机的推力对卫星做正功，卫星的机械能增加，所以卫星在轨道1的B 点处的机械能比在轨道2的C 点处的机械能小，D 项错误． 答案 A处理卫星变轨问题的思路和方法1．要增大卫星的轨道半径，必须加速； 2．当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大．突破训练4 2011年9月29日，中国首个空间实验室“天宫一号” 在酒泉卫星发射中心发射升空，由长征运载火箭将飞船送入近 地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道上，B 点距离地面高度为h ， 地球的中心位于椭圆的一个焦点上．“天宫一号”飞行几周后 进行变轨，进入预定圆轨道，如图5所示．已知“天宫一号”图5在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，万有引力常量为G ，地球半径为R .则下列说法正确的是( )A ．“天宫一号”在椭圆轨道的B 点的向心加速度大于在预定圆轨道的B 点的向心加速度 B ．“天宫一号”从A 点开始沿椭圆轨道向B 点运行的过程中，机械能守恒C ．“天宫一号”从A 点开始沿椭圆轨道向B 点运行的过程中，动能先减小后增大D ．由题中给出的信息可以计算出地球的质量M ＝R ＋h 34π2n 2Gt 2答案 BD 解析 在B 点，由GMmr 2＝ma 知，无论在哪个轨道上的B 点，其向心加速度相同，A 项错；“天宫一号”在椭圆轨道上运行时，其机械能守恒，B 项对；“天宫一号”从A 点开始沿椭圆轨道向B 运行中，动能一直减小，C 项错；对“天宫一号”在预定圆轨道上运行，有GMmR ＋h2＝m (R ＋h )4π2T 2，而T ＝t n ，故M ＝R ＋h34π2n2Gt 2，D 项对．考点四 宇宙速度的理解与计算1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度． 2．第一宇宙速度的求法：(1)GMm R 2＝m v21R，所以v 1＝GMR. (2)mg ＝mv21R，所以v 1＝gR .3．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．例5 2012年6月16日，“神舟九号”宇宙飞船搭载3名航天员飞天，并于6月18日14∶00与“天宫一号”成功对接．在发射时，“神舟九号”宇宙飞船首先要发射到离地面很近的圆轨道，然后经过多次变轨后，最终与在距地面高度为h 的圆形轨道上绕地球飞行的“天宫一号”完成对接，之后，整体保持在距地面高度仍为h 的圆形轨道上绕地球继续运行．已知地球半径为R ，地面附近的重力加速度为g .求： (1)地球的第一宇宙速度；(2)“神舟九号”宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度与对接后整体的运行速度之比．解析 (1)设地球的第一宇宙速度为v ，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：G Mm R 2＝m v 2R在地面附近G MmR2＝mg 联立解得v ＝gR .(2)根据题意可知，设“神舟九号”宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度为v 1v 1＝v ＝gR对接后，整体的运行速度为v 2，根据万有引力定律和牛顿第二定律得GMmR ＋h2＝m v22R ＋h，解得v 2＝gR 2R ＋h，所以v 1∶v 2＝ R ＋hR. 答案 (1)gR (2)R ＋hR突破训练5 宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h 处释放，经时间t 落到月球表面(设月球半径为R )．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( )A.2Rh tB.2RhtC.Rh tD.Rh 2t答案 B解析 设在月球表面处的重力加速度为g 则h ＝12gt 2，所以g ＝2h t2飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动时有mg ＝m v 2R所以v ＝gR ＝2hRt2＝2Rht，选项B 正确.22．双星系统模型问题的分析与计算1．双星系统模型的特点：(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等． (2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等；(3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即r 1＋r 2＝L . 2．双星系统模型的三大规律： (1)双星系统的周期、角速度相同． (2)轨道半径之比与质量成反比．(3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关．例6 如图6所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在 引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中 心之间的距离为L .已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧．引力常量为G .(1)求两星球做圆周运动的周期；图6(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T 2.已知地球和月球的质量分别为 5.98×1024kg 和7.35×1022kg.求T 2与T 1两者平方之比．(结果保留3位小数)解析 (1)设两个星球A 和B 做匀速圆周运动的轨道半径分别为r 和R ，相互作用的万有引力大小为F ，运行周期为T .根据万有引力定律有：F ＝G MmR ＋r2①由匀速圆周运动的规律得F ＝m (2πT )2r② F ＝M (2πT)2R③ 由题意有L ＝R ＋r④ 联立①②③④式得T ＝2πL 3G M ＋m⑤(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O 不在地心，由题意知，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出T 1＝2πL ′3G M ′＋m ′⑥式中，M ′和m ′分别是地球与月球的质量，L ′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则GM ′m ′L ′2＝m ′(2πT 2)2L ′ ⑦式中，T 2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得T 2＝2πL ′3GM ′ ⑧由⑥⑧式得(T 2T 1)2＝1＋m ′M ′代入题给数据得(T 2T 1)2＝1.012 答案 (1)2πL 3G M ＋m(2)1.012突破训练6 (2012·重庆·18)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O 点运动的( )A ．轨道半径约为卡戎的17B ．角速度大小约为卡戎的17C ．线速度大小约为卡戎的7倍D ．向心力大小约为卡戎的7倍 答案 A解析 本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m 1、r 1、v 1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m 2、r 2、v 2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做匀速圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B 、D 均错；由Gm 1m 2L 2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2(L 为两星间的距离)，因此r 1r 2＝m 2m 1＝17，v 1v 2＝ωr 1ωr 2＝m 2m 1＝17，故A 对，C 错.高考题组1．(2012·广东理综·21)如图7所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若 飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于 在轨道1上，飞船在轨道2上的( )A ．动能大B ．向心加速度大图7C ．运行周期长D ．角速度小 答案 CD解析 飞船绕中心天体做匀速圆周运动，其万有引力提供向心力，即F 引＝F 向，所以GMm r 2＝ma 向＝mv 2r ＝4π2mr T 2＝mrω2，即a 向＝GM r 2，E k ＝12mv 2＝GMm 2r，T ＝4π2r3GM，ω＝GMr 3(或用公式T ＝2πω求解)．因为r 1<r 2所以E k1>E k2，a 向1>a 向2，T 1<T 2，ω1>ω2，选项C 、D 正确． 2．(2012·北京·18)关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是( )A ．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期B ．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率C ．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同D ．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 答案 B解析 根据开普勒第三定律，a 3T2＝恒量知，当圆轨道的半径R 与椭圆轨道的半长轴a 相等时，两卫星的周期相等，故选项A 错误；卫星沿椭圆轨道运行且从近地点向远地点运行时，万有引力做负功，根据动能定理知，动能减小，速率减小；从远地点向近地点移动时动能增加，速率增大，且两者具有对称性，故选项B 正确；所有同步卫星的运行周期相等，根据G Mm r2＝m (2πT)2r 知，同步卫星轨道的半径r 一定，故选项C 错误；根据卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，可知卫星运行的轨道平面过某一地点时，轨道平面必过地心，但轨道平面不一定重合，故北京上空的两颗卫星的轨道平面可以不重合，选项D 错误．3．(2012·山东理综·15)2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R 1、R 2，线速度大小分别为v 1、v 2.则v 1v 2等于( ) A.R31R32 B. R 2R 1C.R22R 21D.R 2R 1答案 B解析 “天宫一号”运行时所需的向心力由万有引力提供，根据G Mm R 2＝mv 2R 得线速度v ＝GM R ，所以v 1v 2＝ R 2R 1，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误． 4．(2011·北京理综·15)由于通信和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的( )A ．质量可以不同B ．轨道半径可以不同C ．轨道平面可以不同D ．速率可以不同答案 A解析 同步卫星运行时，万有引力提供向心力，GMm r 2＝m 4π2T 2r ＝m v 2r ，故有r 3T 2＝GM4π2，v ＝GMr，由于同步卫星运行周期与地球自转周期相同，故同步卫星的轨道半径大小是确定的，速度v 也是确定的，同步卫星的质量可以不同．要想使卫星与地球自转同步，轨道平面一定是赤道平面．故只有选项A 正确． 模拟题组5．如图8所示，某颗天文卫星飞往距离地球约160万千米的 第二拉格朗日点(图中L 2)，L 2点处在太阳与地球连线的外 侧，在太阳和地球引力的共同作用下，卫星在该点能与地 球同步绕太阳运动(视为圆周运动)，且时刻保持背对太阳 和地球的姿势，不受太阳的干扰而进行天文观测．不考虑图8其他星球影响，下列关于工作在L 2点的天文卫星的说法中正确的是( )A ．将它从地球上发射到L 2点的发射速度大于7.9 km/sB ．它绕太阳运行的周期比地球绕太阳运行的周期长C ．它绕太阳运行的线速度比地球绕太阳运行的线速度大D ．它绕太阳运行的向心加速度比地球绕太阳运行的向心加速度大 答案 ACD解析 卫星的发射速度一定大于7.9 km/s ，选项A 对．由于卫星和地球同步，因此它们的周期相同，角速度ω相同，由v ＝rω知，v 卫>v 地，选项C 对，B 错．由a ＝rω2知选项D 对．6．国防科技工业局在2012年7月30日宣布，“嫦娥三号”将于2013年下半年择机发射．我国已成功发射了“嫦娥二号”探月卫星，该卫星在环月圆轨道绕行n 圈所用的时间为t ；月球半径为R 0，月球表面处重力加速度为g 0.(1)请推导出“嫦娥二号”卫星离月球表面高度的表达式；(2)地球和月球的半径之比为RR 0＝4，表面重力加速度之比为g g 0＝6，试求地球和月球的密度之比．答案 (1) 3g 0R 20t 24π2n 2－R 0 (2)32解析 (1)由题意知，“嫦娥二号”卫星的周期为T ＝t n设卫星离月球表面的高度为h ，由万有引力提供向心力得：GMm R 0＋h2＝m (R 0＋h )(2πT)2又：GMm ′R20＝m ′g 0 联立解得：h ＝ 3g 0R 20t24π2n2－R 0(2)设星球的密度为ρ，由GMm ′R2＝m ′g 得GM ＝gR 2ρ＝M V ＝M 43πR3联立解得：ρ＝3g4G πR设地球、月球的密度分别为ρ0、ρ1，则：ρ0ρ1＝g ·R 0g 0·R将R R 0＝4，g g 0＝6代入上式，解得：。

2024年二轮总复习物理（江苏）04 热点练四万有引力定律及其应用1.牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足。

已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（）A．B．C．D．2.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站。

如图所示，关闭发动机的航天飞机在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆轨道的近月点B处与空间站对接。

已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G。

那么以下选项正确的是（）A．航天飞机在由A处飞向B处时做减速运动B．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须加速C．月球的质量为M =D．月球的第一宇宙速度为v =3. 2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，两个航天乘组首次实现“胜利会师”留下一张足以载入史册的太空合影。

中国空间站距离地面约400km，其重力加速度为g。

设空间站围绕地球做匀速圆周运动，航天员在空间站受的重力为G、绕地球运动向心加速度为a，周期为T，速度为v。

下列说法正确的是（）A．B．C．D．4.如图为地球的三个卫星轨道，II为椭圆轨道，其半长轴为a，周期为T，I、III为圆轨道，且III的半径与II的半长轴相等，III与II相交于M点，I与II相切于N点，三颗不同的卫星A、B、C分别运行在轨道I、II、III上，已知引力常量为G，则（）A．由题中条件可求得地球质量B．B、C在M点的向心加速度大小相等C．A、B经过N点时的所受地球引力相同D．A、B与地心的连线在相等时间内扫过的面积相等5.如图所示，某卫星绕地球做椭圆轨道运动，轨道的半长轴为a，卫星运行周期为T，卫星在近地点A处的速度为v、与地球中心距离为b，卫星质量为m，地球质量为M，万有引力常量为G。

则（）A．卫星经过A点时的速度最小B．卫星从A到C的过程中机械能保持不变C．与地球和卫星的质量都有关D．卫星在A处满足关系6. 2023年1月21日，神舟十五号3名航天员在400km高的空间站向祖国人民送上新春祝福，空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道Ⅰ，设地球表面重力加速度为g，地球半径为R，椭圆轨道Ⅱ为载人飞船运行轨道，两轨道相切于A点，下列说法正确的是（）A．在A点时神舟十五号经过点火加速才能从轨道Ⅰ进入轨道ⅡB．飞船在A点的加速度小于空间站在A点的加速度C．空间站在轨道Ⅰ上的速度小于D．轨道Ⅰ上的神舟十五号飞船想与前方的空间站对接，只需要沿运动方向加速即可7.天文观测发现，天狼星A与其伴星B是一个双星系统。

万有引力与航天限时训练学科物理命题人月日一．选择题（每题5分，共60分）1.有关开普勒关于行星运动的描述，下列说法中正确的是( )A．所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上B．所有的行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上C．所有的行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等D．不同的行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的2.下列说法符合史实的是（）A．牛顿发现了行星的运动规律 B．开普勒发现了万有引力定律C．卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量 D．牛顿发现了海王星和冥王星3.设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期是T，万有引力常量G已知，根据这些数据，能够求出的物理量有( )A. 土星线速度的大小 B．土星加速度的大小C．土星的质量 D. 太阳的质量4.关于环绕地球运转的人造地球卫星，有如下几种说法，其中正确的是（）A．轨道半径越大，速度越小，周期越长 B．轨道半径越大，速度越大，周期越短C．轨道半径越大，速度越大，周期越长 D．轨道半径越小，速度越小，周期越长5.可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（）A、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的6．a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造卫星。

说法中正确的是（）A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B．b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度C．b、c运行周期相同，且小于a的运行周期D．由于某种原因，a的轨道半径缓慢减小，a的线速度将变大7．下面关于同步通信卫星的说法中不正确的是 （ ） A ．同步通信卫星和地球自转同步卫星的高度和速率都是确定的B ．同步通信卫星的角速度虽已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大;高度降低，速率减小，仍同步C ．我国发射第一颗人造地球卫星的周期是114 min ，比同步通信卫星的周期短，所以第一颗人造卫星离地面的高度比同步通信卫星的低D ．同步通信卫星的速率比我国发射的第一颗人造地球卫星的速率小8．已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，一颗离地面高度为R 的人造地球卫星 绕地球做匀速圆周运动，则 （ ）A.卫星的加速度大小为g 21B.卫星的线速度大小为gR 221C.卫星的角速度为Rg 241 D.卫星的周期为g R22π9．两个行星各有一个卫星沿其表面运行，已知两行星密度之比为4∶1；两行星半径之 比为2∶1，则下面的说法中正确的是（ ）①两个卫星的周期之比为1∶2， ②两行星质量之比为16∶1 ③两行星表面处重力加速度之比为8∶1 ④两卫星的速率之比为4∶1 A ．①③④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①②10.同步卫星离地心的距离为，运行速度为，加速度，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度第一宇宙速度为，地球的半径为，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动，其轨道半径为R ，线速度为v ，周期为T ，要使卫星周期变成2T ，可能的办法是 （ ）A ．R 不变，使线速度变为v/2B ．v 不变，使轨道半径变为2RC ．轨道半径变为R 34D ．速度、轨道半径都加倍r 1V 1a 2a 2V R Rr a a =21rR a a =21rR V V =212221r R V V =1 23••Q12．假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则下列说法正确的是 （ ） ①根据公式v =ωr ，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍 ②根据公式F ＝mv 2/r ，可知卫星所需的向心力将减小到原来的1/2 ③根据公式F ＝GMm /r 2，可知地球提供的向心力将减小到原来的1/4④根据上述②和③给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的2/2 A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④１3、 人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球的半径为R ，地面处的重力加速度为g ，则人造卫星： ( ) A ．绕行的最大线速度为B ．绕行的最小周期为C ．在距地面高为R 处的绕行速度为D ．在距地面高为R 处的周期为14.发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后在圆轨道1的Q 点经点火使卫星沿椭圆轨道2运行，待卫星到椭圆轨道2上距地球最远点P 处，再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，如图所示．则卫星在轨道1、2和3上正常运行时，有 ( ) A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C ．卫星在轨道1上经Q 点的加速度等于它在轨道2上经Q 点的加速度D ．卫星在轨道2上运行时经过P 点的加速度跟经过Q 点的加速度相等15. 我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。

专题分层突破练4 万有引力定律及其应用A组基础巩固练1.(2024江苏卷)设想将来放射一颗人造卫星,能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行,该轨道可视为圆轨道。

该卫星与月球相比,肯定相等的是()A.质量B.向心力大小C.向心加速度大小D.受到地球的万有引力大小2.(2024山东卷)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引,这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质,且都满意F∝。

已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍,地球表面的重力加速度为g,依据牛顿的猜想,月球绕地球公转的周期为()A.30πB.30πC.120πD.120π3.(2024广西柳州三模)北斗三号全球卫星导航系统由中圆轨道(轨道半径约28 000 km)卫星、地球静止同步轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星(两种卫星轨道半径相等,均约为42 000 km)组成,则()A.倾斜地球同步轨道卫星和地球静止同步轨道卫星周期不相等B.北斗三号导航系统全部卫星绕地球运行的线速度均小于7.9 km/sC.倾斜地球同步轨道卫星能定点北京上空并与北京保持相对静止D.中圆轨道卫星线速度约为地球静止同步轨道卫星线速度的1.5倍4.(2024湖北卷)2024年5月,我国胜利完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接,形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动,周期约90 min。

下列说法正确的是()A.组合体中的货物处于超重状态B.组合体的速度大小略大于第一宇宙速度C.组合体的角速度大小比地球同步卫星的大D.组合体的加速度大小比地球同步卫星的小5.(2024江西赣州一模)我国将卫星“夸父一号”胜利送入太阳同步晨昏轨道,从宇宙中看,卫星一方面可视为绕地球做匀速圆周运动,轨道平面与地球的晨昏分界线共面,卫星轨道离地高度h=720 km,周期T1=100 min;另一方面卫星随地球绕太阳做匀速圆周运动,周期T2=1年。

卫星轨道平面能保持垂直于太阳光线,如图所示。

专题强化练(四)考点1 天体质量的计算1．(2018·北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )A ．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1602B ．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1602C ．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的16D ．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的160解析：月球受到的万有引力F 月＝GMM 月（60R ）2，苹果受到的万有引力F ＝GMmR 2，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A 错误；月球公转的加速度a 月＝GM （60R ）2，苹果落地的加速度a ＝GM R 2，则a 月＝1602a ，故B 正确；由于月球本身的半径未知，故无法求出月球表面和地面重力加速度的关系，故C 、D 错误．答案：B2．(2018·济宁模拟)如图所示，人造卫星P (可视为质点)绕地球做匀速圆周运动．在卫星运动轨道平面内，过卫星P 作地球的两条切线，两条切线的夹角为θ，设卫星P 绕地球运动的周期为T ，线速度为v ，引力常量为G .下列说法正确的是( )A ．θ越大，T 越大B ．θ越小，v 越大C ．若测得T 和θ，则地球的平均密度为ρ＝3πGT 2⎝⎛⎭⎪⎫tan θ23D ．若测得T 和θ，则地球的平均密度为ρ＝3πGT 2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ23解析：地球半径不变，夹角θ越大，卫星的轨道半径越小，则T 就越小，A 错误；夹角θ越小，卫星的轨道半径越大，v 就越小，B 错误；若测得T 和θ，由万有引力充当向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，求得地球的质量M ＝4π2r 3GT 2，地球的体积V ＝43πR 3，由几何关系得R r ＝sin θ2，联立解得ρ＝3πGT 2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ23，C 错误，D 正确．答案：D考点2 卫星运行参数的分析3．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与“天宫二号”单独运行时相比，组合体运行的( )A ．周期变大B ．速率变大C ．动能变大D ．向心加速度变大解析：组合体比天宫二号质量大，轨道半径R 不变，根据GMm R 2＝m v 2R，可得v ＝GMR，可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B 项错误；又T ＝2πRv，则周期T 不变，A 项错误；质量变大、速率不变，动能变大，C 项正确；向心加速度a ＝GM R2不变，D 项错误．答案：C4．(2019·广州模拟)2018年2月2日15时51分我国第一颗电磁检测试验卫星“张衡一号”成功发射，使我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g ，假设一颗距离地面高度为2R 的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动．下列关于卫星运动的说法正确的是( )A ．线速度的大小为 gR2B ．角速度为 g27RC ．加速度大小为g4D ．周期为6πR g解析：在地球表面重力与万有引力相等有：Gm 0M R2＝m 0g 可得GM ＝gR 2.距地面高度为2R 的人造卫星的轨道半径为3R ，由万有引力提供圆周运动的向心力有：G mM （3R ）2＝m v 23R＝m ·3Rω2＝m ·3R4π2T2＝ma ，可得线速度v ＝GM3R＝ gR3，角速度ω＝GM 27R3＝ g27R，加速度a ＝GM 9R 2＝19g ，周期为T ＝ 4π2·27R3GM＝6π3Rg.故B 正确，A 、C 、D 错误．答案：B5．(2018·郑州模拟)中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统．预计2020年左右，北斗卫星导航系统将形成全球覆盖能力．如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a 、b 、c 三颗卫星均做圆周运动，a 是地球同步卫星，则( )A ．卫星a 的角速度小于c 的角速度B ．卫星a 的加速度大于b 的加速度C ．卫星a 的运行速度大于第一宇宙速度D ．卫星b 的周期大于24 h解析：a 的轨道半径大于c 的轨道半径，因此卫星a 的角速度小于c 的角速度，选项A 正确；a 的轨道半径与b 的轨道半径相等，因此卫星a 的加速度等于b 的加速度，选项B 错误；a 的轨道半径大于地球半径，因此卫星a 的运行速度小于第一宇宙速度，选项C 错误；a 的轨道半径与b 的轨道半径相等，卫星b 的周期等于a 的周期，为24 h ，选项D 错误．答案：A6．(2019·江淮十校联考)理论研究表明地球上的物体速度达到第二宇宙速度11.2 km/s 时，物体就能脱离地球，又知第二宇宙速度是第一宇宙速度的2倍．现有某探测器完成了对某未知星球的探测任务悬停在该星球表面．通过探测到的数据得到该星球的有关参量：(1)其密度基本与地球密度一致；(2)其半径约为地球半径的2倍．若不考虑该星球自转的影响，欲使探测器脱离该星球，则探测器从该星球表面的起飞速度至少约为( )A ．7.9 km/sB ．11.2 km/sC ．15.8 km/sD ．22.3 km/s解析：根据G Mm R 2＝m v 2R ，其中的M ＝43πR 3ρ，解得v ＝43πGR 2ρ ∝R ，因R 星＝2R 地，可知星球的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的2倍，即7.9×2 km/s ，则欲使探测器脱离该星球，则探测器从该星球表面的起飞速度至少约为2×7.9×2 km/s ≈22.3 km/s ，故选项D 正确．答案：D7.如图所示，A 、B 是绕地球做匀速圆周运动的两颗卫星，A 、B 两卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为k ，不计A 、B 两卫星之间的引力，则A 、B 两卫星的周期之比为( )A ．k 3B ．k 2C ．kD ．k 23解析：设卫星绕地球做圆周运动的半径为r ，周期为T ，则在t 时间内与地心连线扫过的面积为S ＝t T πr 2，即S A S B ＝r 2A T B r 2B T A ＝k ，根据开普勒第三定律可知r 3A T 2A ＝r 3BT 2B ，联立解得T A T B＝k 3，A 正确．答案：A8．(多选)(2019·潍坊模拟)如图所示，A 表示地球同步卫星，B 为运行轨道比A 低的一颗卫星，C 为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C 的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较．下列关系式正确的是( )A ．vB ＞v A ＞vC B ．ωA ＞ωB ＞ωC C ．F A ＞F B ＞F CD ．T A ＝T C ＞T B解析：A 为地球同步卫星，故ωA ＝ωC ，根据v ＝ωr 可知，v A ＞v C ，再根据G Mm r 2＝m v 2r得到v ＝GMr，可见v B ＞v A ，所以三者的线速度关系为v B ＞v A ＞v C ，故选项A 正确；由同步卫星的含义可知T A ＝T C ，再由G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，可知T A ＞T B ，因此它们的周期关系为T A ＝T C ＞T B ，由ω＝2πT 可知它们的角速度关系为ωB ＞ωA ＝ωC ，所以选项D 正确，B 错误；由F ＝G Mmr2可知F A ＜F B ＜F C ，所以选项C 错误．答案：AD9．(2019·泰安质检)天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗星称为双星．若某双星的质量分别为M 、m ，间距为L ，双星各自围绕其连线上的某点O 做匀速圆周运动，其角速度分别为ω1、ω2，质量为M 的恒星轨道半径为R ，已知引力常量为G ，则描述该双星运动的上述物理量满足( )A ．ω1＜ω2B ．ω1＞ω2C ．GM ＝ω22(L －R )L 2D ．Gm ＝ω21R 3解析：双星系统中两颗星的角速度相同，ω1＝ω2，则A 、B 项错误；由GMm L2＝mω22(L －R )，得GM ＝ω22(L －R )L 2，C 项正确；由GMm L2＝Mω21R ，得Gm ＝ω21RL 2，D 项错误． 答案：C10．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每颗星的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G .关于宇宙四星系统，下列说法错误的是( )A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ．四颗星的轨道半径均为a2C ．四颗星表面的重力加速度均为Gm R2 D ．四颗星的周期均为2πa2a （4＋2）Gm解析：四星系统的其中一颗星受到其他三颗星的万有引力作用，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为22a ，故A 正确，B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得Gmm ′R 2＝m ′g ，解得g ＝GmR2，故C 正确；由万有引力定律和向心力公式得Gm 2（2a ）2＋2Gm2a2＝m4π2T2·2a2，T ＝2πa2a （4＋2）Gm ，故D 正确．答案：B考点3 卫星变轨问题11．(多选)(2019·唐山模拟)如图所示，地球卫星a 、b 分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行，椭圆轨道在远地点A 处与圆形轨道相切，则( )A ．卫星a 的运行周期比卫星b 的运行周期短B ．两颗卫星分别经过A 点处时，a 的速度大于b 的速度C ．两颗卫星分别经过A 点处时，a 的加速度小于b 的加速度D ．卫星a 在A 点处通过加速可以到圆轨道上运行解析：由于卫星a 的运行轨道的半长轴比卫星b 的运行轨道半径短，根据开普勒定律，卫星a 的运行周期比卫星b 的运行周期短，选项A 正确；两颗卫星分别经过A 点处时，a 的速度小于b 的速度，选项B 错误；两颗卫星分别经过A 点处，a 的加速度等于b 的加速度，选项C 错误；卫星a 在A 点处通过加速可以到圆轨道上运行，选项D 正确．答案：AD12．(多选)(2018·常州模拟)中国志愿者王跃参与人类历史上第一次全过程模拟从地球往返火星的一次实验“火星－500”活动，王跃走出登陆舱，成功踏上模拟火星表面，在火星上首次留下中国人的足迹．假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则下列说法中正确的是( )A ．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P 点速度大于在Q 点的速度B ．飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于在轨道Ⅱ上运动的机械能C ．飞船在轨道Ⅰ上运动到P 点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P 点时的加速度D ．飞船绕火星在轨道Ⅰ上的运动周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样半径运动的周期相同解析：由飞船在轨道Ⅱ上运动时机械能守恒可知，飞船在P 点速度大于在Q 点的速度，A 正确；飞船从轨道Ⅰ加速过渡到轨道Ⅱ，所以飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能小于在轨道Ⅱ上运动的机械能，B 错误；飞船在空间同一点所受万有引力相同，所以飞船在轨道Ⅰ上运动到P 点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P 点时的加速度，C 正确；由G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 可知，M 不同，则T 不同，故飞船绕火星在轨道Ⅰ上的运动周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样半径运动的周期不相同，D 错误．答案：AC。

热点拔高练(四)万有引力与航天一、单项选择题1.天文观测发现,天狼星A与其伴星B是一个双星系统。

它们始终绕着O点在两个不同椭圆轨道上运动,如图所示,实线为天狼星A的运行轨迹,虚线为其伴星B的轨迹,则(C)A.A的运行周期小于B的运行周期B.A的质量小于B的质量C.A的加速度总是小于B的加速度D.A与B绕O点的旋转方向可能相同,可能相反2.“祝融”火星车由着陆平台搭载着陆火星,如图所示为着陆后火星车与着陆平台分离后的“自拍”合影。

着陆火星的最后一段过程为竖直方向的减速运动,且已知火星质量约为地球质量的1 10,火星直径约为地球直径的12。

则(C)A.该减速过程火星车处于失重状态B.该减速过程火星车对平台的压力大于平台对火星车的支持力C.火星车在火星表面所受重力约为其在地球表面所受重力的25D.火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比约为153.宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为L。

忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,引力常量为G。

下列说法正确的是(C)A.每颗星做圆周运动的线速度为√3GmL3B.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C .若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍,则周期变为原来的2倍D .若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍,则线速度变为原来的2倍4.如图所示,一颗卫星与同步卫星在同一轨道面内,运行方向相同,其轨道半径为同步卫星轨道半径的二分之一,地球自转的周期为T 。

从该卫星与同步卫星距离最近的位置开始计时,到第一次两卫星连线与该卫星轨道相切所经历的时间为(B)A.(2√2+1)T 84 B.(2√2+1)T 42 C.(2√2-1)T 42 D.(2√2-1)T 84二、多项选择题5.嫦娥五号探测器在月球着陆前,沿不同的轨道绕月球做匀速圆周运动并在距离月球表面H 处有一次悬停,对障碍物和坡度进行识别,自主避障。

专项5 万有引力定律与航天一、单项选择题1．[2022·全国乙卷]2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km 的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课．通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们 ( )A ．所受地球引力的大小近似为零B ．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零C ．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等D ．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小2．[2023·新课标卷]2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg 的物资进入距离地面约400km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动．对接后，这批物资( )A ．质量比静止在地面上时小B ．所受合力比静止在地面上时小C ．所受地球引力比静止在地面上时大D ．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大3．[2022·广东卷]“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季．假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍．火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动．下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )A ．火星公转的线速度比地球的大B ．火星公转的角速度比地球的大C ．火星公转的半径比地球的小D ．火星公转的加速度比地球的小4．[2022·山东卷]“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星．如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直．卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A 点正上方，恰好绕地球运行n 圈．已知地球半径为地轴R ，自转周期为T ，地球表面重力加速度为g ，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )A ．(gR 2T22n 2π2)13－R B ．(gR 2T22n 2π2)13C ．(gR 2T 24n 2π2)13－RD ．(gR 2T 24n 2π2)135．[2023·湖南卷]根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星．恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞．设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快．不考虑恒星与其它物体的相互作用．已知逃逸速度为第一宇宙速度的2倍，中子星密度大于白矮星．根据万有引力理论，下列说法正确的是( )A ．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同B ．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大C ．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变D ．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度6．2021年5月15日7时18分，我国发射的“祝融号”火星车从火星上发回遥测信号确认，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．火星探测器“天问一号”着陆前通过测试得到，围绕火星做匀速圆周运动的小天体的速度的平方v 2与小天体到火星表面的距离x 的关系如图所示，图线纵坐标截距为a .若将火星看作质量分布均匀、半径为R 的球体，不考虑火星自转，则到火星表面距离为R 、做匀速圆周运动的卫星的速度大小为( )A ．2a 2B ．a C ．2a D ．2a 47．[2023·辽宁卷]在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示．若月球绕地球运动的周期为T 1，地球绕太阳运动的周期为T 2，地球半径是月球半径的k 倍，则地球与太阳的平均密度之比约为( )A ．k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫T 1T 22B ．k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 12C ．1k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫T 1T 22D ．1k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 12二、多项选择题8．如图所示，图中a 、b 、c 分别为中国首颗太阳探测科学技术试验卫星“羲和号”、中国空间站和地球同步卫星．“羲和号”运行于高度为517km 的太阳同步轨道，沿极地附近圆形轨道绕地球运行，中国空间站运行于高度约为389km 、倾角为41.581°的轨道平面(可近似为圆面)，地球同步卫星运行于高度大约为36000km 的赤道平面．则( )A ．a 的向心加速度比c 的大B ．a 、b 所受到的地球万有引力大小相等C ．三者轨道半径的三次方与周期的二次方比值都不相等D ．a 的周期比c 的小9．[2022·湖南卷]如图，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍．地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行．当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日．忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是( )A ．火星的公转周期大约是地球的827倍 B ．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行 C ．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行 D ．在冲日处，火星相对于地球的速度最小10．由于金星有非常厚的大气层(主要成分是二氧化碳)，又有酸雨层，所以金星探测器登陆成功率非常低，即便勉强在金星表面着陆，探测器“生存”时间也很短．假设从地球发射一颗金星探测器，其运行过程简化图如图所示，探测器先脱离地球束缚成为和地球同轨道运行的“人造小行星”，然后通过速度调整进入椭圆转移轨道，经椭圆转移轨道由A 点到达金星轨道B 点，若金星和地球都绕太阳做匀速圆周运动，太阳质量为M ，探测器质量为m ，太阳与探测器间距离为r ，则探测器的引力势能公式为E p ＝－GMmr.已知椭圆转移轨道分别与地球轨道、金星轨道相切于A 、B 两点，且A 、B 连线恰好为椭圆的长轴，地球轨道半径为r A 、公转周期为T A ，金星轨道半径为r B ，公转周期为T B ，引力常量为G .忽略除太阳外其他天体对探测器的影响，不计探测器的质量变化，则( )A ．探测器在地球轨道上的A 点比在金星轨道上的B 点处向心加速度大 B ．探测器从地球轨道经转移轨道到达金星轨道的最短时间为t ＝T A2⎝ ⎛⎭⎪⎫r A ＋r B 2r A 3C ．探测器在转移轨道B 点的速度大小为v B ＝2r A GMr B （r A ＋r B ）D ．探测器在地球轨道的机械能比在金星轨道的机械能小 11.[2023·福建省测评]某天文爱好者在观测某行星时，测得绕该行星的卫星做圆周运动的半径r 的三次方与运动周期T的平方满足如图所示的关系，图中a 、b 、R 已知，且R 为该行星的半径．(1)求该行星的第一宇宙速度；(2)若在该行星上高为h 处水平抛出一个物体，落到行星表面时水平位移也为h ，则抛出的初速度为多大？专项5 万有引力定律与航天1．解析：万有引力F ＝G Mm r2，航天员受万有引力，且万有引力提供向心力，航天员所受合力不为零，地表处r 较小，航天员在地表处所受万有引力大于在飞船上所受的万有引力，航天员在飞船上所受地球引力，约等于随飞船运动所需的向心力，所以A 、B 、D 错误，C 正确．答案：C 2．解析：质量是物体的一个基本属性，由物体本身决定，与其所处位置、状态均无关，A 错误；物资所受地球引力的大小F ＝G Mm r2，物资静止在地面时到地心的距离为地球半径，物资与空间站对接后，到地心的距离大于地球半径，故其所受地球引力比静止在地面上时小，C 错误；空间站轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，由开普勒第三定律可知，物资做圆周运动的周期小于地球同步卫星的周期，所以物资做圆周运动的角速度一定大于地球自转角速度，D 正确；物资所受合力即为其做圆周运动的向心力，由向心力公式F ＝mω2r 可知，对接后物资所受合外力比静止在地面上时的大，B 错误．答案：D3．解析：根据题述，火星冬季时长为地球的1.88倍，可知火星绕太阳运动的周期是地球的1.88倍，由开普勒第三定律可知，火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径比地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径大，C 项错误；由万有引力提供向心力有G Mm r 2＝m v 2r ，解得v ＝GM r ，由r 火>r 地可得v 火<v 地，A 项错误；由万有引力提供向心力有G Mm r2＝mω2r ，解得ω＝GM r 3，由r 火>r 地可得ω火<ω地，B 项错误；由万有引力提供向心力有G Mmr2＝ma ，解得a ＝GMr2，由r 火>r 地可得a 火<a 地，D 项正确．答案：D4．解析：依题意可知卫星的绕行周期T 0＝T n ，对卫星根据牛顿第二定律可得G Mm（R ＋h ）2＝m （R ＋h ）·4π2T 20，根据黄金代换式gR 2＝GM ，联立解得h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫gR 2T 24n 2π213－R ，C 正确．答案：C5．解析：恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供重力加速度，其他位置万有引力的一个分力提供向心力，另外一个分力提供重力加速度，A 错误；恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式F 万＝GMmR 2可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大，B 正确；由第一宇宙速度物理意义可得GMm R 2＝m v 2R整理得v ＝GMR恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C 错误； 由质量分布均匀球体的质量表达式M ＝4π3R 3ρ得R ＝33M 4πρ已知逃逸速度为第一宇宙速度的2倍，则v ′＝2v ＝2GMR联立整理得v ′2＝2v 2＝2GMR ＝2G 34πρM 23由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，结合上式表达式可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D 错误．故选B. 答案：B6．解析：根据G Mm （R ＋x ）2＝m v 2R ＋x可得当x ＝0时则v 2＝a ，即GMR＝a 到火星表面距离为R 、做匀速圆周运动，卫星GMm （2R ）2＝m v 22R解得v ＝2a2，故选A. 答案：A7．解析：设月球绕地球运动的轨道半径为r 1，地球绕太阳运动的轨道半径为r 2，根据G Mm r 2＝m 4π2T2r 可得G m 地m 月r 21 ＝m 月4π2T 21r 1 G m 地m 日r 22 ＝m 地4π2T 22r 2 其中r 1r 2＝R 月R 日＝R 地kR 日 ρ＝m43πR 3联立可得ρ地ρ日＝1k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 12故选D. 答案：D8．解析：a 、b 、c 均绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据G Mm r2＝ma n ，解得a n ＝GM r2，由于a 的轨道半径比c 的小，所以a 的向心加速度比c 的大，选项A 正确；根据万有引力定律可知万有引力F ＝G Mm r2，由于a 、b 的质量未知，所以无法比较a 、b 所受到的地球万有引力大小，选项B 错误；由于a 、b 、c 均绕地球做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律r 3T2＝k ，可知a 、b 、c 轨道半径的三次方与周期的二次方比值都相等，选项C 错误；根据开普勒第三定律及a 的轨道半径小于c 的可知a 的周期比c 的小，选项D 正确．答案：AD9．解析：由开普勒第三定律可知，由于火星轨道半径大于地球轨道半径，所以火星公转周期一定大于地球公转周期（也可根据r 3地 T 2地 ＝r 3火T 2火 ，r 火≈1.5r 地，得出T 火＝278T 地），A 项错误；火星与地球均绕太阳做匀速圆周运动，即G Mm r 2＝m v 2r，解得v ＝GMr，所以火星公转速度小于地球公转速度，因此在冲日处，地球上的观测者观测到火星相对于地球由东向西运动，为逆行，B 项错误、C 项正确；火星和地球运行的线速度大小不变，且在冲日处，地球与火星速度方向相同，故此时火星相对于地球的速度最小，D 项正确．答案：CD10．解析：探测器在各圆周轨道上运行时，受万有引力作用，由万有引力提供向心力有G Mm r 2＝ma n ，则a n ＝GMr2，探测器在地球轨道上的A 点和在金星轨道上的B 点处有r A >r B ，所以探测器在地球轨道上的A 点比在金星轨道上的B 点处向心加速度小，选项A 错误；探测器沿转移轨道从A 点到B 点的最短时间为半个椭圆运动周期，即t ＝T2，根据开普勒第三定律有a 3T2＝r 3A T 2A，又因为a ＝r A ＋r B 2，联立解得t ＝T A2⎝ ⎛⎭⎪⎫r A ＋r B 2r A 3，选项B 正确；由开普勒第二定律可知，在转移轨道上有v A r A ＝v B r B ，又因为探测器在转移轨道上A 点的机械能与B 点的机械能相等，故有12mv 2A －GMm r A ＝12mv 2B －GMmr B，联立可得v B ＝2r A GMr B （r A ＋r B ），选项C 正确；探测器在圆周轨道上由万有引力提供向心力，故有GMm r 2＝m v 2r ，即v ＝GM r，所以探测器的机械能为E k ＋E p ＝12mv 2－GMm r ＝－GMm2r，故圆周轨道半径越大，机械能越大，探测器在地球轨道的机械能比在金星轨道的机械能大，选项D 错误． 答案：BC11．答案：（1）2πa bR （2）πR2ahb解析：（1）卫星在轨运行时，根据牛顿第二定律G Mm r 2＝mr （2πT ）2 由图像可知r 3T 2＝a b则r 3T 2＝GM 4π2＝a b ，GM ＝4π2a b设第一宇宙速度为v 1，根据牛顿第二定律得，G Mm R 2＝m v 21 R解得v 1＝2πabR（2）设该行星表面的重力加速度为g ，则G Mm R2＝mg 解得g ＝4π2abR2设平抛运动的初速度为v 0，根据平抛运动规律得h ＝12gt 2， h ＝v 0t解得v 0＝πR 2ahb。