2019年二次函数与实际问题最大值问题.doc

二次函数与线段最值问题.填空题.一..... .... 2 . ......... .. 一,，,，_ ____ ______1.如图，P是抛物线y= - x+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A, B,则四边形OAPB周长的最大值为 .2.已知函数y= (m+2) x2+ kx+ n.(1)若此函数为一次函数；①m, k, n的取值范围；②当-2WxW 1时，0WyW3,求此函数关系式；③当-2W xw 3时，求此函数的最大值和最小值(用含k, n的代数式表示)；(2)若m=- 1, n = 2,当-2WxW 2时，此函数有最小值-4,求实数k的值.3.如图，二次函数y= - x2+2 (m-2) x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A (3, 0),抛物线的顶点为D .(1)求m的值及顶点D的坐标；31-(2)当awxwb时，函数y的最小值为4最大值为4,求a, b应满足的条件；(3)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由.4.已知点A (t, 1)为函数y= ax2+bx+4 (a, b为常数，且aw 0)与y=x图象的交点. (1)求t；(2)若函数y=ax 2+bx+4的图象与x 轴只有一个交点，求 a, b;1—<(3)若1waW2,设当2 xW2时，函数y= ax 2+bx+4的最大值为 m,最小值为n,求m - n 的最 小值. 5.已知y 关于x 的函数y=nx2-2 (m+1) x+m+3(1)若m=n= - 1时，当-1WxW3时，求函数的最大值和最小值； (2)若n=1,当m 取何值时，抛物线顶点最高？(3)若n=2m>0,对于任意m 的值，当xvk 时，y 随x 的增大而减小，求 k 的最大整数； (4)若m=2nw0,求抛物线与x 轴两个交点之间的最短距离. 6.如图，二次函数 y= - x 2+2 (m-2) x+3的图象与x,y 轴交于A, B, C 三点，其中 A (3, 0),抛物线的顶点为D.(1)求m 的值及顶点D 的坐标.(2)连接AD, CD, CA,求△ ACD 外接圆圆心 E 的坐标和半径;13" — <一(3)当 2 xwn 时，函数y 所取得的最大值为 4,最小值为 母,求n 的取值范围.3X =一直线 2 .点M 为线段AB 上一点，过 于点C.(1)求直线AC 及抛物线的解析式；3PM = -(2)若2,求PC 的长；(3)过P 作PQ// AB 交抛物线于点 Q,过Q 作QN^x 轴于N,若点P 在Q 左侧，矩形PMNQ 的周长记为d,求d 的最大值.7.如图，抛物线 y=ax 2+bx+2与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(- 1,0),抛物线的对称轴为M 作x 轴的垂线交抛物线于 P,交过点A 的直线y= - x+n8.如图，抛物线 y=ax 2+bx+2与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(-1,0),抛物线的对称轴为直线x= 1.5,点M 为线段AB 上一点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于 P,交过点A 的直线y= - x+n 于点C.(1)求直线AC 及抛物线的解析式;(2) M 位于线段AB 的什么位置时，PC 最长，并求出此时 P 点的坐标;(3)若在(2)的条件下，在 x 轴上方的抛物线上是否存在点9 .如图，抛物线 y= - x 2- 2x+3的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点 C,点D 为抛物线的顶点. (1)求A 、B 、C 的坐标；(2)点M 为线段AB 上一点(点M 不与点A 、B 重合)，过点M 作x 轴的垂线，与直线 AC 交于点E,与抛物线交于点 P,过点P 作PQ//AB 交抛物线于点 Q,过点 Q 作QN^x 轴于点N.若点P 在点Q 左边，当矩形 PMNQ 的周长最大时，求^ AEM 的面积；(3)在(2)的条件下，当矩形 PMNQ 的周长最大时，连接 DQ.过抛物线上一点 F 作y 轴的平行 线，与直线 AC交于点G (点G 在点F 的上方).若FG = 2^ DQ ,求点F 的坐标._2A A3Q ~ A APHQ,使 § ,求点坐10.如图，抛物线y= - x2+bx+c的图象交*轴于人（—2, 0）, B （1, 0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A, B重合），过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点P, 过点P作PC//AB交抛物线于点C,过点C作CD，x轴于点D.若点P在点C的左边，当矩形PCDM的周长最大时，求点M 的坐标；（3）在（2）的条件下，当矩形PCDM的周长最大时，连接AC,我们把一条抛物线与直线AC的交点称为该抛物线的“恒定点”，将（1）中的抛物线平移，使其平移后的顶点为（n, 2n）,若平移后的抛物线总有“恒定点”，请直接写出n的取值范围.11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ，x2 3x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）,与y轴交于点A,抛物线的顶点为D.（1）填空：点A的坐标为（, ），点B的坐标为（, ），点C的坐标为（, ）,点D的坐标为（, ）;（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,若PE= PC,求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△ PQR周长的最小值.图1 备用图12.如图，抛物线与直线相交于A, B两点，若点A在x轴上，点B的坐标是(2, 4),抛物线与x轴另一交点为D,并且△ ABD的面积为6,直线AB与y轴的交点的坐标为(0, 2).点P是线段AB(不与A, B重合)上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线与点Q.(1)分别求出抛物线与直线的解析式；(2)求线段PQ长度的最大值；(3)当PQ取得最大值时，在抛物线上是否存在M、N两点(点M的横坐标小于N的横坐标)，使得P、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出MN的坐标；若不存在，请说明理由.1 3=-——13.如图，抛物线y 4*22x - 4与x轴交于A, B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边，点。

2019初中数学二次函数与实际问题——增长率问题专题训练（附答案详解） 1．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x 倍，两年后产品年产量y 与x 的函数关系是( )A ．y=20（1﹣x ）2B ．y=20+2xC ．y=20（1+x ）2D ．y=20+20x 2+20x 2．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公式第一个月投放a 辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系是（ ）A ．y=a （1+x ）2B ．y=a （1﹣x ）2C ．y=（1﹣x ）2+aD ．y=x 2+a 3．小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x ，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A ．y=500(x+1)2B ．y=x 2+500C ．y=x 2+500xD ．y=x 2+5x4．一辆新汽车原价万元，如果每年折旧率为，两年后这辆汽车的价钱为元，则关于的函数关系式为（ ） A ． B ．C ．D ．5．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x(x ＞0)，设2017年该产品的产量为y 吨，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝100(1－x)2 B ．y ＝100(1＋x)2 C ．y ＝()21001x + D ．y ＝100＋100(1＋x)＋100(1＋x)26．已知某农机厂第一个月水泵的产量为台，若平均每月的增长率为，则第三个月的产量（台）与月平均增长率之间的函数关系式是________．7．某产品年产量为台，计划今后每年比前一年的产量增长率为，试写出两年后的产量台与的函数关系式：________．8．某印刷厂一月份印书50万册，如果从二月份起，每月印书量的增长率都为x ，那么三月份的印书量y （万册）与x 的函数解析式是 ．9．某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y 万元，与平均年增长率x 之间的函数关系式是______________。

2019全国各地中考数学压轴大题函数综合
九、二次函数求值、求取值范围综合问题
1.（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正
半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x ﹣m）2+m+2的顶点．
（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．
解：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．
∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），
观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．
（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．。

二次函数中的最值问题作者：陈卓来源：《初中生世界·九年级》2019年第12期最值问题的研究，有着悠久的历史。

早在古希腊时，就研究了“等周问题”。

在欧几里得的著作《几何原本》中，实际上已证明了如下的最值问题：具有相同周长的矩形中，正方形的面积最大。

研究函数的最值，是学习数学与其他学科的基础，是生活生产的必备工具。

二次函数的最值问题也是中考的热点内容之一，今天我们就一起来认识一下吧。

初中阶段确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）最值的方法：方法1：将二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）配方化为y=a（x-h）2+k的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。

若a>0，y有最小值，当x=h时，y最小值=k;若a<E：＼初中生＼9年级语文＼陈卓-1.tif>方法2：直接利用顶点公式求其顶点为（[-b2a]，[4ac-b24a]），对称轴是直线x=[-b2a]。

若a>0，y有最小值，当x=[-b2a]时，y最小值=[4ac-b24a];若a<E：＼初中生＼9年级语文＼陈卓-2.tif>二次函数的图像是一条抛物线，根据实际情况它的最值又分为以下几种情况：1.自变量x没有范围限制，可以取到整个实数。

这时抛物线的顶点对应的y值是这个函数的最值，也就是说，当x取抛物线的对称轴的值时，即x=[-b2a]时，所得的y值是这个函数的最值。

2.自变量x有范围限制，它只能取到抛物线的一部分，这时需要判断x能够取到的范围是否包括抛物线的对称轴x=[-b2a]。

如果包括，那它的一个最值一定在对称轴处得到（最大值还是最小值要由a的正負判断，a正就是最小值，a负就是最大值）。

另外一个最值出现在所给范围的端点，此时可以把两个端点值都代入函数，分别计算y值，比较一下就可以。

如果给的是代数形式，也可以用与对称轴距离的大小来判断，与对称轴距离大的那个端点能够取到最值。

如果x的取值范围不包括对称轴，则它的最值一定出现在范围的端点处。

实际问题与二次函数【基础】专项练习一、简答题1、某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？2、小明跳起投篮，球出手时离地面m，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？3、如图所示，某小区计划在一个长为40 m，宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条宽均为x m的通路，使其中两条与AB垂直，另一条与AB平行，剩余部分种草，设剩余部分的面积为y m2，求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围．4、.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.如何提高售价，才能在半月内获得最大的利润？5、某水果店出售某种水果，已知该水果的进价为6元/千克，若以9元/千克的价格销售，则每天可售出200千克；若以11元/千克的价格销售，则每天可售出120千克．通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（2）当销售单价为何值时，该水果店销售这种水果每天获取的利润达到280元？（利润=销售量×（销售单价﹣进价））（3）该水果店在进货成本不超过720元时，销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？6、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙足够长)，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆墙的养鸡场，设它的长度为x(篱笆墙的厚度忽略不计)。

实际问题与二次函数1．实际应用在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最_________或最_______。

1、二次函数的应用【例1】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？练1.（2014春•重庆市校级月考）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x ，该药品原价为18元，降价后的价格为y 元，则y 与x 的函数关系式为（）A 、36(1)y x =-B 、36(1)y x =+C 、218(1)y x =+D 、218(1)y x =-练2.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为_________.【例2】计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道.如下图，现有一张半径为45mm 的磁盘．（1）磁盘最内磁道的半径为r mm ，其上每0.015mm 的弧长为1个存储单元，这条磁道由多少个存储单元？（2）磁盘上个磁道之间的宽度必须不小于0.3mm ，磁盘的外圆周不少磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？（3）如果个磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径r 是多少时，磁盘的存储量最大？练3.将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是___________．练4.（2014春•江宁区校级月考）小磊要制作一个三角形的钢架模型，再这个三角形中，长度为x cm 的边与这条边上的高之和为40cm ，这个三角形的面积Scm 2随x 的变化而变化。

（1）请直写出S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）当x 是多少时，这个三角形面积S 最大？最大面积是多少？【例3】图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，水面下降1m 时，水面宽度增加多少？练5.（2014秋•威海市期末）下图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A ．22y x =-B ．22y x =C 、212y x =-D 、212y x =练6.如图，铅球的出手点C 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（）A 、2316h t =-B 、2316h t t =-+C 、2118h t t =-++D 、21213h t t =-++.【例4】如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取437=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取265=）练7．（2015•泰安市一模）如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E 、F 怎样动，始终保持AE ⊥EF ．设BE=x ，DF=y ，则y 是x 的函数，函数关系式是（）A 、1y x =+B 、1y x =-C 、21y x x =-+D 、21y x x =--练8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y =-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是___________.【例5】如图，有长为24m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a ＝10m)．(1)如果所围成的花圃的面积为45m 2，试求宽AB 的长；(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m 2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．练9．有长24m 的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为x m ，面积是S m 2，则S 与x 的关系式是（）A 、2324S x x =-+B 、2224S x x =-+C 、2324S x x =--D 、2324S x x =-+练10．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数m ＝162－3x ．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y (元)与每件的销售价x (元)间的函数关系式；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？【例6】．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第8个月公司所获利润为多少万元?练11．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?练12．（2015秋•唐山市期末）随着和城近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？1．在一幅长60cm ，宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是y cm 2，设金色纸边的宽度为x cm 2，那么y 关于x 的函数是（）A 、y =（60+2x ）（40+2x ）B 、y =（60+x ）（40+x ）C 、y =（60+2x ）（40+x ）D 、y =（60+x ）（40+2x ）2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为10m ，此时水面到桥拱的距离是4m ，则抛物线的函数关系式为（）A 、2254y x =B 、2254y x =-C 、2425y x =-D 、2425y x =3．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A 距地面OA 为1m ，球路的最高点为B （8,9），则这个二次函数的表达式为_____________，小孩将球抛出约___________米.4．如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC ，BC 为斜边在的同侧作两个等要直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是______________。

22.3（3.1）---（利润最大值问题）-顶点在范围内一．【知识要点】1.解题步骤：（1）.设：设出两变量；（2）.列：列出函数解析式；（3）.定：确定自变量的取值范围；（4）.判：判断存在最大（小）值；（5）.求：求出对称轴，并判断对称轴是否在取值范围；（6）.算：计算最值。

二．【经典例题】1．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？2.（绵阳2019年第21题本题满分11分）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？3.善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x （单位：分钟）与学习收益y 的关系如图2所示（其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（1）求小迪解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式；（2）求小迪回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 的函数关系式； （3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大？4.（2019年绵阳期末第23题）某镇在国家“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力种植蔬菜，增加收入.(1)该镇2016年蔬菜产量为50吨，2018年达到72吨。