数值分析模拟试卷(九)

一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分 人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解 原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、 填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。

姓名 __________ 班级 ___________ 学号 _____________一、选择题i.F （2,5,-3,4）表示多少个机器数（C ）.A 64B 129C 257D 256 2. 以下误差公式不正确的是（D ）A ・ £（迎 *一七 *）« 5（Xj*）+£（£ *） c ，£（“*•£ *）«|^2 *k （-'l*） + |时住2 *）3. 设° =（、任_1）6,从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出°较好的近似值？ （D ）A ———B 99-70V2C （3-2V2）3D —— （V2 +1）6 （3 + 204. 一个30阶线性方程组，若用Crammer 法则来求解，则有多少次乘法？（A ） A31X29X30! B 30X30X30! C31X30X31! D 31X29X29!5. 用一把有亳米的刻度的米尺来测量桌子的长度，读出的长度1235mm,桌子的精确长度 记为（D ） A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5nun D 1235±0.5mm二、填空1. 构造数值算法的基本思想是 近似替代、离散化、递推化 。

2. 十进制123.3转换成二进制为1111011.0而1。

3. 二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。

4. 二进制o.ioi 转换成十进制为-o75.已知近似数X *有两位有效数字，则其相对误差限 5%。

6.1112=0.69314718...,精确到 10一’的近似值是 0.693。

* *7. x = ;r = 3.1415926・・・，则“ =3.1416 , =3.141的有效数位分别为5 和 3 __________ o8. 设卅=2.001,严=-0.8030是由精确值x 和y 经四舍五入得到的近似值，则兀* +y *的误差限____________________ o9.设x = 2.3149541•…，取5位有效数字，则所得的近似值卅二2.3150 。

数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。

答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。

答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。

答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。

答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。

数值分析试卷及答案数值分析模拟试卷（五）数值分析模拟试卷（五）班级学号姓名一、填空题（每空2分，共30分） 1．已知数e=2.718281828...，取近似值 _=2.7182，那麽_具有的有效数字是 ____位；2．若,改变计算式=__________________，使计算结果更精确；3．已知, 则谱半径 __________；4．过节点的插值多项式为 ____________________；5．过四个互异节点的插值多项式p(_)，只要满足__________ ，则p(_)是不超过二次的多项式；6.,；7．利用抛物(Simpson)公式求= __________；8．插值型求积公式的求积系数之和__________；9．已知等距节点的函数值(_i, yi)(i=0,1,2)，由数值微分三点公式，__________；10．为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精度，其求积节点应为 ___________________；11．用高斯—切比雪夫求积公式计算，当n=______时，能得到精确值；12．解初值问题近似解的欧拉公式局部截断误差为__________, 是____阶方法．二、（12分）已知方阵，试通过交换A的行，使其能实现(Doolittle)分解，并给出其分解；并用该分解求解方程组A_=b，其中．三、（10分）设,满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使收敛？四、（14分）线性方程组， (1) 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性；(2) ，给定松弛因子，写出解此方程组的SOR方法迭代格式，讨论收敛性．五、（10分）设函数f(_)在[0,1]上具有3阶连续导数，用基函数方法求一个次数不超过2的多项式H(_)，满足，写出插值余项．六、(10分)用改进的欧拉公式求解初值问题，取步长k = 0.1，计算y(0.1)，y(0.2)的近似值，小数点后保留5位.七、(8分)证明对任意的初值，迭代格式是计算的三阶方法．八、(6分) 若有n个不同实根证明。

模拟试题一一、填空（每小题3分，共30分）1. 设2.40315x *=是真值 2.40194x =的近似值，则x *有 位有效数字。

2. 牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0nn k k c =∑ 。

3 已知 12,()_________01A A ∞⎛⎫== ⎪⎝⎭则条件数cond 。

4 若332x -1x 1S(x)=1(x -1)+a(x -1)+b(x -1)+c 1x 220⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩是三次样条函数，则a =_______, b =______, c =______.5 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n ) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基函 数 为()k l x ( k =0,1,2,…,n )，则 nk k=0kl (x)=_____.∑6 序列{}n n=0y ∞满足递推关系：n n-1y =10y -1,(n =1,2,...)，若0y 有误差, 这个计算过程____________稳定.7 若42f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]=_____. 8 数值求积公式10311f(x)dx f()+f(1)434=⎰的代数精度是____________. 9．当x很大时，为防止损失有效数字，应该使= .10．已知A ＝⎢⎢⎢⎣⎡761 852 ⎥⎥⎥⎦⎤943，x ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111，则=1Ax . 二、(10分) 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据x 0 1.0 2.0 3.0 y 0.2 0.5 1.0 1.2三、(10分)2011A =050,b =3,203-1⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭用迭代公式(1)()()()(0,1,2,)k k k x x Ax b k α+=+-=求解,Ax b =问取什么实数α可使迭代收敛，什么α可使迭代收敛最快。

四、（10）设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2,,i x x ih i =+=试建立如下数值微分公式''01212()2()()()f x f x f x f x h -+≈并推导该公式的截断误差。

例1、 已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式. 解：（1）插值基函数分别为()()()()()()()()()()1200102121()1211126x x x x x x l x x x x x x x ----===--------()()()()()()()()()()021*******()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+---+-()()()()()()()()()()0122021111()1121213x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+--+-故所求二次拉格朗日插值多项式为()()()()()()()()()()()2202()11131201241162314121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==⎡⎤=-⨯--+⨯-+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦=---++-=+-∑(2）一阶均差、二阶均差分别为[]()()[]()()[][][]010*********011201202303,11204,41234,,52,,126f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----===----===---故所求Newton 二次插值多项式为()()[]()[]()()()()()20010012012,,,35311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-++++-=+-例2、 设2()32f x xx =++，[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1］上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式.解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=,且()1x ρ=，这样，有()()()()()()()()1120011011201100012101,11,,3123,,,,32269,324dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ========++==++=⎰⎰⎰⎰⎰ 所以,法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦再回代解该方程，得到14a =,0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+ 例3、 设()xf x e =,[0,1]x ∈，试求()f x 在［0， 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式. 解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样,有()()()()()()100012110101100100110,111,31,,2, 1.7183,1x x dx x dx xdx f e dx f xe dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ===========⎰⎰⎰⎰⎰所以，法方程为0111 1.7183211123a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦解法方程，得到00.8732a =,1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为*1()0.8732 1.6902S x x =+例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。

数值分析模拟试卷（九）（共五则）第一篇：数值分析模拟试卷（九）数值分析模拟试卷（九）班级学号姓名一、填空题（每空3分，共30分）1．设，则差商 __________ ；2．在用松弛法(SOR)解线性方程组时，若松弛因子满足，则迭代法______ ；3．要使求的Newton迭代法至少三阶收敛，需要满足______ ；4.设,用Newton迭代法求具有二阶收敛的迭代格式为_______________ ；求具有二阶收敛的迭代格式为__________________；5．已知，则________,_____；6.若，改变计算式=__________________，使计算结果更为精确；7．过节点的插值多项式为____________ ；8.利用抛物(Simpson)公式求= ．二、（14分）已知方阵，(1)证明：A不能被分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积；(2)给出A的选主元的Doolittle分解，并求出排列阵；(3)用上述分解求解方程组，其中．三、（12分）设函数在区间[0,1]上具有四阶连续导数,确定一个次数不超过3的多项式，满足，并写出插值余项．四、（10分）证明对任意的初值，迭代格式均收敛于方程的根，且具有线性收敛速度．五、（12分）试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度．所得的数值积分公式代数精度是多少？是否为Gauss型的？六、（12分）(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式的三项递推关系式：（2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分，问当节点数取何值时，能得到积分的精确值？七、（10分）、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：．第二篇：数值分析模拟试卷（三）数值分析模拟试卷（三）班级学号姓名一、填空题（共20分，每题2分）1、设x*=2.3149578…，取5位有效数字，则所得的近似值x=_______________ ；.2、设一阶差商，则二阶差商__________ ；3、数值微分中，已知等距节点的函数值，则由三点的求导公式，有_______________ ；4、求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么x1= _________ ；5、解初始值问题近似解的梯形公式是yk+1 = _________ ；6、，则A的谱半径______ ，cond(A)＝______ ；7、设，则______ ，______ ；8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_______ ；9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____ 10、设，当____________时，必有分解式A=LLT，其中L为下三角阵．二、计算题（共60分，每题15分）1、（1）设试求f(x)在上的三次Hermite插值多项式使满足；（2）写出余项的表达式．2、已知，满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使… 收敛？ 3、试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度．所得的数值积分公式代数精度是多少？是否为Gauss型的？4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：三、证明题（共20分，每题10分）1、设，（1）写出解 f(x)=0的Newton迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的． 2、设R=I－CA，如果，证明：（1）A、C都是非奇异的矩阵；（2）第三篇：地下水数值模拟研究进展和发展趋势地下水数值模拟研究进展与发展趋势摘要：地下水数值模拟的应用研究进展国外对地下水数值模拟的研究和应用较早，且理论、技术等各方面相对成熟，目前已经从“水量问题”的应用研究逐步过渡到“水质问题”的应用研究上，以解决各种更复杂的地下水问题。

一、填空题1. 2.31, 1.93, 2.24/,______.a b c ab a c ====-已知都是三位有效三数字的近似数，令x 则x 具有位有效数字1232.(2,4,3,1,0,2),___________,,58()______________.设向量则x x A Cond A ∞⎡⎤=---==⎢⎥⎣⎦=二 设方程为3210x x --=(1) 证明该方程在) 2 ,1 (内有且仅有一个实根；(2)由方程可得x =即得迭代公式1 (0, 1,)k x k +==判断该迭代法在) 2 ,1 (内的收敛性？(3) 若收敛，取0x ＝1.5， 用Newton 迭代法求此方程的根.(ε＝0.0001)（如不收敛？）.三 对矩阵A 分别作Doolittle 分解与crout 分解 123434121321003414913-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 四 设方程组为123123123221 6 22 9x x x x x x x x x +-=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 取(0)(0, 0, 0)T x =, 试用分别用雅可比与高斯赛德尔迭代法求解(精度为0.001)五、已知)(x f y =满足如下的数据点.边界）.七、对函数(()2sin f x =+ 在区间[1,5]上采11个样点，分别用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分(512sin dx +⎰.八、 试确定22() d hh f x x -≈⎰ () (0) ()a f h b f c f h -++中的,,a b c , 使此积分公式的代数精度尽可能的高,并求此积分公式的代数精度.九、分别用欧拉方法与欧拉改进法求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=1)0(2y y t dt dy在区间[0,1]上，步长h=0.1的数值解.。

1. (10分)利用Gauss-Legendre 求积公式 ⎰-++-≈11)7746.0(5556.0)0(8889.0)7746.0(5556.0)(f f f dx x f 导出求积分3()f x dx-⎰的三点高斯型求积公式。

2. (15分)写出求解线性代数方程组 123121322531272x x x x x x x -+=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩的Gauss-Seidel 迭代格式，并分析此格式的敛散性。

3. (15分)设矩阵21011000201010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎥⎥⎦， （1）试计算||||A ∞。

（2）用Householder 变换阵H 将A 相似约化为上Hessenberg 阵，即HAH 为上Hessenberg 阵。

4. (10分) 求关于点集{}1,2,3,4的正交多项式{}012(),(),()x x x ϕϕϕ。

5. (10分)用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据1.02.03.04.00.8 1.5 1.8 2.0i ix y ⎧⎨⎩6. (20分)给出数据点： 013419156i i x y =⎧⎨=⎩（1）用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)L 。

（2）用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)N 。

（3）用事后误差估计方法估计2(1.5)L 、2(1.5)N 的误差。

7．(10分) 设矩阵A 可逆，A δ为A 的误差矩阵，证明：当11A Aδ-<时，A A δ+也可逆。

8．(10分)设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2.i x x ih i =+=试建立如下数值微分公式 ''01212()2()()()f x f x f x f x h -+≈，并推导该公式的截断误差。

目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注：将近似值改写为标准形式X 1 =（5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4）*101 即n=4,m=1 绝对误差限｜△X 1｜=｜X *1-X 1｜≤ 12×10m-n ＝12×10-3 相对误差限｜△r X 1｜= ｜X∗1−X1｜｜X∗1｜≤｜X∗1−X1｜｜X1｜= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注：原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法（直接法）2-1用列主元Gauss消元法解方程组解：回代得解：X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解，并求解方程组Ax=b,其中解：(注：详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y＝P b 其中P为单位阵（原因是A矩阵未进行行变换）即L y＝P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)＝(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux ＝y ，得到结果x即Ux ＝y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)＝(y 1y 2y 3)＝(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x ＝(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解，求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) ， b ＝(123)解：（注：课本 P 26 P 27 根平方法）设L=(l i j )，D=diag(d i )，对k=1,2,…,n,其中d k =a kk －∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11－∑l 1j 20j=1d j =16－0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22－∑l 2j 21j=1d j =5－(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=－32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解：A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解：A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)＝(123) ，得(y 1y 2y 3)＝(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)＝(0.250.8751.7083) ，得(x 1x 2x 3)＝(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组：解：(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)＝(100200)，得(y1y2y3y4y5)＝(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)＝(256.66671.785700.4784753.718)，得(x1x2x3x4x5)＝(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法（迭代法）2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3（1） 写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式） （2） 讨论这两种迭代法的收敛性（3） 取初值x (0)=(0，0，0)T ，若用Jacobi 迭代法计算时，预估误差 ｜｜x*-x (10)｜｜∞ （取三位有效数字）解：（1）Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR（2）因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω（3）由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。