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a dxdy 2π dS a2 −h2 rd r = ∫∫ ∴∫∫ = a∫ dθ ∫ Dxy a2 − x2 − y2 Σ z 2 2 0 0 a −r
2 2 = π a − ln( a − r ) 0
a2 −h2
9
思考: 思考 若 ∑ 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截
高等数学
第二十二讲
主讲教师: 主讲教师 王升瑞
1
第四节 对面积的曲面积分
第十章
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
2
一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 引例 设曲面形构件具有连续面密度 量 M. z 类似求平面薄板质量的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 可得 求质
Dxz
f (x,
, z)
3) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化曲面积分 被平面 解:
其中∑是球面 截出的顶部.
z
Dxy : x + y ≤ a − h
2 2 2 2
Σ
h
Dxy
o
x
2 1+ zx + z2 y
ay
面, 计算 解: 在四面体的四个面上 平面方程
z 1
1 投影域 x
同上
o
1y
dS
3dxdy
z =1− x − y y =0
Dxy : 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1− x
dzdx Dz x : 0 ≤ z ≤1, 0 ≤ x ≤1− z
12
表 例3. 设 ∑ 是四面体 x + y + z ≤1, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0的
(ξk ,ηk ,ζ k )
M=
∑
k =1
n
∑
o x
y
其中, λ 表示 n 小块曲面的直径的
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
3
定义: 定义 设 ∑ 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 ∑ 上的一 个有界函数, 若对 ∑ 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
Σ
4
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 ∑ 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 ∑1, ∑2, 则有 在光滑曲面 ∑ 上连续,
∫∫Σ f (x, y, z) d S =∫∫Σ
• 线性性质.
f (x, y, z) d S
z
Σ
o x Dxy
y
∫∫∑ f (x, y, z)dS 存在, 且有
= ∫∫
Dxy
(∆σk )x y (ξk ,ηk ,ζ k )
f (x, y,
)
证明: 证明 由定义知
λ→0k =1
lim∑
6
n
而
∫∫(∆σ )
∑
k xy
1+ zx2 (x, y) + z y2 (x, y) dxd y
′ ′ ′ ′ = 1+ zx2 (ξk , ηk ) + zy2 (ξk , ηk ) (∆σk )xy
3− 3 = + ( 3 −1) ln 2 2
13
例4. 设 ∑: x2 + y2 + z2 = a2
z∑
o x
1
计算 I =
∫∫∑
Dx y
y
f (x, y, z) d S .
2 2
解: 锥面 z = x + y 与上半球面 z = a2 − x2 − y2 的 交线为 投影域为 Dxy = { (x, y) x2 + y2 ≤ 1 a2 }, 则 2
18
例9. 已知曲面壳 质量 M .
的面密度
求此曲面壳在平面 z＝1以上部分∑ 的 解: ∑ 在 xoy 面上的投影为 Dx y : x2 + y2 ≤ 2 , 故
M = ∫∫ µ d S
Σ
3
z
1
= ∫∫
Dx y
3 1+ 4( x2 + y2 ) d xdy
dθ ∫ r 1+ 4r 2 d r
0 2
∴∫∫ f (x, y, z) dS
f (ξk ,ηk , z(ξk ,ηk ))⋅
′ ′ ′ ′ 1+ zx2 (ξk , ηk ) + zy2 (ξk , ηk ) (∆σk )xy
f (ξk ,ηk , z(ξk ,ηk ))⋅
(Σ光滑)
1+ zx2 (ξk , ηk ) + zy2 (ξk , ηk ) (∆σk )xy
解：
(
)
z ≥0
2
z
dI z = (x2 + y2 )ρds
2 2
( ds = 1 ( x) ＋ y) dσ ＋− －
= 1+ r2 rdrdθ
I z = ∫∫ d I z = ρ∫0
∑
2π 2 2 2
Dxyo
y
2
x
10 5 + 4 dθ ∫ r 1+ r rdr = ρπ 0 15
2 2
= 1+ 0 + (−1)2 dxdy = 2dxdy,
故
∫∫(x + y + z)ds =
Σ
Dxy
2 ∫∫ (5 + x)dxdy
Dxy
= 2 ⋅ 5∫∫ dxdy=125 2π.
17
1 2 z = 2 − x + y2 例8：设均匀抛物面壳 ： 2 （ 数 ， 其面密度为 ρ 常 ） 求 IZ 。
= 4∫∫ xd S = 4⋅ x ⋅ ∫∫ d S
∑ ∑
∫∫∑ xd S x= ∫∫∑ d S
23
例14. 求椭圆柱面 解: S = ∫∫ dS
Σ
位于 xoy 面上方及平面
z = y 下方那部分柱面 Σ 的侧面积 S .
取dS = z ds
z
o x
= ∫ z ds = ∫ y ds
L L
z y L ds
2
Q f ( x,y,z) = x 是 于x 的 函 关 奇 数
又∑ 是 于 yoz 面 称 ∴ I = 0 关 对 。
例6：计算 ：
I = ∫∫(x + y + z )ds ∑: x + y + z = a
2 2 2 2 2 2 ∑
2
解：I = a2 ∫∫ ds = a2 ⋅ 4πa2 = 4 a4 π
2 2 2
其中 ∑ 是球面
x + y + z = 2(x + y + z). 解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3. ,,
利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用形心公式
记作
∫∫ f (x, y, z)d S
∑
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ∑ 上对面积 对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分 其中 f (x, y, z) 叫做被积 第一类曲面积分. 第一类曲面积分 函数, ∑ 叫做积分曲面. dS(> 0) 叫做面积元素。 据此定义, 曲面形构件的质量为 M = ∫∫ ρ(x, y, z) d S 曲面面积为 注：曲面上的点 M(x,y,z) ∈∑
= −3∫
π
0
5 + 4cos t dcos t
2
24
内容小结
1. 定义:
= lim ∑ f (ξi ,ηi ,ζ i ) ∆Si
λ→0
i=1
n
2. 计算: 设 Σ : z = z(x, y) , (x, y) ∈ Dxy , 则
= ∫∫
Dxy
f (x, y, z(x, y) ) 1+ z2 + z2 d xd y x y
1 y
= ∫∫ xyz dS
0 ≤ y ≤1− x ∑4 : z =1− x − y, (x, y) ∈Dxy : 0 ≤ x ≤1 1 1−x = 3∫ x dx ∫ y(1− x − y) dy = 3 11 120 0 0
Σ4
x 例3. 设 ∑ 是四面体 + y + z ≤1, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0的表
(曲面的其他两种情况类似) • 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式 简化计算的技巧.
25
作业
P119 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8
26
题2. 设
一卦限中的部分, 则有( C ).
Σ1为Σ在 第
(B) (C)
∫∫Σ ydS = 4∫∫Σ xdS ;
1
∫∫Σ zdS = 4∫∫Σ xdS ;
= ∫∫
Dxy
f (x, y,
) 1+ zx2 (x, y) + z y2 (x, y)dxdy
7
说明: 说明 1) 如果曲面方程为 x = x( y, z), ( y, z) ∈ Dyz
= ∫∫
Dyz
f(
, y, z )
2) 如果曲面方程为 y = y(x, z), (x, z) ∈Dxz
= ∫∫
H 2 R dz π 2 2 0
dz
o x
20
y
例11. 计算 解: 取球面坐标系, 则
