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模糊数学第三讲2010.3.23

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模糊数学及其应用2

模糊数学及其应用2
P 0 1 ¬P 1 0 P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P∧ Q 1 0 0 0 P∨ Q 1 1 1 0 P→Q 1 0 1 1 P↔Q 1 0 0 1
2012-3-18
4
第三讲 模糊逻辑与模糊推理
当5个连接词连续使用时，其优先连接次序如下：
¬、 、、→、↔ ∧∨
利用上表，容易验证二值逻辑具有下列性质： 1、 幂等律 P ∨ P=P，P ∧ P=P，P→P=1，P↔P=1 2、交换律 P ∨ Q=Q ∨ P，P ∧ Q=Q ∧ P，P↔Q=Q↔P ∨ 3、结合律 （P∨ Q） R=P ∨ ∨ R）， （Q （P ∧ Q） R=P ∧ Q∧ R） P Q ∧ （Q R （P↔Q）↔R=P↔（Q↔R） 4、分配律 P∨ ∧ R）=（P ∨ Q） （P R） （Q ∧ ∨ P∧ ∨ R）=（P ∧ Q） （P ∧ R） （Q ∨ P→（Q→R）=（P→Q）→（P→R） 5、德•摩根律 ¬（P ∨Q）=¬P ∧ ¬Q，¬（P ∧ Q）=¬P∨ ¬Q 6、双重否定律 ¬¬P=P 7、两极律 P ∨ 1=1，P∨ 0=P，P∧ 1=P，P∧ 0=0 8、补余律 P ∨ ¬P=1，P ∧ ¬P=0
三、多值逻辑
二值逻辑是用0和1两个值来表示命题的真或假。三值逻辑则 是将区间[0，1]二等分，并在中间增加一个值1/2来表示命题 的不确定性。如果我们将区间[0，1]分成n-1等分（ n ≥ 3 ）， 并用 1 2 n − 2 n − 1 0 Tn = , , , L, , （3-2-1） n −1 n −1 n −1 n − 1 n − 1 作为命题的真假值域，这样一个命题就可有多个取值。象这 样可在 Tn 中取多个值的命题称为多值逻辑。 由（3-2-1）式知，当n=2时，有

模糊数学 (第三讲)

模糊数学 (第三讲)

14
一般来说用Hamming 模糊度计算较为简单， 而用 Euclid模糊度计算虽然比较复杂，但是计算 结果比较精细。 定理1.5.2 设 U ={u1 , u2 , …, un}, AF(U ),则
1 D( A) H ( A) n ln 2
S ( A(u ))
i 1 i
n
为A的模糊度，H(A)通常称为A的模糊熵，其中 S(x)为Shannon函数
解:(见黑板)
7
§1.5 模糊性的度量
定义1.5.1 设映射 D: F(U) →[0,1] 满足下列5条性质: 对于任意A F(U), 1)清晰性:D(A)=0当且仅当A P(U); 2)模糊性: D(A)=1当且仅当u U, A(u) =0.5; 3)单调性:若u U, A(u) ≤B(u) ≤0.5或者A(u) ≥B(u) ≥ 0.5, 则D(A) ≤ D(B) ; 4)对称性: A F(U) , D(A)= D(A′); 5)可加性： D(A∪B)+ D(A∩B)= D(A)+D(B). 则称D为定义在F(U) 上的模糊度函数，称D(A) 为模 糊集A的模糊度。
)du
A'0.5
e
(
u

)
2
du

2 ln 2 2
ln 2
(2 ln 2 3 4 ( ln 4 ))
查标准正态分布表可得 故
2 12 2 1 t2 1 2t e dt e 2 dt 2 2
e
1 t2 2
D p ( A) 2 n
1 p
( A(ui ) A0.5 (ui )
i 1
n
p
)

模糊数学讲座之——简介

模糊数学讲座之——简介

<
>
经典数学 统计数学 模糊数学 经典数学描述必然的、精确现象（概念） 经典数学描述必然的、精确现象（概念） 描述必然的 统计数学（概率论与数理统计） 统计数学（概率论与数理统计）把数学的应用范围从必 然现象扩大到了偶然现象的领域。 然现象扩大到了偶然现象的领域。 偶然现象的领域 模糊数学则把数学的应用范围从精确现象扩大到了模糊 模糊数学则把数学的应用范围从精确现象扩大到了模糊 则把数学的应用范围从精确现象扩大到了 现象（概念）的领域。 现象（概念）的领域。
<
>
确定性数学模型 研究对象具有确定性，对象间具有必然的关系， 研究对象具有确定性，对象间具有必然的关系，最典型 的就是用微分方程、差分方程建立的数学模型。 的就是用微分方程、差分方程建立的数学模型。 随机性数学模型 研究对象具有随机性，对象间具有偶然的关系， 研究对象具有随机性，对象间具有偶然的关系，如概率 分布方法、马尔可夫链所建立的数学模型。 分布方法、马尔可夫链所建立的数学模型。 模糊性数学模型 研究对象具有模糊性，对象间具有模糊关系， 研究对象具有模糊性，对象间具有模糊关系，如本课程 所考虑的各种模糊模型。 所考虑的各种模糊模型。 < >
<
>
量的确定性与不确定性 在人类社会和各个科学领域中， 在人类社会和各个科学领域中，人们所遇到的各种量可 分为确定性的和不确定性的两大类。 分为确定性的和不确定性的两大类。 确定性---经典数学 确定性---经典数学 --量 不确定性 模糊性---模糊数学 模糊性---模糊数学 --随机性---随机数学 随机性---随机数学 ---
主要问题
一、模糊数学的概念 二、模糊数学的产生与基本思想 三、模糊数学与传统数学的区别 四、模糊数学的发展 五、研究模糊数学的意义 六、多极倒立摆

模糊模式识别PPT课件

模糊模式识别PPT课件

2）序偶表示法： ~A {(1, a), (0.9, b), (0.5, c), (0.2, d)}
3）向量表示法： ~A (1, 0.9, 0.5, 0.2)
4）其他方法，如： ~A 1 a, 0.9 b, 0.5 c, 0.2 d
注：当某一元素的隶属函数为0时，这一项可以不计入。
第17页/共113页
例 3.2：以年龄作为论域，取 X=[0,200]，Zadeh 给出了“年老” 与“年轻”两个模糊集 O~ 和Y~ 的隶属函数如下：
0 ,
0 x 50
①
ox
~
1
(x
50 5
)
2
1
,
50 x 200
1,
0 x 25
Y ~
x
1
(
x
25)2 5
1
,
25 x 200
② X是一个连续的实数区间，模糊集合表示为
用精确数学方法判断“秃头”： 方法：首先给出一个精确的定义，然后推理，最后结论。
定义：头发根数≤n时，判决为秃头；否则判决为不秃。 即头发根数n为判断秃与不秃的界限标准。
问题：当头发根数恰好为n+1，应判决为秃还是不秃？
第2页/共113页
推理：两种选择 (1) 承认精确方法：判定为不秃。
均表现出精确方法在这个 问题上与常理对立的情况
当 x 为多变量，即 x {x1, x2 , , xn}时，隶属函数通常定义为
A x A(1) x1 A(2) x2 A(n) xn
~
~
~
~
其中， A(1) ， A(2) ，…， A(n) ：对应于各变量的模糊子集；
~~
~
A(i) xi ：相应的单变量隶属函数。

模糊数学教学课件完整

模糊数学教学课件完整
~
~
~
2014年4月15日
14
模糊集合及其运算
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：
（1）Zadeh表示法
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
A( xi ) 这里 表示 xi 对模糊集A的隶属度是 A( xi ) 。 xi
如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为
隶属次数
隶属频率
62
0.78
68
0.76
76
85
95
0.79
101
0.78
0.76 0.75
A(27) = 0.78 (变动的圈是否盖住不动的点)
2014年4月15日
31
模糊集合及其运算
2、指派方法
这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种 方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模 糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。
问年龄 u0 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。
2014年4月15日
30
对年龄27作出如下的统计处理：
n 隶属次数 隶属频率 n 10 6 0.60 80 20 14 0.70 90 30 23 40 31 50 39 0.78 120 60 47 0.78 129 70 53 0.76
0.77 0.78 100 110
4.模糊线性规划——将线性规划的约束条件或目标函数模糊
化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优 解称为原问题的模糊最优解
2014年4月15日
7
模糊数学
一 二 三 四 五
2014年4月15日
模糊集合及其运算
模糊聚类分析
模糊模式识别 模糊综合评判 模糊线性规划

《模糊数学教案》课件

《模糊数学教案》课件

《模糊数学教案》课件第一章：模糊数学简介1.1 模糊数学的概念与发展1.2 模糊集合的基本概念1.3 模糊数学的应用领域第二章：模糊集合的基本运算2.1 模糊集合的并、交、补运算2.2 模糊集合的余集、商集运算2.3 模糊集合的运算规律与性质第三章：模糊逻辑与模糊推理3.1 模糊逻辑的基本概念3.2 模糊推理的基本方法3.3 模糊推理的应用实例第四章：模糊控制系统4.1 模糊控制系统的原理与结构4.2 模糊控制规则的制定方法4.3 模糊控制系统的仿真与优化第五章：模糊数学在工程与应用领域的应用5.1 模糊数学在模式识别中的应用5.2 模糊数学在中的应用5.3 模糊数学在优化方法中的应用第六章：模糊数学在决策分析中的应用6.1 模糊决策树6.2 模糊综合评价方法6.3 模糊多属性决策方法第七章：模糊数学在控制理论与应用中的扩展7.1 模糊PID控制器设计7.2 模糊自适应控制方法7.3 模糊控制系统的稳定性分析第八章：模糊数学在信号处理中的应用8.1 模糊信号处理的基本概念8.2 模糊滤波器设计8.3 模糊信号识别与分类第九章：模糊数学在机器学习与数据挖掘中的应用9.1 模糊聚类分析9.2 模糊神经网络9.3 模糊数据挖掘方法第十章：模糊数学在其它领域的应用及发展趋势10.1 模糊数学在生物学中的应用10.2 模糊数学在环境科学中的应用10.3 模糊数学的未来发展趋势重点和难点解析一、模糊数学简介难点解析：理解模糊数学的哲学背景与发展历程，以及模糊集合的隶属度函数和二、模糊集合的基本运算难点解析：掌握模糊集合运算的规则，以及如何通过模糊集合的运算得到新的模糊集合。

三、模糊逻辑与模糊推理难点解析：理解模糊逻辑的推理规则，以及如何应用模糊推理解决实际问题。

四、模糊控制系统难点解析：掌握模糊控制系统的构建和运作机制，以及如何制定合适的模糊控制规则。

五、模糊数学在工程与应用领域的应用难点解析：了解模糊数学在不同领域中的应用方法，以及如何将模糊数学应用于实际问题。

模糊数学方法_数学建模ppt课件


；
eA,B n AxiBxi2
i1
• 相对欧几里得距离：
A,B 1 eA,B
n
-
12
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
-
13
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
• 设以人的岁数作为论域U＝[0,120]，单位是“岁”， 那么“年轻”，“年老”，都是U上的模糊子集。 隶属函数如下：
• “年轻”（u）＝ 1
1u52521
0u25 25u120
• “年老”（u）＝ 1 1u52521
0u50 50u120
-
8
模糊集合与经典集合的联系
• 一就般叫λ地截，集用或Aλλ表 水示平集. Ax的x的集合，这个集合
• 支撑集，即所有λ>0的λ截集的并集 .
-
9
模糊集合的一个实际例子
• 假定有甲乙两个顾客商 场买衣服，他们主要考
虑三个因素：
• 花色式样（x1）； • 耐穿程度（x2）； • 价格（x3）；
顾客甲 确定的 隶属度
顾客乙 确定的 隶属度
花色 式样 x1 0.8
0.6
耐穿 程度 x2 0.4
0.6
价格 x3 0.7
模糊数学方法
理学院 韩邦合
-
1
模糊数学：程度化 思想解决模糊概念
• 一个人有了10万根头发，当然不能算秃头。不是秃头的人， 掉了一根头发，仍然不是秃头。按照这个道理，让一个不 是秃头的人一根一根地减少头发，就得出一条结论：没有 一根头发的光头也不是秃头！

模糊数学第三章


两点说明：
模糊关系－example3
模糊关系的运算
模糊关系就是模糊子集，只不过其论域是直积 A×B罢了 模糊关系的运算法则完全服从模糊集合的运算 法则
运算
设R, S F ( X Y )
包含： R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); 相等： R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); 并： 交： 余：
(2)包含：A B <=>对任意i, j 有 aij ≤ bij
因此，对任何
R m n , 总有：
ORE
模糊矩阵的运算
设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,…,m,
j=1,2,…,n, 则 (1)并：A∪B <=> (aij∨bij)m×n (2)交: A∩B <=> (aij∧bij)m×n (3)余: Ac <=> (1-aij) m×n 例：
则称O为X×Y的“零关系”， 表示零关系O的矩阵为零矩阵。
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X×Y上的模糊关系E满足
E ( x, y ) X Y , E ( x, y ) 1
称E为X×Y的“全称关系”，表示全称关系E的矩 阵为全称矩阵。
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X×Y上的模糊关系R，定义
1 0.7 R 0 0.5
0.7 1 0 0.4
0 0 1 0
0.5 0.4 0 1
模糊矩阵－mple
例1.
X Y {甲，乙，丙} R 信任
1 0.8 0.9 R 0.3 0.9 1 0.9 0.3 1

模糊数学——第3次课模糊集合运算.23页文档

模糊数学——第3次课模糊 集合运算.
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69பைடு நூலகம்懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

第三章 模糊数学3.1-3.3

10
模糊数学研究的四大中心 美国、西欧、日本、 美国、西欧、日本、中国
模糊技术的应用涉及到各个领域。家用电器采用了 模糊技术的应用涉及到各个领域。 模糊控制技术的有： 模糊控制技术的有： 空调器 洗衣机 电冰箱 洗碗机
11
学术刊物
•《 Fuzzy Sets and Systems 》 (1978) （荷兰） 荷兰） （美国） 美国） （美国） 美国） •《 IEEE Trans. on Fuzzy System 》 •《 Fuzzy Mathematics 》
20
定义 3.1.1 论域是所论数学对象的全体 它可以是无穷集， 是所论数学对象的全体。 论域是所论数学对象的全体。它可以是无穷集， 例如自然数的全体。但它不能是“ 例如自然数的全体。但它不能是“不以自己为元素 的集合”的全体，亦即不能是“非本身分子集”的 的集合”的全体，亦即不能是“非本身分子集” 集合。 悖论情况。事实上， 集合。这样就避免了 Russell 悖论情况。事实上，我 们研究某问题时， 们研究某问题时，并不关心那些与所论问题无关的 对象。 对象。
22
定义 3.1.3 表示。例如， 集合用符号 { } 表示。例如，元素 x1，x2，…， xn 组成的集合，记为 { x1，x2，…，xn } 。若 P 是关 组成的集合， 于论域 X 中元素的一个性质，记号 中元素的一个性质， { x∈ X | x 具有 P } 或 { x∈ X | P(x) } 的一切元素的集合。 表示 X 内具有性质 P(x) 的一切元素的集合。不含任 何元素的集叫空集， 何元素的集叫空集，记为 ∅。 空集
随机性：事件本身的状态是清楚的， 随机性：事件本身的状态是清楚的，但是否发生 不确定 。 （事件是否发生不确定） 事件是否发生不确定）
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( A ° C )∩( B ° C )
0.3 0.2 0.2 0.1 0.2 0.1 I = = 0.2 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1
( A∩B ) ° C ≠ ( A ° C )∩( B ° C )
模糊矩阵的转置 定义 设A = (aij)m×n, 称AT = (aijT )n×m为A的转 的转 × × 置矩阵，其中a 置矩阵，其中 ijT = aji. 转置运算的性质： 转置运算的性质： 性质1： 性质 ：( AT )T = A； ； 性质2： ∪ 性质 ：( A∪B )T = AT∪BT， ( A∩B )T = AT∩BT； 性质3： 性质 ：( A ° B )T = BT ° AT；( An )T = ( AT )n ； 性质4： 性质 ：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5： 性质 ：A≤B ⇔ AT ≤BT .
0.1 0.3 0.2 0.1 0.5 0.1 A= 0.2 0.1, B = 0.3 0.2, C = 0.3 0.2
( A∩B ) ° C
0.1 0.1 0.5 0.1 0.1 0.1 = 0.2 0.1 o 0.3 0.2 = 0.2 0.1
§2.3 模糊等价矩阵 模糊传递关系
设 R 为U到U的模糊关系，对 ∀(u , v) (v, w) (u, w) ∈U ×U 及 ∀λ ∈ [0,1] ，有：
µ R (u , v ) ≥ λ
µ R (v, w) ≥ λ
⇒ µ R ( u , w) ≥ λ
则称 R 为模糊传递关系。
R 为模糊传递关系的充要条件是： ( R o R) ⊂
又若R为布尔矩阵时,则关系 为普通关系 为普通关系, 又若 为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi 与 yj 为布尔矩阵时 之间要么有关系(r 之间要么有关系 ij = 1),要么没有关系 rij = 0 ). ,要么没有关系(
设身高论域X 例 设身高论域 ={140, 150, 160, 170, 180} (单位：cm), 体重论域 ={40, 50, 60, 70, 80}(单位： 单位： 体重论域Y 单位： 单位 单位 kg),下表给出了身高与体重的模糊关系. ,下表给出了身高与体重的模糊关系. 40 140 150 160 170 180 1 0.8 0.2 0.1 0 50 0.8 1 0.8 0.2 0.1 60 0.2 0.8 1 0.8 0.2 70 0.1 0.2 0.8 1 0.8 80 0 0.1 0.2 0.8 1
模糊关系的运算 由于模糊关系 就是 就是X 的一个模糊子集， 由于模糊关系 R就是 × Y 的一个模糊子集， 因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质 的运算及性质. 因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质 模糊关系. 设R，R1，R2均为从 X 到 Y 的模糊关系 ， 相等： 相等：R1= R2 ⇔ R1(x, y) = R2(x, y)； ； 包含： 包含： R1⊆ R2 ⇔ R1(x, y)≤R2(x, y)； ； 并： R1∪R2 的隶属函数为 (R1∪R2 )(x, y) = R1(x, y)∨R2(x, y)； ∨ ； 交： R1∩R2 的隶属函数为 (R1∩R2 )(x, y) = R1(x, y)∧R2(x, y)； ∧ ； 的隶属函数为R 余：Rc 的隶属函数为 c (x, y) = 1- R(x, y). -
(R1∪R2 )(x, y)表示 y)对模糊关系“R1或者 表示(x, 对模糊关系 对模糊关系“ 表示 的相关程度， 表示(x, 对模糊 R2”的相关程度， (R1∩R2 )(x, y)表示 y)对模糊 的相关程度 表示 关系“ 的相关程度， 表示(x, 对 关系“R1且R2”的相关程度，Rc (x, y)表示 y)对 的相关程度 表示 模糊关系“ 的相关程度. 模糊关系“非R”的相关程度 的相关程度 模糊关系的矩阵表示 对于有限论域 X = {x1, x2, … , xm}和Y = { y1, 和 y2, … , yn}，则X 到Y 模糊关系 可用 ×n 阶模糊 模糊关系R可用 可用m× ， 矩阵表示， 矩阵表示，即 R = (rij)m×n， × 其中rij = R (xi , yj )∈[0, 1]表示 i , yj )关于模糊关 其中 ∈ 表示(x 关于模糊关 表示 的相关程度. 系R 的相关程度.
模糊关系合成运算的性质 性质1： 性质 ：(A ° B) ° C = A ° (B ° C)； ； 性质2： 性质 ：A ° ( B∪C ) = ( A ° B )∪( A ° ∪ ∪ C )； ； ( B∪C ) ° A = ( B ° A )∪( C ° ∪ ∪ A )； ； 性质3： 性质 ：( A ° B )T = BT ° AT； 合成(° 运算关于 的分配律不成立, 运算关于(∩)的分配律不成立 注：(1) 合成 ° )运算关于 的分配律不成立,即 性质4： 性质 ：A ⊆ B，C ⊆ D ⇒ A ° C ⊆ B ° D. ， ( A∩B ) ° C ≠ ( A ° C )∩( B ° C ) (2) 这些性质在有限论域情况下,就是模糊矩 这些性质在有限论域情况下, 阵合成运算的性质. 阵合成运算的性质
第3章 模糊聚类分析
§2.1 模糊矩阵
定义1 定义 设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称 为模 ，则称R为 × 糊矩阵. 只取0或 时 矩阵. 糊矩阵 当rij只取 或1时，称R为布尔 为布尔(Boole)矩阵 矩阵 当模糊方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素rii都为1 当模糊方阵 × 的对角线上的元素 都为 时，称R为模糊自反矩阵 为模糊自反矩阵. 定义2 是模糊矩阵， 定义 设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵， × × 相等： 相等：A = B ⇔ aij = bij； 包含： 包含：A≤B ⇔ aij≤bij； 并：A∪B = (aij∨bij)m×n； ∪ × 交：A∩B = (aij∧bij)m×n； × 余：Ac = (1- aij)m×n. ×
0.1 0.3 0.3 0.3 0.1 0.3 0.3 0.3 o = = 0.4 0.7 0.4 0.7 0.4 0.7 0.4 0.7
3
合成(° 运算的性质 运算的性质： 合成 ° )运算的性质： 性质1： 性质 ：(A ° B) ° C = A ° (B ° C)； ； 性质2： 性质 ：Ak ° Al = Ak + l，(Am)n = Amn； 性质3： 性质 ：A ° ( B∪C ) = ( A ° B )∪( A ° C )； ∪ ∪ ； ( B∪C ) ° A = ( B ° A )∪( C ° A )； ∪ ∪ ； 性质4： 性质 ：O ° A = A ° O = O， ， I ° A=A ° I =A； ； 性质5： 性质 ：A≤B，C≤D ⇒ A ° C ≤B ° D. ，
ห้องสมุดไป่ตู้
§2.2 模糊关系
与模糊子集是经典集合的推广一样， 与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关 系是普通关系的推广. 系是普通关系的推广. 设有论域X， ， 设有论域 ，Y，X × Y 的一个模糊子集 R 称 模糊关系. 为从 X 到 Y 的模糊关系 模糊子集 R 的隶属函数为映射 R : X × Y →[0,1]. 并称隶属度R 并称隶属度 (x , y ) 为 (x , y )关于模糊关系 R 的 关于模糊关系 相关程度. 相关程度 特别地， 特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之 间的模糊关系 模糊关系. 间的模糊关系
模糊关系的合成 的关系, 的关系, 设 R1 是 X 到 Y 的关系 R2 是 Y 到 Z 的关系 上的一个关系. 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系 (R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } ∧ ∈ 当论域为有限时， 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊 矩阵的合成. 矩阵的合成 设X = {x1, x2, …, xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的模糊关系 1 = (aik)m×s， 模糊关系 关系R ， × Y 到Z 的模糊关系 2 = (bkj)s×n，则X 到Z 的模糊关 模糊关系 关系R 模糊关 × 系可表示为模糊矩阵的合成： 模糊矩阵的合成 系可表示为模糊矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n， × 其中c 其中 ij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
1 0.5 0.2 0 1 0.5 1 0.1 0.3 1 A= 0 , A .3 = 0 0.2 0.1 1 0.8 0 0.3 0.8 1 0
1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1
对任意的λ∈[0, 1]，有 ， 性质1： 性质 ：A≤B ⇔ Aλ ≤Bλ； 性质2： ∪ 性质 ：(A∪B)λ = Aλ∪Bλ，(A∩B)λ = Aλ∩Bλ； 性质3： 性质 ：( A ° B )λ = Aλ ° Bλ； 性质4： 性质 ：( AT )λ = ( Aλ )T.
模糊矩阵的λ - 截矩阵 定义7 定义 设A = (aij)m×n,对任意的λ∈[0, 1]，称 ， × 对任意的 为模糊矩阵A的 截矩阵, 为模糊矩阵 的λ - 截矩阵 其中 ； 当aij≥λ 时，aij(λ) =1；当aij＜λ 时，aij(λ) =0. 显然，A的λ - 截矩阵为布尔矩阵 截矩阵为布尔矩阵. 显然， 的 Aλ= (aij(λ))m×n, ×
模糊矩阵的并、 模糊矩阵的并、交、余运算性质 幂等律： ∪ 幂等律：A∪A = A，A∩A = A； ， ； 交换律： ∪ 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； ∪ ， ； 结合律： ∪ ∪ 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C), ∪ ∪ (A∩B)∩C = A∩(B∩C)； ； 吸收律： ∪ 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A； ， ∪ ； 分配律： ∪ 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C )∪(B∩C)； ∪ ； (A∩B)∪C = (A∪C )∩(B∪C)； ∪ ∪ ∪ ； 1 ... 1 0-1律： A∪O = A，A∩O = O； ∪ ， ； M A∪E = E，A∩E = A； E = M ∪ ， ； 1 ... 1 还原律： 还原律：(Ac)c = A； ； 对偶律： ∪ 对偶律： (A∪B)c =Ac∩Bc, (A∩B)c =Ac∪Bc.