【人教A版】2017版高中数学必修五：模块能力检测卷(B)

模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)知识点分布表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015江西吉安联考,1)若a ,b ,c ∈R ,a>b ,则下列不等式成立的是( )A.1<1B.a2>b2 C.a 2>b 2 D.a|c|>b|c|答案:B解析:A.∵当1>-2时,1<-12不成立,∴1a <1b 不成立.B.∵c 2+1≥1,a>b ,∴ac 2+1>bc 2+1,故B 正确. C.∵当1>-2时,1>4不成立,∴a 2>b 2不成立.D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B .2.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为√32,则BC 的长为( )A.√3B.3C.√7D.7答案:A解析:S=12×AB ·AC sin 60°=12×2×√32AC=√32,所以AC=1.所以BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos 60°=3. 所以BC=√3,故选A .3.若5,x ,y ,z ,21成等差数列,则x+y+z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52答案:C解析:因为5,x ,y ,z ,21构成等差数列,所以y 是x ,z 的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y ,5+21=2y ,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知b cos C+c cos B=2b ,则a等于( ) A.1 B.√2C.2D.√3答案:C解析:利用正弦定理,将b cos C+c cos B=2b 化为sin B cos C+sin C cos B=2sin B ,即sin(B+C )=2sin B.∵sin(B+C )=sin A ,∴sin A=2sin B.利用正弦定理可得a=2b ,故a b=2.5.已知数列{a n }满足3a n+1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于( ) A.-6(1-3-10) B.19(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)答案:C解析:由3a n+1+a n =0,得a n+1a n=-13.所以{a n }是以q=-13为公比的等比数列. 所以a 1=a 2·1q =-43×(-3)=4.所以S 10=4[1-(-13)10]1+13=3(1-3-10),故选C .6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,x -3y +4≤0,则目标函数z=3x-y 的最大值为( )A.-4B.0C.43D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为y=3x-z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.7.已知等差数列{a n}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和S n取最大值时,n的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-361a1,由a n=a1+(n-1)d=a1+(n-1)(-361a1)≥0⇒n≤643=2113,所以数列{a n}前21项都是正数,以后各项都是负数,故S n取最大值时,n的值为21,选B.8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足2+1=1,x=a+b,则实数x的取值范围是()A.[6,+∞)B.(2√2,+∞)C.[4√2,+∞)D.[3+2√2,+∞)答案:D解析:∵2a +1b=1,∴x=a+b=(a+b)(2a +1b)=2+1+2ba+ab≥3+2√2(当且仅当2ba=ab,即b=√2+1,a=2+√2时,等号成立).故选D.9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan A tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为A和B都为三角形中的内角,由tan A tan B>1,得到1-tan A tan B<0,且得到tan A>0,tan B>0,即A ,B 为锐角, 所以tan(A+B )=tanA+tanB1-tanAtanB<0,则A+B ∈(π2,π),即C 为锐角, 所以△ABC 是锐角三角形.10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{a n }中,a 1=2,na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,则a 11=( ) A.36 B.38 C.40 D.42答案:D解析:因为na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,所以在等式的两边同时除以n (n+1),得a n+1n+1−a n n =2(1n -1n+1).所以a 1111=a 11+2[(110-111)+(19-110)+…+ (1-12)]=4211.所以a 11=42.故选D .11.(2015陕西高考,10)设f (x )=ln x ,0<a<b ,若p=f (√ab ),q=f (a+b2),r=12(f (a )+f (b )),则下列关系式中正确的是( ) A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q答案:C解析:∵f (x )=ln x ,∴p=f (√ab )=ln √ab =12(ln a+ln b )=r.又∵0<a<b ,∴a+b2>√ab .又∵y=ln x 为递增函数,∴lna+b2>ln √ab ,即q>r ,综上p=r<q.12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{a n },定义数列{a n+1-a n }为数列a n 的“差数列”,若a 1=1,{a n }的“差数列”的通项公式为3n ,则数列{a n }的通项公式a n =( ) A.3n -1B.3n+1+2C.3n -12D.3n+1-12答案:C解析:∵a 1=1,a n+1-a n =3n ,∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=3n-1+3n-2+…+31+1=1×(1-3n )1-3=3n -12.故选C . 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+1x -4,当x= 时,函数有最小值为 . 答案:5 6解析:∵x>4,∴x-4>0.∴y=x+1x -4=x-4+1x -4+4≥2√(x -4)·1x -4+4=6.当且仅当x-4=1x -4即x=5时等号成立.14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S nn=3n -1,则a 8b 8= .答案:43解析:2a 82b 8=a 1+a 15b 1+b 15=152(a 1+a 15)152(b 1+b 15)=S 15T 15=3×15-12×15+3=43.15.设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=4,a 3=9,a n =a n-1+a n-2-a n-3(n=4,5,…),则a 2 015= . 答案:8 057解析:由a n =a n-1+a n-2-a n-3,得a n+1=a n +a n-1-a n-2,两式作和得:a n+1=2a n-1-a n-3, 即a n+1+a n-3=2a n-1(n=4,5,…).∴数列{a n }的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a 1=1,a 3=9,∴奇数项构成的等差数列的公差为8.则a 2 015=a 1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057.16.(2015福建宁德五校联考,16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,有下列结论:①若A>B ,则sin A>sin B ;②若c 2<a 2+b 2,则△ABC 为锐角三角形;③若a ,b ,c 成等差数列,则sin A+sin C=2sin(A+C ); ④若a ,b ,c 成等比数列,则cos B 的最小值为12.其中结论正确的是 .(填上全部正确结论的序号) 答案:①③④解析:对于①,若A>B ,则a>b ,由正弦定理得sin A>sin B ,命题①正确;对于②,若c 2<a 2+b 2,则cos C=a 2+b 2-c 22ab >0,说明C 为锐角,但A ,B 不一定为锐角,△ABC 不一定是锐角三角形,命题②错误;对于③,若a ,b ,c 成等差数列,则a+c=2b ,结合正弦定理得:sin A+sin C=2sin B ,即sin A+sin C=2sin(A+C ),命题③正确;对于④,若a ,b ,c 成等比数列,则b 2=ac , 则cos B=a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-ac 2ac≥ac 2ac =12,命题④正确.三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)17.(2015福建厦门高二期末,17)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a=4,cos B=45. (1)若b=3,求sin A 的值;(2)若△ABC 的面积为12,求b 的值. 解:(1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=√1-cos 2B =35.由正弦定理可得:asinA =bsinB . 又a=4,b=3,∴sin A=asinBb=4×353=45.(2)由面积公式,得S △ABC =12ac sin B ,∴12ac×35=12,可解得c=10.由余弦定理,b 2=a 2+c 2-2ac cos B=52,解得b=2√13.18.(2015河北邯郸三校联考,18)数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +cn (c 是常数,n=1,2,3,…),且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a n}的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,a n-a n-1=(n-1)c,c.所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n-1)2又a1=2,c=2,故a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立.所以a n=n2-n+2(n=1,2,…).19.(2015河南南阳高二期中,19)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC的面积为√3.(1)求证:a,2,c成等比数列;(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.又△ABC的面积为√3,∴1ac sin 60°=√3,即ac=4.2∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC的周长L=a+b+c≥2√ac+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC周长的最小值为6.∵a=c,B=60°,∴此时△ABC为等边三角形.20.(2015福建宁德五校联考,22)已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;②求不等式f(x)<0的解集.(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当b=3时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2,①∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2],∴1,2是方程x 2-3ax+2a 2=0的两根. ∴{1+2=3a ,1×2=2a 2,解得a=1.②∵x 2-3ax+2a 2<0, ∴(x-a )(x-2a )<0.∴当a>0时,此不等式的解集为(a ,2a ),当a=0时,此不等式的解集为空集, 当a<0时,此不等式的解集为(2a ,a ).(2)由题意f (2)=4-2ab+2a 2>0在a ∈[1,2]上恒成立, 即b<a+2a 在a ∈[1,2]上恒成立. 又a+2a ≥2√a ·2a =2√2,当且仅当a=2a ,即a=√2时上式等号成立.∴b<2√2,实数b 的取值范围是(-∞,2√2).21.(2015河南郑州高二期末,20)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m .又知甲、乙两种车型的刹车距离S (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系:S 甲=0.1x+0.01x 2,S 乙=0.05x+0.005x 2. 问:甲、乙两车有无超速现象?解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x 2=12,即x 2+10x-1 200=0,解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去). 这表明甲车的车速为30 km/h . 甲车车速不会超过限速40 km/h . 对于乙车,有0.05x+0.005x 2>10, 即x 2+10x-2 000>0,解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.22.(2015河南南阳高二期中,22)已知数列{a n }中,a 1=1,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项a n ; (2)求数列{n 2a n }的前n 项和T n ;(3)若存在n ∈N *,使得a n ≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围. 解:(1)因为a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *), 所以a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1=n 2a n (n ≥2). 两式相减得na n =n+12a n+1-n2a n , 所以(n+1)a n+1na n=3(n ≥2). 因此数列{na n }从第二项起,是以2为首项,以3为公比的等比数列, 所以na n=2·3n-2(n ≥2).故a n ={1,n =1,2n·3n -2,n ≥2. (2)由(1)可知当n ≥2时,n 2a n =2n ·3n-2, 当n ≥2时,T n =1+4·30+6·31+…+2n ·3n-2,∴3T n =3+4·31+…+2(n-1)·3n-2+2n ·3n-1.两式相减得T n =12+(n -12)·3n-1(n ≥2). 又∵T 1=a 1=1也满足上式,∴T n =12+(n -12)·3n-1.(3)a n ≥(n+1)λ等价于λ≤a n, 由(1)可知当n ≥2时,an=2·3n -2, 设f (n )=n (n+1)2·3n -2(n ≥2,n ∈N *),则f (n+1)-f (n )=-(n+1)(n -1)3n -1<0,∴1f (n+1)≥1f (n ).又1f (2)=13及a 12=12,∴所求实数λ的取值范围为λ≤13.。

模块综合检测()一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．△的三个内角，，所对的边分别为，，，＋＝，则＝( )．．．．解析：由正弦定理，得＋＝，即(＋)＝.故＝，所以＝.答案：．等比数列公比为，且前项之和为，则前项之和为( )．．．．解析：由＝得＝.答案：．如果，，满足＜＜且＜，那么下列选项中不一定成立的是( )．＜．(－)＞．＜．(－)＜解析：若＝，则＝，∴不一定成立．答案：．数列{}的通项公式为＝，已知它的前项和＝，则项数等于( )．．．．解析：将通项公式变形得：＝＝＝－，则＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－，由＝，则有－＝，∴＝.答案：．在△中，＝，＝，则△一定是( )．等腰三角形但不是直角三角形．直角三角形但不是等腰三角形．等边三角形．等腰直角三角形解析：由＝得，＝×，∴＝＋，∴△为直角三角形，∴＝＝×＝，∴△是等腰直角三角形．答案：．不等式－－>的解集是( )．．(，＋∞)．(－∞，)∪(，＋∞) ．∪(，＋∞)解析：∵Δ＝＋＝>，∴方程－－＝有两个不相等的实数根，解得＝－，＝.∴－－>的解集为∪(，＋∞)．答案：．设变量，满足约束条件(\\(≥，－＋≥，＋－≤，))则＝＋的最大值为( )．－．．．解析：作出可行域，如图阴影部分所示，易求得(－，)，()，()，由可行域可知，＝＋过点()时，有最大值，且＝.答案：．在△中，角，，所对边的长分别为，，，若＋＝，则的最小值为( )．．．－解析：利用余弦定理求解．∵＝＝，又∵＋≥，∴≤，∴≥.答案：．当点(，)在直线＋＝上移动时，＝＋＋的最小值是( )．．。

模块综合测评(B )(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.不等式2-xx ≥0的解集是( ) A .{x|0<x<2}B .{x|0<x ≤2}C .{x|x<0或x ≥2}D .{x|x<0或x>2}{x (x -2)≤0,x ≠0,解得0<x ≤2,故不等式的解集为{x|0<x ≤2}.2.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,且S 3=2a 1,则下列结论错误的是( ) A .a 4=0 B .S 4=S 3C .S 7=0D .{a n }是递减数列{a n }的公差为d ,由S 3=2a 1,得3a 1+3d=2a 1,即a 1+3d=0,所以a 4=0,S 4=S 3,S 7=7a 1+21d=7(a 1+3d )=0,故选项A,B,C 正确,选D .3.在△ABC 中,a=√3b ,A=120°,则角B 的大小为( ) A .30°B .45°C .60°D .90° 由正弦定理asinA=bsinB,得sin B=bsinAa=b ·√323b=12.因为A>B ,所以B=30°,故选A .4.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n (n ∈N *),若p-q=5,则a p -a q 等于( ) A .10B .15C .-5D .20S n =2n 2-3n (n ∈N *),所以a n =S n -S n-1=4n-5(n ≥2).又a 1=S 1=-1,适合上式,所以数列{a n }的通项公式为a n =4n-5(n ∈N *).于是a p -a q =4(p-q )=20.故选D .5.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=b+√3c,sin C=2√3sin B ,则tan A 等于( )A .√3B .1C .√3D .-√3sin C=2√3sin B ,得sinC=2√3,利用正弦定理化简得sinC=c=2√3,即c=2√3b.由a=b+√3c,整理得a 2-b 2=√3bc ,所以cos A=b 2+c 2-a 22bc=-√3bc+c 22bc=-√3bc+2√3bc2bc=√32.由A ∈(0,π),知A=π6,则tan A=tanπ=√3.故选C .6.在等差数列{a n}中,a5,a10是方程x2-10x-6=0的两个根,则{a n}的前14项和为()A.55B.60C.65D.70在等差数列{a n}中,a5,a10是方程x2-10x-6=0的两个根,∴a5+a10=10,∴{a n}的前14项和S14=142(a1+a14)=7(a5+a10)=7×10=70.故选D.7.已知M(-4,0),N(0,-3),P(x,y)中的x,y满足{x≥0,y≥0,3x+4y≤12,则△PMN面积的取值范围是()A.[12,24]B.[12,25]C.[6,12]D.[6,252]{x≥0,y≥0,3x+4y≤12表示的平面区域如图中的阴影部分所示.因为过点M(-4,0),N(0,-3)的直线的方程为3x+4y+12=0,而它与直线3x+4y=12平行,且两条直线间的距离d=|12+12|√3+4=245,所以当点P在原点O处时,△PMN的面积最小,其面积为△OMN的面积,此时S△OMN=12×3×4=6;当点P在线段AB上时,△PMN的面积最大,且为12×√32+42×245=12,故选C.8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=√3b,且B=2A,则cos 2A等于()A.1B.-1C.√3D.-√3a=√3b,所以sin A=√3sin B,即sin A=√3sin 2A=2√3sin A cos A,于是cos A=√3,故cos 2A=2cos2A-1=12.9.已知不等式组{2x -y -2≥0,3x +y -8≤0,x +2y -1≥0则z=yx+1的最大值与最小值的比值为( )A .-2B .-12C .-83D .-12,不等式组{2x -y -2≥0,3x +y -8≤0,x +2y -1≥0所表示的平面区域为图中的阴影部分,易知z=yx+1表示平面区域内的点与定点P (-1,0)的连线的斜率.由{3x +y -8=0,2x -y -2=0,可得{x =2,y =2,即A (2,2).由{3x +y -8=0,x +2y -1=0,可得{x =3,y =-1,即B (3,-1).由图知直线AP 的斜率最大,此时z=y x+1最大,故z max =23;直线BP 的斜率最小,z min =-14.故z=yx+1的最大值与最小值的比值为-83,选C .10.已知等差数列12,-13,-76,-2,…,从首项到第n 项的绝对值的和等于50,则项数n 等于( ) A .11B .12C .13D .142项开始各项均为负,且首项到第n 项的绝对值的和等于50,设第n 项的绝对值为a ,所以13+76+2+…+a=50-12=992.设新数列13,76,2,…,a 的项数为m ,且该数列是公差为56的等差数列,则13m+m (m -1)2×56=992,得m=11(m=-545舍去),所以n=m+1=12.故选B .11.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若a=b cos C+c sin B ,且△ABC 的面积为1+√2,则b 的最小值为( ) A .2B .3C .√2D .√3a=b cos C+c sin B 及正弦定理,得sin A=sin B cos C+sin C sin B ,即sin(B+C )=sin B cos C+sin C sin B ,得sin C cos B=sin C sin B.因为sin C ≠0,所以tan B=1.因为B ∈(0,π),所以B=π4.由S △ABC =12ac sinB=1+√2,得ac=2√2+4.又b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac-√2ac=(2-√2)(4+2√2)=4,当且仅当a=c 时,等号成立,所以b ≥2,b 的最小值为2,故选A .12.已知正实数x ,y 满足x>12,y>1,不等式4x 2y -1+y 22x -1≥m 恒成立,则m 的最大值为( )A .2√2B .4√2C .8D .16,2x-1>0,y-1>0,4x 2y -1+y 22x -1=[(2x -1)+1]2y -1+[(y -1)+1]22x -1≥4(2x -1)y -1+4(y -1)2x -1≥4×2√2x -1y -1·y -12x -1=8,即4x 2y -1+y 22x -1≥8,当且仅当{2x -1=1,y -1=1,2x -1y -1=y -12x -1,即{x =1,y =2时,取等号,因此4x 2y -1+y 22x -1的最小值是8,即m ≤8.故m 的最大值是8,选C .二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知在△ABC 中,AB=√3,BC=1,sin B+√3cos B=0,则△ABC 的面积为 .sin B+√3cos B=0可得tan B=-√3,所以B=120°,于是△ABC 的面积为S=12·AB ·BC ·sin B=12×√3×1×sin 120°=34.14.若关于x 的不等式x 2-ax+1≤0和ax 2+x-1>0对任意的x ∈R 均不成立,则实数a 的取值范围是 .x 2-ax+1>0和ax 2+x-1≤0对任意x ∈R 恒成立,故a ≠0,且{a 2-4<0,a <0,1+4a ≤0,解得{-2<a <2,a <0,a ≤-14,即-2<a ≤-14.-2,-14]15.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的大小依次成等差数列,最大边和最小边的长是方程x 2-9x+20=0的两实根,则AC= .A ,B ,C 成等差数列,所以2B=A+C ,又因为A+B+C=π,所以B=π3.设方程x 2-9x+20=0的两根分别为a ,c ,则{a +c =9,ac =20,由余弦定理可知:AC 2=a 2+c 2-2ac cos B=(a+c )2-2ac-2ac cos B=92-2×20-2×20×12=21,所以AC=√21. √2116.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a n }为12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,…,1n ,2n ,…,n -1n ,…,若S k =14,则a k = . 因为1n +2n +…+n -1n =1+2+…+n -1n=n 2−12,1n+1+2n+1+…+nn+1=1+2+…+nn+1=n 2,所以数列12,13+23,14+24+34,…,1n+1+2n+1+…+n n+1是首项为12,公差为12的等差数列,所以该数列的前n 项和T n =12+1+32+…+n 2=n 2+n4.令T n =n 2+n4=14,解得n=7,所以a k =78.三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2-2x+6k<0(k ≠0). (1)若不等式的解集是{x|x<-3或x>-2},求k 的值; (2)若不等式的解集是R ,求k 的取值范围.∵不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},∴-3,-2是一元二次方程kx 2-2x+6k=0的两根,且k<0.∴{(-3)×(-2)=6,(-3)+(-2)=2k ,∴k=-25. (2)∵不等式的解集为R , ∴{k <0,Δ=4-4k ·6k <0,即{k <0,k >√66或k <-√66,∴k<-√6.故k 的取值范围是(-∞,-√66).18.(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=1,2cos C+c=2b. (1)求A ;(2)若b=12,求sin C.因为a=1,2cos C+c=2b ,由余弦定理得2×12+b 2-c 2+c=2b ,即b 2+c 2-1=bc.所以cos A=b 2+c 2-12=bc =1.因为0°<A<180°,所以A=60°. (2)由b=12及b 2+c 2-1=bc ,得(12)2+c 2-1=12c , 即4c 2-2c-3=0,解得c=1+√134或c=1-√134(舍去). 由正弦定理csinC =a sinA, 得sin C=1+√134×sin 60°=√3+√398.19.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n =-n 2+2kn (k ∈N *),且S n 的最大值为4. (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令b n =5-a n2n,求数列{b n }的前n 项和.由题意知当n=-2k2×(-1)=k 时,S n 取得最大值4,所以-k 2+2k ·k=k 2=4,解得k=2或k=-2(舍去),所以S n =-n 2+4n.当n=1时,a 1=S 1=3.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=5-2n.经验证n=1时也符合该式. 故数列{a n }的通项公式为a n =5-2n (n ∈N *). (2)由(1)知b n =n 2n -1.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =12+221+322+423+…+n2n -1,12T n =121+222+323+424+…+n2n ,两式相减得12T n =120+121+122+123+…+12n -1−n2n=1-(12)n1-12−n 2n =2[1-(12)n ]−n2n , 所以T n =4-(12)n -2−n 2n -1=4-2+n 2n -1.20.(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,点P 在BC 边上,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4. (1)求∠ACP 的度数;(2)若△APB 的面积是3√3,求sin ∠BAP 的值.在△APC 中,因为∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4,PC 2=AP 2+AC 2-2·AP ·AC ·cos ∠PAC ,所以22=AP 2+(4-AP )2-2·AP ·(4-AP )·cos 60°, 整理得AP 2-4AP+4=0, 解得AP=2. 所以AC=2.所以△APC 是等边三角形, 所以∠ACP=60°.(2)因为∠APB 是△APC 的外角,所以∠APB=120°.因为△APB 的面积是3√32,所以12·AP ·PB ·sin ∠APB=3√32,解得PB=3.在△APB 中,AB 2=AP 2+PB 2-2·AP ·PB ·cos ∠APB=22+32-2×2×3×cos 120°=19, 所以AB=√19.在△APB 中,由正弦定理得ABsin∠APB =PBsin∠BAP , 所以sin ∠BAP=√19=3√5738. 21.(本小题满分12分)某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙两种产品都需要在A,B 两台机床上加工,A,B 两台机床每加工一件甲种产品所需工时分别为1工时、2工时;加工一件乙种产品所需工时分别为2工时和1工时.若A,B 两种机床每月有效使用时数分别为400工时、500工时,如何安排生产,才能使销售收入最大?最大销售收入是多少?x 件,乙种产品y 件,销售收入为z ,则z=3x+2y ,{x +2y ≤400,2x +y ≤500,x ≥0,y ≥0,作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示.作直线l 0:3x+2y=0,平移直线l 0至经过点P 时,可使销售收入z 取最大值.解{x +2y =400,2x +y =500,得{x =200,y =100,所以z max =3×200+2×100=800(千元).故生产甲种产品200件,乙种产品100件,才能使销售收入最大,且最大销售收入是800千元.22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=-2,且满足S n =12a n+1+n+1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =log 3(-a n +1),设数列{1n n+2}的前n 项和为T n ,求证:T n <3.S n =12a n+1+n+1(n ∈N *),得S n-1=12a n +n (n ≥2,n ∈N *),两式相减,并化简,得a n+1=3a n -2, 即a n+1-1=3(a n -1). 因为a 1-1=-2-1=-3≠0,所以{a n -1}是以-3为首项,3为公比的等比数列, 所以a n -1=(-3)·3n-1=-3n . 故a n =-3n +1.b n =log 3(-a n +1)=log 33n =n ,得1b n b n+2=1n (n+2)=12(1n -1n+2), T n =12(1-13+12−14+13−15+…+1n -1−1n+1+1n −1n+2) =12(1+12-1n+1-1n+2) =34−2n+32(n+1)(n+2)<34.。

模块综合评价(二)（时间：120分钟满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( ）A．若a，b,c是等差数列，则log2a,log2b，log2c是等比数列B．若a,b，c是等比数列，则log2a，log2b,log2c是等差数列C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列解析:错误!＝2b－a，错误!＝2c－b，因为a,b，c成等差数列，所以c－b＝b－a，所以2b－a＝2c－b,即错误!＝错误!。

答案：C2．在△ABC中，A＝135°,C＝30°,c＝20，则边a的长为（) A．10错误!B．20错误!C．20错误!D。

错误!解析：由正弦定理：asin A＝错误!,所以a＝错误!＝错误!＝20错误!。

答案：B3．不等式2x2＋mx＋n〉0的解集是{x｜x〉3或x〈－2｝，则m，n的值分别是( )A．2，12 B．2,－2C．2，－12 D．－2,－12解析:由题意知－2，3是方程2x2＋mx＋n＝0的两个根，所以－2＋3＝－错误!，－2×3＝错误!，所以m＝－2，n＝－12.答案：D4．在等差数列｛a n}中，首项a1＝0,公差d≠0，若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( ）A．37 B．36 C．20 D．19解析:由a m＝a1＋a2＋…＋a9得（m－1)d＝9a5＝36d⇒m＝37.答案：A5．不等式(x－2y＋1）（x＋y－3）〈0表示的区域为（)A BC D解析：利用点（4，0）判断不等式(x－2y＋1）·(x＋y－3)<0，故排除选项A、B、D.答案：C6．若三条线段的长分别为3、5、7,则用这三条线段（)A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形解析:由余弦定理：设最大角为A，则cos A＝错误!＝－错误!＜0，所以A为钝角．答案：C7．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么不等式42－36＋45＜0成立的x的取值范围是( )A。

高中数学 综合模块测试17 新人教B 版必修5一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的，请将正确答案的序号填在题后的括号内） 1．在ABC ∆中，4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则c b a ::等于 （ ）（A ）4:3:2（B ）2:3:4（C ）1:2:3（D ）1:2:32．在等差数列{}n a 中，已知21=a ，1332=+a a 则654a a a ++等于 （ ）（A ）45（B ）43（C ）42 （D ）40 3．054cos 66cos 36cos 24cos -的值等于（ ）（A ）0 （B ）21（C ）23 （D ）21-4．若,,n m y x >>下列不等式正确的是（ ）（A ）n y m x ->- （B ）yn xm >（C ）myn x > （D ）x n y m ->- 5．不等式0322>-+x x 的解集是（ ）（A ）}31|{<<-x x （B ）}13|{-<>x x x 或（C ）}13|{<<-x x（D ）}31|{-<>x x x 或6．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ，则a =（ ）（A ）4（B ）2（C ）-2（D ）-4 7．在△ABC 中，如果sinA=2sinCcosB.那么这个三角形是（ ）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）等边三角形8．在ABC ∆中，已知C S b a ABC ∠===∆则且3126,8的度数是 （ ）（A ）300（B ）600或1200（C ）600（D ）12009．已知()414tan ,53tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+πββα ,那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα为（ ）（A ）1813 （B ）2313 （C ）237 （D ）183 10．a 、b 、c 成等比数列，则c bx ax x f ++=2)(的图象与x 轴的交点个数是 （ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）不确定11．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）（A）122n+-（B）3n（C）2n（D）31n-12．在直角坐标系内，满足不等式022≥-yx的点),(yx的集合(用阴影表示)正确的是（）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分.要求只填最后结果）13．一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为46°，则最大角为_______．14．已知βα,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43=+)sin(βα,53-,13124sin=⎪⎭⎫⎝⎛-πβ则⎪⎭⎫⎝⎛+4cosπα=___ _.15．若0,,>cba且324)(-=+++bccbaa,则cba++2的最小值为 .16．数yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334xyxyx，则yx2+的最大值是 .三、解答题（本大题共6小题，共74分。

模块检测(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果a <0，b >0，那么，下列不等式中正确的是( )．A.1a <1bB.－a <bC ．a 2<b 2D ．|a |>|b |解析 如果a <0，b >0，那么1a <0，1b >0，∴1a <1b . 答案 A2．(2012·大连统考(二))△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )．A.14B.34C.24D.23解析 由题意，得b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a2a ×2a＝34，故选B. 答案 B3．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是 ( )． A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8.得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，a 4＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，a 4＝2.∵d <0，∴取a 2＝6，a 4＝2， ∴d ＝12(a 4－a 2)＝－2，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝6－2(n －2) ＝10－2n . 答案 D4．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析 ∵x >1，∴x ＋1x －1＝(x －1)＋1(x －1)＋1≥2(x －1)·1x －1＋1＝3.∴a ≤3.答案 D5．等差数列{a n }满足a 42＋a 72＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )．A ．－9B ．－15C ．15D ．±15解析 a 42＋a 72＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9， ∴a 4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝±3， ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.答案 D6．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝( )．A.32B.12C.33D.34解析 由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sinC ＝32，即可得出sin C ＝12，选B. 答案 B7．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 是( )．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2， ∴lgsin Acos B sin C＝lg 2.∴sin A ＝2cos B sin C ，∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin(B ＋C )＝2cos B sin C ，∴sin(B －C )＝0.∴B ＝C ，∴△ABC 为等腰三角形．8．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )． A ．1<x <3 B ．x <1或x >3 C ．1<x <2D ．x <1或x >2解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0，恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝x 2－3x ＋2>0g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3⇔x <1或x >3. 答案 B9．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0.则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ( )．A ．90B ．80C ．70D ．40解析 作出可行域如图所示．由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图 知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大 值为70. 答案 C10．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )．A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元D.aγ(1＋γ)5万元 解析 设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，∴x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)． 11．在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝________.解析 a n ＋1＝13S n ，a n ＋2＝13S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝13(S n ＋1－S n )＝13a n ＋1，∴a n ＋2＝43a n ＋1(n ≥1)．∵a 2＝13S 1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，13·⎝⎛⎭⎫43n －2，n ≥2.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2，n ≥212．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若a ＝c sin A ，则a ＋bc 的最大值为________．解析 ∵a ＝c sin A ，∴sin A ＝sin C ·sin A . ∴sin C ＝1.C ＝90°.∴A ＋B ＝90°， ∴a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)≤ 2. 答案213.(2011·安徽“三校”联考)2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析 由题，可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理，得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN＝203米，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30米．故旗杆的高度为30米． 答案 3014．已知f (x )＝32x －k ·3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围为________． 解析 由f (x )>0，得32x －k ·3x ＋2>0， 解得k <3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22，∴k <2 2.答案 (－∞，22)三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知13S 3，14S 4的等比中项为15S 5；13S 3，14S 4的等差中项为1，求数列{a n }的通项公式．解 设等差数列{a n }的首项a 1＝a ，公差为d ，则S n ＝na ＋n (n －1)2d ，依题意，有⎩⎨⎧13⎝⎛⎭⎫3a ＋3×22d ×14⎝⎛⎭⎫4a ＋4×32d ＝125⎝⎛⎭⎫5a ＋5×42d 2，13⎝⎛⎭⎫3a ＋3×22d ＋14⎝⎛⎭⎫4a ＋4×32d ＝1×2.整理得⎩⎪⎨⎪⎧3ad ＋5d 2＝0，2a ＋52d ＝2. ∴a ＝1，d ＝0或a ＝4，d ＝－125.∴a n ＝1或a n ＝325－125n ，经检验，a n ＝1和a n ＝325－125n 均合题意．∴所求等差数列的通项公式为a n ＝1或a n ＝325－125n .16．(10分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，若2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，求b .解 ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin 30°＝32，∴ac ＝6.∵2b ＝a ＋c .由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos 30°，∴b 2＝4b 2－12－63， 得b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3.17．(10分)(2012·郑州模拟)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 解 (1)设该船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则 y ＝50n －98－[12×n ＋n (n －1)2×4]＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为 y n ＝－2(n ＋49n －20) ≤－2(2n ·49n－20)＝12， 当且仅当n ＝49n，即n ＝7时上式取等号．所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元． 18．(12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16， (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4， ∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)∵f (x )＝x 2－2x －8.当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m (x －1)．∴对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2(x －1)×4x －1－2＝2(当x ＝3时等号成立)．∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．19．(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＋1＝2S n＋1(n∈N*)，等差数列{b n}中，b n＞0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n，解(1)∵a1＝1，a n＋1＝2S n＋1(n∈N*)，∴a n＝2S n－1＋1(n∈N*，n＞1)，∴a n＋1－a n＝2(S n－S n－1)，即a n＋1－a n＝2a n，∴a n＋1＝3a n(n∈N*，n＞1)．而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1.∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴a n＝3n－1(n∈N*)．∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，在等差数列{b n}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{b n}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵b n＞0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴b n＝2n＋1(n∈N*)．(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①∴3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②∴①－②得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.。

模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)知识点分布表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015江西吉安联考,1)若a ,b ,c ∈R ,a>b ,则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB.ac 2+1>bc 2+1C.a 2>b 2D.a|c|>b|c|答案:B解析:A.∵当1>-2时,1<-12不成立,∴1a <1b 不成立.B.∵c 2+1≥1,a>b ,∴a c 2+1>bc 2+1,故B 正确. C.∵当1>-2时,1>4不成立,∴a 2>b 2不成立.D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B .2.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为√32,则BC 的长为( ) A.√3 B.3 C.√7 D.7答案:A解析:S=12×AB ·AC sin 60°=12×2×√32AC=√32,所以AC=1.所以BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos 60°=3. 所以BC=√3,故选A .3.若5,x ,y ,z ,21成等差数列,则x+y+z 的值为( ) A.26 B.29C.39D.52答案:C解析:因为5,x ,y ,z ,21构成等差数列,所以y 是x ,z 的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y ,5+21=2y ,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知b cos C+c cos B=2b ,则ab 等于( ) A.1 B.√2C.2D.√3答案:C解析:利用正弦定理,将b cos C+c cos B=2b 化为sin B cos C+sin C cos B=2sin B ,即sin(B+C )=2sin B.∵sin(B+C )=sin A ,∴sin A=2sin B.利用正弦定理可得a=2b ,故a b=2.5.已知数列{a n }满足3a n+1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于( ) A.-6(1-3-10) B.19(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)答案:C解析:由3a n+1+a n =0,得a n+1a n=-13.所以{a n }是以q=-13为公比的等比数列. 所以a 1=a 2·1q =-43×(-3)=4.所以S 10=4[1−(-13)10]1+13=3(1-3-10),故选C .6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,x -3y +4≤0,则目标函数z=3x-y 的最大值为 ( )A.-4B.0C.43D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为y=3x-z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.7.已知等差数列{a n}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和S n取最大值时,n的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-3a1,由a n=a1+(n-1)d=a1+(n-1)(-361a1)≥0⇒n≤643=2113,所以数列{a n}前21项都是正数,以后各项都是负数, 故S n取最大值时,n的值为21,选B.8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足2a +1b=1,x=a+b,则实数x的取值范围是()A.[6,+∞)B.(2√2,+∞)C.[4√2,+∞)D.[3+2√2,+∞) 答案:D解析:∵2a +1b=1,∴x=a+b=(a+b)(2a +1b)=2+1+2ba+ab≥3+2√2(当且仅当2ba=ab,即b=√2+1,a=2+√2时,等号成立).故选D.9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan A tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为A和B都为三角形中的内角,由tan A tan B>1,得到1-tan A tan B<0, 且得到tan A>0,tan B>0,即A ,B 为锐角, 所以tan(A+B )=tanA+tanB1−tanAtanB <0, 则A+B ∈(π2,π),即C 为锐角, 所以△ABC 是锐角三角形.10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{a n }中,a 1=2,na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,则a 11=( ) A.36 B.38 C.40 D.42答案:D解析:因为na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,所以在等式的两边同时除以n (n+1), 得a n+1n+1−a n n =2(1n -1n+1). 所以a 1111=a 11+2[(110-111)+(19-110)+⋯+ (1−12)]=4211.所以a 11=42.故选D .11.(2015陕西高考,10)设f (x )=ln x ,0<a<b ,若p=f (√ab ),q=f (a+b2),r=12(f (a )+f (b )),则下列关系式中正确的是( ) A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q答案:C解析:∵f (x )=ln x ,∴p=f (√ab )=ln √ab =12(ln a+ln b )=r.又∵0<a<b ,∴a+b2>√ab . 又∵y=ln x 为递增函数,∴lna+b2>ln √ab ,即q>r ,综上p=r<q.12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{a n },定义数列{a n+1-a n }为数列a n 的“差数列”,若a 1=1,{a n }的“差数列”的通项公式为3n,则数列{a n }的通项公式a n =( ) A.3n-1B.3n+1+2C.3n -1D.3n+1-1答案:C解析:∵a 1=1,a n+1-a n =3n,∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =3n-1+3n-2+…+31+1=1×(1−3n )1−3=3n -12.故选C .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+1x -4,当x= 时,函数有最小值为 . 答案:5 6解析:∵x>4,∴x-4>0.∴y=x+1x -4=x-4+1x -4+4≥2√(x -4)·1x -4+4=6.当且仅当x-4=1x -4即x=5时等号成立.14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S nT n=3n -12n+3,则a 8b 8= .答案:43解析:2a82b 8=a 1+a 15b 1+b 15=152(a 1+a 15)152(b 1+b 15)=S 15T 15=3×15−12×15+3=43.15.设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=4,a 3=9,a n =a n-1+a n-2-a n-3(n=4,5,…),则a 2 015= . 答案:8 057解析:由a n =a n-1+a n-2-a n-3,得a n+1=a n +a n-1-a n-2,两式作和得:a n+1=2a n-1-a n-3, 即a n+1+a n-3=2a n-1(n=4,5,…).∴数列{a n }的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a 1=1,a 3=9,∴奇数项构成的等差数列的公差为8.则a 2 015=a 1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057.16.(2015福建宁德五校联考,16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,有下列结论:①若A>B ,则sin A>sin B ;②若c 2<a 2+b 2,则△ABC 为锐角三角形;③若a ,b ,c 成等差数列,则sin A+sin C=2sin(A+C ); ④若a ,b ,c 成等比数列,则cos B 的最小值为12.其中结论正确的是 .(填上全部正确结论的序号) 答案:①③④解析:对于①,若A>B ,则a>b ,由正弦定理得sin A>sin B ,命题①正确;对于②,若c 2<a 2+b 2,则cos C=a 2+b 2-c 22ab>0,说明C 为锐角,但A ,B 不一定为锐角,△ABC 不一定是锐角三角形,命题②错误;对于③,若a ,b ,c 成等差数列,则a+c=2b ,结合正弦定理得:sin A+sin C=2sin B ,即sin A+sinC=2sin(A+C ),命题③正确;对于④,若a ,b ,c 成等比数列,则b 2=ac , 则cos B=a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-ac 2ac≥ac 2ac =12,命题④正确.三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)17.(2015福建厦门高二期末,17)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a=4,cos B=45. (1)若b=3,求sin A 的值;(2)若△ABC 的面积为12,求b 的值. 解:(1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=√1−cos 2B =35.由正弦定理可得:a sinA=b sinB. 又a=4,b=3,∴sin A=asinBb=4×353=45.(2)由面积公式,得S △ABC =12ac sin B ,∴12ac ×35=12,可解得c=10.由余弦定理,b 2=a 2+c 2-2ac cos B=52,解得b=2√13.18.(2015河北邯郸三校联考,18)数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a n}的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,a n-a n-1=(n-1)c,c.所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n-1)2又a1=2,c=2,故a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立.所以a n=n2-n+2(n=1,2,…).19.(2015河南南阳高二期中,19)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC的面积为√3.(1)求证:a,2,c成等比数列;(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.ac sin 60°=√3,即ac=4.又△ABC的面积为√3,∴12∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC的周长L=a+b+c≥2√ac+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC周长的最小值为6.∵a=c,B=60°,∴此时△ABC为等边三角形.20.(2015福建宁德五校联考,22)已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;②求不等式f(x)<0的解集.(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当b=3时,f (x )=x 2-abx+2a 2=x 2-3ax+2a 2,①∵不等式f (x )≤0的解集为[1,2], ∴1,2是方程x 2-3ax+2a 2=0的两根. ∴{1+2=3a,1×2=2a 2,解得a=1.②∵x 2-3ax+2a 2<0, ∴(x-a )(x-2a )<0.∴当a>0时,此不等式的解集为(a ,2a ),当a=0时,此不等式的解集为空集, 当a<0时,此不等式的解集为(2a ,a ).(2)由题意f (2)=4-2ab+2a 2>0在a ∈[1,2]上恒成立, 即b<a+2a 在a ∈[1,2]上恒成立. 又a+2a ≥2√a ·2a =2√2,当且仅当a=2a,即a=√2时上式等号成立.∴b<2√2,实数b 的取值范围是(-∞,2√2).21.(2015河南郑州高二期末,20)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m .又知甲、乙两种车型的刹车距离S (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系:S 甲=0.1x+0.01x 2,S 乙=0.05x+0.005x 2. 问:甲、乙两车有无超速现象?解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x 2=12,即x 2+10x-1 200=0,解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去). 这表明甲车的车速为30 km/h . 甲车车速不会超过限速40 km/h . 对于乙车,有0.05x+0.005x 2>10, 即x 2+10x-2 000>0,解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.22.(2015河南南阳高二期中,22)已知数列{a n }中,a 1=1,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项a n ; (2)求数列{n 2a n }的前n 项和T n ;(3)若存在n ∈N *,使得a n ≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围. 解:(1)因为a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *), 所以a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1=n2a n (n ≥2). 两式相减得na n =n+12a n+1-n2a n , 所以(n+1)a n+1na n=3(n ≥2). 因此数列{na n }从第二项起,是以2为首项,以3为公比的等比数列, 所以na n =2·3n-2(n ≥2).故a n ={1,n =1,2n·3n -2,n ≥2. (2)由(1)可知当n ≥2时,n 2a n =2n ·3n-2, 当n ≥2时,T n =1+4·30+6·31+…+2n ·3n-2,∴3T n =3+4·31+…+2(n-1)·3n-2+2n ·3n-1.两式相减得T n =12+(n -12)·3n-1(n ≥2).又∵T 1=a 1=1也满足上式,∴T n =12+(n -12)·3n-1.(3)a n ≥(n+1)λ等价于λ≤ann+1,由(1)可知当n ≥2时,a nn+1=2·3n -2n(n+1), 设f (n )=n(n+1)2·3n -2(n ≥2,n ∈N *),则f (n+1)-f (n )=-(n+1)(n -1)3n -1<0,∴1f(n+1)≥1f(n).又1f(2)=13及a12=12,∴所求实数λ的取值范围为λ≤13.。

2017-2018学年高中数学必修5模块综合检测题2018.1.23本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)⎛⎤112．定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，－1，x ＜0，则当x ∈R 时，不等式x ＋2＞(2x －1)sgn x的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜－3＋334 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－3＋334 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－3＋334[Z|X D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝(2－a 2)x ＋a 在区间[0,1]上恒为正，则实数a 的取值范围是________． 14．在R 上定义运算⊗，a ⊗b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊗(x －2)<0的实数x 的取值范围为________．必修5模块综合检测题参考答案【第1题解析】由9x 2＋6x ＋1≤0，得(3x ＋1)2≤0，可求得其解为x ＝－31.故选D.【第2题解析】利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围．如下图．根据题意得C (1＋，2)．作直线－x ＋y ＝0，并平移，过点B (1,3)和C (1＋，2)时，z ＝－x ＋y 分别取最大值和最小值，则－(1＋)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－，2)．故选A.【第5题解析】∵不等式x ＋a x ＋1<2的解集为P ，且1∉P ，∴1＋a 1＋1≥2，即a ＋12a≤0，∴－1<a ≤0.故选D.【第6题解析】∵x >1，y >1，且xy ＝16，∴log 2x >0，log 2y >0且log 2x ＋log 2y ＝log 216＝4.∴log 2x ·log 2y ≤2log2x ＋log2y 2＝4(当且仅当x ＝y ＝4时取等号)．故选D.【第7题解析】由图象知抛物线顶点坐标为(6,11)，且过点(4, 7)．设y ＝a (x －6)2＋11，将点(4,7)代入，得7＝a (4－6)2＋11，∴a ＝－1.∴y ＝－(x －6)2＋11＝－x 2＋12x －25.∴年平均利润为x y ＝－x －x 25＋12＝12－x 25.∵x ＋x 25≥10，即x ＝5时，取等号25，∴当x ＝5时，x y有最大值2.故选C.【第8题解析】∵不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈21成立，∴对一切x ∈21，ax ≥－x 2－1，即a ≥－x x2＋1成立．令g (x )＝－x x2＋1＝－x 1.易知g (x )＝－x 1在21内为增函数．∴当x ＝21时，g (x )max ＝－25.∴a 的取值范围是a ≥－25，即a 的最小值是－25.故选C.【第9题解析】“求(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围”实质上是求不等式组2<12<1的解集，由于这几个不等式结构一样，则其中解集“最小”的一个不等式的解集即是不等式组的解集．(1－a i x )2<1即a i 2x2－2a i x <0，a i x (a i x －2)<0.∵a i >0，∴这个不等式可化为x ai 2<0，∴0<x <ai 2.若ai 2取最小值，则a i 应取最大值，因此0<x <a12，故选B.【第11题解析】设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为x ，y ∈N ，y －x≤7，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点P (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．故选C.【第12题解析】当x ＞0时，不等式化为x ＋2＞2x －1，解得x ＜3，即0＜x ＜3；当x ＝0时，不等式恒成立；当x ＜0时，不等式化为x ＋2＞(2x －1)－1，即2x 2＋3x －3＜0，解得－433＜x＜433，即－433＜x ＜0.综上可知，不等式的解集为＜x ＜333.故选D.【第13题解析】当2－a 2＝0时，a ＝±.由题意知a ＝时符合题意． 当2－a 2≠0，即a ≠±时，f (x )是一次函数，在[0,1]上是单调的，∴>0，0>0，即－a2＋a ＋2>0.a>0，解得0<a <2且a ≠±.综上可知0<a <2.故填(0,2).【第14题解析】∵x ⊗(x －2)＝x ·(x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2，∴x ⊗(x －2)<0，即x 2＋x －2<0，即(x ＋2)(x －1)<0，∴实数x 的取值范围为－2<x <1.故填(－2,1).【第15题解析】设f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意可知f (x )的图象如图1所示，则有>0<0，⇔a ＋b ＋2>0.a ＋2b ＋1<0，图1图2【第16题解析】作出可行域如图所示的阴影部分，平移直线l ：ax ＋by ＝0，由于a >0，b >0，∴直线l 的斜率为－b a<0，∴当直线l 经过点A 时，z ＝ax ＋by 取得最大值6.由x －y ＋2＝0，3x －y －6＝0，解得y ＝6，x ＝4，∴A (4,6)．∴4a ＋6b ＝6.∴32a ＋b ＝1且a >0，b >0.∴a 1＋b 2＝b 2a ＋b 2＝38＋a b ＋3b 4a ≥38＋23b 4a ＝33.(当且仅当a b ＝3b 4a ，即a ＝23b 时取等号)故填33.【第17题答案】y min ＝3.【第17题解析】令t ＝x 2＋1，则t ≥1，且x 2＝t －1.∴y ＝x2＋1x4＋3x2＋3＝t t －1＋3＝t t2＋t ＋1＝t ＋t 1＋1.∵t ≥1，∴t ＋t 1≥2t 1＝2，当且仅当t ＝t 1，即t ＝1时，等号成立．∴当t ＝1时，t 1min ＝2，此时x ＝0，y min ＝t ＋t 1＋1＝3.故当x ＝0时，函数y 取最小值，y min ＝3.【第18题答案】x >2或x <－1m ∈，31，问题转化为g (m )在m ∈，31上恒大于0，则>0，>0，解得x >2或x <－1.故填x >2或x <－1.【第19题答案】23【第19题解析】(1)若a ＝2，则不等式f (x )≥0化为2x 2－5x ＋3≥0，∴不等式f (x )≥0的解集为或x≤13. (2)∵ax 2－(2a ＋1)x ＋a ＋1＝a (x －1)2－(x －1)，令g (a )＝a (x －1)2－(x －1)，则g (a )是关于a 的一次函数，且一次项的系数为(x －1)2≥0，∴当x －1＝0时，f (x )＝0不合题意；当x ≠1时，g (a )为[－2,2]上的增函数．∵f (x )<0恒成立，∴只要使g (a )的最大值g (2)<0即可，即g (2)＝2(x －1)2－(x －1)<0，解得1<x <23. 综上，x 的取值范围是23. 学科*网【第20题答案】（1）f (x )＝38－x ＋10180－5x，x ∈[0,100]；（2）分别用20万元和80万元资金投资A ，B 两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．【第21题答案】存在常数a ＝41，b ＝21，c ＝41满足题意．【第21题解析】由f (－1)＝0，得a －b ＋c ＝0.①又对x ∈R ，不等式x ≤f (x )≤21(x 2＋1)成立，取x ＝1，有1≤f (1)≤1，∴f (1)＝1，故a ＋b ＋c ＝1.②由①②可得b ＝21，c ＝21－a ，将其代入x ≤f (x )≤21(x 2＋1)，得x ≤ax 2＋21x ＋21－a ≤21(x 2＋1)对x ∈R 恒成立，即x －a≤0 ④1对x ∈R 恒成立．由③得Δ≤0a>0，⇒a ＝41.由④得Δ≤0<0，⇒a ＝41.综合可知，存在常数a ＝41，b ＝21，c ＝41满足题意．【第22题答案】存在实数k ∈[3，＋∞)使不等式恒成立．【第22题解析】存在．将不等式4－kx －x 4≤0变形，即－x 4≤kx －4(x >0)．可设f 1(x )＝－x 4，f 2(x )＝kx －4.故f 2(x )中参数k 的几何意义是直线y ＝kx －4的斜率．由下图知当直线y ＝kx －4与曲线y ＝－x 4相切时，关于x 的方程－x 4＝kx －4有唯一大于0的解，将方程整理成关于x 的一元二次方程kx 2－4x ＋4＝0.由Δ＝(－4)2－4×4×k ＝0，可得k ＝3.又直线y ＝kx －4过定点(0，－4)，故要使f 1(x )≤f 2(x )(x >0)恒成立，只需k ≥3即可．综上，存在实数k ∈[3，＋∞)使不等式恒成立．。

模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式－x 2＋5x ＋14≤0的解集为( ) A ．{x |x ≥7或x ≤2} B ．{x |2≤x ≤7} C ．{x |x ≥7或x ≤－2}D ．{x |－2≤x ≤7}解析：选C.－x 2＋5x ＋14≤0⇒x 2－5x －14≥0⇒(x －7)·(x ＋2)≥0⇒x ≥7或x ≤－2. 2．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5D ．3 5解析：选A.依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理，得bsin B＝asin A，所以b ＝a sin B sin A ＝5sin 135°sin 30°＝5 2. 3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3，若a n ＝2 017，则n ＝( ) A ．667 B ．668 C ．669D ．673解析：选D.因为a n ＋1＝a n ＋3，所以a n ＋1－a n ＝3， 所以{a n }是以1为首项，3为公差的等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2. 因为a n ＝2 017，所以n ＝673. 4．下列命题中，一定正确的是( ) A ．若a >b 且1a >1b，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则a b>1 C ．若a >b 且a ＋c >b ＋d ，则c >d D ．若a >b 且ac >bd ，则c >d解析：选A.A 正确，若ab >0，则a >b 与1a >1b不能同时成立；B 错，如取a ＝1，b ＝－1时，有a b＝－1<1；C 错，如a ＝5，b ＝1，c ＝1，d ＝2时，有a ＋c >b ＋d ，c <d ；D 错，取a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，令c ＝－3，d ＝－1，有ac >bd ，c <d .5．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值为( ) A ．16 B ．32 C ．48D ．64解析：选D.由等比数列的性质可得，a 1·a 9＝a 25＝16.因为a n ＞0，所以a 5＝4，所以a 2·a 5·a 8＝a 35＝64，故选D. 6.函数y ＝ x 2＋mx ＋m 2对一切x∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0≤m ≤2解析：选D.Δ＝m 2－4×m2＝m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64解析：选C.易知等比数列的公比不为－1，由等比数列的性质得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即3，12，S 6－15成等比数列，则3(S 6－15)＝144，所以S 6＝63.8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )A. 2B. 3C.32D ．2解析：选C.因为A 、B 、C 依次成等差数列，所以B ＝π3，又因为a sin A ＝b sin B⇒sin A ＝12⇒A ＝π6(因为a <b )，所以C ＝π2，所以S △ABC ＝12ab ＝32. 9．已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，则x ＋y 的最小值为( )A ．16B ．15C ．8D ．4解析：选A. 因为1x ＋9y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y.因为x >0，y >0，所以y x ＋9x y ≥2 y x ·9xy＝6. 当且仅当y x＝9xy，即y ＝3x 时取等号．又因为1x ＋9y＝1，所以x ＝4，y ＝12.所以当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.10．若平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，y －2≤0，y ≥k （x ＋1）的面积为3，则实数k 的值为( )A.13 B.12 C.45D.32解析：选B . 由平面区域Ω的面积为3，可得0<k <2.所以可作可行域如图所示．又因为A (－1，0)，C (0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k－1，2，所以S △ABC ＝12×|BC |×2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1×2＝3.所以k ＝12.11．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞ 解析：选C. 直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－23，且两直线的交点坐标为(3，3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 经过点(3，3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <23，故选C.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，2a ，2b ，2c 成等比数列，则cos A cos B ＝( )A.14B.16C.12D.23解析：选A. 由已知得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π， 故B ＝π3.又4b 2＝4ac ，则b 2＝ac ，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝ac ，即(a －c )2＝0，故a ＝c ，所以△ABC 是等边三角形， 则cos A cos B ＝cos π3×cos π3＝14.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，c ＝2a ，则cos B 的值为________．解析：因为a ，b ，c 成等比数列且c ＝2a ， 所以b 2＝ac ＝2a 2，所以b ＝2a ，c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3a 24a 2＝34.答案：3414．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cosC ＝3cos A sin C ，则b ＝________．解析：由sin A cos C ＝3cos A sin C得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc·c ，则a 2＋b 2－c 2＝3(b 2＋c 2－a 2)，a 2－c 2＝b 22，又a 2－c 2＝2b ，则有b 22＝2b ，故b ＝4.答案：415．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，且t ＝2＋x －14y ，则当t 取最大值时x 的值为________．解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1， 所以t ＝2＋x －14y ＝2＋1－y －14y ≤3－2y ×14y＝2， (当且仅当y ＝14y ，即y ＝12时取等号)所以x ＝1－y ＝12.答案：1216．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为“调和数列”，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18的最大值是________．解析：因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为“调和数列”，所以x n ＋1－x n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，即数列{x n }为等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200得20⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 202＝20（x 3＋x 18）2＝200，即x 3＋x 18＝20，易知x 3、x 18都为正数时，x 3x 18有最大值，所以x 3x 18≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋x 1822＝100(当且仅当x 3＝x 18时等号成立)，即x 3x 18的最大值为100.答案：100三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 7＝49，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝（a n ＋1）·2n －1n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，7a 1＋7×62d ＝49， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝（a n ＋1）·2n －1n＝（2n －1＋1）·2n －1n＝2n，所以T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2(n ∈N *)．18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.19．(本小题满分12分)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥|2x －3|.(1)画出点(x ，y )所在平面区域；(2)设a >－1，在(1)所求的区域内，求函数z ＝y －ax 的最大值和最小值． 解：(1)已知不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥2x －3，2x －3≥0或 ⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥3－2x ，2x －3<0.从而得点(x ，y )所在的平面区域为图中所示的阴影部分(含边界)．其中AB ：y ＝2x －5；BC ：x ＋y ＝4；CD ：y ＝－2x ＋1；DA ：x ＋y ＝1.(2)z 表示直线l ：y －ax ＝z 在y 轴上的截距，且直线l 与(1)中所求区域有公共点． 因为a >－1，所以当直线l 过顶点C 时，z 最大．因为C 点的坐标为(－3，7)． 所以z 的最大值为7＋3a .如果－1<a ≤2，那么当直线l 过顶点A (2，－1)时，z 最小，最小值为－1－2a . 如果a >2，那么当直线l 过顶点B (3，1)时，z 最小，最小值为1－3a .20．(本小题满分12分)(2015·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b nn ，所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a ＋bc＝cos （A ＋C ）cos C.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，求使△ABC 面积最大时，a ，b 的值． 解：(1)因为cos(A ＋C )＝cos(π－B )＝－cos B ， 由题意及正弦定理， 得2sin A ＋sin B sin C ＝－cos Bcos C，即2sin A cos C ＝－(sin B cos C ＋cos B sin C )＝－sin(B ＋C )＝－sin A . 因为A ∈(0，π)，所以sin A >0.所以cos C ＝－12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以4＝a 2＋b 2－2ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即4＝a 2＋b 2＋ab .所以4＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab .所以4≥3ab ，ab ≤43(当且仅当a ＝b 时等号成立)．因为S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ，所以当a ＝b 时△ABC 面积最大为33，此时a ＝b ＝233. 故当a ＝b ＝233时，△ABC 的面积最大为33.22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )满足f (－2)＝0，且2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立．(1)求f (2)的值； (2)求f (x )的解析式； (3)设b n ＝1f （n ），数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n >4n3（n ＋3）. 解：(1)因为2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立，所以4≤f (2)≤4，所以f (2)＝4. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 因为f (－2)＝0，f (2)＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝4，4a －2b ＋c ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2－4a .因为ax 2＋bx ＋c ≥2x ，即ax 2－x ＋2－4a ≥0恒成立， 所以a >0，Δ＝1－4a (2－4a )≤0，得(4a －1)2≤0， 所以a ＝14，c ＝2－4a ＝1，故f (x )＝x24＋x ＋1.(3)证明：因为b n ＝1f （n ）＝4（n ＋2）2>4（n ＋2）（n ＋3）＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n >4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1n ＋3＝4 n 3(n ＋3).。

【高考调研】2015年高中数学 模块能力检测卷（A ）新人教版必修5(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2－b 2>0 B ．ac >bc C ．ac 2>bc 2D ．2a>2b答案 D2．若△ABC 中，A <B <C ，且C ≠π2，则下列结论中正确的是( )A ．tan A <tan CB ．tan A >tanC C ．sin A <sin CD ．cos A <cos C答案 C解析 利用正弦定理A <B <C .所以a <c ，即2R sin A <2R sin C .所以sin A <sin C . 3．已知a >b >0，c >d >0，则( ) A.c a >dbB ．ac >bdC ．a －c >b －d D.b c >a d答案 B4．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <2 5答案 D解析 由于△ABC 为锐角三角形，故有⎩⎪⎨⎪⎧22＋42>x 2，22＋x 2>42，解得23<x <2 5.5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 3＋a 92，Q ＝a 5·a 7，则P 与Q的大小关系是( )A ．P >QB ．P <QC ．P ＝QD ．无法确定答案 A解析 由题设知a n >0，q >0且q ≠1.所以a 3≠a 9，a 3>0，a 9>0，P ＝a 3＋a 92>a 3·a 9，因为a 3·a 9＝a 5·a 7，所以P >Q .6．设数列{a n }是由正项组成的等比数列，且a 7·a 8＝4，则log 4a 1＋log 4a 2＋…＋log 4a 14等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 log 4a 1＋log 4a 2＋…＋log 4a 14＝log 4(a 1a 2·…·a 14)＝log 4(a 7·a 8)7＝log 447＝7. 7．等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 211，则数列{a n }的前n 项和S n 取最大值时的项数n 是( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7答案 C解析 由题设可知a 1＝－a 11，所以a 1＋a 11＝0.所以a 6＝0.因为d <0，故a 5>0，a 7<0，所以n ＝5或6.8.如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB (含边界)，若C (23，45)是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是( )A ．(－103，－512)B ．(－125，－310)C ．(310，125)D ．(－125，310)答案 B解析 利用目标函数的斜率a 与最优点为C ，依线性规划知识知－125<a <－310.9．在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝( )A ．3 3 B.2393C.2633D.392答案 B解析 ∵∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，∴12·b ·c sin A ＝3，∴c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，∴a ＝13.∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝1332＝2393.10．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x ·sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不相等的实根，则A 为( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不确定答案 A解析 Δ＝4sin 2B －4(sin 2A －sin 2C )>0，即sin 2B >sin 2A －sin 2C .由正弦定理b 2＋c 2>a 2，再由余弦定理得cos A >0，所以A 为锐角．11．等差数列{a n }中，d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 31＝50，那么a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42的值为( )A ．60B ．－82C ．182D ．－96答案 B解析 a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42＝a 1＋d ＋a 4＋2d ＋a 7＋3d ＋…＋a 31＋11d ＝(a 1＋a 4＋…＋a 31)＋(d ＋2d ＋3d ＋…＋11d ) ＝50＋11×122d ＝50＋66d ＝－82.12．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的钢管供选择，较经济(够用，又耗材最少)的是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m答案 C解析 设直角三角形两直角边为x m ，y m ，则12xy ＝1.∴x ＋y ＋x 2＋y 2≥2xy ＋2xy ＝22＋2≈4.828.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．已知不等式x 2＋bx －b －34>0的解集为R ，则b 的取值范围是________．答案 (－3，－1)解析 由题知b 2－4(－b －34)<0，即b 2＋4b ＋3<0，所以－3<b <－1.14．在等差数列{a n }中，若a 1－a 4－a 8－a 12＋a 15＝2，则S 15＝________. 答案 －30解析 因为a 4＋a 12＝a 1＋a 15＝2a 8，所以a 8＝－2.所以S 15＝a 1＋a 152×15＝a 8×15＝－2×15＝－30.15．在△ABC 中，A ＝30°，b ＝12，S △ABC ＝18，则sin A ＋sin B ＋sin C a ＋b ＋c 的值为________．答案1125－23解析 由S △ABC ＝12bc sin A ，得18＝12×12×c sin30°.所以c ＝6.再由余弦定理得a 2＝122＋62－2×6×12cos30°＝36(5－23)．由正弦定理，得sin A ＋sin B ＋sin Ca ＋b ＋c＝sin A a ＝1265－23＝1125－23. 16．数列{a n }中，a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1(n ∈N *)，A n 表示数列{a n }的前n 项之积，A 2 009＝________.答案 －2解析 由已知a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，所以a n ＋1＝1－1a n .所以a n ＋2＝1－1a n ＋1＝1－11－1a n＝1－a na n －1.a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－a n a n －1＝a n ，故{a n }是以3为周期的数列，而a 1＝3，a 2＝23，a 3＝－12. 所以a 1a 2a 3＝3×23×(－12)＝－1.所以A 2 009＝(－1)669·a 1a 2＝－2.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C，试判断△ABC 的形状．解析 由正、余弦定理及sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C ，得a 2＋c 2－b 22c ＋a 2＋b 2－c 22b＝b ＋c ，∴a 2＝b 2＋c 2.故△ABC 是直角三角形．18．(12分)某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名学生，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的车费均为40元．若使每个同学游8次，则购买几张游泳卡最合算？每人最少交多少钱？解析 设购买x 张游泳卡，则游泳活动总支出为y ＝48×8x ×40＋240x ，即y ＝240(64x＋x )(x ∈N *)．所以y ＝240(64x ＋x )≥240×264x·x ＝3 840.当且仅当64x ＝x ，即x ＝8时，最合算，每人最少交钱3 84048＝80元．即：购买8张游泳卡最合算，每人最少交80元．19．(12分)已知△ABC 的外接圆半径为1，且角A 、B 、C 成等差数列，若角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，求a 2＋c 2的取值范围．解析 由A 、B 、C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°，A ＋C ＝120°.设A ＝60°＋α，得C ＝60°－α.由0°<A <120°，0°<C <120°，得－60°<α<60°.由正弦定理，得a ＝2R sin A ＝2sin A ，c ＝2R sin C ＝2sin C . 所以a 2＋c 2＝4(sin 2A ＋sin 2C )＝4(1－cos2A 2＋1－cos2C 2)＝4－2(cos2A ＋cos2C )＝4－2[cos(120°＋2α)＋cos(120°－2α)]＝4＋2cos2α. 因为－60°<α<60°，所以－120°<2α<120°. 所以－12<cos2α≤1.所以a 2＋c 2∈(3,6]．20．(12分)购买8角和2元的邮票若干，并要求每种邮票至少要2张，如果小明带有10元，问有多少种买法？解析 设8角邮票可买x 张，2元邮票可买y 张，根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋20y ≤100，x ≥2，y ≥2，x ，y ∈N *.不等式组表示的平面区域如下图所示：在该区域内，x ，y 都是不小于2的整数，这样的点有11个，所以小明有11种购买方法，分别是(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,2)、(3,3)、(4,2)、(4,3)、(5,2)、(5,3)、(6,2)、(7,2)．21．(12分){a n }，{b n }都是各项为正数的数列，对于任意n ∈N *，都有a n ，b 2n ，a n ＋1成等差数列，b 2n ，a n ＋1，b 2n ＋1成等比数列．(1)试问{b n }是否为等差数列，为什么？ (2)若a 1＝1，b 1＝2，求S ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n.解析 (1)b 2n ，a n ＋1，b 2n ＋1成等比数列，则a 2n ＋1＝b 2n b 2n ＋1.因为a n >0，b n >0，n ∈N *. 所以a n ＋1＝b n b n ＋1.所以n ≥2时，a n ＝b n －1b n . 又因为a n ，b 2n ，a n ＋1成等差数列，则a n ＋a n ＋1＝2b 2n . 所以n ≥2时，b n －1b n ＋b n b n ＋1＝2b 2n . 因为b n >0，所以2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)． 所以{b n }是等差数列．(2)由(1)及a 1＝1，b 1＝2知：a 1＋a 2＝2b 21，所以a 2＝3. 又a 2＝b 1b 2，所以3＝2·b 2，所以b 2＝32 2.所以公差d ＝b 2－b 1＝22，所以b n ＝22(n ＋1)． 当n ≥2时，a n ＝b n －1b n ＝12n (n ＋1)．因为a 1＝1适合上式，所以a n ＝n n ＋2，n ∈N *.所以1a n ＝2(1n －1n ＋1)．所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1. 22．(12分)(1)设不等式2x －1>m (x 2－1)对一切满足－2≤m ≤2的实数m 都成立，求x 的取值范围；(2)是否存在m 使不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤x ≤2的一切实数x 都成立？ 解析 令f (m )＝2x －1－m (x 2－1)＝(1－x 2)m ＋2x －1，可看作是一条直线，且使满足－2≤m ≤2的一切实数都有2x －1>m (x 2－1)成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ，f－，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2x －1<0，2x 2＋2x －3>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧1－32<x <1＋32，x <－1－72或x >－1＋72.所以7－12<x <3＋12. (2)令f (x )＝2x －1－m (x 2－1)＝－mx 2＋2x ＋(m －1)， 使满足－2≤x ≤2的一切实数x 都有2x －1>m (x 2－1)成立． 当m ＝0时，f (x )＝2x －1在x ≥12时，f (x )≥0(不满足题意)．当m ≠0时，f (x )只需满足下式： ⎩⎪⎨⎪⎧－m >0，1m ≤－2，f －或⎩⎪⎨⎪⎧－m >0，－2<1m <0，Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧－m <0，f，f －解得解集为空集．故没有m 满足题意．。