高一数学三角同步练习1

专题强化练8 同角三角函数关系与诱导公式的综合运用一、选择题1.(2019广东中山一中高一下段考,)已知sin α·cos α=18,π4<α<π2,则cosα-sin α的值为( )A.√32B.-√32C.34D.-342.(2019福建福州长乐高中高一期末,)在△ABC 中,下列结论错误的是( ) A.sin(A+B)=sin C B.sinB+C 2=cos A2C.tan(A+B)=-tan C (C ≠π2)D.cos(A+B)=cos C3.(2019甘肃武威一中高一下段考,)化简2sin4√1-cos 24+√1-sin 23cos3的结果为( )A.-3B.-1C.1 D .34.(2019福建八县(市)一中高一上期末联考,)已知tan θ=3,则sin (3π2+θ)+2cos(π+θ)sin (π2-θ)-sin(π-θ)等于( )A.-32B.32C.0 D .235.(2019河北唐山高三二模,)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有一点A(2sin α,3),则cos α=( ) A.12B.-12C.√32D.-√326.(2019河南安阳高三一模,)9sin 2α+1cos 2α的最小值为()A.18B.16C.8 D .6 二、填空题7.(2020吉林长春第二中学高一期末,)若角A 是三角形ABC 的内角,且tan A=-13,则sin A+cos A= . 8.(2019江西临川第一中学等九校高三联考,)已知α∈(0,π),且cosα=-1517,则sin (π2+α)·tan(π+α)=.三、解答题9.(2020河南安阳第一中学高一月考,)已知f(α)=sin 2(π-α)·cos(2π-α)·tan(-π+α)sin(-π+α)·tan(-α+3π).(1)化简f(α);(2)若f(α)=18,且π4<α<π2,求cos α-sin α的值; (3)若α=-31π3,求f(α)的值.易错10.(2020山东日照高一上期末,)已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,-m-1),且cos α=m 5. (1)求实数m 的值;(2)若m>0,求sin(3π+α)cos (3π2-α)cos(α-π)sin (π2+α)的值.答案全解全析一、选择题1.B 由题意得(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×18=34. ∵π4<α<π2,∴cos α-sin α<0,∴cos α-sin α=-√32.2.D 在△ABC 中,有A+B+C=π,则sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,A 结论正确; sinB+C 2=sin (π2-A 2)= cos A2,B 结论正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C (C ≠π2),C 结论正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,D 结论错误.故选D. 3.A √2+√1-sin 23cos3=√2+√cos 23cos3,因为sin 4<0,cos 3<0,所以原式=2sin4-sin4+-cos3cos3=-2-1=-3.4.B ∵tan θ=3, ∴sin (3π2+θ)+2cos(π+θ)sin (π2-θ)-sin(π-θ)=-3cosθcosθ-sinθ=-31-tanθ=32.故选B.5.A 易知sin α≠0,由三角函数定义得tan α=32sinα,即sinαcosα=32sinα,得3cosα=2sin 2α=2(1-cos 2α),解得cos α=12或cos α=-2(舍去). 6.B 由题意得,9sin 2α+1cos 2α=(sin 2α+cos 2α)·(9sin 2α+1cos 2α)≥9+1+2√9cos 2αsin 2α·sin 2αcos 2α=16,当且仅当sin 2α=34,cos 2α=14时,等号成立. 二、填空题 7.答案 -√105解析 由题得{sin 2A +cos 2A =1,sinA cosA =-13,π2<A <π,∴sin A=√1010,cos A=-3√1010, ∴sin A+cos A=-√105.8.答案817解析 sin (π2+α)·tan(π+α)=cos α·tan α=sin α,因为α∈(0,π),且cos α=-1517,所以sin α=√1-cos 2α=√1-(-1517)2=817.三、解答题 9.解析 (1)f(α)=sin 2α·cosα·tanα(-sinα)(-tanα)=sin αcos α.(2)由f(α)=sin αcos α=18可知(cos α-sin α)2=cos 2α-2sin αcosα+sin 2α=1-2sin αcos α=1-2×18=34. 又∵π4<α<π2,∴cos α<sin α,即cos α-sin α<0, ∴cos α-sin α=-√32.(3)∵α=-31π3=-6×2π+5π3,∴f (-31π3)=cos (-31π3)·sin (-31π3)=cos (-6×2π+5π3)·sin (-6×2π+5π3)=cos 5π3·sin 5π3=cos (2π-π3)·sin (2π-π3)=cos π3·(-sin π3) =12×(-√32) =-√34. 易错警示 诱导公式在解题中的运用要注意两点:一是逐步诱导,如将sin(-π+α)化为-sin α分两步,先用公式sin[-(π-α)]=-sin(π-α),再用公式sin(π-α)=sin α,才能达到目的;二要层次清楚,先变角、再用公式.解题时要防止因逻辑混乱导致的错误.10.解析 (1)根据三角函数的定义可得cos α=√22=m5,解得m=0或m=3或m=-4.(2)由(1)知m=0或m=3或m=-4,因为m>0,所以m=3,所以cos α=35,sinα=-45,由诱导公式,可得sin(3π+α)cos (3π2-α)cos(α-π)sin (π2+α)=-sinα·(-sinα)-cosαcosα=-sin 2αcos 2α=-169.。

高一数学三角函数测试题命题人：谢远净一、选择题（每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的） 1．角α的终边上有一点P （a ，a ），a ∈R 且a ≠0，则sinα值为 （ ）A ．22-B ．22 C ．1 D ．22或22-2．函数x sin y 2=是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 3．若f (cos x )＝cos3x ，则f (sin30°) 的值（ ）A ．1B ．－1C ．0D ．214．“y x ≠”是“y x sin sin ≠”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M+m 等于 （ ）A ．32B ．32-C ．34-D ．－2 6．αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+=（ ）A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．127．sinαcosα＝81，且4π＜α＜2π，则cosα－sinα的值为 （ ）A ．23 B ．23- C ．43 D ．43-8．函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A ．)48sin(4π+π-=x yB ．)48sin(4π-π=x yC ．)48sin(4π-π-=x yD ．)48sin(4π+π=x y9．若tan(α+β)=3, tan(α－β)=5, 则tan2α= （ ）A ．74 B ．－74 C ．21 D ．－2110．把函数)20(cos 2π≤≤=x x y 的图象和直线2=y 围成一个封闭的图形，则这个封闭图形的面积为 （ ）A ．4B ．8C ．2πD ．4π11．9．设)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+则的值是 （ ）A ．1813B ．2213 C ．223 D ．6112．已知α+ β =3π, 则cos αcos β –3sin αcos β –3cos αsin β – sin αsin β 的值为 （ ）A ．–22B ．–1C ．1D ．–2二、填空题（每小题4分，共16分。

1-2-0-1任意角的三角函数的定义一、选择题1．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 由于sin α<0，则α的终边在第三或四象限，又tan α>0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．2．若角α的终边过点(－3，－2)，则( ) A ．sin αtan α>0 B ．cos αtan α>0 C ．sin αcos α>0 D ．sin αcos α<0 [答案] C[解析] ∵角α的终边过点(－3，－2)， ∴sin α<0，cos α<0，tan α>0， ∴sin αcos α>0，故选C. 3．cos1110°的值为( ) A.12 B.32C ．－12D ．－32[答案] B[解析] cos1110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos30°＝32. 4．已知P (2，－3)是角θ终边上一点，则tan(2π＋θ)等于( ) A.32B.23C ．－32D ．－23[答案] C[解析] tan(2π＋θ)＝tan θ＝－32＝－32.5.cos 2201.2°可化为( ) A ．cos201.2° B ．－cos201.2° C ．sin201.2° D ．tan201.2°[答案] B[解析] ∵201.2°是第三象限角，∴cos201.2°<0， ∴cos 2201.2°＝|cos201.2°|＝－cos201.2°.6．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114B.114C ．－4 D ．4[答案] C[解析] 由题意得cos α＝mm 2＋9＝－45，解得m ＝±4.又cos α＝－45<0，则α的终边在第二或三象限，则点P 在第二或三象限，所以m <0，则m ＝－4.7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由于点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ<0，sin θcos θ>0，所以有sin θ<0，cos θ<0，所以θ是第三象限角． 8．α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则sin α的值为( )A.104B.64C.24 D ．－104[答案] A[解析] ∵|OP |＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5＝24x 又因为α是第二象限角，∴x <0，得x ＝－ 3 ∴sin α＝5x 2＋5＝104，故选A.9．如果α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12C ．－32D ．－33[答案] C[解析] ∵P (1，－3)，∴r ＝12＋(－3)2＝2， ∴sin α＝－32. 10．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是( )A ．{－1,1,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．R[答案] C[解析] ∵该函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π2，k ∈Z }，∴当x 是第一象限角时，y ＝3；当x 是第二象限角时，y ＝1－1－1＝－1； 当x 是第三象限角时，y ＝－1－1＋1＝－1； 当x 是第四象限角时，y ＝－1＋1－1＝－1. 综上，函数的值域是{－1,3}． 二、填空题11．使得lg(cos θ·tan θ)有意义的角θ是第________象限角． [答案] 一或二[解析] 要使原式有意义，必须cos θ·tan θ>0，即需cos θ、tan θ同号，∴θ是第一或第二象限角．12．已知角θ的终边经过点(－32，12)，那么tan θ的值是________．[答案] －3313．已知角α的终边在直线y ＝x 上，则sin α＋cos α的值为_____． [答案] ±2[解析] 在角α终边上任取一点P (x ，y )，则y ＝x ， 当x >0时，r ＝x 2＋y 2＝2x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝22＋22＝2，当x <0时，r ＝x 2＋y 2＝－2x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝－22－22＝－ 2.14．判断符号，填“>”或“<”： sin3·cos4·tan5________0. [答案] >[解析] π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3cos4tan5>0.三、解答题15．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α>0，求实数a 的取值范围．[解析] ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上， ∵α终边过(3a －9，a ＋2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0a ＋2＞0，∴－2<a ≤3. 16．求下列各式的值： (1)sin25π3＋tan(－23π4)； (2)sin 1170°＋cos360°－tan 125°.[分析] 此类问题的解答应先将角改写成2k π＋α或k ·360°＋α(k ∈Z )的形式，再运用诱导公式(一)求值．[解析] (1)sin 25π3＋tan(－23π4)＝sin(8π＋π3)＋tan(－6π＋π4)＝sinπ3＋tan π4＝32＋1＝3＋22.(2)sin1170°＋cos360°－tan1125°＝sin(3×360°＋90°)＋cos(0°＋360°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1.17．已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．[解析] (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角． 由lgcos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角． 综上可知角α是第四象限的角． (2)∵|OM |＝1，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.18．(2011～2012·黑龙江五校联考)已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值． [分析] 此类问题的解答一般根据三角函数的定义求解．对于本题可由定义求出m 的值，再求cos θ与tan θ的值．[解析] (1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；(2)当m＝5时，cosθ＝－64，tanθ＝－153；(3)当m＝－5时，cosθ＝－64，tanθ＝153.。

答案5．2.1 三角函数的概念 必备知识基础练1．解析：∵α的终边经过点P (1，－1)，∴sin α＝－112＋－12＝－22.答案：D2．解析：当a >0时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当a <0时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α的值是25或－25. 答案：B3．解析：cos α＝－513<0，则α的终边在第二或第三象限，又点P 的纵坐标是正数，所以α是第二象限角，所以m <0，由5m 25m 2＋144＝－513，解得m ＝－1.答案：－14．解析：因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α的终边在第三象限． 答案：C5．解析：因为α是第三象限角，所以2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .所以k π＋π2<α2<k π＋3π4，所以α2在第二、四象限．又因为⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，所以cos α2<0，所以α2在第二象限． 答案：B6．解析：∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 答案：C7．解析：cos 405°＝cos(45°＋360°)＝cos 45°＝22.答案：C8．解析：sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋8π＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－4π＝sin π3＋tan π4＝32＋1. 答案：32＋19．解析：原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. 答案：1＋64关键能力综合练1．解析：cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝32.答案：B2．解析：因为cos α＝－32<0，所以x <0，又r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32，所以x ＝－2 3.故选D. 答案：D3．解析：因为r ＝2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2.故选D. 答案：D4．解析：因为－π2<α<0，所以cos α>0，且sin α<0，所以点Q (cos α，sin α)在第四象限，选D. 答案：D5．解析：当角α的终边在第一象限时，可设直线上一点P (1,2)，sin α＝25＝255；当角α的终边在第三象限时，可设直线上一点P (－1，－2)，此时sin α＝－25＝－255，∴sin α＝±255.答案：C6．解析：由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .答案：B7．解析：由三角函数的定义得r ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝14＋34＝1，则sin α＝y r ＝－32，cos α＝12.答案：－32 128．解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＋tan ⎝⎛⎭⎫2π－5π3＝cos π6＋tan π3＝32＋3＝332. 答案：3329．解析：由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，解得－2<a ≤3. 答案：(－2,3]10．解析：当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,1)，由r ＝2，得sin α＝22，cos α＝22，tan α＝1； 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－1)，由r ＝2，得sin α＝－22，cos α＝－22，tan α＝1.学科素养升级练1．解析：对于A ：由题意知，tan α＜0且cos α＜0，∴α是第二象限角，正确；对于B ：A ，B ∈(0，π)，∴sin A ＞0，cos B ＜0，正确；对于C ：∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0，C 错误；对于D ：∵π2＜3＜π，π＜4＜32π，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，sin 3·cos 4·tan 5＞0.D 正确，故选A ，B ，D. 答案：ABD2．解析：由三角函数定义可得Q ⎝⎛⎭⎫cos 2π3，sin 2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32. 答案：A3．解析：(1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0，由lg(cos α)有意义可知cos α>0， 所以角α是第四象限角．(2)∵|OM |＝1，∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。

高一数学(必修一)《第五章 三角函数的概念》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．点P 从(2,0)出发，逆时针方向旋转43π到达Q 点，则Q 点的坐标为（ ）A ．1,2⎛- ⎝⎭B ．(1)-C ．(1,-D ．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭2．角α的终边过点()3,4P -，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425- B ．725- C ．725D ．24253．已知函数1log a y x =和()22y k x =-的图象如图所示，则不等式120y y ≥的解集是（ ）A ．(]1,2B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]1,24．已知(0,2)απ∈，sin 0α<和cos 0α>，则角α的取值范围是（ ） A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭5．已知α是第二象限角，则（ ） A ．2α是第一象限角 B ．sin02α>C ．sin 20α<D ．2α是第三或第四象限角6．已知直线l 1的斜率为2，直线l 2经过点(1,2),(,6)A B x --，且l 1∥l 2，则19log x ＝（ ） A ．3B ．12C ．2D ．12-7．已知()1cos 3αβ-=，3cos 4β=与0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭和0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则（ ）．A ．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()0,απ∈D ．0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭8．已知点()tan ,sin P αα在第四象限，则角α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角二、解答题9．设α是第一象限角,作α的正弦线､余弦线和正切线,由图证明下列各等式. (1)22sin cos 1αα+=; (2)sin tan cos ααα=. 如果α是第二､三､四象限角,以上等式仍然成立吗? 10．已知()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若α是第三象限角，且()1sin 5απ-=，求()f α的值.11．已知|cosθ|=-cosθ，且tanθ<0，试判断()()sin cos θcos sin θ的符号.12．不通过求值，比较下列各组数的大小： (1)37sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭与49sin 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)sin194︒与()cos 160︒.13．（1）已知角α的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求()()()πsin tan π2sin πcos 3παααα⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭+⋅-的值； （2）已知0πx <<，1sin cos 5x x +=求tan x 的值． 14．已知角θ的终边与单位圆在第四象限交于点1,2P ⎛ ⎝⎭． (1)求tan θ的值；(2)求()()cos cos 22sin cos πθθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭++的值．15．在平面直角坐标系xOy 中角θ的始边为x 轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点P ，点P 的横坐标为35. (1)求cos 3sin 3sin cos θθθθ+-的值；(2)若将射线OP 绕点O 逆时针旋转2π，得到角α，求22sin sin cos cos αααα--的值.三、多选题16．给出下列各三角函数值：①()sin 100-；②()cos 220-；③tan 2；④cos1.其中符号为负的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④四、双空题17．已知55sin ,cos 66P ππ⎛⎫⎪⎝⎭是角α的终边上一点，则cos α=______，角α的最小正值是______. 参考答案与解析1．C【分析】结合已知点坐标，根据终边旋转的角度和方向，求Q 点坐标即可.【详解】由题意知，442cos ,2sin 33Q ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(1,Q -. 故选：C. 2．B【分析】化简得2sin 22cos 12παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的坐标定义求出cos α即得解.【详解】解：2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭由题得3cos 5α==-，所以237sin 22()12525πα⎛⎫+=⨯--=- ⎪⎝⎭. 故选：B 3．B【分析】可将12,y y 图象合并至一个图，由12,y y 同号或10y =结合图象可直接求解.【详解】将12,y y 图象合并至一个图，如图：若满足120y y ≥，则等价于120y y ⋅>或10y =，当()1,2x ∈时，则120y y ⋅>，当1x =时，则10y =，故120y y ≥的解集是[)1,2故选：B 4．D【分析】根据三角函数值的符号确定角的终边的位置，从而可得α的取值范围.【详解】因为sin 0α<，cos 0α>故α为第四象限角，故3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭故选：D. 5．C∴2α是第三象限，第四象限角或终边在y 轴非正半轴，sin20α<，故C 正确，D 错误. 故选：C ． 6．D【分析】由已知结合直线平行的斜率关系可求出x ，然后结合对数的运算性质可求．【详解】解：因为直线l 1的斜率为2，直线l 2经过点(1,2),(,6)A B x --，且l 1∥l 2 所以6221x +=+，解得3x =所以2113991log log 3log 32x -===-故选：D ． 7．B【分析】由已知得()0,απ∈，再利用同角之间的关系及两角差的余弦公式计算cos 0α<，即可得解.()0,απ∴∈又cos cos()cos()cos sin()sin ααββαββαββ=-+=---13034=⨯=< ,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭故选：B 8．C【分析】由点的位置可确定tan ,sin αα的符号，根据符号可确定角α终边的位置.【详解】()tan ,sin P αα在第四象限tan 0sin 0αα>⎧∴⎨<⎩，α位于第三象限.故选：C. 9．见解析【解析】作出α的正弦线､余弦线和正切线 （1）由勾股定理证明；（2）由三角形相似PMO TAO ∆∆∽证明．若α是第二､三､四象限角,以上等式仍成立.【点睛】本题考查三角函数线的应用，考查用几何方法证明同角间的三角函数关系．掌握三角函数线定义是解题基础．10．(1)()cos f αα=-.【分析】(1)根据诱导公式直接化简即可;(2)由()1sin 5απ-=,可以利用诱导公式计算出sin α,再根据角所在象限确定cos α,进而得出结论.【详解】(1)根据诱导公式()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos sin sin sin ααααα⋅⋅-=⋅cos α=-所以()cos f αα=-;(2)由诱导公式可知()sin sin απα-=-,即1sin 5α=-又α是第三象限角 所以cos α==所以()=cos f αα-=【点睛】本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆. 11．符号为负.【分析】由|cosθ|=﹣cosθ，且tanθ＜0，可得θ在第二象限，即可判断出．【详解】由|cosθ|=-cosθ可得cosθ≤0，所以角θ的终边在第二、三象限或y 轴上或x 轴的负半轴上;又tanθ<0，所以角θ的终边在第二、四象限，从而可知角θ的终边在第二象限.易知-1<cosθ<0，0<sinθ<1，视cosθ、sinθ为弧度数，显然cosθ是第四象限的角，sinθ为第一象限的角，所以cos(sinθ)>0，sin(cosθ)<0，故()()sin cos θcos sin θ<0故答案为符号为负.【点睛】本题考查了三角函数值与所在象限的符号问题，考查了推理能力，属于基础题． 12．(1)3749sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)sin194cos160︒>︒【分析】根据诱导公式及函数的单调性比较大小. (1)由37sin sin 6sin 666ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭49sin sin 16sin 333ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又函数sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增所以sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3749sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)由()sin194sin 18014sin14︒=︒+︒=-︒()cos160cos 9070sin70︒=︒+︒=-︒又0147090︒<︒<︒<︒所以sin14sin70︒<︒，即sin14sin70-︒>-︒ 所以sin194cos160︒>︒.13．（1）54；（2）4tan 3x =- ．【分析】（1）由三角函数定义易得4cos 5α=，再利用诱导公式和基本关系式化简为()()()πsin tan π12sin πcos 3πcos ααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=+-求解； （2）将1sin cos 5x x +=两边平方得到242sin cos 025x x =-<，进而求得7sin cos 5x x -=，与1sin cos 5x x +=联立求解.【详解】解：（1）P 点到原点O的距离1r =由三角函数定义有4cos 5x r α== ()()()πsin tan πcos tan 152sin πcos 3πsin cos cos 4ααααααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=⨯==+---； （2）∵0πx <<，将1sin cos 5x x +=两边平方得112sin cos 25x x +=∴242sin cos 025x x =-<，可得ππ2x << ∴sin 0x > cos 0x < ∴sin cos 0x x ->∵()()22sin cos sin cos 2x x x x -++= ∴7sin cos 5x x -=，联立1sin cos 5x x +=∴4sin 5x = 3cos 5x =-∴4tan 3x =-． 14．(1)(2)2.【分析】（1）根据三角函数的定义tan yxθ=，代值计算即可； （2）利用诱导公式化简原式为齐次式，再结合同角三角函数关系和（1）中所求，代值计算即可. （1）因为角θ的终边与单位圆在第四象限交于点1,2P ⎛ ⎝⎭故可得tan yxθ==（2）原式=()()cos cos 22sin cos πθθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭++ sin cos sin cos θθθθ+=-tan 1tan 1θθ+=-由（1）可得：tan θ=tan 12tan 1θθ+==-. 15．(1)35(2)1925-【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值，再利用同角三角函数的基本关系，计算求得所给式子的值．（2）由题意利用诱导公式求得3tan 4α=，再将22sin sin cos cos αααα--化为22tan tan 1tan 1ααα--+，即可求得答案． (1)P 在单位圆上，且点P 在第二象限，P 的横坐标为35，可求得纵坐标为45所以434sin ,cos ,tan 553θθθ==-=-，则cos 3sin 13tan 33sin cos 3tan 15θθθθθθ++==--． (2)由题知2παθ=+，则3sin()cos 5sin 2παθθ=+==-，24cos cos()sin 5παθθ=+=-=-则sin 3tan cos 4ααα== 故22222222sin sin cos cos tan 1sin sin cos cos sin cos tan tan 1ααααααααααααα------==++ 2233()443()1241951--==-+.16．ABC【分析】首先判断角所在象限，然后根据三角函数在各个象限函数值的符号即可求解. 【详解】解：对①：因为100-为第三象限角，所以()sin 1000-<； 对②：因为220-为第二象限角，所以()cos 2200-<； 对③：因为2弧度角为第二象限角，所以tan20<； 对④：因为1弧度角为第一象限角，所以cos10>； 故选：ABC. 17．125π3【解析】根据三角函数的定义，求得cos α的值，进而确定角α的最小正值. 【详解】由于55sin ,cos 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是角α的终边上一点，所以cos α=5πsin 5π1sin62==.由于5π15πsin0,cos 0626=>=<，所以P 在第四象限，也即α是第四象限角，所以π2π3k α=-，当1k =时，则α取得最小正值为5π3.故答案为：（1）12；（2）5π3【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，考查终边相同的角，属于基础题.。

2021-2022学年新人教A 版高一数学课时同步练习题：三角函数章末测试（基础卷）【含解析】一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若1sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．78B ．78-C ．34D ．34-【答案】B 【解析】设4βπα=+，则1sin 4β=，4παβ=-，故27sin 2sin 2cos 22sin 148παβββ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B2．若函数2()cos sin f x x a x b =++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -的值（ ）．A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 无关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关【答案】B【解析】由题意22()cos sin sin sin 1f x x a x b x a x b =++=-+++，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin [0,1]t x =∈，则()()22211[0,1]24a a h t t at b t b t ⎛⎫=-+++=--+++∈ ⎪⎝⎭，则M 、m 分别为()h t 在[0,1]t ∈上的最大值与最小值，由二次函数的性质可得最大值M 与最小值m 的差M m -的值与a 有关，但与b 无关.故选：B ．3．函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωπϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则ω=( )A ．πB ．23π C ．712π D ．3π 【答案】B【解析】将()0,1代入函数解析式，可得：12cos ϕ=，又(),0ϕπ∈-，解得：3πϕ=-；将()2,2-代入函数解析式，可得：cos 213πω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得：()2 3k k Z πωπ=+∈ , 由图可知:22πω>,即ωπ<,当0k =时，23πω=，故选：B. 4．已知θ是第二象限角，且1cos 22θ=-2+的值是（ ） A ．1 B ．1- CD．【答案】C【解析】θ是第二象限角，即22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，422k k πθπππ+<<+，2θ在第一、三象限，又1cos022θ=-<，∴2θ是第三象限角，∴sin 2θ==，2=cos sin22222θθθθ-===． 故选：C ．5．函数()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[0,]π上的零点个数为（ ） A ．0 B ．3C ．1D ．2【答案】D【解析】令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得2()62x k k Z πππ+=+∈，即()62k x k Z ππ=+∈. ∵[0,]x π∈，∴0k =，6x π=；1k =，23x π=.故选D. 6．如果1|cos |5θ=，532πθπ<<，那么sin 2θ的值为（ ） A． BC．D【答案】C【解析】由532πθπ<<可知θ是第二象限角，1cos 5θ∴=-， 53422πθπ<<，2θ∴为第三象限角，sin 2θ∴=.故选：C 7．已知函数()()2sin 210()6f x x πωω=-->在区间,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．32C ．23D ．43【答案】D【解析】令22,2,622x k k k Z πππωππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，又函数在,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单增，故有 26626222k k k Z ππππωπωπππ-+⎪⎧-≥⎪⎪∈⎨⎪-≤⎩+，，解得212,443k k Z k ωω≥-+⎧⎪∈⎨≤+⎪⎩，又0>ω，当0k =时ω取到最大值43 故选：D8．已知tan 2tan A B =，()1sin 4A B +=，则()sin A B -=（ ） A ．13B ．14C ．112D ．112-【答案】C【解析】因为tan 2tan A B =，即sin sin 2cos cos A BA B=，所以sin cos 2sin cos A B B A =， 因为()1sin sin cos cos sin 4A B A B A B +=+=，即13cos sin 4A B =，解得11cos sin ,sin cos 126A B A B ==，因为()sin A B -=sin cos cos sin A B A B -， 所以()111sin 61212A B -=-=.故选：C 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 1．下列结论正确的是（ ） A ．76π-是第三象限角B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为32πC ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=- D ．若角α为锐角，则角2α为钝角 【答案】BC 【解析】选项A ：76π-终边与56π相同，为第二象限角，所以A 不正确； 选项B ：设扇形的半径为,,33r r r ππ=∴=，扇形面积为13322ππ⨯⨯=，所以B 正确； 选项C ：角α的终边过点()3,4P -，根据三角函数定义，3cos 5α=-，所以C 正确； 选项D ：角α为锐角时，0<<,02πααπ<<，所以D 不正确，故选:BC2．若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．12x π=不是函数()g x 图象的对称轴 D ．()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-【答案】ACD【解析】()cos 2cos 28123g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．()g x 的最小正周期为π，选项A 正确； 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 时，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减，选项B 错误；012g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确； 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且当2233x ππ+=，即6x π=时，()g x 取最小值12-，D 正确．故选：ACD3．关于函数()sin cos f x x x =+()x R ∈，如下结论中正确的是（ ）． A ．函数()f x 的周期是2πB ．函数()f x 的值域是⎡⎣C ．函数()f x 的图象关于直线x π=对称D ．函数()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 【答案】ACD【解析】A ．∵()sin cos f x x x =+，∴sin cos cos sin cos sin ()222f x x x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()f x 是周期为2π的周期函数，A 正确，B ．当[0,]2x π∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，此时3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin ,142x π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴()[1f x ∈，又()f x 的周期是2π，∴x ∈R 时，()f x 值域是，B 错；C ．∵()()(2)sin 2cos 2sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x πππ-=-+-=-+=+=，∴函数()f x 的图象关于直线x π=对称，C 正确；D ．由B 知[0,]2x π∈时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[0,]4x π∈时，[,]442x πππ+∈，()f x 单调递增，而()f x 是周期为2π的周期函数，因此()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图象可以看作是在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象向右平移2π单位得到的，因此仍然递增．D 正确．故选：ACD ． 4．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，故选：BC. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是π，则实数a =________【答案】±1【解析】1()sin cos =sin 22f x ax ax ax =，周期22T aππ==，解得1a =±. 故答案为：±114．已知角α的终边与单位圆交于点(3455，-)，则3cos(2)2πα+=__________. 【答案】2425-【解析】因为角α的终边与单位圆交于点(3455，-)，所以43sin ,cos 55αα==-， 所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以324cos(2)sin 2225παα+==-，故答案为：2425-15．若sin 5cos αα=，则tan α=____________. 【答案】5【解析】由已知得sin tan 5cos ααα==.故答案为：5. 16．已知α为锐角，3cos(),65πα+=则cos()3πα-=_______.【答案】45【解析】∵3cos(),65πα+=且2663πππα<+<，∴)in(4s 65πα+=；∵()()326πππαα-=-+，∴4cos()cos[()]sin()32665ππππααα-=-+=+=.故答案为：45. 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（1）已知sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，求3f π⎛⎫⎪⎝⎭； （2）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值； （3）求()sin 501︒︒+的值；（4）已知3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求2sin 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最应该注意什么问题？【解析】（1）用诱导公式化简等式可得sin (sin )()cos sin tan f αααααα-⨯-==，代入3πα=可得1cos 332f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为12. （2）原式可化为：2222224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos αααααααααα----=+ 224tan 3tan 5tan 1ααα--=+， 把tan 2α=代入，则原式44325141⨯-⨯-==+.故答案为1．（3）()()sin 1030cos10sin501sin50sin50cos10cos10︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒++=⋅=⋅cos40sin 40sin801cos102cos102︒︒︒︒︒=== 故答案为12. （4）令6x πα=-，则6x πα=-22sin sin sin 3632x x ππππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3sin cos 25x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭.解题中应注意角与角之间的关系.18．已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象关于直线94x =对称，且()f x 在[0,2]上为单调函数. （1）求ω；（2）当210,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求sin cos x x ωω+的取值范围. 【解析】（1）因为函数()sin f x x ω=的图像关于直线94x =对称． 则9()42k k Z πωπ=+∈，所以42()9k k Z ππω+=∈． 又()f x 在[0]2，上为单调函数，所以022πω<⨯，即04πω<，当20,9k πω==满足题意，当1k -或1,k ω不满足题意．故29πω=． （2）设()sin cos g x x x ωω=+，则()4g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由（1）得2()94g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为210,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则25,9446x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以21sin ,1942x ππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故()2g x ∈⎣．所以sin cos x x ωω+取值范围是2⎣． 19．已知函数()()(2sin 03)x x f πωω=+>的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式；（2）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若24A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且4b c +=，求ABC 周长l 的取值范围.【解析】（1）周期2T ππω==，2ω=，()2sin(2)3f x x π=+.将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 2sin )]12sin 22)1[3(6x y x ππ++=-=+.所以()2sin 21g x x =+.（2）2sin22()14A A g =+=，1sin 22A =.因为022A π<<，所以26A π=，3A π=. 22222cos()31633a b c bc b c bc bc π=+-=+-=-.因为2()44b c bc +≤=，所以04bc <≤.所以416316bc ≤-<，即2416a ≤<，24a ≤<.所以[6,8)l a b c =++∈.20．已知函数cos 2(0)6y a b x b π⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最大值为2，最小值为12-. （1）求a ，b 的值；（2）求函数()4sin 3g x a bx π⎛⎫=--⎪⎝⎭的最小值，并求出对应的x 的集合. 【解析】（1）由题知cos 2[1,1]6x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∵0b >，∴0b -<.∴max min 3,21,2y b a y b a ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-+=-⎪⎩∴1,21.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ （2）由（1）知()2sin 3g x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭， ∵sin [1,1]3x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴()[2,2]g x ∈-.∴()g x 的最小值为2-，此时sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由ππ2π32x k -=+()k Z ∈，求得对应的x 的集合为52,Z 6x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 21．函数()()sin f x x ωϕ=+(02πϕ<<，0>ω)的部分图像如图所示（1）求ω，ϕ及图中0x 的值;（2）设()()cos g x f x x π=-，求函数()g x 在区间12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值【解析】（1）由题图得()102f =，∴1sin 2ϕ= ∵02πϕ<<，∴6π=ϕ 又77sin 0666f πω⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴766k πωπ-+=，得1677k ωππ=-,k Z ∈ 又12732,264ππωω⋅<<⋅，得6372πωπ<<， ωπ∴=；又()00sin 16f x x ππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，且0706x -<<， ∴062x πππ+=-，得023x =-， 综上所述: ωπ=，6π=ϕ，023x =-；（2）()()cos sin cos 6g x f x x x x ππππ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭sin cos cos sin cos 66x x x πππππ=+-1cos sin 226x x x ππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∵12,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴132663x ππππ-≤-≤-， 所以当362x πππ-=-时，()max 1g x =;当263x πππ-=-，()min g x =22．已知(),0,αβπ∈，并且()7sin 52παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭()()απβ-=+，求,αβ的值.【解析】()7sin 5sin 2παπβαβ⎛⎫-=+∴= ⎪⎝⎭()()3cos απβαβ-=+=平方相加得2221sin 3cos 2cos ,cos 2αααα+=∴== 因为()0,απ∈，所以3,44ππα=当4πα=时，cos (0,)6πββπβ=∈∴=当34πα=时，5cos (0,)6πββπβ=∈∴=因此4πα=，6πβ=或34πα=，56πβ=。

人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练习题(含答案)人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练题（含答案）一、单选题1.已知函数$f(x)=\cos 2x+3\sin 2x+1$，则下列判断错误的是（）A。

$f(x)$的最小正周期为$\pi$B。

$f(x)$的值域为$[-1,3]$C。

$f(x)$的图象关于直线$x=\dfrac{\pi}{6}$对称D。

$f(x)$的图象关于点$\left(-\dfrac{\pi}{4},0\right)$对称2.已知函数$y=\sin(\omega x+\dfrac{\pi}{2})$在区间$\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]$上单调递增，则$\omega$的取值范围是A。

$\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$B。

$\left[\dfrac{1}{2},1\right]$C。

$\left[\dfrac{1}{3},2\right]$D。

$\left[\dfrac{2}{3},3\right]$3.若角$\alpha$的终边过点$P(2,2)$，则$\sin\alpha=$（）A。

1B。

-1C。

$\dfrac{1}{\sqrt{10}}$D。

$-\dfrac{1}{\sqrt{10}}$4.若$x$是三角形的最小内角，则函数$y=\sin x+\cos x+\sin x\cos x$的值域是（）A。

$[-1,+\infty)$B。

$[1,2]$C。

$[0,2]$D。

$\left[1,\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right]$5.下列说法正确的个数是（）①大于等于，小于等于90的角是锐角；②钝角一定大于第一象限的角；③第二象限的角一定大于第一象限的角；④始边与终边重合的角的度数为$360^\circ$。

A。

1B。

2C。

3D。

46.角$\alpha$的终边经过点$(2,-1)$，则$2\sin\alpha+3\cos\alpha$的值为（）A。

专题19三角函数的概念（1）三角函数的定义（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析1．任意角的三角函数的定义(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．(2)三角函数的定义①如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)． 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．②我们也可以利用角α终边上任意一点的坐标来定义三角函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么：比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ y r； 比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ x r； 比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ y x． 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．[知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．(2)要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f (x )表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin ”“cos ”“tan ”等是没有意义的．(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．(3)定义域：如表所示三角函数解析式 定义域 正弦函数y ＝sin x R 余弦函数y ＝cos x R 正切函数y ＝tan x {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }2．三角函数值的符号sin α、cos α、tan α在各个象限的符号如下：[知识点拨]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．3．公式一(k∈Z)sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα．[知识点拨]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．4．有向线段一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看做带有方向，于是把它叫做有向线段．表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母．当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数，如图所示，有向线段AB＝2，CD＝1，而有向线段BA＝－2，DC＝－1．5．三角函数线的作法如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合)．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．[知识点拨]①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．6．三角函数线的作用(1)用三角函数线可以比较两数的大小．在代数中，我们经常采用作差、作商、利用函数的单调性等方法比较大小，而三角函数线就表示了三角函数值的大小，所以在比较一些三角函数值的大小时，常采用比较三角函数线的方法，更加方便与直观．(2)利用三角函数线可以求角或角的范围，即解简单的三角方程或三角不等式．即由三角函数线得三角函数值，再找角的终边，进而找到角的值或取值范围．1．若点P在角的终边上，且|OP|＝2（点O为坐标原点），则点P的坐标为．【解析】解：点P在角的终边上，且|OP|＝2（点O为坐标原点），设点P的坐标为（a，b），a＜0，b＞0．则a2+b2＝4，且tan，求得a，b＝﹣1（舍去），或a，b＝1，故点P的坐标为（，1），故答案为：（，1）．2．已知角α终边落在直线上，求值：．【解析】解：当角α终边落在直线（x≥0）上，α为锐角，sinα cosα均为正值，且tanα，再结合sin2α+cos2α＝1，求得sinα，cosα，则2．当角α终边落在直线（x＜0）上，α∈（π，），sinα cosα均为负值，且tanα，再结合sin2α+cos2α＝1，求得sinα，cosα，则，故答案为：2或．3．函数的值域为．【解析】解：当角是第一象限中的角时，y＝1+1＝2，当角是第二象限的角时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，当角是第三象限的角时，y＝﹣1+1＝0，当角是第四象限的角时，y＝1﹣1＝0，可知函数的值域是{﹣2，0，2}，故答案为：{﹣2，0，2}．4．若cosα＞0，tanα＜0，则α在第象限．【解析】解：∵cosα＞0，∴α在第一象限或第四象限或x轴正半轴，∵tanα＜0，∴α在第二象限或第四象限，综上，α在第四象限．故答案为：四．5．若，则点P（tanθ，sinθ）位于第象限．【解析】解：∵，∴tanθ＜0，sinθ＞0，故点P（tanθ，sinθ）位于第二象限，故答案为：二．典型题型与解题方法重要考点一：利用三角函数的定义求三角函数值【典型例题】已知角α和角β的终边垂直，且角α终边上一点坐标P（1，2），则tanα＝，cosβ＝．【解析】解：由任意角的三角函数的定义可知tanα2，可得sinα，所以cosβ＝cos（α±）＝±sinα＝±．故答案为：2，±．【题型强化】已知a＜0，角α的终边上有一点P（3a，﹣4a），则sinα＝．【解析】解：由三角函数的定义可知sinα，当a＜0时，sinα．故答案为：．【收官验收】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（，），则tanα＝，cos2α＝．【解析】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（，），则tanα，cos2α，故答案为：；．【名师点睛】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝ba2＋b2，余弦值cosα＝aa2＋b2，正切值tanα＝ab．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．重要考点二：三角函数在各象限内符号的应用【典型例题】如果sinθ＞0，tanθ＜0，那么角θ所在象限是．【解析】解：根据题意，若sinθ＞0，θ为第一二象限的角，tanθ＜0，θ为第二四象限的角，则sinθ＞0，tanθ＜0，则θ为第二象限的角，故答案为：第二象限【题型强化】若点P（sin2θ，2sinθ）位于第三象限，那么角θ终边落在第象限．【解析】解：根据题意，点P（sin2θ，2sinθ）位于第三象限，则有，即，则有，则角θ终边落在第四象限；故答案为：四【收官验收】已知α是第三象限的角，则sin（cosα）•cos（sinα）的符号是号（填正或负）【解析】解：∵α是第三象限的角，∴﹣1＜cosα＜0，﹣1＜sinα＜0，则sin（cosα）＜0，cos（sinα）＞0，即则sin（cosα）•cos（sinα）＜0，故答案为：负．【名师点睛】(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．重要考点三：分类讨论思想在化简三角函数式中的应用【典型例题】已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则．【解析】解：圆心角θ2，∵2＜π，∴sinθ＞0，cosθ＜0，tanθ＜0，∴1﹣1﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1【题型强化】函数y的值域是．【解析】解：由题意可得：sin x≠0，cos x≠0，tan x≠0，角x的终边不在坐标轴上，当x∈（2kπ，2kπ），k∈Z时，y1+1+1＝3；当x∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z时，y1﹣1﹣1＝﹣1；当x∈（2kπ+π，2kπ），k∈Z时，y1﹣1+1＝﹣1；当x∈（2kπ，2kπ+2π），k∈Z时，y1+1﹣1＝﹣1．可得：函数y的值域是{3，﹣1}．故答案为：{3，﹣1}．【收官验收】设α角属于第二象限，且|cos|＝﹣cos，则角属于象限．【解析】解：∵|cos|＝﹣cos，∴cos0，∵α角属于第二象限，∴属于第一或三象限，∴角属于第三象限，故答案为：三【名师点睛】对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．重要考点四：三角函数定义理解中的误区【典型例题】已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα，则x＝．【解析】解：由题意可得cosα，求得x＝﹣8，故答案为：﹣8．【题型强化】已知点P（cosθ，sinθ）在第三象限，则角θ的终边落在第象限．【解析】解：∵点P（cosθ，sinθ）在第三象限，∴cosθ＜0，θ可能在第三象限或者第二象限或x轴的负半轴，sinθ＜0，θ可能在第三象限或者第四象限或y轴的负半轴，所以θ在第三象限．故答案为：三．【收官验收】α，β∈{1，2，3，4，5}，那么使得sinα•cosβ＜0的数对（α，β）有个．【解析】解：∵1在第一象限，2，3在第二象限，3，4在第三象限，5在第四象限，若sinα•cosβ＜0，则若α是第一象限，则β是第三象限，此时为（1，3），（1，4），若α是第二象限，则β是第三象限，此时为（2，3），（2，4），（3，3），（3，4），若α是第三象限，则β是第一或第四象限，此时为（3，1），（4，1），（3，5），（4，5），若α是第四象限，则β是第一或第四象限，此时为（5，1），（5，3），（5，4），综上共有13个，故答案为：13重要考点五：利用三角函数线比较大小【典型例题】设a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解析】解：a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°＝sin28°，根据单位圆的三角函数线：AB＝b，EF＝c，CD＝a，即：tan38°＞sin28°＞sin24°，即a＜c＜b，故选：D．【题型强化】sin4，cos4，tan4的大小关系是（）A．sin4＜tan4＜cos4 B．tan4＜sin4＜cos4C．cos4＜sin4＜tan4 D．sin4＜cos4＜tan4【解析】解：如图作单位圆，∵4，∴tanα＝AT＞0，sinα＝BP＜0，cosα＝OB＜0；故BP＜OB＜AT；故sin4＜cos4＜tan4；故选：D．【收官验收】已知sinθ，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．【解析】解：画出三角函数线如图．由图可知角θ的范围是{θ|2kπθ≤2kπ或2kπx≤2kπ，k∈Z}【名师点睛】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．重要考点六：利用三角函数线求解不等式【典型例题】利用单位圆和三角函数线，分别求出使下列各组条件成立的x的集合．（1）；（2）tan x．【解析】解：（1）画出图形，如图所示；单位圆中的三角函数线同时满足sin x，cos x的x是，k∈z；即x的取值范围是{x|2kπx≤2kπ，k∈z}．（2）（2）如图①所示，过点（1，）和原点作直线交单位圆于P和P′，则射线OP、OP′就是满足tan x的角x的终边，∵在[0，2π）内，满足条件的∠POx＝π，∠P′Ox；∴满足条件tan x的角x的集合是{x|x kπ，k∈Z}，则满足tan x的角x的集合是{x|kπ≤x kπ，k∈Z}．【题型强化】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin与sinπ（2）cos与cos（）（3）tan与tanπ【解析】解：（1）sin与sinπ，sin与sinπ对应的三角函数线如图①所示：即sin NB，sinπ＝MA，则有sinπ＞sin；（2）cos与cos（）cos与cos（）对应的三角函数线如图②所示：cos OM，cos（）＝ON，则有cos cos（）；（3）tan与tanπ，tan与tanπ对应的三角函数线如图③所示：即有tan AM，tanπ＝AN，则有tanπ＞tan．【收官验收】利用单位圆，求适合下列条件的角的集合．（1）cosα；（2）sinα．【解析】解：（1）在单位圆内作出cosα的三角函数线如图1所示；在[0，2π）内，cos cos，OA，OB分别为，的终边，由余弦线可知，满足cosα的角的取值集合是{α|α2kπ或α2kπ，k∈Z}；（2）在单位圆内作出sinα的三角函数线如图2所示；在[0，2π）内，sin sin，OA，OB分别为，的终边，由正弦线可知，满足sinα的角的解集为{α|2kπ≤α2kπ，k∈Z}．【名师点睛】利用三角函数线解sinα≥a，sinα≤a(|a|<1)型不等式的具体方法为：①如图所示，画出单位圆；②过y轴上一点M(0，a)作y轴的垂线，交单位圆于P，P′两点，作射线OP，OP′；③写出射线OP与OP′对应的角；④图中阴影部分(包括边界)即满足sinα≤a(|a|<1)的角α的终边所在的范围，空白部分(包括边界)即满足sinα≥a(|a|<1)的角α的终边所在的范围．重要考点七：利用三角函数线证明几何结论【典型例题】当α∈（0，）时，求证：sinα＜α＜tanα．【解析】证明：方法一：由0＜α，可得sinα、α、tanα都是正实数．设f（α）＝α﹣sinα，求导得：f′（α）＝1﹣cosα＞0，因此，f（α）＝α﹣sinα在α∈（0，）上是个增函数，则有f（α）＝α﹣sinα＞f（0）＝0，即sinα＜α．同理，令g（α）＝tanα﹣α，则g′（α）1＞0，∴，g（α）＝tanα﹣α在α∈（0，）上也是个增函数，也有g（α）＝tanα﹣α＞g（0）＝0，即tanα＞α．综上，当α∈（0，）时，sinα＜α＜tanα．方法二：如图，设角a的终边与单位圆相交于点P，单位圆与X轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连结AP，则sinα＝MP，，tanα＝AT，∵S△POA＜S扇形POA＜S△OAT，∴，∴MP AT，∴sinα＜α＜tanα．【题型强化】设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式：（1）sinα+cosα＞l；（2）sinα＜α＜tanα．【解析】证明：（1）α为锐角，角α的终边落在第一象限，设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，过P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥Y轴于点N（如图），则sinα＝MP，cosα＝OM＝NP，利用三角形两边之和大于第三边有：sinα+cosα＝MP+OM＞1，得证．（2）∵如图所示：S△OP A＜S扇形OP A＜S△OAE，S△OP A•1•BP，S扇形OP A•1•，S△OAE•1•AE，∴BP AE，∴sinα＜α＜tanα．【收官验收】利用三角函数线证明：若0＜α＜β，则有β﹣α＞sinβ﹣sinα．【解析】证明：如图所示，∠AOQ＝α，∠AOP＝β，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过Q，P分别作OA的垂线，设垂足分别为M，N，则由三角函数线的定义可知，sinα＝NQ，sinβ＝MP，过点Q作OH⊥MP，垂足为H，于是MH＝NQ，则HP＝MP﹣MH＝MP﹣NQ＝sinβ﹣sinα．设的长分别为m，p，q，则由图可知HP＜m＝p﹣q＝β﹣α，即β﹣α＞sinβ﹣sinα．【名师点睛】解答利用三角函数线求解不等式这类题目时，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围．。

三角函数的概念专项练习题一、选择题1、(多选)若角α的终边经过点P (x ，－3)且sin α＝－31010，则x 的值为( ) A ．－ 3 B ．－1 C ．1 D. 32、已知点P(－3，y)为角β终边上一点，且sinβ＝1313，则y 的值为( ) A ．±12 B.12 C ．－12 D ．±2答案：B5、在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形6、 (多选)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是( ) A ．sin 2α>0 B ．cos 2α>0C ．cos α2>0 D ．tan α2>07、若角α的终边在直线y ＝3x 上，sinα<0，且P(m ，n)是角α终边上一点，|OP|＝10(O 为坐标原点)，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－48、若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角9、 (多选)下列选项中，符号为负的是( )A ．sin(－100°)B ．cos(－220°)C ．tan 10D ．cos π10、已知点P (sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限11、已知sin α＝513，cos α＝－1213，则角α的终边与单位圆的交点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫513，－1213B.⎝⎛⎭⎫－513，1213C.⎝⎛⎭⎫1213，－513D.⎝⎛⎭⎫－1213，51312、(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13、点A (x ，y )是60°角的终边与单位圆的交点，则y x 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－3314、代数式sin(－330°)cos 390°的值为( ) A ．－34 B.34 C ．－32 D.1415、若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x,2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．2 3 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 316、(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是( )A ．cos(－280°)<0B ．sin 500°>0C ．tan ⎝⎛⎭⎫－7π8>0D ．tan 53π12>017、已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角18、函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( )A ．{x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π2≤x ≤k π＋π，k ∈Z D ．{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}二、填空20、已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，y (y <0)，则tan α＝.21、已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝.22、若－300°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为．23、已知角α终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－32，y ，则cos α＝，sin α＝.24、点P (tan 2 020°，cos 2 020°)位于第象限．25、已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是．26、求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．.三、解答题27、角θ的终边落在直线y ＝2x 上，求sin θ，cos θ的值．28、求下列函数的定义域： （1）y =)lg(cos x ；（2）y =lgsin2x +29x -．29、求函数y =1cos 3cos 22-+-x x +lg （36－x 2）的定义域．30、求函数y =x sin +lg （2cos x －1）的定义域．31、在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.32、求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域．33、利用单位圆，求适合下列条件的0到2π的角的集合．求(1)sinα≥12；(2)cosα＜22.34、设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．35、求满足sin α>的角α的取值范围；（2）求满足sin cos αα>的角α的取值范围。