【全国百强校】浙江省慈溪中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学(1-3班)试题

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.）1.设23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（ ）A. 5B.6C.7D.8【答案】C. 【解析】试题分析：令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ． 考点：二项式定理．2.6个人排成一排，甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有( ) A.480 B.720 C.240 D.360 【答案】A.考点：排列组合． 3.在2(2n x 的展开式中含常数项，则正整数n 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D. 【解析】试题分析：根据二项展开式通项公式52()222111()2()233rr n r n r r n r rr n r r nn T C x C x -----+=-=-，令542025n r r n n -=⇒=⇒的最小整数值是5，故选D ．考点：二项式定理．4.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是( ) A ．若//m α，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥ B ．若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥ C ．若αβ⊥，//m n 且n β⊥，则//m α D ．若m α⊂，n β⊂且//m n ，则//αβ 【答案】B.考点：空间中直线平面的位置关系．5.有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为()P n ，且()P n 与时刻t 无关，统计得到1()(0)(15)()20(6)nP n P n n ⎧⋅≤≤⎪=⎨⎪≥⎩，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率(0)P 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．3263 D ．12【答案】C. 【解析】试题分析：根据所有事件的概率和为1，从而可得125111(0)(0)[()()()]1222P P +⋅++⋅⋅⋅+=511(1)3222(0)[1]1(0)16312P P -⇒⋅+=⇒=-，故选C ． 考点：概率的性质．6.设双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的左焦点(,0)F c -，圆222x y c +=与双曲线的一条渐近线交于点A ，直线AF 交另一条渐近线于点B ，若12FB FA =，则双曲线的离心率为（ ）A.2B.3C.32【答案】A.考点：1.双曲线的标准方程及其性质；2.三角形的中位线性质．【思路点睛】关于离心率范围问题常见于选择题或填空题，有时也会设置在解答题的第一小问，解决此类问题的策略有：1.根据题意，解出a ，b ，c ，计算离心率ce a=；2.根据题意，建立一个含有a ，b ，c 的齐次方程，计算b a 或ca的值；3.如果求离心率的范围，可以找a ，b ，c 的齐次不等式. 7.已知直线1:4360l x y -+=和直线0:2=x l ，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A. 【解析】试题分析：如下图所示，所求距离和为111PA PB PF PB BF FH +=-+≥-≥-=11-=，取得最小值时，点P的位置即为过F作直线4360x y-+=的垂线与抛物线的交点，故选A.考点：1.抛物线的标准方程及其性质；2.点到直线距离公式．【方法点睛】利用抛物线的定义和性质可解决的两类问题：1.轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.2.距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用.8.如果正整数a的各位数字之和等于8，那么称a为“幸运数”（如：8，26，2015等均为“幸运数”），将所有“幸运数”从小到大排成一列1a，2a，3a，……，若2015na=，则=n（）A．80 B．81 C．82 D．83【答案】D.考点：1.新定义问题；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】以数列为背景的新定义型问题主要给出了新定义一种运算、概念(如一种符号、一种图形等)、一种性质等，要求考生在短时间内理解试题所给的新型定义，进而解决问题，这种试题常以其为载体考查学生学习新知识的能力，特别是能将所学知识与方法迁移到不同情境中，进而考查学生的理性思维和数学素养，.新定义数考查方式：以一些具有特殊性质或具有特殊关系的数为背景，解题要点：抓住新定义本质特征或隐含的规律，如此题，需穷举所有2015之前的幸运数的个数，设置合理的分类讨论点是解题的关键.二、填空题（本大题共7小题，9－12小题每小题6分，13－15每小题4分，共36分）9.多项式(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，4x 项的系数=_________，x 项的系数= ___________． 【答案】15-，274.考点：二项式定理的运用．10.在二项式1)2nx 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______. 【答案】8，1937x -. 【解析】试题分析：由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x-++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，r n C 取最大值，∴8n =，第4项为119(163)333381()72C x x +-=-．考点：二项式定理的运用．11.一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积＝ ，表面积＝______.【答案】23，2考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积．12.已知抛物线23x y =上两点A ，B 的横坐标恰是方程2510x x ++=的两个实根，则直线AB 的 斜率＝ ；直线AB 的方程为 . 【答案】53-，5310x y ++=. 【解析】试题分析：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∴221212*********()333AB y y x x k x x x x x x --==⋅=+=---，直线AB 的方程为2211111151555151()(5)33333333y y x x y x x x y x x x y x -=--⇒-=-+⇒=-++⇒=--， 即5310x y ++=．考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积．13.某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不同且可区分，今每次取出一只测试，测试后不放回，直到4只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情形有 种. 【答案】576.考点：排列与组合．14.设1F ，2F 是椭圆Γ的两个焦点，S 是以1F 为中心的正方形，则S 的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有 个（S 的各边可以不与Γ的对称轴平行）． 【答案】2. 【解析】试题分析：如下图所示，不妨设椭圆的方程为22221x y a b+=，A 在椭圆上，由1AF B ∆是等腰直角三角形可知，11A B AF BF a ex a ex =⇒+=+，当且仅当A ，B 关于x 轴对称时，B 也在椭圆上，若C 也在椭圆上，由1212222AF AF CF CF a AF CF +=+=⇒=A C a ex a ex ⇒-=-，则A ，C 关于x 轴对称，同理，若D 在椭圆上，则A ，D 关于x 轴对称，即B ，C ，D 三点至多只能有一个在椭圆上，故可知，落在椭圆上的个数最多有2个．考点：椭圆的标准方程及其几何性质．【思路点睛】椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如：1.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，有a x a -≤≤，b x b -≤≤，01e <<等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值与最小值；2.椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a c +，最小距离为a c -，且有焦半径公式1||M MF a ex =+，2||M MF a ex =-，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点.15. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是1a ∈ ． 【答案】(,12][24,)-∞+∞.考点：1.古典概型；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1.基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2.注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.某班共有36名学生，其中有班干部6名，现从36名同学中任选2名代表参加某次活动，求： （1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2）至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于12，则男生比女生多几人？ 【答案】（1）27；（2）1342；（3）6．考点：1.古典概型；2.组合数公式．17.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且OA OF =，AOF ∆的面积为1（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆的方程；（2）若C ，D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明：OM OP ⋅为定值．【答案】（1）22142x y +=；（2）详见解析． 【解析】试题分析：（1）利用条件OA OF =，AOF ∆的面积为1，可建立关于b ，c 的方程组，从而求解；（2）考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.平面向量数量积的坐标表示；4.椭圆中的定值问题．18.在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB AC AA ===，4BC =，BC 的中点为O ，1AO 垂直于底面ABC .(1) 证明：在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长； (2) 求二面角11A B C B --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明详见解析，AE =2）． 【解析】试题分析：（1）如下图所示，连AO ，作1OE AA ⊥于点E ，首先有1OE BB ⊥，再证BC ⊥平面1AAO ，从而可证OE ⊥平面11BB C C ，可在1Rt AOA ∆中利用射影定理，求得AE 的长；（2）分别以OA ，OB ，1OAOC 1B 1A 1CBA即所求二面角的平面角与,OE n <>互补，故所求的余弦值是.考点：1.线面垂直的判定和性质；2.空间向量求二面角．19.如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点. （1）若1260AF F ∠=，且 021=⋅AF AF ，求椭圆的离心率.（2）若a =，1b =，求B F A F 22⋅的最大值和最小值.【答案】（11-；（2）最大值27，最小值1-．②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为)1(+=x k y ，由⎩⎨⎧=-++=022)1(22y x x k y ，得 0)1(24)21(2222=-+++k x k x k ， ∵2880k ∆=+>，∴方程有两个不等的实数根，设),(11y x A ，),(22y x B .2221214k k x x +-=+，222121)1(2kk x x +-=⋅，∴211(1,)F A x y =-，222(1,)F B x y =-， )1)(1()1)(1()1)(1(21221212122+++--=+--=⋅x x k x x y y x x F F22122121))(1()1(k x x k x x k +++-++=22222221)214)(1(21)1(2)1(k k k k k k k +++--++-+=22271791222(12)k k k -==-++，∵20k ≥，2121k +≥，210112k<≤+， ∴227[1,]2F A F B ⋅∈-，即当直线l 垂于x 轴时，B F A F 22⋅取得最大值27 当直线l 与x 轴重合时，B F A F 22⋅取得最小值1-.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.平面向量数量积坐标表示．【方法点睛】求解范围问题的常见求法（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.数列{}n a 满足11a =，12222a A A =+，……，12n n n n n a A A A =++⋅⋅⋅+(*n N ∈) （1）求2a ，3a ，4a ，5a 的值；（2）求n a 与1n a -之间的关系式*(,2)n N n ∈≥；（3）求证：12111(1)(1)(1)3na a a ++⋅⋅⋅+<（*n N ∈） 【答案】（1）24a =，315a =，464a =，5325a =；（2）1n n a n na -=+；（3）详见解析．考点：1.排列数的公式；2.数列的递推公式；3.数列与不等式相结合．【方法点睛】解决数列与不等式相结合的综合题常用的解题策略有：1.关注数列的通项公式，构造相应的函数，考查该函数的相关性质（单调性，值域，有界性）加以放缩；2.重视题目设问的层层递进，最后一小问常常要用到之前的中间结论；3.数学归纳法.：。

第Ⅰ卷（选择题共70分）一、选择题（本题包括35小题，每小题2分，共70分）1．某一史家指出：“任何一种史料，都不是完全可信，里面可能有错误，可能有虚伪，可能有私人的爱憎，可能有地方及民族的成见，不经精密的考证，即笃信不疑，后患实无尽无穷。

”作者在这里强调的是（）A．任何史料均不足信 B．任何史料均可质疑C．历史没有客观可言 D．历史学取决于史料【答案】B考点：史学理论及素养·历史研究和认识的方法·“一分材料，说一分话”、“论从史出”【名师点睛】史学理论涉及的范畴比较广，平时在复习和备考进程中，要有意识地加强这方面补充。

诸如史实、史识、史法、史论、史料和史观等。

史实、史论、史识是构成史学的三要素。

史实即历史事实,史论即对历史事件和历史人物的评论,史识即是以科学的史观作为指导,来分析大量可靠的史实。

针对史料，要注意史料的来源，重点注意把握第一手史料和实物史料。

2.一次考古中发掘出古代石刻石一方，上有记文曰：“追念乱世，分土封邦……乃今皇帝，一家天下，兵不复起。

”据此判断，这块刻石应出自（）A.西周B.秦代C.汉代D.元代【答案】B【解析】试题分析：本题考查秦朝专制主义中央集权制度——皇帝制度。

由材料关键信息“乱世，分土封邦”即指西周时期实行的分封制。

“乃今皇帝”“一家天下”，即指始建皇帝制度，B项正确。

C、D两项体现不出始建皇帝制度，排除。

综上，本题正确答案选B。

考点：古代中国的政治制度·秦朝专制主义中央集权制度的形成与发展·皇帝制度【名师点睛】关于秦朝开创的专制主义中央集权制度——皇帝制度，要注意把握到以下方面。

皇帝制度的基本特征体现在皇帝独尊、皇权至上和皇位世袭。

其本质是君主专制，服务于加强专制主义中央集权制度。

皇帝制度的核心是皇权至上。

皇帝即天子，体现“天下之事无小大，皆决于天。

”3.明代内阁和清代军机处的共同之处是（）A.统领六部，处理各种政务B.C. D.【答案】C考点：古代中国的政治制度·明清君主专制制度的加强·明代内阁和清代军机处【名师点睛】对明代内阁和清代军机处进行全面认识。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.）1.已知幂函数)(x f y =的图象过点)22,21(，则2log (2)f 的值为( ) A.21 B.21-C.2D.2-【答案】A. 【解析】试题分析：设幂函数为()af x x =，11()22a a =⇒=，∴12221log (2)log 22f ==，故选A ．考点：1.幂函数的概念；2.对数的计算．2.已知3tan =α，则222sin 4sin cos 9cos αααα+-的值为 ( ) A.3 B.1021 C.31 D.301【答案】B.考点：同角三角函数的基本关系． 3.若sin cos tan ααα+=，(0)2πα<<，则α∈（ ）A.(0,)6πB ．(,)64ππC ．(,)43ππD ．(,)32ππ【答案】C. 【解析】试题分析：∵2(sin cos )12sin cos αααα+=+，∴22112sin cos 1sin cos 2αααα<+≤++=，即1sin cos αα<+≤<(,)43ππα∈，故选C ．考点：1.同角三角函数的基本关系；2.不等式的性质；3.三角函数的性质． 4.函数axa x f --=5)1()(（1a >且2a ≠）在[]2,1上为单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2(+∞B ． )2,1(C ．]25,2(D ．(1,5)【答案】C.考点：1.指数函数的单调性；2.复合函数的单调性． 5.函数)2||,0()sin()(πϕωϕω<>+=x A x f 的部分图象如图所示，则=)(πf （ ）A.4B.32C.2D.3【答案】A. 【解析】试题分析：分析图象可知2A =，522[()]21212T ππππωω=--==⇒=，522()12k k Z πϕππ⨯+=+∈，∴2()66k k Z ππϕπϕ=+∈⇒=，∴22()()4sin(2)sin 66f x f x πππ=⇒==+，故选A ．考点：三角函数的图象和性质．【方法点睛】根据sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的图象求解析式的步骤： 1.首先确定振幅和周期，从而得到A 与ω；2.求ϕ的值时最好选用最值点求， 峰点：22x k πωϕπ+=+，k Z ∈； 谷点：22x k πωϕπ+=-+，k Z ∈，也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点，升零点(图象上升时与x 轴的交点)：2x k ωϕπ+=，k Z ∈；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：2x k ωϕππ+=+，k Z ∈．6.现有四个函数:①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象(部分)如下,则按照从左到右图象对应的函数序号正确的一组是（ ）A.①④③②B.④①②③C.①④②③D.③④②①【答案】C.考点：1.函数的奇偶性；2.三角函数的图象．7.已知函数sin()10()2log (0,1) 0a x x f x x a a x π⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩，且，的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） A.)330(，B. )155(， C. )133(， D.)550(，【答案】D. 【解析】试题分析：分析题意，设()f x 图象上关于y 轴对称的点为(,)x y ，(,)x y -，不妨0x >， 故log sin()1sin()122a x x x ππ=--=--，即满足log sin()12a x x π=--的解至少有3个，分别画出函数log a x 和sin()12x π--的函数图象，根据图象可知01a <<，且点(5,2)-在函数log ax 的上方，即2211log 52log 50a aa a a >-=⇒<⇒<<，故选D ．考点：1.分段函数；2.函数与方程；3.数形结合的数学思想．【思路点睛】函数的图象与零点问题往往已知函数零点或根的情况，求参数的取值范围，解决这类问题的关键通常转化为函数图象问题进行讨论，对于方程()()f x g x =的根，可构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为函数()()f x g x =的根，或转化为求两个函数的公共点，利用数形结合的方法解决.8.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C.考点：三角恒等变形．【思路点睛】三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9.设全集U R =，集合{}|10A x x =+≤，{}2|20B x x =-<，则=AB ，R =B ð .【答案】(1]-，(,[2,)-∞+∞. 【解析】试题分析：由题意得(,1]A =-∞-，(B =，∴(2,1]A B =--，R (,[2,)B =-∞+∞ð． 考点：集合的运算．10.若指数函数()f x 的图象过点(2,4)-，则(3)f = ；不等式5()()2f x f x +-<的解集为 .【答案】18，(1,1)-. 考点：1.指数函数的概念及其性质； 2.解不等式．11.已知函数5454()22xx x x f x ---+=-，则()f x的递增区间为______，函数()()g x f x =的零点个数为________个 【答案】(,1)-∞，2. 【解析】试题分析：显然函数()4xh x x =+在R 上单调递增，而(1)5h =，∴4, 1()5, 1x x f x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，∴()f x 的单调递增区间为(,1)-∞，令()f x =14x x <⎧⎪⎨=⎪⎩或41log 5x x x ≥⎧⎪⇒=⎨-+=⎪⎩5x =2个．考点：1.指数函数的性质；2.函数与方程．12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤=0,31)(3x x x x x x f ， ，则=))1((f f ______；若关于x 的方程21(2)2f x x m ++=有4个不同的实数根，则m 的取值范围是_______． 【答案】1-，1(1,)(0,)8--+∞.考点：1.分段函数；2.函数与方程；3.分类讨论的数学思想；4.数形结合的数学思想．【方法点睛】函数的零点问题中常见的策略有：①通过零点存在定理判定零点的存在性；②常常结合单调性判定零点的唯一性；③求方程(())f g x t =的解的数目，必须数形结合，设()f x t =，先画出函数()f x 的图象，根据t 的变化和范围，分析出自变量(())i i x f x t =的对应范围，再考虑()i g x x =的解. 13.定义在R 上的奇函数()f x 满足3()()2f x f x -=+，(2014)2f =，则(1)f -= ． 【答案】2-.考点：1.函数的周期性；2.奇函数的性质．14.已知OAB ∆中，3OA =， 2OB =，M 是OAB ∆重心，且0MB MO ⋅=，则cos AOB ∠= ．【答案】16. 【解析】试题分析：如下图所示，设||MC x =，||ME y =，则||2OM x =，||2BM y =，∵0MB MO ⋅=，∴MB MO ⊥，∴在Rt OMB ∆中，22224441x y x y +=⇒+=，同理在Rt OME ∆中，22944x y +=，联立方程组解得2512x =，2712y =，∴2215||94OC x ==， 又∵1()2OC OA OB =+，∴2221594232cos 1544OA OB OA OB AOB ++⋅=⇒++⨯⨯⨯∠=1cos 6AOB ⇒∠=．考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的线性运算．15．O 为平行四边形ABCD 所在平面上一点，()OA OB OC OD λ+=+，(2)OA AB AC μ=+，则λ的值是______. 【答案】12-.考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量基本定理．【思路点睛】若1e ，2e 是平面内的一组基底，则对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ使1122a e e λλ=+，即平面内任一向量均可由该平面内的两个不共线向量线性表示，且表示方式惟一，此题利用的是“基底方式”，即用a ，b 作为基底，然后将同一向量OB 作两种表示，由平面向量基本定理知系数对应相等，即可得关于λ，μ的方程组，应注意这种题型及相应的解法，它在近几年各地模拟题中频繁出现.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本小题14分)已知02παβπ<<<<，1tan22α=，cos()βα-=.（1）求sin α的值；（2）求β的值．【答案】（1）45；（2）34π.考点：1.同角三角函数基本关系；2.三角恒等变形． 17. (本题满分15分)已知函数2()sin 2f x x x ωω=+（0ω>），相邻两对称轴之间的距离为2π。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，选对得3分，选错得0分，共24分）1．下列各组物理量中，都是矢量的是（ ）A ．时间、位移、速度 B. 速度、质量、加速度C. 力、速度的变化、加速度D. 力、温度、位移【答案】C考点：矢量、标量【名师点睛】本题是一个基础题目，就是看学生对矢量和标量的掌握即如何判断区分。

2. 如图所示，是同一轨道平面上的三颗人造地球卫星，下列说法正确的是( )A ．根据gr v =，可知CB A v v v <<B ．根据万有引力定律，可知C B A F F F >>C ．角速度C B A ωωω>>D ．向心加速度C B A a a a <<【答案】C 【解析】试题分析：卫星绕地球做圆周运动，由万有引力提供圆周运动即222 GMm mv mr ma r rω===，得：v ，可知A 、B 、C 三卫星轨道半径依次增加，故线速依次减小，v =仅指计算近地轨道卫星绕行的线速度，故A 错误；由于未知三颗卫星的质量大小关系，故仅根据半径关系无法判断其万有引力的大小，故B 错误；由万有引力提供圆周运动即22 GMm mr r ω=，得：ω=，A 、B 、C 三卫星轨道半径依次增加，所以C B A ωωω>>，故C 正确；向心加速度2a GM r=，A 、B 、C 三卫星轨道半径依次增加，所以A B C ααα＞＞，故D 错误。

考点：万有引力定律的应用【名师点睛】研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式把要比较的物理量表示出来；根据已知条件结合表达式求解。

比较一个物理量，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较，不能考虑一个变量而忽略了另一个变量的变化。

3．关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是（ ）A. 物体的速度方向一定不断改变B. 物体的速度大小一定不断改变C. 物体的加速度方向一定不断改变D. 物体的加速度大小一定不断改变【答案】A考点：物体做曲线运动条件专【名师点睛】曲线运动物体的速度方向是该点的切线方向，时刻在变化，是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，曲线运动的加速度不一定变化。

2015—2016学年浙江省宁波市慈溪中学高二(上）期中数学试卷（1班）一、选择题（本大题共8小题，共40分)1．设（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，当a0+a1+a2+…+a n=254时,n等于（）A．5 B．6 C．7 D．82．6个人排成一排，其中甲、乙两人中间至少有一人的排法有(）A．480种B．720种C．240种D．360种3．在（2x2﹣）n的展开式中含常数项，则正整数n的最小值是（) A．2 B．3 C．4 D．54．设m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β5．有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关,统计得到P（n)=,那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P(0）的值是（)A．0 B．1 C．D．6．设双曲线﹣=1，(a＞0,b＞0）的左焦点F(﹣c,0)，则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线与点B．若=，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．D．7．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2:x=0，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如果正整数a的各位数字之和等于8，那么称a为“幸运数”（如：8,35，440，2015等均为“幸运数”）,将所有“幸运数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，则2015是（）A．第83个 B．第84个 C．第85个 D．第86个二、填空题（本大题共7小题，9—12小题每小题6分,13—15每小题6分，共36分）9．多项式(x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5)的展开式中，x4项的系数=，x项的系数=．10．在二项式（﹣）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n=;展开式中的第4项为．11．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积=，表面积=．12．已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的斜率=；直线AB的方程为．13．某种产品有4只次品和6只正品,每只产品均不同且可区分，今每次取出一只测试，测试后不放回，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情形有种．14．设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有个(S的各边可以不与Γ的对称轴平行）．15．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜,否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是．三、解答题(本大题共5小题，依次为15、15、15、15、14分，共74分）16．某班共有36名学生，其中有班干部6名．现从36名同学中任选2名代表参加某次活动．求:（1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2)至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于,则男生比女生多几人?17．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA｜=|OF|，△AOF的面积为1(其中O为坐标原点)．（1）求椭圆的方程;（2）若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，证明:•为定值．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,BC的中点为O，A1O垂直于底面ABC．(1）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求二面角A1﹣B1C﹣B的平面角的余弦值．19．如图已知,椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点．（Ⅰ）若∠AF1F2=60°，且，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．20．数列｛a n}满足a1=1，a2=+，…,a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3,a4,a5的值;（2）求a n与a n﹣1之间的关系式(n∈N*，n≥2）；（3）求证：(1+）（1+）…（1+)＜3（n∈N*）2015-2016学年浙江省宁波市慈溪中学高二（上）期中数学试卷(1班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，共40分）1．设（1+x）+(1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，当a0+a1+a2+…+a n=254时，n等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】数列的求和;二项式定理的应用．【分析】观察已知条件a0+a1+a2+…+a n=254,可令（1+x）+（1+x）2+(1+x）3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n中的x=1，可得254=2n+1﹣2，解之即可．【解答】解：∵（1+x）+（1+x)2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n∴令x=1得2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+a n,而a0+a1+a2+…+a n=254==2n+1﹣2，∴n=7故答案为：C2．6个人排成一排,其中甲、乙两人中间至少有一人的排法有(）A．480种B．720种C．240种D．360种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】所有的排法共有种,其中甲乙二人相邻的排法有•种，相减即得甲、乙两人中间至少有一人的排法．【解答】解：所有的排法共有=720种，其中甲乙二人相邻的排法有•=240种，故甲、乙两人中间至少有一人的排法有720﹣240=480种，故选A．3．在（2x2﹣）n的展开式中含常数项，则正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】二项式定理的应用．【分析】先求得(2x2﹣)n的展开式的通项公式，则由题意可得x的幂指数等于零有解，从而求得正整数n的最小值．=•2n x2n﹣2r•(﹣）【解答】解:根据(2x2﹣)n的展开式的通项公式为T r+1r•=（﹣)r••,则由题意可得2n=有解,r=0、1、2、3…n,故正整数n的最小值为5,故选：D．4．设m，n是两条不同的直线,α，β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是（)A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β,m∥n且n⊥β，则m∥α D．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的关系求解．【解答】解:若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若m⊥α,n⊥β且m⊥n，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；若α⊥β，m∥n且n⊥β,则m∥α或m⊂α,故C错误；若m⊂α，n⊂β且m∥n,则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．5．有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻,有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到P（n）=，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是（）A．0 B．1 C．D．【考点】几何概型．【分析】利用概率之和等于1可得到关于P（0）的方程，解出即可．【解答】解:∵P（1）=P（0）,P(2）=P(0），P（3)=P（0），P(4）=P（0）,P（5)=P(0）．∴P（0）=1﹣（P(1）+P（2）+P（3）+P（4)+P（5））=1﹣（1﹣（)5)P（0），∴P（0）=．故选C．6．设双曲线﹣=1，(a＞0，b＞0）的左焦点F(﹣c，0)，则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A,直线AF交另一条渐近线与点B．若=，则双曲线的离心率为(）A．2 B．3 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意,y=x与x2+y2=c2联立,可得A（a,b），求出AF的斜率，利用=，B为线段FA的中点，可得斜率之间的关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解:由题意，y=x与x2+y2=c2联立,可得A（a，b),∴AF的斜率为，∵=，∴B为线段FA的中点，∴OB⊥AF，∴•（﹣）=﹣1,∴e2﹣e﹣2=0，∵e＞1，∴e=2．故选：A．7．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2:x=0,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和转化为:抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线x=1的距离之和，x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，则P到x=﹣1的距离等于PF,抛物线y2=4x的焦点F（1，0）过P作4x﹣3y+6=0垂线,和抛物线的交点就是P，所以点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离．【解答】解：x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，则P到x=﹣1的距离等于PF，抛物线y2=4x的焦点F（1,0）过P作4x﹣3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P,所以点P到直线l1:4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2:x=﹣1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离，所以最小值==2．直线l1:4x﹣3y+6=0和直线l2：x=0，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是：2﹣1=1故选：A．8．如果正整数a的各位数字之和等于8，那么称a为“幸运数”（如：8，35,440,2015等均为“幸运数"),将所有“幸运数”从小到大排成一列a1,a2,a3，…，则2015是（）A．第83个 B．第84个 C．第85个 D．第86个【考点】计数原理的应用．【分析】利用“幸运数”的定义，分类列举出“幸运数”，即可得到结论．【解答】解：由题意，一位数:8；二位数时,17,26，35，44,53,62,71，80有8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0,1，7）有4个,（0，2，6)有4个，（0,3，5）有4个，(0，4，4）有2个，（1,1，6）有3个，（1，2，5）有6个,（1,3，4）有6个，（2,2，4)，有3个,（2，3，3）有3个，合计1+4×3+2+3×3+6×2=36个，四位数小于等于2015:（0，0，1，7)有3个,(0，0，2，6）有1个,（0,1,1，6）有6个,(0，1，2，5）有7个，（0,1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个,（1,1，3，3)有3个，（1,2,2，3）有3个，合计有3×4+6×3+1+7=38个数，小于等于2015的一共有1+8+36+38=83故选:A二、填空题（本大题共7小题,9-12小题每小题6分，13—15每小题6分，共36分）9．多项式（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）(x﹣5）的展开式中，x4项的系数=﹣15，x项的系数=274．【考点】计数原理的应用．【分析】本题可通过选括号(即5个括号中4个提供x，其余1个提供常数）进行求解即可解答第一问;类似求解第二问．【解答】解：含x4的项是由（x﹣1)（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数∴展开式中含x4的项的系数是（﹣1）+（﹣2）+(﹣3)+（﹣4）+（﹣5）=﹣15．含x的项是由（x﹣1)（x﹣2）(x﹣3）（x﹣4）（x﹣5)的5个括号中4个括号出常数仅1个括号出x，∴展开式中含x的项的系数是：1×2×3×4+2×3×4×5+1×2×4×5+1×3×4×5+1×2×3×5=274．故答案为:﹣15，27410．在二项式（﹣）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n= 8；展开式中的第4项为﹣7．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n=8，再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的第4项．【解答】解：在二项式（﹣）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大,则n=8．展开式中的第4项为T4=••=﹣7，故答案为：8，﹣7．11．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积=，表面积= 2++．【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据四棱锥的三视图，得出该四棱锥是底面为正方形，一条侧棱垂直于底面,画出图形结合图形即可求出它的体积与表面积．【解答】解：根据四棱锥的三视图,得；该四棱锥是底面是对角线为2的正方形,且一条侧棱垂直于底面,如图所示；所以,该四棱锥的体积是××22×1=；表面积是S△PBC +S△PDC+S△PAB+S△PAD+S正方形ABCD=××1+××1+××+××+×22=++2．故答案为:,2++．12．已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的斜率=；直线AB的方程为5x+3y+1=0．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】分别设出A和B的坐标,代入抛物线解析式和方程中,分别消去平方项得到两等式，根据两等式的特点即可得到直线AB的方程．即可求出直线的斜率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）,则把A的坐标代入抛物线解析式和已知的方程得：x12=3y1①,x12+5x1+1=0②，①﹣②整理得：5x1+3y1+1=0③;同理把B的坐标代入抛物线解析式和已知的方程，化简可得：5x2+3y2+1=0④，③④表示经过A和B的方程，所以直线AB的方程是：5x+3y+1=0．直线的斜率为：．故答案为：；5x+3y+1=0．13．某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不同且可区分,今每次取出一只测试，测试后不放回，直到4只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情形有576种．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，可以分步完成,第一步：第五次测试的有几种可能; 第二步:前四次有一件正品有几种可能; 第三步：前四次有几种顺序；最后根据乘法公式计算可得共有几种可能．【解答】解:对四件次品编序为1，2,3,4．第五次抽到其中任一件次品有C41种情况．前四次有三次是次品，一次是正品共有C16C33种可能．前4次测试中的顺序有A44种可能．∴由分步计数原理即得共有C14（C16C33)A44=576种可能．故答案为：576．14．设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点,S是以F1为中心的正方形,则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有2个（S的各边可以不与Γ的对称轴平行）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】可设P为正方形的顶点，且P在椭圆上，根据正方形的顶点到中心的距离相等,以及椭圆的对称性,便可得到椭圆上到F1的距离等于|PF1｜的点,只能有一个，是P关于对称轴的对称点，从而得出正方形S的四个顶点能落在椭圆上的个数最多2个．【解答】解：如图，若P是正方形的顶点,P在椭圆上；则根据椭圆的对称性，椭圆上到F1的距离等于|PF1｜的点只能为P关于对称轴的对称点P′；∴S的四个顶点中能落在椭圆上的个数最多有2个．故答案为:2．15．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1,按下列方法操作一次产生一个新的实数:由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12,这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是（﹣∞，12］∪[24，+∞)．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，可求a1的取值范围．【解答】解：由题意得，a3的结果有四种：1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12=4a1﹣36=a3，2．a1→2a1﹣12→(2a1﹣12）+12=a1+6=a3，3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3，4．a1→a1+12→2（a1+12）﹣12=a1+18=a3，每一个结果出现的概率都是∵a1+18＞a1，a1+6＞a1,∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为,∴4a1﹣36＞a1，a1+18≤a1，或4a1﹣36≤a1，a1+18＞a1，解得a1≥24或a1≤12．故a1的取值范围是（﹣∞,12]∪［24，+∞）故答案为：（﹣∞，12]∪[24,+∞)三、解答题(本大题共5小题，依次为15、15、15、15、14分,共74分）16．某班共有36名学生,其中有班干部6名．现从36名同学中任选2名代表参加某次活动．求：（1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2）至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于,则男生比女生多几人？【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】(1）现从36名同学中任选2名代表参加某次活动，共有C362种,恰有1名班干部当选代表的C301C61种，根据概率公式计算即可；(2）没有班干部的种数C302种,根据互斥概率公式计算即可；（3）设男生有n人，则女生有36﹣n人，得到关于n的方程,解得即可．【解答】解：(1)现从36名同学中任选2名代表参加某次活动，共有C362种，恰有1名班干部当选代表的C301C61种，恰有1名班干部当选代表的概率：=，（2)没有班干部的种数C302种，故至少有1名班干部当选代表的概率为：1﹣=,（3)设男生有n人，则女生有36﹣n人，则有条件可知：=，解得n=15或n=21，而n＞18，所以n=21所以男生比女生多6人．17．已知椭圆+=1（a＞b＞0)的右焦点为F,A为短轴的一个端点,且｜OA|=|OF｜，△AOF的面积为1（其中O为坐标原点）．(1）求椭圆的方程；（2）若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P,证明：•为定值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【分析】(1）由题意可得b=c，bc=1,解方程可得b，c,由a，b，c的关系，解得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设出直线MC的方程，代入椭圆方程，求得P的坐标，M的坐标，由向量的数量积的坐标表示计算即可得到定值4．【解答】解：（1）由题意可得b=c,bc=1，解得b=c=，a==2，即有椭圆的方程为+=1；（2)由题意直线MC的斜率存在，设其方程为y=k（x+2),代入椭圆方程x2+2y2=4，得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，由x P（﹣2）=,解得x P=﹣,y P=,令x=2，解得y M=4k，即M（2,4k)，所以•=2•（﹣）+4k•=4为定值．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=,BC=4，BC的中点为O，A1O 垂直于底面ABC．（1）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；(2）求二面角A1﹣B1C﹣B的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接AO,在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，可得OE⊥BB1．由A1O ⊥平面ABC,得A1O⊥BC，再由AB=AC，OB=OC,得AO⊥BC，进一步得BC⊥平面AA1O，则BC⊥OE,由线面垂直的判定可得OE⊥平面BB1C1C，由射影定理求得AE; (2）分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系,由已知求得所用点的坐标,可得平面BB1C1C的法向量是（），再求出平面A1CB1的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A1﹣B1C﹣B的平面角的余弦值．【解答】(1)证明:连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，∵AA1∥BB1，∴OE⊥BB1．∵A1O⊥平面ABC,∴A1O⊥BC，∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，得BC⊥平面AA1O，则BC⊥OE，∴OE⊥平面BB1C1C，又,，∴；（2）解：如图所示，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x,y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0）,C（0，﹣2，0），A1（0，0,2)，B（0，2,0）．由（1）可知，得点E的坐标为（），由（1）可知平面BB1C1C的法向量是(），设平面A1CB1的法向量,由，令y=1,得x=2，z=﹣1，即，∴cos＜＞==，所求二面角的平面角与＜＞互补,所求的余弦值是．19．如图已知，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点．（Ⅰ）若∠AF1F2=60°，且，求椭圆的离心率;（Ⅱ)若，求的最大值和最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ)因为在焦点三角形AF1F2中,，所以∠F1AF2=90°，又因为∠AF1F2=60°,所以的三边关系可以找到,根据三边关系，可求出含a，c的齐次式，进而求出离心率．(II）若,则椭圆方程为两个,可以是焦点在x轴上，也可焦点在y轴上,分别写出方程，在与设出的直线l方程联立，找到横坐标之和与之积,用坐标表示，根据前面所求，得到含k的方程，再求出最值即可．【解答】解:（I）∵，∴AF1⊥AF2∵∠AF1F2=60°,∴F1F2=2AF1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴2a=AF1+AF2，2c=F1F2∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）∵,∴c=1，点F1(﹣1,0),F2（1，0）．①若AB垂直于x轴，则,﹣﹣﹣﹣﹣﹣②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1）由消去y得：（2k2+1)x2+4k2x+2k2﹣2=0∵△=8k2+8＞0，∴方程有两个不等的实数根．设A（x1，y1）,B（x2，y2）．∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴=（1+k2)（x1x2+x1+x2+1）==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵,∴∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣综合①、②可得：．所以当直线l垂直于x时,取得最大值；当直线l与x轴重合时，取得最小值﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…,a n=++…+（n∈N＊）（1）求a2，a3，a4，a5的值;（2）求a n与a n﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2);（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*)【考点】数列的求和．【分析】（1）运用排列数公式，计算即可得到所求;（2）由排列数公式，提取n，即可得到所求a n与a n﹣1之间的关系式；(3)运用（2）的结论和阶乘的定义,结合不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）a2=+=2+2=4,a3=++=3+6+6=15，a4=+++=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，a5=++++=5+20+60+120+120=325；(2)a n=++…+=n+n（n﹣1)+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n!=n+n［（n﹣1）+(n﹣1）(n﹣2）+…+（n﹣1）！]=n+na n；﹣1（3）证明：由（2）可知=，所以（1+）（1+）…（1+）=•…==+++…+=+++…+=+++…+≤1+1+++…+=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3(n≥2)．所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．2017年1月15日。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2015-2016学年浙江省宁波市慈溪中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁U N）为（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|1≤x≤3}D．{x|1＜x≤3}2．“α是第二象限角”是“sinαtanα＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分C．充分条件 D．既不充分也不必要3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若α⊥β，α∩β=m，m∥n，则n∥4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，A=60°，若三角形有两解，则b的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，）C．（1，2）D．（，2）5．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]6．点F是抛物线τ：x2=2py（p＞0）的焦点，F1是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若线段FF1的中点P恰为抛物线τ与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e的值为（）A．B．C．D．7．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=∠IOA=60°，设=，=，已知点P在各菱形边上运动，且=x+y，x，y∈R，则x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[a﹣1，a+1]，关于x 的不等式f（x2+a）＞a2f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．（0，4]C．（0，+∞）D．[2，+∞）二、填空题：本大题共7小题，共36分．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，f（x）的周期为______，φ的值为______．10．计算：（1）=______；（2）设f（x）=，则=______．11．若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为______，三棱锥D﹣BCE的体积为______．12．已知实数x，y满足约束条件时，所表示的平面区域为D，则z=x+3y的最大值等于______，若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则a的取值范围是______．13．已知a＞0，b＞0，a+2b=1，则取到最小值为______．14．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在平面内将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转60°后得到矩形A′BC′D′，则点D′到直线AB的距离是______．15．已知等差数列{a n}首项为a，公差为b，等比数列{b n}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得a m+3=b n 成立，则a n=______．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知向量=（sin（x﹣），cosx），=（cosx，cosx），若函数f（x）=•﹣．（1）求x∈[﹣，]时，函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若f（A）=，且|﹣|=2，求BC边上中线长的最大值．17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=100﹣3n•a n，求数列{|b n|}的前n项和．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面PAB．PA=PB=AB=BC=6，点M，N分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）E在线段AC上的点，且AM∥平面PNE．①确定点E的位置；②求直线PE与平面PAB所成角的正切值．19．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点Q（l，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．20．设已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，a∈R，（Ⅰ）当x∈[1，4]时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）=3有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由．2015-2016学年浙江省宁波市慈溪中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁U N）为（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|1≤x≤3}D．{x|1＜x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合M，再计算M∩（C U N）．【解答】解：∵M={x|（x﹣3）（x+1）≤0}={x|﹣1≤x≤3}，N={y|y=x2+1}={y|y≥1}，∴∁U N={y|y＜1}，∴M∩（C U N）={x|﹣1≤x＜1}故选：A．2．“α是第二象限角”是“sinαtanα＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分C．充分条件 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若α是第二象限角，则sinα＞0，tanα＜0，则sinαtanα＜0成立，若α是第三象限角，则sinα＜0，tanα＞0，满足sinαtanα＜0成立，但α是第二象限角不成立，∴“α是第二象限角”是“sinαtanα＜0”的充分不必要条件，故选：A．3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若α⊥β，α∩β=m，m∥n，则n∥【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐个判断即可得到答案．【解答】解：对于A，若m∥α，α∩β=n，则m∥n或m与n异面，故A错；对于B，m⊥α，n⊂β，m⊥n，不能推出m⊂β，故B错误；对于C，∵α∥β，m⊥α，∴m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故C正确；对于D，若α⊥β，α∩β=m，m∥n，则n∥β或n⊂β．综上所述，正确的是C．故选C．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，A=60°，若三角形有两解，则b的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，）C．（1，2）D．（，2）【考点】正弦定理．【分析】由a与sinA的值，利用正弦定理列出关系式，表示出a=sinA，进而得到b=sinB，得到B+C的度数，由三角形有两解确定出B的范围，利用正弦函数的值域确定出b的范围即可．【解答】解：∵△ABC中，a=1，A=60°，∴由正弦定理===，即a=sinA，B+C=120°，∴b=sinB，∵三角形有两解，∴若B≤60°，则与A互补的角大于120°，矛盾；∴60°＜B＜120°，即＜sinB≤1，∴b的范围为（1，），故选：B．5．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．6．点F 是抛物线τ：x 2=2py （p ＞0）的焦点，F 1是双曲线C ： =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，若线段FF 1的中点P 恰为抛物线τ与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C 的离心率e 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】双曲线C 的渐近线方程为y=x ，代入x 2=2py ，可得P （，），利用P是线段FF 1的中点，可得P （，），由此即可求出双曲线C 的离心率．【解答】解：双曲线C 的渐近线方程为y=x ，代入x 2=2py ，可得P （，），∵F （0，），F 1（c ，0）∴线段FF 1的中点P （，），∴=， =，∴a 2=8b 2，∴c 2=9b 2，∴e==．故选：D ．7．如图，四边形OABC ，ODEF ，OGHI 是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=∠IOA=60°，设=， =，已知点P 在各菱形边上运动，且=x +y ，x ，y ∈R ，则x +y 的最大值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】可以O为坐标原点，GC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，可设菱形的边长为2，从而能求出D，H点的坐标，这样便可得到向量的坐标．可设P（X，Y），根据条件即可得出，这样设x+y=z，X，Y的活动域便是菱形的边上，这样根据线性规划的知识即可求出z的最大值，即求出x+y的最大值．【解答】解：如图，以GC所在直线为x轴，过O且垂直于GC的直线为y轴，建立如图所示坐标系，设菱形的边长为2，则：D（），H（）；设P（X，Y），则（X，Y）=x（）+y（）；∴；∴；设；∴，表示在y轴上的截距；∴当截距最大时，z取到最大值；根据图形可看出，当直线经过点E（）时，截距最大；∴；z=4；∴x+y的最大值为4．故选B．8．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[a﹣1，a+1]，关于x 的不等式f（x2+a）＞a2f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．（0，4]C．（0，+∞）D．[2，+∞）【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】由当x≥0时，f（x）=x2，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=﹣x2，从而f （x）在R上是单调递增函数，且满足a2f（x）=f（ax），再根据不等式f（x2+a）＞a2f（x）=f（ax），在x∈[a﹣1，a+1]，恒成立，利用二次函数的性质，可得不等式，即可得出答案．【解答】解：当x≥0时，f（x）=x2，∵函数是奇函数，∴当x＜0时，f（x）=﹣x2，∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足a2f（x）=f（ax），∵不等式f（x2+a）＞a2f（x）=f（ax）在x∈[a﹣1，a+1]恒成立，∴x2+a＞ax在x∈[a﹣1，a+1]恒成立，令g（x）=x2﹣ax+a，函数的对称轴为x=，当，即a＞2时，不等式恒成立，可得g（a﹣1）=（a﹣1）2﹣a（a﹣1）+a=1＞0，恒成立；当，即﹣2≤a≤2时，不等式恒成立，可得g（）=（）2﹣a（）+a＞0恒成立，解得a∈（0，2]；当，即a＜﹣2时，不等式恒成立，可得g（a+1）=（a+1）2﹣a（a+1）+a=2a+1＞0不恒成立；综上：a＞0．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，共36分．9．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，f （x ）的周期为 π ，φ的值为 ﹣ ．【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先把函数的图象依题意向左平移，获得新的函数的解析式，然后利用图象可知函数的周期，进而利用周期公式求得ω；把x=π代入函数解析式，化简整理求得φ的值．【解答】解：函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位，所得曲线解析式为：y=Asin [ω（x +）+φ]=Asin （ωx +ω+φ），其周期为：T=4（﹣）=π，由=π，可得：ω=2，∵点（，0）在函数图象上，可得： sin （2×+2×+φ）=0，解得：φ=k π﹣，k ∈Z ，∵|φ|＜，∴φ=﹣．故答案为：π，﹣．10．计算：（1）= 2 ；（2）设f （x ）=，则= ．【考点】分段函数的应用；对数的运算性质．【分析】（1）利用对数的运算法则，可得结论；（2）当x ＜0时，f （x ）=f （x +1）+2，代入计算，即可得出结论．【解答】解：（1）原式=+=3﹣1=2；（2）当x ＜0时，f （x ）=f （x +1）+2，∴原式===f（﹣1006﹣）+2=f（﹣1005﹣）+2×2=…=f（）+2×1008=故答案为：2；．11．若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为4，三棱锥D﹣BCE的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，可得正视图的面积；证明AB⊥平面ACDE，求出四棱锥B﹣ACDE的体积、三棱锥E﹣ACB的体积，即可求出三棱锥D﹣BCE的体积．【解答】解：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，故正视图的面积为=4；四棱锥B﹣ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，又AB⊥AC，且AE和AC相交，∴AB⊥平面ACDE，又AC=AB=AE=2，CD=4，则四棱锥B﹣ACDE的体积V==4，又三棱锥E﹣ACB的体积为=，∴三棱锥D﹣BCE的体积为4﹣=．故答案为：4；．12．已知实数x，y满足约束条件时，所表示的平面区域为D，则z=x+3y的最大值等于12，若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则a的取值范围是a．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案；再由直线y=a（x+1）过定点（﹣1，0），结合图象求得a的取值范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），化目标函数z=x+3y为，由图可知，当直线过A（3，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为12；∵直线y=a（x+1）过定点（﹣1，0），要使直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则a≤k MA=．故答案为：12；．13．已知a＞0，b＞0，a+2b=1，则取到最小值为．【考点】基本不等式．【分析】由于a＞0，b＞0，a+2b=1，∴3a+4b=2+a，a+3b=1+b．利用构造思想，用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+2b=1，∴3a+4b=2+a，a+3b=1+b．∴（a+2）+2（b+1）=5，利用基本不等式性质可得：当且仅当a=2b=时取等号．∴=≥=∴取到最小值=故答案为．14．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，在平面内将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转60°后得到矩形A ′BC ′D ′，则点D ′到直线AB 的距离是．【考点】三角形中的几何计算；两角和与差的正弦函数；点到直线的距离公式．【分析】画出图形，利用三角函数的关系，通过两角和的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式求解即可．【解答】解：连结BD ，D ′B ，设∠DBA=α，由题意可知：BD=，D ′B=．tan，∠D ′BA=α+60°，sin 2（α+60°）=（sin αcos60°+cos αsin60°）2=（sin α+cos α）2=====．点D ′到直线AB 的距离：∴sin （α+60°）==，故答案为：．15．已知等差数列{a n}首项为a，公差为b，等比数列{b n}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得a m+3=b n 成立，则a n=5n﹣3．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先利用a1＜b1，b2＜a3，以及a，b都是大于1的正整数求出a=2，再利用a m+3=b n 求出满足条件的b的值即可求出等差数列{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1＜b1，b2＜a3，∴a＜b以及ba＜a+2b∴b（a﹣2）＜a＜b，a﹣2＜1⇒a＜3，a=2．又因为a m+3=b n⇒a+（m﹣1）b+3=b•a n﹣1．又∵a=2，b（m﹣1）+5=b•2n﹣1，则b（2n﹣1﹣m+1）=5．又b≥3，由数的整除性，得b是5的约数．故2n﹣1﹣m+1=1，b=5，∴an=a+b（n﹣1）=2+5（n﹣1）=5n﹣3．故答案为5n﹣3．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知向量=（sin（x﹣），cosx），=（cosx，cosx），若函数f（x）=•﹣．（1）求x∈[﹣，]时，函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若f（A）=，且|﹣|=2，求BC边上中线长的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由平面向量数量积的运算及三角函数中的恒等变换应用化简可得f（x）=sin（2x+），由x∈[﹣，]，利用正弦函数的性质即可求得函数f（x）的值域；（2）由f（A）=sin（2A+）=，解得：sin（2A+）=，结合范围0＜A＜π，解得：A=，由题意可得，求得||||≤4，从而可求||2=（）2=（）=（4+2||||）≤3，即可得解．【解答】解：（1）∵=（sin （x ﹣），cosx ），=（cosx ，cosx ），∴f （x ）=•﹣=sin （x ﹣）cosx +cos 2x ﹣=sin2x +﹣=sin （2x +），∵x ∈[﹣，]，2x +∈[﹣，]，∴f （x ）=sin （2x +）∈[﹣，]．（2）∵f （A ）=sin （2A +）=，解得：sin （2A +）=，∵0＜A ＜π，＜2A +＜，∴2A +=，解得：A=，∵|﹣|=2，∴|﹣|2=4，即，∴，∴||||≤4，∴||2=（）2=（）=（4+2||||）≤3，∴||max =．17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =100﹣3n •a n ，求数列{|b n |}的前n 项和． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）运用n=1时，a 1=S 1，n ＞1时a n =S n ﹣S n ﹣1，结合等差数列的通项公式即可得到所求通项；（Ⅱ）求得b n =100﹣3n •a n ，设，的前n 项和，运用错位相减法可得，再讨论当1≤n ≤2，当n ≥3，即可得到所求数列的和．【解答】解：（Ⅰ）由，n=1时，a1=S1=，解得a1=2；=，当n＞1时，n用n﹣1代，可得S n﹣1两式相减得，因为a n正项数列，可得，则a n为等差数列，得a n=2n．（Ⅱ）|b n|=|100﹣3n•a n|=|100﹣2n•3n|=，设，的前n项和，S n'=2•3+4•32+…+2n•3n，3S n'=2•32+4•33+…+2n•3n+1，．当1≤n≤2，S n=；当n≥3，S n=+316=．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面PAB．PA=PB=AB=BC=6，点M，N分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）E在线段AC上的点，且AM∥平面PNE．①确定点E的位置；②求直线PE与平面PAB所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知推导出AM⊥PB，AM⊥BC，由此能证明AM⊥平面PBC．（Ⅱ）①连结MC，交PN于F，则F是△PBC的重心，且MF=MC，由已知推导出AM∥EF，从而得到AE=．②作EH⊥AB于H，则EH∥BC，则∠EPH是直线PE与平面PAB所成的角，由此能求出直线PE与平面PAB所成角的正切值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA=AB，点M为PB的中点，∴AM⊥PB，∵BC⊥平面PAB，AM⊂平面PAB，∴AM⊥BC，∵PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC．解：（Ⅱ）①连结MC，交PN于F，则F是△PBC的重心，且MF=MC，∵AM∥平面PEN，平面AMC∩平面PEN=EF，AM⊂平面AMC，∴AM∥EF，∴AE=．②作EH⊥AB于H，则EH∥BC，∴EH⊥平面PAB，∴∠EPH是直线PE与平面PAB所成的角，∵EH=，AH=，∴PH=2，∴tan=，∴直线PE与平面PAB所成角的正切值为．19．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点Q（l，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，求出p=2，由此能求出抛物线C的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2y2），设直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由已知条件推导出x M=﹣，x N=﹣，由此求出|MN|=2，再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，∴4=2p，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2y2），直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，由，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=4（m﹣1），设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由，解得点M的横坐标，又==，∴x M==﹣，同理点N的横坐标x N=﹣，|y2﹣y1|==4，∴|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=2||，=8=2，令m﹣1=t，t≠0，则m=t=1，∴|MN|=2≥，即当t=﹣2，m=﹣1时，|MN|取最小值为，此时直线AB的方程为x+y﹣2=0．20．设已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，a∈R，（Ⅰ）当x∈[1，4]时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）=3有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的最值及其几何意义．【分析】（I）根据题意，分a≤1，1＜a≤2，2＜a≤4，a＞4四种情况讨论，从而根据分段函数及对勾函数的单调性判断函数的单调性，从而求最大值即可；（II）化简函数，从而不妨设f（x）=3的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，从而讨论以确定a的值．【解答】解：（I）①当a≤1时，在[1，4]单调递增，∴f（x）max=f（4）=3；②当1＜a≤2时，函数在[1，a]上单调递增，[a，4]上单调递增，∴f（x）max=f（4）=3；③当2＜a≤4时，函数在[1，2]上单调递增，[2，a]上单调递减，[a，4]上单调递增，∴f（x）max=max{f（2），f（4）}=；④当a＞4时，f（x）=2a﹣x﹣在[1，2]上单调递增，[2，4]上单调递减，∴f（x）max=f（2）=2a﹣4；综上所述M（a）=；（II）函数，不妨设f（x）=3的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3当x＞a时，f（x）=3，解得x=﹣1，x=4；①a≤﹣1，∵x2=﹣1，x3=4，∴x1=﹣6，由f（﹣6）=3，解得，满足f（x）=3在（﹣∞，a]上有一解．②﹣1＜a≤4，f（x）=3在（﹣∞，a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3=4，所以有x1，x2是的两个解，即x1，x2是x2﹣（2a﹣3）x+4=0的两个解．得到，又由设f（x）=3的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2=x1+4，解得：，（舍去）；③a＞4，f（x）=3最多只有两个解，不满足题意；综上所述，或．2016年9月28日。

浙江省慈溪市六校高一数学上学期期中试题说明：本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150分.考试时间120分钟. 本次考试不得运用计算器. 请考生将一切标题答案都作答在答题纸上, 答在试卷上概不评分.第I 卷〔选择题 共40分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分. 在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的〕 1．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=112x xA ，{}12<=x x B ，那么()=B A C R 〔 〕A ．)0,1(-B ．)0,1[-C ．)0,(-∞D ．)1,(--∞ 2．以下函数中，既是奇函数，又在),0(+∞上为增函数的是〔 〕A ．xx y 1+= B ．x x y 42-= C ．2-=x y D ．x x y 12-=3．以下各组函数f 〔x 〕与g 〔x 〕的图象相反的是〔 〕A ．()2)()(x x g x x f ==与 B ．2)(24)(2+=--=x x g x x x f 与 C ．0)(1)(x x g x f ==与 D ．()()⎩⎨⎧<-≥==0,0,)()(x x x x x g x x f 与4．函数()2ln 23y x x =+-的单调递减区间是〔 〕A ． (),3-∞-B ． (),1-∞-C ． ()1,-+∞D ． ()1,+∞ 5．假定01a b <<<，那么b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为〔 〕A ． 1log log b a b aa b a b >>> B ． 1log log a b b ab a b a >>>C ． 1log log b a b aa ab b >>> D ． 1log log a b b aa b a b >>>6．假定直角坐标平面内、两点满足①点、都在函数的图象上；②点、关于原点对称，那么点〔〕是函数的一个〝姊妹点对〞．点对〔〕与〔〕可看作是同一个〝姊妹点对〞，函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=,2,2)(2xexxxxfx，那么的〝姊妹点对〞有〔〕A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个7．函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-=1,31log1,21)(xxxaxfax，事先21xx≠，0)()(2121<--xxxfxf，那么的取值范围是〔〕A．⎥⎦⎤⎝⎛310， B．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131， C．⎪⎭⎫⎝⎛210， D．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3141，8．对数函数xxfalog)(=是增函数，那么函数()1+x f的图象大致是〔〕A． B． C． D．9．)(xf是定义域为()+∞∞-,的奇函数，满足)1()1(xfxf+=-.假定2)1(=f，那么=++++)2018()3()2()1(ffff 〔〕A． B． C． D．10.函数()Rxbaxxxf∈+-=2)(2，给出以下命题：①)(xf必是偶函数；②事先)2()0(ff=，)(xf的图像关于直线1=x对称；③假定02≤-ba，那么)(xf在区间[)+∞,a上是增函数；④假定0>a，在区间[]aa,-上)(xf有最大值ba-2. 其中正确的命题序号是：〔〕A．③ B．②③ C．③④ D．①②③第II卷〔非选择题共110分〕二、填空题〔本大题共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分〕11.设函数⎩⎨⎧≤+>=,,log)(22xxxxxxf，那么()()=-2ff______，方程2)(=xf的解为__________．12．1>>b a ，假定25log log =+a b b a ，ab b a =，那么a = ，b = . 13．〔1〕函数()102)(1≠>-=+a a ax f x 且的图象必过定点，定点坐标为__________．〔2〕函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－，]，那么函数y ＝f (x )的定义域为________．14．假定指数函数)(x f 的图像过点()4,2-，那么=)3(f _______________；不等式25)()(<-+x f x f 的解集为_______________________． 15．设恣意实数0>>>c b a ，要使2018log 2018log 42018log ac cb ba m ⋅≥+恒成立，那么m 的最小值为_______________．16. 定义在R 上的偶函数)(x f 在(]0,∞-上是增函数，且0)2(=-f ，那么使得不等式()[]0)()(22<-+-x f x f x成立x 的取值范围是______________________.17. 定义区间()[)(][]b a b a b a b a ,,,,、、、的长度d 均为a b d -=，多个互无交集的区间的并集长度为各区间长度之和，例如()[)5,32,1⋃的长度()()33512=-+-=d 。

2015-2016学年浙江省慈溪中学高一上学期期中考试数学（7-12班）试题试卷Ⅰ一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集{}{}{}4,,0,1,2,2,3,U x x x N A B =<∈==则U B C A ⋃等于 A {}3 B {}2,3 C ∅ D {}0,1,2,32.设01x <<，且有log log 0a b x x <<，则,a b 的关系是A ．01a b <<<B ．1a b <<C ．01b a <<<D ．1b a <<3.已知1sin(),(,0),232ππαα+=∈-则tan α的值为A ．-B ．C ．D 4.已知()2f x x ax =-在[]0,1上是单调函数，则实数a 的取值范围是 A (]0,∞- B [)+∞,1C [)+∞,2D (][)+∞⋃∞-,20,5．⎩⎨⎧≥-<+-=)1( , )1( ,4)13()(x ax x a x a x f 是定义在),(+∞-∞上是减函数，则a 的取值范围是A. [11,)83B. [10,3]C. (10,)3D. (1,3-∞] 6、存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+ 7．将函数f （x ）=sin （ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于 A ．4 B ．6C ．8D ．128．在直角坐标系中, 如果两点(,),(,)A a b B a b --在函数)(x f y =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组）。

2015-2016学年浙江省宁波市慈溪市高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每题4分，共32分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（4分）已知A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|x﹣y=4}，则A∩B=（）A．{3，﹣1}B．{x=3，y=﹣1}C．{（3，﹣1）}D．（3，﹣1）2．（4分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则a的范围是（）A．a≥2 B．a≥1 C．a≤1 D．a≤23．（4分）下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）A．y=﹣x+1 B．y=C．y=x2﹣4x+5 D．y=4．（4分）已知0＜a＜1，函数y=a x与y=log a（﹣x）的图象可能是（）A．B．C．D．5．（4分）已知a=log32，那么log38﹣2log36用a表示是（）A．5a﹣2 B．a﹣2 C．3a﹣（1+a）2D．3a﹣a2﹣16．（4分）已知函数y=f（2x+1）定义域是[﹣1，0]，则y=f（x+1）的定义域是（）A．[﹣1，1]B．[0，2]C．[﹣2，0]D．[﹣2，2]7．（4分）若x，y∈R，且f（x+y）=f（x）+f（y），则函数f（x）（）A．f（0）=0且f（x）为奇函数B．f（0）=0且f（x）为偶函数C．f（x）为增函数且为奇函数D．f（x）为增函数且为偶函数8．（4分）已知函数f（x）在（﹣1，1）上既是奇函数，又是减函数，则满足f （1﹣x）+f（3x﹣2）＜0的x的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，1）C．（，+∞）D．（，1）二、填空题：（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.）9．（6分）已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=；M∪N=．10．（6分）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，则f（1）=；f（x）=．11．（6分）若函数f（x）=1+是奇函数，则m的值是；值域为．12．（6分）函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=；若f （x0）＜1，则x0的取值范围是．13．（4分）已知集合A={1，2}，B={x|ax+1=0}，且A∪B=A，则a的值组成的集合为．14．（4分）已知函数f（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=﹣2x+1，当x∈R时，f（x）=．15．（4分）已知y=log a（2﹣ax）在区间（0，1）上是x的减函数，求a的取值范围．三、解答题：（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（8分）计算（1）（×）6+（2×）﹣4×（）﹣×80.25；（2）lg4+lg9+2．17．（10分）若集合S={3，a2}，T={x|0＜x+a＜3，x∈Z}且S∩T={1}，P=S∪T，求集合P的所有子集．18．（12分）已知函数f（x）=（c为常数），且f（1）=0．（1）求c的值；（2）证明函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数；（3）已知函数g（x）=f（e x），判断函数g（x）的奇偶性．19．（10分）设函数f（x）=ax2+bx+1（a≠0、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x（x∈R）不等式f（x）≥0恒成立．（1）求实数a、b的值；（2）当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．20．（12分）设函数f（x）=log2（4x）•log2（2x）的定义域为[，4]，（1）若t=log 2x，求t的取值范围；（2）求y=f（x）的最大值与最小值，并求出最值时对应的x的值．（3）解不等式f（x）﹣6＞0．2015-2016学年浙江省宁波市慈溪市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每题4分，共32分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（4分）已知A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|x﹣y=4}，则A∩B=（）A．{3，﹣1}B．{x=3，y=﹣1}C．{（3，﹣1）}D．（3，﹣1）【解答】解：∵集合A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|x﹣y=﹣4}，∴，解得，∴A∩B={（3，﹣1）}，故选：C．2．（4分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则a的范围是（）A．a≥2 B．a≥1 C．a≤1 D．a≤2【解答】解：∵集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，A⊆B，∴2≤a，故选：A．3．（4分）下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）A．y=﹣x+1 B．y=C．y=x2﹣4x+5 D．y=【解答】解：y=﹣x+1在区间（0，1）上是减函数；y=在区间（0，1）上是增函数；y=x2﹣4x+5在区间（0，1）上是减函数；y=在区间（0，1）上是减函数．故选：B．4．（4分）已知0＜a＜1，函数y=a x与y=log a（﹣x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=a x与y=log a x互为反函数，其图象关于直线y=x对称，y=log a（﹣x）与y=log a x的图象关于y轴对称，又0＜a＜1，根据函数的单调性即可得出．故选：D．5．（4分）已知a=log32，那么log38﹣2log36用a表示是（）A．5a﹣2 B．a﹣2 C．3a﹣（1+a）2D．3a﹣a2﹣1【解答】解：∵log38﹣2log36=3log32﹣2（1+log32）=log32﹣2=a﹣2故选：B．6．（4分）已知函数y=f（2x+1）定义域是[﹣1，0]，则y=f（x+1）的定义域是（）A．[﹣1，1]B．[0，2]C．[﹣2，0]D．[﹣2，2]【解答】解：由函数f（2x+1）的定义域是[﹣1，0]，得﹣1≤x≤0．∴﹣1≤2x+1≤1，即函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，再由﹣1≤x+1≤1，得：﹣2≤x≤0．∴函数y=f（x+1）的定义域是[﹣2，0]．故选：C．7．（4分）若x，y∈R，且f（x+y）=f（x）+f（y），则函数f（x）（）A．f（0）=0且f（x）为奇函数B．f（0）=0且f（x）为偶函数C．f（x）为增函数且为奇函数D．f（x）为增函数且为偶函数【解答】解：∵对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），∴令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0令y=﹣x得，f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x）∴函数f（x）为奇函数．故选：A．8．（4分）已知函数f（x）在（﹣1，1）上既是奇函数，又是减函数，则满足f （1﹣x）+f（3x﹣2）＜0的x的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，1）C．（，+∞）D．（，1）【解答】解：函数f（x）在（﹣1，1）上既是奇函数，又是减函数，f（1﹣x）+f（3x﹣2）＜0，可得f（3x﹣2）＜f（x﹣1），可得，解得：x∈．故选：B．二、填空题：（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.）9．（6分）已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（﹣1，1）；M∪N=R．【解答】解：由1﹣x＞0，得x＜1，∴M=（﹣∞，1）；由1+x＞0，得x＞﹣1，∴N=（﹣1，+∞）．∴M∩N=（﹣1，1）；M∪N=R．故答案为：（﹣1，1）；R．10．（6分）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，则f（1）=1；f（x）=2x ﹣．【解答】解：因为f（x）满足2f（x）+f（）=3x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①将该式中的x全部换成得，2f（）+f（x）=3•，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②根据①②，消掉f（），解得f（x）=2x﹣，所以f（1）=1，故答案为：1；2x﹣．11．（6分）若函数f（x）=1+是奇函数，则m的值是﹣2；值域为（﹣1，1）．【解答】解：若函数f（x）=1+是奇函数，则f（0）=1+=0，解得：m=﹣2，经检验当m=﹣2时，f（x）=，满足f（﹣x）=﹣f（x）；由∈（﹣2，0），可得f（x）=∈（﹣1，1），即f（x）=的值域为：（﹣1，1），故答案为：﹣2，（﹣1，1）12．（6分）函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=1；若f（x0）＜1，则x0的取值范围是﹣1≤x0＜1．【解答】解：函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=f（1）=log2（1+1）=1．f（x0）＜1，当x0≤0时，，解得﹣1≤x0≤0．当x0＞0时，log2（x0+1）＜1，解得x0＜1．综上﹣1≤x0＜1．故答案为：1；﹣1≤x0＜1．13．（4分）已知集合A={1，2}，B={x|ax+1=0}，且A∪B=A，则a的值组成的集合为{0，﹣1，﹣} ．【解答】解：因为A∪B=A，所以B⊆A，由于空集是任何集合的子集，故讨论如下：①当a=0时，方程ax+1=0无解，B=∅，此时，∅⊆A，符合题意；②当a≠0时，B={﹣}，由于B⊆A，所以﹣=1或2，解得a=﹣1或a=﹣，综合以上讨论得，实数a的值构成的集合为{0，﹣1，﹣}，故答案为：{0，﹣1，﹣}．14．（4分）已知函数f（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=﹣2x+1，当x∈R时，f（x）=．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=﹣2x+1，、∴x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣2﹣x+1）=2﹣x﹣1，当x=0时，f（0）=0，∴f（x）=，故答案为：15．（4分）已知y=log a（2﹣ax）在区间（0，1）上是x的减函数，求a的取值范围．【解答】解：令y=loga t，t=2﹣ax，（1）若0＜a＜1，则y=log a t是减函数，由题设知t=2﹣ax为增函数，需a＜0，故此时无解；（2）若a＞1，则函数y=log a t是增函数，则t为减函数，需a＞0且2﹣a×1≥0，可解得1＜a≤2综上可得实数a 的取值范围是（1，2]．三、解答题：（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（8分）计算（1）（×）6+（2×）﹣4×（）﹣×80.25；（2）lg4+lg9+2．【解答】解：（1）（×）6+（2×）﹣4×（）﹣×80.25=4×27+4﹣7﹣2=103．（2）lg4+lg9+2=lg4+lg9+2（1﹣lg6）=lg36+2﹣lg36=2．17．（10分）若集合S={3，a2}，T={x|0＜x+a＜3，x∈Z}且S∩T={1}，P=S∪T，求集合P的所有子集．【解答】解：∵S={3，a2}，且S∩T={1}，∴a2=1，得a=1或﹣1①当a=1时，T={x|0＜x+1＜3，x∈Z}={0，1}，符合S∩T={1}，此时P=S∪T={0，1，3}，集合P的所有子集为：Φ，{0}，{1}，{3}，{0，1}，{1，3}，{3，0}，{0，1，3}②当a=﹣1时，T={x|0＜x﹣1＜3，x∈Z}={2，3}，此时S∩T={3}，不符合题意．综上所述，得集合P的所有子集为：Φ，{0}，{1}，{3}，{0，1}，{1，3}，{3，0}，{0，1，3}18．（12分）已知函数f（x）=（c为常数），且f（1）=0．（1）求c的值；（2）证明函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数；（3）已知函数g（x）=f（e x），判断函数g（x）的奇偶性．【解答】解：（1）因为f（1）==0，所以c=1，即c的值为1；（2）f（x）==1﹣，在[0，2]单调递增，证明如下：任取x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（1﹣）﹣（1﹣）=2[﹣]=2•＜0，即f（x1）＜f（x2），所以，f（x）在[0，2]单调递增；（3）g（x）=f（e x）=，定义域为R，g（﹣x）===﹣=﹣g（x），所以，g（x）为奇函数．19．（10分）设函数f（x）=ax2+bx+1（a≠0、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x（x∈R）不等式f（x）≥0恒成立．（1）求实数a、b的值；（2）当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得f（﹣1）=a﹣b+1=0，即b=a+1．再根据△=b2﹣4a=（a﹣1）2≤0，且a＞0，求得a=1，b=2．（2）由（1）可得f（x）=x2+2x+1，故g（x）=f（x）﹣kx=x2+（2﹣k）x+1的图象的对称轴方程为x=．再由当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，可得≤﹣2，或≥2，求得k≤﹣2，或k≥6．20．（12分）设函数f（x）=log2（4x）•log2（2x）的定义域为[，4]，（1）若t=log2x，求t的取值范围；（2）求y=f（x）的最大值与最小值，并求出最值时对应的x的值．（3）解不等式f（x）﹣6＞0．【解答】解：（1）∵x∈[，4]，∴t=log2x∈[log2，log24]∴t的取值范围为[﹣2，2]；（2）化简可得y=log2（4x）•log2（2x）=（log24+log2x）（log22+log2x）=（2+t）（1+t）=t2+3t+2，由二次函数可得当t=﹣时，y取最小值﹣，此时x=；当t=2时，y取最大值12，此时x=1；（3）不等式f（x）﹣6＞0可化为t2+3t﹣4＞0，解得t＜﹣4或t＞1即log2x＜﹣4或log2x＞1，即log2x＜log2或log2x＞log22，解得x＜或x＜2，故解集为{x|x＜或x＜2}赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。

2015-2016学年浙江省慈溪中学高一上学期期中考试数学试题（7-12班）一、选择题1．设全集{|4,}U x x x N =<∈，{0,1,2}A =，{2,3}B =，则U B C A 等于（ ） A ．{3} B ．{2,3} C ．∅ D ．{0,1,2,3}{}0,1,2,3 【答案】B ．【解析】试题分析：分析题意可知，{0,1,2,3}U =，∴{2,3}U B C N = ，故选B ． 【考点】集合的运算．2．设01x <<，且有log log 0a b x x <<，则a ，b 的关系是（ ） A ．01a b <<< B ．1a b << C ．01b a <<< D ．1b a << 【答案】B ．【解析】试题分析：由题意得，log 0log 1a a x <=，又∵01x <<，∴1a >，同理1b >， 又log log 0log log 0log 01a b x x x bx x b a b a a<<⇒<<⇒<⇒>>，故选B ． 【考点】对数的性质． 3．已知1sin()23πα+=，(,0)2πα∈-，则tan α的值为（ ）A ．-B ．．4- D ．4【答案】A ．【解析】试题分析：11sinsin()cos sin tan 233cos παααααα+=⇒=⇒=⇒==-A ．【考点】对数的性质．4．已知2()f x x ax =-在[0,1]上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．[1,)+∞ C ．[2,)+∞ D ．(,0][2,)-∞+∞ 【答案】D ．【解析】试题分析：由题意得，02a ≤或12a≥，即0a ≤或2a ≥，∴实数a 的取值范围是(,0][2,)-∞+∞ ，故选D ． 【考点】二次函数的单调性．5．(31)4, (1)(), (1)a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩是定义在(,)-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．11[,)83B ．1[0,]3C ．1(0,)3D ．1(,]3-∞ 【答案】A ．【解析】试题分析：由题意得，31011083314a a a a a a -<⎧⎪-<⇒≤<⎨⎪-+≥-⎩，即实数a 的取值范围是11[,)83，故选A ．【考点】分段函数的单调性．6．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A ．(sin 2)sin f x x =B ．2(sin 2)f x x x =+C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+ 【答案】D ．【解析】A ：取0=x ，可知0sin )0(sin =f ，即0)0(=f ，再取2π=x ，可知2sin)(sin ππ=f ，即1)0(=f ，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取1=x ，可知2)2(=f ，再取1-=x ，可知0)2(=f ，矛盾，∴C 错误，D ：令)0(|1|≥+=t x t ，∴1)()0()1(2+=⇔≥=-x x f t t t f ，符合题意，故选D ．【考点】函数的概念．【拓展结论】1．判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”． 2．判断一个对应:f A B →是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．3．函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 7．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12 【答案】B ．【解析】试题分析：由题意得，()f x 向左平移2π个单位后，得到()sin[()]sin()22g x x x πωπωϕωϕ=++=++，∴242k k ωππω=⇒=，k Z ∈，∴ω的值不可能是6，故选B ．【考点】三角函数的图象变换．【思路点睛】由sin y x =的图象变换到sin()y A x ωϕ=+的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是||ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是||ϕω（0ω>）个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是于x ω加减多少值．8．在直角坐标系中, 如果两点(,)A a b ，(,)B a b --在函数)(x f y =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组），函数4cos ,0()2log (1),0x x g x x x π⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B ．【解析】试题分析：显然()g x 过点(0,1)，不合题意，当0x >时，设4(,log (1))x x +为一组中心对称点中的其中一个，∴4log (1)cos()cos22x x x ππ-+=-=，在平面直角坐标系中画出4log (1)y x =-+与cos 2y x π=的函数图象，则可知交点个数为2个，故选B ．【考点】1．新定义问题；3．函数与方程． 【思路点睛】函数的图象与零点问题往往已知函数零点或根的情况，求参数的取值范围，解决这类问题的关键通常转化为函数图象问题进行讨论，对于方程()()f x g x =的根，可构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为函数()()f x g x =的根，或转化为求两个函数的公共点，利用数形结合的方法解决．二、填空题9．tan 600=．【解析】试题分析：tan600tan(603180)tan60=+⨯== 【考点】任意角的三角函数值．10．若2log 3a =，则22a a-+= ．【答案】103． 【解析】试题分析：2110log 32322333a a aa -=⇒=⇒+=+=． 【考点】对数的计算．11．已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3)f f -= ，()f x 的最小值是 ．【答案】0，3．【解析】试题分析：2(3)lg[(3)1]1((3))(1)1230f f f f -=-+=⇒-==+-=，若1x >：2()33f x x x=+-≥，当且仅当2x x x =⇒=等号成立；若1x <：2()lg(1)lg10f x x =+≤=，当且仅当0x =时，等号成立，故可知min [()]3f x =．【考点】1．分段函数；2．函数最值． 12．函数sin(2)4y x π=-的最小正周期是 ，单调递增区间是 ．【答案】π，37[,]88k k ππππ++，k Z ∈． 【解析】试题分析：由题意得，sin(2)sin(2)44y x x ππ=-=--，∴22T ππ==， 令3222242k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈，解得3788k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 即单调递增区间是37[,]88k k ππππ++，k Z ∈． 【考点】三角函数的性质．13．设2()3f x x x a =-+，若函数()f x 在区间(1,3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】9(0,]4．【解析】试题分析：若()f x 有零点1：1302a a -+=⇒=，此时11x =，22x =，符合题意；若()f x 有零点3：9900a a -+=⇒=，此时10x =，23x =，不合题意；若()f x 无零点1，3：①只有一个零点在(1,3)内：(1)(3)002f f a <⇒<<；②若两个零点均在(1,3)内：(1)0(3)09294043132f f a a >⎧⎪>⎪⎪⇒<≤⎨∆=-≥⎪⎪<<⎪⎩，综上所述，实数a 的取值范围是9(0,]4． 【考点】二次函数的零点分布．【思路点睛】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴2bx a=-与区间端点的关系． 14．已知函数()2sin(2)6f x x π=-，则如下结论：①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 在5[,]612ππ上的值域为[1； ③函数()f x 在7(,)312ππ上是减函数； ④函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象， 其中正确的是 （写出所有正确的序号） 【答案】①③．【解析】试题分析：①：22T ππ==，故①正确；②：当5[,]612x ππ∈时，22[,]663x πππ-∈，故值域为[1,2]，故②错误；③：当7(,)312x ππ∈时，2(,)62x πππ-∈，故③正确；④：想左平移6π个单位后，得到2sin[2()]2sin(2)666y x x πππ=+-=+的图象，故④错误，∴正确的结论为①③．【考点】sin()y A x ωϕ=+的图象和性质．15．非零实数a ，b 满足224240(0)a ab b c c -+-=>，当|2|a b +取到最大值时，b a的值为． 【答案】23． 【解析】试题分析：令2a b t+=，2222424042(2)4(2)0a ab b c a a t a t a c -+-=⇒--+--=，即22241840a ta t c -+-=，由222832496(4)5t t c t c ∆=--≥⇒≤，∴|2|||a b t +=≤即|2|a b +1832428t a t ==⨯，24tb t a =-=，23b a =． 【考点】二次不等式求最值．【思路点睛】1．探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点；2．对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在闭区间12[,]x x 上的最值问题，要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，而不是盲目使用配方法或公式法求最值；3．注意判别式的使用条件，一般来说，二次函数的定义域是实数集R 的某一子集时，使用判别式可能会得出错误结果，还需在得到结果后加以验证．三、解答题16．已知集合{|(1)(A x xx =+-≤，1{|1()16}2xB x =<<，2{|(25)(5)0}C x x a x a a =+-+-≤．（1）求A B ；（2）如果A C A = ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|10}x x -≤<；（2）13a ≤≤．【解析】试题分析：（1）解出集合A ，B 所表示的不等式，求其交集即可；（2）分析题意可知A C ⊆，从而可建立关于a 的不等式组，即可求解． 试题解析：（1）{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =+-≤=-≤≤，1{|1()16}{|40}2x B x x x =<<=-<<，则{|10}A B x x =-≤< ；（2）2{|(25)(5)0}{|5}C x x a x a a x a x a =+-+-≤=-≤≤-，若A C A = ，则A C ⊆，∴152a a -≤-⎧⎨-≥⎩，解得13a ≤≤．【考点】1．集合的关系；2．集合的运算． 17．已知函数)34lg(222-+-++-=x x xxy 的定义域为M ， （1）求M ；（2）当M x ∈时，求函数)3(432)(2-<⋅+⋅=+a a x f x x 的最小值．【答案】（1）(1,2]；（2）2min4,633()1648,6a a f x a a ⎧--≤<-⎪=⎨⎪+<-⎩． 【解析】试题分析：（1）根据函数的表达式，可列出使得函数表达式有意义的关于x 的不等式组，从而求解；（2）可将()f x 视为关于2x的二次函数，对a 的取值分类讨论，即可求得()f x 的最小值．试题解析：（1）由220122430xx x x x -⎧≥⎪⇒<≤+⎨⎪-+->⎩，∴函数的定义域为(1,2]，即(1,2]M = ；（2）由题意得，令2x t=，(2,4]t ∈，∴22()()23434x x g t f x a t at +==⋅+⋅=+，若224633a a <-≤⇒-≤<-：2min24()()33a f x g a =-=-；若2463a a ->⇒<-：min ()(4)1648f x g a ==+，综上所述，2min4,633()1648,6a a f x a a ⎧--≤<-⎪=⎨⎪+<-⎩． 【考点】1．函数的定义域；2．分类讨论的数学思想；3．函数最值． 18．（1）当3tan =α，求αααcos sin 3cos 2-的值；（2）设3222cos sin (2)sin()32()22cos ()cos()f θθθθθθπ+π-++-=+π++-，求()3f π的值． 【答案】（1）45-；（2）12-．【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系，将原式转化为关于tan α的表达式，从而求解；（2）利用诱导公式将()f θ化简为关于θ的函数关系式，从而求解．试题解析：（1）∵22222cos 3sin cos 13tan cos 3sin cos sin cos tan 1αααααααααα---==++，且3tan =α，∴原式213331-⨯==+45-；（2）3222cos sin (2)sin()32()22cos ()cos()f πθπθθθπθθ+-++-=+++- 3232222cos sin cos 32cos cos cos 222cos cos 22cos cos θθθθθθθθθθ++--+-==++++222(cos 1)(cos cos 1)cos (cos 1)22cos cos θθθθθθθ-++--=++22(cos 1)(2cos cos 2)cos 12cos cos 2θθθθθθ-++==-++，∴1()cos1332f ππ=-=-． 【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．【思路点睛】1．形如sin cos a b αα+和22sin sin cos cos a b c αααα++的式子分别称为关于sin α，cos α的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或2cos α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成22sin cos αα+；2．已知tan m α=的条件下，求解关于sin α，cos α的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；②因为cos 0α≠，所以可以用*cos ()n n N α∈除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表示式，可整体代入tan m α=的值，从而完成被求式的求值运算；③注意221sin cos αα=+的运用．19．已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为23π，当[0,]3x π∈时，方程()f kx m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()2sin()13f x x π=-+；（2）1,3)．【解析】试题分析：（1）利用表格中数据可求得()f x 的周期，最值，从而可求得ω，A ，B ，结合形如sin()y A x ωϕ=+的图象和性质，即可得到()f x 的一个解析式；（2）根据（1）中所求以及周期为23π，可求得k 的值，再根据题意可知问题等价于函数()y f kx =与y m =的图象恰有两个不同的交点，从而求解．试题解析：（1）设()f x 的最小正周期为T ，得11()266T πππ=--=，由2T πω=，得1ω=， 又31B A B A +=⎧⎨-=-⎩，解得21A B =⎧⎨=⎩，令562ωϕππ⋅+=，即562ϕππ+=，解得3πϕ=-∴()2sin()13f x x π=-+；（2）∵函数()2sin()13y f kx kx π==-+的周期为23π，0k >，∴2233k k ππ=⇒=，令33t x π=-，∵[0,]3x π∈，∴2[,]33t ππ∈-，如图，sin t s =在2[,]33ππ-上有两个不同的解，则s ∈，∴方程()f kx m =在[0,]3x π∈时恰好有两个不同的解，则1,3)m ∈，即实数m 的取值范围是1,3)．【考点】1．sin()y A x ωϕ=+的图象和性质；2．函数与方程；3．数形结合的数学思想．20．已知函数2()log (1)f x x =+，当点(,)x y 在函数()y f x =的图象上运动时，点(,)32x y在函数()y g x =（13x >-）的图象上运动．（1）求函数()y g x =的解析式； （2）求函数()()()F x f x g x =-的零点．（3）函数()F x 在(0,1)x ∈上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由． 【答案】（1）21()log (31)2g x x =+；（2）0x =或1x =；（3）()F x 有最小值23log 32-，无最大值．【解析】试题分析：（1）根据点(,)x y 在()y f x =的图象上，再由点(,)32x y 在()y g x =的图象上，即可得到()y g x =的解析式；（2）根据（1）中求得的()f x 的解析式，解方程()()f x g x =，即可得到()F x 的零点；（3）利用对数的计算公式将()F x 的解析式化简变形为只含有一个真数的对数的性质，将问题等价为求该真数的最值即可求解． 试题解析：（1）由已知2log (1)y x =+，()23y x g =，∴21)3(=x g )1(l o g 2+x ，令3xt =，∴3x t =， ∴21()log (31)2g t t =+，即21()log (31)2g x x =+；（2）函数()()()F x f x g x =-221log (1)log (31)2x x =+-+，令()0F x =，有2l o g (1)x +=)13(l o g 212+x ，∴103101x x x ⎧+>⎪+>⎨⎪+=⎩， 解得0x =或1x =，∴函数()F x 的零点0x =或1x =； （3）函数()()()F x f x g x =-=221log (1)log (31)2x x +-+2221(1)log log 231x x +==+， 设2(1)31x t x +=+221(33)1(31)4(31)414(314)931931931x x x x x x x +++++=⋅=⋅=++++++， 设31m x =+，由(0,1)x ∈得(1,4)m ∈，函数mm 4+在(1,2]上递减，在[2,4)上递增， 当2m =时mm 4+有最小值4，无最大值，∴t 有最小值98，无最大值，∴函数()F x 在(0,1)x ∈内有最小值23log 32-，无最大值．【考点】1．函数的解析式；2．函数的零点；3．换元法；4．函数最值．【方法点睛】由(())y f g x =的解析式求函数()y f x =的解析式，应根据条件，采取不同的方法：①若函数()g x 的类型已知，则用待定系数法；②已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围；③函数方程法(即解方程组法)，将()f x 作为一个“未知数”，建立方程(组)，消去另外的“未知数”，便得到()f x 的解析式，含1()f x或()f x -的类型常用此法；求函数值域的常用方法：①单调性法，；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)；⑥判别式法；⑦不等式法；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域；单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．。