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数学实验(何国良) 第4章 线性代数

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线代上机实验报告(3篇)

线代上机实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的1. 掌握线性代数基本概念和基本运算方法。

2. 熟悉MATLAB软件在解决线性代数问题中的应用。

3. 提高实际操作能力和编程能力。

二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 软件环境：MATLAB R2019b3. 实验设备：计算机三、实验内容1. 矩阵的基本运算2. 矩阵的秩3. 矩阵的逆4. 线性方程组的求解5. 特征值和特征向量6. 二次型及其标准形四、实验步骤1. 矩阵的基本运算（1）创建矩阵A：A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]（2）计算矩阵A的转置：A_transpose = A'（3）计算矩阵A的行列式：det_A = det(A)（4）计算矩阵A的逆：A_inverse = inv(A)2. 矩阵的秩（1）创建矩阵B：B = [1, 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8; 9, 10, 11, 12]（2）计算矩阵B的秩：rank_B = rank(B)3. 矩阵的逆（1）创建矩阵C：C = [1, 2; 3, 4]（2）判断矩阵C是否可逆：is_inverse = rank(C) == size(C, 1)（3）如果可逆，计算矩阵C的逆：C_inverse = inv(C)4. 线性方程组的求解（1）创建矩阵A和B：A = [1, 2; 3, 4]B = [5; 6]（2）使用MATLAB内置函数求解线性方程组：x = A \ B5. 特征值和特征向量（1）创建矩阵D：D = [4, 1; 2, 3]（2）计算矩阵D的特征值和特征向量：[V, D] = eig(D)6. 二次型及其标准形（1）创建矩阵E：E = [2, 1; 1, 3]（2）计算矩阵E的特征值和特征向量：[V, D] = eig(E)（3）将二次型E化为标准形：Q = V D inv(V)五、实验结果与分析1. 矩阵的基本运算（1）矩阵A：1 2 34 5 67 8 9（2）矩阵A的转置：1 4 72 5 83 6 9（3）矩阵A的行列式：（4）矩阵A的逆：-1.5 0.50.5 -0.52. 矩阵的秩矩阵B的秩为2。

数学实验（线性代数、微积分、常微分方程、概率论与数理统计等）精品

数学实验（线性代数、微积分、常微分方程、概率论与数理统计等）精品

数学实验（线性代数、微积分、常微分方程、概率论与数理统计等）精品内容简介本书主要讲授大学工科数学课程中的线性代数、微积分、常微分方程、概率论与数理统计等重要数学方法用MATLAB 软件的实现过程及其应用，内容分五个部分：第一部分为MATLAB软件使用简介，介绍MATLAB软件的基本内容；第二部分为线性代数实验，介绍用MATLAB软件求解线性方程组、计算矩阵特征值和特征向量、进行矩阵的相似对角化及矩阵分解的方法；第三部分为微积分实验，介绍用MATLAB软件进行符号微积分运算、数值微分和数值积分计算的方法；第四部分为常微分方程实验，介绍用MATLAB软件求解线性（非线性）微分方程（组）的解析解和数值解、进行动态仿真的方法；第五部分为概率论与数理统计实验，介绍用MATLAB软件进行随机变量的相关计算、随机数的产生及样本数据统计与可视化的方法。

另外，针对具体内容介绍了相应的应用实例，以帮助学生逐步学会用所学知识去解决实际问题。

每一章后附有一定量的实验题，以供学生课后上机练习及实验。

本书适用于理工科院校大学本、专科学生，以及具备工科数学知识和计算机知识的其他科技工作者。

前言―数学实验‖是在数学应用于各个学科领域，特别是应用于工程技术领域的过程中产生的，是伴随着计算机的广泛使用和数学软件的有效开发而发展的，它着重体现了―用数学‖和―实现数学‖的理念。

―用数学‖是指应用数学理论知识解决相关领域中的实际问题；―实现数学‖是指通过计算机及数学软件实现部分数学结果的理论推导和计算过程，使得抽象的数学内容直观化、可视化。

数学实验课程是大学工科数学课程教学改革与建设的主要成果之一，目前已在全国各高校广泛开设，并已成为大学工科数学课程的重要组成部分。

数学实验课开设的主要目的是通过―数学实验‖使学生深入理解数学基本概念和基础理论、熟悉并掌握常用的数学软件，培养学生应用数学知识并结合计算机工具解决实际问题的能力。

数学实验课将数学知识与计算机应用有机地结合起来，以数学知识为背景、以数学软件为工具，为学生自觉学习数学方法、动手解决实际问题搭建了平台，对提高学生学习数学的兴趣、加强学生的数学理论基础、培养学生的开拓性思维等具有重要作用。

线性代数实验课

线性代数实验课

线性代数实验课一、行列式与矩阵的运算1.实验目的①掌握行列式计算的Mathematica命令。

②掌握矩阵基本运算的Mathematica命令。

③掌握逆阵及矩阵的秩的求法。

2.内容与步骤（1）计算行列式的值在Mathematica中计算行列式的命令为Det[A].（求方阵A的行列式，即Det[A]=|A|）例1计算行列式-5解首先把矩阵用表的形式表示，即输入A={ {2,8,-5』},{1,9,0,・6},{0,・5,・1,2},{ 1,0,・7,6}};Det[A]Out[l>-108例2计算行列式b b2 b4d d: d A解求解命令为Det[{{1,1』』},{a,b,c,d},{a A2,b A2,c A2,d A2),(a A4,b A4,c A4,d A4})]Out[2]= a4b2c — a2b4c -------------- ac2d4 + bc2d4 (共有4! = 24 项)Factor[%]Out[3]—(—ci + b)(—ci + c、)(一b + c、)(—ci + d)(—b + d)(—c + d)(a + Z? + c + d)(2)矩阵的基本运算命令为A+BC*A Transpose[M] A.B MatrixForm[M] 矩阵A和B相加常数c和矩阵A相乘矩阵M的转置矩阵A和B相乘用标准形式表示矩阵11 1 ~ 123 例3已知A = 1 1 -1 ,B = -1 -24 ，求 3A8—2A 及 AB1 -1 1 0 5 1解输入A={{1,1,1},{1,1,・1},{1,.1,1}};B={{l,2,3},{.l,.2,4},{0,5,l}};3*A.B-2*AOut[ 1 ]={{-2,13,22}, {-2,-17,20},{4,29,・2}}M=Transpose[A]Out[2]={{l,l,l},{l,l,-l},{l,.l,l}}P=M.B0ut[3]={{0,5,8},{0,-5,6},{2,9,0}}MatrixForm[P]0 5 8Out[4]=0 -5 62 9 0⑶求逆阵命令为Inverse[A]（求方阵A 的逆阵）"3 -2 0 心 0 2 2例4求万阵A = 1 -2 -3 *0 1 2解输入A= {{3,-2,0,-1},{ 0,2,2,!}, {1,-2,-3,2}, {0,1,2,1}};Det[A]Out[l]=lB=Inverse[A]Out ⑵={{1,1,-2,4},{0,1,0,-1},{.1,-13,6},{2,1,-6,-10}}MatrixForm[B]1 1 -2 -40 1 0 -1Out[3]=-1 -1 3 62 1 -6 10 -1，-2的逆阵。

线性代数数学实验(计)

线性代数数学实验(计)

解： 矩阵A 矩阵A的增广矩阵 >> clear >> B=[1 –1 2 1 0 0;0 1 –1 0 1 0;2 1 0 0 0 1]; >> format rat 以有理格式输出 给出矩阵B 给出矩阵B的行最简形 >> C=rref (B) C= 1 0 0 1 0 0
0 0 1
-1 -2 1 2 4 -1 2 3 -1
2、数与矩阵相乘
数与矩阵相乘，是数与矩阵中的每个元素相乘． 数与矩阵相乘，是数与矩阵中的每个元素相乘．
1 0 1 A = 2 1 1 与5的乘积 Example4 求矩阵 的乘积 1 2 1
解：
>> clear >> A=[1 0 1;2 1 1;1 2 1]; >> B=5*A >> C=A*5
运行结果： 运行结果： B= 5 10 0 5 5 5 5 C= 5 10 0 5 5 5 5
5 10
5 10
程序说明： 的值相同． 程序说明：5*A与A*5的值相同． 与 的值相同
3、矩阵与矩阵相乘
两矩阵相乘时，第一个矩阵（左矩阵） 两矩阵相乘时，第一个矩阵（左矩阵）的列数 必须等于第二个矩阵（右矩阵）的行数． 必须等于第二个矩阵（右矩阵）的行数． Example5 解： >> clear >> A=[1 2 3;2 1 2;3 3 1]; >> B=[3 2 4;2 5 3;2 3 1]; >> C=A*B , D=B*A
Example12 求解方程组 解
x1 − x2 + x3 − x4 = 1 −x1 + x2 + x3 − x4 = 1 2x − 2x − x + x = −1 2 3 4 1

matlab数学实验胡良剑第四章

matlab数学实验胡良剑第四章

第四章%Exercise 1(1)p=[1 1 1];x=roots(p)polyval(p,x) %验算，结果应为零%Exercise 1(2)roots([3 0 -4 0 2 -1])%Exercise 1(3)p=zeros(1,24);p([1 17 18 22])=[5 -6 8 -5]; %这样比直接写24个系数简短。

x=roots(p)polyval(p,x) %验算，结果应为零%Exercise 1(4)p1=[2 3];p2=conv(p1, p1);p3=conv(p1, p2);p3(end)=p3(end)-4; %原p3最后一个分量-4x=roots(p3)polyval(p3,x) %验算，结果应为零%Exercise 2fun=inline('x*log(sqrt(x^2-1)+x)-sqrt(x^2-1)-0.5*x');fzero(fun,2) %注意定义域,初值须大于1%Exercise 3fun=inline('x^4-2^x');fplot(fun,[-2 2]);grid on;fzero(fun,-1),fzero(fun,1),fminbnd(fun,0.5,1.5)%Exercise 4fun=inline('x*sin(1/x)','x');fplot(fun, [-0.1 0.1]);x=zeros(1,10);for i=1:10, x(i)=fzero(fun,(i-0.5)*0.01);end;x=[x,-x]%Exercise 5fun=inline('[9*x(1)^2+36*x(2)^2+4*x(3)^2-36;x(1)^2-2*x(2)^2-20*x(3);16*x(1)-x(1)^3-2*x(2)^2-16*x(3)^2]','x');[a,b,c]=fsolve(fun,[0 0 0])%Exercise 6fun=@(x)[x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2*cos(x(2)),x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2*sin(x(2))];[a,b,c]=fsolve(fun,[0.5 0.5]) %初值0<x(1)<1, 0<x(2)<1%Exercise 7clear; close; t=0:pi/100:2*pi;x1=2+sqrt(5)*cos(t); y1=3-2*x1+sqrt(5)*sin(t);x2=3+sqrt(2)*cos(t); y2=6*sin(t);plot(x1,y1,x2,y2); grid on; %作图发现4个解的大致位置，然后分别求解y1=fsolve('[(x(1)-2)^2+(x(2)-3+2*x(1))^2-5,2*(x(1)-3)^2+(x(2)/3)^2-4]',[1.5,2])y2=fsolve('[(x(1)-2)^2+(x(2)-3+2*x(1))^2-5,2*(x(1)-3)^2+(x(2)/3)^2-4]',[1.8,-2])y3=fsolve('[(x(1)-2)^2+(x(2)-3+2*x(1))^2-5,2*(x(1)-3)^2+(x(2)/3)^2-4]',[3.5,-5])y4=fsolve('[(x(1)-2)^2+(x(2)-3+2*x(1))^2-5,2*(x(1)-3)^2+(x(2)/3)^2-4]',[4,-4])%Exercise 8(1)clear;str='x.^2.*sin(x.^2-x-2)'; %注意数组点运算fun=inline(str);fplot(fun,[-2 2]);grid on; %作图观察x(1)=-2;x(3)=fminbnd(fun,-1,-0.5);x(5)=fminbnd(fun,1,2);fun2=inline(['-',str]);x(2)=fminbnd(fun2,-2,-1);x(4)=fminbnd(fun2,-0.5,0.5);x(6)=2feval(fun,x)%答案: 以上x(1)(3)(5)是局部极小，x(2)(4)(6)是局部极大，从最后一句知道x(1)全局最小，x(2)最大。

数学系实验报告

数学系实验报告

实验名称：线性代数矩阵运算实验实验目的：1. 理解矩阵的基本概念和运算规则。

2. 掌握矩阵的加法、减法、乘法等基本运算。

3. 利用矩阵解决实际问题。

实验时间：2023年X月X日实验地点：XX大学数学系实验室实验器材：1. 计算机一台2. 线性代数实验软件（如MATLAB、Mathematica等）实验内容：一、矩阵的加法和减法1. 实验目的：掌握矩阵的加法和减法运算。

2. 实验步骤：（1）打开线性代数实验软件；（2）创建两个矩阵A和B；（3）对矩阵A和B进行加法和减法运算；（4）观察结果并记录。

实验结果：（1）矩阵A：1 2 34 5 67 8 9（2）矩阵B：9 8 76 5 43 2 1（3）矩阵A+B：10 10 1010 10 1010 10 10（4）矩阵A-B：-8 -1 -2-2 -1 -2-4 -6 -8二、矩阵的乘法1. 实验目的：掌握矩阵的乘法运算。

2. 实验步骤：（1）打开线性代数实验软件；（2）创建两个矩阵A和B；（3）对矩阵A和B进行乘法运算；（4）观察结果并记录。

实验结果：（1）矩阵A：1 2 34 5 67 8 9（2）矩阵B：9 8 76 5 43 2 1（3）矩阵AB：30 24 1884 69 54138 114 90三、矩阵的逆1. 实验目的：掌握矩阵的逆运算。

2. 实验步骤：（1）打开线性代数实验软件；（2）创建一个矩阵A；（3）对矩阵A进行逆运算；（4）观察结果并记录。

实验结果：（1）矩阵A：1 2 34 5 67 8 9（2）矩阵A的逆：-2/3 1/3 02/3 -1/3 0-1 0 1/3四、矩阵的应用1. 实验目的：利用矩阵解决实际问题。

2. 实验步骤：（1）打开线性代数实验软件；（2）创建一个实际问题；（3）将实际问题转化为矩阵运算；（4）进行矩阵运算并求解问题；（5）观察结果并记录。

实验结果：（1）实际问题：某工厂生产三种产品，其产量分别为1000、1500、2000件，总成本为120000元。

数学实验(何国良) 第2章 数学实验

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相遇问题的数学模型
. 将红队、绿队和摩托车假设为 A、B、C三个点 三个点. A 点初始位置 A=0, 速度va=10 (运动向右); B 点初始位置B=100, 速度vb=8(运动向左); 运动 方向 ) ±1表示 表示运动 运动方向 方向) C 点初始位置 C=0, 速度vc=60 (f= (f=± 当C向右运动时 , C、B相遇时间: tk= (B – A)/(8+60) 当C向左运动时 ,A、C相遇时间: tk= (B – A)/(60+10) 位置 利用相遇时间tk、及时计算 A, B的最新 的最新位置 – A)<0.2 时程序结束。 当 (B (B–
编号 平时成绩 期中成绩 期末成绩 1 99 98 97 2 89 95 93 ····································································
/26 21 21/
将成绩输入数据文件，按成绩构成比例计算每位同学 的最后成绩，并统计出各分数段的人数及百分比。 , 存为文 ① 用记事本将成绩录入 用记事本将成绩录入, 本文件datas.txt ② 将该文件拷贝到 MATLAB 工 (work)下; 作目录 作目录( ③ 在 命 令 窗 口 用 命 令 load datas.txt将数据文件装入内存
3/26
————命令文件————
计算机程序主要功能 ——接收数据和处理数据 ,并将 处理后的数据完整有效地提供给用户 1 将地球模型取为半径为 R=6400(km) 例2. 2.1 的球体,计算高度为1万公里的地球同步卫 星对地面的覆盖率 编写文件 在编辑窗口 编辑窗口编写文件 planet.m 键入 在命令窗口 命令窗口键入 planet 结果显示: ans = 30.4878

线性代数实验报告汇总-知识归纳整理

数学实验报告题目第一次实验题目一、 实验目的1．熟悉MATLAB 的矩阵初等运算；2．掌握求矩阵的秩、逆、化最简阶梯形的命令； 3．会用MABLAB 求解线性方程组二、 问题求解和程序设计流程1． 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=351503224A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=112302431B ，在MATLAB 命令窗口中建立A 、B矩阵并对其举行以下操作：(1) 计算矩阵A 的行列式的值det()?A = (2) 分别计算下列各式：B A -2 、 B A *和B A *.、 1-AB 、 B A 1-、 2A 、 T A解：（1） 编写程序如下：A=[4 -2 2;-3 0 5;1 5 3];B=[1 3 4;-2 0 -3;2 -1 1]; a=det(A) 运行结果： a = -158（2）编写程序如下： C=2*A-BD=A*B E=A.*B F=A/BG=A\B H=A*A K=A'运行结果：C =7 -7 0 -4 0 13知识归纳整理求知若饥，虚心若愚。

线性代数实验报告0 11 5D =12 10 247 -14 -7-3 0 -8E =4 -6 86 0 -152 -5 3F =0 0 2.0000-2.7143 -8.0000 -8.14292.42863.0000 2.2857G =0.4873 0.4114 1.00000.3671 -0.4304 0-0.1076 0.2468 0H =24 2 4-7 31 9-8 13 36K =4 -3 1-2 0 52 5 32．在MATLAB中分别利用矩阵的初等变换及函数rank、函数inv求下列矩阵的秩：线性代数实验报告(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=4211104532361A 求 Rank(A)=? (2) 3501120010201202B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求?1=-B 解：（1）编写程如下：format ratA=[1 -6 3 2;3 -5 4 0;-1 -11 2 4]; rref(A) 运行结果： ans =1 0 0 -8/5 0 1 0 0 0 0 1 6/5 由A 经初等变换后得到的行最简型可知：A 的秩为3。

线性代数实验报告1

线性代数实验报告1一、实验目的通过实际操作和计算，加深对线性代数中矩阵运算、线性方程组求解等基本概念和方法的理解，提高运用线性代数知识解决实际问题的能力。

二、实验内容1、矩阵的创建与基本运算创建矩阵：使用 Python 中的`numpy`库创建不同类型的矩阵，如零矩阵、单位矩阵、随机矩阵等。

矩阵加法、减法、乘法：对创建的矩阵进行相应的运算，并观察结果。

2、线性方程组的求解用高斯消元法求解线性方程组：给定一个线性方程组，将其增广矩阵化为行阶梯形，然后求解方程组。

用矩阵求逆法求解线性方程组：先求出系数矩阵的逆矩阵，再通过矩阵乘法求解方程组。

三、实验步骤1、矩阵创建与运算打开 Python 编程环境，导入`numpy`库。

使用`npzeros(（m,n)）｀创建一个 m 行 n 列的零矩阵，例如：｀A＝ npzeros(（3,3)）｀。

使用`npeye(n)｀创建一个 n 阶单位矩阵，比如：｀B ＝ npeye(4)｀。

使用`nprandomrand(m,n)｀创建一个 m 行 n 列的随机矩阵，像这样：｀C ＝ nprandomrand(2,2)｀。

进行矩阵加法，如：｀D ＝ A ＋ C`。

进行矩阵减法，比如：｀E ＝ B C`。

进行矩阵乘法，假设`F ＝ A ＠ B`。

2、线性方程组求解给定线性方程组`2x ＋ 3y ＝ 8`，｀4x 5y ＝ 6`，将其写成增广矩阵形式`2, 3, 8, 4, －5, 6`。

使用高斯消元法将增广矩阵化为行阶梯形，通过逐行消元，将矩阵的下三角部分化为零。

从最后一行开始，回代求解出未知数的值。

对于矩阵求逆法，先计算系数矩阵`2, 3, 4, －5`的逆矩阵。

然后将逆矩阵与常数项矩阵相乘，得到方程组的解。

四、实验结果与分析1、矩阵创建与运算创建的零矩阵`A`为：｀｀｀0、 0、 0、0、 0、 0、0、 0、 0、｀｀｀创建的单位矩阵`B`为：｀｀｀1、 0、 0、 0、0、 1、 0、 0、0、 0、 1、 0、0、 0、 0、 1、｀｀｀创建的随机矩阵`C`为：｀｀｀0123 04560789 0234矩阵加法的结果`D`为：｀｀｀0123 04560789 02340、 0、 0、｀｀｀矩阵减法的结果`E`为：｀｀｀0877 －0456－0789 07660、 0、 0、｀｀｀矩阵乘法的结果`F`为：｀｀｀0、 0、 0、0、 0、 0、0、 0、 0、分析：在矩阵运算中，加法和减法是对应元素相加减，乘法需要满足一定的规则，如前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数。

LA100884

线性代数综合性实验之实验报告自103班杨国兵100884日期：2011.11.161 化学方程式的配平一、问题描述请配平下列化学方程，并使得方程的系数取为最小可能的整数。

MnS + As2Cr10O35 + H2SO4→ HMnO4 + AsH3 +CrS3O12 + H2O。

二、实验原理与数学模型设化学方程式为a MnS +b As2Cr10O35 +c H2SO4→d HMnO4 +e AsH3 +f CrS3O12 +g H2O。

为了使反应式平衡，必须选择恰当的a,b,c,d,e,f,g,才能使反应两端平衡。

则，a=d,a+c=3f,2b=e,10b=f,35b+4c=4d+12f+g,2c=d+3e+2g三、实验过程记录由a=d,a+c=3f,2b=e,10b=f,35b+4c=4d+12f+g,2c=d+3e+2g，可得齐次方程的系数矩阵A>> A=[1 0 0 -1 0 0 0;1 0 1 0 0 -3 0;0 2 0 0 -1 0 0;0 10 0 0 0 -1 0;0 35 4 -4 0 -12 -1;0 0 2 -1 -3 0 -2]A =1 0 0 -1 0 0 01 0 1 0 0 -3 00 2 0 0 -1 0 00 10 0 0 0 -1 00 35 4 -4 0 -12 -10 0 2 -1 -3 0 -2>> format rat>> rref(A)ans =1 0 0 0 0 0 -16/3270 1 0 0 0 0 -13/327 0 0 1 0 0 0 -374/327 0 0 0 1 0 0 -16/327 0 0 0 0 1 0 -26/327 0 0 0 0 0 1 -130/327四、实验结果根据以上结果可以得到结论a=16/327g;b=13/327g;c=374/327g;d=16/327g;e=26/327g;f=130/327g 。

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表 汽车行驶速度与刹车滑行距离
车速 20 滑距 6.07
40
60
80
100
120
8.5 18.44 35.88
60.8 93.27
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思考题与练习题
1. 行星轨道的二次曲线方程中，二次项系数满足什么 条件时，能保证二次曲线方程是椭圆方程？ 设非零正数p<1,q<1. 证明矩阵 2. 2.设非零正数 q ⎤ ⎡1 − p A= ⎢ ⎥ 1 − q⎦ ⎣ p 有特征值 λ = 1 ,对应的特征向量
m
使得
S (a1 ,⋯ , an+1 ) = ∑ [ y j − P ( x j )]2 = min
j =1
: 求解多项式拟合方法如下: MATLAB求解多项式拟合方法如下 P =polyfit(x，y，n) 输出变量P是一个具有(n+1) 个数的一维数组，表示 (多项式降幂排列 )。 拟合多项式P(x)的系数 的系数(
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动物养殖问题 实验： 实验：动物养殖问题
莱斯利于1945年提出用于预测单种群生物 数量增长的矩阵模型。 将一个生物种群按年龄分为 m 个年龄组。 设 xk( t ) 表示 t 时刻第 k 个年龄组的生物数 量, xk(0)是初始时刻数量。生物数量向量
X ( t ) = [ x1 ( t ) x 2 ( t ) ⋯ x m ( t )]
. 随时间 t = 0, t1, t2, t3, ······ 变化规律 变化规律.
T
P.H.Leslie
1900-1974
7
15 岁,将其分为三个年龄组：第 某种动物最大年龄为 某种动物最大年龄为15 15岁 0—5岁；第二组 6—10 岁；第三组 11—15 岁。第 一组 一组0 岁；第二组6 10岁；第三组 岁；第三组11 15岁。第 4个后代 ,第三组平均繁殖 3 二组在其年龄段平均繁殖 二组在其年龄段平均繁殖4 个后代, 第三组平均繁殖3 0.5 和 个后代。第一和第二组五年的存活率分别为 个后代。第一和第二组五年的存活率分别为0.5 0.5和 。现有三个年龄组动物各 1000 ，计算 5年后、 10 0.25 0.25。现有三个年龄组动物各 。现有三个年龄组动物各1000 1000，计算 ，计算5 年后、10 年后、 15 年后各年龄组动物数量。 年后、15 15年后各年龄组动物数量。 设 t0 = 0, t1 = 5, t2 = 10, t3 = 15. 各年龄组动物数量
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5
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5
：120+150=270 =147+123 营业部汽车总数量 营业部汽车总数量： ⎡0.9 0.12⎤ 矩阵 A = ⎢ ⎥ 0 . 1 0 . 88 ⎣ ⎦ L=[0 .9 0.12 ;0. 10 .88 ]; L=[0.9 0.12;0. ;0.1 0.88 .88]; [P,lamda]=eig(L) p1=P(:,1);d=sum(p1); p=p1/d *270 X0=p X0=p* Cars=X; for k=1:6 X=A *X; X=A* Cars=[Cars,X]; end figure(1),bar(Cars(1,:)) figure(2),bar(Cars(2,:))
2
例4.5 出租汽车问题。 ,设了A,B两营 出租汽车公司在仅有A城和B城的海岛上 城的海岛上, 业部。如果周一A城有120辆可出租汽车，而B城有150 辆。统计数据表明，平均每天A城营业部汽车的10% 被顾客租用开到B城 ,B城营业部汽车的12%被开到了 A城。假设所有汽车正常，试计算一周后两城的汽车 数量。寻找方案使每天汽车正常流动而A城和B城的汽 车数量不增不减。 设第n天A城营业部汽车数为x1(n)，B城营业部汽车数 为x2(n)。 则有
( n) ( n −1) ⎡ ⎤ ⎡ x1 3⎤ x1 ⎤ 4 ⎡0 ⎡x ⎤ ⎢ ( n) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x ( n −1) ⎥ ⎢ (0) ⎥ x = 0 . 5 0 0 ⎢ ⎥ 2 x � ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ x ( n ) ⎥ ⎢ 0 0.25 0⎥ ⎢ x ( n −1) ⎥ ⎢ x (0) ⎥ ⎣ ⎦ 3 ⎣ ⎦ ⎣ 3 ⎦ 3 ⎣ ⎦
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V=[20,40,60,80,100,120]; format bank T=polyval(P2,V); figure(3),bar(V,T) [V;T] T=
100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 120
6.07 8.50 18.44 35.88 60.82 93.27
( n+1) ( n) ⎡ x1 ⎤ ⎡0.9 0.12⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ( n+1) ⎥ = ⎢ ⎢ ( n) ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ x2 ⎥ ⎦ ⎣ 0.1 0.88⎦ ⎢ ⎣ x2 ⎥ ⎦
3
：120+150=270 营业部汽车总数量 营业部汽车总数量：
150
X=[120;150]; A=[0.9,0.12;0.1,0.88]; Cars=X; for k=1:6 *X;Cars=[Cars,X]; X=A X=A* end Cars figure(1),bar(Cars(1,:)) figure(2),bar(Cars(2,:))
X=[147;123]; A=[0.9,0.12;0.1,0.88]; Cars=X; for k=1:6 X=A *X; X=A* Cars=[Cars,X]; end
100 50 0 1 2 3 4 5 6 7
150 100 50 0
figure(1),bar(Cars(1,:)) figure(2),bar(Cars(2,:))
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动物数量变化规律计算
function X=animal(n) L=[0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0]; X=[1000;1000;1000]; P=X; for k=1:n *X;P=[P,X]; X=L X=L* end figure(1),bar(P(1,:)) figure(2),bar(P(2,:)) figure(3),bar(P(3,:)) 2) 调用函数 X=animal(1 X=animal(12) � X =314754.15 143543.21 16547.12
x1(k)=x1(tk), x2(k)= x2(tk), x3(k)= x3(tk)
X (k )
(k ) ⎡ x1 ⎤ ⎢ (k ) ⎥ = ⎢ x2 ⎥ ⎢ x(k ) ⎥ ⎣ 3 ⎦
� X(k+1)=L X(k)
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x1(0)
(0) (0) x x22 (0) (0) x 3 x 3
(1)=0.5x (0) (0) (1) x =0.5 2 1 x x 2 1 (1)=0.25x (0) (0) (1) x x x 3 2 3 =0.25 2 (1)=4x (0) (0)+3x (0) (0)) (1) x 1 2 3 x x x =4 +3 1 2 3 )
(0) 1
X
( n)
= LX
( n −1 )
=LX
n
(0)
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计算第5年、第10年、第 现有三个组的动物各1000, 0,计算第 15年后各个周龄的动物数量 开始时刻 X(0) = [1000, 1000, 1000]T
: 问题 问题: 1. 以五年为一时间段，分析动物各年龄组数量变化 . 规律 规律. 2. 动物数量变化趋势是无限增长还是趋于灭亡？
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汽车紧急刹车问题数据拟合实验 V 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 T
20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266
/小时),T表示刹车 英里/ V表示刹车时汽车行驶速度(英里 后汽车滑行距离(英尺)
v=[20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70] *1.609; 70]* T=[20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266] *.3048; 266]* *') figure(1),plot(v,T,' figure(1),plot(v,T,'* P2=polyfit(v,T,2);T2=polyval(P2,v); R2=sum((T-T2).^2) figure(2),plot(v,T,' *',v,T2) figure(2),plot(v,T,'* R2 = 1.9634
Lamda= 1.50 0 0 0 -1.31 0 0 0 -0.19
动物数量按年 龄显示出倒金 字塔结构
L 的主特征值
λ1 = 1.5
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function P=animal(n) L=[0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0]; X=[2160;720;120]; P=X; for k=1:n *X;P=[P,X]; X=L X=L* end figure(1),bar(P(1,:)) figure(2),bar(P(2,:)) figure(3),bar(P(3,:)) 取 n=3 � 2160. 3240. 720. 1080. 120. 180. 4860. 7290 1620. 2430. 270. 405.
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主特征值特征向量试验 L=[0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0]; [P,lamda]=eig(L) p1=P(:,1);d=sum(p1); p=p1/d X0=p *3000 X0=p* X0= 2160.00 720.00 120.00 2160 720 120 P= 0.95 0.32 0.05 0.93 0.23 -0.36 -0.59 0.07 0.77
第四章 线性代数
特征值问题及应用 离散数据的多项式拟合
1
矩阵特征值问题
A是n阶方阵,求非零向量 α 和数 λ 使得