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2 χ α ( n − 1) = χ 0.025 (15) = 6.262
2 2
2
故 σ 2的置信水平为 95 %的置信区间为
16 ⋅ 0.000275 16 ⋅ 0.000275 , 27.488 6.262
即
[0.00016,0.00070]
正态总体N(μ,σ²)均值μ 正态总体N(μ,σ )均值μ的区间估计 N(μ,σ
解
σ = 0 . 0006 已知，故 µ的置信水平为 1 − α 的置信区间为
2
σ σ u α,X + u α X − n 1− 2 n 1− 2
σ σ u α,X + u α X − n 1− 2 n 1− 2
这里置信水平1 − α = 0.95, α = 0.05,
1− 2 2
σ
2
≤χ
2
1−
α
2
(n)中σ 的范围，
2
故 σ 的(置信水平为 )1 − α 置信区间为
2
2 2 ˆ ˆ nσ nσ , 2 2 χ ( n) χ ( n) α 1− α 2 2
2. µ未知时, 求参数σ 的1 − α置信区间
2
分析： 分析： S
α 2
σ
~ N (0,1)
−u
P(
1− 1−
α
2
u
σ
1− 1−
α
2
α
2
n(≤ u µ) X− U α ≤u 1−
2
1−
) = 1−α
即求
n( X − µ)
σ
≤u
1−
α
2
中µ的范围，
得X −
σ
n
u
1−
α
2
≤µ≤X +
σ
n
u
1−
α
2
故 µ的(置信水平为 )1 − α 置信区间为
σ σ u α,X + u α X − n 1− 2 n 1− 2
2. σ 未知时, 求参数µ的1 − α置信区间 σ2 分析： 分析： X是 µ的无偏估计，且 X ~ N ( µ , )
2
σ *2 * (n − 1) S ~ χ 2 ( n − 1) S 是 σ的无偏估计，且 σ2 n(X − µ) 则 T= ~ t ( n − 1) * S
则
n(X − µ)
*2
1 n 2 2 = ∑ ( X i − X ) 是σ 的无偏估计, n − 1 i =1
2
则χ =
(n − 1) S
*2
σ
2
~ χ (n − 1)
2
α
2
α
2
χα (n −1)
2 2
χ 2 α (n −1)
1− 2
P( χ α (n − 1) ≤
2 2
(n − 1) S
*2
σ
2
≤χ
2
1−
α
2
(n − 1) ) = 1 − α
例3 从自行车床加工的一批零件中随机地抽 取16件，测得各零件的长度如下(cm)： 件 测得各零件的长度如下 ： 2.15 2.10 2.12 2.10 2.14 2.11 2.15 2.13 2.13 2.11 2.14 2.13 2.12 2.13 2.10 2.14 设零件长度服从正态分布N( ⌠ ， 设零件长度服从正态分布 µ,⌠″)，试求零件 长度方差σ²的置信水平为95%的置信区间 的置信区间. 长度方差 的置信水平为 的置信区间
σ = 0.0006, n = 6,
2
x = 1.495,
通过查表知u
1−
αห้องสมุดไป่ตู้
2
= u0.975 = 1.96
µ的置信水平为 95 %的置信区间为
0.0006 0.0006 ⋅1.96,1.495 + ⋅1.96 1.495 − 6 6
即
[1.4754,1.5146]
这就是说滚珠的平均直径估计在这个区 间的可信度为95%，或者说这个区间属 间的可信度为 ， 于包含µ真值的区间集合的概率为 真值的区间集合的概率为95%. 于包含 真值的区间集合的概率为
这里置信水平1 − α = 0.95, α = 0.05, * n = 6, x = 1.495, s = 0.0226, 通过查表知 t α ( n − 1) = t0.975 (5) = 2.5706
1− 2
µ的置信水平为 95 %的置信区间为
0.0226 0.0226 ⋅ 2.5706,1.495 + ⋅ 2.5706 1.495 − 6 6
σ σ u α,X + u α 2 X − σ 已知， n 1− 2 n 1− 2
* * S S 2 σ 未知，X − t α (n − 1), X + t α (n − 1) n 1− 2 n 1− 2
上例1 某企业生产的滚珠直径X~N(µ,⌠″),现 上例 某企业生产的滚珠直径 ⌠ 现 从中随机抽取6颗检测，测得它们的直径为 从中随机抽取 颗检测， 颗检测 1.46,1.51,1.49,1.48,1.52,1.51, 试求滚珠平均直 的置信水平为95%的置信区间 的置信区间. 径µ 的置信水平为 的置信区间
2
n
则χ =
2
ˆ nσ
2
σ
2
~ χ ( n)
2
α
2
α
2
χα (n)
2 2
χ 2 α (n)
1− 2
P ( χ α ( n) ≤
2 2
ˆ nσ 2
σ
2
≤χ
2
1−
α
2
( n)
) = 1−α
即求χ α (n) ≤
2 2
ˆ2 nσ
ˆ ˆ nσ 2 nσ 2 2 得 2 ≤σ ≤ 2 χ α ( n) χ α ( n)
解
σ 未知，故 µ的置信水平为 1 − α 的置信区间为
2
* * S S t α (n − 1), X + t α (n − 1) X − n 1− 2 n 1− 2
S* S* t α (n − 1), X + t α (n − 1) X − n 1− 2 n 1− 2
n
~ N (0,1)
α 2
α 2
−t
1− 1−
α
2
(n − 1)
t
1− 1−
α
2
(n − 1)
P(
n ( X − µ) ≤ t α (n − 1) ) = 1 − α * 1− S 2
n( X − µ) 即求 ≤ t α (n − 1)中µ的范围， * 1− S 2
得X −
S
*
n
t
1−
α
2
(n − 1) ≤ µ ≤ X +
µ的置信水平为 1 − α 的置信区间为
σ σ u α,X + u α 2 X − σ 已知， n 1− 2 n 1− 2
总 结
* * S S 2 σ 未知，X − t α (n − 1), X + t α (n − 1) n 1− 2 n 1− 2
正态总体N(μ,σ² 方差σ 正态总体N(μ,σ²)方差σ²的区间 N(μ,σ 估计 2 σ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为
即
[1.4715,1.5187]
二、方差σ²的估计 方差σ 的估计
设 X 1 , X 2 , ⋯ X n 是取自总体 N ( µ , σ 2 )的样本 .
1. µ已知时, 求参数σ 的1 − α置信区间
2
1 2 2 ˆ σ 分析： 分析： = ∑ ( X i − µ ) 是σ 的无偏估计, n i =1
解
µ 未知，故
σ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为
2
这里置信水平1 − α = 0.95, α = 0.05, 2 n = 16, x = 2.125, s = 0.000275, 2 2 通过查表知 χ α ( n − 1) =χ 0.975 (15) = 27.488
1−
2 2 nS nS , 2 2 χ (n − 1) χ (n − 1) α 1− α 2 2
设总体 X的分布为 f ( x, θ ), 其中含有未知 参数 θ , X 1,X 2 ,⋯ ,X n为X的样本.给定 α < α < 1), (0 若有统计量θ = θ ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n ) <
θ = θ ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )满足 :
P (θ ≤ θ ≤ θ ) = 1 − α , θ ∈ Θ 则称区间 , θ 是θ的置信水平为1 − α的 θ 置信区间, θ 和 θ 分别称为置信下限和置 信上限， α称为置信水平 (或置信度 )。 1−
即求χ α (n − 1) ≤
2 2
(n − 1) S
*2
σ
*2
2
≤ χ 2 α (n − 1)中σ 2的范围，
1− 2
(n − 1) S (n − 1) S 2 得 2 ≤σ ≤ 2 χ α (n − 1) χ α (n − 1)
1−
*2
故 σ 的(置信水平为 )1 − α 置信区间为
2
2
2
2 2 (n − 1) S * (n − 1) S * χ 2 (n − 1) , χ 2 (n − 1) α 1− α 2 2
第11章 11章
区间估计
点估计仅仅给出了参数θ的一个近 ˆ ˆ 似值θ , 但未能给出近似值θ相对于真值
