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第2课时导数与函数的极值、最值一、教材概念·结论·性质重现1．函数的极值与导数条件设函数f(x )在x0处可导，且f′(x0)＝0在点x＝x0旁边的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0在点x＝x0旁边的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为微小值__极值点x0为极大值点x0为微小值点1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．2．函数的极大值不肯定大于微小值，函数的微小值也不肯定小于极大值．2．函数的最值与导数(1)一般地，假如在闭区间[a，b]上函数f(x)的图象是一条连绵不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．函数的极值是“局部”概念，函数的最值是“整体”概念，闭区间上函数的最值肯定是极值或区间端点对应的函数值．1．推断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)函数的极大值不肯定比微小值大．( √)(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( ×)(3)函数的极大值肯定是函数的最大值．( ×)(4)开区间上的单调连续函数无最值．( √) 2．函数y＝x e x的最小值是( )A．－1 B．－eC．－D．不存在C解析：因为y＝x e x，所以y′＝e x＋x e x＝(1＋x)e x.当x>－1时，y′>0；当x<－1时，y′<0，所以当x＝－1时，函数取得最小值，且y min＝－.3．函数y＝2x－的极大值是_________．－3解析：函数y＝2x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．y′＝2＋，令y′＝0，得x＝－1.当x<－1时，y′>0；当－1<x<0时，y′<0；当x>0时，y′>0，所以当x＝－1时，y取极大值－3.4．若x＝1是函数f(x)＝x3＋的一个极值点，则实数a＝_________．3解析：f′(x)＝3x2－，因为x＝1是f(x)的一个极值点，所以f′(1)＝3－a＝0，得a ＝3.经检验，符合题意．5．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝_________．4解析：f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0，3]上＝f(0)＝4，所以m＝4.考点1 利用导数求函数的极值——综合性考向1 依据函数的图象推断函数的极值(1)若函数f(x)，g(x)的导函数的图象分别如图(1)、图(2)所示，则f(x)与g(x)极值点的个数分别为( )A．4，1 B．2，2C．4，2 D．2，1A解析：对于可导函数，函数的极值点满意两个条件：一个是该点的导数为0，另一个是该点左右两侧的导数值异号．由图象可知f(x)的导函数有4个零点，且4个零点的左右两侧的导数值异号，故f(x)有4个极值点；由图象可知g(x)的导函数有两个零点，但只有一个零点的左右两侧的导数值异号，故g(x)有1个极值点．(2)(2024·西安模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论肯定成立的是( )A．函数f(x)的极大值是f(2)，微小值是f(1)B．函数f(x)的极大值是f(－2)，微小值是f(1)C．函数f(x)的极大值是f(2)，微小值是f(－2)D．函数f(x)的极大值是f(－2)，微小值是f(2)D解析：由函数的图象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且当x＜－2时，f′(x)＞0，当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，故函数f(x)有极大值f(－2)．又当1＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，故函数f(x)有微小值f(2)．由图象推断函数y＝f(x)的极值的两个关注点(1)由导函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，进而可得函数y＝f(x)的单调性．考向2 已知函数解析式求极值(1)若函数f(x)＝的极大值点与极大值分别为a，b，则( )A．a＜b＜ab B．a＜ab＜bC．b＜ab＜a D．ab＜b＜aC解析：f′(x)＝＝，易得，当x∈(0，2)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，当x∈(－∞，0)，(2，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，故函数的极大值点a＝2，所以b＝f(2)＝，ab＝，所以a＞ab＞b.(2)已知函数f(x)＝－x，则( )A．f(x)的单调递减区间为(0，1)B．f(x)的微小值点为1C．f(x)的极大值为－1D．f(x)的最小值为－1C解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1＝，令φ(x)＝1－ln x－x2，则φ′(x)＝－－2x<0，所以φ(x)＝1－ln x－x2在(0，＋∞)上单调递减．因为φ(1)＝0，所以当0＜x＜1时，φ(x)＞0；当x＞1时，φ(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)，故f(x)的极大值点为1，f(x)极大值＝f(1)＝－1.求函数f(x)极值的一般解题步骤(1)确定函数的定义域．(2)求导数f′(x)．(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的全部根．(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．(5)求出极值．考向3 已知函数的极值求参数(1)设函数f(x)＝，若f(x)的微小值为，则a＝( )A．－C．D．2B解析：函数f(x)＝的定义域为{x|x≠－a}．f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝1－a，所以当x＜1－a且x≠－a时，f′(x)＜0；当x＞1－a时，f′(x)＞0，所以f(x)在x＝1－a处取得微小值，所以f(1－a)＝e1-a＝＝，所以1－a＝，解得a＝.(2)(2024·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( ) A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2D解析：若a＝b，则f(x)＝a(x－a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a≠b.依题意，x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，当a<0时，由x>b时，f(x)≤0，画出f(x)的图象如图所示：由图可知b<a，a<0，故ab>a2.当a>0时，由x>b时，f(x)>0，画出f(x)的图象如图所示：由图可知b>a，a>0，故ab>a2.综上所述，ab>a2成立．依据函数极值状况求参数的2个要领(1)列式：依据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：求解后验证根的合理性．1．若函数f(x)＝(x2＋a)·e x的一个极值点为x＝1，则f(x)的极大值为( )A．－3 B．1C．D．－2eC解析：因为f(x)＝(x2＋a)·e x，所以f′(x)＝(x2＋2x＋a)e x.因为x＝1是f(x)的一个极值点，所以f′(1)＝(a＋3)e＝0，解得a＝－3.当a＝－3时，f(x)＝(x2－3)·e x，f′(x)＝(x2＋2x－3)e x.令f′(x)＞0，解得x＞1或x＜－3；令f′(x)＜0，解得－3＜x＜1，故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)的极大值是f(－3)＝.2．已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则( )A．a＝－4，b＝11B．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5D．以上都不正确A解析：函数的导数为f′(x)＝3x2－2ax－b.因为函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，所以f(1)＝10且f′(1)＝0.即解得或当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，此时函数单调递增，函数没有极值，所以不满意条件．经检验，当a＝－4，b＝11时，满意条件．考点2 利用导数求函数的最值——综合性(1)函数f(x)＝x ln x－x在上的最小值为( )A．－B．－1C．0 D．2ln 2－2B解析：f(x)＝x ln x－x，x∈，f′(x)＝ln x，令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)＜0，解得x＜1，故f(x)在上单调递减，在(1，2]上单调递增，故＝f(1)＝－1.(2)(2024·新高考全国Ⅰ卷)函数f(x)＝－2ln x的最小值为_________．1解析：由题设知f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞)，所以当0<x≤时，f(x)＝1－2x－2ln x，此时f(x)单调递减；当<x≤1时，f(x)＝2x－1－2ln x，f′(x)＝2－≤0，此时f(x)单调递减；当x>1时，f(x)＝2x－1－2ln x，f′(x)＝2－>0，此时f(x)单调递增．又f(x)在各分段的界点处连续，综上，当0<x≤1时，f(x)单调递减，当x>1时，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(1)＝1.本例(1)若把函数改为：f(x)＝x ln x，求函数f(x)在上的最大值．解：f(x)＝x ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1.令f′(x)>0，得x>，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)max＝f(2)＝2ln 2.求最值的3种状况(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，f(a)与f(b)中有一个为最大值，另一个为最小值．(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点．1．(2024·全国甲卷) 当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝( ) A．－1 B．－C．D．1B解析：因为函数f(x)定义域为(0，＋∞)，所以依题可知，f(1)＝－2，f′(1)＝0，而f′(x)＝，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f′(x)＝－，因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，x＝1时取最大值，满意题意，即有f′(2)＝－1＋＝－.故选B.2．已知函数f(x)＝.(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值．解：(1)当a＝0时，f(x)＝，则f′(x)＝，所以f(1)＝1，f′(1)＝－4，因此，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，即4x＋y－5＝0. (2)因为f(x)＝，则f′(x)＝＝.由题意可得f′(－1)＝＝0，解得a＝4，经检验，符合题意．故f(x)＝，f′(x)＝.列表如下：x (－∞，－1)－1(－1，4)4(4，＋∞) f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减微小值单调递增所以，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4)．当x<时，f(x)>0；当x>时，f(x)<0.所以f(x)max＝f(－1)＝1，f(x)min＝f(4)＝－.考点3 极值与最值的综合应用——综合性(1)(多选题)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( )A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线AC解析：由题，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>或x<－，令f′(x)<0得－<x<，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以x＝±是极值点，故A正确；因f＝1＋>0，f＝1－>0，f(－2)＝－5<0，所以函数f(x)在上有一个零点，当x≥时，f(x)≥f>0，即函数f(x)在上无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，则h(x)是奇函数，(0，0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；令f′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1，当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误．故选AC.(2)已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.①求f(x)的单调区间；②若f(x)的微小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．解：①f′(x)＝＝.令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为e x>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．又因为a>0，所以当－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0；当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．②由①知，x＝－3是f(x)的微小值点，所以有解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝.因为f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者．而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全．函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值，不能想当然地认为极值点就是最值点．含参数时，要探讨参数的大小．1．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )A．－13 B．－15C．10 D．15A解析：对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，所以a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.易知f(x)在[－1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，所以当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又因为f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，所以当n∈[－1，1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.2．已知函数f(x)＝ax2＋b ln x在x＝1处有极值.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值与最小值．解：(1)由题可知，f(x)＝ax2＋b ln x，f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝2ax＋(x>0)．由于f(x)在x＝1处有极值，则即解得a＝，b＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝.令f′(x)＝0，而x>0，解得x＝1.由f′(x)<0，得0<x<1；由f′(x)>0，得x>1，则在区间上，x，f′(x)，f(x)的改变状况表如下：x 1(1，2) 2 f′(x)－0＋f(x)＋ln 2单调递减单调递增2－ln 2 可得f(x)min＝f(1)＝，f＝＋ln 2，f(2)＝2－ln 2.由于f(2)－f＝2－ln 2－>0，则f(2)>f，所以f(x)max＝f(2)＝2－ln 2. 所以函数f(x)在区间上的最大值为2－ln 2，最小值为.课时质量评价(十七)A组全考点巩固练1．(2024·辽宁月考)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是( )A．函数f(x)在(1，2)上为减函数B．函数f(x)在(3，5)上为增函数C．函数f(x)在(1，3)上有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的微小值点C解析：由y＝f′(x)的部分图象可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当2＜x＜4时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减；当4＜x＜5时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增．又f′(2)＝f′(4)＝0，所以当x＝2时，f(x)取得极大值；当x＝4时，f(x)取得微小值．故选C.2．函数f(x)的导函数为f′(x)＝－x(x＋2)，则函数f(x)有( )A．最小值f(0) B．最小值f(－2)C．极大值f(0) D．极大值f(－2)C解析：令f′(x)＝－x(x＋2)＞0，解得－2＜x＜0，即函数的单调递增区间为(－2，0)；令f′(x)＝－x(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝0；令f′(x)＝－x(x＋2)＜0，解得x＞0或x＜－2，即函数的单调递减区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，所以函数的极大值为f(0)．3．(2024·宿州期中)已知函数f(x)＝e2-x＋x，x∈[1，3]，则下列说法正确的是( ) A．函数f(x)的最小值为3＋B．函数f(x)的最大值为3＋C．函数f(x)的最小值为e＋1D．函数f(x)的最大值为e＋1D解析：f(x)＝e2-x＋x，f′(x)＝－e2-x＋1，令f′(x)＞0，解得x＞2，令f′(x)＜0，解得x＜2，故f(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝3，f(1)＝e＋1，f(3)＝3＋.因为3＋－(e＋1)＝2＋－e<2＋－e<0，所以函数f(x)的最大值为1＋e.4．已知函数f(x)＝－e x，则下列说法正确的是( )A．f(x)无极大值，也无微小值B．f(x)有极大值，也有微小值C．f(x)有极大值，无微小值D．f(x)无微小值，有极大值C解析：由题意得f′(x)＝，x＞0，令g(x)＝1－ln x－x2e x，则g′(x)＝－－2x e x－x2e x＜0，所以g(x)单调递减．又g＞0，g(1)＜0，所以∃x0∈，使g(x0)＝0，所以当x∈(0，x0)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(x0，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以f(x)有极大值，无微小值，故C正确．5．已知函数f(x)＝x2e1-x－a有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．C．B解析：由f(x)＝x2e1-x－a＝0有三个零点得a＝x2e1-x有三个零点．设g(x)＝x2e1-x，则g′(x)＝e1-x x(2－x)，当x＜0时，g′(x)＜0，函数单调递减；当0＜x＜2时，g′(x)＞0，函数单调递增；当x ＞2时，g′(x)＜0，函数单调递减．因为g(0)＝0，g(2)＝，所以0＜a＜.6．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝_________．6解析：因为f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2，且函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，所以f′(2)＝0，即c2－8c＋12＝0，解得c＝6或2.经检验c＝2时，函数f(x)在x＝2处取得微小值，不符合题意，应舍去．故c＝6.7．(2024·滨州月考)用长为18 cm的钢条围成一个长方体形态的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，设该长方体的宽为x cm，当x＝________时，其体积最大，最大体积是________ cm3.1 3解析：长方体的宽为x cm，则长为2x cm，高为 cm.长方体的体积为V(x)＝2x·x·＝9x2－6x3，V′(x)＝18x－18x2，令V′(x)＝0，得18x－18x2＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1.当0＜x＜1时，V′(x)＞0，函数V(x)单调递增，当1＜x＜时，V′(x)＜0，函数V(x)单调递减．所以当x＝1时，函数V(x)有最大值3 cm3.8．已知函数f(x)＝，其中a为正实数，x＝是f(x)的一个极值点．(1)求a的值；(2)当b＞时，求函数f(x)在[b，＋∞)上的最小值．解：f′(x)＝，(1)因为x＝是函数y＝f(x)的一个极值点，所以f′＝0，因此，a－a＋1＝0，解得a＝，经检验，当a＝时，x＝是y＝f(x)的一个极值点，故所求a的值为.(2)由(1)可知，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝.f(x)与f′(x)的改变状况如下：xf′(x)＋0－0＋f(x)所以，f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.当＜b＜时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在[b，＋∞)上的最小值为f＝，当b≥时，f(x)在[b，＋∞)上单调递增，所以f(x)在[b，＋∞)上的最小值为f(b)＝＝.B组新高考培优练9．已知函数f(x)的定义域为D，其导函数为f′(x)，函数y＝sin x·f′(x)(x∈D)的图象如图所示，则f(x)( )A．有微小值f(2)，极大值f(π)B．有极大值f(2)，微小值f(0)C．有极大值f(2)，无微小值D．有微小值f(2)，无极大值D解析：当x∈(0，π)时，sin x＞0，当x∈(π，2π)时，sin x＜0.由图象可得当x∈(0，2)时，f′(x)≤0，当x∈(2，π)时，f′(x)>0，当x∈(π，2π)时，f′(x)≥0，故函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，π)上单调递增，在(π，2π)上单调递增，所以f(x)在定义域D上，先减后增，有微小值f(2)，无极大值．10．函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x＞0)在区间上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是( )A．C．B解析：f′(x)＝＋x－a，依题意，y＝f′(x)在区间上有且仅有一个变号零点，令f′(x)＝0，则a＝x＋，令g(x)＝x＋，x∈(0，＋∞)．由双勾函数的性质可知，函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2.又g＝g(2)＝，g(3)＝.结合g(x)＝x＋在(0，＋∞)上的图象可得，≤a<.11．(多选题)(2024·新高考Ⅰ卷) 已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若f，g(2＋x)均为偶函数，则( )A．f(0)＝0 B．g＝0C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)BC解析：因为f，g(2＋x)均为偶函数，所以f＝f，即f＝f，g(2＋x)＝g(2－x)，所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，则f(－1)＝f(4)，故C正确；函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称，又g(x)＝f′(x)，且函数f(x)可导，所以g＝0，g(3－x)＝－g(x)，所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；若函数f(x)满意题设条件，则函数f(x)＋C(C为常数)也满意题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误．故选BC.12．写出一个定义在R上且使得命题“若f′(1)＝0，则1为函数f(x)的极值点”为假命题的函数f(x)＝___________．(x－1)3(不唯一)解析：函数f(x)＝(x－1)3，则f′(x)＝3(x－1)2，故f′(1)＝0.又f′(x)＝3(x－1)2≥0在R上恒成立，故f(x)在R上为增函数，所以x＝1不是f(x)＝(x－1)3的极值点．13．对于函数f(x)＝ln x＋mx2＋nx＋1，有下列4个论断：甲：函数f(x)有两个减区间；乙：函数f(x)的图象过点(1，－1)；丙：函数f(x)在x＝1处取极大值；丁：函数f(x)单调．若其中有且只有两个论断正确，则m的取值为_________．2解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，由题意得：f′(x)＝＋2mx＋n＝，令g(x)＝2mx2＋nx＋1，明显g(x)过定点(0，1)．①m＞0时的图象可能是：或②m＜0时的图象可能是：或当x＞0时，函数f(x)最多有1个减区间，故甲错误；假设乙正确，则f(1)＝m＋n＋1＝－1，即m＋n＝－2，此时f′(x)＝，若丙正确，则解得m＝1，故n＝－3，而此时f(x)在x＝1处取微小值，即与丙、丁冲突；若丁正确，则m＝2，n＝－4，可满意题意．综上，乙、丁正确，且m＝2.14．(2024·中卫三模)已知函数f(x)＝＋2k ln x－kx，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围是___________．解析：因为函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以f′(x)＝－k＝.因为x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，所以x＝2是导函数f′(x)＝0的唯一根，所以e x－kx2＝0在(0，＋∞)上无变号零点，即k＝在x＞0上无变号零点．令g(x)＝，因为g′(x)＝，所以g(x)在(0，2)上单调递减，在x＞2 上单调递增，所以g(x)的最小值为g(2)＝，所以必需k≤.15．(2024·济宁模拟)已知函数f(x)＝x2－(m＋1)x＋ln x(m∈R)．(1)探讨函数f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，当m≤时，求f(x1)－f(x2)的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋－(m＋1)＝，令g(x)＝x2－(m＋1)x＋1(该函数与f′(x)同号)，当m＋1≤0，即m≤－1时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故此时f(x)是增函数；当即m＞1时，g(x)＝0有两个正根，x1＝，x2＝，明显x1＜x2，此时f(x)的单调递增区间为(0，x1)，(x2，＋∞)，单调递减区间为(x1，x2)；同理当－1＜m≤1时，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，故此时f(x)是增函数．综上可知：当m≤1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当m＞1时，g(x)＝0的两根为x1＝，x2＝，此时f(x)的单调递增区间为(0，x1)，(x2，＋∞)，单调递减区间为(x1，x2)．(2)由(1)知，f′(x)＝x＋－(m＋1)＝，再令g(x)＝x2－(m＋1)x＋1，当m＞1，f(x)的两个极值点为g(x)＝0的两个互异的正实根x1，x2，且x1＋x2＝m＋1，x1·x2＝1，则x1＋＝m＋1∈，即2＜x1＋，明显x1≠1，由x1＋整理得－10x1＋3≤0，解得≤x1≤3，且x1≠1，因为0＜x1＜x2，x1·x2＝1，所以≤x1＜1，而f(x1)－f(x2)＝＋(m＋1)(x2－x1)＋ln x1－ln x2，将x1＋x2＝m＋1代入上式整理得f(x1)－f(x2)＝＋ln x1－ln x2，再将x2＝代入上式得：f(x1)－f(x2)＝＋2ln x1，≤x1<1，令h(x)＝－x2＋＋2ln x，≤x＜1，h′(x)＝－x－＜0在x∈上恒成立，故h(x)在上单调递减，h(x)max＝h＝－2ln 3，h(x)min＞h(1)＝0，且h(x)≠0，即f(x1)－f(x2)的取值范围为.。
导数及其导数的应用考纲要求解读1、了解导数概念的实际背景。
2、理解导数的几何意义。
3、掌握函数y=c(c为常数)。
y=x n（n是正整数）等的导数公式，会求多项式函数的导数。
4、理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。
5、会利用导数求某些简单实际问题的最大值与最小值。
重点难点剖析趋向1、运用导数的有关知识研究函数最值问题，这是考试常考不衰的热点内容，另一方面从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最值问题，在利用函数的导数求解。
趋向2、利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率问题也是导数的一个重要作用，并且也是考试考查的重点内容之一。
趋向3、运用导数的有关知识，研究函数的单调性是它的又一重点应用，在考试中所占的地位是比较重要的。
第一节导数的概念及常见函数的导数一、基础知识整合1、导数概念（1）函数在点处的导数(x o )==深刻理解“函数在一点处导数”、“导函数”、“导数”的区别和联系。
函数y=f （x ）在点x 0处的导数（）就是导函数（）在点x= x 0处的函数值，即（）=（）|x=x0.（2） 导函数导函数也简称导数。
（3） 导数的几何意义函数f （x ）在区间处的几何意义，就是曲线y=f （x ）在点p （，f （））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点P （，f （））处切线的斜率是（）。
相应地，切线方程为y-y 0=（）（x-x 0）。
2、 常用的导数公式 （1）0'=C (C 为常数)； （2）1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；（3）x x cos )'(sin =； （4）x x sin )'(cos -=；（5）a a a x x ln )'(=；（6）x x e e =)'(； （7）e x x a a log 1)'(log =； （8）xx 1)'(ln =． 3、 导数的运算法则法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=．法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭． 二、 夯实基础例一、 求下列函数的导数（1） y =（2x 3-1）（3x 2+x ）;（2） y =3(2x+1)2-4x例二、 导数的几何意义及应用已知直线l 1为曲线y=x 2+x-2在点（1,2）处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，切l 1⊥l 2.（1） 求直线l 2的方程。
导数及其应用经典回顾主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师开心自测题一：若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）．A ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．题二：若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）． Ａ． [1,)-+∞ Ｂ． (1,)-+∞ Ｃ． (,1]-∞- Ｄ． (,1)-∞-考点梳理１．导数的概念（１）函数在某一点处的导数对于函数()y f x =，如果自变量x 在0x 处有增量x ，那么函数y 相应地有增量00()()y f x x f x =+-．如果当0x →时，y x有极限，我们就说()y f x =在点0x 处可导，并把这个极限叫做()f x 在点0x 处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '0000()()lim lim x x f x x f x y x x→→+-==． 对于这一定义，我们应该明确如下四点：① 函数()f x 在0x 及其附近有定义（否则00()()f x f x x +、无意义），x在0x 处的增量0x x x=-，a b a bax 是自变量，并且0x ≠．据此，函数()f x 在0x 处的导数定义的另一种表达形式是 0000()()'()lim x x f x f x f x x x →-=-． ② 函数()f x 在点0x 处可导，是指当0x →时，比值y x有极限．否则，若0lim x y x →不存在，则称函数()f x 在点0x 处不可导． ③ ()f x 在0x 处的导数0()f x '不是一个变数，而是一个确定的数值．④ 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '，其几何意义是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 即00(,)P x y 处切线的斜率，于是，曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线方程为000'()()y y f x x x -=-． （２）导函数若函数()y f x =在开区间(, )a b 内每一点都可导，则称()f x 为开区间(, )a b 内的可导函数．这时对于开区间(, )a b 内每一个确定的值0x ，都有一个确定的导数值0'()f x 与之对应，即在开区间(, )a b 内构成了一个新的函数，我们称这一新函数为()f x 在开区间(,)a b 内的导函数，简称导数，记作'()f x 或'y ，即 00()()'()'limlim x x y f x x f x f x y x x→→+-===．２．导数公式及求导法则 （１）几种常见函数的导数公式'0c =（c 为常数）； '1()n n x nx -=（n Q ∈）；()'sinx cosx =； ()'cosx sinx =-；()'x x e e =； ()'x x a a lna =；1()'lnx x=； 1()'a a log x log e x =． （２）和、差、积、商的求导法则()'''u v u v ±=±； ()'''uv u v uv =+； 2'''u u v uv v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭(0)v ≠．（３）复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且'''x u x y y u =⋅， 或写作'(())'()'()x f x f u x ϕϕ=．３．定积分的基本性质（１）()() ()b b a a kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数； （２）1212[()()]() ()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （３）()()() ()b c ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰其中． ４．微积分基本定理如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()b a f x dx F b F a =-⎰．金题精讲 题一：22(1cos )x dx ππ-+⎰等于（ ）． Ａ．π Ｂ． ２ C. 2π- Ｄ． 2π+题二：设定函数32() (0)3a f x x bx cx d a =+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为１，４． （Ⅰ）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞内无极值点，求a 的取值范围．题三：设a 为实数，函数()22,xf x e x a x =-+∈R ． （Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+．名师寄语导数是微积分最基本的知识点之一，也是高中数学的重要内容之一，学好这部分知识，应着重处理好以下五类问题：一是正确理解导数的概念，掌握几种常见函数的求导公式，和、差、积、商的求导法则以及复合函数求导法则，并能利用它们求一些简单函数的导数；二是熟练掌握利用导数研究函数的单调性和极值的方法，会求闭区间上连续函数的最大值和最小值；三是理解导数的几何意义，并能解决与曲线的切线有关的问题；四是能利用导数证明不等式；五是简单函数的定积分及其简单应用．开心自测题一：A 题二：C金题精讲题一：D题二：（Ⅰ）32()312f x x x x =-+；（Ⅱ）a 的取值范围是[]1,9． 题三：（Ⅰ） ()f x 的减区间是(,ln 2)-∞，增区间是(ln 2,)+∞，ln2()(ln 2)2ln 2222ln 22f x f e a a ==-+=-+极小． （Ⅱ） 略。
2011高考状元数学复习资料-导数及其应用2011高考状元数学复习资料-导数及其应用【学法导航】导数是高中数学中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具。
导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象。
要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法。
导数的应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求我们复习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识( 所以在复习中要重点把握以下几点:一是导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容。
考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义;二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题(三是应用导数解决实际问题(【专题综合】导数是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，高考命题在利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，是函数知识和不等式知识的一个结合体，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，突出了对能力的考查.1.利用导数处理方程问题932例1(2009江西卷文)设函数( fxxxxa()6,,，,2,(1)对于任意实数，恒成立，求的最大值; fxm(),xm(2)若方程有且仅有一个实根，求的取值范围( fx()0,a'2解:(1) , fxxxxx()3963(1)(2),,，,,,'2 因为,, 即恒成立, x,,,，,(,)fxm(),39(6)0xxm,，,,33 所以 , 得，即的最大值为 ,,,,,8112(6)0mm,m,,44''' (2) 因为当时, ;当时, ;当时, ; fx()0,fx()0,fx()0,x,112,,xx,25 所以当时,取极大值 ; fx()x,1fa(1),,2当时,fx()取极小值 fa(2)2,,; x,25 故当f(2)0, 或f(1)0,时, 方程fx()0,仅有一个实根. 解得或. a,a,222利用导数研究函数的图像变化规律3例3(2009陕西卷文)已知函数 fxxaxa()31,0,,,,保护原创权益?净化网络环境求的单调区间; ,fx()，，若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的,,fx()yfx,()x,,1，，取值范围。
'22w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解析:(1) fxxaxa()333(),,,,,'当时，对，有 fx()0,,a,0xR,当时，的单调增区间为 fx()(,),,，,a,0'当时，由解得或; fx()0,xa,,xa,a,0'由解得， fx()0,,,,axa当时，的单调增区间为;的单调减区间为。
fx()fx()(,),(,),,,，,aa(,),aaa,0(2)因为在处取得极大值， fx()x,,1'2所以 faa(1)3(1)30,1.,,，,,,？,3'2所以 fxxxfxx()31,()33,,,,,,'由解得 xx,,,1,1fx()0,12由(1)中的单调性可知，在处取得极大值， fx()fx()f(1)1,,x,,1在处取得极小值 f(1)3,,x,1因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，yfx,()f(3)193,,,,,ym, ， f(3)171,,结合的单调性可知，的取值范围是 fx()(3,1),m3.利用导数证明不等式2例3(2007年山东卷理)设函数,其中. fxxbx()ln(1),，，b,01时,判断函数在定义域上的单调性; (I)当fx()b,2(II)求函数fx()的极值点;111(III)证明对任意的正整数,不等式都成立. nln(1)，,,23nnn保护原创权益?净化网络环境2解:(I) 函数的定义域为. ,，,1,fxxbx()ln(1),，，，，2bxxb22，，， fxx'()2,，,xx，，1111,,,,2，则在上递增，在上递减，令gx(),，,,gxxxb()22,，，,,1,,,,,22,,,,1111. 当时，， b,gxgb()(),,,,，gxb()0,,，,minmin22222'在上恒成立. ,，,1,gxxxb()220,，，,？,fx()0,，，1即当时,函数在定义域上单调递增。
fx(),，,1,b,，，2(II)分以下几种情形讨论:1(1)由(I)知当时函数无极值点. fx()b,2122()x，12(2)当时，， b,fx'(),2x，111,,,,''时，时， fx()0,,x,,，,,fx()0,,？,,,x1,,,,,22,,,,1时，函数在上无极值点。
fx(),，,1,？,b，，21'(3)当时，解得两个不同解 b,fx()0,2,,,112b,，,112b，. x,x,1222,,,112b,，,112b当时，，， b,0x,,,1x,,,11222？,,，,,,，,xx1,,1,,，，，，12,，,112b此时在上有唯一的极小值点. fx(),，,1,x,，，221当时， xx,1,,,,，,0,,b，，122''fx()在,，,1,,,xx都大于0 ，fx()在上小于0 ， (,)xx，，，，1212 ,,,112b,，,112b此时fx()有一个极大值点和一个极小值点. x,x,1222保护原创权益?净化网络环境,，,112b综上可知，时，在上有唯一的极小值点; fx(),，,1,b,0x,，，22 ,,,112b,，,112b1时，有一个极大值点和一个极小值点;fx()0,,bx,x,12222 1时，函数在上无极值点 fx(),，,1,b,，，22(III) 当时， fxxx()ln(1).,,，b,,1332令 hxxfxxxx()()ln(1),,,,,，，323(1)xx，,'则在上恒正， 0,，,hx(),，,x，1在上单调递增，当时，恒有. ？hx()0,，,x,，,0,hxh()(0)0,,，，，,3223即当时，有， x,，,0,xxx,，，,ln(1)0,ln(1)xxx，,,，，1111对任意正整数，取得 x,nln(1)，,,23nnnn点评:函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。
(I)通过判断导函数的正负来确定函数1'的单调性是是和定义域共同作用的结果;(II)需要分类讨论，由(I),，,1,fx()0,b,，，211可知分类的标准为(III)构造新函数为证明不等式“服务”，构造函数bbb,,,,,0,0.22的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。
用导数解决函数的单调性问题一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点，究其原因，应该有三条:这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握，但重要的是求导后的细节问题------参数的取值范围是否影响了函数的单调性,因而需要进行分类讨论判断:当参''数给出了明确的取值范围后，应根据导函数的特点迅速判断或。
参fx()fx()0,fx()0,数取某些特定值时，可直观作出判断，单列为一类;不能作出直观判断的，再分为一类，用'通法解决.另外要注意由求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性fx()0,后才能称为“极值点”.1例4已知函数，，证明: fxxx()ln(1),，,x,,11ln(1),,，,xxx，1x1,证:函数的定义域为(,,1,, fx()fx()(1,),，,x，1x，1保护原创权益?净化网络环境,,当x?(,1，0)时，,0，当x?(0，，?)时，,0， fx()fx()时，?，即?0? ( 因此，当fx()f(0)ln(1)xx，,ln(1)xx，,x,,1x111,令则,( gx(),,gxx()ln(1)1,，，,22(1)x，xx，，1(1)x，1,,? 当x?(,1，0)时，,0，当x?(0，，?)时，,0( gx()gx()11? 当时，?，即 ?0，? ( gx()g(0)x,,1ln(1)1x，，,ln(1)1x，,,x，1x，1 1综上可知，当时，有( x,,11ln(1),,，,xxx，1通过以上例题，我们可以体会到用导数来证明不等式的基本要领和它的简捷。
总之，利用导数证明不等式的关键是“构造函数”，解决问题的依据是函数的单调性，这一方法在高等数学中应用的非常广泛，因此，希望同学门能认真对待，并通过适当的练习掌握它【专题突破】1、(以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( C )A(?、? B(?、? C(?、? D(?、?322、函数是减函数的区间是( D ) f(x),x,3x，1A.(2,，,)B.(,,,2)C.(,,,0)D.(0,2)323、若函数为增函数，则( D ) f(x),ax，bx，cx，d(a,0)22 A.b,4ac,0B.b,0,c,0C.b,0,c,0D.b,3ac,0324、上有最大值3，那么在上的最f(x)已知f(x),2x,6x，a(a是常数)在[,2,2][,2,2]小值是( C )A.,5B.,11C.,37D.,2925. 在高台跳水运动中,t秒时运动员相对于水面的高度为,则运动员h(t),,4.9t，6.5t，10在1秒时的瞬时速度为 -3.3m/s ,此时运动状态是以3.3m/s的速率下降26.过函数处的切线方程是y,x,2,0。
f(x),2x,3x，4图象上点(1,3)32,fxxbxcxxR,，，,()7. 设函数，已知是奇函数。
gxfxfx()()(),,，，保护原创权益?净化网络环境(?)求、的值。
(?)求的单调区间与极值 cgx()b322,解答: (?)?，?。
fxxbxcx,，，fxxbxc,，，32，，，，322,从而,gxfxfxxbxcxxbxc()()()(32),,,，，,，，32是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得;xbxcbxc，,，,,(3)(2)g(0)0,c,0b,332,(?)由(?)知，从而，由此可知，和gxxx()6,,gxx()36,,(,2),,,(2,)，, 是函数是单调递增区间;是函数是单调递减区间; gx()gx()(2,2),在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，gx()gx()x,,2x,242极小值为。
