高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线练习新人教A版选修4(1).doc

四渐开线与摆线课后篇巩固探究A组1.下列说法正确的是()①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有()A.②③B.②C.③D.①③答案B2.下列各点中,在圆的摆线{푥=휑(φ为参数)上的是()-sin휑,푦=1-cos휑A.(π,0)B.(π,1)C.(2π,2)D.(2π,0)解析依次将点代入验证即可.答案D3.当φ=2π时,圆的渐开线{푥=6(φ为参数)上对应的点是()(cos휑+휑sin휑), 푦=6(sin휑-휑cos휑)A.(6,0)B.(6,6π)C.(6,-12π)D.(-π,12π)解析当φ=2π时,将其代入圆的渐开线的参数方程,得{푥=6(cos2π+2π·sin2π)=6,푦=6(sin2π-2π·cos2π)=-12π,即所求的坐标为(6,-12π).答案C3π푥=4휑-4sin휑,2{4.当φ=时,圆的摆线(φ为参数)上对应的点的坐标是.푦=4-4cos휑答案(6π+4,4)π5.如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数φ=,那么该点的坐标为.3解析因为r=3,{푥=3휑(φ为参数).所以圆的摆线的参数方程为-3sin휑,푦=3-3cos휑π3333把φ=代入得x=π- ,y=3- .2=32213 3 3故该点的坐标为(π -2).,2答案(π -3 3 32),26.已知一个圆的摆线方程是{푥 = 4휑 (φ 为参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的-4sin 휑,푦 = 4 -4cos 휑参数方程.解根据摆线的参数方程可知圆的半径为 4,所以面积是 16π,该圆对应的渐开线的参数方程是{푥 = 4cos 휑 + 4휑sin 휑 (φ 为参数).,푦 = 4sin 휑 -4휑cos 휑7.已知圆 C 的参数方程是{푥 = 1 + 6cos 훼(α 为参数),直线 l 的普通方程是 x-y-6 =0.,푦 = -2 + 6sin 훼 2(1)如果把圆心平移到原点 O ,请问平移后圆和直线有什么位置关系? (2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程.6 2解(1)圆 C 平移后的圆心为 O (0,0),它到直线 x-y-6 2=0的距离为 d= =6,恰好等于圆的半2径,所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是 6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是{푥 = 6cos 휑 + 6휑sin 휑(φ,푦 = 6sin 휑 -6휑cos 휑为参数).3π푥 = cos 휑 + 휑sin 휑,2{8. 导学号 73574057当 φ= ,π 时,求出渐开线(φ 为参数)上푦 = sin 휑 -휑cos 휑的对应点 A ,B ,并求出 A ,B 两点间的距离.3π푥 = cos 휑 + 휑sin 휑,2{解将 φ= 代入푦 = sin 휑 -휑cos 휑,3π3π3π3π푥 = cos2 sin 2 = -2 +,得{23π3π3π푦 = sin2 cos 2 = -1,-2 3π所以 A (- , -1).2将 φ=π 代入{푥 = cos 휑 + 휑sin 휑,푦 = sin 휑 -휑cos 휑,得{푥 = cos π + πsin π =所以 B (-1,π).故 A ,B 两点间的距离为|AB|=-1,푦 = sin π -πcos π = π,3π (22-1)+ (1 + π)2 =13 4 π.2-π + 29.已知圆的半径为 r ,圆沿 x 轴正向滚动,开始时圆与 x 轴相切于原点 O ,圆上点 M 从起始处 (点 O 处)沿顺时针已偏转 φ 角.试求点 M 的轨迹的参数方程.2π π解由题意知 x M =r ·φ-r ·cos (휑 - 2)=r (φ-sin φ),y M =r+r ·sin (휑 2)=r (1-cos φ).故点 -M 的轨迹的参数方程为{푥 = 푟(휑 -sin 휑),(φ 为参数).푦 = 푟(1 -cos 휑)B 组1.我们知道图象关于直线 y=x 对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线{푥 =푟(φ 为(휑 -sin 휑), 푦 = 푟(1 -cos 휑)参数)关于直线 y=x 对称的曲线的参数方程为( )A.{푥 =푟 (φ 为参数)(휑 -sin 휑), 푦 = 푟(1 -cos 휑)B.{푥 = 푟(1 -cos 휑),(φ 为参数)푦 = 푟(휑 -sin 휑)C.{푥 = 푟sin휑 (φ 为参数),푦 = 푟(1 -cos 휑)D.{푥푦 == 푟푟(s i 1n휑-cos φ),(φ 为参数)解析图象关于直线 y=x 对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了 x 与 y 的互换. 所以要写出摆线关于直线 y=x 对称的曲线方程,只需把其中的 x 与 y 互换. 答案 Bπ2.已知一个圆的参数方程为{푦푥==33c s o in s휃휃,(θ 为参数),则圆的摆线的参数方程中与 φ=对应的点23πA 与点B ( ,2)之间的距离为()2π A. -1 B.22C. 10D. 3π2- 1解析根据圆的参数方程可知,圆的半径为 3,则它的摆线的参数方程为{푥 = 3(휑 -sin 휑),(φ 为参푦 = 3(1 -cos 휑)π(-1),푥=3π3π2{(-3,3)数),把φ=代入参数方程中可得即A,22푦=3,23π3π所以|AB|=(2).-3- +(3-2)2=1023答案C3. 导学号73574058如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方퐴퐸퐸퐹퐹퐺퐺퐻形的渐开线”,其中,,,,…的圆心依次按B,C,D,A循环,则曲线段AEFGH的长是()A.3πB.4πC.5πD.6π퐴퐸1π퐸퐹1解析根据渐开线的定义可知, 是半径为1的圆周长,长度为2;是半径为2的圆周长,长度44퐹퐺13π퐺퐻1为π;是半径为3的圆周长,长度为2;是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线段44AEFGH的长是5π.答案C4.已知渐开线{푥=7(φ为参数)的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为(cos휑+휑sin휑), 푦=7(sin휑-휑cos휑)原来的2倍(纵坐标不变),则得到的曲线的焦点坐标为.解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r=7,其方程为x2+y2=49,把基圆的横坐标伸长为原2푥2푦2 1(2푥)+y2=49,整理可得=1,这是一个焦点在x来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线方程为196+49轴上的椭圆.c= 푎2- 푏2=196-49=147=7 3.故焦点坐标为(7 3,0)和(-7 3,0).答案(7 3,0)和(-7 3,0)5. 导学号73574059已知一个圆的摆线经过定点(2,0),请写出该圆半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程.解令y=0,可得r(1-cos φ)=0,由于r>0,即得cos φ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).将其代入x=r(φ-sin φ),1得x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).又因为x=2,所以r(2kπ-sin 2kπ)=2,即得r= (k∈Z).푘π11又由实际可知r>0,所以r= (k∈N*).易知,当k=1时,r取最大值.故所求圆的摆线的参数方푘ππ1푥=(휑-sin휑),程为{(φ为参数);所求圆的渐开线的参数方程为π1푦=(1-cos휑) π푥=푦= {1(cos휑+휑sin휑),(sin휑-휑cos휑)π(φ为参数).1π46.设圆的半径为4,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y的最大值.解依题意可知点M的轨迹是摆线,其参数方程为{푥=4(휑-sin휑),(φ为参数,且0≤φ≤2π).푦=4(1-cos휑)其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π),如图所示.易知,当x=4π时,y有最大值8,故该曲线上纵坐标y的最大值为8.5。

四渐开线与摆线课时过关·能力提升基础巩固1若基圆的直径为5,则其渐开线的参数方程为()A --为参数B --为参数C-为参数D --为参数5,所以它的半径为代入圆的渐开线的参数方程,知选项C正确.2给出下列说法:①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系的原点和坐标轴不同,可能会得到不同的参数方程;④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有()A.①③B.②④C.②③D.①③④,只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着坐标系选择的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.3下列各点中,在圆的摆线--为参数上的是A.(π,0)B.(π,1)C.(2π,2)D.(2π,0)4当φ=2π时,圆的渐开线-为参数上的点是A.(11,0) B.(11,11π)C.(11,-22π)D.(-π,22π)φ=2π时,代入圆的渐开线方程,得x=11(cos2π+2π·sin2π)=11,y=11(sin2π-2π·cos2π)=-22π.故所求点为(11,-22π).5已知圆的渐开线的参数方程是-为参数则此渐开线对应的基圆的直径是当参数时对应的曲线上的点的坐标为1,故直径为2.把θ代入渐开线的参数方程,得x由此可得对应点的坐标为--6已知渐开线-为参数的基圆的圆心为原点把基圆的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变得到的曲线的焦r=6,其方程为x2+y2=36,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的方程为整理可得这是一个焦点在x轴上的椭圆.c--故焦点坐标为(和(-和7当φ时圆的摆线--为参数上对应的点的坐标是φ代入参数方程求解即可.π-4,4)8求摆线--为参数 ≤t≤ π)与直线y=2的交点的直角坐标.y=2时,2=2(1-cos t),∴cos t=0.∵ ≤t≤ π,∴t或∴x1=-x2=-故交点坐标为(π-2,2),(3π+2,2).能力提升1已知圆的摆线的参数方程为--为参数则它的一个拱的宽度和高度分别为A.4π,2B.2π,4C.2π,2D.4π,4,产生摆线的圆的半径r=2,又由摆线的产生过程可知,摆线一个拱的宽度等于圆的周长,即为2πr=4π,摆线的拱高等于圆的直径4.2已知一个圆的参数方程为为参数则在圆的摆线的参数方程中与参数对应的点与点之间的距离为A-,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为--为参数).把φ代入参数方程,得-即-所以|AB|---★3如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其中的圆心依次按循环它们依次相连接则曲线段的长是A.3πB.4πC.5πD.6π是半径为1的圆周长,长度为继续旋转可得是半径为2的圆周长,长度为π是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线段AEFGH的长是5π.4已知一个圆的摆线方程是--为参数则该圆的面积为对应圆的渐开线的参数方程为π-为参数5已知圆C的参数方程是-为参数直线的普通方程是(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?(2)写出平移后圆的渐开线的参数方程.圆C平移后圆心为O(0,0),它到直线x-y-的距离为d等于圆的半径,所以直线和圆相切.(2)由圆的半径是6,得渐开线的参数方程是-为参数).6已知圆的渐开线-为参数 ≤φ≤ π)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积.(3,0)代入参数方程得-解得所以基圆的面积S=πr2=π×32=9π.7已知渐开线-为参数当为和时对应的点为求出的坐标及两点间的距离φ代入渐开线-得A,B两点的坐标分别为和--根据两点间的距离公式可得|AB|★8已知半径为8的圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M的轨迹方程,画出相应的曲线,求此曲线上点的纵坐标y 的最大值,说明该曲线的对称轴.M的轨迹的参数方程为--为参数 ≤t≤ π).点M的轨迹曲线如图所示.由图可知,当t=π,即x=8π时,y有最大值16.曲线的对称轴为x=8π.。

学习资料四 渐开线与摆线课后篇巩固探究A 组1。

下列说法正确的是（ ）①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点。

其中正确的说法有（ )A.②③B.② C 。

③ D 。

①③2。

下列各点中，在圆的摆线{x =φ-sinφ,y =1-cosφ(φ为参数）上的是（ ）A .（π,0）B 。

(π，1）C 。

(2π，2）D .（2π，0）。

3.当φ=2π时，圆的渐开线{x =6(cosφ+φsinφ),y =6(sinφ-φcosφ)(φ为参数）上对应的点是（ ）A.（6,0)B.（6，6π)C.（6,-12π）D.（—π，12π)φ=2π时,将其代入圆的渐开线的参数方程,得{x =6(cos2π+2π·sin2π)=6,y =6(sin2π-2π·cos2π)=-12π,即所求的坐标为(6,—12π)。

4.当φ=3π2时，圆的摆线{x =4φ-4sinφ,y =4-4cosφ(φ为参数)上对应的点的坐标是 。

6π+4,4）5.如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数φ=π3,那么该点的坐标为 。

r=3，所以圆的摆线的参数方程为{x =3φ-3sinφ,y =3-3cosφ（φ为参数).把φ=π3代入得x=π—3√32，y=3—32=32.故该点的坐标为(π-3√32,32).-3√32,32) 6。

已知一个圆的摆线方程是{x =4φ-4sinφ,y =4-4cosφ（φ为参数），求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程。

4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线的参数方程是{x =4cosφ+4φsinφ,y =4sinφ-4φcosφ(φ为参数）。

7.已知圆C 的参数方程是{x =1+6cosα,y =-2+6sinα（α为参数)，直线l 的普通方程是x-y-6√2=0。

2．4 渐开线与摆线►预习梳理1．以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为：________________________________________________________________________(其中r 为基圆的半径)．2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为：______________________________________________________． ►预习思考半径为8的圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos φ＋8φsin φ，y ＝8sin φ－8φcos φ(φ为参数)，摆线参数方程为______________．,预习梳理1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数) 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－8sin φ，y ＝8－8cos φ(φ为参数)一层练习1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 1．C2．半径为1的圆的渐开线的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ－sin θ，y ＝1－cos θ(θ为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin θ，y ＝θ－cos θ(θ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－θsin θ，y ＝sin θ＋θcos θ2.C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④ 3.C4．基圆半径为2的渐开线的参数方程是__________．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数) 二层练习5．如下图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH ，…的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π 5．C6．已知摆线的生成圆的直径为80 mm ，则摆线的参数方程为____________________________________，其一拱的宽为________，拱高为________．6.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40（φ－sin φ），y ＝40（1－cos φ）(φ为参数) 80π mm80 mm7．已知参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，则该圆的渐开线参数方程为__________________________，摆线参数方程为____________________________．7.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（φ－sin φ），y ＝2（1－cos φ）(φ为参数) 8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________________．8．(63，0)和(－63，0)9．当φ＝π2，π时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上的对应点A ，B ，并求出A ，B 间的距离．9．解析：将φ＝π2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ.得x ＝cos π2＋π2sin π2＝1，y ＝sin π2－π2cos π2＝1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.将φ＝π代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π.∴B (－1，π)． 故A ，B 间的距离为|AB |＝（1－π）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＝45π2－π＋2. 三层练习10．已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A ，B 对应的参数分别为π3和π2，求点A 、B 的直角坐标． 10．解析：根据题设条件可知圆的半径为1，所以对应的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)． 将φ＝π3代入得x ＝cos π3＋π3sin π3＝12＋36π， y ＝sin π3－π3cos π3＝32－π6. ∴A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6.当φ＝π2时，同理可求得B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.11．求摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（φ－sin φ），y ＝2（1－cos φ）(φ为参数且0≤φ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标．11．解析：当y ＝2时，有2(1－cos φ)＝2，∴cos φ＝0.又0≤φ≤2π， ∴φ＝π2或φ＝3π2.当φ＝π2时，x ＝π－2；当φ＝3π2时，x ＝3π＋2.∴摆线与直线y ＝2的交点为(π－2，2)，(3π＋2，2)．12．设圆的半径为4，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值．12．解析：依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（φ－sin φ），y ＝4（1－cos φ）(φ为参数)．且0≤φ≤2π.其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π)，如下图所示：易知，当x ＝4π时，y 有最大值8.13．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．13．分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积，再代入渐开线的参数方程的标准形式，即可得圆的渐开线的参数方程．解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．14．已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．14．分析：根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)，只需把点(2，0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．解析：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π. 又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N *)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π（φ－sin φ），y ＝1π（1－cos φ）(φ为参数)； 圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π（cos φ＋φsin φ），y ＝1π（sin φ－φcos φ）(φ为参数)．1．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．2．渐开线上任一点M 的坐标由圆心角φ(以弧度为单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点M 的位置也可以由圆心角φ唯一确定．3．圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，既繁琐又没有实际意义． 4．有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程等问题，可进行如下思路解题：代入摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)，可求出φ，进一步求的r ，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程．【习题2.4】1．解析：因为基圆的直径是225 mm ，所以基圆的半径是112.5 mm ，齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112.5（cos φ＋φsin φ），y ＝112.5（sin φ－φcos φ）(φ是参数)．2．解析：将φ＝π2，3π2分别代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得到A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－1，由两点间的距离公式得|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋3π22＋（1＋1）2＝2π2＋1.3．解析：设轮子的圆心为B ，以BM 的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足O 为原点，直线轨道为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．设圆滚动使点M 绕圆心B 转过φ角后点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝OD ＝OA －DA ＝OA －MC ＝aφ－b sin φ，y ＝DM ＝AC ＝AB －CB ＝a －b cosφ，所以点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝aφ－b sin φ，y ＝a －b cos φ(φ是参数)．4．解析：建立如下图所示的直角坐标系，设点M 的坐标为(x ，y )，此时∠BOA ＝φ.因为OB ＝4CB ，所以∠BCM ＝4φ，∠MCD ＝π2－3φ.由于x ＝OF ＝OE ＋EF ＝3r cos φ＋r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2。

四渐开线与摆线更上一层楼基础·巩固1关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( )A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同思路解析：首先要明确不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处,但是它们的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.答案：C2给出下列说法①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参数方程;④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有( )A.①③B.②④C.②③D.①③④思路解析：对于一个圆,只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.答案：C3在圆的摆线上有点(π,0),那么在满足条件的摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上,参数φ=对应点的坐标为_________.思路解析：首先根据摆线的参数方程(φ为参数),把点(π,0)代入可得cosφ=1,则sinφ=0,φ=2kπ(k∈Z),所以r=(k∈Z).又r＞0,所以k∈N*,当k=1时,r最大为.再把φ=代入即可.答案：()4已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数),则此渐开线对应的基圆的直径是____________,当参数φ=时对应的曲线上的点的坐标为______________.思路解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.求当φ=时对应的坐标只需把φ=代入曲线的参数方程,x=,y=,由此可得对应的坐标为(,).答案：2 (,)5已知一个圆的摆线方程是(φ为参数),求该圆的面积和对应的圆的摆线的参数方程.思路分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4,易得圆的面积为16π,再代入渐开线的参数方程的标准形式即可得圆的渐开线的参数方程.解：首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为4,所以面积是16π.该圆对应的渐开线的参数方程是(φ为参数).6已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式(φ为参数),只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式,根据表达式求出r的最大值,再确定对应的摆线和渐开线的方程.解：令y=0得r(1-cosφ)=0,即得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).代入x=r(2kπ-sin2kπ)=2,即得r=(k∈Z).又由实际可知r>0,所以r=(k∈N*).易知,当k=1时,r最大值为代入即可得,圆的摆线的参数方程是(φ为参数),。

高中数学第2讲参数方程4渐开线与摆线学案新人教A 版选修44四 渐开线与摆线学习目标：1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．(重点)2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．(难点)教材整理1 渐开线及其参数方程阅读教材P 40～P 41“思考”及以上部分，完成下列问题．1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)．教材整理2 摆线及其参数方程 阅读教材P 41～P 42，完成下列问题．1．当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．2．设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ是参数)．⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5(φ－sin φ)，y ＝5(1－cos φ)(φ为参数)表示的是( )A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程B ．半径为5的圆的摆线的参数方程C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程D ．直径为5的圆的摆线的参数方程[解析] 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B 正确． [答案] B圆的渐开线的参数方程【例1】 B 对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点的距离．[思路探究] 先写出圆的渐开线的参数方程，再把A ，B 对应的参数代入参数方程可得对应的A ，B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A ，B 之间的距离．[自主解答] 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为 |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16(13－63)π2－6π－363＋72. 即A 、B 两点之间的距离为 16(13－63)π2－6π－363＋72.根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r 是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．1．当φ＝3π2，π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．[解] 将φ＝3π2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3π2，y ＝－1.把φ＝π2代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，－1，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.因此|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋32π2＋(1＋1)2＝2π2＋1，故点A ，B 间的距离为2π2＋1.圆的摆线的参数方程【例2】 程以及对应的圆的渐开线的参数方程．[思路探究] 根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．[自主解答] 令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r >0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈Z )． 又由实际可知r >0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π(φ－sin φ)，y ＝1π(1－cos φ)(φ为参数)圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π(cos φ＋φsin φ)，y ＝1π(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．2．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φy ＝4－4cos φ，(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．[解] 首先根据摆线的参数方程可知 圆的半径为4，所以面积为16π， 该圆对应的渐开线的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．故选C.[答案] C2．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)上与φ＝π4对应点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4[答案] A3．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π[解析] 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．[答案] C4．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 由圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos φ＋φsin φ)，y ＝4(sin φ－φsin φ)(φ为参数)．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos φ＋φsin φ)，y ＝4(sin φ－φcos φ)(φ为参数)5．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程． [解] 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ＋2y ＝－2t －1(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(－2，π)，则点P 到直线l 的距离为( )A.12B.22 C ．1 D. 2 答案：B2．直线⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3) 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋ty ＝1－t(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A.98 B ．4014C.82D.93＋4 3答案：C4．直线⎩⎨⎧x ＝2＋ty ＝3t(t 为参数)被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长为( )A ．210 B.10 C ．2 5 D. 5答案：A5．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是( )A.t 1－t 22B.t 1＋t 22C.|t 1－t 2|2D.|t 1＋t 2|2答案：B6．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22)C ．(－3，－4)D ．(125，125)答案：D7．直线l 的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝2－3t (t 为参数)，则l 上任一点到定点(1,2)的距离是( )A ．tB ．|t |C.13|t |D.|t |13答案：C 8．(2013·高考重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8，∴|AB |＝(4－4)2＋(8＋8)2＝16. 答案：169．已知直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1－t sinπ6y ＝2＋t cos π6(t 为参数)，则直线的倾斜角大小是________．答案：2π310．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解：(1)直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cosπ6y ＝1＋t sin π6，即⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t .(2)把直线⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t 代入x 2＋y 2＝4，得(1＋32t )2＋(1＋12t )2＝4， t 2＋(3＋1)t －2＝0，t 1t 2＝－2， 则点P 到A ，B 两点的距离之积为2. 11．(2013·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. 解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为(4，π2)，(22，π4)．注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.12．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，求这两点间的距离．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，设过焦点F (1,0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t y ＝22t(t 为参数)，将此代入y 2＝4x ，得t 2＋42t －8＝0，设这个方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系，有 t 1＋t 2＝－42，t 1·t 2＝－8， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝ (－42)2＋32＝64＝8. ∴A 、B 两点间的距离是8.。

第二讲 2.41．半径为2的圆的渐开线的参数方程是( D )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ－φsin φ)，y ＝2(sin φ＋φcos φ)(φ为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ＋φcos φ)(φ为参数) C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ＋φcos φ)，y ＝2(sin φ＋φsin φ)(φ为参数) D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数) 解析：∵r ＝2，∴半径为r 的圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)，可知选D ．2．已知摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ)(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度和高度分别是( D )A ．2π，2B ．2π，4C ．4π，2D ．4π，4解析：由摆线的参数方程可知，产生摆线的圆的半径r ＝2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr ＝4π，摆线的拱高等于圆的直径为4，故选D ．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(φ－sin φ)，y ＝4(1－cos φ)(φ为参数，0≤φ<2π)与直线y ＝4的交点的直角坐标为 (2π－4,4)或(6π＋4,4)．解析：由题设得4＝4(1－cos φ)，∴cos φ＝0，∵φ∈[0,2π)，∴φ 1＝π2，φ 2＝3π2，对应的交点坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝4⎝⎛⎭⎫π2－1＝2π－4，y 1＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4⎝⎛⎭⎫3π2＋1＝6π＋4，y 2＝4，即(2π－4,4)或(6π＋4,4)． 4．当φ＝π2，φ＝3π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上对应的点A ，B ，并求出A ，B 两点间的距离．解析：将φ＝π2，φ＝3π2分别代入参数方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3π2，y ＝－1.所以A ⎝⎛⎭⎫π2，1，B ⎝⎛⎭⎫－3π2，－1. 因此|AB |＝⎝⎛⎭⎫π2＋3π22＋(1＋1)2＝2π2＋1. 故A ，B 两点间的距离为2π2＋1.。