独立重复实验及二项分布教学设计罗雪梅

课题：独立重复试验与二项分布BGST 运用：1、课程标准：使学生正确理解独立重复试验与二项分布的意义，解决一些简单的实 际应用问题。

2、学习目标：理解n 次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。

3、教学重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。

4、教学难点：二项分布模型的构建。

5、考点解读：古典概型使用公式时，确定m 和n 是关键；几何概型要统一度量；会计算n 次独立重复试验中恰好发生k 次。

独立重复试验与二项分布一、复习引入（大约2分钟）：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P A B =3. 事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，即(|)()P A B P A =，称A 与B4. 离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布：如果离散型随机变量X 的分布列为 则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布。

二点分布二、概念形成（大约10分钟）实例1：将一枚均匀硬币随机掷10次，求正好出现5次正面的概率。

思考1、前一次结果是否影响后一次？也就是每次的结果是否相互独立？2、每次试验的结果有几个？结论1、各次试验结果不会受其他次试验结果影响；2、本小节涉及的每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及 ，并且事件A 发生的概率相同。

在相同条件下，重复的做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验。

实例2：姚明在某场比赛中得到4次罚球机会，假设每次投篮都互不影响。

如果姚明投篮命中的概率为p,求投中X次的概率。

A表示事件“第k次投中”分析：用k一般的，事件A在n次试验中发生k次，共有种情形，由试验的独立性知道A在k 次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是（在一次试验中事件A发生的概率是p）,那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为例1、在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的的投保人的死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6，试问3个投保人中：（1）全部活到65岁的概率；（2）有两个活到65岁的概率；（3）有1个活到65岁的概率；（4）都活不到65岁的概率。

2.2.2 独立重复试验与二项分布（第1课时）一、教学目标1．核心素养根据由特殊到一般的思维方式，归纳二项分布的概念及其概率计算公式，从而提升学生数学建模能力和逻辑推理能力.2．学习目标（本课时的目标应与后面的“问题探究”对应，每个探究解决一个目标）（1）从具体情境中理解n次独立重复试验及其特点及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.（2）从具体情境中理解二项分布及其概率计算公式.（3）能解决一些简单与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的实际问题3．学习重点理解掌握n次独立重复试验的模型及其基本特点，正确掌握二项分布.4．学习难点能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算.二、教学设计（一）课前设计预习任务任务1（可以多个任务，问是学生提问，编者不用考虑）阅读教材，思考：n次独立重复试验的定义是什么？二项分布的内容是什么？任务2归纳出n次独立重复试验的基本特点,默写二项分布的计算公式．预习自测1．n次独立重复试验应满足的条件：①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果之一；③每次试验发生的机会是均等的；④各次试验发生的事件是互斥的．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②④ 解：C ．2．二项分布计算公式()=(1)kn k k n P X k C p p -=-中，,,1,n p p k -分别表示的是（ ）①事件不发生的概率；②事件发生的概率；③实验总次数；④事件发生的次数． A ．①②③④ B ．③①②④ C ．③②①④ D ．①②④③ 解：C ． （二）课堂设计 1．知识回顾（1）不可能同时发生的事件A 与事件B 称为互斥事件，且()=()()P A B P A P B ++．（2）在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率叫做“在A 条件下B 发生的概率”，记作(|)P B A ，且()(|)=()P AB P B A P A ． （3）事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件，且()=()()P AB P A P B ．（4）事件12,,n A A A ⋅⋅⋅是相互独立的，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅. （5）二项式定理. 2．问题探究问题探究一 独立重复试验的定义及其基本特点？ ●活动一 观察探究（1）某篮球队员罚球3次，每次命中率为0.7.（2）投掷一枚相同的硬币4次，每次正面向上的概率为0.5. （3）某射击选手射击6次,每次射击击中的概率为0.9. （4）一纸箱内装有5个白球、3个黑球，有放回地抽取5个球. （5）投掷一枚图钉8次，每次时针尖向上的概率为0.4. 问题：上面这些试验有什么共同的特点？ 提示：从下面几个方面探究：（1）实验的条件； （2）每次实验间的关系； （3）每次试验可能的结果； （4）每次试验的概率；通过归纳发现：（1）每个例中的每次试验在相同条件下发生的； （2）每个例中的每次试验是相互独立的；（3）每个例中的每次试验都只有两种结果：发生与不发生； （4）每个例中的每次试验发生的概率都是相同的. ●活动二 归纳总结（1）定义：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验，各次试验的结果相互独立，就称n 次独立重复试验.（2）特点：①条件相同；②相互独立；③结果有二；④概率相等. ●活动三 学以致用例1 判断下列试验是不是独立重复试验：（说明理由） （1）依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上；（2）姚明作为中锋，他职业生涯的每次罚球命中率为0．9，他连续投篮3次，恰有2次命中； （3）一纸箱内装有5个白球,3个黑球,2个红球,从中依次抽取5个球,恰好抽出4个白球； （4）一纸箱内装有5个白球,3个黑球,2个红球,从中有放回地抽取5个球,恰好抽出4个白球. 【知识点：独立重复试验】详解：（1）不是，因为条件不相同；（2）是；（3）不是，因为每次发生的概率不等；（4）是； 问题探究二 什么是二项分布？其概率计算公式是什么？ ●活动一 计算观察问题：姚明作为中锋，他职业生涯的每次罚球命中率为0.9， （1）他连续投篮3次，恰有1次命中的概率是多少； （2）他连续投篮3次，恰有2次命中的概率是多少； （3）他连续投篮3次， 3次都命中的概率是多少； 解答：（1）3次中恰有1次命中有几种情况？共有3种情况：123A A A ，123A A A ，123A A A （设(1,2,3)i A i =表示事件“第i ”次命中）每一种情况的概率都是：120.9(10.9)⨯- 则恰有1次命中的概率是：1230.9(10.9)P =⨯⨯- （2）3次中恰有2次命中有几种情况？共有3种情况：123A A A ，123A A A ，123A A A （设(1,2,3)i A i =表示事件“第i ”次命中）每一种情况的概率都是：210.9(10.9)⨯-则恰有1次命中的概率是：2130.9(10.9)P =⨯⨯-；（3）3次都命中只有1种情况，即：123A A A （设(1,2,3)i A i =表示事件“第i ”次命中） 则概率是：310.9P =⨯； 观察三个试验的共同点： （1）都是独立重复试验；（2）每次试验分别有3(1,2,3)iC i =种情况；（3）每次试验的每种情况发生的概率相同.（4）他连续投篮n 次，恰有k 次命中的概率是多少；此次试验有k n C 种情况，每种情况发生的概率都是：0.9(10.9)k n k -⨯- 则此次试验发生的概率是：0.9(10.9)k k n k n P C -=-●活动二 归纳总结归纳：一般地，在n 次独立重复试验，设事件A 发生的次数是X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)k k n k n P X k C p p -==-，其中n k ,,2,1,0⋅⋅⋅=.此时称随机变量X 服从二项分布，记作(,)X B n p ，并称p 为成功概率．理解：1）公式()(1)k k n k n P X k C p p -==-中各字母的含义，n —试验发生的总次数；k —试验中事件A 恰好发生的次数；p —事件A 发生概率；(1-p )—事件A 恰不发生的概率. 2）二项式()1-np p ⎡⎤+⎣⎦的展开式中第k +1项为1(1)kn k k k n T C p p -+=-，那么()(1)k kn k n P X k C p p -==-就是二项式()1-np p ⎡⎤+⎣⎦展开式中中第k +1项，所以公式()(1)k k n k n P X k C p p -==-（），0,1,2,...,.k n =所以公式叫做二项分布.3）当n =1时，二项分 布就是两点分布.问题探究三 初步利用n 次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的问题 例2 某射手每次射击击中目标的概率是0.9，求这名射手在5次射击中，（1）恰有4次击中目标的概率;（2）至少有4次击中目标的概率.（列出算式即可） 【知识点：二项分布，互斥事件的概率；数学思想：分类讨论】详解：设X 为击中目标的次数，则(5,0.9)X B（1）在5次射击中，恰有4次击中目标的概率为：44(54)540.9(10.9)P X C -==⨯⨯-（）. （2）在5次射击中，至少有4次击中目标的概率为：44(54)55(55)5544+5=0.9(10.9)+0.9(10.9)P X P X P X C C --≥===⨯⨯-⨯⨯-（）（）（）例3 重复抛掷一枚骰子6次，求至少4次得到点数为6的概率. 【知识点：二项分布，互斥事件的概率；数学思想：分类讨论】 详解：设X 为得到点数6的次数，则1(6,)6XB重复抛掷一枚骰子6次，至少4次得到点数为6的概率为：4(64)5(65)6(66)45666644+5+6111111=1+1+1666666P X P X P X P X C C C ---≥====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）（）（）例4 重复抛掷一枚骰子6次，求至少1次得到点数为6的概率.【知识点：二项分布，互斥事件、对立事件的概率；数学思想：分类讨论，正难则反】 详解：设X 为得到点数6的次数，则1(6,)6XB重复抛掷一枚骰子6次，至少1次得到点数为6的概率为：1(61)2(62)3(63)1256664(64)456641+2+3+4+5+6111111=1+1+1666666111 +1+66P X P X P X P X P X P X P X C C C C C ----≥=======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）（）（）（）（）（）（） 5(65)6(66)661111+16666C --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭另解：设X 为得到点数6的次数，则1(6,)6X B记事件A 为“至少1次得到点数为6”，则事件A 为 “没有1次得到点数为6”，又由于0(60)6110=166P A P X C -⎛⎫⎛⎫==⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）（）则0(60)06111=1166P A P A C -⎛⎫⎛⎫=--⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）（）例5 重复抛掷一枚骰子6次，求至少2次得到点数为6的概率.【知识点：二项分布，互斥事件、对立事件的概率；数学思想：分类讨论，正难则反】详解：设X 为得到点数6的次数，则1(6,)6XB记事件A 为“至少2次得到点数为6”，则事件A 为 “没有1次得到点数为6和恰好有1次得到点数为6”，又由于0(60)1(61)16611110+1=1+16666P A P X P X C C --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⨯⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）（）则0(60)1(61)16611111=1116666P A P A C C --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯⨯--⨯⨯- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）3．课堂总结 【知识梳理】（1）一般地，在相同条件下重复做的n 次试验，各次试验的结果相互独立，就称为n 次独立重复试验．（2）一般地，在在n 次独立重复试验，设事件A 发生的次数是X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)k kn k n P X k C p p -==-，其中n k ,,2,1,0⋅⋅⋅=.此时称随机变量X 服从二项分布，记作(,)X B n p ，并称p 为成功概率．【重难点突破】（1）独立重复试验的判断①每次试验是在相同的条件下进行的；②每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的； ③基本事件的概率可知，且每次试验保持不变； ④每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生． （2）二项分布的判断①在一次试验中，事件A 发生与不发生二者必居其一． ②事件A 在每次试验中，发生的概率相同．③试验重复地进行了n 次(n ≥2)，且每次试验结果互不影响． 4．随堂检测1．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【知识点：二项分布，对立事件的概率；数学思想：正难则反】 解：B2．若某射手每次射击击中目标的概率是0.9，每次射击的结果相互独立，那么在他连续4次的射击中，第一次未击中目标,后三次都击中目标的概率是（ ）A.33140.90.1C ⨯⨯B.30.9C.130.10.9⨯D.11340.90.1C ⨯⨯【知识点：二项分布，互斥事件、对立事件的概率；数学思想：分类讨论，正难则反】 解：C3．有10门炮同时各向目标各发一枚炮弹，如果每门炮的命中率都是0.1，则目标被击中的概率约是（ ） A.0.55 B.0.45 C.0.75 D.0.65【知识点：独立重复试验，对立事件的概率】 解：D4．一批产品共有100个，次品率为 3%，从中有放回抽取3个恰有1个次品的概率是( )A.123973100C C CB.1230.030.97C ⨯⨯C.1330.03C ⨯D.1230.030.97C ⨯⨯【知识点：二项分布】 解：B5．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为 8081，则此射手射击一次的命中率是（ ）A.13B.23C.14D.25【知识点：二项分布，对立事件的概率；数学思想：正难则反】 解：B 4801(1)81p --= （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知随机变量ξ～B (6，13)，则P (ξ≥2)＝（ ） A.16143 B.471729 C.473729 D.1243【知识点：二项分布，互斥事件、对立事件的概率；数学思想：分类讨论，正难则反】 解：C0(60)1(61)1661111212=101=11+13333P P P P C C ξξξξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-≤-=-=-⨯⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）（）（）2．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次试验中，A 发生k 次的概率为（ ） A ．1－p k B ．(1－p )k ·p n －k C ．(1－p )kD ．C k n (1－p )k ·p n －k【知识点：二项分布，对立事件的概率】 解：D3．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是（ ） A ．(12)5 B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5 【知识点：二项分布】解：D 5次移动中有2次向右，剩下3次向上.4．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)的值为（ ） A ．C 23(14)2×34B ．C 23(34)2×14C ．(14)2×34 D ．(34)2×14【知识点：二项分布，对立事件的概率】 解：D5．某种植物的种子发芽率是0.7,4颗种子中恰有3颗发芽的概率是________． 【知识点：二项分布】解：0.4116 33(43)430.7(10.7)P X C -==⨯⨯-（）6．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．【知识点：二项分布】解：0.9477 33(43)44(44)443=3+=4=0.9(10.9)+0.9(10.9)P X P X P X C C --≥=⨯⨯-⨯⨯-（）（）（）能力型 师生共研7．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立)，则一天内至少3人同时上网的概率为________．【知识点：二项分布，互斥事件、对立事件的概率；数学思想：分类讨论，正难则反】 解：2132 666012666111X 1012=1222P P X P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-=-=-⨯-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）（）（）（）8．2013年初，一考生参加北京大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被考生正确做出的概率都是34. (1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率． 【知识点：对立、互斥事件的概率，独立重复试验，二项分布；数学思想：分类讨论】 解：(1)记“该考生正确做出第i 道题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P (A i )＝34，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出两道题的概率为 P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝34×34×14＝964.(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B ，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道或4道题，故P (B )＝C 34×(34)3×14＋C 44×(34)4＝189256. 9．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种的费用，写出ξ的分布列． 【知识点：对立事件的概率，二项分布】解：每个坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以每个坑不需要补种的概率为p ＝1－18＝78.利用3次独立重复试验的公式求解即可．补种费用ξ的分布列为10．一批玉米种子，其发芽率是0.8.问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？(lg2＝0.301 0)【知识点：独立重复试验，对立事件的概率，二项分布；数学思想：正难则反】解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则P (A )＝0.8，P (A －)＝1－0.8＝0.2.设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.因为每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则P (B －)＝C 0n ·0.80·0.2n ＝0.2n .所以P (B )＝1－P (B －)＝1－0.2n .由题意有1－0.2n >98%，所以0.2n <0.02，两边取对数得n lg0.2<lg0.02.即n (lg2－1)<lg2－2.所以n >lg2－2lg2－1≈2.43，且n ∈N ，所以n ≥3. 故每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.探究型 多维突破11.某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中X 名男同学．(1)求X 的分布列；(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．【知识点：对超几何分布】解：(1)X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从超几何分布，因此：P (X ＝0)＝C 33C 38＝156，P (X ＝1)＝C 15C 23C 38＝1556， P (X ＝2)＝C 25C 13C 38＝1528，P (X ＝3)＝C 35C 38＝528. ∴X 的分布列为(2)由上面的分布列，可知去执行任务的同学有男有女的概率为P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝1556＋1528＝4556.12.一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 3.(1)设ξ为这名学生在途中遇到的红灯次数，求ξ的分布列；(2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．【知识点：对立事件的概率，二项分布；数学思想：正难则反】解：(1)将遇到每个交通岗看做一次试验，遇到红灯的概率都是13，且每次试验结果相互独立，故ξ～B(6，13)．所以ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck6·(13)k·(23)6－k(k＝0,1,2，…，6)．(2)η＝k(k＝0,1,2，…，5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，其概率为P(η＝k)＝(23)k·13，η＝6表示一路没有遇上红灯，故其概率为P(η＝6)＝(23)6.所以η的分布列为(3)所求概率即P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(23)6＝665729.自助餐1．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则（）A．p1＝p2B．p1<p2C．p1>p2D．以上三种情况都有可能【知识点：古典概型】解：B2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n}：a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为（ ） A ．C 57×(13)2×(23)5 B ．C 47×(23)2×(13)5 C ．C 27×(23)2×(13)5 D ．C 37×(13)2×(23)5 【知识点：独立重复试验，二项分布】解：C3．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是（ ）A ．(99100)6B ．0.01C.C 16100(1－1100)5D ．C 26(1100)2(1－1100)4 【知识点：对立事件的概率，二项分布】解：C4．在4次独立重复试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为（ ）A.13B.25C.56D ．都不对【知识点：对立事件的概率，二项分布；数学思想：正难则反】解：A5．抛掷三个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中成功次数X ～（ ）A ．B (54，427)B ．B (52，1927)C ．B (54，1927)D ．B (54，1724)【知识点：二项分布】解：C6．已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B (6，13)，则P (ξ＝2)＝（ ）A.316B.4243C.16243D.80243【知识点：二项分布】解：D7.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点：二项分布】解：C8．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0<p <1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为（ ）A ．(1－p )nB ．1－p nC ．p nD ．1－(1－p )n【知识点：对立事件的概率，二项分布；数学思想：正难则反】解：D9．一个袋中有5个白球，3个红球，现从袋中每次取出1个球，取出后记下球的颜色然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则P (ξ＝12)＝________.(写出表达式不必算出最后结果)【知识点：二项分布】解：C 911(38)9(58)2·3810．某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进了3球的概率为________．(用数字作答)【知识点：二项分布】解：1512811．A ，B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，若某人已赢得所有卡片，则游戏终止．求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率．【知识点：互斥事件的概率，二项分布】解：P ＝(12)5×2＋2×C 45(12)5(12)2＝116＋2×5×(12)7＝964.12.如图，一圆形靶分成A ，B ，C 三部分，其面积之比为1∶1∶2.某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．(1)求该同学在一次投掷中投中A 区域的概率；(2)设X 表示该同学在3次投掷中投中A 区域的次数，求X 的分布列；(3)若该同学投中A ，B ，C 三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率.【知识点：互斥事件的概率，二项分布】解：(1)设该同学在一次投掷中投中A 区域的概率为P (A )，依题意，P (A )＝14.(2)依题意知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，从而X 的分布列为：(3)设B i 表示事件“第i 次击中目标时，击中B 区域”，C i 表示事件“第i 次击中目标时，击中C区域”，i ＝1,2,3.依题意知P ＝P (B 1C 2C 3)＋P (C 1B 2C 3)＋P (C 1C 2B 3)＝3×14×12×12＝316.。

课题：独立重复试验与二项分布人教A版选修2-3第二章第二单元第三课时授课教师：广东省清远市英德中学罗雪梅一、教学目标●知识与技能：理解n次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。

●过程与方法：通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法。

●情感态度与价值观：使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。

二、教学重点、难点重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。

难点：二项分布模型的构建。

三、教学方法与手段教学方法：诱思探究教学法学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

教学手段：多媒体辅助教学四、教学过程附：板书设计与时间安排1、板书设计教案说明我有这样的深刻体会：好的教学情景的创设，等于成功的一半。

因而，我以一个轻松愉快的猜数游戏把学生带进一个轻松愉快的课堂环境中。

从游戏开始，诱思深入，把老师在堂上讲、学生在堂下听的教学过程变为师生共同探索，共同研究的过程。

学生围绕老师提出的一系列具有趣味性和启发性的层层入深的问题，展开讨论，使问题得到解决，从而突出本节重点，突破本节难点。

在整个教学过程中，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线，思维为主攻”的“四为主”原则。

教师不是抛售现成的结论，而是充分暴露学生的思维，展示“发现”的过程，突出“师生互动”的教学，这种设计充分体现了教师的主导作用。

学生在一系列的思考、探究中逐步完成了本节的学习任务，充分实现了学生的主体性地位，在整个教学过程中，始终着眼于培养学生的思维能力，这种设计符合现代教学观和学习观的精神，体现了素质教育的要求。

高中数学选修2-3修订教案2.2.3独立重复试验与二项分布（第二课时）教学目标：了解n 次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用教学重点：了解n 次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用教学过程一、复习引入：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为 (|)P AB P A B P B （）＝（）3. 事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，即 (|)()P A B P A =. 称A 与B 独立 4 独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验5．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项二、讲解新课：例1．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次∴从低层到顶层停不少于3次的概率 3364455549999991111111()()()()()()()2222222P C C C C =++++ 3459990129999999911()()2()()22C C C C C C C ⎡⎤=+++=-++⎣⎦+991233(246)()2256=-= 设从低层到顶层停k 次，则其概率为k 9999111C ()()()222k k k C -=， ∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即991()2k C 最大， 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大．例2．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率． 解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． 记事件A = “甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=． (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++，又因为事件A 、B 、C 彼此互斥， 故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=． 答：按比赛规则甲获胜的概率为12． 例3．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=） 解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=，（1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-=． ∴()1()10.2n P B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n <，两边取常用对数得，lg 0.2lg 0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-， ∴lg 22 1.6990 2.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥． 答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384课堂小节：本节课学习了n 次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用 课堂练习：课后作业：。

基于数学建模核心素养下的《独立重复试验
与二项分布》的教学设计
数学建模核心素养之独立重复试验与二项分布的教学设计是课堂
教学中的重中之重，其对学生的素养以及数学素养的建模具有至关重
要的作用。

独立重复试验与二项分布的教学设计，大致步骤是：第一步，背景概念的阐释。

先向学生讲解有关独立重复试验与二
项分布的一般背景概念，让学生可以理解相关术语，搞清楚独立重复
试验与二项分布各自的特性与意义，以及它们之间的关系。

第二步，典型实例的演示。

接下来，老师采用案例实践教学法，
给出一些典型实例，让学生去感受独立重复试验与二项分布实施的具
体过程，有针对性地教会他们如何应用独立重复试验与二项分布。

第三步，练习与评估。

最后，组织学生独立完成一些以上内容相
关的练习题，进行较为系统的学习评估，老师也应及时给出详细的解答，帮助学生检查自己的学习成果，及时消除疑惑。

综上所述，数学建模核心素养之独立重复试验与二项分布的教学
设计应采取背景概念阐释、案例实践教学以及实践练习评估这样一个
三步走的教学模式，使学生能够搞懂独立重复试验与二项分布的内涵，并学会应用它们进行数学建模的实践。

《独立重复试验与二项分布第1课时》教学设计课型：新授课一、教学内容解析理解教学内容是教师教好数学学科的基本素养，掌握教学内容是合理开展一堂课的重要前提，首先谈谈我对本节教学内容的分析和理解。

《独立重复试验与二项分布》是《高中数学人教 A 版》（选修2-3）第二章 2.2.3 节的内容，为了更好的驾驭课堂，从教材内容到教学内容需要进行合理的加工。

本节课具有着承前启后的作用，既是前面的互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法以及分布列有关内容等知识的延续和扩展，又为后续内容提供理论基础。

二项分布是继超几何分布后的又一应用广泛的概率模型，在自然现象和现实生活中，大量的随机变量都服从或近似的服从二项分布，而且独立重复试验与二项分布是高考中的重要考点。

本节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。

学生通过本节课的学习会对今后数学及相关学科的学习产生深远的影响，因此本节课的教学重点是：独立重复试验、二项分布知识的理解及应用。

二、学生学情分析理解学生学情是教好数学、发挥数学育人功能的前提条件，下面对我任教的两个班学生的具体学情进行分析。

教学对象：市直属高中学生。

学生对超几何分布、事件相互独立性、条件概率等知识掌握良好，已经具备了基本数学建模的能力，因此对本节课的学习有着良好的理论基础和知识储备。

学生思维比较活跃，善于表达和沟通，善于观察发现问题，乐于和教师分享他们的学习情况和解题心得。

识别概率模型是解决概率问题的关键，由于学习本节课前学生刚刚接触概率模型，在引入新的概率模型时，学生对概率模型的识别能力较为薄弱，在课堂教学中需要教师加以引导，因此本节课的教学难点是：概率模型的辨别和二项分布模型的构建。

三、教学目标设置基于本节课的教学内容、学生的实际学情以及教学的重难点，我设置了如下教学目标（一）知识目标：1．理解独立重复试验的定义及二项分布模型的意义；2．会判断具体问题中的随机变量是否服从二项分布；3．能利用独立重复试验与二项分布的相关知识解决简单的概率问题。

独立重复实验与二项分布教学目标：知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题．过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算．情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ，体现数学的文化功能与人文价值．教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题． 教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算． 授课类型：新授课．课时安排：1课时．讲解新课：1．独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k nn P P C k P --=)1()(． 它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项．3．离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0，1，2，…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于k n k k nq p C -恰好是二项展开式 011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n ，p ），其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b （k ；n ，p ）．例1 某射手每次射击击中目标的概率是．求这名射手在 10 次射击中，（1）恰有 8 次击中目标的概率；（2）至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字）解：设X 为击中目标的次数，则X ～B （10， ）．（1）在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为P （X = 8） ＝88108100.8(10.8)0.30C -⨯⨯-≈． （2）在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为P （X≥8） = P （X = 8） + P （X = 9 ） + P （X = 10 ）8810899109101010101010100.8(10.8)0.8(10.8)0.8(10.8)C C C ---⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-0.68≈．例2 重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P （ξ>3）．解：依题意，随机变量ξ～B ⎪⎭⎫ ⎝⎛61,5． ∴P （ξ=4）=6561445⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C =777625，P （ξ=5）=55C 561⎪⎭⎫ ⎝⎛=77761． ∴P （ξ>3）=P （ξ=4）+P （ξ=5）=388813 ． 例3 某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率．解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41P C -=⨯⨯-=≈．答：5次预报中恰有4次准确的概率约为．（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即4454555555555(4)(5)(4)0.8(10.8)0.8(10.8)P P P P C C --=+==⨯⨯-+⨯⨯-450.80.80.4100.3280.74=+≈+≈．答：5次预报中至少有4次准确的概率约为．例4 某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件A ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验．1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P =-=， 1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1)(1)44P C =⨯⨯-， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为[]551(0)(1)0.37P P P =-+≈．答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．课堂练习：1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）A ．33710(1)C p p -B ．33310(1)C p p - C ．37(1)p p - D ．73(1)p p -2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）A ．32100.70.3C ⨯⨯B ．1230.70.3C ⨯⨯ C ．310 D ．21733103A A A ⋅3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是（ ）A ．33351A A -B ． 211232323355A A A A A A ⋅⋅+ C ．331()5- D ．22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）A ．23332()55C ⋅ B ．22332()()53C C ．33432()()55CD ．33421()()33C 5．一射手命中10环的概率为，命中9环的概率为，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）6．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：（1）全部成活的概率； （2）全部死亡的概率；（3）恰好成活3棵的概率； （4）至少成活4棵的概率答案：1． C 2． D 3． A 4． A 5． ．6．（1）5550.90.59049C =； （2）5550.10.00001C =； （3）()3325530.90.10.0729P C =⋅=； （4）()()55450.91854P P P =+=小结1．独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2．如果1次试验中某事件发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为k n k k nn P P C k P --=)1()(对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A 要么发生，要么不发生，所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n k -次中A 没有发生，即A 发生，由()P A P =，()1P A P =-，所以上面的公式恰为n P P ])1[(+-展开式中的第1k +项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系．六、课后作业课本58页练习1、2、3、4．第60页习题2． 2 B组2、3七、板书设计八、课后记教学反思：1．理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题．2．能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算．。

《独立重复试验及二项分布》教学设计一、教材及学情分析 本节内容是新课标教材选修2—3第二章《随机变量及其分布》的第二节《二项分布及其应用》的第三小节．通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的基础知识：古典概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法以及两点分布、超几何分布和分布列的有关内容。

独立重复试验是研究随机现象的重要途径之一，很多概率模型的建立都以独立重复试验为背景，二项分布就是来自于独立重复试验的一个概率模型。

二项分布是继超几何分布后的又一应用广泛的概率模型，而超几何分布在产品数量n相当大时可以近似地看成二项分布。

在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似地服从二项分布，实际应用广泛，理论上也非常重要。

可以说本节内容是对前面所学知识的综合应用，是一种模型的构建，是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。

会对今后数学及相关学科的学习产生深远的影响。

因此本节课宜采用以学生探究、发现为主的教学模式，让学生从具体试验得到独立重复试验，再得出二项分布，体会知识的过渡的思维，让学生有充分自由表达、质疑、探究问题的机会，在活动中学习、创新、提高。

二、三维目标1、知识与技能(1)理解n次独立重复试验的模型。

(2)掌握二项分布，并能利用它解决一些简单的实际问题。

2、过程与方法通过具体例子的学习，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力。

3、情感、态度与价值观激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神。

三、教学重点、难点重点：n次独立重复试验和二项分布的概念。

难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算四、教学过程（一）独立重复试验概念的引入教师：同学们喜欢什么奥运会项目？（各种不同的答案）教师：我最喜欢射击。

假设我击中目标的概率是0.8，那么我射击一次，用x 表示击中的次数，请写出x的分布列。