启东中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文理)试题

江苏省启东中学
2015年高二上学期期末考试数学试卷一、填空题（本大题共
14小题，每小题5分，共计70分．）1．命题“?x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是▲.
2．设复数z 满足(3＋4i)z ＋5＝0(i 是虚数单位)，则复数z 的模为
▲. 3．“直线l ∥平面”是“直线l 平面”成立的▲
条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个) ．
4．抛物线2ax y 的焦点坐标为▲.
5．函数y ＝1x
＋2ln x 的单调减区间为▲ . 6．已知双曲线x 2m －y 28＝1的离心率为3，则实数m 的值为▲.
7．观察下列不等式：
1＋122<32，1＋122＋133<53，1＋122＋132＋142<74，…．照此规律，第五个不等式为
▲ . 8．若“任意R x ，不等式a x x |1||1|”为假命题，则实数a 的取值范围为▲ .
9．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为▲ .
10．在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b
22；类比到
空间，若三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA
、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S —ABC 的外接球的半径R ＝▲ .
11．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（ⅰ）直线l 在点
),(00y x P 处与曲线C 相切；（ⅱ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线
l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是
▲. ①直线1:x l 在点)0,1(P 处“切过”曲线2)1(:x y C ；。

江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分﹒请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．﹒ 1. “为真且q p ”是“为真或q p ”的 ▲ ．条件。

（填充要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要） 答案：充分不必要2.命题“2lg ,-=∈∃x x R x ”的否定是 ▲ ． 答案：2lg ,-≠∈∀x x R x3.已知),1,1(t t t a --=, ),,3(t t b =，则||b a-的最小值 ▲ ． 答案：54.若椭圆11322=++-ky k x 的焦点在x 轴上，则k 的取值范围为 ▲ ． 答案：)1,1(-5. 双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线22222:1x y C a b -=-的离心率分别为1e 和2e ，则221211e e +=▲ ．答案：16. 抛物线2ax y =的准线方程为1=y ，则焦点坐标是 ▲ ． 答案：)1,0(-7.已知)2,1,2(-=a ，)3,3,1(--=b ，),6,13(λ=c ，若向量c b a,,共面，则λ= ▲ ．答案：38.下列命题：① 01,2>+∈∀x R x ； ② 1,2≥∈∀x N x ； ③ 1,3<∈∃x Z x ；④ 3,2=∈∃x Q x ； ⑤ 023,2=+-∈∀x x R x ⑥01,2=+∈∃x R x .其中所有真命题的序号是 ▲ ． 答案：①③9.椭圆125922=+y x 上的一点p 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是 ▲ ．答案：)0,3(或)0,3-(10.在长方体1111D C B A ABCD -中，2,4==BC AB ,61=DD ,则AC 与1BD 所成角的余弦值为 ▲ ． 答案：70703 11. 已知点P 是椭圆22221(0,0)x y a b xy a b+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，则||OM 的取值范围是 ▲ ． 答案：(0,)c 12.下列说法：①函数63ln )(-+=x x x f 的零点只有1个且属于区间)2,1(； ②若关于x的不等式0122>++ax ax 恒成立，则)1,0(∈a ； ③函数x y =的图象与函数x y sin =的图象有3个不同的交点； ④已知函数xxa x f +-=1log )(2为奇函数，则实数a的值为1． 正确的有 ▲ ．（请将你认为正确的说法的序号都写上） 答案：①④13.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率是22，过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称,则12k k ⋅的值为 ▲ ． 答案：21-14.直线02243=+-y x 与抛物线y x 222=和圆21)22(22=-+y x ，从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则CDAB的值为 ▲ ． 答案：161 二、解答题：本大题共6小题，共计90分﹒请在答题．．卡的指定区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤﹒15.（本小题满分14分）已知命题p ：实数m 满足)0(012722><+-a a am m ，命题q ：实数m 满足方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：由)0(012722><+-a a am m ，则a m a 43<< 即命题p ：a m a 43<<由12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上椭圆可得：012>->-m m ，--------------4分 ∴231<<m 即命题q ：231<<m -------------------------------------------------------------------------------8分 由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则p 是q 的充分不必要条件从而有： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥23413a a ----------------------------------------------------------------------------------12分 ∴8331≤≤a -------------------------------------------------------------------------------------------14分 16.（本小题满分14分）在直角坐标系xOy 中，已知(3,0)A -，B(3,0)，动点(,)C x y ，若直线,AC BC 的斜率,AC BCk k 满足条件49AC BC k k ⋅=-。

2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。

第6题图 江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期终考试高二数学（文理）试卷一、填空题：（本大题共14大题，每小题5分，共70分） 1. 已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝为 ． 2. 复数212ii-=+ ． 3. 女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡获胜的概率为0.65，人机和棋的概率为0.25，那么侯逸凡不输的概率为________． 4.若命题2",(1)10"x R x a x ∃∈+-+<使是假命题，则实数a 的取值范围是 ．5. 若双曲线2212x y m m-=的一条准线方程是1y =，则实数m 的值是___ _ ． 6. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．7. 双曲线191622=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到左准线的距离为___ ____．8．抛物线y x 42=的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则AB 的中点M 的纵坐标为 ．9. 复数z 满足21z i -+=，则12z i +-的最小值为 ．10. 当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是__________________．11. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 ．12. 已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为________．13. 若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2016(8)f = .14. 设点1A ，2A 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，若在椭圆C 上存在异于点1A ，2A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15. （本小题14分）一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球至少有一个红球的概率为715，至少一个白球的概率为1315，求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概率．16. （本小题14分）设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17. （本小题15分）从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？18. （本小题15分） 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为 12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM → 2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．19. （本小题16分）已知关于x 的绝对值方程|x 2＋ax ＋b |＝2，其中a ，b ∈R . (1)当a ，b 满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？(2)在条件（1）下，试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的 充要条件．20. （本小题16分） 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上的一动点P 到右焦点的最短距离为2 （1）求椭圆C 的方程； （2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．高二数学（附加题）21.（本小题10分）已知P 是椭圆22194x y +=上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．22.（本小题10分）已知22)n x*()n ∈N 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.求展开式中含32x 的项．23.(本小题10分)如图,在三棱锥P ABC-中,PA ⊥底面,,60,A B C P A A B A B C B C A︒︒=∠=∠=, 点D ，E 分别在棱,PB PC 的中点，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值的大小；24.（本小题10分）是否存在a 、b 、c使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (a n 2+bn +c ) 对于一切正整数n 都成立？证明你的结论．PEDCBA江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期终考试答案1. ,sin 1x R x ∃∈> 2．i - 3． 0.94. 13x -≤≤ 5． －３ ６．318a7． 258．２ 9．1 10. y 2＝32x 或x 2＝－12y 11. 1013115212.53.213．８ 14．215.解：设摸到的两个球均为红色的事件为A ，一红一白的事件为B ，均为白球的事件为C.显然，A 、B 、C 为互斥事件，依题意：⎩⎪⎨⎪⎧P （A ＋B ）＝715，P （B ＋C ）＝1315，P （A ＋B ＋C ）＝1⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＋P （B ）＝715，P （B ）＋P （C ）＝1315，P （A ）＋P （B ）＋P （C ）＝1⇒P(B)＝13. 即两个球恰好红球白球各一个的概率为13.16. 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0， 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}； (2)设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}，B ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0}，则B A ，又A ＝{x |a ≤x ≤3a }，B ＝{x |2<x ≤3}，则0<a ≤2，且3a ≥3，(a －1)＋(3a －3)2≠0 所以实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．17. 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？解析：列出每种情况的基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．于是：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)}，由9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，所以P (A )＝49.18. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0， 所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 1k 1－3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1k 1－3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12.因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .19. 已知关于x 的绝对值方程|x 2＋ax ＋b |＝2，其中a ，b ∈R . (1)当a ，b 满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？(2)试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件． 解 (1)原方程等价于x 2＋ax ＋b ＝2， ① 或x 2＋ax ＋b ＝－2，②由于Δ1＝a 2－4b ＋8>a 2－4b －8＝Δ2，∴Δ2＝0时，原方程的解集M 中恰有3个元素，即a 2－4b ＝8；(2)必要性：由(1)知方程②的根x ＝－a 2，方程①的根x 1＝－a 2－2，x 2＝－a2＋2，如果它们恰为直角三角形的三边，即(－a2)2＋(－a2－2)2＝(－a2＋2)2， 解得a ＝－16，b ＝62.充分性：如果a ＝－16，b ＝62，可得解集M 为{6，8，10}，以6，8，10为边长的三角 形恰为直角三角形．∴a ＝－16，b ＝62为所求的充要条件．20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上的一动点P到右焦点的最短距离为2焦点到右准线的距离等于短半轴的长． （1）求椭圆C 的方程； （2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值 范围．20．解：（1）由题意知22a c a c b c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………4分（2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入，整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由①得 21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． …………………………10分 （3）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，(,)M M M x y ，(,)N N N x y ． 由22(1),1.42y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)4240m x m x m +-+-=．∴22421M N m x x m +=+，222421M N m x x m -=+， 22321M N m y y m =-+．则M N M N OM ON x x y y ⋅=+222222224341712121212221m m m m m m m -+=-=-=--⋅++++． 因为20m ≥，所以21711422212m ---⋅<-+≤．所以1[4,)2OM ON ⋅∈--．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得M，(1,N ． 此时12OM ON ⋅=-．所以OM ON ⋅的取值范围是1[4,]2--． (16)21. 已知P 是椭圆22194x y +=上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上，则22()()22194x y--+=. 即2213616x y +=。

2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．2．（5分）函数y=sin x•cos x的导函数为．3．（5分）函数y=xlnx的单调减区间为．4．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2tx2+t2x在x=2处有极小值，则实数t的值为．5．（5分）函数y=x3+x2+ax在x∈R上单调递增，则实数a的取值范围是．6．（5分）函数y=3x3﹣9x+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值之和是．7．（5分）若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是．8．（5分）已知函数f（x），g（x）满足f（5）=5，f′（5）=3，g（5）=4，g′（5）=1，则函数y=的图象在x=5处的切线方程为．9．（5分）已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．若对于任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，则实数a=．10．（5分）水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，水波面的圆面积的膨胀率是．11．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），．则a，b，c的大小关系是．12．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现作为条件，求若函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣+，则g（）+g（）+g（）+…+g（）=．13．（5分）已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围．14．（5分）设函数f（x）=ax+sin x+cos x．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为α=，A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．求实数a，k的值．16．（14分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．17．（14分）已知二阶矩阵A=．（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）设向量=，求A2016．18．（16分）全美职业篮球联赛（NBA）某年度总决赛在雷霆队与迈阿密热火队之间角逐，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等．据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入2000万美元，以后每场比赛门票收入比上场增加100万美元，当两队决出胜负后，问：（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？（2）某队在比赛过程中曾一度比分落后2分以上，最后取得全场胜利称为“逆袭”，求雷霆队“逆袭”获胜的概率；（3）求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望．19．（16分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈[2，4]时的最小值．20．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．【考点】63：导数的运算．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：32．（5分）函数y=sin x•cos x的导函数为cos2x．【考点】63：导数的运算．【解答】解：∵y=sin x•cos x，∴y′=（sin x）′cos x+sin x（cos x）′=cos2x﹣sin2x=cos2x故答案为cos2x．3．（5分）函数y=xlnx的单调减区间为（0，）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：y′=1+lnx，令，又因为函数y=xlnx的定义域为（0，+∞）所以函数y=xlnx的单调减区间为故答案为：4．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2tx2+t2x在x=2处有极小值，则实数t的值为2．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：f（x）=x3﹣2tx2+t2x，f′（x）=3x2﹣4tx+t2，∵函数f（x）在x=2处有极小值，∴f′（2）=0，解得：t=2或t=6，经检验，t=2符合题意，故答案为：2．5．（5分）函数y=x3+x2+ax在x∈R上单调递增，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：若函数y=x3+x2+ax在R上单调递增，则y′≥0恒成立，即y′=x2+2x+a≥0恒成立，则判别式△=4﹣4a≤0，即a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．6．（5分）函数y=3x3﹣9x+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值之和是10．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：∵y=3x3﹣9x+5，∴y'=9x2﹣9=0，解得：x1=1，x2=﹣1，令y′＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令y′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，∴函数在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，2]递增，∴x=﹣1时，y取极大值，极大值是11，x=1时，y取极小值，极小值是﹣1，而x=﹣2时，y=﹣1，x=2时，y=11，故函数的最小值和最大值的和是10，故答案为：10．7．（5分）若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是[1，）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又f'（x）=4x﹣，由f'（x）=0，得x=．据题意，，解得1≤k＜故答案为：[1，）8．（5分）已知函数f（x），g（x）满足f（5）=5，f′（5）=3，g（5）=4，g′（5）=1，则函数y=的图象在x=5处的切线方程为5x﹣16y+3=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：函数y=的导数y′=，函数y=在x=5处的切线斜率k=y′|x=5===，且x=5时，y===，所以切点坐标为（5，），则切线方程为：y﹣=（x﹣5），化简得5x﹣16y+3=0．故答案为：5x﹣16y+3=0．9．（5分）已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．若对于任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，则实数a=e+1．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：用f（x）max，f（x）min分别表示函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值，当a≤1且a≠0时，由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（1）=1；因为对任意的x1∈[1，e]，x2∈[1，e]，f（x1）+f（x2）≤2f（1）=2＜4，所以对任意的x1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当1＜a＜e时，由（Ⅰ）知：在[1，a]上，f（x）是增函数，在[a，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（a）=alna﹣a+2；因为对x1=1，∀x2∈[1，e]，f（1）+f（x2）≤f（1）+f（a）=1+alna﹣a+2=a（lna ﹣1）+3＜3，所以对x1=1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当a≥e时，令g（x）=4﹣f（x）（x∈[1，e]），由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是增函数，进而知g（x）是减函数，所以f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（e）=a﹣e+2，g（x）max=g（1）=4﹣f（1），g（x）min=g（e）=4﹣f（e）；因为对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，即f（x1）=g（x2），所以，即，所以f（1）+f（e）=a﹣e+3=4，解得a=e+1，综上所述，实数a的值为e+1．故答案为：e+1．10．（5分）水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，水波面的圆面积的膨胀率是25000πcm2/s．【考点】61：变化的快慢与变化率．【解答】解：∵水波的半径以v=50cm/s的速度向外扩张水波面积s=πr2=π（vt）2=2500πt2∴水波面积的膨胀率s'=5000πt当半径为250cm时t=5s∴s'=5000π×5=25000π即时间为5s时，这水波面积的膨胀率是25000πcm2/s，故答案为：25000πcm2/s11．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），．则a，b，c的大小关系是c＞a＞b．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即：c＞a＞b故答案为：c＞a＞b12．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现作为条件，求若函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣+，则g（）+g（）+g（）+…+g（）=2016．【考点】63：导数的运算．【解答】解：函数的导数g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，由g″（x0）=0得2x0﹣1=0解得x0=，而g（）=1，故函数g（x）关于点（，1）对称，∴g（x）+g（1﹣x）=2，故设g（）+g（）+g（）+…+g（）=m，则g（）+g（）+…+g（）=m，两式相加得2×2016=2m，则m=2016．故答案为：201613．（5分）已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【解答】解：f（x）=|xe x|=，当x≥0时，f′（x）=e x+xe x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=﹣e x（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x|在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，如图：令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即，解得：t＜﹣．所以，使得函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是．故答案为．14．（5分）设函数f（x）=ax+sin x+cos x．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为[﹣1，1]．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：由f（x）=ax+sin x+cos x，得f′（x）=a+cos x﹣sin x，设A（x1，y1），B（x2，y2），则f′（x1）=a+cos x1﹣sin x1，f′（x2）=a+cos x2﹣sin x2．由，得a2+[（cos x1﹣sin x1）+（cos x2﹣sin x2）]a+（cos x1﹣sin x1）（cos x2﹣sin x2）+1=0．令m=cos x1﹣sin x1，n=cos x2﹣sin x2，则m∈，．∴a2+（m+n）a+mn+1=0．△=（m+n）2﹣4mn﹣4=（m﹣n）2﹣4，∴0≤（m﹣n）2﹣4≤4，．当m﹣n=时，m+n=0，又=．∴﹣1≤a≤1．∴函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为α=，A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．求实数a，k的值．【考点】OH：逆变换与逆矩阵．【解答】解：设特征向量为α=，对应的特征值为λ，则=λ，即因为k≠0，所以a=2．…（5分）因为A﹣1=，所以A=，即=，所以2+k=3，解得k=1．综上，a=2，k=1．…（10分）16．（14分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知=，即，化简得n2﹣n﹣30=0．解得n=6或n=﹣5（舍去）故袋中原有白球的个数为6．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意，X的可能取值为1，2，3，4．；；；P（X=4）=．∴取球次数X的概率分布列为：∴所求数学期望为E（X）=1×+2×+3×+4×=．17．（14分）已知二阶矩阵A=．（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）设向量=，求A2016．【考点】OU：特征向量的意义；OV：特征值与特征向量的计算．【解答】解：（1）矩阵A的特征多项式f（λ）=λE﹣A==（λ﹣3）（λ+2），令f（λ）=0，解得：λ1=3，λ2=﹣2，将λ1=3，代入二元一次方程组得：，解得y=0，矩阵A属于特征值3的特征向量为，将λ2=﹣2，代入二元一次方程组得：，当x=1时，y=﹣1，∴矩阵A属于特征值﹣2的特征向量为；（2）A2016==．∴A2016=．18．（16分）全美职业篮球联赛（NBA）某年度总决赛在雷霆队与迈阿密热火队之间角逐，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等．据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入2000万美元，以后每场比赛门票收入比上场增加100万美元，当两队决出胜负后，问：（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？（2）某队在比赛过程中曾一度比分落后2分以上，最后取得全场胜利称为“逆袭”，求雷霆队“逆袭”获胜的概率；（3）求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）因2000+2100+2200+2300+2400+2500=13500，故至少要比赛6场．当进行比赛6场时，某一队获胜的概率为，当进行比赛7场时，某一队获胜的概率为，所以收入不少于13500万元的概率为．（2）雷霆队“逆袭”获胜，可能通过6场或7场获胜．当6场获胜时，则1、2场败，3、4、5、6胜，概率为；当7场获胜时，则4胜3败，①若前2场都败，则另外1败可以任意发生在第3、4、5、6中的一场，所以“逆袭”获胜概率为．②若前2场1胜1败，则第3、4场必须败，所以“逆袭”获胜概率为，故雷霆队“逆袭”获胜的概率为．（3）所需比赛场数ξ是随机变量，其取值为4，5，6，7．若比赛最终获胜队在第k场获胜后结束比赛，则显然在前面k﹣1场中获胜3场，从而，k=4，5，6，7．①分布列为：②所需比赛场数的数学期望是．19．（16分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈[2，4]时的最小值．【考点】3R：函数恒成立问题；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）因为f（x）≤f′（x），所以x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），又因为﹣2≤x≤﹣1，所以在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，因为，所以．（2）因为f（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．①当a＜﹣1时，|x+a|=1﹣a，所以x=﹣1或x=1﹣2a；②当﹣1≤a≤1时，|x+a|=1﹣a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1﹣2a或x=﹣（1+2a）；③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=﹣（1+2a）．（3）因为f（x）﹣f′（x）=（x﹣1）[x﹣（1﹣2a）]，①若，则x∈[2，4]时，f（x）≥f′（x），所以g（x）=f′（x）=2x+2a，从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；②若，则x∈[2，4]时，f（x）＜f′（x），所以g（x）=f（x）=x2+2ax+1，当时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，当﹣4＜a＜﹣2时，g（x）的最小值为g（﹣a）=1﹣a2，当a≤﹣4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．③若，则x∈[2，4]时，当x∈[2，1﹣2a）时，g（x）最小值为g（2）=4a+5；当x∈[1﹣2a，4]时，g（x）最小值为g（1﹣2a）=2﹣2a．因为，（4a+5）﹣（2﹣2a）=6a+3＜0，所以g（x）最小值为4a+5．综上所述，．20．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；R6：不等式的证明．【解答】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=﹣2a﹣1．（2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，若，即时，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；若，即时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证，即证，因x2﹣x1＞0，即证，令（t＞1），即证（t＞1）①，令（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）②综合①②得（t＞1），即．证法二：依题意得，令h（x）=lnx﹣kx，则，由h'（x）=0得，当时，h'（x）＜0，当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增，在单调递减，又h（x1）=h（x2），∴，即．证法三：令，则，当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递减，∴当x2＞x1时，，即；同理，令，可证得．证法四：依题意得，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．。

2015—2016学年度上学期期末考试高二年级数学(理)科试卷命题学校：大连八中 命题人：吴 岐 校对人：韩 璐本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋1，则a 5＝( )(A) 7(B) 9(C) 11(D) 12(2) 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2≥0，则( )(A) ¬p ：∃x 0∈R ，x 02≤0 (B) ¬p ：∃x 0∈R ，x 02＞0 (C) ¬p ：∃x 0∈R ，x 02＜0 (D) ¬p ：∀x ∈R ，x 2≤0(3) 设a ＞b ，则下列不等式成立的是( )(A) a 2＋b 2＞ab(B)b －aab＜0 (C) a 2＞b 2(D) 2a ＜2b(4) 数列{}a n 、{}b n 满足b n ＝2a n (n ∈N *)，则“数列{}a n 是等差数列”是“数列{}b n 是等比数列”的( )(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 在直角坐标平面内，满足方程()y 2＋2||x ⎝⎛⎭⎫x 216－y 29＝0的点(x , y )所构成的图形为( )(A) 抛物线及原点 (B) 双曲线及原点 (C) 抛物线、双曲线及原点(D) 两条相交直线(6) 设公差不为零的等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 4＝2(a 2＋a 3)，则S 7S 4＝( )(A) 74(B)145(C) 7(D) 14(7) 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则有( )(A) AB ―→·A 1C 1――→＝a 2(B) AC 1―→·BD 1―→＝0(C) AB ―→·AC 1―→＝2a 2 (D) BC ―→·DA 1―→＝a 2 (8) 若正实数x ，y 满足不等式2x ＋y ＜4，则x －y 的取值范围是( )(A) [－4, 2](B) (－4, 2)(C) (－2, 2](D) [－2, 2)(9) 已知点P 为抛物线C ：y 2＝4x 上一点，记点P 到此抛物线准线l 的距离为d 1，点P 到圆(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝4上点的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为 ( )(A) 6(B) 1(C) 5(D) 3(10) 设各项均为正数的数列{}a n 的前n 项之积为T n ，T n ＝2n 2＋n ，则a n ＋122n的最小值为 ( ) (A) 7(B) 8(C) 4 3(D) 2 3(11) 已知四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 在空间直角坐标系中的坐标分别为(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，⎝⎛－13,－13,⎭⎫－13，O 为坐标原点，则在下列命题中，正确的是( )(A) OD ⊥平面ABC(B) 直线OB ∥平面ACD (C) 直线AD 与OB 所成的角是45°(D) 二面角D －OB －A 为45°(12) 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且||PF 1＝3||PF 2，则此双曲线的离心率的取值范围为( )(A) (1,2) (B) (2,2](C) (1,2](D) [2,+∞)第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡的横线上． (13) 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0, b ＞0)的渐近线方程为y ＝±x ，且经过点(2, 1)，则该双曲线的方程为 ．(14) 已知关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集为⎝⎛－∞ ,⎭⎫－12，则关于x 的不等式bx 2－a ＞0的解 集为 ．(15) 已知集合A ＝{}(x , y )|||x ＋||y ≤4，B ＝{}(x , y )|||y －||x ≤0，设集合C ＝A ∩B ，则集合C所对应的平面区域的面积为 ．(16) 设f (x )是定义域为R 的增函数，∀x , y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，若不等式f (x 2－x －3)＜3的解集为{}x |－2＜x ＜3，记a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{}a n 的前n 项和S n ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． (17) (本小题满分10分)已知条件p ：∃m ∈[－1, 1]使不等式a 2－5a ＋5≥m ＋2成立；条件q ：x 2＋ax ＋2＝0有两个负数根，若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，求实数a 的取值范围． (18) (本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，△PCD 是等边三角形，四边形ABCD 是梯形，BC ∥AD ，BC ⊥CD ，AD ＝2BC ＝22．(Ⅰ)若AB ⊥PB ，求四棱锥P －ABCD 的体积； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角P －AB －D 的大小．(19) (本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和S n 满足2S n ＝3a n －1，其中n ∈N *． (Ⅰ)求数列{}a n 的通项公式；(Ⅱ)设a n b n ＝3nn 2＋n ，数列{}b n 的前n 项和为T n ，若T n ＜c 2－2c 对n ∈N *恒成立，求实数c 的取值范围． (20) (本小题满分12分)已知圆G ：x 2＋y 2－x －3y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B ，过圆外一点(m , 0)(m ＞a )的倾斜角为3π4的直线l 交椭圆与C 、D 两点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． (21) (本小题满分12分)已知数列{}a n ＋1是等比数列，a 3＝3，a 6＝31，数列{}b n 的前n 项和为S n ，b 1＝1，且nS n +1－(n ＋1)S n ＝12n (n ＋1)．(Ⅰ)求数列{}a n 、{}b n 的通项公式；(Ⅱ)设c n ＝b n a n ＋1，数列{}c n 的前n 项和为T n ，若不等式T n ≥m －92n 对于n ∈N *恒成立，求实数m 的最大值． (22) (本小题满分12分)已知双曲线C ：x 2－y 22＝1的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线M 是以A 、B 两点为短轴端点，离心率为22的椭圆．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆M 相交于另一点T ．(Ⅰ)设点P 、T 的横坐标分别为x 1、x 2，证明：x 1x 2＝1；(Ⅱ)设△TAB 与△POB (其中O 为坐标原点)的面积分别为S 1与S 2，且P A ―→·PB ―→≤9，求S 1·S 2的最大值．。

江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是﹣．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则的虚部=﹣．故答案为：．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是∀∈R，2﹣2＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是：∀∈R，2﹣2＞0．故答案为：∀∈R，2﹣2＞0．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为﹣1．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（）=的值，当≥0时，y=2+1=1，解得=﹣1，不合题意，舍去；当＜0时，y=2﹣2=1，解得=±1，应取=﹣1；综上，的值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为2．【解答】解：抛物线2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【解答】解：设从高二年级学生中抽出人，由题意得=，解得=18，故答案为：187．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【解答】解：若命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=111．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【解答】解：直线m﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线m﹣y﹣3m﹣2=0被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【解答】解：由椭圆32+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【解答】解：设P（0，y0），M（M，y M），∵，∴=（0+c，y0）=（M+c，y M）∴M（0﹣c，y0），=（0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（0，y0）∴（0﹣c）0+y02=0即02+y02=2c0，联立方程得：，消去y0得：c202﹣2a2c0+a2（a2﹣c2）=0，解得：0=或0=，∵﹣a＜0＜a，∴0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设=a+bi（a，b∈R），则+2i=a+（b+2）i，由+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵∀∈R，t2++t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃∈[2，16]，tlog2+1≥0⇒∃∈[2，16]，有解．又∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣＞﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴=2；②当9﹣＜﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴=8；∴的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设点P（，y），2+y2=4，，，因为，所以（﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2a+4y﹣a2﹣8=λ2（2m+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（0，y0），M是线段NE的中点，N（20﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、，使得，…5分则h2=22，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则2=2t2，所以也为偶数，则h、有公约数2，这与h、互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（+4），又左准线l：=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（1，y1），D（2，y2），Q（0，y0），由=λ1，得（1+2，y1+3）=λ1（0﹣1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：0+y0+2=0，即点Q在定直线﹣y+2=0上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣y，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（，y，），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．【解答】解：（1）设P（0，y0），则S（﹣1，y0），∴=（0，y0）•（4，﹣y0）=4=0，∴．∴曲线C：y2=4．证明：（2）设Q（1，y1），则，y2=4，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），∵PQ过F，∴01=﹣=1，，∴，，∴=，=，∴=（）=（），=（1+1，y1）=（），假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．。

2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=．7．（5分）等轴双曲线的离心率为．8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为．10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．【解答】解：命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．故答案为：“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=1．【解答】解：由（3+4i）z=5i2016，得==，则|z|=．故答案为：1．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为14．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，∵随机抽得的第一个号码为003，∴被抽到号码l=10k+3，k∈N．∴在第三营区中被抽到的号码为363，373…493，∴第三个营区被抽中的人数为14．故答案为：14．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是9．【解答】解：执行程序框图，有A=1，S=1当满足条件A≤M，S=1+2+22+…+2M=1023由等比数列的求和公式，可知2M+1﹣1=1023，即可解得M=9．故答案为：9．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）的距离，代入数据可知点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．故答案为：27．（5分）等轴双曲线的离心率为．【解答】解：∵等轴双曲线中a=b∴c==a∴e==故答案为：8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的充分不必要条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【解答】解：若a＞1，则x＞，而＜1，∴∈（1，+∞），是充分条件；若（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立，则x＞，只需≤1即可，∴a≥1，是不必要条件，故答案为：充分不必要．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．【解答】解：当直线l斜率为0时，A与M重合，B与N重合，此时OQ=4，由垂径定理定理得到Q为MN中点，连接OM，根据勾股定理得：QM==3，∴MN=2QM=6，此时直线l方程为y=4，符合题意；当直线l斜率不为0时，设为k，直线l方程为y﹣4=k（x﹣5），即kx﹣y+4﹣5k=0，由割线定理得到AB=MN=6，再由垂径定理得到C为AB的中点，即AC=AB=3，过O作OC⊥AB，连接OA，根据勾股定理得：OC==4，∴圆心O到直线l的距离d==4，解得：k=0（舍去）或k=，则此时直线l的方程为x﹣y+4﹣5×=0，即40x﹣9y﹣164=0，综上，直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．故答案为：y=4或40x﹣9y﹣164=010．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，在y轴上，可以设其标准方程为：﹣=1，且有a2+b2=c2=8，①其渐近线方程为：y=±x，又由该双曲线的渐近线方程为，则有=，②联立①、②可得：a2=6，b2=2，则要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则，∴=∵椭圆的离心率，∴∴a2=4b2∴∴∴=﹣∴∴====故答案为：12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点（1，0）．【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．【解答】解：设圆O1：（x﹣x1）2+（y﹣kx1）2=k2x12，圆O2：（x﹣x2）2+（y﹣kx2）2=k2x22，两方程相减可得：2ky=x1+x2﹣2x，与圆O1联立可得x2+y2=6，令y﹣2x=t，则y=2x+t，代入可得5x2﹣4tx+t2﹣6=0，△=30﹣t2≥0，可得﹣≤t≤，∵P到直线l的距离为，∴y﹣2x=t=﹣时，点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．【解答】解：如图所示：过圆心M作横轴垂线，垂足为T，圆与横轴交点为N，H则MT=b，MH=r=，要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需TH＜a﹣即可，即MH2﹣MT2＜（a﹣）2，（）2﹣b2＜（a﹣）2，化简得c3﹣2a2c+a3＜0⇒e3﹣2e+1＜0⇒（e﹣1）（e2+e﹣1）＜0∵e＜1，∴e2+e﹣1＞0⇒e＞．椭圆的离心率e的取值范围是（，1）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．【解答】解：（1）如图，AB中垂线方程为x=2，AC中垂线方程为y=x，联立，解得M（2，2），又|MA|=，∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5；（2）∵•=0，∴∠PMQ=90°，则|PQ|=，∴M到直线mx﹣2y﹣（2m+1）=0的距离为．由，解得：m=．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），∴，，又a2=b2+c2，联立解得a2=4，b2=c2=2．∴椭圆的方程为：=1．（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），C（﹣x1，0）．k AD==k AC==，k BD==﹣．又，，两式相减可得：=0，∴×=0，化为a2=2b2．∴椭圆的离心率e==．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，解得所以…4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，…7分解得或，所以圆过定点…9分（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0…11分点M到直线AB的距离…13分相交弦长即：当时，AB有最小值…16分．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．【解答】解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…（2分）所以所求椭圆的方程为．…（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．…（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．…（16分）试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．【解答】解：由题意得：==，∴，解得a=3，b=2．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣6=0，化为λ2﹣3λ﹣4=0，解得λ1=﹣1，λ2=4．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．【解答】解：（1）因为圆心为直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点，所以令θ=0，得ρ=1，即圆心是（1，0），又圆C经过点P（，），P（，）的直角坐标为（，），所以圆的半径r==1．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，0，2），A1（0，0，6），F（0，2，4），从而=（2，0，2），=（0，2，﹣2）．…2分记与的夹角为θ，则有：cosθ=cos＜＞=﹣．由异面直线AE与A1F所成角的范围为（0，π），得异面直线AE与A1F所成角为60°．…4分（2）记平面AEF和平面ABC的法向量分别为和，则由题设可令=（x，y，z），且有平面ABC的法向量为，．由，取x=1，得=（1，2，﹣1）．…8分记平面AEF与平面ABC所成的角为β，则cosβ=|cos＜＞|=||=．∴平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．…10分．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=﹣1，．∴==3×．=1，∴数列是等比数列，首项为1，公比为3．（2）由（1）可得：=3n﹣1，可得a n+2=n•3n﹣1．b n==．∴当n≥2，n∈N*时，b n+1+b n+2+…+b2n=+…+下面利用数学归纳法证明：．①当n=2时，b3+b4==＜=．②假设n=k∈N*，k≥2．b k+1+b k+2+…+b2k＜﹣．则n=k+1时，b k+2+b k+3+…+b2k+b2k+1+b2k+2＜﹣++﹣=﹣＜﹣．∴n=k+1时，假设成立．综上可得：当n≥2，n∈N*时，．。

2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分﹒请把答案填写在答题卡相应位置上﹒1．“p且q”为真是“p或q”为真的__________条件．（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也必要条件”）2．命题“∃x∈R，lgx=x﹣2”的否定是__________．3．若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是__________．4．若椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为__________．5．双曲线与双曲线的离心率分别为e1和e2，则=__________．6．抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则焦点坐标是__________．7．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是__________．8．下列命题：①∀x∈R，x2+1＞0；②∀x∈N，x2≥1；③∃x∈Z，x3＜1；④∃x∈Q，x2=3；⑤∀x∈R，x2﹣3x+2=0⑥∃x∈R，x2+1=0其中所有真命题的序号是__________．9．已知点P是椭圆（a＞b＞0，xy≠0）上的动点，F1（﹣c，0）、F2（c，0）为椭圆对左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是__________．10．已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则=__________．11．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是__________．12．下列说法：①函数f（x）=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间（1，2）；②若关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；④已知函数f（x）=log2为奇函数，则实数a的值为1．正确的有__________．（请将你认为正确的说法的序号都写上）．13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为__________．14．直线3x﹣4y+2=0与抛物线x2=2y和圆x2+（y﹣）2=从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分﹒请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤﹒15．（14分）已知命题p：实数m满足m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．16．（14分）在直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，0），B（3，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率k AC，k BC满足条件．（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知，问：曲线C上是否存在点P满足？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由．17．（14分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，命题q：关于x的不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．18．（16分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．19．（16分）已知圆O：x2+y2=4．（1）直线l1：与圆O相交于A、B两点，求|AB|；（2）如图，设M（x1，y1）、P（x2，y2）是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1、PM2与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m•n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．20．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分﹒请把答案填写在答题卡相应位置上﹒1．“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件条件．（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题．【分析】由“p且q”为真可知命题P，q都为真命题；由“p或q”为真可知命题p，q至少一个为真命题，从而可判断【解答】解：由“p且q”为真可知命题P，q都为真命题由“p或q”为真可知命题p，q至少一个为真命题∴当“p且q”为真时“p或q”一定为真，但“p或q”为真是“p且q”不一定为真故“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件故答案为充分不必要条件【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是由复合命题的真假判断命题p，q的真假2．命题“∃x∈R，lgx=x﹣2”的否定是∀x∈R，lgx≠x﹣2．【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；对应思想；简易逻辑．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，lgx=x﹣2”的否定是：∀x∈R，lgx≠x﹣2．故答案为：∀x∈R，lgx≠x﹣2．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，考查计算能力．3．若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，）．【考点】点与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】把已知圆的方程化为标准方程，找出圆心P的坐标和圆的半径r，并根据二元二次方程构成圆的条件可得a的范围，利用两点间的距离公式求出|AP|的值，由过A可作圆的两条切线，得到点A在圆P外，可得|AP|的值大于圆的半径r，列出关于a的不等式，求出不等式的解集，与求出的a的范围求出并集，可得满足题意a的取值范围．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣a）2+y2=3﹣2a，可得圆心P坐标为（a，0），半径r=，且3﹣2a＞0，即a＜，由题意可得点A在圆外，即|AP|=＞r=，即有a2＞3﹣2a，整理得：a2+2a﹣3＞0，即（a+3）（a﹣1）＞0，解得：a＜﹣3或a＞1，又a＜，可得a＜﹣3或，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，）故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，）【点评】此题考查了点与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，二元二次方程构成圆的条件，以及不等式的解法，点与圆的位置关系由这点到圆心的距离d与半径r的大小关系来确定：当d=r，点在圆上；d＞r，点在圆外；d＜r，点在圆内．4．若椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为（﹣1，1）．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知条件利用椭圆定义得，由此能求出k的取值范围．【解答】解：∵椭圆表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得﹣1＜k＜1．∴k的取值范围为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）【点评】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．5．双曲线与双曲线的离心率分别为e1和e2，则=1．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的方程求出离心率，然后化简，求解即可【解答】解：由题意知：e1=，e2=，∴=+=1，故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．6．抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则焦点坐标是（0，﹣1）．【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】将抛物线化成标准方程，再根据准线方程为y=1即可得到它的焦点坐标．【解答】解：将抛物线化成标准方程得x2=y，可得它的顶点在原点．∵抛物线的准线方程为y=1，∴抛物线的开口向下，它的焦点为F（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）【点评】本题给出抛物线的方程，在已知它的准线的情况下求它的焦点坐标．考查了抛物线的标准方程及其基本概念的知识，属于基础题．7．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是m＞2．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；直线与圆．【分析】根据直线与圆相离得到圆心到直线的距离d大于r，利用点到直线的距离公式列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．【解答】解：∵x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，∴圆心到直线的距离d＞r，即＞，解得：m＞2，故答案为：m＞2．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．8．下列命题：①∀x∈R，x2+1＞0；②∀x∈N，x2≥1；③∃x∈Z，x3＜1；④∃x∈Q，x2=3；⑤∀x∈R，x2﹣3x+2=0⑥∃x∈R，x2+1=0其中所有真命题的序号是①③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①由∀x∈R，x2+1≥1＞0，即可得出；②当x=0时，x2=0，即可判断出；③例如x=0∈Z，满足x3＜1，即可判断出；④由x2=3，解得x=±，为无理数，即可判断出；⑤举反例如x=0时，x2﹣3x+2=0不成立；⑥由x2+1=0在R范围内无实数根，即可判断出．【解答】解：①∵∀x∈R，x2+1≥1＞0，因此①正确；②∀x∈N，x2≥0，因此②不正确；③∃x∈Z，例如x=0，满足x3＜1，故③正确；④由x2=3，解得x=±，为无理数，因此不存在x∈Q，满足x2=3，因此④不正确；⑤∀x∈R，x2﹣3x+2=0，不正确，例如x=0时，x2﹣3x+2=0不成立；⑥∵x2+1=0在R范围内无实数根，∴不存在实数x满足x2+1=0，因此⑥不正确．综上可知：只有①③正确．故答案为：①③．【点评】本题综合考查了简易逻辑的有关知识、一元二次方程的解与实数及判别式的关系，属于基础题．9．已知点P是椭圆（a＞b＞0，xy≠0）上的动点，F1（﹣c，0）、F2（c，0）为椭圆对左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是（0，c）．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】如图所示．M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，可得点M是底边F1N 的中点．又点O是线段F1F2的中点，|OM|=．|PF1|=|PN|，可得∠F2NM＞∠F2F1N，可得|F1F2|＞|F2N|，即可得出．【解答】解：如图所示．∵M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，∴点M是底边F1N的中点，又点O是线段F1F2的中点，∴|OM|=，∵|PF1|=|PN|，∴∠F2NM＞∠F2F1N，∴|F1F2|＞|F2N|，∴0＜|OM|=c．∴则|OM|的取值范围是（0，c）．故答案为：（0，c）．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则=．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；综合题．【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得•的值．【解答】解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin =所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．故答案为：．【点评】初看题目，会被直线方程所困惑，然而看到题目后面，发现本题容易解答．本题考查平面向量数量积的运算，直线与圆的位置关系．是基础题．11．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是﹣1＜b≤1或b=﹣．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题；直线与圆．【分析】直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．它们有且有一个公共点，做出它们的图形，则易得b的取值范围．【解答】解：直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=变形为x2+y2=1且x≥0显然是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．根据题意，直线y=x+b与曲线x=有且有一个公共点做出它们的图形，则易得b的取值范围是：﹣1＜b≤1或b=﹣．故答案为：﹣1＜b≤1或b=﹣．【点评】（1）要注意曲线x=是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．始终要注意曲线方程的纯粹性和完备性．（2）它们有且有一个公共点，做出它们的图形，还要注意直线和曲线相切的特殊情况．12．下列说法：①函数f（x）=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间（1，2）；②若关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；④已知函数f（x）=log2为奇函数，则实数a的值为1．正确的有①④．（请将你认为正确的说法的序号都写上）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】对于①：结合函数的单调性，利用零点存在性定理判断；对于②：分a=0和a≠0进行讨论，a≠0时结合二次函数的图象求解；对于③：结合图象及导数进行判断；对于④：利用奇函数定义式，f（﹣x）+f（x）=0恒成立求a，注意定义域．【解答】解：对于①：函数f（x）=lnx+3x﹣6[m，n]在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=ln1+3×1﹣6=﹣3＜0，f（2）=ln2+3×2﹣6=ln2＞0．所以①正确；对于②：当a=0时原不等式变形为1＞0，恒成立；当a≠0时，要使关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a＞0且△=（2a）2﹣4a×1＜0⇒0＜a＜1，综上可得a的范围是[0，1），故②不正确；对于③：令函数y=x﹣sinx，则y′=1﹣cosx，所以该函数在[0，+∞）上是增函数，且x=0时最小，且该函数是奇函数，所以函数y=x﹣sinx只有x=0一个零点，即函数y=x的图象与函数y=sinx的图象只有一个交点，故③不正确；④由奇函数得：，，a2=1，因为a≠﹣1，所以a=1．故④正确．故答案为：①④．【点评】该题目考查了函数的奇偶性的定义、零点定理、等基础知识，在应用过程中要注意准确把握定理应用的要素与条件，切不可想当然．13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为．【考点】椭圆的简单性质；直线的斜率．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】椭圆的离心率是，则椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出．【解答】解：∵椭圆的离心率是，∴，∴，于是椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．则m2+2n2=2b2，，∴=．∴k1•k2===．故答案为：﹣．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．14．直线3x﹣4y+2=0与抛物线x2=2y和圆x2+（y﹣）2=从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为．．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆的位置关系．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得抛物线的焦点为圆心，直线过抛物线的焦点，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线方程联立，即可求出的值【解答】解：由已知圆的方程为x2+（y﹣）2=，抛物线x2=2y的焦点为（0，），准线方程为y=﹣，直线3x﹣4y+2=0过（0，）点，由，有8y2﹣17y+4=0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则y1=，y2=2，所以AB=y1=，CD=y2=2，故=．故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线和直线的综合运用，考查抛物线的定义，解题时要注意合理地进行等价转化．二、解答题：本大题共6小题，共计90分﹒请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤﹒15．（14分）已知命题p：实数m满足m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．【考点】充要条件．【专题】计算题．【分析】根据命题p、q分别求出m的范围，再根据非q是非p的充分不必要条件列出关于m的不等式组，解不等式组即可【解答】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a即命题p：3a＜m＜4a由表示焦点在y轴上椭圆可得：2﹣m＞m﹣1＞0，∴即命题由非q为非p充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件从而有：∴【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，椭圆的定义等相关知识，要求对基础知识有比较好的把握．属简单题16．（14分）在直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，0），B（3，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率k AC，k BC满足条件．（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知，问：曲线C上是否存在点P满足？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；探究型；函数思想；转化思想；平面向量及应用；向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用已知条件求出直线AC，BC的斜率k AC，k BC，通过．求出动点C的轨迹方程．（2）利用数量积为0，求出P的方程，然后与椭圆方程联立，求出交点坐标即可．【解答】（本小题满分14分）解：（1）（x≠﹣3），（x≠3）又，∴化简整理得（x≠±3）（2）设曲线C上存在点P（x，y）满足∴联立方程组，解得∴存在四个点满足条件，它们是：，，，（14分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，圆锥曲线之间的关系的综合应用，考查计算能力．17．（14分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，命题q：关于x的不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】若命题p正确，则△＞0，解得m范围．若命题q正确，则△＜0，解得m范围．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q必然一真一假，即可得出．【解答】解：命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2．命题q：关于x的不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，∴△=4（m+1）2﹣4m（m+1）＜0，解得m＜﹣1．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q必然一真一假，∴或，解得m＞2或﹣2≤m＜﹣1．∴实数m的取值范围是m＞2或﹣2≤m＜﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（16分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【考点】椭圆的简单性质；两点间的距离公式．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，∴a=2，b=，c=，∴椭圆C的离心率e==；（Ⅱ）设A （t ，2），B （x 0，y 0），x 0≠0，则 ∵OA ⊥OB ，∴=0， ∴tx 0+2y 0=0，∴t=﹣，∵，∴|AB|2=（x 0﹣t ）2+（y 0﹣2）2=（x 0+）2+（y 0﹣2）2=x 02+y 02++4=x 02+++4=+4（0＜x 02≤4），因为≥4（0＜x 02≤4），当且仅当，即x 02=4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB 长度的最小值为2．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 19．（16分）已知圆O ：x 2+y 2=4． （1）直线l 1：与圆O 相交于A 、B 两点，求|AB|； （2）如图，设M （x 1，y 1）、P （x 2，y 2）是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，如果直线PM 1、PM 2与y 轴分别交于（0，m ）和（0，n ），问m •n 是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆相交的性质． 【专题】直线与圆． 【分析】（1）先求出圆心（0，0）到直线的距离，再利用弦长公式求得弦长AB 的值．（2）先求出M 1和点M 2的坐标，用两点式求直线PM 1 和PM 2的方程，根据方程求得他们在y 轴上的截距m 、n 的值，计算mn 的值，可得结论． 【解答】解：（1）由于圆心（0，0）到直线的距离．圆的半径r=2，∴．…（2）由于M（x1，y1）、p（x2，y2）是圆O上的两个动点，则可得，，且，．…根据PM1的方程为=，令x=0求得y=．根据PM2的方程为：=，令x=0求得y=．…∴，显然为定值．…（14分）【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，用两点式求直线的方程、求直线在y轴上的截距，属于中档题．20．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为．（2）设M（2，y0），P（x1，y1），，直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值．（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．，再由，由此可知存在Q（0，0）满足条件．【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；∴椭圆方程为（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得∵x1=﹣，∴，∴，∴∴（定值）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP则由，从而得m=0∴存在Q（0，0）满足条件（14分）【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．。

2015-2016 学年江苏省南通市启东市高二(下)期末数学试卷I 卷一、填空题(共14 小题，每小题5 分，满分70 分)1 已知集合P={1, 2, 3, 4}, Q={0, 3, 4, 5}，则P Q Q= ____________ .2•函数f (x) =+的定义域为_________ .3.用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1 -480 •按编号顺序平均分为20个组(1〜24号，25〜48号，…，457〜480号)，若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第4组抽取的号码为__________4•如图所示的流程图，输入的a=2017 , b=2016，则输出的b= __________ .5•在一个盒子中有分别标有数字 1 , 2, 3, 3, 4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是 ____________ •6•某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩, 并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图 (如图), 则成绩在[300, 350)内的学生人数共有_______________ •7•如图所示，该伪代码运行的结果为___________ •&已知函数f (x) =| lgx| ,若存在互不相等的实数a, b，使f ( a) =f (b)，则ab= ________ 9. ___________________________________________________________________若函数f (x) =x3- a/+1在x= - 4处取得极大值，则实数a的值为_____________________________ •10. ___________________________________________ 已知函数f (x)=，贝U f (log23+2016) = ______________________________________________ .11 •若不等式x2- 2ax- b2+12< 0恰有一解，则ab的最大值为 ___________ •12.在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f ( x) =lnx (x> 1)的图象上的动点，该图象在P处的切线I交x轴于点M ,过点P作I的垂线交x轴于点N,设线段MN的中点的横坐标为t,则t的最大值是______________________________ .13．已知函数f( x) =,若函数y=f( f( x))- k 有3 个不同的零点,则实数k 的取值范围是14. 设函数f (x) =lnx + , m€ R，若对任意X2>x1> 0, f(x2)- f(x1)v x2 - x1 恒成立，则实数m 的取值范围是_________二、解答题(共 6 小题,满分90分)15. 设关于x的不等式(x+2) (a- x) > 0 ( a€ R)的解集为M ,不等式x2- 2x -3W 0的解集为N，且M A N=[ - 1, 2](1)求实数 a 的值；(2)若在集合M U N中任取一个实数x,求x € M Q N”的概率.16. 函数f (x) = (a、b、c€ Z)是奇函数，且f (1) =2 , f (2)v 3(1 )求a、b、 c 的值；(2)当x v 0时，求函数f (x)的单调区间.17•启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组.(1)求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论,决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出 1 名同学做实验, 该同学做完后, 再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由．218．已知a 为实数，函数f(x)=(x +1)(x+a)(1)若函数f (X)在R上存在极值，求实数a的取值范围；(2 )若f (1) =0，求函数f (x)在区间［-1,］上的最大值和最小值；(3)若函数f (x)在区间［-1,］上不具有单调性，求实数a的取值范围.219．已知二次函数f( x) =ax +bx+c．(1 )若f (- 1) =0，试判断函数f (x)的零点个数；(2)是否存在实数a, b, c,使得f (x)同时满足以下条件：①对？ x € R, f (x - 2) =f (- x);②对？ x € R, O W f (x)- x<( x- 1) 2?如果存在，求出a, b, c的值，如果不存在，请说明理由．x 3 220．已知函数f(x) =(x- 1) e - ax - x +1(a€ R)．(1 )当a=0时，求f (x)的单调区间；(2 )若在区间［0, +R)上关于x的不等式f (x)> 0恒成立，求实数a的取值范围.II 卷21. 已知矩阵A 将点( 1, 0)变换为( 2, 3),且属于特征值3 的一个特征向量是,求矩阵A.22. 已知曲线C的极坐标方程是p=2sin 0,直线I的参数方程是(t为参数).设直线I与x 轴的交点是M，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值.23. 某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行 4 次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率p1；(2)求小李参加考核的次数X 的分布列和数学期望E( X).24. 已知函数f(x) =In (2x+a) - 4x2- 2x 在x=0 处取得极值.(1)求实数a的值，并讨论f (x)的单调性；(2)证明：对任意的正整数n,不等式2+++・・+ >In (n+1)都成立.2015-2016 学年江苏省南通市启东市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析I 卷一、填空题（共14 小题，每小题5 分，满分70 分）1 已知集合P={1, 2, 3, 4}, Q={0, 3, 4, 5}，则P Q Q={3, 4}.【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义,进行计算即可.【解答】解：集合P={1, 2, 3, 4} , Q={0, 3, 4, 5}, 所以P A Q={3, 4}.故答案为：{3, 4} .2.函数f （x）=+的定义域为[-3, 1].【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到关于x 的不等式组,求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：-3< X W 1,故答案为：[-3, 1].3.用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1 - 480.按编号顺序平均分为20个组（1〜24号，25〜48号，…，457〜480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第 4 组抽取的号码为75．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行求解即可．【解答】解：用系统抽样的方法从480 名学生中抽取容量为20 的样本．则样本间隔为480十20=24 ,若第 1 组用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第4组抽取的号码为3+24 X 3=75 ,故答案为：754•如图所示的流程图，输入的a=2017 , b=2016，则输出的b=2017 .考点】程序框图.分析】模拟执行程序,根据赋值语句的功能依次计算a, b 的值即可得解.解答】解：模拟程序的运行,可得a=2017, b=2016, a=2017+2016=4033 b=4033 - 2016=2017 输出a 的值为4033, b 的值为2017. 故答案为：2017.5．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率．【解答】解：在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出 2 张卡片，基本事件总数n==10 ，在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数m==4 ，•••在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率p= •故答案为：．6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图 (如图)，则成绩在[ 300，350)内的学生人数共有300．【考点】频率分布直方图．【分析】结合图形，求出成绩在[ 300，350)内的学生人数的频率，即可求出成绩在[ 300，350)内的学生人数．【解答】解：根据题意，成绩在[ 300，350)内的学生人数的频率为1 -( 0.001+0.001+0.004+0.005+0.003)X 50=1 - 0.7=0.3,•••成绩在[300, 350)内的学生人数为：1000 X 0.3=300 ;故答案为：300 •7•如图所示，该伪代码运行的结果为9 • 【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S, i的值，当S=25时不满足条件S W 20, 退出循环,输出i 的值为9．【解答】解：模拟执行程序,可得i=1 , S=1满足条件S w 20,执行循环体，i=3 , S=4满足条件S< 20,执行循环体，i=5 , S=9 满足条件S w 20,执行循环体, i=7, S=16 满足条件S w 20,执行循环体, i=9, S=25此时，不满足条件S w 20,退出循环，输出i的值为9•故答案为：9 •8已知函数f (x) =|lgx|，若存在互不相等的实数a, b，使f ( a) =f ( b),贝U ab=1.【考点】对数函数的图象与性质.【分析】若互不相等的实数a, b，使f (a) =f (b)，则1ga=- lgb，结合对数的运算性质, 可得答案. 【解答】解：•••函数f (x) =| lgx| ,若互不相等的实数a, b，使f (a) =f (b),则1ga= - lgb ,即lga+lgb=lg （ab）=0，••• ab=1,故答案为：19.若函数f (x) =x3- ax2+1在x= - 4处取得极大值，则实数a的值为-2.【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出a的值即可.【解答】解：f' (x) =x2- 2ax=x (x- 2a),令f'(x) =0，解得；x=0 或x=2a,32若函数f(x) =x3- ax2+1 在x=- 4处取得极大值，则2a=- 4，解得：a=- 2，故答案为：- 2.10.已知函数f(x) =，则f(log23+2016) =.【考点】函数的值.【分析】利用分段函数及对数、指数性质及运算法则求解.【解答】解：•••函数f (x)=,• f(log23+2016) =f(log23- 1 ) ===.故答案为：.11•若不等式x2- 2ax- b2+12w 0恰有一解，则ab的最大值为6.【考点】一元二次不等式的解法.22【分析】根据题意厶=0，得出a +b =4，利用基本不等式ab w即可求出ab的最大值.【解答】解：不等式x2- 2ax - b2+12 w 0恰有一解，所以△ =4a2- 4 (- b2+12) =4a2+4b2- 48=0 ,即a2+b2=12；所以ab w =6，当且仅当a=b= 土时，="成立；即ab 的最大值为6.故答案为：6.12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f ( x) =lnx (x> 1)的图象上的动点，该图象在P处的切线I交x轴于点M ,过点P作I的垂线交x轴于点N,设线段MN的中点的横坐标为t,则t的最大值是. 【考点】利用导数研究函数的极值；对数函数的图象与性质.【分析】由题意设点P的坐标为(m, Inm)；从而写出直线方程，从而得到M (m - mlnm , 0), N (m+, 0)；从而求得t= (2m+- ml nm) (m > 1 )；再由导数求最值即可【解答】解：设点P的坐标为(m, Inm);f'( m) =；则切线I 的方程为y- Inm=(x- m)；I 的垂线的方程为y- Inm=- m(x- m)；令y=0 解得,M(m- mInm , 0), N( m+, 0)；故t= ( 2m+- mInm )( m> 1 )；t =;故t= (2m+ - mlnm )先增后减, 故最大值为(2e+ - e)=;故答案为：13. 已知函数f (x)=，若函数y=f (f (x)) - k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是-2w k v- 1.【考点】函数零点的判定定理.【分析】作出函数y=f (f (x))的图象，即可确定实数k的取值范围.【解答】解：由题意，x<- 1, f (x) =1 - x2w 0, f (f (x)) =1 -( 1 - x2) 2;2 2—1 v x< 0, f (x) =1 —x > 0, f ( f (x)) = —2+x ；2x> 0, f (x) = - x - 1 v 0, f ( f (x) ) =1 -( - x - 1).函数y=f (f (x))的图象如图所示，•••函数y=f (f (x))- k有3个不同的零点，2< k v- 1.故答案为：-2< k v- 1.14. 设函数f (x) =lnx + , m€ R，若对任意X2>X1> 0, f (X2)- f (X1)v X2 - X1 恒成立，则实数m 的取值范围是［,+R).【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】问题转化为函数g (x) =f (x) - x=lnx + - x在(0, +s)递减，即m》x - x2在(0, +8)恒成立，求出m的范围即可.【解答】解：若对任意X2> X1> 0 , f ( X2)- f (X1)v X2 - X1恒成立，即若对任意X2>x1> 0, f (x2) - x2v f (X1) - x1恒成立，即函数g (x) =f ( x)- x=lnx + - x 在(0, +8)递减，g' (x) = w 0 在(0, +8)恒成立，即m》x - x2在(0, +8)恒成立，而x —x2=——w,m》，故答案为：［,+8).、解答题(共6小题，满分90 分)215. 设关于x的不等式(x+2) (a- x)> 0 ( a€ R)的解集为M ,不等式x - 2x - 3w 0的解集为N，且M Q N=[ - 1, 2]( 1 )求实数 a 的值；(2)若在集合M U N中任取一个实数X,求“ € M Q N”的概率.【考点】几何概型；一元二次不等式的解法.【分析】(1)根据不等式的解法先求出N，根据M AN=[ - 1, 2]，得到2是方程(x+2) (a- x) =0 的根,进行求解即可.(2 )求出集合M，以及M U N，根据几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】解：(1)由x2- 2x - 3< 0 得(x+1) (x-3)< 0，得-1 < x w 3,即N=[ - 1，3]，•/ M n N=[ - 1，2]••• 2 是方程(x+2) (a- x) =0 的根，贝U 4 (a- 2) =0，得a=2，(2)当a=2 时，x+2) (a- x)> 0 等价为x+2) ( 2- x)> 0 得-2w x w 2，即卩M= [ - 2，2]，贝M U N=[ - 2，3] ，•/ M n N=[ - 1，2]•在集合M U N中任取一个实数X，求x € M n N”的概率P==.16. 函数f (x) = (a、b、c€ Z)是奇函数，且f (1) =2，f (2)v 3( 1 )求a、 b 、 c 的值；(2)当x v 0时，求函数f (x)的单调区间.【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明.【分析】( 1)由条件利用函数的奇偶性求得a、b、 c 的值.(2)当x v 0 时，根据函数f( x) =x+ 的图象，利用导数求得它的单调区间.【解答】解：(1)v函数f (x) = (a、b、c€ Z)是奇函数，• f (- x) == - f (x) =-，•. c=0.又••• f (1) =2，• ==2，• a+仁2b .根据 f (2) = v 3，「. a=b=1. 综上可得，a=b=1 ，c=0.(2)当x v 0 时，函数f ( x) ==x+，「. f' (x) =1 -，令f' (x) =0，求得x= - 1，在(-a，- 1) 上, f' (x)> 0，函数f (x )单掉递增，在(-1，0) 上, f (x) v 0，函数f (x)单掉递减，故单调增区间为(- a，- 1)，单调减区间为(- 1，0).17. 启东市某中学传媒班有30 名男同学，20 名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本组成课外兴趣小组.(1)求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1 名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由.【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数.【分析】( 1)由等可能事件概率计算公式先求出该传媒班某同学被抽到的概率，由此利用分层抽样能求出课外兴趣小组中男同学的人数和课外兴趣小组中女同学的人数.(2)先求出基本事件总数，由此能求出选出的两名同学中恰有一名女同学的概率． (3)分别求出两次做实验的同学得到的实验数据的平均数和方差，由此能求出结果．【解答】解：(1)v启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本组成课外兴趣小组，•••该传媒班某同学被抽到的概率p==.课外兴趣小组中男同学的人数为：30 X =3人，课外兴趣小组中女同学的人数为：20 X =2人.(2)在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出 1 名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，基本事件总数n=5X 4=20，•选出的两名同学中恰有一名女同学的概率：p==．(3)第一次做实验的同学得到的实验数据的平均数为：=(68+70+71+72+74) =71，第一次做实验的同学得到的实验数据的方差为：S2= ［(68 - 71) 2+ (70 - 71 ) 2+ ( 71 - 71) 2+ ( 72 - 71) 2+ (74 - 71) 2］ =4 .218. 已知a为实数，函数f (x) = (x +1) (x+a)(1)若函数f (x)在R上存在极值，求实数a的取值范围；(2 )若f (1) =0，求函数f (x)在区间［-1,］上的最大值和最小值；第二次做实验的同学得到的实验数据的平均数为：= (69+70+70+72+74) =71 ，第二次做实验的同学得到的实验数据的方差为：'2 2 2 2 2 2 S'2= ［(69- 71) 2+(70- 71) 2+(70- 71) 2+(72- 71) 2+(74- 71) 2］=．•/ =, S2v S'2,「.第二次做实验的同学的实验更稳定.• •• f (x)在［-1,递增，在(，］递减，二 f (X) max=f () =, f (x) min=f (- 1) = - 2;(3)由(1)得：f'(X) =3x2+2ax+1，对称轴x=-,若函数f(X)在区间［-1,］上不具有单调性，则f(x)在［-1,］有解，而 f (0) =1 >0,•只需或，解得：v a v 3或a> 3,故a>．219．已知二次函数f( x) =ax2+bx+c．(1 )若f (- 1) =0，试判断函数f (x)的零点个数；(2)是否存在实数a, b, c,使得f (x)同时满足以下条件：①对？ x € R, f (x - 2) =f (- x);2②对？ x € R, O w f (x)- x<( x- 1) ?如果存在，求出a, b, c的值，如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．【分析】(1)将x= - 1代入得到关于a、b、c的关系式，再由△确定零点个数；( 2)假设存在a, b, c€ R 使得条件成立,由① 可知函数f (x)的对称轴是x= - 1，令最值为0，由此可知a=c；由② 知将x=1 代入可求的a、 c 与 b 的值,最后验证成立即可．2【解答】解：(1)二次函数f(x) =ax2+bx+c 中, f(- 1) =0,所以a- b+c=0,即b=a+c；2 2 2又^ =b - 4ac= (a+c) - 4ac= (a- c) ,当a=c时厶=0,函数f (x)有一个零点；当c时，△> 0,函数f (x)有两个零点；( )假设a，b，c 存在，由① 知抛物线的对称轴为x=- 1，所以- =- 1,即b= a；不妨令f (x)的最值为0,则=0,即b=4ac,(3)若函数f (x)在区间［-1,］上不具有单调性，求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】(1 )求出函数的导数，得到f'( x) =0有两个不相等的实数根，根据△>0,求出a的范围即可；(2)根据f'( 1) =0,求出a,得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可；(3)若函数f (x)在区间［-1,］上不具有单调性，得到f' (x )在［-1,］有解，根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可.【解答】解：(1)： f (x) = (x2+1) (x+a) =x3+ax2+x+a,• f ' (x) =3x2+2ax+1,若函数f (x)在R上存在极值，则f' ( x) =0有两个不相等的实数根，••△=4a2- 12> 0，解得：a>或a v-;所以4a =4ac,得出a=c；由②知对？ x € R，都有0w f (x)- x w( x- 1) 2,不妨令x=1，可得O w f (1)- 1w 0,即f( 1 )- 1=0,所以f(1) =1,即a+b+c=1 ；由解得a=c=, b=；当a=c=, b=时，f (x) =x2+x+= (x+1) 2,其顶点为(-1, 0)满足条件①，又f (x) - x= (x+1) 2,所以对？ x€ R,都有0w f (x) - x w( x+1) 2,满足条件②. 所以存在a=, b=, c=时，f (x)同时满足条件①、②.x 3 220. 已知函数f(x)=(x- 1)e x- ax3- x2+1(a€ R).(1 )当a=0时，求f (x)的单调区间；(2)若在区间［0, +s)上关于x的不等式f (x)> 0恒成立，求实数a的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】( 1)求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，构造函数g (x) =e x- ax- 1, (x>0),通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可.【解答】解：(1) a=0时，f (x) = (x- 1) e x- x2+1,f'(x) =xe x- x=x (e x- 1 )> 0,x> 0 时，e x- 1 > 0, x v 0 时，e x-1v 0,•••f (x)在R递增；(2) f (x) = (x - 1) e x- ax3- x2+1, (x > 0),f' (x) =x (e x- ax - 1), 令g (x) =e x- ax - 1, (x > 0),xg' (x) =e - a,①a< 1 时，g' (x)A 0, g (x)在［0, +^)递增，••• g(x )> g (0) =0,即f' (x) > 0,• f (x) > f (0) =0，成立，②当a> 1 时，存在x o€ ［0, +s),使g (x o) =0，即f' (x o) =0 ,当x€ ［ 0, x°)时，f' (x) v 0,• f (x)在［0, x°)上单调递减，•-f (x) v f (0) =0，这与f(X)A 0在［0, +8)上恒成立矛盾，综上：a w 1.II 卷21. 已知矩阵A 将点( 1, 0)变换为( 2, 3),且属于特征值3 的一个特征向量是,求矩阵A.【考点】特征值与特征向量的计算.【分析】先设矩阵，这里a, b, c, d € R,由二阶矩阵M有特征值入=3及对应的一个特征向量及矩阵M对应的变换将点(1, 0)变换为(2, 3),得到关于a, b, c, d的方程组，即可求得矩阵M.【解答】解：设，由得，，…由得,,所以所以. …22. 已知曲线C的极坐标方程是p=2sin 0,直线I的参数方程是(t为参数).设直线I与x 轴的交点是M，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值.【考点】简单曲线的极坐标方程.2 2 2【分析】利用x2+y2= p2, x= p cos 0, y= psin 0,可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程. 将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：，令y=0 ,可得M点的坐标为(2, 0).禾U用| MN | w | MC |+ r即可得出.2 2 2 2【解答】解：曲线C的极坐标方程可化为p =2 p in 0.又x +y = p , x= pcos0, y= p in 0, •曲线C的直角坐标方程为x2+y2- 2y=0 .将直线l 的参数方程消去t 化为直角坐标方程：，令y=0，得x=2，即M点的坐标为(2, 0).又曲线C的圆心坐标为(0, 1),半径r=1，则,23. 某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为.(1 )求小李第一次参加考核就合格的概率P1；(2 )求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望 E ( X).【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)由题意利用相互独立事件概率乘法公式能求出小李第一次参加考核就合格的概率.(2)小李4次考核每次合格的概率依次为：，由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1, 2, 3, 4,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E (X).【解答】解：(1)由题意得，解得或，•••他参加第一次考核合格的概率超过，即，•••小李第一次参加考核就合格的概率p1=.(2 )•••小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，且小李第一次参加考核就合格的概率P1=，•小李4次考核每次合格的概率依次为：，由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1，2，3，4，P (X=1)=，P (X=2 ) = (1 -)X =，P (X=3 ) = (1 -) ( 1-)X =，P (X=4 ) = (1 -) ( 1 -) (1 -)X 1 =，• X的分布列为：故- 2X 0- 1=0 ,解得a=1，经检验a=1符合题意，则实数 a 的值为1，2•••f (x) =ln (2x+1) - 4x2-2x, (x>-),f' (x) =2 (- 2x - 1)=,令f( x)> 0,解得：-v x v 0,令f'( x )v 0，解得：x> 0,• f (x)在(-,0)递增，在(0, +s)递减；(2) f (x)的定义域为{x| x>- },由(1)得：f (x)在(-,0)递增，在(0, +8)递减，• f (x) < f (0),故In (2x+1)- 4x2- 2x < 0 (当且仅当x=0 时，等号成立) 对任意正整数n,取2x= > 0得，In (+1 )v +,•In()v,故2+++・・ + >In2+In+ln + -+In=ln (n+1).2016 年9 月7 日(2) f ' (x) =3x2+2ax+1,若f'(1) =0,即3+2a+ 仁0,解得：a=- 2,• f ' (x) = (3x - 1) (x - 1),x€ ［- 1,］时，x - 1v 0,令 f ' ( x)> 0,解得：X V,令 f ' (x)v 0，解得：x>,224. 已知函数f (x) =ln (2x+a)- 4x - 2x在x=0处取得极值.(1)求实数a的值，并讨论f (x)的单调性；(2)证明：对任意的正整数n，不等式2+++・・+ >In (n+1)都成立. 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)函数f (x) =ln ( 2x+a) - 4x2- 2x，对其进行求导，在x=0处取得极值，可得f'(0) =0，求得a值，求出f (x)的表达式，从而求出函数的单调区间即可；(2) f (x) =ln (2x+1)- 4x2- 2x的定义域为｛x| x >- 1｝，利用导数研究其单调性，可以推出In (x+1)- x2- x w 0,令x=，可以得到In (+1)v +，利用此不等式进行放缩证明.【解答】解：(1)函数 f ( x) =ln (2x+a)- 4x2- 2xf' (x) =2 (- 2x - 1)，当x=0时，f (x)取得极值，• f ( 0) =0。